2nde : Calcul alg ebrique - Valérie COLLETmaths.collet.free.fr/PdfLycee2010/2ndeCours2010.pdf ·...

Chapitre 1

2nde : Calcul algebrique

1.1 Developper et factoriser

ex : (2x+ 3)(x− 1) =.Developper un produit, c’est le transformer en somme.(a+ b)c ou (a+ b)(c+ d).(a+ b)2. (a− b)2 =.ex : 3x2 − x =. (2x− 1)(x+ 2)− (2x− 1)(5x+ 3). x2 − 9=. 9x2 + 12x+ 4 =Factoriser une somme, c’est la transformer en produit.ac+ bc =. a2 − b2 =.3/4 + 2/3 =, 4/5 + 1/10 =, 3/x+ 2/(x+ 1) =.Reduire au meme denominateur, c’est transformer une somme de fractions en uneseule fraction.a

b+c

d=.

1 exos page 36 : 11,13,15, 16,18,19,21,

2 pour jeudi : ex 25 p 36

3 ex 26

1

2 CHAPITRE 1. 2NDE : CALCUL ALGEBRIQUE

4 (module) TICE 3 page 30

1.2. ENSEMBLES DE NOMBRES 3

1.2 Ensembles de nombres

1.2.1 Definitions

N, Z, D, Q, R.

notations ⊂, ∈, N∗, R+, ...√

2 6∈ Q.

ex 28 page 37

1.2.2 Intervalles

Definition : L’ensemble des reels compris entre 2 nombres.

Tableau page 23

1 pour lundi : exo 37 p 37

2 Traduire par l’appartenance a un intervalle :

3 ≤ x ≤ 7, −3 ≤ x < 7, x < 5, x ≥ 0, −2 < x ≤ 1, x ≤ −2.

3 Traduire par des inegalites :

x ∈ [−2; 1], x ∈ ]0; 4[, x ∈ [1; 100[, x ∈ ]−∞; 10[, x ∈ [5; +∞[, x ∈ ]−∞; 0].

4 ex 38 p 37

1.2.3 Intersection et reunion

Definitions :l’intersection de A et B, note A∩B, est l’ensemble des elements qui appartiennenta A et B.la reunion de A et B, note A ∪B, est l’ensemble des elements qui appartiennent aA ou B.

ex : [−3; 2] et ]1; 4[. N et Z. N ∩ Z−. R+ ∩R∗. R− ∩N∗.

1 ex 39,40 p 37

2 ex 41 p 37

3 QCM page 38

4 CHAPITRE 1. 2NDE : CALCUL ALGEBRIQUE

Chapitre 2

Generalites sur les fonctions

2.1 Definir une fonction

2.1.1 Rappels sur les lectures graphiques

page 42 (Odyssee)

2.1.2 Vocabulaire

Definir une fonction sur D, c’est associer a tout nombre x de D un nbre et un seulappele image de x.L’image de x est notee f(x).x est appelee la variable.D est l’ensemble de definition de f (en gal un interv ou une reunion d’interv).Si f(a) = b alors a est un antecedent de b.On note : f : x 7−→ f(x).

On peut definir la fct de 3 manieres :par un graphique (points reperes par une croix et/ou avec des lignes de rappel :

par un tableau de valeurs (l’ens de definition n’est plus un intervalle mais un ens) :

x −4 −1 0 2 3g(x) 5 4 2 1 3

5

6 CHAPITRE 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

par une formule : f : R −→ Rx 7−→ 3x2 − 2

.

Exercices

1 1,2,p 61

2 3,7,8 page 61

3 11,13 p 63

2.2 Courbes et resolutions graphiques

2.2.1 Courbe representative d’une fonction

Soit f une fonction definie sur D.

La courbe representative C de f est l’ensemble des points M dont :l’abscisse x decrit le domaine de definition D.l’ordonnee est l’image de x par f .

On note : M(x, y) ∈ C ⇐⇒ x ∈ D, y = f(x).

On dit que la courbe C a pour equation y = f(x).

2 Soit f la fonction definie sur [−4; 6] par f(x) = x2 + 2x− 4.

a) Editer le tableau de valeurs de f avec le pas de 1.

b) Donner 2 antecedents de −1 par f .

3 23,24,25 p 64

2.2.2 Resolutions graphiques d’equations

ex 1 :

Soient f et g deux fonctions de courbes representatives Cf et Cg.

2.2. COURBES ET RESOLUTIONS GRAPHIQUES 7

Equation f(x) = k avec k reel

4 exo 16 page 39 (Hyperbole)

5 exo 26,27 p 64 (Odyssee)

2.2.3 Resolutions graphiques d’inequations

ex :

ex 29, 37 p 65 (Odyssee)

2.2.4 Equation f(x) = g(x)

Ex 2 : Resoudre graphiquement x2 = x+ 2.


1 Resoudre par le calcul et graphiquement 2x(x− 1) = −3x+ 3.

2

3 ex 13 p 63 (Odyssee)

4 ex 31 p 65 (Odyssee)

2.2. COURBES ET RESOLUTIONS GRAPHIQUES 9


2.3 Variations

f definie sur I.f est croissante sur I signifie que pour tout a, b de I, si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b).decroissanteconstante

tableau de variations de la courbe de l’exo 27 p 64 (Odyssee)

ex 41,42,44 p66 (Odyssee)

ex 51,52 p 67 (Odyssee)

2.4 Maximum et Minimum

f definie sur I

f a un maximum M en a signifie que por tout x de I, f(x) ≤ f(a).

x2 a pour min 0,

min de x2 + 2 ?

min de (x− 3)2 + 2 ?

2.5 Exercices

2.5.1 Exercices sur les ensembles de definition

1 Determiner les ensembles de definitions des fonctions definies par :

f(x) =1

xet g(x) =

√x.

2 Determiner les ensembles de definitions des fonctions definies par :

a) f(x) =1

x− 1.

b) f(x) = x2 − 5x+ 2.

c) f(x) =2x+ 1

x− 3.

d) f(x) =2x− 3

x+ 2.

e) f(x) =3x

x2 + 3.

f) f(x) =√x− 1.

g) f(x) =√

2x− 3.

h) f(x) =√

4− x.

2.5. EXERCICES 11

2.5.2 Exercices sur les fonctions

1 ex 7 page 38 (Hyperbole)

2 Soit f la fonction definie sur [−5; 5] par (x− 2)(x+ 3).

a) Editer le tableau de valeurs de f avec le pas de 0, 5.

b) Tracer la courbe de f .

3 ex 14 page 39 (Hyperbole)

a) Tracer a l’ecran de la calculatrice la courbe de f : x 7−→ x2 + 2x− 3.

b) Resoudre graphiquement f(x) = 0.

c) Verifier par le calcul les solutions lues.

4 ex 15 page 39 (Hyperbole) Soit f la fonction definie par f(x) =√x et g la

fonction definie par g(x) = 2x− 1.

a) Tracer a l’ecran de la calculatrice les courbes de f et de g.

b) Combien de solutions l’equation√x = 2x− 1 semble-t-elle avoir ? Conjec-

turer la valeur

c) Verifier la conjecture par le calcul.

*** fin 4e seance


5 exo 11 page 39 (Hyperbole, pas fait).

C represente une fonction f definie sur [0, 5] :

a) Parmi les points suivants, quels sont ceux dont on peut affirmer qu’ilsappartiennent a la courbe ?

0(0; 0), A(1; 1), B(1; 1, 4), C(3; 1, 7), D(4; 2) et E(2, 25; 1, 5).

b) Sachant que f(x) =√x, dire, par le calcul, quels sont les points qui sont

sur la courbe.

6 exo 4 page 38 (Hyperbole, pas fait)

7 ex 17 page 39 (Hyperbole, pas fait)

8 ex 66 page 48 (Hyperbole, pas fait)

Chapitre 3

Statistiques

3.1 Vocabulaire

ex : salaires dans l’entreprise Z :

mensuel net 1000 1200 1500 2500 3000Nbre de pers 5 8 24 13 2

e.c.c.e.c.d.f.c.c.f.c.d.

La population est l’ensemble des individus sur lesquels porte l’etude statistique.L’individu est un ”element” de la population.La serie statistique est l’ens des donnees recueillies.Le caractere d’une serie statistique est la propriete etudiee.Le caractere est dit quantitatif s’il ne prend que des valeurs numeriques.qualitatif : 13 en anglais, 12 en allemand, 7 en espagnol et 2 en italien.Le caractere est dit quantitatif discret s’il ne prend qu’un nombre fini de valeursnumeriques : notes au dernier devoir.Le caractere est dit quantitatif continu s’il prend une infinite de valeurs numeriques :tailles de la classeL’effectif total de la serie est le nombre total d’individus.L’effectif ni de la valeur xi est le nombre d’individus ayant la valeur xi.La frequence fi de xi est : fi = ni/n (quotient de l’effectif par l’effectif total).L’effectif cumule croissant(ECC) de la valeur xi est la somme des effectifs desvaleurs inferieures a xi.L’effectif cumule decroissant(ECD) de la valeur xi est la somme des effectifs desvaleurs superieures a xi.La frequence cumulee croissante(FCC) de la valeur xi est la somme des frequencesdes valeurs inferieures a xi.

13

14 CHAPITRE 3. STATISTIQUES

L’frequence cumulee decroissante(FCD) de la valeur xi est la somme des frequencesdes valeurs superieures a xi.

3.2 Presentation des donnees

3.2.1 Listes

Exemple 1 : le nombre de battements de coeur de quelques personnes adultes :

53 112 110 79 84 101 97 93 103 78104 130 118 106 105 89 102 91 66 81176 99 83 78 111 112 101 76 135 81188 59 66 81 122 73 92 58 134 103121 111 103 106 125 79 112 71 96 81116 79 93 88 101 132 131 86 105 9183 102 121 99 89 109 95 99 101 70

3.2.2 Tableau avec effectifs

On donne les valeurs avec le nombre d’individus prenant cette valeur (exemple dessalaires).

Exemple 2 : Lors d’une enquete, on a pose a 41 familles : ”Combien de postes de teleavez-vous ?”

Television 0 1 2 3 4Effectif 7 16 15 2 1

3.2.3 Tableau avec classes

On donne un intervalle de valeurs avec le nombre d’individus dont la valeur du ca-ractere est dans cet intervalle (exemple 3 ou ex p 287 (odyssee) ex 6 page 213(hyper-bole)).

Exemple 3 : Tailles en cm de 41 garcons d’un club :

Taille entre160et165 entre165et170 entre170et175 entre175et180 entre180et185Effectif 7 16 15 2 1

3.3. REPRESENTATIONS GRAPHIQUES 15

3.3 Representations graphiques

3.3.1 Diagramme en batons ou nuage de points

pour une serie discrete.

Grace au tableau d’effectifs (donne ou fabrique), on met les valeurs du caractere enabscisse, les effectifs en ordonnee, la hauteur des batons est proportionnelle al’effectif.

1 notes

2 ex 2 page 212

3.3.2 Histogramme

serie continue a valeurs rangees en classe

La largeur du rectangle correspond a l’intervalle de chaque classe ; l’aire des rec-tangles est proportionnelle a l’effectif.

1 Ex 2 : Repartition des Francais suivant le temps passe par jour devant la tele

Temps [0, 1[ [1, 2[ [2; 2, 5[ [2, 5; 3[ [3; 4[ [4, 5[ [5, 7[Eff 16 24 18 14 16 8 4

unite d’aire : 1 carreau = 2%

2 ex 7 page 213 (hyperbole)

3.3.3 Courbe des freq c.c.

3.3.4 Diagramme circulaire

S’utilise dans le cas discret et plutot dans le cas qualitatif.

L’angle de chaque secteur est proportionnel a la frequence.

angle =effectif

effectif total× 360 = frequence× 360

1 repartition langues

Langue anglais allemand espagnol italienEffAngle 138 127 74 21


2 ex 7 page 213 :

3 ex 43 page 220 (hyperbole)

3.3.5 Exercices Odyssee

1 ex 4 p 277

2 ex 6 p 278

3.4 Indicateurs statistiques de tendance

3.4.1 Moyenne

x =

∑nixiN

=∑

fixi

ex : 12,12,15,15,15,17 donnent 14,33

La moyenne vaut la somme des valeurs divisee par l’eff total.

1 ex 8,9 page 213, ex 17 page 215, ex 44 page 220 (Hyperbole)

2 ex 11 p 278, 7 p 278, 9 p 278, 10 p 278 (Odyssee)

3 17 p 280 (Odyssee)

3.4. INDICATEURS STATISTIQUES DE TENDANCE 17

3.4.2 Mediane et quartiles

La mediane partage la serie en 2 groupes de meme effectif.

Si n est pair, ..

Les quartiles partagent la serie en 4 groupes de meme effectif.

Ex (7 valeurs) : 12,12,14,15,16,16,17 (francais)

ex2 (6 valeurs) (allemand)

ex3 : (5 valeurs) (anglais)

ex4 : (4 valeurs) (maths)

1 ex 3 page 212, ex 10 page 213 (hyperbole)

2 ex 18 p 280, 20 p 280, 21 p 280, 23 p 281, 24 p 280

3 ex 27 p 282, ex 49,50 p 285

Les deciles partagent en 10.


1 ex 11,12,13 page 213, ex 19 page 215, ex 45 page 220 (hyperbole)

2 Voici le nombre de battements de coeur de quelques personnes adultes :

53 112 110 79 84 101 97 93 103 78104 130 118 106 105 89 102 91 66 81176 99 83 78 111 112 101 76 135 81188 59 66 81 122 73 92 58 134 103121 111 103 106 125 79 112 71 96 81116 79 93 88 101 132 131 86 105 9183 102 121 99 89 109 95 99 101 70

a) Calculer l’effectif total.

b) Calculer la moyenne, la variance et l’ecart-type.

c) Calculer la valeur maximale et la valeur minimale.

d) Trier l’ensemble des valeurs par ordre croissant.

e) Calculer la mediane.

f) Calculer le premier et le troisieme quartile.

3 Voici les notes d’une classe

Camille 15 Julie 16 Lucie 11Laura 12 Aurelie 18 Matthieu 15Sarah 16 Celine 13 Maxime 12Claire 15 Agathe 19 Lea 13Agnes 10 Pierre 13 Delphine 11Joelle 9 Sylvain 16 Pauline 15Louise 12 Manon 17 Antoine 18Gilles 10 Mathilde 14 Alexis 11Laure 11 Sophie 12 Marine 16Helene 13 Morgane 12 Cecile 15

a) Quelle est la moyenne de la classe, la variance et l’ecart-type ?

b) Donner la meilleure note, la moins bonne, l’effectif total.

c) Donner la mediane, les quartiles.

d) Combien trouve-t-on de notes au-dessus de la moyenne (avec la fonctionNB.SI) ?

e) Combien trouve-t-on de notes au-dessus de la mediane ?

f) On regroupe les notes par effectif.

Tracer le diagramme en batons de la serie.

4 Soient les salaires (en euros) dans 3 entreprises A,B et C :

3.5. INDICATEURS STATISTIQUES DE DISPERSION 19

A B C1000 1100 18001050 1200 18001175 1400 19001200 1600 19501600 1800 20001725 2000 20001900 2400 20502600 2800 21003700 2900 22004300 2900 2200

Calculer moyenne, mediane et quartiles dans chaque cas.

3.5 Indicateurs statistiques de dispersion

L’etendue est la difference entre la plus grande et la plus petite valeur.

L’ecart interquartile est la difference entre Q3 et Q1.

3.6 Cas des series continues

On parle de classe. On prend les centres de classe pour le calcul. La classe a laquelleappartient la mediane s’appelle la classe mediane.

1 donnees de l’ex 5 p 212

Un distibuteur automatique de cafe propose des expressos. Une pesee portantsur 20 expressos a donne les masses suivantes de cafe utilise :

81 82 85 83 8382 87 84 85 8484 81 83 86 8480 80 79 87 85

a) Calculer moyenne, mediane et quartiles.

b) On regroupe les donnees en classes :

Masse [79; 82[ [82; 85[ [85.88[effectif

Calculer les approximations de moyenne, mediane et quartiles.

2 ex 44 page 220


3.7 Exercices

1 ex 12 page 213

2 ex 13 page 213

3 ex 26 page 216

4 ex 40 page 219

5 ex 45 page 221

6 Tailles en cm de 41 garcons d’un club :

Taille entre 150 et 160 entre 160 et 170 entre 170 et 180Effectif 9 14 7

164,33 (var= 52,9) (ecart-type = 7,3)

Chapitre 4

Fonctions de reference

4.1 Fonction carre

4.1.1 Definitions

La fonction x 7−→ x2 s’appelle la fonction carre

La representation graphique de la fonction carre s’appelle parabole

4.1.2 Parabole

Faire un tableau de valeurs :

x −2 −1 −0, 5 0 0, 5 1 2x2

La tracer

On dit que O est le sommet de la parabole.

f(−1) = f(1), f(−x) = f(x) : on dit que la parabole est symetrique par rapport al’axe des ordonnees et on dit que la fonction est paire.

Resoudre x2 ≤ 2 ; on trace y = 2, la droite coupe 2 fois, .., S =.

1 ex 7,8,10 page 76

2 ex 11,12 page 76

3 ex 14 page 76

4 ex 93 p 85

21

22 CHAPITRE 4. FONCTIONS DE REFERENCE

5 Resoudre :

a) x2 = 100, x2 = −10,4

5x2 = 5.

b) 2x2 + 3 = 1, 2x2 + 1 = 1.

c) (x− 1)2 = 4, (2x− 3)2 = −3, (3x− 1)2 = 0.

6 On pose f(x) = x2 et g(x) = x.

a) Resoudre f(x) = g(x).

b) Resoudre (graphiquement et par le calcul) f(x) > g(x).

7 On sait que a2 < b2. Peut-on comparer a et b quand :

a) a et b sont strictement positifs ?

b) a et b sont strictement negatifs ?

c) a et b sont de signes contraires ?

8 Comparer x2 et x2 − 2x+ 3.

4.1.3 Variations

(−2)2?(−1)2. (2)2?(1)2.

def de fct croissante :

Soient u plus petit que v. f(u)− f(v) = (u− v)(u+ v). u− v?.si u et v sont positifs alors u+ v?si u et v sont negatifs

f est (st) decroissante sur ]−∞; 0] et (st) croissante sur [0; +∞[.

tableau de variation1 ex 15 p 76

2 ex 16,17 p 77

3 ex 21,23,24 p 77

4 ex 25 p 77

5 ex 77,78 p 83

6 ex 99 p 87

7 ex 94 p 85

8 ex 102 p 87 (module)

9 Comparer a2 et (−1)2. lorsque a est plus petit que -1.

Comparer a2 et (2, 6)2. lorsque a est plus grand que 2,6.

10 On pose f(x) = x2 + 1.

a) Etudier les variations

b) Dans le plan rapporte a un repere orthogonal, tracer la courbe.

c) A-t-on un axe de symetrie ?

11 Memes question avec x2 − 1.

4.1. FONCTION CARRE 23

4.1.4 Exercices en plus

1 Sam veut entourer une partie de son potager d’un grillage pour le protegerdes lapins qui viennent manger ses legumes. Il a recupere 120m de grillage etsouhaite entourer une zone rectangulaire.

a) Trouver une fonction qui exprime l’aire de ce rectangle.

b) En deduire l’aire maximale que l’on peut obtenir.

2 Le point M appartient [B;C]. OB = 4 et OA = 3.

a) On note A(x) l’aire du triangle OAM .

Montrer que la courbe de la fonction A admet un axe de symetrie.

b) Exprimer A(x) en fonction de x et verifier par le calcul que l’on a un axede symetrie.

3 a) Si une grandeur G augmente de t%, montrer que la nouvelle valeur de Gest :

G×(

1 +t

100

)b) Si un article coute P euros hors taxes. Calculer son prix T.T.C. en fonction

de P .

c) Si une grandeur G diminue de t%, montrer que la nouvelle valeur de Gest :

G×(

1− t

100

)d) Si un article coute P euros. Calculer son nouveau prix, s’il a baisse de 10%,

en fonction de P .

e) Calculer le taux d’augmentation d’un article qui augmente de 10% puis de15%.

f) Quel est le nouveau prix d’un article qui a augmente de 10% puis baissede 10% ?

g) Quel est le nouveau prix d’un article qui a baisse de 10% puis augmentede 10% ?

h) En deux augmentations (identiques) successives, on a obtenu une augmen-tation globale de 20%. Quel est le pourcentage de chaque augmentation ?

i) On augmente de 3% le cote d’un carre.

Quel est le pourcentage d’augmentation de son perimetre ? de son aire ?

j) J’achete 50 euros d”essence. Le prix diminue de 10%. Quel est le pourcen-tage d’essence que je peux acheter en plus, avec la meme somme ?


4.2 Fonction inverse

4.2.1 Definition

La fonction x 7−→ 1

xest la fct inverse.

Sa representation graphique s’appelle hyperbole.

4.2.2 Representation graphique

D =?.

tableau de valeurs de -2 a 2

f(2)?f(−2).f(−x)?f(x)

On dit que la fonction est impaire et que la representation graphique presente unesymetrie par rapport a O.

1 Calculer les images de 3/2,−4/3, 105, 10−3

2 Resoudre1

x≤ 2.

3 Calculer sans laisser de radical au denominateur :

f(√

2), f(−√

5) et f(2√

3).

4 encadrements de 1/x si 4 ≤ x ≤ 7, −4 ≤ x < −1,

5 ex 54,55,59 p 96(Odyssee)

6 Quel est l’antecedent de 5; 3/4; 10−4; 0, 03;−√

2/2.

7 ex 28,29 p 77, ex 36,42 p 78, ex30, 31 p 78 (hyperbole)

4.2.3 Variations

1/3 ? 1/2

u et v non nuls tels que u ≤ v. f(u)− f(v) =. v − u?.Si u et v sont positifs, uv?0Si u et v sont negatifs, uv?0

f est st decroissante sur ]−∞; 0[ et ]0; +∞[

u ≤ v, 1

u≥ 1

v

Tableau de variation (avec double barre en 0) :

4.3. EXERCICES DANS HYPERBOLE 25

1 Comparer 1/3 et 1/2 ;1√

3 + 1et

1√3 + 2

;1

x2 + 1et

1

x2 + 2.

2 A quel intervalle appartient 1/x quand :

x ∈ [2; 5], x ≥ 2, x < −3, x ∈ [3; 7[, x ∈ ]− 4;−1[ ; x ∈ [−2; 3].

3 Resoudre1

x≥ 2, < −2, ≥ 3, < 4

3 .

4 ex 37,39,40 p 78, ex 79 p 83, ex 44,45,46 p 78, ex 64 p 81 (hyperbole)

4.3 Exercices dans Hyperbole

1 ex 90,91,92 p 85

2 ex 94 p 85 (calculs avec√

)

3 ex100,101 p 87 (longs)

4 ex 89 p 85

5 ex 77,78,83 page 83 (logique)

6 ex 81 p 83 (quantificateurs)

Chapitre 5

Vecteurs

5.1 Introduction

Hexagone regulier :

Translation qui transforme A en B ; F en ? O en ? E ? C ?

Transforme-t-elle E en F ? D en E ?

Soit A et A′ 2 points distincts.

La translation qui envoie A sur A′ est la transformation par laquelle l’image d’unefigure est obtenue en faisant ”glisser” la figure : Une translation est une transformationpar laquelle l’image d’une figure est obtenue en faisant glisser la premiere :

selon la direction AA′,dans le sens de A vers A′,d’une longueur egale a AA′.

La translation de vecteur−−→AB est notee t−−→

AB.

odyssee p 150 n 1.2

27

28 CHAPITRE 5. VECTEURS

5.2 Definitions

Les couples (A,B), (E,D), (O,C) et (F,O) definissent un vecteur.

On dit que−−→AB est un representant de ce vecteur.

Propriete : Un point C aura une unique image C ′ par la translation de vecteur−−→AB ;

on l’obtient en tracant la parallele a (AB) passant par C et en reportant la longueurAB dans le sens de A vers B.

1 ex p 171 n 1,2,3,4 (Odyssee 2de)

La longueur AB est appelee norme du vecteur−−→AB et notee ‖−−→AB ‖.

Le vecteur−−→AB est caracterise par :

• sa direction (celle de (AB) ou une parallele a (AB))• son sens (celui de A vers B)• sa norme (la longueur AB).

A est appele l’origine du vecteur−−→AB. B est appele l’extremite du vecteur

−−→AB

Sur la 2e figure, on a t−−→AB

= t−−→CD

; on dit que les vecteurs−−→AB et

−−→CD sont egaux.

Ils ont meme direction, meme sens et meme norme.On dit que

−−→AB et

−−→CD sont les representants d’un meme vecteur.

Si les points A et B sont confondus,−−→AB est le vecteur nul et note

−→0 .

On trace un representant de −→u d’origine A et un d’extremite B :−−→AB =

−−→CD ⇐⇒ −−→AB et

−−→CD ont meme direction, meme sens et meme longueur.

Theoreme :A,B,C,D 4 points du plan.−−→AB =

−−→CD ⇐⇒ (ABDC) est un parallelogramme (eventuellement aplati).

−−→AB et

−−→CD

ont meme direction, meme sens et meme longueur

4! : attention a l’ordre dans les lettres du parallelogrammeUn vecteur est nul si les extremites sont confondues.

1 ex 5, 7,9 p 171 (odyssee)

2 ex 1,2,5 page 192, ex 6,7 page 192 et 5 (hyperbole)

5.3. SOMME DE VECTEURS 29

5.3 Somme de vecteurs

coucou

ex 1 chariot maman/enfant

ex 2 : bouteille dans une riviere avec du courant et du vent de travers.

La somme de 2 vecteurs est le vecteur associe a la translation resultant de l’en-chaınement des 2 translations. On note −→u +−→v .

2 facons de representer −→u +−→v .regle du parallelogrammerelation de Chasles

1 ex 25 a 29 p 194, ex 30 p 194 (hyperbole 2de)

2 avec les vecteurs du 10 p 172 (odyssee), tracer les vecteurs u+v, u+w et v+w.

5.4 Multiplication d’un vecteur par un reel

Si la resistance de l’enfant est 4 fois plus elevee ?

−→u un vecteur non nul represente par A et B. λ ∈ R.

λ−→u est le vecteur−→AC ou C est tel que :

si λ > 0, C ∈ [AB) et AC = λABsi λ < 0, C 6∈ [AB) et AC = λAB

On dit que −→u et−→AC sont colineaires

1 ex 34, 35 p 194, ex 38, 39 (λ), ex 41,42 (u-v), ex 43 (Hyperbole 2de)

2 module : 59,62,63 p 197 (Hyperbole 2de), 64 p 198 (pas fait), 65 p 198

3 ex 10,11 p 172, ex 13,14 p 172, ex 29 p 173, ex 30,16, 32,34 (Odyssee)

4 Chasles : ex 19,20,21,22,24 p 172 (Odyssee)

5 geometrie : ex 33,35,25,26,27 p 172 (Odyssee)

Remarque :−−→BA a meme direction et meme norme que

−−→AB et un sens oppose. C’est le vecteur

oppose de−−→AB.

I milieu de [AB] ssi−→AI = 1

2

−−→AB ou

−→IA = −−→IB ou

−→IA+

−→IB =

−→0 .


5.5 Coordonnees d’un vecteur

5.5.1 Definition

(O, I, J) un repere. −→u un vecteur.

La translation de vecteur −→u associe au point O un unique point M .

Les coordonnees du vecteur −→u sont les coordonnees du point M tq −→u =−−→OM .

Les coordonnees d’un pointM sont notees en ligne (x, y) ; les coordonnees d’un vecteursont notees en colonne.

On note le repere (0, ı→, →) avec ı→ =−→OI et → =

−→OJ .

On prend 2 points A et B. On note M le point tq−−→OM =

−−→AB.

5.5.2 Proprietes

Si −→u (a, b) et−→u′ (a′, b′)

−−−→u+ u′(a+ a′, b+ b′) et λ−→u (λa, λb).

−−→OM = xı→+ y→.

2 vecteurs sont egaux s’ils ont memes coordonnees.

5.5.3 Coordonnees du milieu

5.5.4 Coordonnees d’un vecteur

[AM ] et [0B] ont meme milieu I. xI =xB2

et yI =yB2

.

On a aussi xI =xA + xM

2et yI =

yA + yM2

.

Donc : xM = xB − xA et yM = yB − yA. coordonnees de M sont celles de−−→AB.

critere de colinearite : coord proportionnelles ou xy′ − y′x = 0

5.6. NORME D’UN VECTEUR 31

5.5.5 Exercices

1 Odyssee 2de : 36, 38,39, 40 p 173 (chgt de repere)

2 A(−7/2;−1/2), B(1/2; 3/2) et C(5/2; 5/2) sont-ils alignes ?

3 Odyssee 2de : 41,42,43,44 p 174 (lectures de coordonnees)

4 Odyssee 2de : 45,46,47,48,58,59 p 174 (calculs de coordonnees de vecteurs)

5 Odyssee 2de : 49,50,51,53 p 175 (calculs de coordonnees de points)

6 Odyssee 2de : 54,55,56,57 p 175 (colineaires)

7 ex 12 p 193, ex 14,15 p 193, ex 17 p 193 (Hyperbole)

8 ex 20 p 193, 22 p 193 (pas fait) (Hyperbole 2de)

9 ex 49 p 195, ex 62,63,64, ex 31, 32, 46, 48,50,51 (Hyperbole 2de)

10 ex 47 p 195, 22, 72 (pas fait), **DM : 60 et 68 p 198 **(Hyperbole 2de)

5.6 Norme d’un vecteur

Un repere quelconque : ı→ et → ne sont pas colineaires.

milieu de [A;B] a pour coord :xA + xB

2etyA + yB

2.

repere orthogonal

repere orthonormal : ı→ et → ont meme norme.

repere orthonorme : ı→ et → ont meme norme 1.

‖u‖=√x2 + y2.

‖AB ‖=.

1 Hyperbole 2de : ex 18 p 193, ex 69 p 198, ex 70, ex 93, 94 p 203 (long)

2 Odyssee 2de : 60,61,62 p 175 (Normes)

3 Odyssee 2de : 66,67,68, 69, 70, 71, 73, 74, 63, 75, 76 p 176, 97, 101, 102, 103 p180 (geometrie)

4 Odyssee 2de : *** DM 90, 92, 104 page 178 (geometrie)

**** DS 2h (vecteurs) : 17 mars **** DS 2h (fct) : 7 avril **** DS 2h (tout)12 mai ****

conseil de classe (24 mars)

Chapitre 6

Etudes de fonctions

6.1 Tableau de signes

ex : signe de (x− 1)(−x+ 3) :

x −∞ 1 3 +∞x− 1 − 0 + +−x+ 3 + + 0 −

(x− 1)(−x+ 3) − 0 + 0 −

car x 7−→ x − 1 est une fonction affine croissante qui s’annule en 1 et x 7−→ −x + 3est une fonction affine decroissante qui s’annule en 3.

6.2 Fonctions de la forme x 7−→ a(x− α)2 + β

ex1 : f(x) = 2(x− 3)2 + 4. Montrer que f est croissante sur [3; +∞[.

On prend a et b ; a < b⇐⇒ a− 3 < b− 3. Comme a− 3 > 0, (a− 3)2 < (b− 3)2...

Tableau de variations

ex2 : f(x) = −3(x− 4)2 + 1. Montrer que f est decroissante sur [4; +∞[.

Tableau de variations

Si a > 0 alors f est decroissante sur ]−∞;α] puis croissante sur [α; +∞[.

Si a < 0, ...

(α, β) sont les coordonnees du sommet de la parabole.

1 ex 7,8,9,10,11 p 117

2 resoudre 3(x− 2)2 + 15 = 21 et −5(x+ 1)2 + 12 = 7.

33

34 CHAPITRE 6. ETUDES DE FONCTIONS

6.3 Fonctions polynome de degre 2

6.3.1 Definition

On dit qu’une fonction f est une fonction polynome de degre 2 s’il existe a 6= 0 et b, ctels que :

f(x) = ax2 + bx+ c

ax2 + bx+ c est appelee forme developpee de f(x).

f(x) peut aussi s’ecrire : f(x) = a(x− α)2 + β appelee forme canonique de f(x).

[Cette forme est utile pour resoudre f(x) = m].

f(x) peut parfois s’ecrire : f(x) = a(x−x1)(x−x2) appelee forme factorisee de f(x).

[Cette forme est utile pour resoudre f(x) = 0 ou chercher le signe de f(x)].

1 f(x) = 3(x+ 2)2 − 27 forme canonique de f(x).

a) On developpe ... 3x2 + 12x− 15 est appelee la forme developpee de f(x).

b) 3(x− 1)(x+ 5) = ... est appelee la forme factorisee de f(x).

c) Choisir l’expression pour calculer :

(i) f(0).

(ii) f(1).

(iii) f(−2).

(iv) un antecedent de 0.

(v) un antecedent de −15.

(vi) un antecedent de −27, −24.

(vii) −30 a-t-il un antecedent ?

d) Signe de f(x) ?

e) Tableau de variations de f :

2 ex 18, 16, 17 p 97/ 50, 52 p 103 (hyperbole 2de)

6.3.2 Variations

Si a > 0 alors f est decroissante jusqu’a −b/2a puis croissante.

Si a < 0, ...

6.4. FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 35


Si a > 0 alors on dit que la parabole est dirigee vers le haut :

Si a < 0 alors on dit que la parabole est dirigee vers le bas.

Du fait de l’axe de symetrie, l’abscisse du sommet est la demi-somme de 2 points dememe ordonnee. (La droite verticale passant par le sommet est l’axe de symetrie dela parabole).

1 ex 11,12,13,17 p 117/ ex 43 p 122/ ex 44(sauf B1) p 123 (odyssee 2de)

6.4 Fonctions homographiques

6.4.1 Definition

C’est une fonction de la formeax+ b

cx+ davec c 6= 0.

6.4.2 Ensemble de definition

La fct est definie si cx+ d 6= 0 : double barre dans le tableau de variations.

1 Est-ce une fct homog et donner son domaine de def.

a) f(x) =x+ 1

x− 3.

b) f(x) =2x+ 5

x.

c) f(x) =2

x+ 1− 3

x.

d) f(x) = 2− x+ 1

x− 3.

e) f(x) = 1− 1

x.

f) f(x) = x− 1

x.

2 Resoudre : 1/x = 4, 1/(x+ 1) = 2, 5/(2x− 1) = 1, 3x/(2x+ 6) = 0,−1ou2.


Comme −d/c n’a pas d’image, la courbe ne coupe jamais la droite x = −d/c.La courbe est formee de 2 parties.

ex :x+ 1

x− 2.


6.4.4 Variations

ex1 : f(x) =3

x− 1sur ]1; +∞[ : a < b, a− 1....

ex2 : f(x) =x+ 1

x− 2sur ]2; +∞[ : f(a)− f(b) = ....

1 f(x) =3

x− 1.

2 f(x) =−2x+ 1

x+ 2.

3 Intersection de f(x) avec les axes f(x) =x− 3

3x− 4.

4 ex 26,27,28 p 119 (Odyssee 2de)

5 ex 58 p 104 (hyperbole 2de)

6.5 Tableaux de signes et inequations

1 Resoudre x2 < x.

2 Resoudre1

x≤ 1.

3 Resoudre x2 ≥ 1.

4 Resoudrex+ 1

x− 2≥ 0,

x(−x+ 1)

2x− 5< 0.

5 Resoudrex2 − 1

2x≥ 0

x+ 1

x− 2< 3.

6.5. TABLEAUX DE SIGNES ET INEQUATIONS 37

Chapitre 7

Probabilites

7.1 Vocabulaire

Un sac contient 5 chocolats (3 rouges et 2 jaunes)

”Piocher un chocolat et noter la couleur” est une experience aleatoire car on a plusieursissues possibles et que l’on ne peut pas prevoir le resultat.

”obtenir un rouge” est un evenement elementaire ou eventualite.

L’ensemble des issues est l’univers E = {rouge, jaune}.

7.2 Probabilite d’un evenement

7.2.1 Loi des grands nombres

Lors d’une experience repetee n fois, les frequences obtenues d’un evenement se rap-prochent d’une valeur theorique losque n devient grand. Cette valeur s’appelle proba-bilite de l’evenement. On parle de la loi des grands nombres.

La proba pi de chaque issue xi est un nombre entre 0 et 1 : 0 ≤ pi ≤ 1.

Definir une loi de probabilite est associer un nombre positif ou nul appele probabilitea chaque issue possible tel que :

p1 + p2 + · · · pn = 1 etxi x1 x2 x3 x4pi p1 p2 p3 p4

ici :xi jaune rougepi 2/5 3/5

1 ex 1,2,3,4,5,6,7 p 307 (Odyssee 2de)

************************* BONNES VACANCES ! ! ! *************************

39

40 CHAPITRE 7. PROBABILITES

7.2.2 Calcul de probabilite

L’evenement certain a pour probabilite 1. ex : ”obtenir un nombre entre 1 et 6”L’evenement impossible Ø a pour proba 0. ex : ”obtenir 7”Lorsque toutes les issues ont la meme probabilite de se realiser, on dit que l’experienceest equiprobable ou qu’elle suit une loi equirepartie. Chaque evenement elementairea pour probabilite 1/n.ex 1 : lancer un de —> 1/6ex 2 : piocher une carte —> 1/32ex 3 : piocher un chocolat dans un sac. Ce n’est pas une experience equiprobable.Un evenement est un sous-ensemble de l’ensemble des issues possibles ; on dit quel’issue a realise l’evenement A.ex 1 : En lancant un de, ”obtenir un nombre pair”ex 2 : ”obtenir un carreau”ex 3 : ”obtenir un chocolat rouge”La probabilite d’un evenement est la somme des probabilites des issues qui com-posent cet evenement :

ex 1 : P (”obtenirunpair”) = P (”obtenir2”)+P (”obtenir4”)+P (”obtenir6”) = 31

6.

ex 2 : p(”carreau”) = 8/32.ex 3 : p(”chocolatrouge”) = 3/5.

la probabilite d’un evenement A est :nbreCasFavorables

nbreTotalD′issues=card(A)

n.

1 ex 8,9,10, 11,13,15 p 307, 19,20 p 308 (Odyssee 2de)

2 ex 5,7,11, 15, 18 page 232 (hyperbole 2de)

7.2.3 Arbre de probabilite

Il permet de representer une experience ayant plusieurs etapes :on part d’un sommet qui se partage en 2 ou plusieurs branches primaires representantles eventualites,un sommet (ou noeud) se partage en plusieurs branches secondaires,une branche correspond a un resultat.

1 ex 6 p 232. ex 14 p 233. ex 16 p 233. (arbre, hyperbole 2de)

2 ex 19,20 p 308 (odyssee 2de)

7.2. PROBABILITE D’UN EVENEMENT 41

7.2.4 Intersection et reunion

A et B sont 2 evenements.

L’intersection de A et B est l’evenement forme des issues qui realisent a la fois A etB.

ex : A : ”piocher une dame”, B : ”piocher un pique”, A ∩ B : ”piocher une dame depique”

Deux evenements sont incompatibles si A ∩B = Ø.

ex : A : ”piocher une dame”, B : ”piocher un roi”

La reunion de A et B est l’evenement forme des issues qui realisent A ou B.

A : ”piocher un pique”

B : ”piocher un trefle”

A ∪B : ”piocher une noire”

p(A ∩B) + p(A ∪B) = p(A) + p(B)

7.2.5 Contraire

Le contraire de A est l’evenement forme des issues qui ne realisent pas A.

A : ”piocher un rouge” A : ”piocher un noir”

p(A) = 1− p(A)

1 ex 24,25,26,28,30 p 309, 41 p 311 (odyssee 2de)

2 ex 20, 22, 24, 30 p 234 (hyperbole 2de)

3

42 CHAPITRE 7. PROBABILITES

7.3 Exercices

1 Quatre eleves A,B,C,D participent a une course. Il n’y a pas d’ex aequo al’arrivee.

a) Quelle est la probabilite que B gagne ?

b) Quelle est la probabilite que B soit dans les deux premiers ?

2 Un nombre a 4 chiffres ne contient que des 1 et des 2.

a) Quelle est la probabilite que les 4 chiffres soient identitques ?

b) Quelle est la probabilite que le nombre soit un nombre pair ?

c) Quelle est la probabilite que le nombre soit un multiple de 3 ?

d) Quelle est la probabilite que le nombre soit divisible par 6 ?

3 Dans une classe, il y a 12 filles et 15 garcons. 4 filles et 6 garcons font option”Histoire des Arts”. On considere au hasard un eleve de cette classe. F estl’evenement ”l’eleve est une fille”. G est l’evenement ”l’eleve est un garcon”. Hest l’evenement ”l’eleve suit l’option Histoire des Arts”.

a) Completer le tableau :

F G TotalH

HTotal

b) Calculer la probabilite de F .

c) Calculer la probabilite de G.

d) Calculer la probabilite de H.

e) Calculer la probabilite de H.

f) Calculer la probabilite de l’evenement A =”l’eleve est une fille qui suitl’option Histoire des Arts”.

g) Calculer la probabilite de l’evenement B =”l’eleve est un garcon qui nesuit pas l’option Histoire des Arts”.

4 Un sac contient 5 jetons marques -5,-3,1,2,6.

On tire un premier jeton et on note sa valeur a. On ne remet pas ce jeton dansl’urne. On tire alors un second jeton et on note sa valeur b.

L’evenement E est realise si a+ b est positif. L’evenement F est realise si ab estpositif.

a) Calculer p(E), p(F ) et p(E ∩ F ).

b) Meme question si apres le premier tirage, i=on remet le jeton tire dans lesac.

5 Un de est pipe : la probabilite de faire 6 est1

3(les 5 autres eventualites on tla

meme probabilite).

Determiner la probabilite de :

a) tomber sur 3.

b) tomber sur un nombre pair.

c) tomber sur un nombre impair.

Chapitre 8

Equations de droites

8.1 Caracterisation analytique

ex 1 : eq : y = 3x− 2. ordonnee a l’origine, coefficient directeur ou pente.

Pour la tracer, on choisit 2 valeurs pour x (x = 0 et x = ..).

ex 2 : y = −x+ 2. ex 3 : y = 2x ( droite passant par l’origine du repere )

ex 4 : y = 5 ( droite parallele a l’axe des abscisses : a = 0)

ex 5 : x = 3 ( droite parallele a l’axe des ordonnees : x = cte )

1 ex 20 p 169 (hyperbole 2de)

2 Ex 4,5,6,7 p 201, ex 8,9,11,12,13,14,15,16 p 202,61 p 207 (Odyssee 2de)

Definition : Une droite est un ensemble de points M(x, y) tels que y = mx + p oux = c. (droite affine ou droite verticale).

8.2 Coefficient directeur

ex 1 : A(1; 3), B(1, 4) et C(1;−2) sont-ils alignes ?

ex 2 : A(−1; 7), B(1, 4) et C(3; 1) sont-ils alignes ? accroissement

representation d’une droite pour montrer 2 accroissements :

Les accroissements des images sont proportionnels aux accroissements des abscisses ;

Le coefficient directeur de (AB) (xA 6= xB) vaut :yB − yAxB − xA

.

1 ex 12,14,15,16,17,13 p 168, ex 80 p 179, 21,22 p 168 (hyperbole 2de)

2 ex 17,18,19,20,21,22 p 202 (odyssee 2de)

43

44 CHAPITRE 8. EQUATIONS DE DROITES

8.3 Vecteur directeur

On appelle vecteur directeur d’une droite, tout vecteur non nul de meme direction quecette droite.

x = 2 : →.

y = ax+ b,−−→AB avec A(0; b) et B(1; a+ b) :

(1a

)1 ex 23,24,25,26 p 202 (odyssee 2de)

8.4 Droites paralleles ou secantes

2 droites sont paralleles si et ssi elles ont meme coef directeur

4cas : 2droites verticale, 1 seule verticale et 2 non verticales (paralleles ou pas).

1 ex 23,24,26,27,28,30,31,32,36,38,50,81,82,83,84 p 169 (hyperbole 2de)

2 ex 27 p 203, 28,29, 30,31, 32 (odyssee 2de)

8.4. DROITES PARALLELES OU SECANTES 45

46 CHAPITRE 8. EQUATIONS DE DROITES

Chapitre 9

Trigonometrie

9.1 Definitions

Le cercle trigonometrique est le cercle de centre O et de rayon 1 qui est muni d’unsens direct.

point de depart : A. On fait un tour. On a parcouru 2π (perimetre du cercle).

**** On fait 1/2 tour, on a parcouru π ; on fait 1/4 de tour, on a parcouru π/2.L’angle vaut π/2rad = 90 .

On dit que B est le point image de π/2, C celui de π, ...

4! : plusieurs reels correspondent a D : −π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2, ...

47

48 CHAPITRE 9. TRIGONOMETRIE

9.2 Cosinus et sinus

M image du reel x. Les coordonnees du point M sont cosx et sinx.

x 0 π/2 π 3π/2 2π 3π −π/2 −3π/2pointcosxsinx

1 6, 8 p 130 (hyperbole 2de)

2 exo 1 de ma feuille

Determination de cosπ

6avec Pythagore :

OHE etant un demi-triangle equilateral, OH =

√3

2. cos

π

6=

√3

2.

De la meme maniere : sinπ

3=

√3

2.

Determination de cosπ

4avec Pythagore :

OHF etant un triangle isocele rectangle, OH2 +HF 2 = 1 : OH =

√1

2=

1√2

.

cosπ

4= sin

π

4=

√2

2

9.3. PROPRIETES 49

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 πpoint A E F G B C

cosx 1

√3

2

√2

2

1

20 −1

sinx 01

2

√2

2

√3

21 0

Pour le retenir :x 0 π/6 π/4 π/3 π/2point A E F G B

cosx

√4

2

√3

2

√2

2

√1

2

√0

2

sinx

√0

2

√1

2

√2

2

√3

2

√4

2

1 12, 15,16, 20, 21,23,24 p 131, 46 p 135, 11 p 130, 18 p 131 (hyperbole 2de)

2 exo 6 de ma feuille

9.3 Proprietes

x est une reel quelconque et M son point image.

M est sur le cercle : P1 : −1 ≤ cosx ≤ 1 et −1 ≤ sinx ≤ 1.

OM = 1 : P2 : cos2 x+ sin2 x = 1.

M est l’image de x+ 2π, .. :

P3 : si k ∈ Z, cos(x+ 2kπ) = cosx et sin(x+ 2kπ) = sinx.

Les images de x et −x sont symetriques par rapport a l’axe des x :

P4 : cos(−x) = cosx et sin(−x) = sinx.

Les images de x et π − x sont symetriques par rapport a l’axe des y :

P5 : cos(π − x) = − cosx et sin(π − x) = sinx.

Les images de x et π + x sont symetriques par rapport a 0 :

P6 : cos(π + x) = − cosx et sin(π + x) = − sinx.

Les images de x et π/2− x sont symetriques par rapport a y = x :

P7 : cos(π/2− x) = sinx et sin(π/2− x) = cosx.

1 exo 2,3,4,5,7,8,10,11 de ma feuille

9.4 Resolution d’equations

a etant donne :


cosx = cos a ssi x = a ou x = −a a 2π pres.

sinx = sin a ssi x = a ou x = π − a a 2π pres.

9.4. RESOLUTION D’EQUATIONS 51


9.5 Exercices

1 Donner le signe de cosx et sinx quand x est dans l’intervalle :[0;π

2

];[π

2;π]

;[π;

3π

2

];[3π

2; 2π]

;[−π

2; 0]

;[−π;−π

2

].

2 Donner avec la calculatrice en mode radian, la valeur approchee de du cosinus

et du sinus de :π

5,π

12, −3π

7,

19π

8.

3 Si a designe un nombre reel de [−π; 0] tel que cos a = −1

5.

Placer le point image de a sur le cercle trigonometrique et calculer la valeurexacte de sin a.

4 On donne cosπ

5=

1 +√

5

4.

a) Calculer la valeur exacte de sinπ

5.

b) En deduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus de :4π

5et de

9π

5.

5 Donner avec la calculatrice en mode radian, la valeur approchee du reel x telque :

a) sinx = 0, 4 et x ∈ [−π/2;π/2].

b) cosx = −0, 7 et x ∈ [0;π].

6 Placer, dans les cas suivants, le point image du reel a tel que :

a) cos a = 1/4 et a ∈[−π

2; 0].

b) cos a = −2/3 et a ∈ [0;π].

c) cos a = 3/4 et sin a = −2/3.

d) cos a = −1/3 et sin a = −3/4.

7 a) On sait que sin a =2

3et que a ∈ [π/2;π]. Calculer cos a.

b) On sait que cos a = −1

3et que a ∈ [−π; 0]. Calculer sin a.

8 a designe un reel tel que sin a = 0, 1.

a) Placer sur le cercle trigonometrique le 2 points images possibles du reel a.

b) Donner avec la calculatrice en mode radian, la valeur approchee possible

de a dans[0;π

2

]puis dans

[π2

;π].

9 a designe un reel tel que cos a = −5/6.

a) Placer sur le cercle trigonometrique le 2 points images possibles du reel a.

b) Donner avec la calculatrice en mode radian, la valeur approchee possiblede a dans [0;π] puis dans [−π; 0].

9.5. EXERCICES 53

10 Resoudre les equations suivantes et representer les solutions sur le cercle :

cosx =

√3

2,√

2 sinx = 1 et 2 cos2 x = cosx.

11 On sait que cosπ

12=

√6 +√

2

4.

a) Calculer : cos(− π

12

), cos

(11π

12

), cos

(13π

12

), et cos

(25π

12

).

b) Montrer que sinπ

12=

√6−√

2

4.

c) Calculer : sin(− π

12

), sin

(11π

12

), sin

(13π

12

), et sin

(25π

12

).

12 Sur le demi-cercle de centre O et de diametre [AB], on place le point M tel que

BOM = b avec b ∈]0;π

2

[.

On pose OAM = a.

a) Montrer que b = 2a.

b) Expliquer pourquoi cos a =AC

AM=AM

AB.

c) Montrer que AC = 1 + cos(2a). Exprimer AM en fonction de cos a.

d) Montrer que cos2 a =1 + cos(2a)

2.

e) En deduire les valeurs exactes de cosπ

8et cos

π

12

13 Soit x un reel.

a) En remarquant que (cosx− sinx)2 ≥ 0, montrer que cosx× sinx ≤ 1

2.

b) En remarquant que (cosx+ sinx)2 ≥ 0, montrer que − cosx× sinx ≤ 1

2.

c) En deduire que pour tout x, i− 1

2≤ cosx× sinx ≤ 1

2.

d) sinx cosx a-t-elle une solution ?

Chapitre 10

Geometrie dans l’espace

10.1 Perspective cavaliere

La representation plane d’un solide en perspective cavaliere doit respecter les reglessuivantes :

une droite est representee par une droite.deux droites paralleles sont representees par deux droites paralleles.les proportions de longueur sont conservees.les elements visibles du solide sont dessines en trait plein, les elements caches dusolide sont dessines en trait pointille.dans un plan vu de face, la figure est representee en vraie longueur.

1 ex 2 p 251 (odyssee 2de)

10.2 Solides usuels

page 235

10.2.1 Solides droits

Les faces laterales sont des rectangles (et la base est un polygone ou un disque).

V = B × h

ou B= aire de la base, et h la hauteur du solide.base=rectangle : Paves droitsbase=triangle : Prismesbase= disque (La ”face deroulee” est un rectangle) : Cylindres

55

56 CHAPITRE 10. GEOMETRIE DANS L’ESPACE

10.2.2 Solides ”pointus” : pyramides et cones

Les faces laterales sont des triangles (et la base est un polygone ou un disque).

V =1

3B × h

ou B= aire de la base, et h la hauteur du solide.base= disque : Conebase=triangle, carre ou polygone : Pyramides

Rem : tetraedre : base=triangle

tetraedre regulier, pyramide reguliere : base est un polygone regulier et les faceslaterales sont des triagnles isoceles.

10.2.3 Sphere

Seul solide dont on ne peut pas realiser de patron.

V =4

3πR3

1 ex 4,5,11,17 p 251 (odyssee 2de)

10.3 Plan de l’espace

Par trois points non alignes de l’espace passe un seul plan. Un plan est don definipar :

3 points non alignes,ou une droite et un point n’appartenant pas a cette droite.ou 2 droites secantes,ou 2 droites trictement paralleles.

coplanaires= appartiennent a un meme plan.

1 ex 18,19 p 253 (odyssee 2de)

10.4 Positions relatives

page 237

10.5. SECTIONS PLANES 57

10.4.1 Deux droites

secantes (l’intersection est un point),strictement paralleles,confondues,non coplanaires.

10.4.2 Deux plans

secants (l’intersection est une droite),strictement paralleles,confondus.

10.4.3 Une droite et un plan

secants (l’intersection est un point),strictement paralleles,la droite est ncluse dans le plan.

1 ex 20,21,22, 23, 24,25 p 253 (odyssee 2de)

10.5 Sections planes

La section plane du solide par un plan est la surface plane formee des points communsau solide et au plan.

Pour cela, on cherche l’intersection de chaque face du solide avec ce plan :


10.6 Solides de Platon

5 solides dont les faces sont des polygones reguliers

feu=tetraedre.

terre=cube

air=octaedre : 8 faces, 6 sommets

eau=icosaedre : 12 sommets, 20 faces(triangles)

tout l’univers : dodecaedre 12 faces(pentagones), 20 sommets

Le solide qui relie les centres de chaque face est aussi un solide de Platon

dual du cube = octaedre

dual du tetraedre=tetraedre

10.6. SOLIDES DE PLATON 59

1 ex 29/30/31p25

Chapitre 11

Systemes lineaires

11.1 Systemes et droites{ax+ by= ca′x+ b′y= c′

ax+ by = c⇐⇒ by = −ax+ c : le coefficient de la 1e droite est : −ab

.

Le coefficient de la 2e droite est : −a′

b′.

Si les coefficients directeurs sont differents, les 2 droites sont secantes : le systemea une seule solution.Si les coefficients directeurs sont egaux, les 2 droites sont paralleles : le systeme a 0ou une infinite de solutions (suivant que les droites sont confondues ou strictementparalleles).

ex :

{x− y= 1

3x+ 2y= 8

{x− y= 1

3x− 3y= 3

{x− y= 1

3x− 3y= 1

11.2 Methode de substitution

Depuis la 1e equation, on deduit l’expression de la 1e variable en fct de la 2e et onremplace dans la 2e eq pour trouver la valeur de la 2e variable :{

x− y= 13x+ 2y= 8

11.3 Methode de combinaison lineaire

On essaie d’eliminer une des 2variables par addition ou soustraction des 2 equationset on trouve la valeur de l’autre variable :

61

62 CHAPITRE 11. SYSTEMES LINEAIRES

1{

2x− 2y= 23x+ 2y= 8

2{

x− y= 13x+ 2y= 8

3{

3x+ y= −1−x+ y= 3

4{x− y= 1x− y= 3

5{

x− y= 13x− 3y= 3

6{

2x+ 3y= 13x+ 2y= 4

7 a) A 10m d’un batiment (AH = 10) l’angle entre horizontale et la droite ”moi-

sommet” est de 60 (HAS = 60 ) : combien mesure le batiment (SH =?) ?

b) On ne connaıt pas la distance au batiment (AH =?) ;

l’angle entre horizontale et la droite ”moi-sommet” est de 45 (HAS = 45 ).

10m plus loin (AB = 10), on trouve un angle de 30 (HBS = 30 ).

Combien mesure le batiment (SH =?) ?

♦ 1 3,66 m

c) Meme question si HAS = 60 et HBS = 55

♦ 2 1,95 m

11.4. EXERCICES 63

11.4 Exercices

1 Resoudre dans R2 les systemes suivants :

a)

{3x+ 2y= 1x− y= −3

b)

{3x+ y= 1x+ y= −1

c)

{2x+ 3y= 51

3x+ y= −1

d)

{3x+ 2y= 12x+ 3y= −1

e)

{3x+ 2y= 1

1

2x+

1

3y=

1

6

f)

{2x− 5y= −8x+ 7y= 15

♦ : (1; 2)

g)

{4x− y= 21

3x+ 2y= 13♦ : (5;−1)

2 Resoudre dans R2 le systeme suivant :1

x+

2

y= 5

3

x− 1

y= 1

3 Calculer les longueurs des cotes d’un rectangle, sachant que :si l’on augmente la largeur de 3m et si l’on diminue la longueur de 3m alorsl’aire ne change pas.si l’on diminue la largeur de 5m et si l’on augmente la longueur de 3m alorsl’aire augmente de 16m2.

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