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www.mathsenligne.com 2N1 - ENSEMBLES DE NOMBRES EXERCICES 1A EXERCICE 1A.1 Dans tout cet exercice, on ne demande aucune justification. a. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à V : 8 -13 8 2 -24 3 73,0 8 × 10 3 49 - 81 b. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à W : 8 -13 8 2 -24 3 73,0 8 × 10 3 49 - 81 c. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à [ : 8,2 -9,03 5 2 - 0,01 2 10 3 753 987 5 3,14 d. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à X : 8,2 -9,03 5 2 - 0,01 2 10 3 753 987 5 3,14 e. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à W mais n’appartiennent pas à V : 8 -13 8 2 -24 3 73,0 8 × 10 3 49 - 81 f. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à X mais n’appartiennent pas à [ : 8,2 -9,03 5 2 - 0,01 2 10 3 753 987 5 3,14 EXERCICE 1A.2 Placer chaque nombre à sa place sur le croquis ci-contre : -7 3 2 24 -8 - 25 3 4 -10 3 394 2 3 2 16 2 3 5 -9 6 10 11 22 7 π 3 49 EXERCICE 1A.3 a. Transformer ces nombres pour mettre évidence leur appartenance à W. 15 3 = - 25 = -63 -7 = 36 2 = b. Transformer ces nombres (sous la forme a 10 n ) pour mettre évidence leur appartenance à [. 2,5 = -8,001 = 5 2 = -3 25 = 7 20 = 3 125 = - 9 16 = 1 80 = EXERCICE 1A.4 a. Prouver que le nombre 1 2 + 1 3 + 1 6 est un entier naturel. b. Prouver que 1 15 2 3 est décimal. c. Prouver que le nombre 1 + 12 13 × 1 – 12 13 est rationnel. V W [ X Y

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EXERCICE 1A.1 Dans tout cet exercice, on ne demande aucune justification. a. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à V :

8 -13 82 -24

3 73,0 8 × 103 49 - 81

b. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à W :

8 -13 82 -24

3 73,0 8 × 103 49 - 81

c. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à [ :

8,2 -9,03 52 - 0,01 2

103

753 9875

3,14

d. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à X :

8,2 -9,03 52 - 0,01 2

103

753 9875

3,14

e. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à W mais n’appartiennent pas à V :

8 -13 82 -24

3 73,0 8 × 103 49 - 81

f. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à X mais n’appartiennent pas à [ :

8,2 -9,03 52 - 0,01 2

103

753 9875

3,14

EXERCICE 1A.2 Placer chaque nombre à sa place sur le croquis ci-contre :

-7 3 2 24-8

- 25 34 -10

3 394

2

32

162

35 -9

6

1011

227

π3 49

EXERCICE 1A.3 a. Transformer ces nombres pour mettre évidence leur appartenance à W. 153

= - 25 = -63-7

= 362

=

b. Transformer ces nombres (sous la forme a10n ) pour mettre évidence leur appartenance à [.

2,5 = -8,001 = 52 = -3

25 =

720

= 3125

= - 916

= 180

=

EXERCICE 1A.4

a. Prouver que le nombre 12 + 1

3 + 1

6 est un entier naturel.

b. Prouver que 115

– 23 est décimal.

c. Prouver que le nombre 1 + 1213

× 1 – 1213

est rationnel.

V W [ X Y

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La liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 THEOREME : Tout entier naturel strictement supérieur à 1 est premier ou produit de facteurs premiers.

METHODE : On divise le nombre successivement par tous les nombres premiers (tant que c’est possible) jusqu’à ce qu’il ne reste que 1. Exemple : on veut décomposer 90.

904515

51

2 3 3 5

90 ÷÷÷÷ 2 = 45 45 ÷÷÷÷ 3 = 15 15 ÷÷÷÷ 3 = 5 5 ÷÷÷÷ 5 = 1

Terminé ! Donc 90 = 2 ×××× 3² ×××× 5

EXERCICE 5B.1 Décomposer chacun de ces nombres en produit de 4 facteurs premiers.

84 294 825 1 274

84 = 294 = 825 = 1 274 = EXERCICE 5B.2 Décomposer chacun de ces nombres en produit de 5 facteurs premiers.

630 828 696 4 875

630 = 828 = 696 = 4 875 = EXERCICE 5B.3 Décomposer chacun de ces nombres en produit de 6 facteurs premiers.

2 646 3 192 5 148 9 604

2 646 = 3 192 = 5 148 = 9 604 = EXERCICE 5B.4 Décomposer chacun de ces nombres en produit de facteurs premiers.

4 199 5 394 15 106 23 862

4 199 = 5 394 = 15 106 = 23 862 =

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EXERCICE 5C.1 - SIMPLIFICATION DE FRACTIONS

Exemple : On veut écrire 84294

sous la forme d’une fraction irréductible.

On décompose 84 et 294 en produits de facteurs premiers :

84 = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7

294 = 2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 donc 84294

= 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 72 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7

= 27

De la même façon, simplifier les fractions suivantes :

a. 630828

= ……………………………………………………

= ……

b. 630294

= ……………………………………………………

= ……

c. 84630

= ……………………………………………………

= ……

d. 294828

= ……………………………………………………

= ……

e. 5 148828

= ……………………………………………………

= ……

f. 3 1929 604

= ……………………………………………………

= ……

EXERCICE 5C.2 - SIMPLIFICATION DE RACINES

Exemple : On veut simplifier 294 en l’écrivant sous a forme a b où b est le plus petit possible. On décompose 294 en produits de facteurs premiers :

294 = 2 ×××× 3 ×××× 7² = 7 2 ×××× 3 = 7 6 De la même façon, écrire sous a forme a b où b est le plus petit possible :

a. 84 = …………………… = …… …… = … …… b. 825 = …………………… = …… …… = … ……

c. 630 = …………………… = …… …… = … …… d. 1 274 = …………………… = …… …… = … ……

e. 828 = …………………… = …… …… = … …… f. 5 148 = …………………… = …… …… = … ……

EXERCICE 5C.3 - DETERMINATION DU PGCD

Exemple : On veut déterminer le PGCD de 84 et 294.

84 = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7

294 = 2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 donc PGCD(294,84) = 2 ×××× 3 ×××× 7 = 42

De la même façon, déterminer les PGCD des nombres suivants :

a. 1 274 = ………………………………

294 = ……………………………… donc PGCD(……,……) = ……………………………… = ……

b. 630 = ………………………………

828 = ……………………………… donc PGCD(……,……) = ……………………………… = ……

c. 825 = ………………………………

5 148 = ……………………………… donc PGCD(……,……) = ……………………………… = ……

EXERCICE 5C.4 - DETERMINATION DU PPCM (et du plus petit dénominateur commun)

Exemple : On veut déterminer le PPCM de 84 et 294 pour mettre au même dénominateur 184

et 1294

.

84 = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7

294 = 2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 donc le PPCM(84,294) = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 = 588

donc 1

84 × 2 × 2

= 7588

et 1294

× 7 × 7

= 2588

De la même façon, déterminer les PPCM des nombres suivants :

a. 1 274 = ………………………………

294 = ……………………………… donc PPCM(……,……) = ……………………………… = ……

b. 630 = ………………………………

828 = ……………………………… donc PPCM(……,……) = ……………………………… = ……

c. 825 = ………………………………

5 148 = ……………………………… donc PPCM(……,……) = ……………………………… = ……

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2 nde I. Recherche du PGCD de deux entiers

Ex :

� Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 236 et 1245 En déduire le PGCD( 236 ; 1245 )

� Calculer le PGCD( 3780 ; 113400 )

II. Crible d’Eratosthène

4. les nombres 107 ; 131 ; 341 sont-il premiers ?

III. Problème historique sur les nombres : irrationalité de 2

Remarque : Tout entier naturel pair n s’écrit sous la

forme : n = 2 k , k ∈ N

Tout entier naturel impair n s’écrit sous la

forme : n = 2 k + 1 , k ∈ N