Travail et Energie- L’Energie Mécanique -

- Travail d’une force.- Théorème de l’énergie cinétique.- Energie mécanique d’un système.- Diagramme d’énergie.

I. Travail d’une force

- notion de travail W d’une force F :

En mécanique, une force F travaille lorsque son pointd’application se déplace.

Ce qui n’est pas vraiment intuitif !

Exemple d’un bras qui soutient un poids : pas de travailau sens mécanique (mais au niveau physiologique, oui) !

A

B

O

x

y

z

Le travail élémentaire dW est le produit scalaire entrela force appliquée F et déplacement élémentaire dl :

- On a donc :

Si l’angle θ est aigü alors dW>0 : le travail est moteur

Si l’angle θ est obtu alors dW<0: le travail est résistant

- Mais on a aussi :

Ou bien encore :

- Le travail total de la force F du point A au point Ble long du trajet AB vaut quant à lui :

O x

y A

B

- Exemple 1 : Travail du poids

Et donc :

D’où :

On voit ici clairement que le travail du poids ne dépendpas du chemin suivi AB mais seulement de l’altitude dupoint de départ A et de celle du point d’arrivée B.

La propriété précédente est le propre des forcesconservatives, forces auxquelles on associe desénergies potentielles U.

Ici (i.e. pour le poids) :

Et l’on a :

Le travail d’une force conservative est égal àl’énergie potentielle à l’état initial - l’énergiepotentielle à l’état final.

- Exemple 2 : Cas du ressortx

O

ressort au repos

x

O

ressort comprimé

xressort étiré

O

force de rappel

force de rappel

Et donc :

D’où :

Là encore : le travail de la force de rappel exercée par unressort ne dépend que du point de départ et de celuid’arrivée.

Cette force est donc elle aussi conservative.

Et l’on a toujours :

On lui associe une énergie potentielle élastiqueU (ou Ue) telle que :

- Exemple 3 : Cas d’une forcenon-conservative

On reprend l’exemple 1 (celui sur le travail du poids),mais en considérant cette fois le travail des forces defrottements solide-solide (secs).

O x

y A

B

=> Les forces de frottement solide-solide sont // auplan et de sens opposé au mouvement (i.e. à dl).

On a donc :

D’où :

Ici le travail W dépend explicitement du chemin suivientre l’état initial et l’état final => f n’est pas une forceconservative => pas d’énergie potentielle associée.

- Notion de Puissance…

La puissance instantannée est la dérivée du travail parrapport au temps :

Quant à la puissance moyenne elle vaut donc :

- Unités et dimensions

- Le travail W se mesure en Joules (J) et est homogèneà une énergie : [W] = ML2T-2.

- Quant à la puissance P, elle se mesure en J/s(Joules/seconde), c’est à dire en Watts (W), et est dedimension : [P] = ML2T-2/T = ML2T-3.

- Du coup, il arrive de voir le travail (une énergie)mesuré en Watt*heure, par exemple…

Exercice 1

Une voiture de masse m=1150kg monte une penteinclinée de 5° à la vitesse constante de 36km/h.Calculer le travail effectué par le moteur en 5 minutesainsi que la puissance développée. On négligera lesfrottements et on prendra g=10m/s2.

II. Théorème de l’énergie cinétique

A : état initial

B : état final

m

On a d’après la 2meLoi de Newton : Et d’autre part :

Et donc :

Par conséquent :

Or nous savons par définition de l’énergiecinétique que :

On a donc :

Le travail entre état initial et état final est égal à :énergie cinétique finale - énergie cinétique initiale

¡¡¡ Mefi !!!

- On a d’un côté :

… qui est une relation valable tout le temps.

- Et de l’autre côté :

… qui n’est valable que pour les forces conservatives.

Exercice 2

(1) Exprimer v2 en fonction de la position z de m, de ladéformation du ressort (l-l0), de k et de m.

(2)Quelle est la condition sur z qui en découle (enfonction de l, l0, k, g et m) ? En déduire la hauteurmaximum atteinte par m.

On considère un ressort de constante de raideur k enposition verticale. Une masse m est posée sur sonextrémité supérieure. Le ressort est ensuite compriméjusqu’à une longueur minimum l<l0 (où l0 est la longueurau repos du ressort). On choisira cette position commeorigine. Le ressort revient ensuite à son état initial et lamasse m décolle du ressort. À l’instant qui nousintéresse m est en train de se déplacer verticalementvers le haut avec une vitesse v et le ressort est denouveau au repos.

III. Energie mécanique d’unsystème

- 1er cas : toutes les forces mises en jeusont conservatives.

On peut donc définir l’énergie potentielletotale du système (qui va être la somme desénergies potentielles des sous-systèmes), eton peut donc écrire :

On a donc :

E est l’énergie mécanique totale du système

Et l’on a :

(D’où le sens de l’adjectif «conservatives»pour les forces qui sont associées à uneénergie potentielle : en effet ces forcesconservent l’énergie mécanique du système)

L’énergie mécanique totale du systèmese conserve !

Exercice 3Reconsidérons le cas de la chute libre…

O

z

h

zv

v0

Un objet de masse m est lâché de la hauteur h sansvitesse initiale. Ecrire son énergie mécanique :

(a) à la hauteur h.(b) à la hauteur h > z > 0.(c) au sol.

En déduire :(a) la vitesse v0.(b) la vitesse v en fonction de z.

O

z

h

zv

v0

L’énergie mécanique se conserve, on a donc :

D’où, d’une part :

Et d’autre part :

- 2me cas : toutes les forces mises en jeu nesont pas conservatives.

Le théorème de l’énergie cinétique est toujours vrai :

Si on distribue le travail total en travail des forcesconservatives et non-conservatives, on va avoir :

Or :

Et :

Donc :

Par conséquent :

L’énergie mécanique n’est plus conservée !

Deux exemples :

- cas des forces de frottement=> travail résistant=> l’énergie mécanique diminue (Ef < Ei).

- cas d’une force de traction=> travail positif=> l’énergie mécanique augmente (Ef > Ei).

Exercice 4

Une bille de masse m=1kg tombe sans vitesse initialedu bord d’un puit sphérique de rayon R=1.25m. Ellea atteint au fond du puit une vitesse v de 4m/s. Onprendra g=10m/s2.

(1) Calculer l’Ei et l’ Ef de m.(2) En déduire le travail des

forces de frottement.(3) Jusqu’à quelle hauteur

remonte la bille ? (plusde forces de frottement)

v

Exercice 5On comprime un ressort de constante de raideur k en réduisant salongueur de d. À son extrémité libre est fixée une masse m. Le toutest placé sur un plan horizontal de longueur L prolongé par un planincliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. On tient comptedes forces de frottement (coefficient µd).

(2) On prend µd=0.1, L=0.5 m, α=π/6 rad etg=10m/s2, on comprime le ressort de 2det on néglige les forces de frottement.Quelle est la distance l parcourue par msur le plan incliné ?

α

L

B

A

(1) De quelle quantité d faut-il comprimer le ressort pour que mparcourt L sur le plan horizontal ?

(3). On considère les frottements. Quelleest la distance l’ atteinte par m ?

Exercice 6Une masse m1 est reliée par un fil inextensible et de massenégligeable, passant par une poulie idéale, à une masse m2. Lamasse m1 se déplace sur un plan horizontal. On note µd lecoefficient de frottements dynamique. m2 est initialement à unehauteur h au-dessus du sol. L’ensemble est abandonné sansvitesse initiale et l’on suppose que m2 > µd m1

(1) Quelle est la vitesse de l’ensemble lorsque m2 touche le sol ?(en fonction de µd et g)

(2) À partir de cet instant, quelle distance l parcourt la masse m1avant de s’immobiliser ? (avant la poulie et en fct de µd et h)

(3) Exprimer le coefficient de frottements dynamique µd enfonction de la distance totale d parcourue par la masse m1 (etde h ). On donne : h = 0.5 m, d = 0.6 m, m1 = 3 m2.

IV. Diagramme d’énergie

- On va exploiter ici la conservation de E, etdonc s’intéresser à des forces conservatives(et à leurs énergies potentielles associées).

- On va se borner à des mouvements à un seuldegré de liberté (évolution selon un seul axede coordonnées).

- Prenons U(x) quelconque :

O x

U(x)

- On a toujours : E = Ec + U- Or : E - U = Ec = 1/2 m v2 > 0 (forcément)- Donc : E > U(x)… sinon le mouvement est impossible !(E < U <=> 1/2 m v2 < 0 <=> v imaginaire !)

O x

U(x)

E

x1 x2

Ec

- Remarque 1 :E > U(x) impose que la seule région dudiagramme dans laquelle peut évoluer U(x)soit comprise entre x1 et x2 (en x, et entre E etmin(U) en U(x), bien sûr).

- Remarque 2 :À tout instant E - U(x) = Ec

En particulier : Ec(x1) = E(x2) = 0,et donc : v(x1) = v(x2) = 0=> On a un mvt périodique entre x1 et x2 !

- Notion d’équilibre stable et instable :

Un équilibre est stable lorsque le corps enquestion revient à sa position d’équilibrequand on en l’écarte.

Sur U(x) ça se traduit, en xe, par :

• U’ (xe) = 0 : équilibre• U’’(xe) > 0 : équilibre stable

- Notion d’équilibre stable et instable :

Un équilibre est stable lorsque le corps enquestion revient à sa position d’équilibrequand on en l’écarte.

Sur U(x) ça se traduit, en xe, par :

• U’ (xe) = 0 : équilibre• U’’(xe) > 0 : équilibre stable

Exercice 7Une masse m = 0.1 kg est suspendue à l’extrémité d’un filinextensible de longueur l = 1 m. Un dispositif limite la longueurdu fil à l/2 sur la droite (θ>0). On prendra g = 10 m/s2.

(1) Exprimer puis représenter U(θ) de m pour -π/6 < θ < π/6. Onprendra U(0) = 0.

(2) La masse m est lancée de la position θ0 = - π/18 avec unevitesse initiale v0 = 1 m/s. Calculer son énergie mécanique E.

(3) Déterminer graphiquement le domaine de variation de θ.

(4) Quelle est la vitesse de m lorsque : θ = 0, θ = π/9, θ = - π/9 ?