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Cours d’Optique (31-101) sur 16 JN Beury

APPROXIMATION DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE – LOIS DE DESCARTES

I. NOTION EXPÉRIMENTALE DE RAYON LUMINEUX Les phénomènes lumineux correspondent à un transport d’énergie lumineuse émise sous forme de lumière par des sources lumineuses.

I.1 Présentation des sources lumineuses

a) Sources thermiques Leur fonctionnement est basé sur l’émission lumineuse d’un corps chauffé à haute température (incandescence). Les matériaux employés (tungstène, carbone) émettent un rayonnement voisin de celui d’un corps noir. Le spectre est continu et couvre l’ensemble du domaine visible, si bien que l’œil a l’impression d’une lumière blanche. Ce spectre s’étend bien au-delà du visible, notamment dans l’infrarouge.

• Lampes à incandescence ordinaires Le filament de tungstène est porté à une température d’environ 2800 K. Il est placé dans une atmosphère gazeuse inerte pour ralentir sa vaporisation. La distribution spectrale visible est à peu près celle d’un corps noir porté à la même température. Pour le corps noir, la longueur d’onde λm du maximum d’émission est relié à la température T par : λ m T = 2900 µm.K. La plus grande partie de l’énergie est donc située dans le domaine infrarouge. Elles peuvent être conçues pour être utilisées en 220 V (éclairage domestique) ou en basse tension (6, 12 ou 24 V).

• Lampes à incandescence quartz-halogène (en particulier quartz-iode) Le principe est le même mais on ajoute à l’intérieur de l’ampoule un gaz halogène. Celui-ci (ici l’iode) empêche la formation d’oxydes de tungstène qui détérioreraient la surface du filament. Celui-ci peut donc être porté à une température plus élevée (3200 K) que dans une lampe à incandescence ordinaire et donc de déplacer l’ensemble du spectre vers le visible, ce qui augmente l’efficacité lumineuse. C’est l’élément de base de l’éclairage « halogène » et des phares à « iode » des voitures. Conséquences à rendement accru :

Lumière “plus blanche” : le spectre est toujours continu mais il y a plus de bleu. Nécessité d’une enveloppe en quartz car aux températures d’utilisation le verre ordinaire se

déformerait.

b) Lampes spectrales La lumière est émise grâce à une décharge électrique dans un gaz : sodium, mercure, cadmium, hydrogène… Le spectre de la lumière émise n’est pas continu, c’est un spectre de raies caractéristiques du gaz utilisé.

La lampe est constituée de deux électrodes, alimentées le plus souvent à travers une inductance et placées à l’intérieur d’une

ampoule transparente contenant l’élément qui fournit le spectre d’émission. En régime stationnaire, la lampe est chaude et

l’élément sous forme de vapeur. L’émission thermoélectronique des électrodes provoque un flux d’électrons ; ils entrent en

collision avec les atomes de la vapeur qui subissent des transitions vers des états excités. Leur désexcitation produit l’émission

de lumière. Longueurs d’onde des principales raies visibles émises par les lampes spectrales utilisées en TP :

Sodium 616 nm 589,6 nm et 589,0 nm 568 nm 515 nm 498 nm 466 nm rouge doublet jaune vert bleu1 bleu2 violet

Mercure 579,1 nm 576,9 nm 546,1 nm 491,6 nm 435,8 nm 407,7 nm 404,6 nm jaune vert1 jaune vert2 vert intense vert bleu bleu intense violet faible violet intense

Les lampes spectrales ont leur propre alimentation. Elles n’éclairent bien qu’un certain temps après avoir été allumées. Si on éteint une lampe spectrale, elle ne se rallume pas toujours immédiatement, il faut alors attendre plusieurs minutes qu’elle refroidisse.


Impulsion

Atomes

c) Tube fluorescent Contrairement à ce que l’on croit souvent, ce ne sont pas des tubes au néon mais à vapeur de mercure. Leur principe de fonctionnement est le même que celui des lampes spectrales. L’ampoule contient du mercure à très basse pression, ce qui favorise l’émission de raies ultraviolettes. Sur la paroi de l’ampoule est déposée une poudre fluorescente, qui émet une lumière visible lorsqu’elle est éclairée par l’ultraviolet. Le spectre du tube fluorescent dépend de la composition de la poudre : il est la superposition d’un spectre continu de fluorescence et de quelques raies du mercure. L’intérêt de ces tubes par rapport aux lampes thermiques usuelles est que toute l’énergie lumineuse est dans le domaine visible.

Les lampes à basse consommation sont des lampes fluorescentes qui sont une adaptation du tube fluorescent à usage domestique : lorsqu’on émet une décharge électrique dans un gaz composé de vapeurs de mesure, il se produit une lumière ultraviolette. Cette lumière n’est pas directement utilisable, c’est la rencontre entre la lumière ultraviolette et la paroi du tube en verre recouverte d’une poudre fluorescente qui dégage une lumière visible.

Les avantages par rapport aux lampes traditionnelles : réduction de la consommation d’électricité (lumière diffusée par lampe basse consommation de 15 Watt correspond à la lumière d’une lampe habituelle de 60 Watt), durée de vie dix fois plus élevée que les lampes traditionnelles, degré de brûlure moins élevé, considération pour l’environnement.

d) Lasers : “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation” Les lasers couramment utilisés sont les lasers hélium-néon et les diodes laser à semi-conducteurs. Ce sont des sources de faible puissance lumineuse : 0,5 W ou 0,2 W. Leurs principaux intérêts sont :

• lumière monochromatique ( 0λ = 632,8 nm). La raie émise est très fine et connue avec

une très grande précision. Elle est bien plus fine qu’une raie de lampe spectrale. Les plus répandus émettent dans le rouge ( 0λ = 632,8 nm). D’autres émettent dans le vert ( 0λ =

543,5 nm) ou même dans le jaune ( 0λ = 591,1 nm) ou l’orange ( 0λ = 612,0 nm).

• faisceau lumineux étroit, sensiblement parallèle et très lumineux. On peut considérer le laser comme une source ponctuelle. Le faisceau laser peut être assimilé en première approximation à une onde plane.

• cohérence [voir cours de deuxième année]. Il est dangereux de regarder directement le faisceau et il faudra contrôler les faisceaux parasites par interposition d’écrans.

Usinage « athermique » Impulsions ultrabrèves (fs) -> Champ électrique très élevé -> Arrachement des électrons des couches externes -> Création d’ions positifs qui se repoussent -> Éjection de matière sans échauffement

Application à la découpe de matériaux Performances de coupe plaques d’acier - laser CO2 épaisseur = 12 mm ; P = 3 kW ; vitesse 0,8 m/mn Précision de coupe : 0,1 mm


Marché des applications laser

Quelques exemples d’utilisation des lasers Depuis les années 1960, un très grand nombre de lasers ont été mis au point : il en existe actuellement plus d’une centaine de modèles qui diffèrent par leur milieu actif, la méthode de pompage, la puissance… A cette grande variété correspondent de très nombreuses applications. Parfois, on cherche une puissance importante, d’autres fois une très grande directivité ou une bonne monochromaticité, etc. Le choix du laser dépend de l’usage auquel il est destiné. Télémétrie et vélocimétrie On trouve dans les magasins de bricolage de petits lasers qui permettent de mesurer les distances. A une autre échelle, la télémétrie laser est employée pour mesurer précisément la distance Terre-Lune grâce à des miroirs placés sur la Lune lors des missions Apollo. La mesure du temps d’aller retour de la lumière permet de déterminer la distance avec une très faible incertitude (3 mm en 1999). Cette mesure est en fait beaucoup plus difficile qu’elle ne paraît. En effet, ce n’est qu’une très petite fraction des photons émis qui retourne vers le détecteur au sol : de l’ordre de 1 sur 1021 seulement. De plus, il faut les détecter au milieu d’un bruit de fond considérable. Dans certaines applications, le laser est employé comme radar : on obtient un lidar. Selon ses variantes, un lidar permet de mesurer la vitesse des voitures sur les routes, d’analyser la composition de l’air en polluants… ou de déclencher la foudre. Dans ce dernier cas, il s’agit d’un laser extrêmement puissant (1012 W) émettant des impulsions très brèves (10-13 s) : le faisceau ionise l’air suffisamment sur son passage pour déclencher la foudre. On obtient ainsi un paratonnerre optique. Lecteurs CD-DVD La lecture d’un CD ou d’un DVD passe par l’emploi d’un laser. En effet, le codage binaire, quelque peu similaire au code morse, qui permet de transcrire une information à l’aide de deux signes (point-trait), deux valeurs (0-1), deux états (on-off)… se traduit dans les supports CD-DVD par des zones qui renvoient ou non la lumière issue d’un laser. Dans les versions réinscriptibles de ces supports, c’est encore grâce à un laser qu’une zone peut à volonté être rendue réfléchissante ou non réfléchissante… Par ailleurs, en raison de la longueur d’onde plus courte de la lumière bleue, l’emploi d’un laser de cette couleur permet d’inscrire davantage d’informations par rapport à un laser rouge. Les lasers bleus sont en cours de commercialisation. Le laser en médecine et en biologie On emploie les lasers en ophtalmologie, notamment pour recoller par photo coagulation les rétines décollées. Le laser permet aussi dans certains cas de détruire des tumeurs. On peut également employer des faisceaux laser comme pinces et ciseaux optiques permettant de manipuler des chromosomes par exemple. Le laser et l’usinage L’industrie automobile et l’industrie textile font un grand usage des lasers pour la découpe. A titre d’exemple, avec un laser CO2 de 800 W, il est possible de découper une tôle de 1 mm d’épaisseur à la vitesse de 5 m à la minute. La fusion thermonucléaire Une des voies vers la fusion thermonucléaire contrôlée passe par l’usage de lasers ultra puissants, comme le laser Mégajoule en développement à Bordeaux : 240 faisceaux laser ultraviolets déposeront 2.106 joules en 10-12 secondes dans un volume de quelques millimètres cubes enfermant le mélange fusible deutérium-tritium. Ce laser devrait être opérationnel en 2010. Atomes ultra-froids En 1997, Claude Cohen-Tannoudji s’est vu décerner le prix Nobel de physique pour ses travaux relatifs au refroidissement des atomes, travaux grâce auxquels il a su refroidir des atomes aux environs de un millionième de Kelvin seulement au-dessus du zéro absolu ! Le ralentissement jusqu’à la quasi immobilisation des atomes est obtenu grâce à la pression (de radiation) de plusieurs faisceaux lasers. Le laser en chimie Grâce à des impulsions ultra brèves délivrées par certains lasers, dits « femto secondes », il est possible de suivre à l’échelle atomique et moléculaire le déroulement d’une réaction chimique. Pour ses travaux en femto chimie, Ahmed Zewail a reçu le prix Nobel de chimie en 1999. Lasers naturels Au cours des années 1960 les physiciens découvrent dans certains nuages denses interstellaires des émissions si intenses qu’elles ne pouvaient résulter que d’une amplification par émission stimulée. Il s’agissait de rayonnement micro-ondes, donc de masers. Plus récemment, on a découvert le même phénomène mais dans le domaine optique, dans les atmosphères de Vénus et de Mars : des raies infrarouges de CO2 à 10,4 et 9,4 micromètres. Il est même possible que l’on ait observé un laser cosmique UV à 0,25 micromètre dans l’un des nuages issus de l’explosion de l’étoile η Carinae. Dans ces exemples, il n’y a bien entendu aucun oscillateur ; il s’agit simplement d’une amplification par émission stimulée. Le rôle de « pompe » est souvent joué par le rayonnement d’une étoile voisine.


S I

LASER

craie

écran

I.2 Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu homogène et isotrope La lumière se propage dans le vide mais aussi dans des milieux que l’on qualifie de « transparents » : gaz (air par exemple), eau, benzène, solides (quartz, verres)… Un milieu est homogène s’il a même composition en tous ses points. Un milieu est isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions. Dans un milieu homogène et isotrope, l’énergie lumineuse se propage alors de façon rectiligne selon des directions que l’on appelle rayons lumineux.

I.3 Faisceau lumineux, pinceau lumineux, rayon lumineux Les sources lumineuses sont très complexes et font intervenir des phénomènes physiques et chimiques très variés et ont une certaine extension spatiale. On ne considérera cette année que des sources lumineuses ponctuelles à partir desquelles sont émis des faisceaux de lumière divergents. • Un faisceau lumineux divergent issu de S est constitué de rayons lumineux rectilignes. • Un faisceau lumineux est parallèle si on se place très loin d’une source. La lumière émise par un laser

est quasiment parallèle. • Un faisceau lumineux est convergent avec des dispositifs optiques que l’on appellera systèmes

stigmatiques convergents. Un faisceau lumineux est caractérisé par sa puissance lumineuse (voir cours de deuxième année) et par sa nature spectrale (voir paragraphe Aspect ondulatoire).

I.4 Tentative pour isoler un rayon lumineux : diaphragme et diffraction On considère un laser qui émet une lumière monochromatique rectiligne. En interposant de la craie sur le faisceau du laser, on peut mettre matérialiser la trajectoire du faisceau puisque la lumière est diffusée dans toutes les directions. Est-il possible d’isoler un rayon lumineux ? On va placer un diaphragme de largeur a variable à la sortie du laser. On constante que si la largeur est grande, on observe un point lumineux sur l’écran. Par contre, si la largeur a diminue, la trace du faisceau sur l’écran donne une tache qui s’élargit à mesure que a diminue. On observe une structure complètement différente : une tache centrale très lumineuse entourée de taches secondaires beaucoup moins intenses. Ce phénomène s’appelle la diffraction. Il sera étudié en deuxième année. Le faisceau diffracté est divergent ; son ouverture angulaire est

approximativement égale à 02aλ

.

http://www.walter-fendt.de/ph14f/singleslit_f.htm On ne peut donc pas isoler un rayon lumineux. On peut cependant considérer qu’un faisceau de lumière est formé de rayons lumineux. L’étude de la marche de ces rayons constituant le but de l’optique géométrique.


I.5 Limites de validité de l’optique géométrique • Si la dimension de l’obstacle est inférieure à 0400λ (L < 0,2 mm), la diffraction apparaît. Les lois de

l’optique géométrique sont mises en défaut. • Pour pouvoir appliquer les lois de l’optique géométrique, il faut donc considérer des faisceaux

lumineux limités par des diaphragmes dont les dimensions linéaires sont grandes devant la longueur d’onde (en pratique supérieure à 400 fois la longueur d’onde, soit > 0,2 mm).

II. ASPECT ONDULATOIRE Beaucoup de faits expérimentaux (interférences, diffraction…) conduisent à un caractère ondulatoire de la lumière.

II.1 Lumière monochromatique Une lumière monochromatique est une vibration idéale purement sinusoïdale de la forme :

( ) ( ) ( )( ), coss M t A M t Mω ϕ= − (Voir cours de deuxième année pour l’utilisation de cette relation)

où ω est une pulsation constante. A(M) est l’amplitude et ( )Mϕ le retard de phase au point M.

La vibration lumineuse monochromatique présente également une périodicité dans l’espace. Elle est caractérisée par :

• pour les variations temporelles : la période T, la fréquence f ou ν et la pulsation 2 2 2fTπω π πν= = = ;

• pour les variations spatiales : la longueur d’onde (période spatiale) λ , le nombre d’onde (fréquence spatiale) σ .

Attention : la pulsation, la période et la fréquence ne dépendent pas du milieu de propagation. Par contre, la longueur d’onde dépend du milieu de propagation. • Dans le vide où l’onde se propage à la vitesse c, on note 0λ la longueur d’onde de l’onde dans le vide.

0 cTλ =

• Dans un milieu matériel où l’onde se propage à la vitesse v , on note λ la longueur d’onde. vTλ =

Dans les exercices, la valeur numérique donnée est toujours la longueur d’onde dans le vide très souvent notée

0λ mais parfois notée λ dans les problèmes de concours !!! Dans la suite du cours, nous noterons 0λ la longueur d’onde dans le vide.

II.2 Indice d’un milieu • La vitesse de propagation de la lumière dans le vide est c = 299 792 458 m.s-1.

On prendra dans les exercices, c = 3×108 m.s-1. • Dans un milieu matériel où l’onde se propage à la vitesse v.

On définit l’indice du milieu cnv

= . Dans les milieux usuels, l’indice est supérieur ou égal à 1.

Voir cours de deuxième année : dans les plasmas, on peut définir un indice inférieur à 1. Exemple :

Milieu Vide

Air Eau Verre Fluorine Crown Flint léger

Flint moyen

Flint lourd

Diamant

Indice 1 1,000293 ≈ 1 1,33 1,5 1,44 1,52 1,58 1,66 1,9 2,44

L’indice dépend de la longueur d’onde selon la loi de Cauchy : 20

Bn Aλ

= + .

Très souvent dans les exercices, λ désigne la longueur d’onde dans le vide. On l’écrit alors : 2

Bn Aλ

= +


II.3 Longueurs d’onde des ondes électromagnétiques Une onde électromagnétique assure, par l’intermédiaire d’un champ électrique (et magnétique) variable qui se propage, un transport d’énergie. Les ondes électromagnétiques, détectables de nos jours, ont des longueurs d’onde variant environ de 10-14 m jusqu’à 108 m. Elles ont des noms divers selon leur mode d’émission, mais le phénomène fondamental correspond toujours à une réponde de la matière à une excitation. Les lumières visibles par l’œil humain ont des longueurs d’onde dans le vide comprise entre 400 nm et 750 nm environ et une fréquence moyenne de 6×1014 Hz. L’œil perçoit chaque fréquence comme une couleur différente.

0 (nm)λ < 400 500 550 590 630 > 750 (Hz)ν > 7,5×1014 6×1014 5,5×1014 5,1×1014 4,8×1014 < 4,0×1014

Couleur Ultra violet Bleu Vert Jaune orangé Rouge Infra rouge


III. LOIS FONDAMENTALES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

III.1 Propagation rectiligne de la lumière Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite

III.2 Principe du retour inverse L’expérience montre que dans un milieu transparent, isotrope, homogène ou non, le trajet de la lumière est indépendant du sens de parcours. Si un rayon lumineux part de A pour aller vers A’ en suivant un certain trajet, un autre rayon lumineux peut partir de A’ et suivre le même chemin pour aller vers A.

III.3 Principe de l’indépendance des rayons lumineux Les cheminements de différents rayons lumineux traversant un instrument optique sont indépendants. Ce principe intervient dans toutes les constructions d’images en optique géométrique et est en général bien vérifiée par ses conséquences.

Remarque : En fait, si la source S est très fine et si on diminue l’ouverture du diaphragme, l’éclairement en un point de l’écran est modifié : c’est le phénomène de diffraction. Il existe des conditions particulières où au lieu d’être indépendants, les rayons lumineux peuvent interférer entre eux : voir cours sur les interférences en deuxième année. Ce n’est plus de l’optique géométrique.

IV. LOIS DE DESCARTES (OU SNELL-DESCARTES)

IV.1 Définition

a) Dioptre On appelle dioptre la surface de séparation de deux milieux transparents différents. Cette surface pour être parfaite du point optique ne doit présenter que des aspérités dont les dimensions sont très inférieures à la longueur d’onde.

b) Réflexion et réfraction Un rayon lumineux incident se sépare généralement en deux au point d’incidence I : • Une partie de la lumière est réfléchie : réflexion de la

lumière • L’autre partie pénètre dans le milieu avec un changement de

direction : réfraction de la lumière. Lorsque le rayon réfracté se rapproche de la normale au dioptre, le second milieu est qualifié de moins réfringent.

Le plan d’incidence est défini par la direction du rayon incident et la normale au dioptre au point d’incidence. Les lois de la réflexion et de la réfraction ont été établies par Snell en 1621 puis par Descartes en 1637.

IV.2 Lois de Descartes de la réflexion On peut avoir réflexion de la lumière sur un dioptre ou sur un miroir. L’angle d’incidence est l’angle entre la normale au dioptre et le rayon incident. L’angle de réflexion est l’angle entre la normale au dioptre et le rayon réfléchi. Les angles sont orientés algébriquement. Sur le schéma, on a i > 0 et r < 0. 1ère loi de Descartes de la réflexion : le rayon incident et le rayon réfléchi sont contenus dans le plan d’incidence. 2ème loi de Descartes de la réflexion : le rayon réfléchi est symétrique du rayon incident par rapport à la normale à la surface réfléchissante. L’ange de réflexion r est l’opposé de l’angle d’incidence i : r i= − .

Il faut bien orienter algébriquement les angles. On calcule souvent dans les exercices la déviation d’un rayon lumineux.

dioptreI

rayonincident

rayonréfléchi

rayonréfracté

normale audioptre

i

dioptre oumiroirI

r


i

dioptre ou miroir

I

D

-i

n1

n2

i1

i2

dioptreI

D

Sur l’exemple ci-dessous, il faut bien faire attention que la déviation vaut 2D iπ= − et non 2i.

IV.3 Diffusion de la lumière La diffusion de la lumière est une forme particulière de réflexion. Considérons un corps mat, c'est-à-dire non brillant ou non poli. La surface de ce corps présente en chaque point un grand nombre de facettes ayant toutes les orientations. Lorsqu’un rayon lumineux arrive sur une de ces facettes, il est réfléchi comme sur un miroir. Cela se produit ainsi sur toutes les facettes et comme celles-ci ont toutes les orientations, globalement il n’y a pas de direction de réflexion privilégiée. On dit que la lumière incidente est diffusée. Dans la plupart des cas, la lumière diffusée a même longueur d’onde que la lumière incidente. C’est la diffusion qui nous permet de voir les corps mats. Le polissage d’une surface d’un corps permet d’obtenir des facettes ayant toutes la même direction locale, donc une direction unique de réflexion pour la lumière.

IV.4 Lois de Descartes de la réfraction On étudie la réfraction de la lumière sur un dioptre. On ne représente pas le rayon réfléchi sur le schéma. L’angle d’incidence est l’angle entre la normale au dioptre et le rayon incident. L’angle de réfraction est l’angle entre la normale au dioptre et le rayon réfracté. 1ère loi de Descartes de la réfraction : le rayon incident et le rayon réfracté sont contenus dans le plan d’incidence. 2ème loi de Descartes de la réfraction : 1 1 2 2sin sinn i n i= . Si 2 1n n> , alors 2 1sin sini i< et 2 1i i< . Le milieu 2 est plus réfringent que le milieu 1. Le rayon réfracté se rapproche de la normale du dioptre. Si 2 1n n< , alors 2 1sin sini i> et 2 1i i> . Le milieu 2 est moins réfringent que le milieu 1. Le rayon réfracté s’éloigne de la normale du dioptre. La déviation algébrique vaut : 2 1D i i= −

n1

n2

i1

i2

dioptreI


a) Milieu 2 plus réfringent que le milieu 1 On a 2 1n n> , donc 2 1i i< . Le rayon réfracté se rapproche de la normale du dioptre.

L’angle i1 peut varier entre 2π− et

2π .

La valeur maximale de i1 est 2π . On en déduit la valeur maximale de i2 :

2 2 max 1sin sin2

n i n π= , soit 1

2 max2

sinn

in

= . Imax existe toujours.

Le rayon réfracté existe toujours.

b) Milieu 2 moins réfringent que le milieu 1 On a 2 1n n< , donc 2 1i i> . Le rayon réfracté s’éloigne de la normale du dioptre.

On a 1 1 2 2sin sinn i n i= . D’où 12 1

2

sin sinn

i in

= . L’angle i2 existe uniquement si 2sin 1i ≤ , soit

11

2

sin 1n

in

≤ . Pour que le rayon réfracté existe, l’angle d’incidence doit donc être inférieur à un

angle limite : 1 limitei i≤ avec 2limite

1

sinn

in

=

Exemple : dioptre eau – air : n1 = 1,33 et n2 = 1,00. On a alors limite 48,8i = ° .

Si 1 limitei i> , la relation entre i1 et i2 ne peut plus être satisfaite. Il n’y a plus de rayon réfracté. Toute

la lumière incidente est alors réfléchie. On dit qu’on a un phénomène de réflexion totale.

Applications : fibre optique.

http://www.cabri.net/cabrijava/refradisok.html

http://www.walter-fendt.de/ph14f/refraction_f.htm

n1

n2

i1

i2

dioptreI

n1

n2

i1

i2

dioptreI


IV.5 Calcul de la déviation d’un rayon lumineux Dans beaucoup d’exercices (arc en ciel, prisme…), on demande de calculer la déviation d’un rayon

lumineux. La méthode est de calculer les déviations successives du rayon lumineux et d’en déduire la

déviation en sommant les déviations successives.

IV.6 Calcul d’un minimum de déviation On a souvent des expressions compliquées de la déviation en fonction d’un paramètre.

Voir le TD corrigé sur l’arc en ciel pour la mise en place des deux méthodes. L’angle α est déterminé à

partir des deux relations : 4 2

sin sinr i

i n rα = −

=. On a donc

sin4Arcsin 2i in

α = −

.

On cherche à calculer l’angle d’incidence i pour lequel d 0diα

= .

Méthode 1 : Utiliser ( )( )

2

d Arcsin 1d 1

x

x x=

−

2

d cos 14 2d sin1

ii n i

n

α= −

−

On cherche la valeur de i telle que d 0diα

= . Soit 2cos sin2 1i i

n n = −

. On élève au carré et on utilise

2 2cos sin 1i i+ = pour exprimer cos i en fonction de sin i. ( )2 2

2

1 sin sin4 1i i

n n− = −

, d’où

2

2 2

4 3sin 1in n

= + . On obtient : 2

2 4sin3m

ni −=

Méthode 2 On évite des calculs fastidieux avec les fonctions Arcsin en cascade :

4 2sin sin

r ii n r

α = − =

. On calcule la différentielle de ces deux expressions : d 4d 2dcos d cos d

r ii i n r r

α = − =

. On peut éliminer

facilement dr.

Soit cosd 4 d 2dcos

i i in r

α = − , d’où d cos4 2d cos

ii n rα

= − .

On cherche la valeur de i telle que d 0diα

= . Soit 2cos cosi n r= . On élève au carré et on utilise

2 2cos sin 1i i+ = et 2 2cos sin 1r r+ = pour tout exprimer en fonction des sin. Il reste ensuite à utiliser la loi de Descartes en A.

( ) ( )2 2 22cos cos 4 1 sin 1 sini n r i n r= ⇔ − = −

D’où ( )2

2 22

sin4 1 sin 1 ii nn

− = −

. On obtient : ( )

22

2 2

4 sin1 sin 1 iin n

− = − , soit 2

2 2

4 3sin1 in n

− = . On retrouve

bien : 2

2 4sin3m

ni −=


V. LES FIBRES OPTIQUES

V.1 Principe des fibres optiques Une fibre optique est formée d'un ensemble de fins fils de verre ou d'un matériau transparent d'indice de réfraction élevé, constituant le cœur (ou l'âme), entouré d'un matériau transparent d'indice plus faible constituant la gaine.

La lumière se propageant dans la fibre frappe l'interface cœur-gaine sous un angle supérieur à l'angle limite, ce qui se traduit par une réflexion totale sur cette interface ; la lumière revient dans la fibre où elle subit une autre réflexion totale etc.

Elle peut ainsi subir des milliers de réflexions et donc se propager dans la fibre sans perte.

Le matériau constituant le cœur doit être le plus pur possible de manière à limiter les phénomènes de diffraction sur les impuretés : pour que la propagation se fasse sans perte il faut que le trajet de la lumière ne soit pas perturbé.

Actuellement, le cœur est en quartz très pur. Le diamètre de celui-ci peut être d'une fraction de millimètre ou même beaucoup plus faible : il existe des fibres dont le cœur mesure quelques nanomètres. Ces fibres sont associées par centaines et par milliers dans un ensemble dont le diamètre global peut être inférieur au centimètre.

V.2 Applications L'application la plus simple des fibres optiques est la transmission de la lumière vers des endroits difficiles à atteindre. L’ensemble peut également servir à transmettre des images : la lumière est acheminée par certaines fibres, se réfléchit à l'extrémité et revient par d'autres fibres. Cette application est très utilisée en médecine pour explorer divers endroits du corps humain (exemple: gastroscopie) ainsi qu'en chirurgie par laser où les fibres acheminent la lumière provenant d'un laser. Les fibres peuvent également être utilisées dans le domaine des capteurs, les fibres servant à acheminer les informations vers les capteurs ou venant de ceux-ci. Ce domaine d'application est à peu près illimité car la lumière se propageant dans la fibre est sensible à de multiples changements de l'environnement tels la pression, les ondes sonores, les tractions mécaniques, la chaleur, le mouvement. Un domaine d'application de plus en plus important est celui des communications. On met à profit le fait que la capacité de transport d'une fibre augmente avec la fréquence on utilise, de ce fait, un laser. La voix, au lieu d'être transformée en impulsions électriques comme dans une installation téléphonique traditionnelle, est transformée en impulsions optiques fournies par un laser. Ces impulsions sont transportées par la fibre et transformées à l'autre extrémité en impulsions sonores. Le progrès apporté par les fibres optiques est considérable : les câbles permettent de transmettre trente conversations simultanées, alors que les fibres permettent la transmission de près de deux mille conversations. D'autre part, les stations d'amplification permettant de régénérer le signal sont distantes d'environ 100 kilomètres, au lieu de 1,5 kilomètre pour les installations à câble. Enfin, le faible encombrement des fibres par rapport aux câbles permet, à volume égal, des installations beaucoup plus performantes.


12

EExxeemmppllee ddee lliiaaiissoonn ooppttiiqquuee lloonngguuee ddiissttaannccee

Utilisation de fibres optiques pour transmettre les informations

Émetteur Diode laser

continu modulateur

Information

Récepteur

Codeur

R R

Décodeur

Fibre optique : faibles pertes

R:

Fibre de ligne Fibre de ligne Fibre de ligne

Répéteurs tous les 100 kms Bande vers 1550 nm

Modulation d’intensité Codage binaire

Travaux de Corning dans les années 1970 --> forte diminution de l’atténuation (de 100 dB à 0,2 dB par km)

TTrraannssmmiissssiioonnss ppaarr ffiibbrreess

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/fibr_str.html


PPrriinncciippee dd’’uunn aammpplliiffiiccaatteeuurr àà ffiibbrree ddooppééee eerrbbiiuumm

Entrée

Coupleur 5 %

Photodiode de contrôle

Isolateur optique

Photodiode de contrôle

Isolateur optique

Fibre optique dopée à l’erbium

Coupleur 5 % Diode laser

de pompe 0,98 µm

Diode laser de pompe 1,48 µm

Sortie

Grande bande passante : jusqu ’à 40 Gbits/s étudié actuellement Possibilité d’amplifier plusieurs longueurs d’onde en même temps (1530-1560 nm, bande d ’amplification de l ’erbium)

«multiplexage» en longueur d’onde ou Wavelength Division Multiplexing (WDM)

RRééppéétteeuurrss ooppttiiqquueess


n1

n2

n3

z

r

grad n

VI. LES MIRAGES Le principe du phénomène du mirage repose seulement sur la loi fondamentale de l'optique géométrique gouvernant la trajectoire des rayons lumineux en milieu non homogène. Le principe de réfraction et de réflexion totale mis en évidence dans l'expérience régit son fonctionnement. En effet, dans le cas d'un mirage, c'est l'air, constitué d'une multitude de couches de températures différentes qui détourne le trajet de la lumière. L'indice de réfraction d'un gaz diminue lorsque sa température augmente.

Loi de Gladstone : 1n cteρ−

= .

Pour un gaz parfait à pression constante, si la température diminue, la masse volumique augmente, et donc l’indice augmente. Exercice : Considérer un milieu stratifié. L’indice ne dépend que de l’altitude z. Montrer que si n1 > n2 > n3, alors i1 < i2 < i3. En déduire que le rayon oblique peu à peu vers les zones d’indice plus élevé. Un rayon oblique dirigé vers le sol peut donc suivre un chemin courbe à cause des variations de l'indice de l'air. L'observateur, dont l'œil reçoit ces rayons, a l'impression qu'ils ont été émis par des sources situées sur les tangentes au niveau de son œil. Pour ces détecteurs, les rayons se trouvent en droite ligne de cette direction. On trouve trois types de mirages.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/mirages.html

VI.1 Le mirage supérieur Dans les observations d'objets situés à grande distance, la courbure de la Terre et la courbure naturelle des rayons lumineux ont pour conséquence qu'au-delà d'une certaine distance, la base d'un objet distant (une montagne ou une île par exemple, voire tout l'objet) est masquée par la courbure de la Terre. Dans de telles observations, l'apparition d'un mirage supérieur est intéressante : accentuant la courbure des rayons lumineux, il permet la réapparition de la zone disparue de l'objet observé, voire de tout l'objet lui-même (il peut apparaître inversé). Les mirages supérieurs se produisant plus facilement au-dessus d'une mer froide, cette situation a été plusieurs fois reportée dans des ports, où des navires furent aperçus au loin plusieurs jours avant leur arrivée : cachés par l'horizon, ils n'auraient pas pu être vus en temps normal !

Mirage supérieur exceptionnel au dessus de la ville de Salers, dans le Cantal (cliché réalisé par l’abbé Gély vers 1900)


http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/mir_sup_strat.html

VI.2 Le mirage inférieur On peut observer l'effet inverse en présence d'un mirage inférieur affectant la base de l'image d'un objet observé à grande distance qui peut disparaître sous l'horizon, alors que le reste n'est pas affecté par le mirage : on a alors l'impression de voir flotter l'objet au-dessus de l'horizon. Les mirages inférieurs apparaissent plus facilement au-dessus d'une étende de mer ou de terre chaude ; ainsi, en été, on a parfois l'impression de voir au loin sur une route goudronnée des flaques d'eau qui disparaissent quand on s'approche.


http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/mir_inf_strat.html

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