21062012_Maths S Obligatoire

7/31/2019 21062012_Maths S Obligatoire

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OBLI

GATO

IRE

BACCALAURAT GNRAL

SESSION 2012

MATHMATIQUES

Srie S

Dure de lpreuve : 4 heures Coefficient : 7

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Les calculatrices lectroniques de poche sont autorises,

conformment la rglementation en vigueur.

Le sujet est compos de 4 exercices indpendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un rsultat prcdemment donn dans le texte pour

aborder les questions suivantes, condition de lindiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou non

fructueuse, quil aura dveloppe.

Il est rappel que la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prises

en compte dans lapprciation des copies.

Avant de composer, le candidat sassurera que le sujet comporte bien 6 pages

numrotes de 1/6 6/6.

12MASCOME1 page 1 / 6


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EXERCICE 1 (4 points)

Commun tous les candidats

Le plan est muni dun repre orthonorm

O ; ,

.

On considre une fonction fdrivable sur lintervalle 3, 2.

On dispose des informations suivantes : f(0) = 1. la drive f de la fonction fadmet la courbe reprsentativeC ci-dessous.

C

O

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la rponse.

1. Pour tout rel xde lintervalle 3, 1, f(x) 0.

2. La fonction fest croissante sur lintervalle 1, 2.

3. Pour tout rel xde lintervalle 3, 2, f(x)1.

4. Soit C la courbe reprsentative de la fonction f.La tangente la courbe C au point dabscisse 0 passe par le point de coordonnes (1, 0).



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Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel un cabinet de recrutement. La proc-dure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une premire slection de candidats sur dossier.40% des dossiers reus sont valids et transmis lentreprise. Les candidats ainsi slectionns

passent un premier entretien lissue duquel 70% dentre eux sont retenus. Ces derniers sontconvoqus un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25%des candidats rencontrs.

1. On choisit au hasard le dossier dun candidat.On considre les vnements suivants :D: Le candidat est retenu sur dossier ,E1 : Le candidat est retenu lissue du premier entretien ,E2 : Le candidat est recrut .

a. Reproduire et complter larbre pondr ci-dessous.

D. . .E1. . .

E2. . .

E2. . .

E1. . .

D. . .

b. Calculer la probabilit de lvnement E1.

c. On note F lvnement Le candidat nest pas recrut .Dmontrer que la probabilit de lvnement F est gale 0,93.

2. Cinq amis postulent un emploi de cadre dans cette entreprise. Les tudes de leur dossiersont faites indpendamment les unes des autres. On admet que la probabilit que chacundeux soit recrut est gale 0,07.On dsigne par X la variable alatoire donnant le nombre de personnes recrutes parmices cinq candidats.

a. Justifier que X suit une loi binomiale et prciser les paramtres de cette loi.

b. Calculer la probabilit que deux exactement des cinq amis soient recruts. On arron-dira 103.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pourque la probabilit dembaucher au moins un candidat soit suprieure 0,999 ?



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Il est possible de traiter la partie C sans avoir trait la partie B.

Partie A

On dsigne par fla fonction dfinie sur lintervalle 1, + par

f(x) =1

x+ 1+ ln

xx+ 1

.

1. Dterminer la limite de la fonction fen +.

2. Dmontrer que pour tout rel xde lintervalle 1, +, f(x) =1

x(x+ 1)2.

Dresser le tableau de variation de la fonction f.

3. En dduire le signe de la fonction fsur lintervalle 1, +.

Partie B

Soit (un) la suite dfinie pour tout entier strictement positif par un = 1 +1

2+

1

3+ ... +

1

n lnn.

1. On considre lalgorithme suivant :

Variables : i et nsont des entiers naturels.uest un rel.

Entre : Demander lutilisateur la valeur de n.Initialisation : Affecter ula valeur 0.

Traitement : Pour i variant de 1 n.

Affecter ula valeur u+1

i.

Sortie : Afficher u.

Donner la valeur exacte affiche par cet algorithme lorsque lutilisateur entre la valeurn= 3.

2. Recopier et complter lalgorithme prcdent afin quil affiche la valeur de un lorsquelutilisateur entre la valeur de n.

3. Voici les rsultats fournis par lalgorithme modifi, arrondis 103

.

n 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 1500 2000un 0,697 0,674 0,658 0,647 0,638 0,632 0,626 0,582 0,578 0, 578 0,577

laide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un) etson ventuelle convergence.



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Partie C

Cette partie peut tre traite indpendamment de la partie B.

Elle permet de dmontrer les conjectures formules propos de la suite (un) telle que pour toutentier strictement positifn,

un = 1 +1

2+

1

3+ ... +

1

n lnn.

1. Dmontrer que pour tout entier strictement positifn,

un+1 un = f(n)

o fest la fonction dfinie dans la partieA.

En dduire le sens de variation de la suite (un).

2. a. Soit k un entier strictement positif.

Justifier lingalit

k+1

k1

k

1

x

dx

0.

En dduire quek+1

k

1

xdx

1

k.

Dmontrer lingalit ln(k+ 1) lnk1

k(1).

b. crire lingalit (1) en remplaant successivement kpar 1, 2, ..., net dmontrer quepour tout entier strictement positifn,

ln(n+ 1) 1 +1

2+

1

3+ ... +

1

n.

c. En dduire que pour tout entier strictement positifn, un 0.

3. Prouver que la suite (un) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.



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Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit

Le plan complexe est muni dun repre orthonorm direct

O ;u ,

v.

On appelle f lapplication qui tout point M daffixe z diffrente de 1, fait correspondre le

point M daffixe1

z+ 1.

Le but de lexercice est de dterminer limage par fde la droite Ddquation x= 1

2.

1. Soient A, B et C les points daffixes respectives zA = 1

2, zB =

1

2+ i et zC =

1

2

1

2i .

a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que lon fera sur la copie en prenant2 cm pour unit graphique.

b. Calculer les affixes des points A = f(A), B = f(B) et C = f(C), et placer les pointsA, B et C sur la figure.

c. Dmontrer que les points A, B et C ne sont pas aligns.

2. Soit g la transformation du plan qui, tout point M daffixe z, fait correspondre le pointM1 daffixe z+ 1.

a. Dterminer la nature et les lments caractristiques de la transformation g.

b. Sans donner dexplication, placer les points A1, B1 et C1, images respectives par g deA, B et C et tracer la droite D1, image de la droite Dpar g.

c. Dmontrer que D1 est lensemble des points M daffixe ztelle que |z 1| = |z|.

3. Soit h lapplication qui, tout point M daffixe znon nulle, associe le point M2 daffixe1

z.

a. Justifier que h(A1) = A, h(B1) = B et h(C1) = C.

b. Dmontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :1z 1

= 1 |z 1| = |z| .

c. En dduire que limage par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont onprcisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.On admet que limage par hde la droite D1 est le cercle C priv de O.

4. Dterminer limage par lapplication fde la droiteD

.


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