3. Magnأ©tisme Electricitأ© 18 3.2 Champ magnأ©tique et courant En 1820, Hans Oersted...

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    3. Magnétisme

    3.1 Champ magnétique et aimant Les aimants ont la propriété de dévier les aiguilles de boussole et d'attirer les clous. L'origine de cette propriété est complexe. Nous nous contenterons pour l'instant de décrire les effets produits par les aimants: ces derniers créent dans l'espace qui les entoure, un champ magnétique. Le corps épreuve utilisable pour mettre en évidence la présence et la 'forme' d'un champ magnétique, sont les aiguilles de boussole ou, si l'on veut davantage de précision, la limaille de fer. Aiguilles de boussole et limaille montrent les lignes de champ. Le champ magnétique lui- même, caractérisé par une intensité et une direction, c'est-à-dire étant une grandeur vectorielle, est tangent en chaque point aux lignes de champ. Notation: vecteur champ magnétique B

    Unités: Tesla [T]

    Exemples: Limaille de fer autour d'un barreau aimanté:

    Boussoles disposées autour d'un barreau aimanté:

    Lignes de champ magnétique autour d'un barreau aimanté:

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    Lignes du champ magnétique terrestre:

    Ordre de grandeur: A la surface de la Terre: 0,5.10-4 T A la surface du Soleil: 10-2 T Etoile à neutron: 108 T Aimant de labo: 0,01 à 0,02 T TV: 10-4 T

    Champ magnétique résultant:

    Si l'on superpose des champs magnétiques Bi provenant de diverses sources, quelles qu'elles soient, le champ total se calcule en additionnant vectoriellement (par calcul ou par dessin) les champs individuels: Btot

    = B →

    i∑ . Par exemple, si l'on superpose au champ magnétique terrestre celui d'un petit aimant, on aura:

    BTerrestre

    B résultant

    BAimant

    La question qui se pose maintenant, est de comprendre l'origine du champ magnétique. Les aimants, la Terre sont tous des systèmes complexes. Ne peut-on produire un champ B de manière plus simple et plus contrôlable?

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    3.2 Champ magnétique et courant En 1820, Hans Oersted découvre par hasard qu'un fil électrique parcouru par un courant I produit une déviation de l'aiguille de boussole: cette dernière s'oriente perpendiculairement à la direction du fil.

    I

    Aiguille de boussole

    L'effet du courant électrique est analogue à celui produit par un aimant. On en conclut que le courant électrique est la source du champ magnétique. Examinons un certain nombre de situations particulières:

    (a) Fil rectiligne: En saupoudrant de limaille de fer un plan perpendiculaire à la direction du courant, on peut mettre en évidence les lignes de champ.

    L'intensité du champ magnétique en un point, est proportionnelle à l'intensité du courant I et inversement proportionnelle à la distance r à laquelle on se trouve du fil. L'expression pour B

    est B = µ 0 ⋅ I 2πr

    où µ 0 est la perméabilité du vide et vaut 4π .10-7 Vs/Am

    Le courant I apparaît en A, r en m et B s'exprime en T.

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    (b) Boucle plate: La limaille met en évidence les lignes de champ suivantes:

    s

    Le champ magnétique, au centre de la boucle plate de rayon a (en m) et parcourue par un courant I(en A), vaut B = µ 0 ⋅

    I 2a

    [T]

    (c) Solénoïde: Il comporte N spires, sa longueur vaut L et il est parcouru par un courant d'intensité I.

    On remarque que le champ magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde et nul à

    l'extérieur. Son intensité vaut: B = µ 0 ⋅ N ⋅ I L

    où N est un nombre, I en A et L en m. Alors B est

    exprimé en T.

    Exemples: 1) Que vaut le champ magnétique à 10 cm d'un fil parcouru par un courant de 0,5 A? 10 A? Rép. 1µT ; 20 µT

    2) Que doit valoir le courant parcourant une bobine plate de diamètre 12 cm pour que le champ au centre soit égal au champ magnétique terrestre? Discuter les orientations des deux champs. Rép. 4,8 A 3) Une bobine longue de 8cm, comportant 500 spires est parcourue par un courant I. Que doit valoir I pour que le champ dans le solénoïde soit de 20 mT? Rép. 2,54 A

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    3.3 Force de Laplace On a vu au paragraphe précédent que le champ magnétique pouvait être produit par un courant. Celui-ci agit à son tour sur un élément parcouru par un courant. L'expérience montre que si l'on soumet un échantillon rectiligne parcouru par un courant I à l'influence d'un champ magnétique B, la force exercée sur l'échantillon est perpendiculaire à la fois à B et à la direction de I:

    La force, dite de Laplace, s'exprime par: FLap →

    = L ⋅ I →

    × B →

    , où L est la longueur de l'échantillon plongée dans le champ. Plus généralement, c'est la longueur L qui porte la direction de I. Force de Laplace: FLap

    = I ⋅ L →

    × B →

    . On exprime I en A, L en m et B en T. Alors la force apparaît en N.

    Exemples: 1) Une tige en aluminium parcourue par un courant de 3 A, est plongée dans un champ magnétique vertical de 14 mT sur une longueur L=1,5 cm.

    FLap I

    B

    Quelle est la force de Laplace agissant sur la tige? Rép. 0,63 mN

    2) On oriente ensuite le champ B de telle sorte que FLap soit dirigée vers le haut. Pour quel valeur de courant la tige d'aluminium lévite-t-elle (la masse de la tige est de 8 g). Rép. 370 A

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    3.4 Applications

    (a) Force agissant entre deux conducteurs: Considérons deux conducteurs parallèles parcouru par un courant I, I' resp., séparés par la distance d et calculons la force exercée par le conducteur 1 sur le conducteur 2. Le conducteur 1, parcouru par I, produit un champ magnétique dans son voisinage, en particulier à l'endroit où se trouve le conducteur 2 parcouru par I'.

    (1) (2)

    B

    I’

    FLap ⊗

    Ce dernier subit donc une force de Laplace donnée par: FLap →

    = I' ⋅L →

    × B →

    = I ' ⋅L →

    × µ 0 I

    2πd , soit en

    norme: FLap = µ 0L ⋅ I ⋅ I '

    2πd .

    En ce qui concerne la direction de la force, on voit que des courants de même sens s'attirent. C'est le 'pinch effect' qui explique que les éclairs d'orage soient de fines traces.

    (b) Moteur électrique: La force de Laplace explique le principe de fonctionnement d'un moteur électrique. Un segment conducteur parcouru par un courant I et soumis à l'action d'un champ magnétique, subit une force qui met en mouvement le segment. Donc:

    courant + champ magnétique --> mouvement La puissance électrique consommée par un moteur se réparti donc entre puissance mécanique et puissance thermique (effet Joule: tout conducteur parcouru par un courant chauffe). C'est-à- dire U ⋅ I = Pméc + R ⋅ I

    2 où UI=Pél.

    (c) Haut-parleur: Une bobine légère attachée à un pavillon qui sera responsable du déplacement d'air et donc de l'onde acoustique, est parcouru par le courant I variable issu d'un phonographe. La bobine placée dans un champ magnétique et soumise à Flap, se déplacera au gré du courant, entraînant avec elle le pavillon. Les mouvements du pavillon reproduisent donc les variations du courant.

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    3.5 Force de Lorentz Un courant est constitué de particules chargée en mouvement. Une particule isolée, de charge q et se déplaçant à la vitesse v dans un champ magnétique B, sera également soumise à une force. On la nomme force de Lorentz. FLo

    = q ⋅ v →

    × B →

    .

    La force étant toujours perpendiculaire au déplacement de la particule, la norme de la vitesse ne sera pas modifiée (cf. mouvement de la Lune autour de la Terre). Par contre, la direction de la vitesse change et la trajectoire de la particule dans un champ magnétique sera un cercle de rayon r si la vitesse de la particule est perpendiculaire à B.

    B →

    v →

    FLo →

    (m;q)

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    Si, par contre, la vitesse de la particule est parallèle à B, la force est nulle et le mouvement est un MRU. L'équation fondamentale de la dynamique appliquée à ce cas, permet de calculer la vitesse de la particule ou le rayon du cercle, ainsi que la période de révolution de la masse m. Pour un MCU on a

    m ⋅ v2

    r = FLo = q ⋅v ⋅ B

    d'où l'on tire que v = qBr m

    pour la vitesse. Le rayon r est donné par r = mv qB

    .

    Le calcul de la période de rotation T donne:

    T = 2πr v

    = 2πr

    qBr /m = 2πm qB

    La période est donc indépendante de la vitesse de la particule et du rayon du cercle!

    Exemples: 1) Que devrait valoir le champ magnétique pour qu'un électron se déplaçant à 1% de la vitesse de la lumière, parcourt un cercle de rayon r=30 cm? Rép. 57 µT

    2) Même question pour un proton de même vitesse. Rép. 104 µT 3) Calculer le rayon des cercles effectués par les différents isotopes du carbone: C12 et C14, ionisé une fois, dont la vitesse est 0,1% celle de la lumière. Le champ B vaut 0,8 T. Rép. 47 mm ; 55 mm

    Si la particule chargée possède une vitesse quelconque, c'est-à-dire, comportant une composante parallèle à B et une composante perpendiculaire à B, le mouvement sera une

    hélice de rayon r = mv↵ qB

    et dont on peut facilement calculer le pas.

    On remarque aussi que la trajectoire d'une particule légère ou de petite vitesse, e