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Mesures des rendementsMesures de performance classiquesDécomposition de la performance

Connaissance de la structure de portefeuilleConclusion

Gestion de portefeuille

Evaluation des performances des portefeuilles

HORMA Bouchaib & IDRISSA Alassane Mohamidou

Master Spécialisé Mathématiques Financières

Département de Mathématiques

Faculté des Sciences de Rabat

20 mai 2009

HORMA Bouchaib & IDRISSA Alassane Mohamidou Gestion de portefeuille

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Introduction

Ayant pour but de déterminer les stratégies les plus performantes etde repérer les gestionnaires les plus capables d'accroitre la valeurdes portefeuilles, notre exposé portant sur l'évaluation desperformances des portefeuilles vise en premier lieu d'analyser etd'étudier les rendements et le risque des portefeuilles, et endeuxième d'analyser si les performances réalisées sont dues auxcompétences du gestionnaire ou au hasard.

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Plan

1 Mesures des rendements

2 Mesures de performance classiques

3 Décomposition de la performance

4 Connaissance de la structure de portefeuille

5 Conclusion

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Mesures des rendements

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Mesures des rendements

S'il y a ni apport ni retrait de fonds, le rendement d'unportefeuille se calcule selon la formule

RP =VF − VI

VI

VI : valeur initiale du portefeuille, VF : valeur �nale du portefeuille.

S'il y a apport ou retrait pendant la période d'évaluation :

VI =T∑t

Ft

(1 + RP)t+

VF

(1 + RP)t

• La seconde méthode consiste à calculer lesrendements sur chaque période, après chaque dépôtou retrait.

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Mesures des rendements

La moyenne arithmétique :

X =

∑ni=1 xi

n

La moyenne géométrique :

G = n√x1 ∗ x2 ∗ ... ∗ xn

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Mesures des rendements

Exemple

Année Val du CAC40 Rendement Rendement arrondi

1997 2998,91

1998 3942,66 +31,47% +31%

1999 5958,32 +51,12% +51%

2000 5926,42 -0,54% -1%

2001 4624,58 -21,97% -22%

2002 3063,91 -33,75% -34%

Sommes des rendements 26,34% 25%

Moyenne arithmétique 5,27% 5%

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Mesures des rendements

Si l'on avait perçu 5% de rendement par an, après cinq ans, enplaçant 10000, 00DH, on aurait gagner 2762, 82DH commel'indique le tableau suivant :

Année Rendement Capital

1997 10000,00

1998 +5% 10500,00

1999 +5% 11025,00

2000 +5% 11576,25

2001 +5% 12155,06

2002 +5% 12762,82

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Mesures des rendements

La dure réalité

Si l'on avait placé 10000,00 DH sur le CAC40, on disposera en2002 de 10216, 75DH comme l'indique le tableau suivant :

Année Valeur CAC40 Rendement Capital

1997 2998,91 10000,00

1998 3942,66 +31,47% 13146,98

1999 5958,32 +51,12% 19868,29

2000 5926,42 -0,54% 19761,91

2001 4624,58 -21,97% 15420,97

2002 3063,91 -33,75% 10216,75

On aurait donc gagné cette somme à cinq ans, soit une progressionde 0, 43% par an.

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Mesures des rendements

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Mesures des rendements

Dans notre éxemple du CAC40 sur cinq ans on obtient :

G = 5√1, 3147× 1, 5112× 0, 9946× 0, 7803× 0, 6625

soitG = 1, 00426635

Et on a 1 + RG = G ce qui implique RG = 0, 43%.

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Mesures de performance

classiques

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Présentation

Pour un niveau de risque donné, le gestionnaire de portefeuille doitessayer d'obtenir les rendements les plus forts possibles. Il importe,en e�et, de se demander à quel degré de risque un gestionnaire aexposé son client pour faire béné�cier celui-ci d'un niveau donné derendement. Plus précisément encore, on se posera la question desavoir s'il n'était pas possible d'obtenir un rendement plus élevépour le même risque. Tout de même son apport doit être comparé àceux qu'aurait pu obtenir un investisseur adoptant une stratégiepassive.Il existe deux méthodes pour mesurer le risque d'un portefeuille :

Risque systématique (β du portefeuille).

Ecart type de ses rendements.

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Mesures fondées sur le risque systématiques

Ces mesures sont fondés sur le MEDAF ;

Coe�cient de JENSEN [1968] La droite de marché est donnée parl'équation :

REP = RF + βP(RM − RF )

Le rendement d'équilibre REP sert de référence pour

mesurer les performances des portefeuilles ayant unbêta égal à βP .La mesure de JENSEN notée :

αP = RP − REP

est l'écart entre le rendement moyen du portefeuille etle rendement d'équilibre du portefeuille du mêmerisque systématique.

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Mesures fondées sur le risque systématiques

Si αP est positif alors le gestionnaire de porefeuille a réalisé uneperformance superieure à celle du portefeuille d'équilibre du mêmebêta.

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Mesures fondées sur le risque systématiques

Ratio de TREYNOR [1965] Correspond au rendement en excèsmoyen du portefeuille par son bêta, soit :

RTP =RP − RF

βP

Exemple

Portefeuilles A B

Rendement moyen 20% 13%

β 1, 2 0, 5

Le taux sans risque est de 5% et RM vaut 15%. Donc on a

REA = 5% + 1, 2(15%− 5%) = 17%

REB = 5% + 0, 5(15%− 5%) = 10%

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Mesures fondées sur le risque systématiques

Le coe�cient alpha de JENSEN vaut :

αA = 20%− 17% = 3%

αB = 13%− 10% = 3%

Le ratio de TREYNOR vaut :

RTA =20%− 5%

1, 2= 12, 5%

RTB =13%− 5%

0, 5= 16%

Le ratio de TREYNOR du portefeuille de marché est de 10%, lesdeux portefeuilles font donc mieux que le portefeuille de marché.

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Mesures fondées sur le risque systématiques

Les deux mesures sont donc cohérentes par rapport au portefeuillede marché. En comparant, le portefeuille B est meilleur que leportefeuille A.

Ratio d'information ou de TREYNOR & BLACK [1973] Ce ratioest égal au alpha de JENSEN divisé par la variancedes résidus de la régression utilisée pour obtenir alpha.

RIP =αPσ̃2εP

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Mesures fondées sur l'écart type des rendements

Ces mesures ont pour référence des portefeuilles situés sur lafrontière d'e�cience avec actifs sans risque.

Coe�cient alpha total Le rendement de référence est donnée parl'équation de la frontière d'e�cience avec actifs sansrisque :

RrefP = RF +

RM − RF

σ(R̃M)σ(R̃ ref

P )

La performance sera mesurée par le coe�cient alphatotal qui vaut :

αtot = RP − RrefP

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Mesures fondées sur l'écart type des rendements

Ratio de SHARPE [1966] Ce ratio consiste à mesurer la grandeur :

RSP =RP − RF

σ(R̃P)

Le ratio de SHARPE n'est rien d'autre que la pentede la droite (dans le plan espérence-écart type) reliantle taux sans risque au portefeuille d'actifs risqués.

ExempleLes écats types des portefeuilles A, B et du marché valent resp17%, 12%et 14%.

RSA = 20%−5%17% = 0, 88 RSB = 13%−5%

12% = 0, 67

RSM = 15%−5%14% = 0, 71

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Mesures fondées sur l'écart type des rendements

Les résultats sont totalement di�érents des précédents :

• A obtient de meilleures performances que B.

• B a de plus mauvaises performances que le marché.

Ces di�érences s'éxpliquent par l'importance des valeurs desvariances résiduelles des deux titres.La décomposition de la variance donne :

V (R̃P) = β2PV (R̃M) + V (ε̃P)

Les variances des résiduelles des deux portefeuilles sont :

V (ε̃A) = 0, 172 − 1, 22 × 0, 142 = 0, 000676

V (ε̃B) = 0, 122 − 0, 52 × 0, 142 = 0, 0095

Cette variance est prise en compte dans le ratio de SHARPE maispas dans celui de TREYNOR =⇒ di�érence de classement.

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Mesures fondées sur l'écart type des rendements

La comparaison des ratios de TREYNOR-BLACK donne :

RIA =0, 03

0, 000676= 44, 38 > RIB = 3, 16

Ce qui con�rme l'analyse précédente.Les rendements de référence des deux portefeuilles sont :

R refA = 5% +

15%− 5%

14%× 17% = 17, 14%

R refB = 5% +

15%− 5%

14%× 12% = 13, 57%

Les alpha totaux de A et B valent donc :

αtot(A) = 20%− 17, 14% = 2, 86%

αtot(B) = 13%− 13, 57% = −0, 57%

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Critiques des mesures classiques

Les mesures précédentes privilégient le portefeuille de marché outout au moins un portefeuille e�cient comme portefeuille deréférence.⇒ Comment choisir le portefeuille de référence ?C'est ROLL [1978] qui montre que si le portefeuille de référence este�cient, alors tous les portefeuilles se retrouveront sur la droite demarché. En revanche, si le portefeuille de référence est ine�cient,les mesures de performance sont complètement arbitraires.Autrement dit, les portefeuilles qui sont au-dessus de la droite demarché pour le portefeuille de référence ine�cient, serontau-dessous pour un autre portefeuille de référence aussi ine�cient.

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PrésentationMesures fondées sur le risque systématiqueMesures fondées sur l'écart type des rendementsCritiques des mesures classiques

Critiques des mesures classiques

⇒ De quel point de vue le portefeuille de référence est-il e�cient ?On suppose que tous les investisseurs n'ont pas la mêmeinformation. Le portefeuille de référence doit alors être e�cientpour les agents sans information particulière et pour tous lesinvestisseurs passifs. Ainsi leur mesure de performance sera nulle.Et pour les investisseurs qui gèrent activement leur portefeuille leportefeuille précédent est ine�cient.Empiriquement, les recherches se sont orientées dans deuxdirections :

La construction d'indices composites.

Etude de la sensibilité des mesures aux choix de benchmark.

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Décomposition de la

performance

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Décomposition de la performance

Les capacités du gestionnaire de portefeuille sont en généraldécomposées en :

Capacité de prévision des rendements des titres individuels,appelée sélectivité.

Capacité de prévision des mouvements généraux deportefeuilles, appelée synchronisation (timing en anglais).

Exemple

Titres A B

E (Ri ) 20% 10%

βi 1,5 0,5

Le rendement de l'actif sans risque est de 5%, celui du marché estde 15%.

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Décomposition de la performance

Le gestionnaire 1 prévoit sans erreur que le rendement du titre Asera de 30%, et celui de B de 8%. La stratégie optimale de cedernier est d'investir uniquement dans le titre A, ce qui signi�e quele rendement de son portefeuille est de 30%.Pour un investisseur non informé le rendement d'un portefeuille dumême bêta vaut :

5% + 1, 5(15%− 5%) = 20%

La mesure de JENSEN est égal à 10%. Un gestionnaire 2 prévoitque le rendement du marché sera de 19% au cours de la premièrepériode, et de −5% au cours de la seconde. Compte tenu de sesanticipations, il �xe la sensibilité de son portefeuille à 2 pour lapremière période et à 0 pour la suivante. Le rendement obtenu est :5% + 2(19%− 5%) = 33% puis 5%

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Décomposition de la performance

Portefeuillle Marché

Rendement en excès du taux sans risque RP − RF RM − RF

Période 1 28% 14%

Période 2 0% −10%Rendement moyen 14% 2%

Cov(R̃P , R̃M) = 0, 0168 et Var(R̃M) = 0, 0144Le bêta du portefeuille es donc de 1,17.L'alpha de JENSEN est donné par :

αP = (RP − RF )− βP(RM − RF )

A.N : 14%− 1, 17× 2% = 11, 66%HORMA Bouchaib & IDRISSA Alassane Mohamidou Gestion de portefeuille

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Problèmes conceptuels

Approche par les portefeuilles :

N + 1 portefeuilles, avec N nombre de portefeuilles risqués etun portefeuille sans risque.

L + 1 portefeuilles de synchronisation.

Si L = 1 on parle de synchronisation du marché.

La synchronisation peut prendre des formes extrêmementvariées dans le choix des portfeuilles de synchronisation et dansles degrés d'exposition au risque.

Approche factorielle : permet une distinction entre la sélectivité etla synchronisation. Les informations qui sont axées sur les facteursconcernent la synchronisation, et celles des résidus, la sélectivité.

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Problèmes empiriques

Pour résoudre ce problème, plusieurs méthodes économétriques ontété proposées. Les deux principales seront exposées dans la suite :

La première proposée par TREYNOR & MAZUY [1966]consiste à réaliser une régression quadratique du type :

R̃P − RF = αP + β0P(R̃M − RF ) + β1P(R̃P − RF )2 + ε̃P

La seconde, développée par KON [1983] et KON & JEN[1979] est fondée sur la logique de la synchronisation. Lesrégressions pratiquées vont donc dépendre du signe de l'écartentre le rendement du marché et le taux sans risque durant lamême période.

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Problèmes empiriques

RMt − RFt Régression pratiquée

> 0 R̃Pt − RFt = αP + β0P(R̃Mt − RFt) + εPt= 0 R̃Pt − RFt = αPt + εPt< 0 R̃Pt − RFt = αP + (β0P − β1P)(R̃Mt − RFt) + εP

β0P : correspond au bêta an période de hausse.β0P − β1P correspond au bêta an période de baisse.Ces deux méthodes ne fonctionnent plus dès que les moments et lesco-moments d'ordre 3 sont di�érents de 0.

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Nouvelles approches des performances

Mesures de pondération des périodes :GRIBLAT et TITMAN [1989] ont proposé une classe de mesuresde performance qui comprend la mesure de JENSEN mais quiélimine certains problèmes liés à cette dernière.

αPP =T∑t=1

wtrPt

∑Tt=1 wt = 1 et

∑Tt=1 wtrEt = 0 rEt : rendement en excès du taux

sans risque du portefeuille de référence (REt − RFt).rPt : rendement en excès du taux sans risque du portefeuille évalué(RPt − RFt).wt : pondération des rendements de la période t.αPP : valeur de la mesure de pondération des périodes.

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Nouvelles approches des performances

Si tous les poids sont positifs :

Si le gestionnaire a des informations sur la sélectivité mais passur la synchronisation ou bien sur les deux indépendementl'une de l'autre, alors la mesure de JENSEN converge vers unnombre positif.

Si le gestionnaire n'est pas informé, cette mesure converge enprobabilité vers 0.

Pour calculer les wt on utilise la formule suivante :

wt = (1 + RFt + γrEt)−θ

γ : pourcentage de la richesse investie dans le portefeuille deréférence.

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Nouvelles approches des performances

Mesures fondées sur la théorie des options :Modèle de MERTON [1981] :S'il prévoit que RMt > RFt alors γ(t) = 1,sinon γ(t) = 0.La probabilité que le gestionnaire fasse le bon choix sachant que lemarché est faible s'écrit :

p1(t) = prob[γ(t) = 0/RMt ≤ RFt ]

La probabilté s'il se trompe dans les mêmes conditions est donc :

1− p1(t) = prob[γ(t) = 1/RMt ≤ RFt ]

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Problèmes conceptuelsProblèmes empiriquesNouvelles approches des performances

Nouvelles approches des performances

De même pour un rendement élevé du marché :

p2(t) = prob[γ(t) = 1/RMt ≥ RFt ]

1− p2(t) = prob[γ(t) = 0/RMt ≥ RFt ]

L'agent dispose d'une information pertinente de synchronisation sip1(t) + p2(t) > 1. Ainsi pour un agent qui dispose d'uneinformation parfaite p1(t) = p2(t) et p1(t) + p2(t) = 2.

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Mesures de la covarianceAnalyse d'attribution

Connaissance de la structure de

portefeuille

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Mesures de la covarianceAnalyse d'attribution

Mesures de la covariance

Si un agent actif est informé, il va augmenter dans son portefeuillele poids des titres dont il anticipe un rendement élevé et réduirecelui des titres au rendement futur faible. Alors une corrélationpositive existe.Cette propriéte est à l'origine de la mesure de performancesuivante :

Cov(r̃P , w̃P) =N∑j=1

E (w̃j , r̃j)− E (w̃j)E (r̃j)

Cette mesure compare le rendement du portefeuille activement géréavec celui d'un portefeuille passif construit avant la périoded'évaluation.

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Mesures des rendementsMesures de performance classiquesDécomposition de la performance

Connaissance de la structure de portefeuilleConclusion

Mesures de la covarianceAnalyse d'attribution

Mesures de la covariance

Dans la pratique une des deux formules suivantes :

Cov(r̃P , w̃P) =N∑j=1

E (w̃j(r̃j − E (r̃j)))

Nécessite l'éstimation des espérances de rendement de chaquetitre dans le portefeuille.

Cov(r̃P , w̃P) =N∑j=1

E ((w̃j − E (w̃j))r̃j)

Nécessite l'éstimation de l'espérance des pendérations destitres dans le portefeuille.

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Connaissance de la structure de portefeuilleConclusion

Mesures de la covarianceAnalyse d'attribution

Analyse d'attribution

L'analyse d'attribution permet de distinguer les facteurs à l'originede la performance réalisée. Elle décompose donc la performancepour comprendre comment le processus de construction duportefeuille a abouti à la performance observée.

Facteurs de performance Parmi les facteurs explicatifs desrendements d'un portefeuille on trouve :

La taille de l'entreprise (égal au Log(capitalisation boursière)).

Le risque systématique β.

Le secteur d'activité.

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Connaissance de la structure de portefeuilleConclusion

Mesures de la covarianceAnalyse d'attribution

Analyse d'attribution

Pour déterminer l'importance relative de ces facteurs, on a larégression linéaire :

ri = F1βi + F2si + F3ciI + F4ciNI + εi

βi , si , ciI , ciNI : caractéristiques de la �rme i . ciI , ciNI valent 0 ou 1en fonction de l'appartenance ou non de la �rme au secteurindustriel.Fk : les coe�cients de la régression.Il est possible d'analyser les performances d'un portefeuille parrapport à un benchmark (référence).

rP − rref = F1(βP − βref ) + F2(sP − sref ) + F3(cPi I − crefI )

+F4(cPiNI − crefNI ) + (εP − εref )

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Mesures de la covarianceAnalyse d'attribution

Analyse de la performance

Exemple

Facteurs Portefeuille Référence Di�érence Fk Ecart

Bêta 0, 8 1 −0, 2 1, 4 −0, 28Taille 3 6 −3 −0, 2 0, 6

S.industriel 0, 9 0, 5 0, 4 8 3, 2

S.non indu 0, 1 0, 5 −0, 4 7 −2, 8TOTAL 8, 42% 7, 7% 0, 72%

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Mesures de la covarianceAnalyse d'attribution

Analyse des écarts

Le rendement du portefeuille de référence (géré de manière passive)s'écrit :

RPf =N∑i=1

wPf ,i rPf ,i

wPf ,i : pondération de la classe d'actifs i .rPf ,i : rendement de la classe d'actifs i .Le rendement du portefeuille activement géré est :

RAf =N∑i=1

wAf ,i rAf ,i

L'écart entre les rendements des deux portefeuilles est décomposéen trois :

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Connaissance de la structure de portefeuilleConclusion

Mesures de la covarianceAnalyse d'attribution

Analyse d'attribution

RAf − RPf =∑

(wAf ,i − wPf ,i )rPf ,i +∑

(rAf ,i − rPf ,i )wPf ,i

+∑

(rAf ,i − rPf ,i )(wAf ,i − wPf ,i )

Le premier écart correspond à l'écart de timing ; il mesure lacapacité du gestionnaire à choisir le bon secteur au bonmoment.

Le deuxième écart correspond à l'écart de sélectivité ; il mesurela capacité du gestionnaire à choisir les bonnes actions danschaque secteur.

L'écart sur l'écart de l'analyse budgétaire.

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Connaissance de la structure de portefeuilleConclusion

Conclusion

Conclusion

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Mesures des rendementsMesures de performance classiquesDécomposition de la performance

Connaissance de la structure de portefeuilleConclusion

Conclusion

Il ressort de cet exposé, que les mesures classiques sou�rentd'importantes faiblesses qui ont été améliorées au �l du temps envue d'une bonne évaluation des performances.Tout de même, la tache est plus ou moins di�cile selon la naturedes informations dont dispose l'analyste, elle est di�cile quand iln'a accés qu'aux rendements passés tu portefeuille, mais devientplus facile s'il connait l'évolution de la structure du portefeuille.

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