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    EXERCICE 1A.1 Dans tout cet exercice, on ne demande aucune justification. a. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à V :

    8 -13 8 2 -24

    3 73,0 8 × 103 49 - 81

    b. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à W :

    8 -13 8 2 -24

    3 73,0 8 × 103 49 - 81

    c. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à [ :

    8,2 -9,03 5 2 - 0,01 2

    10 3

    753 987 5

    3,14

    d. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à X :

    8,2 -9,03 5 2 - 0,01 2

    10 3

    753 987 5

    3,14

    e. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à W mais n’appartiennent pas à V :

    8 -13 8 2 -24

    3 73,0 8 × 103 49 - 81

    f. Parmi ces nombres, entourer ceux qui appartiennent à X mais n’appartiennent pas à [ :

    8,2 -9,03 5 2 - 0,01 2

    10 3

    753 987 5

    3,14

    EXERCICE 1A.2 Placer chaque nombre à sa place sur le croquis ci-contre :

    -7 3 2 24 -8

    - 25 3 4 -10

    3 394

    2

    3 2

    16 2

    3 5 -9

    6

    10 11

    22 7

    π 3 49

    EXERCICE 1A.3 a. Transformer ces nombres pour mettre évidence leur appartenance à W. 15 3

    = - 25 = -63 -7

    = 36 2

    =

    b. Transformer ces nombres (sous la forme a10n ) pour mettre évidence leur appartenance à [.

    2,5 = -8,001 = 5 2 = -3

    25 =

    7 20

    = 3 125

    = - 9 16

    = 1 80

    =

    EXERCICE 1A.4

    a. Prouver que le nombre 1 2 + 1

    3 + 1

    6 est un entier naturel.

    b. Prouver que 1 15

    – 2 3 est décimal.

    c. Prouver que le nombre 1 + 12 13

    × 1 – 12 13

    est rationnel.

    V W [ X

    Y

  • www.mathsenligne.com 2N1 - ENSEMBLES DE NOMBRES EXERCICES 5B

    La liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 THEOREME : Tout entier naturel strictement supérieur à 1 est premier ou produit de facteurs premiers.

    METHODE : On divise le nombre successivement par tous les nombres premiers (tant que c’est possible) jusqu’à ce qu’il ne reste que 1. Exemple : on veut décomposer 90.

    90 45 15

    5 1

    2 3 3 5

    90 ÷÷÷÷ 2 = 45 45 ÷÷÷÷ 3 = 15 15 ÷÷÷÷ 3 = 5 5 ÷÷÷÷ 5 = 1

    Terminé ! Donc 90 = 2 ×××× 3² ×××× 5

    EXERCICE 5B.1 Décomposer chacun de ces nombres en produit de 4 facteurs premiers.

    84 294 825 1 274

    84 = 294 = 825 = 1 274 = EXERCICE 5B.2 Décomposer chacun de ces nombres en produit de 5 facteurs premiers.

    630 828 696 4 875

    630 = 828 = 696 = 4 875 = EXERCICE 5B.3 Décomposer chacun de ces nombres en produit de 6 facteurs premiers.

    2 646 3 192 5 148 9 604

    2 646 = 3 192 = 5 148 = 9 604 = EXERCICE 5B.4 Décomposer chacun de ces nombres en produit de facteurs premiers.

    4 199 5 394 15 106 23 862

    4 199 = 5 394 = 15 106 = 23 862 =

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    EXERCICE 5C.1 - SIMPLIFICATION DE FRACTIONS

    Exemple : On veut écrire 84 294

    sous la forme d’une fraction irréductible.

    On décompose 84 et 294 en produits de facteurs premiers :

      84 = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7

    294 = 2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 donc 84

    294 = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7

    2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 = 2

    7

    De la même façon, simplifier les fractions suivantes :

    a. 630 828

    = ………………………… …………………………

    = … …

    b. 630 294

    = ………………………… …………………………

    = … …

    c. 84 630

    = ………………………… …………………………

    = … …

    d. 294 828

    = ………………………… …………………………

    = … …

    e. 5 148 828

    = ………………………… …………………………

    = … …

    f. 3 192 9 604

    = ………………………… …………………………

    = … …

    EXERCICE 5C.2 - SIMPLIFICATION DE RACINES

    Exemple : On veut simplifier 294 en l’écrivant sous a forme a b où b est le plus petit possible. On décompose 294 en produits de facteurs premiers :

    294 = 2 ×××× 3 ×××× 7² = 7 2 ×××× 3 = 7 6 De la même façon, écrire sous a forme a b où b est le plus petit possible :

    a. 84 = …………………… = …… …… = … …… b. 825 = …………………… = …… …… = … ……

    c. 630 = …………………… = …… …… = … …… d. 1 274 = …………………… = …… …… = … ……

    e. 828 = …………………… = …… …… = … …… f. 5 148 = …………………… = …… …… = … ……

    EXERCICE 5C.3 - DETERMINATION DU PGCD

    Exemple : On veut déterminer le PGCD de 84 et 294.

      84 = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7

    294 = 2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 donc PGCD(294,84) = 2 ×××× 3 ×××× 7 = 42

    De la même façon, déterminer les PGCD des nombres suivants :

    a.   1 274 = ………………………………

    294 = ……………………………… donc PGCD(……,……) = ……………………………… = ……

    b.   630 = ………………………………

    828 = ……………………………… donc PGCD(……,……) = ……………………………… = ……

    c.   825 = ………………………………

    5 148 = ……………………………… donc PGCD(……,……) = ……………………………… = ……

    EXERCICE 5C.4 - DETERMINATION DU PPCM (et du plus petit dénominateur commun)

    Exemple : On veut déterminer le PPCM de 84 et 294 pour mettre au même dénominateur 1 84

    et 1 294

    .

      84 = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7

    294 = 2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 donc le PPCM(84,294) = 2 ×××× 2 ×××× 3 ×××× 7 ×××× 7 = 588

     

     donc 1

    84 × 2 × 2

    = 7 588

    et 1 294

    × 7 × 7

    = 2 588

    De la même façon, déterminer les PPCM des nombres suivants :

    a.   1 274 = ………………………………

    294 = ……………………………… donc PPCM(……,……) = ……………………………… = ……

    b.   630 = ………………………………

    828 = ……………………………… donc PPCM(……,……) = ……………………………… = ……

    c.   825 = ………………………………

    5 148 = ……………………………… donc PPCM(……,……) = ……………………………… = ……

  • 2 nde I. Recherche du PGCD de deux entiers

    Ex :

    � Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres 236 et 1245 En déduire le PGCD( 236 ; 1245 )

    � Calculer le PGCD( 3780 ; 113400 )

    II. Crible d’Eratosthène

    4. les nombres 107 ; 131 ; 341 sont-il premiers ?

    III. Problème historique sur les nombres : irrationalité de 2

    Remarque : Tout entier naturel pair n s’écrit sous la

    forme : n = 2 k , k ∈ N

    Tout entier naturel impair n s’écrit sous la

    forme : n = 2 k + 1 , k ∈ N