38027626 Cours Circuits Electriques

7/28/2019 38027626 Cours Circuits Electriques

http://slidepdf.com/reader/full/38027626-cours-circuits-electriques 1/43

1 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant

continu

Chapitre I :Etude et analyse des

circuits en courant continu

1 Dipôles électriques

1.1 Définition

Un dipôle est un élément d'un circuit électrique comportant deux

bornes. Il impose une relation entre la tension u à ses bornes et

l'intensité du courant i qui le traverse. La fonction f liant u à i :

( )u f i= imposée par le dipôle est appelée caractéristique du dipôle.

1.2 Dipôles passifs

Un dipôle passif est un dipôle récepteur qui transforme toute

l’énergie qu’il reçoit sous forme de chaleur.

1.2.1 Le résistor ( loi d’Ohm )

Un résistor est un dipôle linéaire passif qui si on lui applique entre ses

bornes A et B une d.d.p. - AB A B

U V V = , il sera parcouru par un courant

I tel que . AB

U I R= . R est appelée la résistance du dipôle. Cette loi

entre le courant et la tension dite loi d’Ohm est empirique et est

vérifiée par la plupart des dipôles passifs en régime continu. R

s'exprime en Ohm Ω.La caractéristique de transfert est une droite linéaire de pente R :

ISET Jerba Aloui Bechir Cours circuits

électriques




continu

L’inverse de la résistance est la conductance, souvent notée G, et

s’exprime en Siemens (abréviation S) :1

G R

= .

La difficulté avec laquelle les électrons circulent dans le résistor

s’accompagne d’un échauffement : c’est ce qu’on appelle l’effet Joule.

Cet échauffement, du point de vue du circuit électrique, est une perte

d’énergie par dissipation thermique. Pour une résistance R, et un

courant i et une tension U, cette puissance P J perdue dans le résistor

est égale à :

22. .

J

U P R I U I

R= = =

1.2.2 Le condensateur

Il est constitué de deux armatures conductrices séparées par un

isolant. En régime continu le condensateur est chargé par la d.d.p.

appliquée à ses bornes et il se comporte comme un interrupteur

ouvert : 0i = .

On définit sa capacité C comme le rapport de la charge accumulée

sur la tension appliquée à ses bornes : q

C u

=

L’unité de C est le Farad (F).


électriques




continu

Or le courant est la dérivée de la charge par rapport au temps :

( )dq

i t dt

= donc il vient : ( )du

i t C dt

= × en régime transitoire ( charge /

décharge ).

L’énergie stockée dans le condensateur est21

2 E C u= × × avec ( (0) 0)u =

.

1.2.3 La bobine

Elle est constituée de spires qui lorsqu'elles sont parcourues par un

courant continu se comportent comme un court-circuit.

Parcourue par un courant variable, la tension aux bornes est :

diu L

dt = ×

L : inductance en henry (H).

L’énergie stockée dans la bobine est 21

2 E L i= × × avec ( (0) 0)i = .

L'intérêt de ces deux dipôles réside dans les propriétés en régime

transitoire ou permanent sinusoïdal. Ils sont capables alors

d'emmagasiner de l'énergie puis de la restituer ultérieurement.

Cependant la puissance moyenne dissipée est toujours nulle.

1.3 Dipôles actifsOn s’intéresse ici aux dipôles générateurs de tension et de courant.

1.3.1 Générateur de tension

a- Générateur de tension idéal :

C’est un dipôle aux bornes duquel la tension reste constante quelle

que soit l’intensité du courant délivré. Cette tension est appelée force

électromotrice (f.é.m.). La caractéristique ( )u f i= est une droitehorizontale.


électriques




continu

b- Générateur de tension réel :

C’est un dipôle tel que, lorsque l’intensité du courant qu’il délivre croît

la tension à ces bornes décroît. La chute de tension est

proportionnelle à i ce qui est caractéristique d’une résistance.

g u E r i∆ = − ×

La caractéristique d’un générateur de tension réel est une droite ne

passant pas par l’origine de pente négative.

1.3.2 Générateur de courant

a- Générateur de courant idéal :

C’est un dipôle débitant un courant constant 0 I (courant

électromoteur c.é.m.) indépendant de la tension à ses bornes. La

caractéristique ( )i f u= est une droite horizontale. Lorsque le

générateur fonctionne comme générateur dans un circuit la tension

est comptée positive et orientée comme le courant.


électriques

i

( )u t Fonctionnemen

t en générateur

Fonctionnemen

t en récepteur

E

( )u t

( )i t

( )u t

( )i t

( )u t

( )i t

u

( )i t Fonctionnemen

t en générateur

Fonctionnemen

t en récepteur

i

( )u t

CC

g

E I

r =

Fonctionnemen

t en générateur

Fonctionnemen

t en récepteur E

( )u t

( )i t

u∆




continu

b- Générateur de courant réel :

C’est un dipôle à la sortie duquel il y a une chute de courant lorsque

la tension à ces bornes croît. Cette chute de courant i∆ est

proportionnelle à u et elle est associée à une résistance de

conductance g telle que i g u∆ = − × , l’intensité délivrée sera alors égale

à : 0i I g u= − × avec

1 g

r = conductance du générateur. Le modèle

équivalent, est l’association en parallèle d’un générateur de courant

idéal et d’une résistance r.

La caractéristique ( )i f u= est une droite ne passant pas par l’origine,

de pente négative. Lorsque la tension 0u = , c’est à dire lorsque ses

bornes sont court-circuitées le courant débité par le générateur estégal au c.é.m.. D’autre part lorsque la charge présente une résistance

infinie (autrement dit lorsque le générateur est en circuit ouvert 0i =

alors on relève aux bornes du générateur une tension 0r I × .

2 Lois de L’électrocinétique

2.1 Définitions• Un circuit est un ensemble de composants ou dipôles reliés par

des fils de connexion.

• Un nœud est un point de jonction entre trois fils de connexion

minimum.

• Une branche est constituée par un ensemble de dipôles montés

en série entre deux nœuds et parcourus par le même courant.


électriques

i g u×

( )u t 0 I

u

( )i t 0 I

0 I

U g

=




continu

• Une maille est un ensemble de branches formant un contour

fermé. Chaque nœud du contour est traversé une seule fois.

2.2 Lois de Kirchhoff

Gustar Kirchhoff : physicien allemand ( 1824-1887 ).

2.2.1 Loi des nœuds

La somme algébrique des courants vers le nœud est nulle.

courants entrant courants sortants 0− =∑ ∑En réalité on ne sait pas le sens correct du

courant pour cela on lui donne un sens

arbitraire. Après le calcul, les courants

obtenus négatifs ont des sens inversés.

Dans l’exemple ci contre : 1 2 3 4 50 I I I I I − − + − =

2.2.2 Loi des mailles

Cette loi est une conséquence de l'additivité

des tensions. Les tensions explicitées en

termes de différences de potentiels nous

permettent d'écrire pour la maille

considérée et orientée de façon arbitraire :

( - ) ( - ) ( - ) ( - ) 0 A B B C C D D A

V V V V V V V V + + + = .

Soit encore : 0 AB BC CD DA

U U U U + + + = .

Cette dernière relation ne préjuge en rien de la nature des dipôles dela maille. D'où la relation généralisée pour une maille orientée :

tensions de même sens positif tensions de sens opposé 0− =∑ ∑

2.2.3 Association des dipôles

En conséquence directe des lois de Kirchhoff, l’étude du

comportement des dipôles associés en série et/ou en parallèle est

devenu aisé.a- Cas des résistors


électriques




continu

• Association série

Les résistances i R sont toutes traversées par le même courant I et ont

une seule borne en commun avec un autre dipôle. La tension ADU est

égale à la somme des tensions aux bornes de chacun des dipôles :

( )1 2 3 1 2 3 AD AB BC CD éqU U U U R I R I R I R R R I R I = + + = × + × + × = + + × = ×

D’où la résistance équivalent à l’association de ces dipôles :

1 2 3éq R R R R= + + .

Dans le cas ou N dipôles sont associés en série, la résistance

équivalente s’exprime :1

N

éq i

i

R R=

= ∑ .

• Association parallèle

L’association de dipôles en parallèle se caractérise par le fait que tous

les dipôles ont leurs bornes en commun deux à deux. En conséquence

de quoi la tension aux bornes de chacun des dipôles est identique.

Le courant I qui alimente ces dipôles branchés en parallèle va alors se

repartir dans les dipôles tel que :

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 AB AB AB

AB AB

éq

U U U I I I I U U

R R R R R R R

= + + = + + = × + + = × ÷ ÷

D’où1 2 3

1 1 1 1

éq R R R R

= + + ÷ et en général :

1

1 1 N

iéq i R R== ∑


électriques




continu

b- Cas des condensateurs


Ona1

1

dU i

C dt = et

2

2

dU i

C dt = de plus 1 2dU dU i dU

C dt dt dt = = +

1 2

i i i

C C C = + soit

1 2

1 1 1

C C C = +

• Association parallèle

On a 1 1

dU i C dt = et 2 2

dU i C dt = × , de plus

( )1 2 1 2

dU dU i i i C C C

dt dt = + = + × = ×

Ceci montre que 1 2C C C = +

c- Cas des bobines


On a 1 1

di L U

dt = et 2 2

di L U

dt = de plus ( )1 2 1 2

di diU U U L L L

dt dt = + = + × = ×

Soit donc en équivalence : 1 2 L L L

= +• Association parallèle


électriques

i C1 C2

U1

U2

i C

U=U1+U

2

iC

U

iC

1

C2

U

U1

U2

U

L1

L2 L




continu

On a1

1

diU

L dt = et

2

2

diU

L dt = de plus

2 1

1 2

di diU di U U

L dt dt dt L L= = + = +

Soit finalement :1 2

1 1 1

L L L= +

2.3 Théorème de superposition

Dans un circuit linéaire contenant des sources indépendantes, le

courant ou la tension à chaque point dans le circuit est la somme

algébrique des contributions de chaque source agissant seule, les

autres sources supposée éteintes.

• Une source de tension éteinte ⇒ court-circuitée.

• Une source de courant éteinte ⇒ circuit ouvert.

Exemple 2.3 :

On cherche à montrer que le circuit suivant est équivalent à la

somme des deux circuits en dessous.


électriques

U

L1

L2

i

U

Li

+

E1

R

I

I2

I1

E2

A

B

VAB

E1

R 2

R

I’

I’2

I’1 A

B

V’AB

R 2I"

2

E2

A

B

R 2

V"AB

I"

I"1



10 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en

courant continu

Montrons que : 1 1 1' " I I I = + ; 2 2 2

' " I I I = + ; ' " I I I = + ; ' " AB AB ABV V V = +

Commençons par le circuit 1 où E2 est court-circuitée :

11'

'éq

E I

R= or

2

2

'éq

R R R

R R

×=

+

alors2

1 1

2

'R R

I E R R

+= ×

×

en suite 1' E R I = ×

1'E

I R

⇒ = on a aussi 1 2 2' E R I = × 1

2

2

'E

I R

⇒ =

On dégage simplement : 1' AB

V E =

Idem pour le circuit 2 où E1 est court-circuitée :

On a : " 0 AB

V =

22

2

"E

I

R

= − et 1 2" " I I = D’autre part : " 0 I =

Pour le circuit principal:

On a ABV R I = × et 1 AB

V E = et 2 2 2 ABV E R I = + ×

1 ' E

I I R

= = puisque " 0 I =

1 2 1 22 2 2

2 2 2

' " E E E E

I I I

R R R

−= = − = +

11

1 1 2 2 21 2 1

2 2 2

"' I I

E E E R R E I I I E

R R R R R

− += + = + = × −

×1 42 43

1'

AB ABV E V = = car " 0

ABV =

2.4 Théorème de Thevenin

Un circuit avec des sources autonomes de tension, de courant, et des

résistances peut être remplacé par un circuit équivalent constitué

d’une seule source de tension Eth en série avec une résistance Rth.

• Eth est égale à la tension à vide qui apparaît entre A et B

lorsque le reste du circuit est débranché.

• Rth est la résistance équivalente entre A et B lorsque les

sources autonomes de tension et de courant sont éteintes.


électriques

Dipôle étudié

Circuit

électrique

A

B

A

B

Eth

R th




courant continu

Procédure :

a- On supprime du circuit le dipôle cinétique étudié de bornes A et

B.

b- On éteint toutes les sources et on calcule la résistance

équivalente entre A et B th R→ :

• Une source de tension est court-circuitée.

• Une source de courant est un circuit ouvert.

c- On rétablit les sources et on calcule la tension entre A et B du

circuit ouvert ( dipôle étudié supprimé).

d- On remet le dipôle étudié et on calcule le courant avec le

générateur équivalent obtenu.

Exemple 2.4 :

On considère le circuit suivant :

On demande de déterminer le courant I et la tension VAB aux bornes

du dipôle AB en appliquant le théorème de Thevenin.

1 21 2

1 2

//th

R R R R R

R R

×= =

+

2 0 2 1 0 1 E I R E I R+ × = − × 1 2

0

1 2

E E I R R

−→ = +


électriques

E1

R 1

R 2

R

I

I2I

1

E2

A

B

VAB




courant continu

1 2 2 10 1 0 1 1 1 1 2

1 2 1 2 1 2

th AB

E E R R E V E I R E R E E

R R R R R R

−= = − × = − × = × + ×

+ + +

th

th

E I R R→ = + et th AB

th

E V R I R R R= × = × +

2.5 Théorème de Northon

Chaque circuit composé de sources autonomes et des dipôles passifs

est assimilable à une source de courant en parallèle avec une

résistance.

• La résistance est celle équivalente entre A et B lorsque les

sources sont éteintes : comme dans le cas de Thévenin.

• La source de courant débite un courant égal au courant de

court- circuit lorsque A et B sont liés.

Exemple 2.5 :

On considère l’exemple précédent ( exemple 2.4 ). On demande de

retrouver son modèle équivalent de Northon.

1 2

1 21 2// N

R R

R R R R R

×

= = +

En court-circuitant A et B on trouve que 1 2 N I I I = − d’autre part

11

1

E I

R=

et2

2

2

E I

R= − ce qui nous amène à :

1 2

1 2

N

E E I

R R= +


électriques

Circuit

électrique

A

B

A

B

I N

R N




courant continu

2.6 Théorème de Millman

Soit un nœud A de potentiel VA auquel sont liés des dipôles R1, R2 et

R3 comme le montre la figure suivante.

Montrons que :

31 2

1 2 3

1 2 3

1 1 1 A

V V V

R R RV

R R R

+ +=

+ +

Démo : on a

1

11

AV V

I R

−

= ;

2

22

AV V

I R

−

= ;

3

33

AV V

I R

−

=

Lois des nœuds : 1 2 30 I I I + + = → 31 2

1 2 3

0 A A AV V V V V V

R R R

−− −+ + =

→ 31 2

1 2 3 1 2 3

0 A A AV V V V V V

R R R R R R+ + − − − = → 31 2

1 2 3 1 2 3

1 1 1 A

V V V V

R R R R R R

× + + = + + ÷

Soit finalement :

31 2

1 2 3

1 2 3

1 1 1 A

V V V

R R RV

R R R

+ +=

+ +

Généralisation :1

i

i A

i

V

RV

R

=∑

∑


électriques

R 1

R 2

R 3

V1

VA

I1

I2

I3

V3

V2



14 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif

sinusoïdal

Chapitre II : Etude et analyse des

circuits en courant alternatif

1 Grandeurs caractéristiques des fonctions

périodiques

1.1 Signal périodique quelconque :

Une grandeur physique (tension, courant, etc.) est dite périodique si

elle reprend identiquement la même valeur à intervalles de temps

égaux.

Période T : temps minimal nécessaire pour retrouver la même valeur

de la fonction.

Fréquence F : inverse de la période.

1 F

T =

Valeur instantanée u(t) : la fonction elle-même.

Valeur maximale U : amplitude maximale ou de crête.

Valeur moyenne Umoy :

1( )

T

moyU u t dt T

α

α

+= ×∫

Valeur efficace Ueff :

2 21( )

T

eff

U u t dt T

α

α

+= ×

∫


électriques




sinusoïdal

1.2 Régime permanent sinusoïdal

On parle de régime permanent sinusoïdal lorsque l'évolution

temporelle des signaux correspond à des sinusoïdes. La formegénérale d'un signal sinusoïdal est donc :

( ) cos( )u t U t ω ϕ = +

Rappelons quelques définitions :

Phase instantanée : t+ω ϕ

Phase à l'origine: ϕ

Pulsation : ω

Période :2

T π

ω =

Fréquence :1

2 F

T

ω

π = =

Calculons les valeurs moyenne et efficace :

( )0

0cosT

moy t U

U dt T

ω ϕ + == ×∫

( ) ( )( )2 2

2 2

0 01 cos 2 0

2cosT T

eff t t U U U dt dt T T

ω ϕ ω ϕ + ++ = == × ×∫ ∫

( )( ) [ ]

( )( )2 2 2

2

0

0

0 0 21 cos 2 cos 2

2 2

T

T

T T

eff

U t

U U U t dt t dt

T T ω ϕ ω ϕ

÷= + = ÷ ÷

= + + × + ×∫ ∫ 1 4 4 44 2 4 4 4 43

Et enfin :2

eff

U U =

2 Représentations d'une grandeur sinusoïdale

Pour faciliter les calculs il est possible de faire appel à deux

représentations des grandeurs sinusoïdales. Ces deux représentations

consistent à associer à une grandeur sinusoïdale un vecteur tournant

dans un plan. La projection de ce vecteur sur l’axe origine de phase

peut alors donner accès à la grandeur considérée. La représentation

peut être graphique, il s'agit de la représentation de Fresnel. Elle peut


électriques




sinusoïdal

être analytique. En effet à tout vecteur on peut associer un nombre

complexe dont la partie réelle est égale à une composante de ce

vecteur et la partie imaginaire à l'autre composante dans un repère

orthonormé.

2.1 Représentation de Fresnel

Le vecteur de Fresnel associé à un signal sinusoïdal est un vecteur

tournant dont la vitesse angulaire est égale à la pulsation du signal.

La norme de ce vecteur est égale à l'amplitude maximale du signal

et l'angle polaire est à tout instant égal à la phase instantanée du

signal. La valeur algébrique du signal est donnée par la projection du

vecteur tournant sur l'axe de référence pour la phase.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

( )2 2( ) cos M h t H t ω ϕ = × + ( )1 1( ) cos M g t G t ω ϕ = × +

Lorsqu'on ne compose que des signaux de même période, on ne

s'intéresse en fait qu'aux déphasages relatifs. Il n'est donc pas

nécessaire de faire tourner les vecteurs. On se contente d'un vecteur

fixe ayant pour norme l'amplitude maximale du signal et pour angle

polaire son déphasage.


électriques

GM 2 2

t ω ϕ +

+H

M

1 1t ω ϕ +

GM

2ϕ

+

1ϕ φ H

M




sinusoïdal

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Dans le cas de plusieurs signaux de même fréquence, l’un d’eux est

utilisé comme origine pour les phases.

Dans cette représentation, on utilise les propriétés géométriques de

la figure obtenue pour la résolution du problème.

En plus, la valeur maximale est proportionnelle à la valeur efficace, donc on peut raisonner sur un vecteur d’amplitude

la valeur efficace.

La représentation de Fresnel, n’est facilement exploitable en

électricité que pour des circuits très simples.

Dérivation et intégration :

Soit ( ) cos( )u t U t ω ϕ = + alors '( ) sin( )u t U t ω ω ϕ = − × × + .

Comme cos( ) sin2

x xπ

+ = − alors '( ) cos( )2

u t U t π

ω ω ϕ = × × + + ceci dit que

la dérivation d’un vecteur revient à une multiplication par ω et une

avance de phase de2

π

.

Soit ( ) cos( )u t U t ω ϕ = + alors ( ) sin( )U

u t t ω ϕ ω

= × +∫ .

Comme cos( ) sin2

x xπ − = alors ( ) cos( )

2

U u t t

π ω ϕ

ω = × + −∫ ceci dit que

l’intégration d’un vecteur revient à une division par ω et un retard de

phase de2

π

.


électriques

1 2φ ϕ ϕ = −

U

ϕ 2

π ϕ +

U ω ×

U

ω

2

π ϕ −




sinusoïdal

Exemple :

On donne la figure suivante :

( ) ( ) ( )e s

V t R I t V t ω ω ω = × + et( )

( ) sdV t

I t C dt

ω ω = ×

1( ) ( )

2 sV t I t

C

π ω ω

ω = × −

( )2

2 2

2 21

e

Z

I V RI I RC C ω ω

= + = × + ÷ 1 44 2 4 43

2.2 Représentation complexe

L’analogie entre le plan de Fresnel et le plan complexe conduit

naturellement à représenter les vecteurs tournants associés aux

grandeurs électriques sinusoïdales par des grandeurs complexes.

2.2.1 Notations

Une grandeur G sera notée en représentation complexe par G et son

conjugué par *G .

Pour éviter toute confusion avec les courants, l’opérateur imaginaire i

est noté j avec 2 21 , j

j j eπ

= − = .

Les parties réelle et imaginaire de G sont notées respectivement :

( )Gℑ et ( )Gℜ . Au vecteur G on associe le complexe ( ) ( )G G j G= ℜ + ×ℑ .

Ainsi à l’intensité ( ) cos( ) M ii t I t ω ϕ = × + on fait correspondre

( )( ) e i j t

M i t I ω ϕ += × et à la tension ( ) cos( ) M vv t V t ω ϕ = × + , on fait

correspondre ( )( ) e v j t

M v t V

ω ϕ += × . De cette façon la grandeur physique

sera toujours la partie réelle de la grandeur complexe associée.


électriques

Ve(t) Vs(t)

R

C

I(t)

I

C ω

+

RI Ve




sinusoïdal

En effet : ( ) ( )( )( ) cos( ) ( ) e i j t

M i M i t I t i t I ω ϕ

ω ϕ += × + =ℜ = ℜ ×

De même : ( ) ( )( )( ) cos( ) ( ) e v j t

M v M v t V t v t V ω ϕ

ω ϕ += × + = ℜ =ℜ ×

2.2.2 Dérivation et intégration complexe

Soit ( )( ) e v j t

M v t V ω ϕ += × alors :

( )'( ) e ( )v j t

M v t V j j v t ω ϕ

ω ω += × × = × la dérivation d’un complexe

revient à une multiplication par jω .

( )1 1

( ) e ( )

v j t

M v t dt V v t j j

ω ϕ

ω ω

+

× = × × = ×∫ l’intégration d’un complexe

revient à une division par jω .

2.2.3 Amplitude complexe

On définit l’amplitude complexe de ( ) telque ( ) j t I i t i t I e ω = × et V

de ( ) telque ( ) j t v t v t V e ω = × comme suit :

2

2

i i

v v

j j

M

j j

M

I I e I e

V V e V e

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= × = × ×

= × = × × V et I étant les valeurs efficaces.

2.2.4 Impédance complexe

On défini l'impédance complexe d’un dipôle parcouru par le courant

( )i t et ayant aux bornes la tension ( )v t par le rapport Z entre la

tension complexe aux bornes du dipôle et le courant complexe qui le

traverse :

( ) ( ) ( )( ) 2

( ) 2

v

v i

i

j j j j

j

v t V V e V V Z e e Z e

i t I I I I e

ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

−× ×= = = = × = × = ×

× ×avec v i

ϕ ϕ ϕ = − .

( ) cos( ) sin( ) j

Z Z e Z j Z R j X ϕ

ϕ ϕ = × = × + × × = + ×

cos( ) R Z ϕ = × est appelée résistance et sin( ) X Z ϕ = × est appelée

réactance.


électriques




sinusoïdal

2 2 2cos ( ) R Z ϕ = × et 2 2 2sin ( ) X Z ϕ = × → 2 2 2 X R Z + = et enfin : 2 2 Z R X = +

Le déphasage ϕ introduit par l’impédance est tel que ( )X

tg R

ϕ = soit :

1 X tg

Rϕ − = ÷

2.2.5 Admittance complexe

Z R j X = + ×

Par analogie avec la conductance 1/R, on définit l’ admittance

complexe :

2 2 2 2 2 2

1 1 R jX R X Y j A j B

Z R jX R X R X R X

−= = = = − = + ×

+ + + +

2 2

R A

R X =

+: une conductance et

2 2

X B

R X = −

+: une susceptance.

3 Dipôles linéaires en régime sinusoïdal

Considérons les cas des trois dipôles de base :

3.1 Le résistor

( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t R i t v t R i t Z i t Z R= × → = × = × → =

L’impédance d’un résistor est sa résistance.

3.2 Le condensateur idéal

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t i t dt v t i t dt i t Z i t Z

C C C j jC ω ω = × × → = × × = × × = × → =∫ ∫

L’impédance d’un condensateur de capacité C est : 21 1 j

Z e jC C

π

ω ω

−= = × .

3.3 La bobine idéale

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )di t d i t v t L v t L L j i t Z i t Z jLdt dt

ω ω = × → = × = × × = × → =


électriques




sinusoïdal

L’impédance d’une bobine d’inductance L est : 2 j

Z jL L eπ

ω ω = = × .

3.4 Association d’impédances

Soient les trois impédances 1 1 1 Z R j X = + × , 2 2 2 Z R j X = + × et 3 3 3 Z R j X = + ×

3.4.1 Association série

On prend i comme origine des phases

2 j t j t i I e I eω ω = × = × × et 2 j t j j t v V e V e eω ϕ ω = × = × × ×

Alors j jv V

Z e Z ei I

ϕ ϕ = = × = ×

( )1 2 3 1 2 3v v v v i Z Z Z = + + = × + +

( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3m

v Z Z Z Z R R R j X X X Z R jX

i= = + + = + + + + + = = +∑ avec :

m R R= ∑ , m X X = ∑ , ( ) ( )2 2

m m Z R X = +∑ ∑ et ( ) m

m

X tg

Rϕ = ∑

∑

3.4.2 Association parallèle

1 1 2 2v Z i Z i= × = × et 1 2i i i= +

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

1 1 1

1 1

Z Z v v vi v Z

Z Z Z Z i Z Z

Z Z

×= + = + → = = =

++

÷


électriques

1 Z 2 Z 3 Z

1v 2v 3v

i

v

Z

v

i

i

1 Z

2 Z v

1i 2

i

i

Z v




sinusoïdal

Au contraire de l’association série, le calcul de l’impédance

équivalente est un travail laborieux. Toutefois, les règles vues en

continu restent vraies pour les impédances (complexes).

En général pour n impédances on a :

1

1

1n

i i

Z

Z =

=∑ ou encore :

1

j

n

j

i j i

Z

Z

Z

= ≠

= ∏∑∏ .

4 Circuits résonnants

4.1 Circuit RLC série

4.1.1 Impédance équivalente

( ) 2 j t i t I e ω = × × et ( ) 2 j j t v t V e eϕ ω = × × ×

D’autre part :( ) 1

( ) ( ) ( )d i t

v t R i t L i t dt dt C

= × + × + × ×∫

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t R i t j L i t i t R j L i t

j C j C ω ω

ω ω

= × + × + × = + + × ÷

( )1 1 Z R j L R j L

j C C ω ω

ω ω

= + + = + − ; le module est

2

21

Z R LC

ω

ω

= + − ÷

On constate que l’impédance dépend de ω donc de la fréquence.

Z est minimale pour 0

0

1 L

C ω

ω = donc pour 0

1

LC ω = et m Z R= .


électriques

R L C

( )v t

( )i t




sinusoïdal

4.1.2 Résonance

Le courant I passe par un maximum lorsque Z est minimale ( )0ω ω =

.

C’est la résonnance du courant.

On obtient pour 2 R = Ω , 5 L mH = , 5C mF = et 20V V = une résonnance

de courant pour 1200 rad sω −= × comme le montre la figure suivante :

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

ω en radian /s

Z

i

4.1.3 Déphasage

Pour ce circuit on a ( )1 Z R j L

C ω

ω

= + − donc1

tg

LC

R

ω ω

ϕ =

−et

cos 0 R

Z ϕ = > alors

2 2

π π ϕ − < < ; de plus pour 0ω ω = (résonnance), 0ϕ =

donc le courant et la tension sont en phase. Pour 0ω ω < le courant est

en avance par rapport à la tension (le caractère capacitif domine) etpour 0ω ω > , le courant est en retard par rapport à la tension (le

caractère inductif domine).


électriques




sinusoïdal

4.1.4 Facteur de qualité

Cherchons les valeurs de ω pour lesquelles1

X R LC

ω ω

= ±− = donc

résoudre l’équation : 2 1 0 LC RC ω ω ± − = on a

2 2 4 0 R C LC ∆ = + >

Les solutions sont :2 2 4

2

RC R C LC

LC ω

± ± += , les deux solutions

retenues :2 2

1

4

2

RC R C LC

LC ω

− + += et

2 2

2

4

2

RC R C LC

LC ω

+ + +=

( 2 1, 0ω ω > )

On définit le facteur de qualité du circuit par :0

2 1

Qω

ω ω =

−

Ce facteur de qualité caractérise la largeur de la résonance. Celle-ci

est d'autant plus étroite que le facteur de qualité est grand. En

reportant les expressions des trois pulsations nous obtenons pour le

facteur de qualité :

1 LQ

R C =

4.2 Circuit RLC parallèle

4.2.1 Impédance du circuit

( ) 2 j t i t I e ω = × × et ( ) 2 j j t v t V e eϕ ω = × × ×

D’autre part :( ) 1

( ) ( ) ( ) L L C

d i t v t R i t L i t dt

dt C = × + × = × ×∫

( ) ( ) ( ) ( )1 L C i t i t i t j C v t

R j Lω

ω = + = + × ÷+


électriques

R

LC ( )v t

( )i t ( )C

i t ( ) Li t




sinusoïdal

( ) ( )21

1

1 1 Z

jC j C

R j L

R j L R j L

R j L CL j RC ω

ω

ω ω

ω ω ω ω =

+ −++

+ += =

+ + ; le

module est( )

2 2 2

22 2 2 21

Z R L

CL C R

ω

ω ω

= +− +

: Z est maximale pour

2

0 1 LC ω = donc pour 0

1

LC ω = et 21

M

L C Z R

CR L= + ×

4.2.2 Résonance

Le courant I passe par un minimum lorsque Z est maximale ( )0ω ω = c’est un circuit bouchon ( 0 I ; ).

On obtient pour 2 R = Ω , 1 L mH = , 10C F µ = et 20V V = une résonnance

pour 4 110 rad sω −= × comme le montre la figure suivante :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

0

10

20

30

40

50

60

ω en radian /s

Z

i

4.2.3 Déphasage

Pour ce circuit on a( )21

Z R j L

CL j RC

ω

ω ω −

+=

+( )( )

( )

2 2

22 2 2 2

1

1

R j L CL R C

CL R C

ω ω ω

ω ω

−

−

+ −=

+

donc

( )2 21 L CL R C

tg R

ω ω ω

ϕ

− −

= et cos 0

R

Z ϕ = > alors 2 2

π π

ϕ − < < ; de plus


électriques




sinusoïdal

pour 0ω ω = (résonnance), 0C

tg R L

ϕ = − × < donc 0ϕ < le courant est en

avance de phase.

4.2.4 Facteur de qualité

( )( )

0

0

1 1 1Q L

R R C ω

ω = × = × →

1 LQC R

=

5 Puissance en régime sinusoïdal

5.1 Puissance instantanée

Nous avons vu qu'en convention récepteur la puissance reçue par un

dipôle s'écrit : ( ) ( ) ( ) p t v t i t = × .

Avec :( )

( ) 2 cos

( ) 2 cos

v t V t

i t I t

ω

ω ϕ

=

= +on écrit : ( )( ) 2 cos cos p t I V t t ω ω ϕ = × × × +

Comme [ ]1

cos cos cos( ) cos( )2

a b a b a b× = − + + alors on écrit la

puissance ( ) p t :

( )( ) cos cos 2 p t I V I V t ϕ ω ϕ = × + × +

Le premier terme c’est la puissance dite active, le deuxième terme

est une puissance fluctuante à fréquence double dont la moyenne est

nulle.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

5.2 Puissance active

C’est la puissance moyenne consommée et transformée en travail et

exprimée en Watt.


électriques




sinusoïdal

( ) ( ) p t p t dt < > = =∫ ( )( )cos cos 2 cos I V I V t dt VI ϕ ω ϕ ϕ × + × + =∫ cos P VI ϕ =

Dans le cas d’un dipôle résistif cos 1ϕ = et donc : P VI =

On constate que dans le cas d’un circuit purement inductif ou

purement capacitif le déphasage est2

π ± → cos 0ϕ = d’où la puissance

moyenne nulle. Le condensateur et l’inductance ne consomment pas

de la puissance active.

5.3 Puissance réactive

Par symétrie avec la puissance active, on définit la puissance réactive

Q tel que : sinQ VI ϕ =

Pour un dipôle résistif sin 0ϕ = , alors il n’a aucun trait à la puissance

réactive.

Pour un condensateur, 2

π

ϕ = − → sin 1ϕ = − et

22

0

I

Q VI C V C ω ω = − = − × = − <

donc un condensateur fournit de la puissance réactive.

Pour une bobine,2

π ϕ = + → sin 1ϕ = et

22

0V

Q VI L I L

ω ω

= = × = > donc une

bobine reçoit de la puissance réactive.

5.4 Puissance apparente et facteur de puissance

La puissance apparente consommée par un dipôle est définie par le

produit des valeurs efficaces de la tension et du courant : S V I = ×

2 2 2 2 2S V I P Q= × = + soit 2 2S P Q= +

Le facteur de puissance est définit par p

S λ = avec cos P VI ϕ = donc

cosλ ϕ = .

On peut donc déduire les formules et les règles suivantes :- cos cos P VI S ϕ ϕ = =


électriques




sinusoïdal

- sin sinQ VI S P tg ϕ ϕ ϕ = = = ×

-Q

tg P

ϕ = ; 2 2cos

P P

S P Qϕ = =

+

-2 2 2

S P Q= + d’où la représentation du triangle des puissances :

Pour une impédance z R jX z ϕ = + = ∠ , parcourue par un courant I on

a :

- 2S z I = ×- 2 P R I = ×

- 2Q X I = ×

5.5 Puissance complexe

On définit la puissance complexe par : *1

2 P V I = × × où V et * I sont

respectivement les amplitudes complexes de ( )v t et*

( )i t conjugué de

( )i t .

2 v jV V e ϕ = × et * 2 i j I I e ϕ −= × .

( )v i j j P VI e VI eϕ ϕ ϕ −= × = × → ( )cos sin cos sin P VI j VI jVI ϕ ϕ ϕ ϕ = + = +

P P jQ= +

6 Conclusion

Au cours de ce chapitre on a étudié les circuits électriques en régime

sinusoïdal monophasé. On a mis en évidence l’importance du

déphasage et de la fréquence dans le comportement des circuits

linéaires en régime permanent sinusoïdal.


électriques

Q

P

S ϕ




triphasé

Chapitre III : Les systèmes

triphasés

1 Constitution

1.1 Expérimentation

On place trois bobines suivant la disposition montrée en Fig I.1, leurs

axes sont décalés entre eux de2

3

π . Un aimant qui tourne au centre

induit une f.e.m e dans chacune. La f.e.m est maximale, maxe E = ,

lorsque le flux traversant la bobine est maximal (aimant en face). On

note 1e , 2e , 3e les f.e.m induites respectivement dans les bobines 1, 2

et 3.

Si on considère qu’à 0t = , 1e est maximale,

alors :

( ) ( )

( )

( )

1 max max

2 max max

3 max max

cos cos

2 2cos cos

3 3

4 4cos cos

3 3

t t

t t

t t

e E E

e E E

e E E

θ ω

π π θ ω

π π θ ω

=

− = − ÷ ÷ − = − ÷ ÷

=

=

=

Le système conçu est un générateur de tensions alternatives

sinusoïdales triphasées.

En considérant 0t = lorsque 1e est nulle,

2t π θ ω = − , le système aura comme équations :


électriques

3e

1e

2e

θ

Fig III.1 : Générateur triphasé

( ) ( )

( )

( )

1 max

2 max

3 max

sin

2

sin 3

4sin

3

t t

t t

t t

e E

e E

e E

ω

π

ω

π ω

− ÷

− ÷

=

==




triphasé

Si les bobines sont chargées, un système triphasé de courants

sinusoïdaux s’établit.

1.2 Représentation des tensionsLes trois phases sont livrées avec un neutre commun. On verra plus

tard la notion de couplage. Elles sont repérées par des chiffres (1, 2,

3) ou encore par des lettres (A, B, C) ou (R, S, T). Le neutre est noté

N. Les tensions simples mesurées par rapport au neutre sont notées

(v1, v2, v3) alors que les tensions composées mesurées entre les

phases sont notées (u12, u23, u31).

1.3 Le système triphasé : quel intérêt ?

Deux raisons majeures donnent une importance au système triphasé :

• Pertes au cours du transport : pour transporter la même puissance en

monophasé qu’en triphasé, les pertes joules sont diminués en

triphasé. Le calcul suivant le met en évidence.

Monophasé Triphasé

Puissance cos P V I ϕ = × × 3 ' cos P V I ϕ = × × ×

Courant I '3

I I =

Pertes joules2

2 6 ' j j P R I P = × × = ×2

21' 3

3 3 j

I P R R I

= × × = × × ÷

Les pertes sont six fois plus importantes. Elles sont le double en

utilisant en triphasé des câbles de section trois fois plus petite qu’enmonophasé.


électriques

Fig III.2 : Tensions simples et tensions

composées

12

3

N

u12

u23

u31

V1

V2

V3

12

3

N




triphasé

• Les moteurs triphasés sont plus puissants que ceux monophasés de

même masse.

2 Système équilibré de tensions

2.1 Tensions simples

2.1.1 Oscillogramme

Les tensions simples ont la même valeur efficace et sont déphasées

l’une par rapport à l’autre de 2

3

π

par conséquent leurs somme est

nulle. Le système est dit équilibré.

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 5pi/2-600

0

600

tensions simples

angle en radian

A m p l i t u d e

V1

V2

V3

2.1.2 Représentation complexe

La représentation complexe des tensions permet de simplifier les

calculs.


électriques




triphasé

( ) ( )

( )

( )

1

2

3

2 sin

22 sin

3

42 sin3

v t V t

t V t

t V t

v

v

ω

π ω

π ω

× × − ⇒ ÷

× − ÷

=

=

=

( )1

2

32

4

3

3

2

2

2

j t

j t

j t

V e

V V e

V V e

V ω

π ω

π ω

− ÷

− ÷

×

× ⇒

×

=

=

=

1 1

2

32 1

4

3

3 1

j

j

V e

V e

V V

V

V

π

π

−

−

× ×

=

=

=

2.1.3 Représentation vectorielle

Chaque tension est décrite par un vecteur tournant de module

l’amplitude maximale de la dite tension et d’argument sa phase

instantanée.

( ) ( )

( )

( )

1

2

3

2 sin

22 sin

3

42 sin

3

v t V t

t V t

t V t

v

v

ω

π ω

π ω

× × − ÷

× − ÷

=

=

=

La représentation de Fresnel donne une disposition des vecteurs

tension en un instant quelconque. On choisit ici l’instant 0t = .

Les vecteurs sont :

1

2

0

V V

÷ ÷

r, 2

2

2

3

V

V π

÷

− ÷ ÷

r, et 3

2

4

3

V

V π

÷

− ÷ ÷

r.

On a à tout instant 1 2 3 0V V V + + = .

2.2 Tensions composées

2.2.1 Définition

Se sont les tensions entre phases, elles sont de même fréquence que

les tensions simples.

12 1 2 12 1 2u v v U V V = − ⇒ = −

23 2 3 23 2 3u v v U V V = − ⇒ = −

31 3 1 31 3 1u v v U V V = − ⇒ = −


électriques

Fig.III.4 : Tensions simples

O

1V

3V

2V




triphasé

2.2.2 Vecteurs de Fresnel associés

Calculons les tensions complexes composées :

2

3 612 1 2 1 1 1 1

1 3 3 31 1 3

2 2 2 2

j j

U V V V e V j V j V eπ π

− = − = − = − − − = + = × × ÷ ÷ ÷ ÷

÷ ÷ ÷

2

3 623 2 3 2 21 3

j j

U V V V e V eπ π

− = − = − = × × ÷

2

3 631 3 1 3 31 3

j j

U V V V e V eπ π

− = − = − = × × ÷

2.2.3 Equations horaires et oscillogrammes

( )12 2 sin6

u t U t π

ω × + ÷

= ( )23 2 sin2

t U t uπ

ω × − ÷

=

( )31

72 sin

6t U t u

π ω

× − ÷

=


électriques

1V

3V

2V

12U

31U

23U

Fig.III.8: Tensions composées

1V

3V

2V

2V −12U

31U

1V −

3V −

23U




triphasé

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 5pi/2-600

0

600tensions simples et composées

angle en radian

A m p l i t u d e

Fig.III.9: Oscillogramme des tensions composées

3 Récepteurs triphasés

Un récepteur triphasé est constitué de trois impédances reliées entre

eux et alimentées par les trois phases et éventuellement le neutre. La

façon de relier les impédances s’appelle couplage.

3.1 Couplage étoile (Y)

Chaque impédance est reliée aux autres par la même extrémité.

1 1i j= , 2 2i j= et 3 3i j=


électriques

1 z

2 z

3 z

N

Fig.III.10 : Couplage étoile

1 j

2 j

3 j

1i

2i

3i

1v

2v

3v

N




triphasé

1 1 1v z j= × , 2 2 2

v z j= × et 3 3 3v z j= ×

3.2 Couplage triangle (∆)

Les impédances de la charge sont reliées de sorte à constituer un

triangle dont ils occupent les côtés.

1 1 3i j j= − , 2 2 1

i j j= − et 3 3 2i j j= −

12 1 1u z j= × , 23 2 2

u z j= × et 31 3 3u z j= ×

3.3 Récepteur triphasé équilibré

3.3.1 Couplage étoile

Pour un récepteur équilibré couplé en étoile, les courants de ligne et

de phase sont identiques. 1 1i j= , 2 2

i j= et 3 3i j=

De plus 1 1 1v z j= × , 2 2 2

v z j= × et 3 3 3v z j= × comme 1 2 3

0v v v+ + = alors

( )1 2 3

10v v v

z

× + + = soit encore 31 2 0vv v

z z z

+ + = ÷

donc 1 2 30 j j j+ + =


électriques

1 z

2 z

3 z

Fig.III.11 : Couplage triangle

1 j

2 j

3 j

1i

2i

3i

1v

2v

3v

N

z

z

z

N i

Fig.III.12 : récepteur équilibré : étoile

1 j

2 j

3 j

1i

2i

3i

1v

2v

3v

N




triphasé

La somme des courants dans le récepteur triphasé équilibré couplé en

étoile est nulle. On en déduit que le courant du neutre est nul : 0 N i = .

11

2 2 j t j t

j

v V e V j e e

z z e z

ω ω ϕ

ϕ

−= = = × ×

2 j t I e eω ϕ −= × × ( ), I V ϕ

2

3

22

j t

j I e e

π ω

ϕ

− ÷ − = × ×

4

3

32

j t

j I e e

π ω

ϕ

− ÷ − = × ×

Puissance par phase : 1

cos p VI ϕ =

Puissance totale : 13 3 cos 3 cos p p VI UI ϕ ϕ = × = × = ×

Puissance réactive : 3 sinQ UI ϕ = ×

Puissance apparente : 2 23S UI p Q= × = +

Pertes joules : si le neutre n’est pas disponible, on mesure la

résistance entre phases R et en déduit celle par phase 2

R

r = .

2 2 233 3

2 2 j

R p r I I R I = × × = × × = × ×

3.3.2 Couplage triangle

Pour un récepteur équilibré couplé en triangle, les courants de ligne

et de phase sont reliés comme suit : 1 1 3i j j= − , 2 2 1i j j= − et 3 3 2i j j= −


électriques

1V

3V

2V

1 I

2 I

3 I

ϕ

ϕ

ϕ

z

z

z

Fig.III.14 : Récepteur équilibré :

triangle

1 j

2 j

3 j

1i

2i

3i

1v

2v

3v

N 31u

12

u

23u




triphasé

Il est évident que 1 2 30i i i+ + = puisque il ya absence du neutre.

De plus 12 1u z j= × , 23 2

u z j= × et 31 3u z j= × comme 12 23 31

0u u u+ + = alors

( )12 23 31

10u u u

z × + + = soit encore 23 3112 0

u uu

z z z

+ + = ÷

donc1 2 3

0 j j j+ + =

La somme des courants dans le récepteur triphasé équilibré couplé en

triangle est nulle. On en déduit que le courant du neutre est nul :

0 N i = .

6612

1

3 2 6 j t

j t

j

u V e V j e e

z z e z

π ω π

ω ϕ

ϕ

+ ÷ + ÷ − × × ×= = = × ×

×

62 j t

J e eπ ω

ϕ + ÷ − = × ×

2

3 6 2

22 2

j t j t

j J e e J e e

π π π ω ω

ϕ ϕ

− + − ÷ ÷− − = × × = × ×

4 7

3 6 6

32 2

j t j t

j J e e J e e

π π π ω ω

ϕ ϕ

− + − ÷ ÷− − = × × = × ×

( , ) ( , ) I V J U ϕ ϕ =

4

3 61 1 3 1 1 1 1

1 3 3 31 1 ( ) 3

2 2 2 2

j j

i j j j e j j j j j eπ π − − = − = × − = × − − + = × − = × × ÷ ÷ ÷ ÷ ÷

( )6 61

2 3 2 j t j

j t i J e e e I e

π π ω ω ϕ ϕ

+ − ÷ −− = × × × × × = × ×

3 I J = ×

Puissance par phase : 1cos p UJ ϕ = avec ( , ) ( , ) J U I V ϕ ϕ = .

Puissance totale : 13 3 cos 3 cos p p UJ UI ϕ ϕ = × = × = ×

Puissance réactive : 3 sinQ UI ϕ = ×

Puissance apparente : 2 23S UI p Q= × = +

Pertes joules : on mesure la résistance entre phases ( )// 2 R r r = et

en déduit celle par phase r .2 2

3 3

r r R r

r

×= =


électriques

1V

3V

2V 1 I

6

π ϕ −

1 j6

π ϕ −

6

π ϕ −

2 j

3 j

3 j−

ϕ −




triphasé

2 2 23 33 3

2 2 j

p r J R J R I = × × = × × = × ×

3.3.3 Conclusion

On remarque que quel que soit le couplage, les puissancess’expriment toujours de la même façon en fonction de la tension

composée U et le courant de ligne I. Les pertes joules sont

s’expriment aussi de la même manière en fonction de la résistance

mesurée entre phases.

3.4 Récepteur triphasé déséquilibré

3.4.1 Couplage étoile

Pour un récepteur déséquilibré, il est indispensable d’avoir un

conducteur neutre qui va circuler la résultante des courants dans les

phases.

On considères les impédances : 1 1 1 z z ϕ = ∠ , 2 2 2

z z ϕ = ∠ et 3 3 3 z z ϕ = ∠

alors :

11

1

v j

z

= ;2

2

2

v j

z

= et3

3

3

v j

z

=

2 31

2 42 4

3 33 3

1 2 3 1 1

1 2 3 1 2 3

1 j j j j

j

N

e e e e e j j j v v i

z z z z z z

π π π π ϕ ϕ ϕ

− + − +− − ÷ ÷− ÷ ÷+ + = + + = + + = ÷ ÷ ÷ ÷

4 Théorème de Fortescue (composantes

symétriques)


électriques

1 z

2 z

3 z

N i

Fig.III.16 : récepteur déséquilibré :étoile

1 j

2 j

3 j

1i

2i

3i

1v

2v

3v

N

O

1V

3V

2V

+

Fig.III.5: Système direct




triphasé

Pour un système triphasé équilibré direct on a :

1 1

2 4

23 32 1 1 1

4 2

3 33 1 1 1

j j

j j

V e e a

V e e a

V V

V V V

V V V

π π

π π

−

−

× = × = ×

× = × = ×

=

=

=

2

3 j

a eπ

= ,4

2 3 j

a eπ

=

21 0a a+ + =

Pour un système triphasé équilibré inverse

on a :

1 1

2 1

2

3 1

V a

V a

V V

V

V

× ×

===

Pour un système homopolaire

1 2 3V V V = =

Soit un système triphasé déséquilibré de grandeurs sinusoïdales, de

tensions simples V1, V2, V3.

On peut donc considérer ce système déséquilibré comme la

superposition de 3 systèmes équilibrés :

• Un système homopolaire définit par 3 grandeurs ayant le même

module et le même argument : OV OV OV

• Un système direct définit par 3 grandeurs ayant le même

module et d’arguments différents : d V 2

d a V d aV

• Un système inverse définit par 3 grandeurs ayant le même

module et d’arguments différents : iV iaV 2

ia V

Les vecteurs Vo, Vd et Vi sont appelés composantes ou coordonnéessymétriques du système de vecteurs V1, V2, V3.


électriques

O

1V

2V

3V

+

Fig.III.6 : Système inverse

Fig.III.7 : Système homopolaire

1V

2V 3V

O




triphasé

Le système déséquilibré s’écrit alors :

1

2

2

23

O d i

O d i

O d i

V V V V

V V a V aV

V V aV a V

= + + = + +

= + +

⇒

1

2

2

23

1 1 1

1

1

O

d

i

V V

V a a V

V a a V

= ×

2

3

2

1 1 1

1

1

F a a

a a

=

⇒ 1 2

3

2

1 1 11

13

1

F a a

a a

−

=

12

2

2

3

1 1 111

31

O

d

i

V V V a a V

V a a V

= ×

⇒

( )

( )

( )

1 2 3

2

1 2 3

2

1 2 3

1

3

1

3

1

3

O

d

i

V V V V

V V aV a V

V V a V aV

= + +

= + + = + +

Cette formule s’applique aussi pour les courants déséquilibrés.

Les composantes symétriques permettent surtout d’étudier le

fonctionnement d’un réseau polyphasé de constitution symétrique

lorsqu’ on lui branche en un de ses points un récepteur déséquilibré.Soit parce qu’il s’agit effectivement d’une charge non équilibrée soit

plus fréquemment lorsque se produit un court circuit. Son utilisation

exige que l’on puisse pratiquer le principe de superposition, c'est à

dire que les relations doivent être linéaires ce qui signifie absence de

saturation et de distorsion.

Exemple graphique :

Représentation graphique de la transformation de Fortescue et de son

inverse, sur un système de courants triphasés.


électriques




triphasé

5 Puissance d’une installation (théorème de

Boucherot)

La méthode de Boucherot permet, en régime sinusoïdal de tension

et de courant, de calculer la puissance totale consommée par une

installation électrique comportant plusieurs dipôles électriques de

facteurs de puissance différents, ainsi que l'intensité totale appelée.

• Pour chaque dipôle i D on calcule la puissance active i P et la

puissance réactive iQ .

• L’installation consomme T i P P = ∑ et T iQ Q= ∑ .

• On en déduit 2 2

T T T S P Q= + , d’où l’intensité totale T I :

T

T

S I

U = en monophasé.

3

T T

S I

U = en triphasé.

Cette méthode s’applique aux systèmes monophasés et triphasés.


électriques



SOMMAIRE

Chapitre I :Etude et analyse des circuits en courant continu. .1

1Dipôles électriques .........................................................................1

1.1Définition...................................................................................1

1.2Dipôles passifs..........................................................................1

1.3Dipôles actifs.............................................................................3

2Lois de L’électrocinétique................................................................5

2.1Définitions ................................................................................5

2.2Lois de Kirchhoff........................................................................6

2.3Théorème de superposition.......................................................9

2.4Théorème de Thevenin...........................................................10

2.5Théorème de Northon.............................................................12

2.6Théorème de Millman..............................................................13

Chapitre II :Etude et analyse des circuits en courant alternatif

14

1Grandeurs caractéristiques des fonctions périodiques..................14

1.1Signal périodique quelconque :...............................................14

1.2Régime permanent sinusoïdal ................................................15

2Représentations d'une grandeur sinusoïdale................................15

2.1Représentation de Fresnel......................................................16

2.2Représentation complexe.......................................................18

3Dipôles linéaires en régime sinusoïdal..........................................20

3.1Le résistor ..............................................................................20

3.2Le condensateur idéal.............................................................20

3.3La bobine idéale......................................................................20

3.4Association d’impédances.......................................................21

4Circuits résonnants........................................................................22


électriques



4.1Circuit RLC série......................................................................22

4.2Circuit RLC parallèle................................................................24

5Puissance en régime sinusoïdal.....................................................26

5.1Puissance instantanée.............................................................26

5.2Puissance active......................................................................26

5.3Puissance réactive...................................................................27

5.4Puissance apparente et facteur de puissance.........................27

5.5Puissance complexe................................................................28

6Conclusion ....................................................................................28

Chapitre III :Les systèmes triphasés...................................29

1Constitution...................................................................................29

1.1Expérimentation......................................................................29

1.2Représentation des tensions...................................................30

1.3Le système triphasé : quel intérêt ?........................................30

2Système équilibré de tensions......................................................31

2.1Tensions simples.....................................................................31

2.2Tensions composées...............................................................32

3Récepteurs triphasés.....................................................................34

3.1Couplage étoile (Y)..................................................................34

3.2Couplage triangle (∆)..............................................................35

3.3Récepteur triphasé équilibré...................................................35

3.4Récepteur triphasé déséquilibré.............................................38

4Théorème de Fortescue (composantes symétriques)....................38

5Puissance d’une installation (théorème de Boucherot).................41

38027626 Cours Circuits Electriques

Documents

Transcript of 38027626 Cours Circuits Electriques