2100501623 Traitement numérique du signal

SCIENCES SUPSCIENCES SUP

TRAITEMENT NUMRIQUEDU SIGNAL

Thorie et pratique8e dition

Prface de Pierre Aigrain

Maurice Bellanger

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ISBN 2 10 050162 3

TRAITEMENT NUMRIQUE DU SIGNALThorie et pratique

www.dunod.com

Le traitement du signal se gnralisant avec llectronique, ledomaine dapplication de cette discipline part entire est deplus en plus vaste.Cet ouvrage est donc loutil indispensable des tudiants enMaster et des lves des coles dingnieurs qui dsirentconnatre les principales techniques de traitement numriquedu signal. Dans le domaine du traitement du signal, les techniques num-riques apportent aujourdhui des possibilits prodigieuses : uneconception rigoureuse des systmes, une reproductibilit aisedes quipements, une fiabilit des caractristiques exploiteset une facilit de supervision. Cependant, ces techniques prsen-tent un certain degr dabstraction. Cet ouvrage permet de faci-liter laccs aux techniques numriques en reliant la thorie etla pratique.Cette 8e dition entirement rvise prsente des chapitrescomplmentaires afin de montrer les connexions qui existententre les filtres QMF et les ondelettes. Lanalyse et la modli-sation des signaux qui sintgrent de plus en plus dans lessystmes sont galement tudies.Des applications pratiques et des exercices corrigs sont propo-ss la fin de chaque chapitre afin que le lecteur puisse vali-der de manire concrte ses acquis.

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MAURICE BELLANGER

est professeur auConservatoire Nationaldes Arts et Mtiers Pariset membre de lAcadmiedes technologies.

1 2 3 4 5 6 7 81er cycle 2e cycle 3e cycle

LICENCE MASTER DOCTORAT

MATHMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE LINGNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

Cours et exercices corrigs

NordCompoFichier en pice jointe9782100501625_couverture.jpg

TRAITEMENTNUMRIQUE DU SIGNAL

Thorie et pratique

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TRAITEMENTNUMRIQUE DU SIGNAL

Thorie et pratique

Maurice Bellanger

Professeur au Conservatoire National des Arts et Mtiers ParisMembre de lAcadmie des Technologies

Prface de

Pierre Aigrain

Membre de lAcadmie des SciencesAncien Secrtaire dtat la Recherche

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lim bellanger Page III Vendredi, 4. aot 2006 2:21 14

Illustration de couverture :

Digital Vision

Dunod, Paris, 1998, 2002, 2006 pour la 8

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dition Masson / CNET-ENST, Paris, 1980, 1984, 1987, 1990, 1996

ISBN 2 10 050162 3

lim bellanger Page IV Vendredi, 4. aot 2006 2:21 14

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PRFACE

Les rvolutions techniques les plus importantes et les plus riches de consquences nesont pas toujours celles qui sont les plus visibles pour lutilisateur final du produit.Les mthodes modernes de traitement numrique du signal entrent dans la catgoriedes rvolutions techniques aux consquences encore insuffisamment perues et quine font pas la premire page des journaux.

Il est intressant dailleurs de rflchir quelques instants la manire dont detelles techniques voient le jour. Le traitement par le calcul numrique dun signal ausens le plus large du terme nest certes pas en soi une ide nouvelle. Lorsque Keplertirait les lois du mouvement des plantes des sries dobservations de son beau-preTycho Brah, cest un vritable traitement numrique du signal quil se livrait, lesignal en loccurrence tant constitu par les sries temporelles des observations depositions de Tycho Brah. Mais ce nest que dans le courant de ces toutes derniresdcennies que le traitement numrique du signal est devenu une discipline en soi :cest que la nouveaut tient ce que lon peut maintenant procder, en temps rel, autraitement de signaux lectriques, et ceci par des mthodes numriques.

Pour que cette volution soit possible, il fallait que des progrs techniques, dansde nombreux domaines, voient progressivement le jour, et tout dabord, bien sr, lapossibilit dacqurir, sous forme de signal lectrique, des informations traiter.Cela impliquait le dveloppement progressif de tout ce quil est parfois convenudappeler les capteurs dinformations, lesquels peuvent aller, dans leur complexit,de la simple jauge de contrainte (mais il a fallu de nombreuses et difficiles recherchesde physique des solides pour la rendre possible) au radar.

Il fallait aussi que se dveloppent, avec les prodigieux progrs de la micro-lectronique, les outils technologiques permettant de raliser, aux cadences extrme-ment leves quimplique le traitement en temps rel, des oprations arithmtiquesque les premiers ordinateurs (lENIAC na que 40 ans) ne pouvaient raliser quenplusieurs heures souvent interrompues de plusieurs pannes, et que nous trouvonsaujourdhui tout fait naturel de voir excutes par un micro-processeur de quelquesgrammes consommant seulement quelques milliwatts, et dont le temps moyen entrepannes dpasse dix ans.

Il fallait enfin que les mthodes de programmation, cest--dire dutilisationoptimise de ces outils nouveaux, aient pu progresser, car quelles que soient lesimmenses capacits de calcul des micro-processeurs modernes, il nest pas indiffrentde ne pas gaspiller ces possibilits en oprations inutiles. Linvention des algorithmes

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de transforme de Fourier rapide est un des exemples les plus frappants de cetteimportance des mthodes de programmation. Cette convergence des progrs tech-niques dans des domaines aussi diffrents relevant pour les uns de la physique, pourbeaucoup de llectronique, pour dautres des mathmatiques, na pas t acciden-telle. Dans une certaine mesure, chacun des progrs a suscit le besoin nouveauauquel un nouveau progrs dans un autre domaine permettait de rpondre. Il seraitsans doute utile, du point de vue de lhistoire et de lpistmologie des Sciences et desTechniques dentreprendre un jour une tude approfondie de ce cas.

Car les consquences en sont dores et dj considrables. Sans doute le traite-ment analogique de signaux lectriques a-t-il prcd le traitement numrique et sansdoute continuera-t-il occuper une place importante dans certaines applications,mais les avantages du traitement numrique qui tiennent en deux mots prcision etfiabilit ont seuls rendu possibles certaines ralisations et qui dbordent de loin lessecteurs de llectronique et des tlcommunications dans lesquels ces techniques ontvu le jour. Pour nen citer quune, la tomodensitographie par rayon X, les scannerssont bass sur lapplication dun thorme d Radon et connu depuis 1917. Seulesles volutions que nous avons mentionnes plus haut ont rendu possible la ralisa-tion pratique de ce nouvel outil de diagnostic mdical. Il y a gros parier que lestechniques de traitement numrique du signal trouveront demain leur place dans desproduits de plus en plus varis, y compris les produits utiliss par le grand publicqui, tout en bnficiant des avantages de prix, de performance et de fiabilit que cestechniques rendent possibles, ne se rendra pas toujours compte de la prodigieuseimbrication de recherche, de technique et dinvention que suppose ce progrs. Cettevolution a dailleurs dj commenc dans le cas des rcepteurs de tlvision.

Mais lorsque se produisent de telles rvolutions techniques, une autre difficultse rencontre presque invitablement. Cest celle de la formation des utilisateurs cequi est non seulement un nouvel outil, mais souvent un nouveau mode de pense.Cette tape de la formation peut devenir, si lon ny prend garde, un goulot dtran-glement dans lintroduction de nouvelles techniques. Cest pourquoi louvrage deM. BELLANGER, dont le point de dpart est un enseignement donn depuis plusieursannes lcole Nationale Suprieure des Tlcommunications et lInstitutSuprieur dlectronique de Paris, constitue un vnement dont il convient de souli-gner limportance. Ouvrage didactique, accompagn dexercices, contenant plusieursprogrammes, que certains pourront souvent utiliser tel quel, il contribuera sansaucun doute acclrer encore une volution dsirable et ncessaire.

P. AIGRAIN1981

VI Prface

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TABLE DES MATIRES

PRFACE V

AVANT-PROPOS XIII

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 LA NUMRISATION DU SIGNAL. CHANTILLONNAGE ET CODAGE 7

1.1 Lanalyse de Fourier 71.2 Les distributions 121.3 Les principaux signaux traits 141.4 Normes dune fonction 221.5 Lopration d'chantillonnage 231.6 Lchantillonnage en frquence 241.7 Le thorme de lchantillonnage 251.8 chantillonnage de signaux sinusodaux et de signaux alatoires 271.9 Lopration de quantification 32

Annexe 1 : La fonction I(x) 45Annexe 2 : La loi Normale Rduite 46Bibliographie 47Exercices 48

CHAPITRE 2 LA TRANSFORMATION DE FOURIER DISCRTE 50

2.1 Dfinition et proprits de la TFD 512.2 La transformation de fourier rapide 532.3 Dgradations dues aux limitations dans le calcul 632.4 calcul de spectre par TFD 67

La convolution rapide 722.6 Calcul dune TFD par convolution 732.7 Ralisation 74

Bibliographie 77Exercices 77

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CHAPITRE 3 AUTRES ALGORITHMES DE CALCUL RAPIDE DE LA TFR 80

3.1 Le produit de Kronecker des matrices 803.2 Factorisation de la matrice de lalgorithme dentrelacement frquentiel 803.3 Les transformes partielles 823.4 Transforme avec recouvrement 843.5 Autres algorithmes de calcul rapide 983.6 Transforme de Fourier binaire Hadamard 1023.7 Les transformations algbriques 103


CHAPITRE 4 LES SYSTMES LINAIRES DISCRETS INVARIANTS DANS LE TEMPS 108

4.1 Dfinition et proprits 1084.2 La transformation en Z 110

4.3 nergie et puissance des signaux discrets 113

4.4 Filtrage des signaux alatoires 114

4.5 Systmes dfinis par une quation aux diffrences 115

4.6 Analyse par les variables dtat 118Bibliographie 120Exercices 120

CHAPITRE 5 LES FILTRES RPONSE IMPULSIONNELLE FINIE (RIF) 122

5.1 Prsentation des filtres RIF 122

5.2 Fonctions de transfert ralisables et filtres phase linaire 125

5.3 Calcul des coefficients par dveloppement en srie de Fourier 128

5.4 Calcul des coefficients par la mthode des moindres carrs 133

5.5 Calcul des coefficients par TFD 137

5.6 Calcul des coefficients par approximation de Tchebycheff 138

5.7 Relations entre nombre de coefficients et gabarit de filtre 141

5.8 Filtre transition en cosinus surlev et cosinus Filtre de Nyquist Filtre demi-bande 144

5.9 Structures pour la ralisation des filtres RIF 146

5.10 Limitations du nombre de bits des coefficients 148

5.12 Fonction de transfert en z dun filtre RIF 155

5.13 Filtres dphasage minimal 157

5.14 Calcul des filtres trs grand nombre de coefficients 160

5.15 Filtres RIF deux dimensions 161

5.16 Calcul des coefficients de filtres TIF-2d par la mthode des moindres carrs 165

VIII Table des matires

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Annexe 171Bibliographie 172Exercices 172

CHAPITRE 6 CELLULES DE FILTRES RPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII) 174

6.1 La cellule lmentaire du premier ordre 174

6.2 La cellule du second ordre purement rcursive 179

6.3 Cellule du second ordre gnrale 188

6.4 Structures pour la ralisation 192

6.5 Limitations du nombre de bits des coefficients 196

6.6 Limitation du nombre de bits des mmoires de donnes 197

6.7 Stabilit et auto-oscillations 199Bibliographie 202Exercices 202

CHAPITRE 7 LES FILTRES RPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII) 204

7.1 Expressions gnrales pour les caractristiques 2047.2 Calcul direct des coefficients par les fonctions modles 2067.3 techniques itratives pour le calcul des filtres RII 2177.4 Filtres bass sur les fonctions sphrodales 2237.5 Les structures reprsentant la fonction de transfert 2257.6 Limitation du nombre de bits des coefficients 2317.7 Nombre de bits des coefficients en structure cascade 2357.8 Bruit de calcul 2387.9 Dtermination de la capacit des mmoires internes 2457.10 Auto-oscillations 2487.11 Comparaison entre les filtres RII et RIF 249


CHAPITRE 8 LES STRUCTURES DE FILTRES EN CHANE 254

8.1 Proprits des quadriples 2548.2 Les filtres en chelle simule 2588.3 Les dispositifs commutation de capacits (DCC) 2638.4 Les filtres donde 2668.5 Les filtres en treillis 2728.6 lments de comparaison 278


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Table des matires IX

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CHAPITRE 9 SIGNAUX COMPLEXES FILTRES DE QUADRATURE 281

9.1 Transforme de Fourier d'une suite relle et causale 2819.2 Signal analytique 2849.3 Calcul des coefficients dun filtre de quadrature RIF 2899.4 Dphaseurs 90 de type rcursif 2919.5 Modulation bande latrale unique 2939.6 Les filtres dphasage minimal 2949.7 Filtre diffrentiateur 2969.8 Interpolation par filtre RIF 2979.9 Interpolation de Lagrange 2989.10 Interpolation par bloc SPlines 3009.11 Conclusion 302


CHAPITRE 10 LE FILTRAGE MULTICADENCE 308

10.1 Sous-chantillonnage et transforme en Z 30810.2 Dcomposition dun filtre RIF passe-bas 31110.3 Le filtre RIF demi-bande 31410.4 Dcomposition avec filtres demi-bande 31710.5 Filtrage par rseau polyphas 32210.6 Filtrage multicadence lments RII 32710.7 Banc de filtres par rseau polyphas et TFD 32910.8 Conclusion 331


CHAPITRE 11 FILTRES QMF ET ONDELETTES 334

11.1 Dcomposition en deux sous-bandes et reconstitution 33411.2 Filtres QMF 33511.3 Dcomposition et reconstitution parfaite 33711.4 Ondelettes 34011.5 Structure en treillis 344


CHAPITRE 12 BANCS DE FILTRES 347

12.1 Dcomposition et reconstitution 34712.2 Analyse des lments du rseau polyphas 34912.3 Calcul des fonctions inverses 35212.4 Bancs de filtres pseudo-QMF 35512.5 Calcul des coefficients du filtre prototype 360

X Table des matires

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12.6 Ralisation dun banc de filtres rels 364Bibliographie 368

CHAPITRE 13 ANALYSE ET MODLISATION 369

13.1 Autocorrlation et intercorrlation 36913.2 Analyse spectrale par corrlogramme 37213.3 Matrice dautocorrlation 37313.4 Modlisation 37613.5 Prdiction linaire 37813.6 Structures de prdicteur 38013.7 Conclusion 383


CHAPITRE 14 FILTRAGE ADAPTATIF 385

14.1 Principe du filtrage adaptatif par algorithme du gradient 38514.2 Conditions de convergence 38914.3 Constante de temps 39114.4 Erreur rsiduelle 39314.5 Paramtres de complexit 39614.6 Algorithmes normaliss et algorithmes du signe 39914.7 Filtrage RIF adaptatif en structure cascade 40114.8 Filtrage adaptatif RII 40314.9 Conclusion 406


CHAPITRE 15 APPLICATIONS 410

15.1 Dtection dune frquence 41015.2 Boucle verrouillage de phase 41315.3 Codage Mic-Diffrentiel 41415.4 Codage du son 41815.5 Annulation dcho 41915.6 Traitement des images de tlvision 42315.7 Transmission Multiporteuse OFDM 425

Bibliographie 429

EXERCICES LMENTS DE RPONSE ET INDICATIONS 430

INDEX ALPHABTIQUE 441

BIBLIOGRAPHIE 445D

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Table des matires XI

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CONTENTSCHAPTER 1 Signal Digitization Sampling and Coding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

CHAPTER 2 Discrete Fourier Transform and FFT algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

CHAPTER 3 Other Fast Algorithms for the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

CHAPTER 4 Time Invariant Discrete Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

CHAPTER 5 Finite Impulse Response Filters (FIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

CHAPTER 6 Infinite Impulse Response Filter Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

CHAPTER 7 Infinite Impulse Response Filters (IIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

CHAPTER 8 Two-Port Filter Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

CHAPTER 9 Complex Signals Quadrature Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

CHAPTER 10 Multirate Filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

CHAPTER 11 QMF filters and wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

CHAPTER 12 Filter banks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

CHAPTER 13 Signal analysis and modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

CHAPTER 14 Adaptive filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

CHAPTER 15 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

EXERCISES : Hints and answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

XII Table des matires

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AVANT-PROPOS

Linnovation impose lingnieur une mise jour permanente de ses connais-sances et une bonne information sur le potentiel offert par les techniques nou-velles, dcouvertes et mises au point dans les laboratoires de recherche. En traite-ment du signal, les techniques numriques apportent des possibilits prodigieuses :la conception rigoureuse des systmes, une grande reproductibilit des quipe-ments, une grande stabilit de leurs caractristiques en exploitation et une remar-quable facilit de supervision. Cependant, ces techniques prsentent un certaindegr dabstraction et leur application aux cas concrets requiert un ensemble deconnaissances thoriques, juges souvent plus familires ou plus facilement acces-sibles au chercheur qu lingnieur, et qui peuvent reprsenter un obstacle leurutilisation. Lambition du prsent ouvrage est de vaincre cet obstacle et de faciliterlaccs aux techniques numriques en faisant la liaison entre la thorie et la pra-tique, et en mettant la porte de lingnieur les rsultats les plus utiles dans cedomaine.

La base de cet ouvrage est un enseignement donn dans des coles ding-nieurs, dabord lcole Nationale Suprieure des Tlcommunications et lInstitutSuprieur dlectronique de Paris, puis Suplec et le CNAM. Il sadresse doncdabord aux ingnieurs. Lauteur sest efforc dy faire une prsentation claire etconcise des principales techniques de traitement numrique, de comparer leursmrites et de donner les rsultats les plus utiles sous une forme directement exploi-table aussi bien pour la conception des systmes que pour une valuation rapidedans le cadre de llaboration dun projet en temps limit. Les dveloppementsthoriques ont t rduits ce qui est ncessaire pour une bonne comprhensionet une application correcte des rsultats. Le lecteur trouvera dans les rfrencesbibliographiques les complments quil pourrait souhaiter. A la fin de chaque cha-pitre, quelques exercices, souvent tirs de cas concrets, permettent de tester lassi-milation de la matire du chapitre et de se familiariser avec son utilisation. Pources exercices, des lments de rponse et des indications ont t regroups en findouvrage. Il convient galement de signaler que des efforts ont t faits pourintroduire une terminologie franaise, quil serait souhaitable de complter etgnraliser afin de donner notre langue sa place part entire dans le domaine.

Cet ouvrage sadresse galement aux chercheurs qui il peut apporter, en plusdun ensemble de rsultats utiles, des indications pour lorientation de leurs tra-vaux, en faisant clairement apparatre les contraintes de la ralit technique. Ilcontient de plus un certain nombre de rsultats provenant des travaux de

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XIV Avant-propos

recherche de lauteur et de ses collaborateurs. En effet, pour tablir le dialogueavec les chercheurs et tre en tat de faire bnficier la technique de leurs dcou-vertes dans les dlais les plus brefs, lingnieur doit sintgrer la communautscientifique et apporter sa propre contribution la recherche ; par ses contacts per-manents avec les aspects concrets, il peut non seulement valuer et conforter lesrsultats obtenus par les chercheurs mais encore ouvrir de nouvelles voies.

Par rapport aux prcdentes, cette huitime dition apporte des complments,des parties nouvelles et des simplifications. Les complments portent sur des rsul-tats partiels nouveaux introduits dans diffrents chapitres, des expressions simpli-fies et des claircissements. Les parties nouvelles se situent principalement auxchapitres 11 et 13. En effet, il est apparu intressant de montrer les connexionsentre les filtres QMF et les ondelettes et que les ondelettes lmentaires rsultentsimplement dun calcul de filtre avec des contraintes particulires. Quant lana-lyse et modlisation des signaux, ces fonctions sintgrent de plus en plus dans lessystmes. Le traitement du signal se gnralisant avec llectronique, le domainedapplication est de plus en plus vaste et il a sembl judicieux de se limiter quelques illustrations des mthodes de base.

Il faut souligner que les travaux sur lesquels est bas le prsent ouvrage ontt lorigine mens en collaboration et avec le soutien du Centre Nationaldtudes des Tlcommunications, qui lauteur tient exprimer sa reconnais-sance. Il tient galement exprimer sa profonde gratitude Monsieur J. DAGUET,Directeur technique la Socit Tlcommunications Radiolectriques etTlphoniques pour avoir guid ses travaux avec une grande clairvoyance et lesavoir efficacement stimuls pendant de nombreuses annes. Lauteur adresse aussises vifs remerciements lensemble de ses collaborateurs pour leurs contributionset pour lassistance constante quils ont apporte.

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INTRODUCTION

Le signal est le support de linformation mise par une source et destine unrcepteur ; cest le vhicule de lintelligence dans les systmes. Il transporte lesordres dans les quipements de contrle et de tlcommande, il achemine sur lesrseaux linformation, la parole ou limage. Il est particulirement fragile et doit tremanipul avec beaucoup de soins. Le traitement quil subit a pour but dextraire desinformations, de modifier le message quil transporte ou de ladapter aux moyens detransmission; cest l quinterviennent les techniques numriques. En effet, si lonimagine de substituer au signal un ensemble de nombres qui reprsentent sa gran-deur ou amplitude des instants convenablement choisis, le traitement, mme danssa forme la plus labore, se ramne une squence doprations logiques et arith-mtiques sur cet ensemble de nombres, associes des mises en mmoire.

La conversion du signal continu analogique en un signal numrique est rali-se par des capteurs qui oprent sur des enregistrements ou directement dans lesquipements qui produisent ou reoivent le signal. Les oprations qui suivent cetteconversion sont ralises par des calculateurs numriques agencs ou programmspour effectuer lenchanement des oprations dfinissant le traitement.

Avant dintroduire le contenu des diffrents chapitres du prsent ouvrage, ilconvient de donner une dfinition prcise du traitement considr.

Le traitement numrique du signal dsigne lensemble des oprations, calculsarithmtiques et manipulations de nombres, qui sont effectus sur un signal traiter,reprsent par une suite ou un ensemble de nombres, en vue de fournir une autresuite ou un autre ensemble de nombres, qui reprsentent le signal trait. Les fonctionsles plus varies sont ralisables de cette manire, comme lanalyse spectrale, le filtragelinaire ou non linaire, le transcodage, la modulation, la dtection, lestimation etlextraction de paramtres. Les machines utilises sont des calculateurs numriques.

Les systmes correspondant ce traitement obissent aux lois des systmesdiscrets. Les nombres sur lesquels il porte peuvent dans certains cas tre issus dunprocessus discret. Cependant, ils reprsentent souvent lamplitude des chantillonsdun signal continu et dans ce cas, le calculateur prend place derrire un dispositifconvertisseur analogique-numrique et ventuellement devant un convertisseurnumrique-analogique. Dans la conception de tels systmes et ltude de leur fonc-tionnement, la numrisation du signal revt une importance fondamentale et lesoprations dchantillonnage et de codage doivent tre analyses dans leur prin-cipe et leurs consquences. La thorie des distributions constitue une approcheconcise, simple et efficace pour cette analyse. Aprs un certain nombre de rappels

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sur lanalyse de Fourier, les distributions et la reprsentation des signaux, le cha-pitre premier rassemble les rsultats les plus importants et les plus utiles surlchantillonnage et le codage dun signal.

Lessor du traitement numrique date de la dcouverte dalgorithmes de calculrapide de la Transforme de Fourier Discrte. En effet, cette transformation est la base de ltude des systmes discrets et elle constitue dans ce domaine num-rique lquivalent de la Transformation de Fourier dans le domaine analogique,cest le moyen de passage de lespace des temps discret lespace des frquencesdiscret. Elle sintroduit naturellement dans une analyse spectrale avec un pas defrquence diviseur de la frquence dchantillonnage des signaux analyser.

Les algorithmes de calcul rapide apportent des gains tels quils permettent defaire les oprations en temps rel dans de nombreuses applications pourvu quecertaines conditions lmentaires soient remplies. Ainsi, la Transformation deFourier Discrte constitue non seulement un outil de base dans la dterminationdes caractristiques du traitement et dans ltude de ses incidences sur le signal,mais de plus, elle donne lieu la ralisation dquipements toutes les fois quuneanalyse de spectre intervient, par exemple, dans les systmes comportant des bancsde filtres ou quand, par la puissance de ses algorithmes, elle conduit uneapproche avantageuse pour un circuit de filtrage. Les chapitres 2 et 3 lui sontconsacrs ; ils donnent dune part une prsentation des proprits lmentaires etdu mcanisme des algorithmes de calcul rapide et de leurs applications, et dautrepart, un ensemble de variantes associes aux situations pratiques. En tant que sys-tme, le calculateur de Transforme de Fourier Discrte est un systme linairediscret, invariant dans le temps.

Une grande partie du prsent ouvrage est consacre ltude des systmeslinaires discrets invariants dans le temps une dimension, qui sont facilementaccessibles et trs utiles. Les systmes plusieurs dimensions et en particulier deux et trois dimensions connaissent un grand dveloppement ; ils sont appliquspar exemple aux images ; cependant, leurs proprits se dduisent en gnral decelles des systmes une dimension dont ils ne sont souvent que des extensionssimplifies. Les systmes non linaires ou variables dans le temps, soit contiennentun sous-ensemble important qui prsente les proprits de linarit et invariancetemporelle, soit peuvent sanalyser avec les mmes techniques que les systmesayant ces proprits.

La linarit et linvariance temporelle entranent lexistence dune relation deconvolution qui rgit le fonctionnement du systme, ou filtre, ayant ces proprits.Cette relation de convolution est dfinie partir de la rponse du systme ausignal lmentaire que reprsente une impulsion, la rponse impulsionnelle, parune intgrale dans le cas des signaux analogiques. Ainsi, si x (t) dsigne le signal filtrer, h(t) la rponse impulsionnelle du filtre, le signal filtr y (t) est donn parlquation :

y (t) = h ()x (t )d

2 Introduction

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Dans ces conditions, une telle relation qui pourtant traduit directement le fonc-tionnement rel du filtre, offre un intrt pratique limit. En effet, dune part ilnest pas trs ais de dterminer la rponse impulsionnelle partir des critres quidfinissent lopration de filtrage envisage et dautre part une quation compor-tant une intgrale ne permet pas facilement de reconnatre et vrifier le comporte-ment du filtre. La conception est beaucoup plus facile aborder dans le domainedes frquences car la transformation de Laplace ou la transformation de Fourierpermettent daccder un plan transform o les relations de convolution du planamplitude-temps deviennent de simples produits de fonctions. A la rponse impul-sionnelle, la transformation de Fourier fait correspondre la rponse en frquencedu systme, et le filtrage se ramne au produit de cette rponse en frquence par latransforme de Fourier, ou spectre, du signal filtrer.

Dans les systmes numriques, qui sont du type discret, la convolution se tra-duit par une sommation. Le filtre est dfini par une suite de nombres qui constituesa rponse impulsionnelle. Ainsi, si la suite filtrer scrit x (n), la suite filtre y (n)sexprime par la sommation suivante, o n et m sont des entiers :

y (n) = h (m)x (n m)

Deux cas se prsentent alors. Ou bien la sommation porte sur un nombre finide termes, cest--dire que les h (m) sont nuls sauf pour un nombre fini de valeursde la variable entire m. Le filtre est dit rponse impulsionnelle finie ; en faisantallusion sa ralisation, on le dsigne encore par non rcursif car il ne ncessitepas de boucle de raction de la sortie sur lentre dans sa mise en uvre. Il est mmoire finie, puisquil ne garde le souvenir dun signal lmentaire, une impul-sion par exemple, que pendant une dure limite. Les nombres h (m) sont appelsles coefficients du filtre, quils dfinissent compltement. Ils peuvent se calculerdune manire directe trs simple, par exemple en faisant le dveloppement ensrie de Fourier de la rponse en frquence raliser. Ce type de filtre prsentedes caractristiques originales trs intressantes ; par exemple, la possibilit dunerponse rigoureusement linaire en phase, cest--dire dun temps de propagationde groupe constant ; les signaux dont les composantes se trouvent dans la bandepassante du filtre ne sont pas dforms la traverse de ce filtre. Cette possibilitest exploite dans les systmes de transmission de donnes ou en analyse spectralepar exemple.

Ou bien la sommation porte sur un nombre infini de termes, les h (m) ont uneinfinit de valeurs non nulles ; le filtre est dit rponse impulsionnelle infinie ouencore de type rcursif, car il faut raliser sa mmoire par une boucle de ractionde la sortie sur lentre. Son fonctionnement est rgi par une quation selonlaquelle un lment de la suite de sortie y (n) est calcule par la sommation pond-re dun certain nombre dlments de la suite dentre x (n) et dun certainnombre dlments de la suite de sortie prcdents. Par exemple, si L et K sont desentiers, le fonctionnement du filtre peut tre dfini par lquation suivante :

m

D

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Introduction 3

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y (n) = alx (n l) bky (n k)

Les al (l = 0, 1, , L) et bk (k = 1, 2, , K) sont les coefficients. Comme pour lesfiltres analogiques, ltude de ce type de filtre ne se fait pas en gnral simplementde manire directe ; il est ncessaire de passer par un plan transform. La transfor-mation de Laplace ou la transformation de Fourier pourraient tre utilises.Cependant, il existe une transformation beaucoup mieux adapte, la transforma-tion en Z, qui est lquivalent pour les systmes discrets. Un filtre est caractrispar sa fonction de transfert en Z, dsigne gnralement par H(Z), et qui faitintervenir les coefficients par lquation suivante :

H(Z) =

Pour obtenir la rponse en frquence du filtre, il suffit de remplacer dans H(Z) lavariable Z par lexpression suivante o f dsigne la variable frquence et T lapriode dchantillonnage des signaux :

Z = e j2 f T

Dans cette opration, laxe imaginaire, dans le plan de Laplace, correspondle cercle de rayon unit centr lorigine dans le plan de la variable Z. Il apparatclairement que la rponse en frquence du filtre dfini par H(Z) est une fonctionpriodique ayant pour priode la frquence dchantillonnage. Une autre repr-sentation de la fonction H(Z) est utile pour la conception des filtres et ltude duncertain nombre de proprits, celle qui fait apparatre les racines du numrateurappeles zros du filtre, Zl (l = 1, 2, , L) et les racines du dnominateur appelesples, Pk (k = 1, 2, , K) :

H(Z) = a0

Le terme a0 est un facteur dchelle qui dfinit le gain du filtre. La condition de sta-bilit du filtre sexprime trs simplement par la contrainte suivante : tous les plesdoivent tre lintrieur du cercle unit. La position des ples et des zros par rap-port au cercle unit, permet une apprciation trs simple et trs utilise des carac-tristiques du filtre.

Un ensemble de quatre chapitres est consacr ltude des caractristiquesde ces filtres numriques. Le chapitre IV prsente les proprits des systmeslinaires discrets invariants dans le temps, rappelle les proprits principales de la

L

(1 ZlZ 1)l = 1

K

(1 PkZ 1)k = 1

L

al Z ll = 0

K

1 + bk Z kk = 1

K

k = 1

L

l = 0

4 Introduction

50162_p001p006 4/08/06 14:29 Page 4

transformation en Z et donne les lments ncessaires ltude des filtres. Le cha-pitre V traite des filtres rponse impulsionnelle finie : leurs proprits sont tu-dies, les techniques de calcul des coefficients sont dcrites ainsi que les structuresde ralisation. Les filtres rponse impulsionnelle infinie tant gnralement rali-ss par une mise en cascade de cellules lmentaires du premier et second ordre ; lechapitre VI dcrit ces cellules et leurs proprits, ce qui dune part facilite consid-rablement lapproche de ce type de systme et dautre part fournit un ensemble dersultats trs utiles dans la pratique. Le chapitre VII donne les mthodes de calculdes coefficients des filtres rponse impulsionnelle infinie et traite les problmesapports par la ralisation, avec les limitations quelle implique et leurs cons-quences, en particulier le bruit de calcul.

Les filtres rponse impulsionnelle infinie ayant des proprits comparables celles des filtres analogiques continus, il est naturel denvisager pour leur ralisa-tion des structures du mme type que celles qui sont couramment employes en fil-trage analogique. Cest lobjet du chapitre VIII qui prsente des structures enchane. Une digression est faite avec les dispositifs commutation de capacits, quine sont pas de type numrique au sens strict, mais qui sont nanmoins de typechantillonn et sont des complments trs utiles aux filtres numriques. Pour gui-der lutilisateur, un rsum des mrites respectifs des structures dcrites est donnen fin de chapitre.

Certains quipements, par exemple en instrumentation ou dans le domaine destlcommunications, font intervenir des signaux reprsents par une suite denombres complexes. Dans lensemble des signaux de ce type, une catgorie prsenteun intrt pratique notable, celle des signaux analytiques. Leurs proprits sont tu-dies au chapitre IX, ainsi que la conception des dispositifs adapts la gnrationou au traitement de tels signaux. Des notions complmentaires sur le filtrage sontgalement donnes dans ce chapitre, qui prsente, dune manire unifie, les princi-pales techniques dinterpolation.

Les machines de traitement numrique, quand elles fonctionnent en tempsrel, oprent une cadence troitement lie la frquence dchantillonnage dessignaux et leur complexit dpend du volume doprations faire et de lintervallede temps disponible pour les raliser. La frquence dchantillonnage des signauxest gnralement impose lentre ou la sortie des systmes, mais lintrieurdu systme lui-mme, il est possible de la faire varier pour ladapter aux caractris-tiques du signal et du traitement, et ainsi de rduire le volume doprations et lacadence des calculs. Une simplification des machines, qui peut tre trs importante,est obtenue en adaptant tout au long du traitement la frquence dchantillonnage la largeur de bande du signal utile, cest le filtrage multicadence prsent au cha-pitre X. Les incidences sur les caractristiques du traitement sont dcrites ainsi queles mthodes de ralisation. Des rgles dutilisation et dvaluation sont fournies.Cette technique donne des rsultats particulirement intressants pour les filtres bande passante troite ou pour la mise en uvre densembles appels bancs defiltres. Dans ce dernier cas, le systme associe un ensemble de circuits dphaseursun calculateur de Transforme de Fourier Discrte.

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Introduction 5

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Les bancs de filtres pour la dcomposition et la reconstruction des signauxsont devenus un outil de base pour la compression. Leur fonctionnement est dcritaux chapitres 11 et 12 avec les mthodes de calcul et les structures de ralisation.

Les filtres peuvent tre dtermins partir de spcifications dans le temps ;cest le cas par exemple de la modlisation dun systme comme dcrit au chapitre 13.Si les caractristiques varient, il peut tre intressant de modifier les coefficients enfonction des volutions du systme. Cette modification peut dpendre dun critredapproximation et se faire une cadence qui peut atteindre la cadence dchan-tillonnage du systme ; alors le filtre est dit adaptatif. Le chapitre 14 est consacrau filtrage adaptatif, dans le cas le plus simple, mais aussi le plus courant et le plusutile, celui o le critre dapproximation retenu est la minimisation de lerreur qua-dratique moyenne et o les variations des coefficients se font suivant lalgorithmedu gradient. Aprs un ensemble de rappels donns au chapitre 13 sur les signauxalatoires et leurs proprits, en particulier la fonction et la matrice dautocorrla-tion dont les valeurs propres jouent un rle important, lalgorithme du gradient estprsent au chapitre 14 et ses conditions de convergence sont tudies. Ensuite lesdeux paramtres dadaptation principaux, la constante de temps et lerreur rsi-duelle sont analyss, ainsi que la complexit arithmtique. Diffrentes structuresde ralisation sont proposes.

Pour terminer, le chapitre 15 dcrit brivement quelques applications, enmontrant comment les mthodes et techniques de base sont exploites.

6 Introduction

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Chapitre 1

La numrisation du signalchantillonnage et codage

La conversion dun signal analogique sous forme numrique implique une doubleapproximation. Dune part, dans lespace des temps, le signal fonction du tempss (t) est remplac par ses valeurs s (nT ) des instants multiples entiers dune dureT ; cest lopration dchantillonnage. Dautre part, dans lespace des amplitudes,chaque valeur s (nT) est approche par un multiple entier dune quantit lmen-taire q ; cest lopration de quantification. La valeur approche ainsi obtenue estensuite associe un nombre ; cest le codage, ce terme tant souvent utilis pourdsigner lensemble, cest--dire le passage de la valeur s (nT) au nombre qui lareprsente.

Lobjet du prsent chapitre est danalyser lincidence sur le signal de ces deuxapproximations.

Pour mener bien cette tche, on utilise deux outils de base qui sont lanalysede Fourier et la thorie des distributions.

1.1 LANALYSE DE FOURIER

Lanalyse de Fourier est un moyen de dcomposer un signal en une somme designaux lmentaires particuliers, qui ont la proprit dtres faciles mettre enuvre et observer. Lintrt de cette dcomposition rside dans la fait que larponse au signal dun systme obissant au principe de superposition peut tredduite de la rponse aux signaux lmentaires. Ces signaux lmentaires sontpriodiques et complexes, afin de permettre une tude en amplitude et en phasedes systmes ; ils sexpriment par la fonction se (t) telle que :

se (t) = ej2 f t = cos (2 ft) + j sin (2 ft) (1.1)

o f reprsente linverse de la priode, cest la frquence du signal lmentaire.

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Dans la mesure o les signaux lmentaires sont priodiques, il est clair quelanalyse se simplifie dans le cas o le signal est lui-mme priodique. Ce cas vatre examin dabord, bien quil ne corresponde pas aux signaux les plus intres-sants, puisquun signal priodique est parfaitement dtermin et ne porte pratique-ment pas dinformation.

1.1.1 Dveloppement en srie de Fourier dune fonction priodique

Soit s (t), une fonction de la variable t priodique et de priode T, cest--dire satis-faisant la relation :

s (t + T) = s (t) (1.2)

Sous certaines conditions, on dmontre que cette fonction est dveloppable ensrie de Fourier, cest--dire que lgalit suivante est vrifie :

s (t) = Cne j2nt/T (1.3)

Lindice n est un entier et les Cn sont appels les coefficients de Fourier ; ilssont dfinis par lexpression :

Cn = s (t)e j2nt/T dt (1.4)En fait les coefficients de Fourier minimisent lcart quadratique entre la fonc-

tion s (t) et le dveloppement (1.3). En effet la valeur (1.4) est obtenue en drivantpar rapport au coefficient dindice n lexpression :

s (t) Cmej2mt/T2

dt

et en annulant cette drive.

Exemple : dveloppement en srie de Fourier de la fonction ip (t) constituepar une suite dimpulsions, spares par la dure T, de largeur et damplitude a,centre sur lorigine des temps (fig. 1.1).

FIG. 1.1. Suite dimpulsions

m =

T

0

T

0

1T

n =

8 1 La numration du signal. chantillonnage et codage

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Les coefficients Cn scrivent :

Cn = ae j2nt/T dt = (1.5)

et le dveloppement est donn par :

ip (t) = ej2nt/T (1.6)

On imagine limportance que prend cet exemple dans ltude des systmeschantillonns.Les proprits des dveloppements en srie de Fourier sont prsentes dans lou-vrage [1]. Une proprit importante est exprime par lgalit de Bessel-Parsevalqui traduit le fait que dans la dcomposition du signal il y a conservation de lapuissance :

Cn2 = s (t)2 dt (1.7)Les signaux lmentaires qui rsultent de la dcomposition dun signal priodique

ont des frquences qui sont des multiples entiers de , linverse de la priode ; ils

couvrent un ensemble discret de lespace des frquences. Par contre si le signalnest pas priodique, les signaux lmentaires rsultant de la dcomposition cou-vrent un domaine continu de lespace des frquences.

1.1.2 Transformation de Fourier dune fonction

Soit s (t) une fonction de la variable t ; sous certaines conditions on dmontre lga-lit suivante :

s (t) = S( f ) ej2ft df (1.8)avec

S( f ) = s (t) e j 2ft dt (1.9)La fonction S( f ) est la transforme de Fourier de s (t). Plus communment S( f ) estappel spectre du signal s (t).

1T

0

1T

n =

sin n T

n

T

n =

aT

sin n T

n

T

aT

/2

/2

1T

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1.1 Lanalyse de Fourier 9

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Exemple : soit calculer la transforme de Fourier I( f ) dune impulsion isolei (t) de largeur , damplitude a et centre sur lorigine des temps (fig. 1.2)

I ( f ) = i (t) e j 2ft dt = a e j 2ft dt

I ( f ) = a (1.10)

FIG. 1.2. Impulsion isole FIG. 1.3. Spectre de limpulsion isole

La figure 1.3 reprsente la fonction I( f ), qui sera trs frquemment utilisepar la suite. Il est important de remarquer quelle sannule aux frquences mul-tiples entiers non nuls de linverse de la dure de limpulsion.

LAnnexe 1 donne une tabulation de cette fonction.La correspondance entre coefficients de Fourier et spectre apparat nettement

sur cet exemple. En effet, en rapprochant les relations (1.6) et (1.10) on vrifie que,

au facteur prs, les coefficients du dveloppement en srie de Fourier de la

suite dimpulsions correspondent aux valeurs que prend le spectre de limpulsionisole aux frquences multiples entiers de linverse de la priode des impulsions.

En fait, on a la relation :

Cn = S Une relation comparable lgalit de Bessel-Parseval existe pour une fonc-

tion non priodique. Dans ce cas, cest non plus la puissance mais lnergie dusignal qui se trouve conserve :

S( f )2 df = s (t )2 dt (1.11)Soit s(t) la drive de la fonction s(t) ; sa transforme de Fourier Sd ( f) scrit :

Sd ( f ) = e j 2ft . s(t) dt = j 2 f . S( f ) (1.12)Ainsi prendre la drive dun signal amne une multiplication de son spectre parj2 f.

Une proprit essentielle de la transformation de Fourier, qui est en fait laprincipale raison de son utilisation, est quelle transforme un produit de convolu-

nT

1T

1T

sin ( f)

f

/2

/2


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tion en un produit simple. En effet soit deux fonctions du temps x (t) et h (t) dontles transformes de Fourier sont respectivement X( f ) et H( f ). Le produit deconvolution y (t) est dfini par :

y (t) = x (t ) * h (t) = x (t )h () d (1.13)La transforme de Fourier de ce produit scrit :

Y( f ) = x (t )h ()d e j2 ft dt

Y( f ) = h () e j 2 f d . x (u) e j2 fu du = H( f ) .X( f )Rciproquement, on montre que la transforme de Fourier dun produit simple estun produit de convolution.

Un rsultat intressant pour ltude de lchantillonnage et se rapportant lexemple ci-dessus peut tre dduit directement de ces proprits. En effet soit calculer la transforme de Fourier II( f ) de la fonction i2 (t) ; daprs les relations(1.10) et (1.13), il vient :

II( f ) = I( f ) * I( f ) = a . I( f ) (1.14)

et par suite :

. d =

En prenant f = , pour tout entier n non nul, on a :

. d = 0 (1.15)

Les fonctions , avec n entier, forment un ensemble de fonctions ortho-

gonales.La dfinition et les proprits de la transformation de Fourier stendent aux

fonctions de plusieurs variables. Soit s (x1 , x2 , , xn) une fonction de n variablesrelles, la transforme de Fourier est une fonction S(1, 2, , n) dfinie par :

S(1, 2 , , n)

= s (x1, x2 , , xn)e j2(1x1 + 2x2 + + nxn) dx1 dx2 , , dxn (1.16)Rn

sin (x n)

(x n)

sin [ ( n)]

( n)sin ()

n

sin ( f)

f1

sin [ ( f ) ]

( f ) sin ()

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1.1 Lanalyse de Fourier 11

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Si la fonction s (x1, x2 , , xn) est sparable cest--dire si :s (x1, x2 , , xn) = s (x1) s (x2) s (xn) alors il vient :

S(1, 2 , , n) = S(1) S(2) S(n)

Les variables xi (1 i n) reprsentent souvent des distances, par exempledans le cas bidimensionnel, et les i sont alors appeles frquences spatiales.

Dans ltude des signaux chantillonns, la transformation de Fourier va treapplique aux distributions.

1.2 LES DISTRIBUTIONS

Les distributions mathmatiques constituent une dfinition mathmatique correctedes distributions rencontres en physique [1].

1.2.1 Dfinition

On appelle distribution D une fonctionnelle linaire continue sur lespace vectoriel des fonctions dfinies sur n, indfiniment drivables et support born.

A toute fonction appartenant , la distribution D associe un nombre com-plexe D(), qui sera aussi not par D, , avec les proprits :

D(1 + 2) = D(1) + D(2). D() = D() o est un scalaire. Si j converge vers quand j tend vers linfini, la suite D(j) converge vers

D().Exemples :

Si f (t) est une fonction sommable sur tout ensemble born, elle dfinit unedistribution Df par :

Df , = f (t ) (t) dt (1.17) Si dsigne la drive de , la fonctionnelle :

D, = f (t) (t ) dt = f, (1.18)est une distribution.

La distribution de Dirac est dfinie par :, = (0) (1.19)

La distribution de Dirac au point rel x est dfinie par :

(t x), = (x) (1.20)

On dit que cette distribution reprsente la masse + 1 au point x.


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Soit limpulsion i (t) de dure , damplitude a = 1/, centre sur lorigine.Elle dfinit une distribution Di :

Di , = (t) dtPour des valeurs de trs petites on obtient :

Di , (0)

cest--dire que la distribution de Dirac peut tre considre comme la limite,quand tend vers 0, de la distribution Di .

1.2.2 Drivation des distributions

On dfinit la drive dune distribution D par la relation :

, = D, (1.21)

Soit par exemple la fonction Y de Heaviside, ou chelon unit, gale 0 sit 0 et + 1 si t 0.

, = Y, = (t) dt = (0) = , (1.22)Il en rsulte que la discontinuit de Y apparat sous la forme dune masse ponc-tuelle unitaire dans sa drive.Cet exemple illustre un intrt pratique considrable de la notion de distribution,qui permet dtendre aux fonctions discontinues un certain nombre de concepts etde proprits des fonctions continues.

1.2.3 Transformation de Fourier dune distribution

Par dfinition la transforme de Fourier dune distribution D est une distributionnote FD telle que :

FD, = D, F (1.23)

Par application de cette dfinition aux distributions support ponctuel il vient :

F, = , F = (t) dt = 1, (1.24)Par suite : F = 1.

De mme F (t a) = e j 2 fa.

0

t

Yt

t

Dt

Dt

/2

/2

1

1.2 Les distributions 13

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Un cas fondamental pour ltude de lchantillonnage est celui que constituela suite des distributions de Dirac dcales de T, note u et telle que :

u (t) = (t nT) (1.25)

Cette suite est une distribution de masses unitaires aux points dont labscisse est unmultiple entier de T. Sa transforme de Fourier scrit :

Fu = e j2 fnT = U( f ) (1.26)

On dmontre que cette somme est en fait une distribution ponctuelle.Une dmonstration intuitive peut tre obtenue partir du dveloppement en

srie de Fourier de la fonction ip (t) constitue par la suite dimpulsions sparespar la dure T, de largeur , damplitude 1/, centre sur lorigine des temps.

En effet on peut considrer que : u (t) = ip (t ).

En se reportant la relation (1.6) on trouve : ip (t) = e j2nt/T

Il en rsulte que : U( f ) = e j2 fnT = f (1.27)

Cette proprit fondamentale dmontre dans louvrage [1], ainsi que dans lou-vrage [2], sexprime comme suit :

La transforme de Fourier de la distribution temporelle comportant unemasse unitaire en chaque point dont labscisse est un multiple entier de T est unedistribution frquentielle comportant la masse 1/T aux points dont labscisse est unmultiple entier de 1/T.Ce rsultat va tre utilis pour tudier lchantillonnage dun signal.

La proprit que possde la transformation de Fourier dchanger convolu-tion et multiplication sapplique galement aux distributions.

Avant dtudier les incidences sur le signal des oprations dchantillonnageet quantification, il est utile de caractriser les signaux qui sont les plus frquem-ment traits.

1.3 LES PRINCIPAUX SIGNAUX TRAITS

Les signaux sont dfinis par une fonction du temps s (t). Cette fonction peut treune expression analytique ou la solution dune quation diffrentielle, auquel casle signal est appel dterministe.

nT

n =

1T

n =

n =

1T

lim 0

lim 0

n =

n =


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1.3.1 Les signaux dterministes

Les signaux de ce type les plus utiliss sont les signaux sinusodaux ; par exemple :

s (t) = A cos (t + )

o A est lamplitude, = 2 f la pulsation et la phase du signal.Ils sont faciles reproduire, reconnatre aux diffrents points dun systme

et offrent une possibilit de visualisation simple des caractristiques. De plus,comme indiqu aux paragraphes prcdents, ils servent de base la dcompositiondun signal dterministe quelconque, par lintermdiaire de la Transformation deFourier.

Si le systme considr est linaire et invariant dans le temps, il peut tre carac-tris par sa rponse en frquence H(). Pour chaque valeur de la frquence, H()est un nombre complexe dont le module est lamplitude de la rponse. Par conven-tion on dsigne par phase de la rponse du systme la fonction () telle que :

H() = H() e j() (1.28)

Cette convention permet dexprimer le temps de propagation de groupe (),fonction positive dans les systmes rels, par :

() = (1.29)

Le temps de propagation de groupe fait rfrence aux lignes de transmission,sur lesquelles les diffrentes frquences dun signal se propagent des vitesses dif-frentes, ce qui entrane une dispersion dans le temps de lnergie du signal. Pourillustrer cette notion, soit deux frquences proches auxquelles correspon-dent les phases par unit de longueur . Le signal somme scrit :

s (t) = cos [( + )t ( + )] + cos [( )t ( )]

ou encore

s (t) = 2 cos (t ) cos (t )

Cest un signal modul et il ny a pas de dispersion si les deux facteurs subis-sent le mme retard par unit de longueur, cest--dire si / est une constante.Le temps de propagation de groupe caractrise donc la dispersion apporte unsignal par une ligne de transmission ou un systme quivalent.

En appliquant au systme le signal sinusodal s (t), on obtient en sortie lesignal rsultant sr (t) tel que :

sr (t) = A. H() cos [t + ()] (1.30)

Cest encore un signal sinusodal et la comparaison avec le signal appliqupermet une visualisation de la rponse du systme. On imagine aisment limpor-tance de cette procdure pour les oprations de test par exemple.

Les signaux dterministes cependant ne reprsentent pas trs bien les signauxrels, car, en fait, ils ne portent pas dinformation, si ce nest pas leur prsence

dd

1.3 Les principaux signaux traits 15

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n d

lit.

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mme. Les signaux rels sont gnralement caractriss par une fonction s (t) ala-toire. Pour le test et lanalyse des systmes on utilise aussi des signaux alatoires,mais qui prsentent des caractristiques particulires pour ne pas compliquer exa-grment la gnration et lexploitation. Une tude des signaux alatoires est faitedans le tome 2 de la rfrence [2].

1.3.2 Les signaux alatoires

Un signal alatoire est dfini chaque instant t par la loi de probabilit de sonamplitude s (t). Cette loi peut sexprimer par une densit de probabilit p (x, t )dfinie comme suit :

p (x, t) = (1.31)

Il est stationnaire si ces proprits statistiques sont indpendantes du temps,cest--dire que sa densit de probabilit est indpendante du temps :

p (x, t) = p (x)

Il est du second ordre sil possde un moment dordre 1 appel valeurmoyenne, qui est lesprance mathmatique de s (t), note E [s (t)] et dfiniepar :

m1 (t) = E[s (t)] = x .p (x, t ) dxet un moment dordre 2, appel fonction covariance :

E[s (t1) . s (t2)] = m2 (t1, t2) = x1 .x2 .p (x1, x2 ; t1, t2) dx1 dx2o p (x1, x2 ; t1, t2) est la densit de probabilit du couple de variables alatoires[s (t1), s (t2)].

Le caractre de stationnarit peut tre limit aux moments du premier et dusecond ordre ; on dit alors que le signal est stationnaire dordre 2 ou stationnaire ausens large, et pour un tel signal il vient :

E(s (t)] = x .p (x) dx = m1Lindpendance du temps se traduit comme suit pour le densit de probabilitp (x1, x2 ; t1, t2) :

p (x1, x2 ; t1, t2) = p (x1, x2 ; 0, t2 t1) = p (x1, x2 ; )

avec = t2 t1

Seul intervient lcart entre les deux instants dobservation du signal :

E[(s (t1) . s (t2)] = m2 () (1.33)

Proba [x s (t ) x + x]

xlim

x 0


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La fonction rxx () telle que :

rxx () = E[s (t ) . s (t )] (1.34)

prend le nom de fonction dautocorrlation du signal alatoire, quelle caractrise.Un signal alatoire s (t ) possde aussi une moyenne temporelle m, qui est

une variable alatoire dfinie par :

mT = s (t) dt (1.35)Lergodicit de cette moyenne exprime le fait quelle prend une valeur dterminek avec la probabilit 1. Pour un signal stationnaire, lergodicit de la moyenne tem-porelle entrane lgalit avec la moyenne des amplitudes un instant donn. Eneffet prenons lesprance de la variable mT :

E[mT ] = k = E s (t) dt = E[s (t)] dt = m1Ce rsultat a des consquences pratiques importantes puisquil fournit un moyendaccder aux proprits statistiques du signal un instant donn partir de lob-servation de ce signal au cours du temps.Lergodicit de la covariance dans le cas stationnaire est galement trs intres-sante car elle conduit la relation :

rxx () = s (t) s (t ) dt (1.36)La fonction dautocorrlation du signal s (t ), rxx () est fondamentale pour ltudedes signaux stationnaires dordre deux ergodiques. Ses principales proprits sontles suivantes :

Cest une fonction paire :

rxx () = rxx ( )

Son maximum est lorigine et correspond la puissance du signal P :

rxx (0) = E[s2 (t)] = P

La densit spectrale de puissance est la tranforme de Fourier de la fonc-tion dautocorrlation :

xx ( f ) = rxx () e j2f d = 2 rxx () cos (2 f) dEn effet : rxx () = s () * s ( ) et, si S( f ) dsigne la transforme de Fourier de s (t ),il vient :

xx ( f ) = S( f ) .S( f ) = S( f )2 (1.37)

Cette dernire proprit se traduit physiquement par le fait que plus le signalest variation rapide, cest--dire plus son spectre stend vers les frquences le-

0

T/2

T/2

1T

limT

T/2

T/2

1T

limT

T/2

T/2

1T

limT

T/2

T/2

1T

limT


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ves, plus sa fonction dautocorrlation est troite. A la limite le signal est pure-ment alatoire et la fonction sannule pour 0. On se trouve en prsence dunsignal appel bruit blanc, et tel que :

rxx () = P

Alors la densit spectrale est constante :

xx (f ) = P

En fait un tel signal na pas de ralit physique puisque sa puissance est infinie,mais il constitue un modle mathmatique commode pour les signaux dont la den-sit spectrale est quasi constante sur une large bande de frquence.

1.3.3 Les signaux gaussiens

Parmi les lois de probabilit que lon peut considrer pour un signal s (t), il est unecatgorie qui prsente un grand intrt, celle des lois normales ou lois de Gauss.En effet les distributions alatoires normales conservent leur caractre normaldans toute opration linaire, par exemple la convolution par une distribution cer-taine, le filtrage, la drivation ou lintgration. Aussi ces distributions alatoiressont-elles trs utilises pour la modlisation des signaux rels et le test dessystmes.

Une variable alatoire x est dite gaussienne si sa loi de probabilit a une den-sit p (x) qui suit la loi normale ou loi de Gauss :

p (x) = e (1.38)

La valeur m est la moyenne de la variable x ; la variance 2 est le moment dordredeux de la variable centre (x m) ; est aussi appel lcart-type.

La variable est dite rduite, elle a une moyenne nulle et un cart-typeunit. Une tabulation et une reprsentation trs utile sous forme de courbe sontfournies en annexe II.

Une variable alatoire est caractrise par la loi de probabilit de son ampli-tude, mais aussi par lensemble de ses moments mn, tels que :

mn = xn p (x) dx (1.39)Ces moments sont les coefficients du dveloppement en srie entire dune fonc-tion F(u) appele fonction caractristique de la variable alatoire x et dfinie par :

F(u) = ejux p (x) dx (1.40)

x m

(x m)2

221

2


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Cest, un changement de variable prs, la transforme de Fourier inverse de ladensit de probabilit p (x) et lon a galement :

p (x) = e jux F(u) du (1.41) partir de la relation (1.40) on obtient le dveloppement en srie entire sui-vant :

F(u) = mn (1.42)

Et pour une variable gaussienne centre :

F(u) = e 2u 2 (1.43)

Par dveloppement en srie et identification avec (1.42), on obtient tous lesmoments :

m2n = 2n

Par exemple, pour n = 2, on obtient m4 = 34. Tous les moments dordreimpair dune variable gaussienne centre sont nuls, daprs la dfinition de la loi deprobabilit elle-mme.

La loi normale se gnralise aux variables alatoires plusieurs dimensions[3]. La fonction caractristique dune variable gaussienne k dimensions x(x1, , xk)scrit :

F(u1, , uk) = e rijuiuj (1.44)

avec :

rij = E(xi xj)

La densit de probabilit est obtenue par transformation de Fourier. Dans lecas 2 dimensions il vient :

p (x1, x2) = e + (1.45)

o r dsigne le coefficient de corrlation :

r =

Un signal alatoire s (t) est dit gaussien, si pour un ensemble de k instantsti (1 i k) la variable alatoire k dimensions s = [s (t1), , s (tk)] est gaussienne.

Daprs la relation (1.44), la loi de probabilit de cette variable est complte-ment dfinie par la fonction dauto-corrlation rxx () du signal s (t ).

E(x1 x2)12

x2222

2rx1x212

x2121

12(1 r2)

1212 1 r2

k

j = 1

k

i = 1

12

(2n)!n !2n

12

(ju)nn !

n = 0

12


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Exemple :Le signal dfini par les quations suivantes :

rxx () = 2 e (1.46)

p (x) = e (1.47)

est une approximation dun bruit gaussien blanc dutilisation courante dans lana-lyse des systmes ou la modlisation des signaux. Cest un signal stationnaire demoyenne nulle dont la densit spectrale nest pas rigoureusement constante, maiscorrespond une rpartition uniforme filtre par un filtre passe-bas de type RC. Ilsobtient par amplification du bruit dagitation thermique aux bornes dune rsis-tance.

La distribution normale peut tre obtenue partir dune distribution de pro-babilit p (x) uniforme sur lintervalle [0, 1]. En effet soit p (y) la distribution ditede Rayleigh :

p (y) = e ; y 0 (1.48)

qui a pour moment dordre deux ou puissance, 22, pour moyenne et pourvariance 2 2. Par un changement de variable tel que :

p (x) dx = p (y) dy

il vient :

p (y) = p (x) = ; = e do :

x = e

; y = 2 ln (1.49)La distribution normale est obtenue en considrant deux variables y et x ind-

pendantes et en posant :

z = y cos 2x (1.50)

La dmonstration fait intervenir la variable :

z = y sin 2x

En effet, en utilisant la correspondance entre coordonnes polaires et cart-siennes, on peut crire :

p (z, z) dz dz = p (z) p (z) dz dz = p (y) p (x) dx dy = p (z) p (z) ydy 2 dx

1x

y222

y222

y2

dxdy

dxdy

dxdy

2

2

y222

y2

x222

1 2

RC


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do :

p (z) p (z) = e

= e

et finalement :

p (z) = e

Cette procdure est couramment utilise pour produire des signaux Gaussiensnumriques.

1.3.4 Facteur de crte dun signal alatoire

Un signal alatoire est dfini chaque instant par une loi de probabilit de sonamplitude, souvent telle que cette amplitude nest pas borne. Cest le cas dessignaux gaussiens, comme le montre la relation (1.38).

Or le traitement dun signal ne peut se raliser que pour une gamme dampli-tudes limite et des oprations de cadrage interviennent. Un paramtre importantest le facteur de crte dfini pour le signal comme le rapport dune certaine ampli-tude Am la valeur efficace . Par convention cette amplitude Am est souvent prisecomme la valeur qui nest pas dpasse pendant plus de 105 du temps. Ce rapportest exprim en dcibels (dB) par Fc tel que :

Fc = 20 log (1.51)o log dsigne le logarithme en base 10.

Pour un signal gaussien le facteur de crte est de 12,9 dB. Applique unsignal sinusodal cette dfinition conduit un facteur de crte de 3 dB.

Un modle stationnaire utilis pour reprsenter le signal tlphonique estconstitu par le signal alatoire dont la densit de probabilit des amplitudes suitla loi exponentielle, ou de Laplace, suivante :

p (x) = e2 (1.52)

Le facteur de crte dans ce cas slve 17,8 dB.En conclusion, les fonctions alatoires stationnaires dordre deux ergodiques,

caractrises par une loi de probabilit des amplitudes et une fonction dautocorr-lation, permettent de modliser la plupart des signaux traiter et sont trs utilisesdans ltude et lanalyse des systmes.

En plus des possibilits de reprsentation des signaux il est important de pou-voir disposer dune mesure globale, par exemple afin de pouvoir suivre un signalau cours du traitement. Une telle mesure est obtenue en dfinissant des normes surla fonction qui reprsente le signal.

x

1 2

Am

z222

1 2

z2 + z 2

221

22

y222

12

12


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1.4 NORMES DUNE FONCTION

Une norme est une fonction positive relle, qui vrifie les relations :

x 0 ; k x = kx

o k est un rel positif.Une catgorie trs utilise de normes est lensemble des normes dites

normes-Lp [4] :La norme-Lp dune fonction continue s (t) dfinie sur lintervalle [0, 1] est

note s p et dfinie par :

s p = s (t) p dt (1.53)

Trois valeurs de p sont intressantes :

p = 1 :

s 1 = s (t) dt (1.53-a)

p = 2 :

s 22 = s (t) 2 dt (1.53-b)

cest lexpression de lnergie du signal s(t)

p = :

s

= s (t) (1.53-c)

Cette norme est aussi appele norme de Tchebycheff. Les normes sont utilisesgalement dans les techniques dapproximation pour mesurer lcart entre unefonction f (x) et la fonction approcher F(x). Lapproximation est faite au sens desmoindres carrs si la norme L2 est utilise et au sens de Tchebycheff si la norme Lest utilise.

Les normes -Lp peuvent tre gnralises par lintroduction dune fonction depondration relle positive p (x). La norme-Lp pondre de la fonction dcartf (x) F(x) scrit alors :

f (x) F(x)p = f (x) F (x) p p (x) dx (1.53-d)

Ces notions sont appliques dans le calcul des coefficients des filtres et aussi desfacteurs dchelle qui commandent les cadrages des donnes dans les mmoires.

1p

1

0

max0 t 1

1

0

1

0

1p

1

0


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1.5 LOPRATION DCHANTILLONNAGE

Lchantillonnage consiste reprsenter un signal fonction du temps s (t) par sesvaleurs s (nT) des instants multiples entiers dune dure T, appele priodedchantillonnage. Une telle opration sanalyse de faon simple et concise parlintermdiaire de la thorie des distributions. En effet, par dfinition, la distribu-tion de masses unitaires aux points de laxe rel multiples entiers de la priode T,associe la fonction s (t) lensemble de ses valeurs s (nT) o n est un entier.Conformment aux notations prcdemment retenues cette distribution est noteu (t) et scrit :

u (t) = (t nT)

Lopration dchantillonnage affecte le spectre S( f ) du signal. Considrant larelation fondamentale (1.27), il apparat que le spectre U( f ) de la distribution u (t)

est constitu de raies damplitude aux frquences qui sont des multiples entiers

de la frquence dchantillonnage fe = . Par suite u (t) sexprime comme une

somme de signaux lmentaires :

u (t) = ej2nt/T (1.54)

Alors la suite des valeurs de signal s (nT ) correspond au produit de lensembledes signaux lmentaires qui constituent u (t) par le signal s (t). Cest--dire quephysiquement, lopration dchantillonnage est une modulation en amplitude parle signal dune infinit de porteurs des frquences qui sont des multiples entiersde la frquence dchantillonnage fe = 1/T. Par suite le spectre du signal chan-tillonn comprend la fonction S( f ), dsigne par la bande de base, ainsi que lesbandes images qui correspondent la translation de la bande de base de multiplesentiers de la frquence dchantillonnage.

Lopration dchantillonnage et son incidence sur le spectre du signal sontreprsentes sur la figure 1.4.

FIG. 1.4. Incidence spectrale de lchantillonnage

n =

1T

1T

1T

n =

1.5 Lopration dchantillonnage 23

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Le spectre du signal chantillonn Se ( f ) a pour expression le produit deconvolution de S( f ) par U( f ) soit :

Se ( f ) = Sf (1.55)Il est important de remarquer que la fonction Se ( f ) est priodique, cest--dire

que lchantillonnage a introduit une priodicit dans lespace des frquences, cequi constitue une caractristique fondamentale des signaux chantillonns.

Lopration dchantillonnage telle quelle vient dtre dcrite et que londsigne par chantillonnage idal, peut sembler peu raliste, dans la mesure o ilapparat difficile dans la ralit datteindre, de manipuler ou de restituer une valeurdun signal un instant ponctuel ; les chantillonneurs rels ou les circuits qui resti-tuent les chantillons possdent un certain temps douverture. En fait on peut mon-trer que lchantillonnage ou la restitution dchantillons par des impulsions ayantune largeur donne, introduit simplement une modification du spectre du signal.

En effet dans lopration dchantillonnage du signal s (t) par la suite dimpul-sions spares par la dure T, de largeur et damplitude a, il se peut que lonrecueille la priode n une quantit n qui scrit :

n = a s (t) dtCette quantit exprime le rsultat de la convolution du signal s (t) par limpul-

sion lmentaire i (t) et la fonction dont on prlve dans ce cas les valeurs aux ins-tants dchantillonnage nT est la fonction s * i ; cest--dire que le signal chan-tillonn a pour spectre non pas S( f ) mais le produit :

S( f ) .a .

Le raisonnement est le mme pour le cas de la restitution dchantillons avecune dure . En fait cest le produit de convolution des chantillons s (nT) aveclimpulsion lmentaire i (t) qui est restitu.

Do la proposition :

Lchantillonnage ou la restitution dchantillons par des impulsions de largeur peut tre trait comme un chantillonnage idal ou une restitution idale, lacondition de multiplier le spectre du signal par le spectre de limpulsion lmentaire.

En pratique ds que est faible devant la priode T la correction devientngligeable.

1.6 LCHANTILLONNAGE EN FRQUENCE

Lchantillonnage considr ci-dessus est de type temporel. Cependant les propri-ts nonces sont aussi applicables un chantillonnage de type frquentiel.

sin ( f)

f

nT + /2

nT /2

nT

n =

1T


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Calculons le spectre dune fonction priodique sp (t) de priode T. Une tellefonction peut tre considre comme rsultant du produit de convolution de lafonction s (t), qui prend les valeurs de sp (t) sur une priode et sannule en dehors,et de la distribution ponctuelle u (t). Il en rsulte la relation suivante entre lestransformes de Fourier :

Sp ( f ) = U( f ) .S( f ) = S f (1.56)En fait on retrouve les coefficients du dveloppement en srie de Fourier de lafonction sp (t). Le cas o s (t) est une impulsion est reprsent sur la figure 1.5.

Il apparat que le spectre de la fonction priodique sp (t) est un spectre de raiesqui constituent un chantillonnage du spectre de la fonction prise sur une priode.Lchantillonnage dans lespace des frquences correspond une priodicit danslespace des temps. Cette interprtation est utile dans lanalyse numrique desspectres.

FIG. 1.5. Spectre dune suite dimpulsions

1.7 LE THORME DE LCHANTILLONNAGE

Ce thorme exprime les conditions dans lesquelles la suite des chantillons dunsignal reprsente correctement ce signal. Un signal est suppos tre correctementreprsent par la suite de ses chantillons prlevs avec la priodicit T sil est pos-sible, partir de cette suite de valeurs, de restituer intgralement le signaldorigine.

Lchantillonnage a introduit une priodicit du spectre dans lespace des fr-quences ; restituer le signal dorigine, cest supprimer cette priodicit, cest--dire

nT

nT

n =

1T

1.7 Le thorme de lchantillonnage 25

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liminer les bandes images, opration qui peut tre ralise laide dun filtrepasse bas dont la fonction de transfert H( f ) vaut 1/fe jusqu la frquence fe/2 et 0aux frquences suprieures. En sortie dun tel filtre apparat un signal continu,quil est possible dexprimer en fonction des valeurs s (nT). La rponse impulsion-nelle du filtre h (t) scrit, daprs la relation (1.10) :

h (t) =

Le signal de sortie du filtre, s (t), correspond au produit de convolution de lasuite s (nT) par la fonction h (t), soit :

s (t) = s () ( nT) ddo :

s (t) = s (nT ) (1.57)

Cest la formule de calcul des valeurs du signal aux instants situs entre leschantillons. Pour les multiples de la priode T elle fournit bien s (nT). Le proces-sus de reconstitution du signal est reprsente sur la figure 1.6.

FIG. 1.6. Reconstitution du signal aprs chantillonnage

Pour que le signal calcul s(t) soit identique au signal dorigine, il faut que lespectre S( f ) soit identique au spectre du signal dorigine. Comme le montre lafigure 1.6 cette condition est vrifie si et seulement si le spectre dorigine necontient pas de composantes aux frquences suprieures ou gales fe /2.

Si ce nest pas le cas, les bandes images chevauchent la bande de base commesur la figure 1.7, on dit quil y a repliement de bande, et le filtre de restitution four-

sin (t/T n)

(t/T n)

n =

sin (t )/T

(t )/T

n =

sin (t /T)

t /T


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nit un signal diffrent du signal dorigine. Do le thorme de lchantillonnageou thorme de Shannon :

Un signal qui ne contient pas de composantes des frquences suprieures ougales une valeur fm est entirement dtermin par la suite de ses valeurs des

instants rgulirement espacs de la dure T = .

FIG. 1.7. Repliement de bande

La frquence dchantillonnage dun signal est ainsi dtermine par la limitesuprieure de sa bande de frquence. Dans la pratique on limite gnralement parfiltrage la bande du signal avant chantillonnage la frquence fe , une valeurinfrieure fe/2 pour que le filtre de restitution soit ralisable.

Il est intressant de remarquer que la frquence dchantillonnage dun signalest en fait dtermine par la largeur de bande quil occupe ; en effet la restitution at illustre sur la figure 1.6 pour un signal basse frquence auquel a t associ unfiltre passe-bas. On conoit que le mme raisonnement sapplique aussi un signaloccupant un domaine limit de lespace des frquences auquel serait associ unfiltre passe-bande. Cette proprit est applicable en particulier aux signaux modu-ls et est utilise dans certains types de filtres numriques.

Le rsultat donn la fin du paragraphe 1.1.2 permet de prsenter lchan-tillonnage sous un autre aspect. En effet, la relation (1.57) montre que lchan-tillonnage correspond une dcomposition du signal s (t) suivant lensemble des

fonctions orthogonales et le thorme de Shannon exprime simple-

ment la condition pour que cet ensemble forme une base de dcomposition dusignal.

1.8 CHANTILLONNAGE DE SIGNAUX SINUSODAUXET DE SIGNAUX ALATOIRES

Les proprits nonces ci-dessus sont bien illustres par lchantillonnage designaux sinusodaux, dont les particularits sont utilisables dans de nombreusesapplications.

sin (t /T n)

(t /T n)

12 fm

1.8 chantillonnage de signaux 27

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1.8.1 Signaux sinusodaux

Soit le signal s (t) = cos (2 ft + ), avec 0 , chantillonn avec la

priode T = 1/ fe = 1.Les chantillons sont donns par la suite s (n) telle que :

s (n) = cos (2 fn + )

Si le rapport f / fe = f est un nombre rationnel, il vient :

f = N1/N2 avec N1 et N2 entiers.

Alors :

s (n + N2) = cos [2 f (n + N2) + ] = s (n)

La suite s (n) prsente la priodicit N2 et comprend au plus N2 nombres dif-frents. Dautre part la frquence dchantillonnage tant suprieure au double de

la frquence du signal, on a ncessairement : N1/N2 . Lensemble de N2

chantillons diffrents permet de reprsenter un nombre de signaux sinusodauxgal au plus grand entier infrieur N2/2. Par exemple si N2 = 8, avec lensemble

des nombres : 2 cos 2 + , (n = 0, 1, , 7), il est possible de reprsenter leschantillons des 3 signaux sinusodaux :

2 cos 2 t + avec N1 = 1, 2, 3

FIG. 1.8. chantillonnage des signaux : cos 2 t

La figure 1.8 reprsente cet chantillonnage pour = 0 ; dans ce cas il suffitmme de 4 nombres : 2 et 2.

N8

N18

n8

12

2


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Si lon ajoute aux trois signaux sinusodaux de la figure 1.8, le signal continude valeur 1 et le signal la frquence 1/2 damplitude 1 qui scrit : cos (t),lchantillonnage de cette somme donne des valeurs nulles, sauf aux instants mul-tiples de 8, o la valeur 8 est obtenue, comme le montre la figure 1.9.a. Le spectrede cette somme est obtenu directement en appliquant la relation :

cos x = (ejx + e jx).

Il est form de raies damplitude 1 aux frquences multiples de 1/8 (fig. 1.9.b). Orce spectre a t tudi au paragraphe 1.2, et lon peut constater que la relation(1.27) se trouve vrifie.

La possibilit dengendrer une gamme de signaux sinusodaux partir dunensemble limit de nombres, stocks par exemple dans une mmoire, est utilisedans les synthtiseurs de frquence numriques.

FIG. 1.9. a) chantillonnage du signal s(t) = 1 + 2 cos 2 t + cos (t)b) Spectre correspondant

1.8.2 Signaux alatoires discrets

Si le signal alatoire s (t) est chantillonn avec la priode suppose unitaireT = 1, il en rsulte un signal alatoire discret s (n), qui a par dfinition la mme loide probabilit de lamplitude. Les rsultats obtenus dans le cas continu se transpo-sent au cas discret, en particulier pour les signaux alatoires stationnaires dusecond ordre ergodiques [5].

n8

3

n = 1

12


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Ainsi la fonction dauto-corrlation du signal discret s (n) est la suite r(n) telleque :

r(n) = E[s (i ) . s (i n)] (1.58)

Cest un chantillonnage de la fonction dauto-corrlation rxx () du signalalatoire continu dfinie par lexpression (1.34). Sa transforme de Fourier donnela densit spectrale nergtique e ( f ) du signal discret, qui est lie la densitspectrale xx ( f ) du signal continu par une relation analogue (1.55), cest--dire :

e ( f ) = xx f (1.59)Si la frquence dchantillonnage na pas une valeur suffisante, ou si le spectre

xx ( f ) stend sur un domaine non born, il y a repliement.Lhypothse dergodicit pour le signal discret s (n) conduit la relation :

r (n) = s (i ) s (i n) (1.60)

Cette relation permet dappliquer la notion de fonction dauto-corrlation auxsignaux dterministes. Ainsi, pour un signal priodique et de priode N0, la fonc-tion dauto-corrlation est la suite r (n) dfinie par :

r (n) = s (i ) s (i n) (1.61)

Cest une suite priodique et de mme priode.Exemple :

s (n) = A sin 2

r (n) = A2 sin 2 sin 2

r (n) = cos 2 On retrouve bien la puissance du signal pour r (0) et la priodicit N0.

Un signal alatoire discret peut aussi tre dfini en tant que tel. Par exemple sila suite r (n) sannule pour n 0, le signal s (n) est un bruit blanc discret dont la

densit spectrale est constante sur lintervalle de frquence , . Ce signal aune ralit physique, cest une suite de variables alatoires non corrles ; pourlobtenir il suffit de faire appel un algorithme qui fournit des nombres statistique-ment indpendants.

12

12

nN0

A22

i nN0

iN0

N0 1

i = 0

1N0

nN0

N0 1

i = 0

1N0

N

i = N

12N + 1

limN

nT

n =

1T


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1.8.3 Gnration dun bruit discret

La gnration de nombres alatoires figure gnralement au catalogue des fonc-tions des calculateurs scientifiques. Il est ainsi possible en logiciel de former unesuite de nombres, utilisable comme signal de test en traitement numrique.

Au paragraphe 1.8.1 on a montr quil est particulirement simple de produirenumriquement des signaux sinusodaux ; de tels signaux peuvent aussi servir simuler un bruit, par exemple par addition dun grand nombre de sinusodes de fr-quences diffrentes, damplitude constante et de phase alatoire ou pseudo-ala-toire. Cette approche peut conduire des ralisations particulirement simples,comme la mthode qui a t normalise pour lappareillage de mesure utilis dansles transmissions tlphoniques numriques. Cette mthode consiste engendrerune squence pseudo-alatoire, qui est une suite priodique de 2N 1 bits compre-nant une unit prs autant de zros que de uns et qui simule une suite ala-toire dans laquelle les bits seraient indpendants et auraient la probabilit 1/2 devaloir zro ou un, ou pour centrer les variables, de valoir 1/2 ou + 1/2.

Si une opration de filtrage, qui en fait consiste en une sommation pondre,est effectue sur une telle suite, les nombres obtenus aprs filtrage suivent une loide probabilit qui sapproche de la loi normale.

Les squences pseudo-alatoires sont tudies dans la rfrence [6], elles sontfacilement obtenues laide dun registre dcalage N bits, convenablementboucl. La figure 1.10 donne un exemple, utilis en appareillage de mesure, oN = 17. Le polynme gnrateur scrit :

g (x) = 1 + x3 + x17 (1.62)

FIG. 1.10. Gnrateur de squence pseudo-alatoire et loi de probabilit aprs filtrage

la suite comprend 2N 1 = 131071 bits, elle est priodique et de priode

T = (2N 1) ., si = dsigne la priode de lhorloge du circuit. Le spectre est

form de raies distantes de . Pour fH = 370 kHz, lespacement entre deux raies

est de 2,8 Hz et lon trouve 36 raies dans 100 Hz.

1T

1fH


D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

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En oprant sur cette suite un filtrage bande troite qui ne conserve que labande 450-550 Hz on obtient un signal approchant les caractristiques gaussiennes,dont le facteur de crte est de 10,5 dB et qui constitue un excellent signal de testpour les quipements de transmission numrique. Si le filtrage est fait numrique-ment la suite de nombres obtenue peut tre utilise pour tester les quipements detraitement numrique.

1.9 LOPRATION DE QUANTIFICATION

La quantification est lapproximation de chaque valeur du signal s (t) par un mul-tiple entier dune quantit lmentaire q, appele chelon de quantification. Si qest constant quelle que soit lamplitude du signal, la quantification est dite uni-forme. Cette opration revient faire passer le signal dans un organe qui possdeune caractristique en marche descalier, comme le montre la figure 1.11 pourq = 1, et fournit le signal sq(t).

FIG. 1.11. Lopration de quantification

La manire dont lapproximation est faite dfinit le centrage de cette carac-tristique. Par exemple la figure reprsente le cas, appel arrondi, o toutevaleur du signal comprise entre (n 1/2)q et (n + 1/2)q est arrondie nq. Cestlapproximation par dfaut, qui est dsigne, quand elle porte sur des nombres,par troncation et qui consiste approcher par nq toute la valeur comprise entrenq et (n + 1)q ; la caractristique se dplace alors de q/2 vers la droite sur laxedes abscisses.


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Leffet de cette approximation est de superposer au signal dorigine un signalderreur e (t) dsign par distorsion de quantification ou plus communment parbruit de quantification ; il vient :

s (t) = sq (t) + e (t) (1.63)

Une illustration est donne par la figure 1.12 dans le cas de larrondi. Lesamplitudes multiples impairs de q/2 sont appeles amplitudes de dcision.

Lamplitude du signal derreur est comprise entre q/2 et q/2. Sa puissancemesure la dgradation que subit le signal.

Quand les variations du signal sont grandes par rapport lchelon de quanti-fication, cest--dire que la quantification est faite avec suffisamment de finesse, lesignal derreur est quivalent un ensemble de signaux lmentaires, constituschacun par un segment de droite (fig. 1.13). La puissance dun tel signal lmen-taire de dure scrit :

B = e 2(t) dt = 2 t 2 dt = (1.64)

FIG. 1.12. Erreur de quantification

FIG. 1.13. Signal derreur lmentaire

q212

2

2

q

1

2

2

1

1.9 Lopration de quantification 33

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

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La valeur ainsi obtenue, B = , est une estimation de la puissance du bruit de

quantification suffis

2100501623 Traitement numérique du signal

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