34-105 Thermodynamique Deuxieme Principe

8/10/2019 34-105 Thermodynamique Deuxieme Principe

1/10

Le deuxime Principe de la Thermodynamique (34-103) Page 1 sur 10 JN Beury

LE DEUXIME PRINCIPE DE LATHERMODYNAMIQUE

I. IRRVERSIBILIT EN THERMODYNAMIQUEI.1 Rappels de dfinitionsUne transformation estquasistatique si touttat intermdiaire est un tatdquilibre thermodynamique.Une transformation estrversible si elle estquasistatique et sil est possible deninverser le sens en passantexactement par les mmes tats intermdiaires, par une modification infinitsimale des contraintes extrieures aucours de lvolution.Dans le cas contraire, elle est irrversible.

I.2 Causes dirrversibilit Dtente dans le vide : elle est irrversible car on neffectue aucun travail (voir dtente de Joule Gay-Lussac). Par

contre, on ne peut pas comprimer un gaz sans fournir un travail. Lors de la compression, le gaz schauffe. Diffusion de particules cause dune inhomognit de molcules par exemple. Surcharge brutale sur un piston Irrversibilit chimique cause dune raction chimique

Irrversibilits mcaniques Irrversibilits thermiques De faon qualitative, on peut se poser la question suivante pour savoir si une transformation est rversible ounon : le film de la transformation projet l'envers est-il raliste ?

a) Irrversibilits mcaniquesOn peut avoir des irrversibilits mcaniques externes ou internes : irrversibilits mcaniques externes : forces de frottement entre le fluide et la paroi. Trs souvent, le travail

des forces de frottement est nul. irrversibilits mcaniques internes : A cause desforces de viscosit (frottements fluides internes), il y a

dissipation dnergie et donc chauffement du fluide. On dit galement quil y a des frictions au sein du fluidequi se dplace.

Remarques On peut montrer en mcanique des fluides que la viscosit des fluides peut sinterprter par un phnomne dediffusion de quantit de mouvement engendr par un gradient de vitesse. Cela se traduit souvent par une baissede pression dans une canalisation (pertes de charge dues la viscosit des fluides).

b) Irrversibilits thermiques conduction thermique. cart entre les tempratures des sources et du fluide. le transfert thermique se fait spontanment des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides. mlange de gaz des tempratures diffrentes.

Remarques Les irrversibilits thermiques ne sont pas lies aux irrversibilits mcaniques.


2/10


Orientation algbrique deschanges dnergie

W Q

T S

( )

II. DEUXIME PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUEII.1 Dfinition dune source de chaleur ou thermostatUne source de chaleur (S) ou thermostat est un systme ferm, ne fournissant aucun travail et capable defournir un transfert thermique sans que sa tempratureT S varie.

On tudiera en dtail la source de chaleur dans le paragraphe IV.

II.2 nonc du deuxime principe de la thermodynamique

Pour tout systme thermodynamique (), il existe unefonction dtat S extensive. Pour un systmeferm voluant entre deux tats I et F en contact avec une source de chaleur, le bilan dentropie

scrit : e cS S S = + avec

eS

QS

T = =entropie change (relation valable si l'change thermique

se fait avec une source de chaleur la tempratureT S )S c 0 : entropie cre.

S c = 0 si la transformation est rversible.S c > 0 si la transformation est irrversible.

Si la transformation est adiabatique, lentropie change est nulle. Si le systme est en contact avec plusieurs sources de chaleur, lentropie change vaut :1 2

1 2

...eS S

Q QS

T T = + +

Units de lentropie : -1J K

Dans le cas gnral, on peut crire :'

e

QS

T

= avec 'T = temprature de la surface dchange( )' travers

laquelle se fait le transfert thermique.

On crit souvent le deuxime principe de la thermodynamique pendant une dure infinitsimale dt :

Le bilan dentropie scrit :d e cS S S = + avec eS

QS

T

= si le systme est en contact avec une source de chaleur.

Si le systme change de la chaleur avec un autre systme dont la temprature varie, on utilisera la notion depseudo-source de chaleur (voir exercices du TD sur les machines thermiques).

II.3 Cas particulier dune transformation rversible chaque instant, la temprature du systme est gale la temprature de la surface dchange. En effet, si lchangethermique se fait avec des tempratures diffrentes entre le systme et lextrieur, la transformation est ncessairementirrversible (le transfert thermique se fait du corps le plus chaud vers le corps le plus froid).

Lentropie cre est nulle et lentropie change scrit :'

e Q QS T T

= =

Pour une transformationrversible avec un systmeferm : d revQS T

= et2

2 1 1revQS S

T =

II.4 Cas particulier dune transformation adiabatique, rversibleOn considre toujours un systme ferm. La transformation est adiabatique, donc0eS = La transformation est rversible, donc 0cS = . Le bilan dentropie scrit donc : d 0S = .

Pour un systmeferm, une transformationadiabatique, rversible est isentropique.

Remarques

En pratique en thermodynamique industrielle, une transformation isentropique est adiabatique et rversible.


3/10


W

Q1

Q2

T S 2

T S 1

( )

sens algbrique deschanges dnergie

II.5 Cas particulier dun systme isolPour un systme isol, il ny a pas dchange de matire et pas dchange dnergie : 0eS = Le bilan dentropie scrit : d 0cS S =

Lentropie ne peut quaugmenter et est maximale lquilibre pour un systme isol.

Remarques : pour un systme isol, E m + U est une grandeur conservative alors que S nest pas une grandeur

conservative.

II.6 Ingalit de Carnot-ClausiusOn considre une machine cyclique ditherme.Pour un cycle, on a le mme tat initial et final : 0 F I S S S = = .

La machine est ditherme : elle est en contact avec deux sources dechaleur :T S 1 et T S 2.

Lentropie change vaut : 1 21 2

eS S

Q QS

T T = + . On a toujoursS c 0.

Pour une machine cyclique ditherme,lingalit de Carnot-Clausius scrit : 1 21 2

0S S

Q Q

T T +

Voir chapitre sur les machines thermiques.

III. IDENTITS THERMODYNAMIQUES FONDAMENTALESPour dcrire un fluide lquilibre thermodynamique sous une phase, il faut deux paramtres dtats indpendants :T et V par exemple. CommeS est une fonction dtat, on peut choisir le jeu de variables :S et V .On peut crire ( ),U U T V = mais aussi ( ),U U S V = .

III.1 Identit thermodynamique fondamentale avec lnergie interne

( ),U U S V = . La diffrentielle scrit :d d dV S

U U U S V

S V

= +

On admet que :

V

U T

S =

= temprature thermodynamique. On admet quelle sidentifie avec la temprature cintique dfinie dans le

chapitre sur le gaz parfait.

S

U p

V =

avec p : pression thermodynamique. On admet quelle sidentifie avec la pression cintique dfinie

prcdemment.On retient que pour tout systme ferm, on a :

d d dU T S p V =

III.2 Identit thermodynamique fondamentale avec lenthalpieOr H U pV = + . On a donc : d d d d d d H U p V V p T S p V = + + = ( ) d p V + dV p+ On retient que pour tout systme ferm, on a :

d d d H T S V p= +

En grandeur massique, on a :d d du T s p v= et d d dh T s v p= + .

On admet quelidentit thermodynamique est valable pour un systme ouvert. Lenthalpie est un paramtre

nergtique essentiel pour les systmes ouverts.


4/10


W Q

()

T S

source de chaleur Q= Q fourni par (S)

IV. SOURCE DE CHALEUR OU THERMOSTATUne source de chaleur (S) ou thermostat est un systme ferm, ne fournissant aucun travail et capable de fournir untransfert thermique sans que sa tempratureT S varie.

IV.1 Modlisation dune source de chaleur

On considre un systme ferm de volume constant. On a alors ( )d dS V S S U C T = . On en dduit que :( )

dd S S V S

U T C = . Pour

avoir une temprature qui ne varie quasiment pas, il faut avoir unsystme de trs grande taille. A la limite,m ,( ) ( )V S V S C mc= et d 0S T . Exemple : lac

IV.2 Systme thermodynamique en contact avec une source de chaleur. Bilan dentropie de la source de chaleur.Soit un systme ferm () en contact avec une source de chaleur. Le systme reoit algbriquement un transfertthermique Q et un travail W . Le premier principe pour le systme () scrit :dU W Q = + Comment calculer la variation dentropie de la source de chaleur ?

Il suffit dappliquer lidentit thermodynamique la source de

chaleur : d d dS S S S S U T S p V = . Daprs la modlisation prcdente, on peut considrer que le volume est constant. Ladifficult est de calculerd S U qui est une forme indtermine partir de ( )d dS V S S U C T = puisque le modle limite dunesource de chaleur considre que ( )V S C et d 0S T .Il faut donc appliquer le premier principe la source de chaleur : reu par (S) reu par (S)d S U Q W = + . Le travail reu par(S) est nul par dfinition dune source de chaleur etreu par (S) fourni par (S)Q Q = .

On obtient pour une transformation infinitsimale : fourni par (S)d S S

QS

T

= .

Pour une transformation non infinitsimale, on a :fourni par la source de chaleur (S)

source de chaleur S

QS T

= .

V. BILAN DENTROPIELe bilan dentropie se fait en trois tapes : Calcul de la variation dentropie S :On utilisera lidentit thermodynamiqued d dU T S p V = ou d d d H T S V p= + et le modle simplifi pourU ou H (solide

et liquide supposs incompressibles, gaz parfait). Voir paragraphe VI.Pour des calculs plus prcis, on utilisera les tables et diagrammes thermodynamiques.

Calcul de lentropie change : eS

QS T = . Pour calculerQ, on utilisera le premier principe.

Attention bien calculerQ sur la transformation relle carQ dpend du chemin suivi ! Calcul de lentropie cre : c eS S S =

Interprtation physique :0cS > : Transformation irrversible. Interprter les causes dirrversibilit (voir paragraphe suivant).0cS = : Transformation rversible.0cS < : Transformation impossible.


5/10


VI. CALCULS DE VARIATION DENTROPIEVI.1 Gaz parfaitDeux techniques qui dpendent du jeu de variables utilises : (T , V ) ou (T , p).

d d d dV U C T T S p V = = . On obtient :dd dV

T pS C V

T T = + or pV nRT =

dod d

d V T V

S C nRT V = + . On suppose queC V est indpendant de la temprature. On intgre entre ltat 1 et ltat 2 :

redmontrer trs rapidement : 2 22 11 1

ln lnV T V

S S S C nRT V

= = +

On utilise trs souvent en thermodynamique industrielle les variables intensives : (T , p)

d d d dp p H C T T S V = = + . On obtient :dd d p

T V S C p

T T = or pV nRT =

do d dd pT p

S C nRT p

= . On suppose queC p est indpendant de la temprature. On intgre entre ltat 1 et ltat 2 :

redmontrer trs rapidement : 2 22 11 1

ln ln pT p

S S S C nRT p

= =

VI.2 Gaz de Van der Waals2

2d d d d dV n a

U C T V T S p V V

= + = . On a donc2

2dd dV

T p n aS C V

T T TV

= + +

Or2

2m

n a nRT p

V V nb + =

. On en dduit que dd dV m

T nRS C V

T V nb= +

On suppose queC V est indpendant dans le domaine de temprature envisag.

On a alors : 221 1

ln ln mV m

V nbT S C nR

T V nb

= +

VI.3 Phases condenses incompressibles Pour un liquide :d dU C T et d d d dU T S p V T S = .

On obtient : dd T S C T

= . On intgre entre ltat 1 et ltat 2 :

redmontrer trs rapidement pour un liquide incompressible : 2 22 11 1

ln lnT T S S S C mcT T

= = =

Pour un solide :d dU C T et d d d dU T S p V T S = .

On obtient : dd T S C T

= . On intgre entre ltat 1 et ltat 2 :

redmontrer trs rapidement pour un solide (volume constant): 2 22 11 1

ln lnT T S S S C mcT T = = =

VI.4 Notion de fonction caractristiqueOn dispose pour un fluide des paramtres dtat( ), , p V T lis par lquation dtat et de fonctions dtat( ), , ...U H S .

Ces fonctions peuvent elles mmes tre choisies comme paramtres dtat.On a vu que les variables naturelles deU sont :S et V (voir lidentit thermodynamique).On va monter sur lexemple du GPM (gaz parfait monoatomique) que la connaissance de( ),U S V ou ( ),S U V dun

fluide suffit pour dterminer compltement un fluide, et notamment pour obtenir son quation dtat. On va montrercette proprit sur ( ),S U V .

a) Recherche de la fonction caractristique pour le GPM

d d d dV U C T T S p V = = . On obtient :dd dV

T pS C V

T T = + or pV nRT = , do d dd V

T V S C nR

T V = + .


6/10


On a 32V

C nR= . On intgre entre un point ltat 0 et ltat courant : 00 0

3 ln ln2

T V S S nR nR

T V = + +

Comme 32

U nRT = , on a : 3 ln ln2

S nR T nR V A= + +

La fonction caractristique du GPM est : 3 2ln ln2 3

U S nR nR V A

nR= + +

b) Un exemple de fonction caractristique

La dmarche est diffrente. On ne connat pas lquation dtat et lnergie du fluide mais uniquement sa fonction

caractristique : 3 2ln ln2 3

U S nR nR V A

nR= + + .

Comment en dduire lquation dtat et lnergie interne.Il suffit de diffrentier et didentifier lidentit thermodynamique :

3 d dd2

U V S nR nR

U V = + . Commed d dU T S p V = , donc dd dU pS V

T T = +

Lidentification donne :

3 12nRU T

nR pV T

=

=

, soit32

U nRT

pV nRT

=

=

c) Gnralisation Certaines fonctions de certaines variables jouent un rle privilgi en thermodynamique :( ),U S V , ( ), H S p En revanche, les fonctions ( ),U V T , ( ), H p T ne sont pas des fonctions caractristiques du fluide.

VII. QUELQUES TRANSFORMATIONS IMPORTANTES AVEC UN GAZ PARFAITVII.1 Transformation adiabatique rversible ou transformation isentropique pour un gaz parfaitOn a vu quune transformation adiabatique rversible est isentropique :0S =

On a vu au paragraphe VI.1 que 2 21 1

0 ln lnV

T V S C nR

T V = = + . Or

1V nR

C

=

. En simplifiant parnR, on a :

2 2

1 1

1 ln ln 01

T V T V

+ =

do ( )2 21 1

ln 1 ln 0T V T V

+ = , on obtient :1

2 21

1 1

ln 0T V TV

=

et 1 12 2 1 1T V TV =

Au cours de la transformation, on a 1TV cte = ; or pV nRT = :1

nRT T cte

p

=

On obtient : 1T p cte =

On peut crire aussi : 1TV cte = avec pV nRT = : 1 pV V ctenR

= . On obtient immdiatement pV cte =

Pour une transformationadiabatique, rversible avecgaz parfait

ou une transformationisentropique avec ungaz parfait, on a leslois de Laplace : pV cte = ; 1TV cte = ; 1T p cte =

On justifie le nom donn : coefficient isentropique.

Remarques

On a suppos implicitement au cours de l'intgration queC V et C p sont indpendants de la temprature. Il faudrait

crire 4 hypothses : adiabatique, rversible, gaz parfait et constant.

Dans les problmes de concours, on travaille toujours avec constant. On n'crira donc plus cette 4me hypothse par la

suite. Par contre,avant d'appliquer les lois de Laplace, il faudra tre trs vigilent et vrifier que les hypothses

sont vrifies : {adiabatique, rversible, GP} ou {isentropique, GP}.


7/10


p

V

isobare

isothermeadiabatique rversible

isochore

VII.2 Transformation rversible polytropique dindicek pour un gaz parfait

a) Dfinition

Cest une transformation qui est rgie par lesquations thermolastiques suivantes :k pV cte= ; 1k TV cte = ; 1k k T p cte =

Une transformation polytropique est toujours suppose quasistatique et mcaniquement rversible :dW p V =

Pour chaque quation, on a une constante diffrente.On peut dmontrer trs facilement le passage d'une quation une autre en utilisantl'quation d'tat des gaz parfaits : pV nRT = .

11k

k k k k k nRT pV cte p T p n R p

= = =

, on a donc 1 2k k T p cte = .

La constantek peut varier entre et + .

Quelques cas particuliers :k = 0 : isobarek = 1 : isotherme

k = : adiabatique rversible ou isentropiquek = : isochore tude de lisotherme : pV cte= . En prenant le logarithmique, on

obtient : ln ln ln p v cte+ = puis la diffrentielle :d d 0 p V p V

+ = . En un point de la courbe, la pente vaut :

isotherme

dd p pV V

=

tude de ladiabatique rversible : pV cte = . En prenant la diffrentielle logarithmique :d d 0 p V p V

+ = . En un point de la courbe, la pente vaut :adiabatiquerversible

dd p pV V

=

On en dduit la formule de Reech : pente de l'adiabatique rversible1 pente de l'isotherme

= >

b) Dtermination de k

Souvent dans les exercices, on connat ltat initial 1 et ltat final 2. On demande de modliser la transformationrelle par une transformation polytropique dindicek et de dterminerk partir deT 1, p1, T 2 et p2. Il suffit dcrire la

relation1 k

k Tp cte

= pour ltat 1 et pour ltat 2.1 1

1 1 2 2

k k k k T p T p

= ; do1

1 2

2 1

k k T p

T p

=

do 1 22 1

1ln lnT pk T k p

=

do ( )1 22 1

ln 1 lnT pk k T p

=

et 1 2 22 1 1

ln ln lnT p pk T p p

+ =

Finalement, on obtient :

2

1

1 2

2 1

ln

ln ln

p p

k T pT p

=

+

.

c) Pourquoi utiliser une transformation polytropique rversible ?

On modlise souvent une transformation relle irrversible par une transformation fictive rversible polytropique

avec un gaz parfait.


8/10


9/10


Remarque importante : On considre le cas o 2 1C C . Il suffit que la masse du liquide soit trs suprieure la masse du solide car les solides et les liquides ont des capacits thermiques massiques du mme ordre de

grandeur : 1 01 2 02 2 02 021 2 2

F

C T C T C T T T

C C C

+= +

Le liquide joue alors le rle dune source de chaleur et impose sa temprature au systmeT 02. On va reprendrecette question dans le paragraphe suivant en considrant que le solide est en contact avec une source dechaleur.

b) Cas dun systme de taille finie et dune source de chaleurtat initial : solide de massem1 deau (capacit thermique massiquec1) la tempratureT 01.Le solide est en contact avec une source de chaleur la tempratureT 02.tat final : La temprature se stabilise donc T 02 puisque la source de chaleur impose sa temprature au systme.Systme ferm : {massem1 de solide}

Bilan dentropie en trois tapes :

Calcul de S : 021 101 01

ln ln F T T S C C T T

= =

Calcul de lentropie change :02

e

S

Q QS

T T = =

Pour calculer le transfert thermique reu par le systme, onapplique le premier principe. La transformation est isobare, donc H Q = .

Pour un solide de volume constant :d d H C T = , donc ( )1 02 01 H C T T = , soit( )1 02 01

02e

C T T S

T

=

Entropie cre : ( )1 02 0102101 02

lnc eC T T T

S S S C T T

= = .

Application numrique :T 01 = 350 K ;T 02 = 300 K ;C 1 = 4 kJ.K -1. On trouveS c = 45 J.K -1.Lentropie cre est positive. La transformation irrversible. Cest normal puisque le transfert thermique se faitspontanment du corps le plus chaud vers le corps le plus froid.

c) Cas dun systme de taille finie et deux sources de chaleurOn envisage un autre chemin pour aller de la tempratureT 01 = 350 K la tempratureT 02 = 300 K. Le solide est dabord mis en contact avec une source de chaleur la tempratureT E = 325 K. On passe par un

tat intermdiaire o le solide est en quilibre avec la sourceT E . Le solide est ensuite mis en contact avec une autre source de chaleur la tempratureT 02 = 300K.

I E F Solide T 01 = 350 K Solide T E = 325 K Solide T 02 = 300 K

Bilan dentropie pour la transformation I E :

Calcul de I E S : 101

ln E I E T

S C T

=

Calcul de lentropie change :eI E E

QS

T =

Pour calculer le transfert thermique reu par le systme, on applique le premier principe. La transformation est

isobare, donc ( )1 01 E H Q C T T = = et( )1 01 E

eI E

E

C T T S

T

=

Entropie cre : ( )1 01 1101

ln 12,5 J.K E E cI E I E eI E E

C T T T S S S C

T T

= = = .

Bilan dentropie pour la transformation E F : ( )1 02 102102

ln 10,7 J.K E cE F E F eE F E

C T T T S S S C

T T

= = =

Lentropie cre pour la transformation I F vaut : 123,2 J.K c cI E cE F S S S = + = Lentropie cre dpend du chemin suivi entre deux tats deux tats. Comme la variation dentropie ne dpend pasdu chemin suivi, lentropie change dpend aussi du chemin suivi.

solidemasse m1

T T S = 02

Q source dechaleur


10/10


A

B

C

D

A

B

C

D

partie commune (PC)masse dqui rentre

pendant d

m

t

1

masse dqui sort

pendant d

m

t

2 partie commune (PC)

A

B

C

D

p , T , h1 1 1 p , T , h2 2 2

Lentropie cre est plus faible avec une source temprature intermdiaire. Lentropie cre mesurelirrversibilit dune transformation.On admet que si le nombre de sources de chaleur tend vers linfini, lentropie cre tend vers 0.Une transformation rversible est donc un cas limite idal.

VIII.3 Dtente de Joule-Thomson

Le systme ABCD est un systme ouvert (appel partie commune PC).On seramne un systme ferm( ) de la faon suivante : systme ferm( ) t : partie commune (PC) + masse dm1 (de volume dV 1) qui rentre pendant dt . systme ferm( ) t +dt : partie commune (PC) + masse dm2 (de volume dV 2) qui sort pendant dt .

On se place enrgime permanent, donc 1 2d d dm m m= = et ( ) ( )d PC PC S t t S t + =

On assimile le fluide ungaz parfait.Le premier principe de la thermodynamique pour un systme ouvert en rgime permanent scrit :2 1 0h h h = = .Pour un gaz parfait, on a ( )2 1 0 pc T T = , donc 2 1T T = .

Bilan dentropie au systme ferm( ) : Calcul de dS : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 1d d d d +d d PC PC S S t t S t S t t m s S t m s m s s = + = + + =

On a vu au paragraphe VI.1 que 2 22 11 1

ln ln pT p

S S C nRT p

= . CommeT 2 = T 1. On a en grandeurs massiques :

2 22 1

1 1

ln ln p pnR R s sm p M p

= = et ( ) 22 11

d d d ln p RS m s s m p

= =

Entropie change : 0eS = par les parois sont calorifuges. Entropie cre : 2

1

d d lnc p R

S S m p

= =

On observe toujours une baisse de pression pour la dtente de Joule-Thomson :2 1 p p< , on a donc 0cS > .

Interprtation : On a une irrversibilit mcanique cause de l'tranglement (frottements entre le fluide et la paroi etforces de viscosit).

34-105 Thermodynamique Deuxieme Principe

Documents

Transcript of 34-105 Thermodynamique Deuxieme Principe