V BLANCHOT

Chapitre 1 : Hypothèses de la RDM

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Chapitre 1 :

Hypothèses de la RdM

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Objet du chapitre

1.1. Hypothèses sur le solide

1.2. Hypothèses sur le matériau

1.3. Hypothèses fondamentales de la RdM

1.4. Conditions aux limites

Sommaire du chapitre

Définition des restrictions et conditions pour appliquer

correctement la théorie des poutres

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.1. Définition d’une poutre, vocabulaire associé

Poutre : solide engendré par une surface plane (S) dont le centre d’inertie G

décrit une courbe G0G1, le plan de (S) restant normal à la courbe G0G1

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.1. Définition d’une poutre, vocabulaire associé

Fibre moyenne : courbe G0G1

Fibre : volume engendré le long de G0G1 par un petit élément dS de la surface (S)

Section droite : air (S) de la poutre

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.2. Propriétés géométriques d’une poutre

Rayon de courbure de la ligne moyenne :

grand par rapport à la plus grande

dimension transversale de la section droite

(rapport supérieur à 5).

Courbure pas trop brusque

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.2. Propriétés géométriques d’une poutre

Longueur de la ligne moyenne :

grande par rapport à la plus grande

dimension transversale de la section

droite (rapport supérieur à 5).

Poutre suffisamment élancée

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.2. Propriétés géométriques d’une poutre

Poutre suffisamment élancée

Courbure pas trop brusque

Petites déformations

Petites déplacements

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.3. Représentation schématique d’une poutre

Une poutre est simplement et totalement définie par :

- sa fibre moyenne G0G1

- sa section droite (S)

(S)G0

G1

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.4. Exemples de sections de poutres

Les poutres sont la plupart du temps

achetées dans le commerce et leurs

sections sont normalisées

(dimensions prédéfinis)

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.4. Exemples de sections de poutres

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1.1. Hypothèses sur le solide1.1.4. Modèle de représentation et repère local

L = 1000mm

h = 100mm

b = 30mm

Poutre réelle :

On récupère de la poutre réelle :

- la fibre moyenne (ou ligne moyenne)

- la section

Modèle associé et repère :

h = 100mm

b = 30mm

O A

O AL = 1000mm

x

y y

z

x

y

z

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1.2. Hypothèses sur le matériau1.2.1. Homogénéité

Le matériau constituant la poutre doit être homogène : ses propriétés

mécaniques doivent être les mêmes en tous points de celui-ci.

Hypothèse valable qu’à l’échelle macroscopique

Figure 1.4 : Vue au microscope d'un béton

Matériaux homogènes : acier, aluminium, verre, béton, colle, plastique ...

Matériaux non-homogènes : bois, béton armé, poutre composite ...

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1.2. Hypothèses sur le matériau1.2.2. Isotropie

Le matériau devra être isotrope. Un matériau est dit isotrope s’il

présente les mêmes propriétés dans toutes les directions de l’espace.

Hypothèse valable aussi qu’à l’échelle macroscopique

Matériaux isotropes : acier, aluminium, béton, plastique ...

Matériaux non-isotropes : bois, peau de banane, câble, matériaux fibrés ...

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1.2. Hypothèses sur le matériau1.2.3. Elasticité linéaire

Un matériau est dit élastique s’il retrouve entièrement sa forme ou son

volume après avoir subi un cycle de charge/décharge quelconque.

Figure 1.5 : Comportement effort/déplacement de différents ressorts

non-élastiqueélastique

non-linéaire élastique

non-linéaireélastique

linéaire

Comportement des matériaux qui sera considéré par la suite

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1.3. Hypothèses fondamentales de la RdM1.3.1. Principe de Saint-Venant

Les résultats obtenus par un calcul de RdM sur une poutre ne sont

valables qu’à une distance suffisamment éloignée de la région

d’application des actions mécaniques extérieures concentrées et des

liaisons (distance égale à 2 fois la plus grande dimension transversale).

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1.3. Hypothèses fondamentales de la RdM1.3.2. Hypothèse de Navier-Bernoulli (hypothèse des petites déformations)

Avec hypothèse de petites déformations Sans hypothèse de petites déformations

Décalage

Pas de décalage Aprèsdéformation

Avantdéformation

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1.3. Hypothèses fondamentales de la RdM1.3.2. Hypothèse de Navier-Bernoulli (hypothèse des petites déformations)

Avec hypothèse de petites déformations Sans hypothèse de petites déformations

Aprèsdéformation

Avantdéformation

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1.3. Hypothèses fondamentales de la RdM

Les sections normales à la ligne moyenne restent planes et

normales à la ligne moyenne pendant la déformation de la poutre.

Déplacements de la section (S) :- translation dans la direction x noté u- translation dans la direction y noté v- translation dans la direction z noté w- rotation autour de l’axe x notée θx- rotation autour de l’axe y notée θy- rotation autour de l’axe z notée θz

Figure 1.6 : Visualisation de l'hypothèse de Navier-Bernoulli

x

y

z

(S)

(S’)

'vdxdvθz ==

'wdxdwθ y ==

1.3.2. Hypothèse de Navier-Bernoulli (hypothèse des petites déformations)

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1.3. Hypothèses fondamentales de la RdM

Simplification dans le cas des problèmes plans : déformation dans le plan (x,y)

O Ax

y

z(S)G

AO x

y(S)

G

(S’)G’

uv

θz = v’

Déplacements de la section (S) de G à G’ :- translation dans la direction x noté u- translation dans la direction y noté v- rotation autour de l’axe z notée θz

1.3.2. Hypothèse de Navier-Bernoulli (hypothèse des petites déformations)

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Poutre étudiée

Exemple :

1.4. Conditions aux limites

On désigne par conditions aux limites les 2 ensembles suivants :

- les chargements extérieures qui s’appliquent sur la poutre

- les liaisons de la poutre avec l’extérieur

1T

Conditions aux limites : - poids de 1T au milieu de la poutre

- liaison entre la poutre et les rouleaux

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1.4. Conditions aux limites1.4.1. Efforts extérieurs

Il existe 2 catégories d’efforts (ou actions mécaniques) extérieurs :

- les forces

- les moments (ou couples)

Ces forces extérieures peuvent être :

- concentrées,

- réparties de façon continue.

Figure 1.7 : action d'une voiture sur un pont Figure 1.8 : action de l'eau sur un barrage

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Forme générale d’un torseur d’effort extérieur réduit au point G :

Dans l’espace : Dans le plan :

1.4. Conditions aux limites1.4.1. Efforts extérieurs

{ }GG

G

G

G

G

G

GPoutreExt

NML

ZYX

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=→ { }

GG

G

G

GPoutreExt

N00

0YX

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=→

Résultante Moment en G

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1.4. Conditions aux limites1.4.2. Liaisons

A

L’appui simple suivant y :

Un appui simple est équivalent, dans le plan, à une

ponctuelle.

{ }A

AAPoutreExt

000

0Y0

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=→

L’appui simple suivant x : { }A

A

APoutreExt

000

00

XT

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=→

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1.4. Conditions aux limites1.4.2. Liaisons

L’articulation (autour de z) :

L’articulation est équivalente, dans le plan, à une liaison pivot

ou rotule.

{ }B

B

B

BPoutreExt

000

0YX

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=→

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1.4. Conditions aux limites1.4.2. Liaisons

L’encastrement : { }CC

C

C

CPoutreExt

N00

0YX

T⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=→