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3 ` eme - 2013/2014 - Sujet de r´ evision 2 Exercice 1 1) Pour avoir 50 % de chances de tirer une boule rouge, le nombre de boules rouges dispos´ ees dans l’urne doit ˆ etre ´ egal ` a la somme : nombre de boules vertes + nombre de boules blanches. 6 + 5 = 11. Il y a 11 boules rouges dans l’urne. 2) L’´ ev´ enement ”obtenir un multiple de 3” est r´ ealis´ e si on tombe sur un des secteurs num´ erot´ es : 3 ; 6. Comme les 8 secteurs ont la mˆ eme aire, la probabilit´ e d’obtenir un multiple de 3 est : 2 8 =0, 25 3) Pour gagner le gros lot, il faut tirer une boule rouge puis un multiple de 3. P(gagner) = 0, 5 × 0, 25 = 0, 125 = 1 8 . La probabilit´ e que Pierre gagne le gros lot est de 0,125 (soit une chance sur 8). Remarques lancer la roue repr´ esente une situation d’´ equiprobabilit´ e car les huit secteurs circulaires sont identiques: P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = P (7) = P (8) = secteur consid´ er ´ e nombre total de secteurs = 1 8 c’est une exp´ erience al´ eatoire ` a deux ´ epreuves (tirage d’une boule puis lancer de la roue) ; pour calculer la probabilit´ e de gagner, on effectue : P (rouge) × P (multiple de 3). Exercice 2 Attention ! aucune justification n’est demand´ ee 1-C car : 10 2 × 21 × 10 -7 = 21 × 10 2+(-7) = 21 × 10 -5 =2, 1 × 10 1 × 10 -5 =2, 1 × 10 -4 2-B car : on range les valeurs dans l’ordre croissant : 55 ; 55 ; 58 ; 58 ; 61 ; 61 ; 65 ; 70 ; 72 l’effectif total est 9. Comme 9 : 4 = 2,25 le premier quartile correspond ` a la troisi` eme valeur de la s´ erie qui est 58. 3-A car : 500 = 100 × 5= 100 × 5 = 10 5. 4-D car : -2x +5 7 -2x +5 - 5 7 - 5 -2x 2 -2x -2 2 -2 x ≤-1 car si on multiplie (ou si on divise) les deux membres d’une in´ egalit´ e par un mˆ eme nombre n´ egatif, on change le sens de cette in´ egalit´ e. Remarques pour les questions 1 et 3, on peut directement utiliser la calculatrice pour obtenir la r´ eponse. 1 pour la question 2, ne pas oublier de ranger les donn´ ees dans l’ordre croissant (utiliser ”;” ou ”” comme eparateur et non pas le s´ eparateur ”< ” puisque 55 < 55 !!! pour la question 4, on peut voir directement que 1 n’est pas une solution car -2 × 1 + 7 = 5 et 5 7; on peut donc ´ eliminer les deux premi` eres r´ eponses. Pour choisir entre les deux derni` eres r´ eponses, on voit que 0 n’est pas une solution (car -2 × 0+5 7) donc la troisi` eme r´ eponse ne convient pas. On peut aussi ´ ecrire : -2x +5 7 -2x +5+2x 7+2x 5 7+2x 5 - 7 7+2x - 7 -2 2x -2 2 2x 2 -1 x on a : a m × a p = a m+p ; a m a p = a m-p ;(a m ) p = a m×p (avec a = 0)

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Page 1: 3 - 2013/2014 - Sujet de r´evision 2 · 3`eme - 2013/2014 - Sujet de r´evision 2 Exercice 1 1) Pour avoir 50 % de chances de tirer une boule rouge, le nombre de boules rouges dispos´ees

3eme - 2013/2014 - Sujet de revision 2Exercice 11) Pour avoir 50 % de chances de tirer une boule rouge, le nombre de boules rouges disposees dans l’urnedoit etre egal a la somme : nombre de boules vertes + nombre de boules blanches.6 + 5 = 11.Il y a 11 boules rouges dans l’urne.2) L’evenement ”obtenir un multiple de 3” est realise si on tombe sur un des secteurs numerotes : 3 ; 6.Comme les 8 secteurs ont la meme aire, la probabilite d’obtenir un multiple de 3 est :

2

8= 0, 25

3) Pour gagner le gros lot, il faut tirer une boule rouge puis un multiple de 3.P(gagner) = 0, 5 × 0, 25 = 0, 125 = 1

8.

La probabilite que Pierre gagne le gros lot est de 0,125 (soit une chance sur 8).

Remarques• lancer la roue represente une situation d’equiprobabilite car les huit secteurs circulaires sont identiques:P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = P (7) = P (8) = secteur considere

nombre total de secteurs= 1

8

• c’est une experience aleatoire a deux epreuves (tirage d’une boule puis lancer de la roue) ; pour calculerla probabilite de gagner, on effectue : P (rouge) × P (multiple de 3).

Exercice 2Attention ! aucune justification n’est demandee• 1-C car : 102 × 21 × 10−7 = 21 × 102+(−7) = 21 × 10−5 = 2, 1 × 101 × 10−5 = 2, 1 × 10−4

• 2-B car : on range les valeurs dans l’ordre croissant : 55 ; 55 ; 58 ; 58 ; 61 ; 61 ; 65 ; 70 ; 72l’effectif total est 9. Comme 9 : 4 = 2,25 le premier quartile correspond a la troisieme valeur de la seriequi est 58.• 3-A car :

√500 =

√100 × 5 =

√100 ×

√5 = 10

√5.

• 4-D car : −2x + 5 ≥ 7

−2x + 5 − 5 ≥ 7 − 5

−2x ≥ 2−2x

−2≤ 2

−2x ≤ −1

car si on multiplie (ou si on divise) les deux membres d’une inegalite par un meme nombre negatif, onchange le sens de cette inegalite.Remarques• pour les questions 1 et 3, on peut directement utiliser la calculatrice pour obtenir la reponse.

1

• pour la question 2, ne pas oublier de ranger les donnees dans l’ordre croissant (utiliser ”;” ou ”≤” commeseparateur et non pas le separateur ”< ” puisque 55 < 55 !!!• pour la question 4, on peut voir directement que 1 n’est pas une solution car −2 × 1 + 7 = 5 et 5 ≥ 7 ;on peut donc eliminer les deux premieres reponses. Pour choisir entre les deux dernieres reponses, on voitque 0 n’est pas une solution (car −2 × 0 + 5 ≥ 7) donc la troisieme reponse ne convient pas.On peut aussi ecrire : −2x + 5 ≥ 7

−2x + 5 + 2x ≥ 7 + 2x

5 ≥ 7 + 2x

5 − 7 ≥ 7 + 2x − 7

−2 ≥ 2x−2

2≥ 2x

2−1 ≥ x

• on a :

am × ap = am+p ;am

ap= am−p ; (am)p = am×p (avec a = 0)

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Exercice 31a) Le cout de fabrication de 100 litres de jus de fruits est de 400 F.1b) Le cout de fabrication est superieur a 550 F lorsque la quantite de jus de fruits est comprise entre 0et 65 litres.2a) L’image de 85 par la fonction C est 450.2b) C(75) = 500.2c) Les antecedents de 600 par la fonction C sont 0 et 55.

Remarques• un nombre possede une image unique par une fonction• un nombre peut posseder plusieurs antecedents par une fonction (ou n’en posseder aucun)• pour lire l’mage d’un nombre par la fonction C, on place ce nombre sur l’axe des abscisses (horizontal),on coupe la courbe a la verticale de ce point et on lit son image sur l’axe des ordonnees (vertical)• pour lire les antecedents d’un nombre par la fonction C, on place ce nombre sur l’axe des ordonnees, oncoupe la courbe a l’horizontale de ce point et on lit les valeurs correspondantes sur l’axe des abscisses.

Exercice 41) Le volume du Umete est : V =

2 × π × R3

3

V =2 × π × 153

3V = 2 250π cm3.

2) 2 250π cm3 ≈ 7 068 cm3 > 7 000 cm3.Comme un litre represente un volume de 1 dm3 soit 1 000 cm3, on peut verser 7 litres de lait de coco dansce Umete sans deborder.

2

Remarques• Volume d’un pave droit ou d’un cube : Vpave droit = L × l × h

• Volume d’un cylindre de revolution : Vcylindre = aire de la base × hauteur = π × r2 × h

• Volume d’un prisme droit : Vprisme droit = aire de la base × hauteur

• Volume d’un cone de revolution : Vcone =aire de la base × hauteur

3=

π × r2 × h

3=

1

3× π × r2 × h

• Volume d’une pyramide : Vpyramide =aire de la base × hauteur

3

• Volume d’une boule : Vboule =4 × π × r3

3=

4

3× π × r3

• Volume d’une demi-boule : Vdemi−boule =2 × π × r3

3=

2

3× π × r3

• Aire d’une sphere : Asphere = 4 × π × r2

• Aire d’un rectangle ou d’un carre : Arectangle = L × l

• Aire d’un triangle : Atriangle =base × hauteur

2

• Aire d’un disque : Adisque = π × r2

• Perimetre d’un rectangle ou d’un carre : Prectangle = 2 × L + 2 × l = 2 × (L + l)

• Perimetre d’un disque (ou longueur d’un cercle) : Pdisque = 2 × π × r

Exercice 51a) Le triangle ABD est rectangle en B car les droites (AB) et (BD) sont perpendiculaires. On peut doncappliquer le theoreme de Pythagore (ou egalite de Pythagore) :

AD2 = AB2 + BD2

23412 = 8002 + BD2

BD2 = 5480281 − 640000

BD2 = 4840281

BD =√

4840281

BD ≈ 2 200 m.

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DB + BA ≈ 2 200 m + 800 m ≈ 3 000 m.La longueur du parcours de natation est de 3 000 metres au metre pres.1b) Le triangle ADB est rectangle en B :

sinADB =longueur du cote oppose a l angleADB

longueur de l hypotenuse

sinADB =AB

AD

sinADB =800

2341

ADB = arcsin800

2341

ADB = 20◦ au degre pres.

La mesure de l’angle ADB

est de 20 degres au degre pres.

2) L’angle MNC est un angle inscrit dans le cercle de centre O et de rayon OC qui intercepte l’arc

)

MC ;l’angle MOC est l’angle au centre qui intercepte le meme arc donc :

MNC =MOC

2MNC =

81, 5◦

2MNC = 40, 25◦

La mesure de l’angle MNC est de 40,5 degres.3) Trajet aller : 10 km a la vitesse moyenne de 16 km/h (aussi notee km.h−1).Pour calculer la duree t du parcours, on utilise la formule

v =d

tou

v

1=

d

t

16

1=

10

tt = 10×1

16= 0, 625 h.

La duree du trajet aller est de 0,625 heure.Trajet retour : 10 km a la vitesse moyenne de 10 km/h.La duree du trajet retour est donc de 1 heure.La distance totale parcourue est de 20 km ; la duree totale du trajet est de 1,625 heure.La vitesse moyenne de Moana sur l’ensemble du trajet est :

v =20 km

1, 625 h≈ 12, 3 km/h

Sur l’ensemble du circuit couse a pied, la vitesse moyenne de Moana sera inferieure a 13 km/h.

Remarques• on verifie que la longueur BD est bien inferieure a la longueur de l’hypotenuse DA• pour calculer la mesure de l’angle ADB, on evite d’utiliser la longueur DB car on ne dispose que d’une

3

:

valeur approchee• pour calculer la mesure d’un angle, on utilise l’une des fonctions : arccos (c’est-a-dire cos−1) ; arcsin(c’est-a-dire sin−1) ou arctan (c’est-a-dire tan−1)

• inutile de calculer au prealable une valeur approchee du quotient 8002341

pour pouvoir utiliser arcsin• pour pouvoir utiliser les relations trigonometriques, il faut se placer dans un triangle rectangle• la calculatrice doit etre en mode degre : SECONDE MODE 3 pour une Casio FX 2D• on peut retenir les formules de trigonometrie : SOH | CAH | TOA qui donne aussi : Sin / Cos = Tan• La mesure d’un angle inscrit dans un cercle qui intercepte un arc de cercle est egale a la moitie de lamesure de l’angle au centre qui intercepte le meme arc ; on en deduit que deux angles inscrits dans lememe cercle et qui interceptent le meme arc ont la meme mesure• la vitesse moyenne est le quotient entre la distance parcourue et la duree du parcours ; c’est un coefficientde proportionnalite

Exercice 6Partie A1) Pour obtenir le nombre de perles vertes a partir des informations donnees dans l’enonce, il doit saisir

dans la cellule D3 la formule =D4*0,35 .

2) A B C D1 Rondes Baroques Total2 Grises 31 112 1433 V ertes 13 64 774 Total 44 176 220

; ;

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3a) Il y a 176 perles de forme baroque sur un total de 220 donc la probabilite de tirer une perle de formebaroque est 176

220= 0, 8.

3b) Il y a 64 perles baroques vertes sur un total de 220 donc la probabilite de tirer une perle verte baroqueest 64

220= 16

55.

Partie B1) 2300 × 4 = 9200. Pour acheminer 4 lots au tarif Ho’e, le montant est de 9 200 F.7000 + 900 × 4 = 10600. Pour acheminer 4 lots au tarif Piti, le montant est de 10 600 F.2) On note x le nombre de lots de perles expedies :a) Le montant de l’acheminement avec le tarif Ho’e est 2300 × x = 2300x.b) Le montant de l’acheminement avec le tarif Piti est 7000 + 900 × x = 7000 + 900x.3a) La fonction f : x −→ 2300x est une fonction lineaire donc sa representation graphique est une droitequi passe par l’origine du repere.On choisit une valeur de x et on calcule son image par la fonction f :

x 0 5f(x) 0 11500

La fonction g : x −→ 7000 + 900x est une fonction affine donc sa representation graphique est une droite.On choisit deux valeurs de x et on calcule leurs images respectives par la fonction g : x 0 5

g(x) 7000 11500

3b) La fonction f represente le tarif Ho’e

la fonction g represente le tarif Piti.

Les deux tarifs sont egaux pour 5 lots deperles expedies. A partir de 6 lots expedies,

le tarif Piti est le plus avantageux.

4

Remarques• calculer 35 % d’un nombre revient a

le multiplier par 35100

= 0, 35

• le symbole ∗ correspond a unemultiplication ; le symbole / correspond aune division• apres avoir complete le tableau, on verifieque le total sur chaque ligne etchaque colonne est juste• on a calcule l’image de 4 par f et par g

donc on peut placer ces points dans le repere• la reponse a la question 2 est donneedans la question 3 ...• on peut verifier par le calcul le resultatobtenu graphiquement en resolvant uneinequation : 900x + 7000 > 2300x

900x − 900x + 7000 > 2300x − 900x

7000 > 1400x

7000

1400> 1400x

1400

5 > x

donc le tarif Piti est le plus avantageux a partir de 6 lots expedies.• la devise utilisee en Polynesie francaise est le franc CFP

(1 euro = 119,33 francs CFP ; le taux de change est fixe) ...ca sent bon les vacances !

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Exercice 71) Les nombres 555 et 240 sont divisibles par 5 donc ils ne sont pas premiers entre eux.2) Pour ecrire la fraction 240

555sous la forme la plus simple possible, on divise son numerateur et son

denominateur par leur PGCD ; on obtient alors une fraction irreductible.Pour calculer le PGCD de 240 et 555, on utilise l’algorithme d’Euclide : 555 = 240 × 2 + 75

240 = 75 × 3 + 15

75 = 15 × 5 + 0Donc : PGCD(555 ; 240)=PGCD(240 ; 75)=PGCD(75 ; 15)=15.

240

555=

240 : 15

555 : 15=

16

37

Remarques• deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1 (ce qui revient a direque leur PGCD est 1)• pour calculer le PGCD de deux nombres entiers, on peut utiliser des divisions euclidiennes successives

(la touche |− de la calculatrice permet d’obtenir le quotient Q et le reste R d’une division euclidienne)

• on peut aussi effectuer des soustractions successives (on soustrait les deux entiers les plus petits) :

555 − 240 = 315

315 − 240 = 75

240 − 75 = 165

165 − 75 = 90

90 − 75 = 15

75 − 15 = 60

60 − 15 = 45

45 − 15 = 30

30 − 15 = 15

15 − 15 = 0

5

donc PGCD(555 ; 240) = 15.

Exercice 81) Le nombre 3

4n’est pas solution de l’equation (4x − 3)2 − 9 = 0 car : 4 × 3

4− 3

2

− 9 = (3 − 3)2 − 9

= 02 − 9

= −9

Le nombre 0 est solution de l’equation (4x − 3)2 − 9 = 0 car : (4 × 0 − 3)2 − 9 = (0 − 3)2 − 9

= 9 − 9= 0

2) On a : (4x − 3)2 − 9 = (4x)2 − 2 × 4x × 3 + 32 − 9

= 16x2 − 24x + 9 − 9

= 16x2 − 24x

et 4x(4x − 6) = 4x × 4x + 4x × (−6)

= 16x2 − 24x

donc (4x − 3)2 − 9 = 4x(4x − 6).

3) L’equation (4x − 3)2 − 9 = 0 est equivalente a 4x(4x − 6) = 0.Si 4x(4x − 6) = 0 alors 4x = 0 ou 4x − 6 = 0

x = 0 ou 4x = 6x = 0 ou x = 6

4= 1, 5. Les solutions de l’equation (4x − 3)2 − 9 = 0 sont 0 et 1,5.

Remarques• pour savoir si un nombre est solution d’une equation, on remplace x par ce nombre dans le premiermembre et on calcule ; on remplace x par ce nombre dans le second membre et on calcule. Enfin, oncompare les resultats obtenus : s’ils sont egaux, alors le nombre choisi est une solution de l’equation• pour demontrer que (4x − 3)2 − 9 = 4x(4x − 6), on peut :- developper chacune des deux expressions et montrer qu’elles sont egales a 16x2 − 24 ;- calculer la difference (4x − 3)2 − 9 − 4x(4x − 6) entre ces deux expressions et montrer qu’elle est nulle ;- factoriser l’expression (4x − 3)2 − 9 en utilisant l’identite remarquable a2 − b2 = (a + b)(a − b) :

(4x − 3)2 − 9 = (4x − 3)2 − 32

= [(4x − 3) + 3] × [(4x − 3) − 3]

= (4x) × (4x − 6)

= 4x(4x − 6)

• pour factoriser ou developper, on peut utiliser les identites remarquables :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(a + b)(a − b) = a2 − b2

(on developpe de gauche a droite ; on factorise de droite a gauche)

• pour resoudre l’equation (4x − 3)2 − 9 = 0, on se ramene a une equation

produit-nul : 4x(4x − 6) = 0

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Exercice 9

Le triangle ABC est rectangle en A donc on peut appliquer le theoreme de Pythagore :

BC2 = AB2 + AC2

BC2 = 3002 + 4002

BC2 = 90 000 + 160 000

BC2 = 250 000

BC =√

250 000

BC = 500 m

La longueur BC est egale a 500 metres.

Les droites (AE) et (BD) sont secantes en C. Comme les droites (AB) et (DE) sont paralleles, on peutappliquer le theoreme de Thales :

AB

DE=

CA

CE=

CB

CD

300

DE=

400

1000=

500

CD

DE =300 × 1000

400

DE = 750 m

CD =1000 × 500

400

CD = 1 250 m

La longueur CD est egale a 1 250 metres ; la longueur DE est egale a 750 metres.

La longueur du parcours ABCDE est egale a la somme AB + BC + CD + DE.

AB + BC + CD + DE = 300 m + 500 m + 1 250 m + 750 m = 2 800 m.

La longueur reelle du parcours ABCDE est de 2 800 metres (soit 2,8 km).

Remarques• un exemple de ”tache complexe” : le candidat doit faire preuve d’autonomie dans sa demarche• le triangle CDE est un triangle rectangle en E car les droites (AB) et (DE) sont paralleles• le triangle CDE est un agrandissement du triangle ABC :- leurs angles respectifs ont la meme mesure deux a deux- les longueurs de leurs cotes respectifs sont proportionnelles et le coefficient d’agrandissement est

CE

CA=

DE

AB=

CD

BC=

1000

400= 2, 5

On a donc : CD = 2, 5 × BC et DE = 2, 5 × AB.

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