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TS3 Exercices sur la fonction exponentielle. 2010-2011 Exercice1. Pour chaque fonction ci-dessous, déterminer son ensemble de définition, l’ensemble de définition de sa fonction dérivée et calculer cette dérivée.

: exp( )f x x x−a ; 2: exp( )g x x x−a

exp( ): xh xx−a ;

2 1:exp(2 )

xk xx

−a ;

: cos( )exp( )l x ax axa , (a réel donné). : tan( ) exp( 2 )m x x x−a .

Exercice 2. Soit ( )nu une suite arithmétique définie sur ¥ , de raison r. Que peut-on dire de la suite

( )nv telle que : , exp( )n nn v u∀ ∈ =¥ ? Exercice 3. ( vrai _ faux) Est-il exact que : 1) a∀ ∈ ¡ , ( ) ( )exp 2 2 expa a= ? 2) pour tout réel a et tout réel b ,

2 2a b a be e e+ = × ? 3) pour tout réel a et tout réel b ,

2 22 a b a be e e+ = + ?

4) il existe un réel a et il existe un réel b, tels que 2 22 a b a be e e+ = + ?

5) il existe un réel a et il existe un réel b, tels que 2 2 2a b a be e e ++ < ?

( justification attendue pour chaque question) Exercice 4. ( d’après BAC C 1990)

Soit f la fonction définie sur ¡ par exp( ):exp( ) 1

xf xx +

a .

On désigne par fC la représentation graphique de la fonction f relativement à un repère orthonormal.

1) Montrer que le point 1(0, )2

A est un centre de symétrie pour la courbe fC .

2) Déterminer une équation de la tangente (T) à fC au point A. 3) Etudier la position de la courbe fC par rapport à la droite (T). Exercice 5. (un encadrement)

Montrer que : [ [0;x∀ ∈ +∞ , 2

1 12

x xx e x−− ≤ ≤ − + .

Exercice 6. ( d’après concours FESIC)

Soit la suite ( )un définie pour tout entier naturel n par : u0 0= et ue

un n+ = −11

1( ) .

Pour tout n ∈ ¥ , on pose : v uen n= −

−1

1 , S un k

k

n

==

∑0

et T vn kk

n

==

∑0

.

1) Montrer que la suite ( )vn est géométrique de raison 1e

.

2) En déduire que ue en

n=−

−1

11

1[( ) ] .

3) Calculer nS en fonction de n .

4) En déduire que, quel que soit n ∈ ¥ , le rapport 1

n nT Sn

−+

est constant.

Exercice 7. ( convexité de exp) Soient a et b deux réels .

1) Comparer 2a b

e+

et 2

a be e+ .

2) Interpréter graphiquement l’inégalité obtenue.

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Exercice 8. ( calculs de limites avec exp) 1) Livre n°21 à n°34 page 102.

2) Soit :1

xef xx −

a . Déterminer les limites de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition.

3) Soient a et b deux réels distincts non nuls. Déterminer :

a) 2

0lim

x x

x

e ex→

− puis, 0

limax bx

x

e ex→

− .

b) Déterminer 0

1limsin( )

x

x

ex→

− puis, 0

1limsin( )

ax

x

ebx→

− .

4) Déterminer 1 1

1lim x xx

x e e +

→+∞

−

.

Exercice 9. (dérivabilité en 0) Soit f la fonction définie sur ¡ par :

( )1

si 00 si 0

xe xf xx

− ≠= =

.

Etudier la dérivabilité de f en 0. Exercice 10. ( convergence vers e ) 1) Etudier les variations sur ¡ de la fonction : 1xf x e x− −a . 2) En déduire que : , 1xx e x∀ ∈ ≥ +¡ . Pour quelles valeurs de x l’inégalité est-elle stricte ?

3) Montrer que ] [ 1,1 ,1

xx ex

∀ ∈ −∞ ≤−

.

Pour quelles valeurs de x l’inégalité est-elle stricte ?

4) En déduire que, pour tout *n∈¥ , on a :11 11 1

n n

en n

+ + < < +

.

5) Pour tout *n∈¥ , on pose 11n

nun

= +

. Montrer que: 30 ne un

< − < .

En déduire la limite de la suite ( )nu lorsque n tend vers +∞ .

6) Déterminer un entier 1p ≥ tel que, pour n p≥ , on ait : 410ne u −− < . Exercice 11. ( dérivée de ( )u xx e→ ) Livre n°37 à n°44 page 103. Exercice 12. ( dérivablité en 0) Livre n°69 & n°72 page 107. Exercice 13. (dérivée n-ième) Livre n°77 page 108 ( sauf question 3) & n°78 page 109.