TD de systemes asservis n◦11

Ce TD est note, a rediger en equipe de 4± 1et a rendre pour le 9 decembre

23 Novembre 2005

On considere le meme systeme qu’au TD 9, constitue d’une bille en roule-ment sur deux rails dont on peut modifier l’inclinaison par l’intermediaired’un ensemble moteur/reducteur. On souhaite stabiliser la position de labille a une position de consigne souhaitee.

Figure 1: la bille roule sur un rail incline par un moteur

1 Hypotheses et donnees

• On modelise la fonction de transfert qui lie vitesse de rotation dumoteur a la tension appliquee a ce moteur par une transmittance du1er ordre de gain Km et de constante de temps τm .

• Le reducteur a pour rapport de reduction r.

• On modelise la dynamique de l’evolution de l’abscisse de bille parrapport a la position angulaire par un double integrateur de gain Kb .

• On ne tiendra pas compte dans ce sujet des 2 capteurs de positiondelivrant les tensions images des positions angulaire de la barre etlineaire de la bille.

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• On prendra

Km = 500tr.mn−1.V−1 τm = 60ms

r = 1/300 Kb = 0, 2m.rad−1

2 Representation d’etat du systeme

1. A partir des fonctions de transfert, donner une representation d’etat dusysteme en utilisant les variables physiques. On choisira dans l’ordre: position de la bille, sa vitesse, angle du rail, sa vitesse angulaire. Lasortie du systeme est la position de la bille.

2. La representation d’etat trouvee precedemment est presque sous formecompagne (variables de phase). Proposer un changement de variablesimple pour avoir une representation d’etat sous forme compagne.

3 Commande par retour d’etat

1. Lors du TD9, un double retour a ete mis en place : un asservissementsur l’angle d’une part et un asservissement de la position de la billed’autre part. Ce dernier asservissement ne pouvait etre stable si l’onne mettait qu’un correcteur proportionnel. Il correspond a un retoursur deux variables d’etat. Lesquelles ?

2. Maintenant qu’on a une representation d’etat avec des variables dephase, il est possible de choisir la fonction de transfert que l’on souhaiteobtenir en BF. Calculer le correcteur pour avoir l’equivalent d’unsysteme avec deux poles reels (constantes de temps de 1s) et un secondordre d’amortissement 0,7 et de pulsation naturelle ωn = 0, 2 c’est adire

H(p) =numerateur

(1 + p)(1 + p)(1 + 2zωn

p + p2

ω2n)

3. Ajouter un gain approprie pour que le gain de la BF soit de 1.

4. Realiser sur Simulink une comparaison entre le correcteur du TD9 etcelui qui vient d’etre calcule. On pourra s’interesser a la commandeenvoyee au moteur.

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