La Mcanique Rationnelle Formation de basedes scientifiques et des ingnieurs

version 2004/2005 Professeur J.-Ph. Ansermet Institut de Physique des Nanostructures Ecole Polytechnique Fdrale de Lausanne PHB-Ecublens, 1015 Lausanne 10/12/20052 La mcanique rationnelle Formation de base des scientifiques et des ingnieurs Prface3 La mcanique et la formation scientifique, Cadrage historique, Cinmatique rectiligne 1re partie : Sensibilisations aux objectifs de la mcanique 15 -La balistique lmentaire17 -Loscillateur harmonique28 oEnergie de loscillateur harmonique40 -Sensibilisation au problme du chaos45 2me partie : les bases de la mcanique newtonienne54 -La cinmatique du point matriel57 oVecteurs, repres, coordonnes cylindriques, sphriques60 oLes rotations68 -La mcanique newtonienne78 -Systmes de points matriels, lois de conservation83 -Energie, puissance, travail91 3me partie : Pratique de la mcanique100 -Liaisons102 -Systmes ouverts114 -Loi de la gravitation de Newton117 -Les forces en lectromagntisme130 -Forces de frottement135 -Mouvement relatif141 oDynamique Terrestre157 -Discussions qualitatives168 -Collisions178 4me partie : Le corps solide indformable191 -Cinmatique du solide indformable192 -Bases de la dynamique du solide203 -Les effets gyroscopiques208 -Tenseur dinertie215 -Mouvement avec axe de direction fixe228 -Equations dEuler247 5me partie : Dformations264 -Systmes liniques265 -Le tenseur des contraintes279 -Les constantes lastiques2836me partie : Le formalisme de Lagrange289 -Les quations de Lagrange290 -Applications diverses297 -Les pendules coupls313 -Principes variationnels328 7me partie : La relativit restreinte336 -Cinmatique Relativiste394 -Aperu de dynamique relativiste357 10/12/20053 PREFACE La mcanique et la formation scientifique Cadrage historique Cinmatique rectiligne 10/12/20054 La mcanique et la formation scientifique Lespostulatsdelamcaniquetiennentenquelqueslignes.Commeilne sagitpasplusdelesdmontrerquenimportequelautreprincipe,un CoursdeMcaniquerationnelleestunecollectiondexemplesquileur serventdillustration.LesCoursnediffrentdoncqueparlechoixdes exemples et lesprit dans lequel on les traite, ce qui suffit les rendre trs dissemblables. 1 LObjectif dun cours de mcanique est de savoir mettre sous forme mathmatique une situation physique. Les expriences dcrites dans un cours de mcanique font partie de la vie courante : chute sur un plan inclin, toupies, ressorts, pendules etc... Grce cette familiarit avec les phnomnes dcrire, toute l'attention peut se porter sur leffort de mathmatisation. Cetraits'adressedestudiantsdepremireanne,parlaforcedeschosesdeniveauxde formationtrsvaris.Lordonnancedeschapitresapourbutdecaptiverl'attentiondeceux qui ont dj des notions de mcanique, et en mme temps prendre en charge ceux qui ont un bagagemathmatiqueminimal.Lambitionpremireduncoursdemcaniquedoittrede permettre aux tudiants se familiariser avec l'emploi des mathmatiques en tant que langage del'ingnieuretduphysicien.SelonlephilosopheethistoriendessciencesAlexandre Koyr:2 '' (...) on ne doit pas oublier que l'observation ou l'exprience, au sens de l'exprience spontane du sens communnejouapasunrlemajeur-ousiellelefit,cefutunrlengatif,celuid'obstacle-dansla fondationdelasciencemoderne.Laphysiqued'Aristote,etplusencorecelledesnominalistesparisiens(14me sicle)(...)tait beaucoup plus proche de l'exprience du sens commun que celle de Galile et de Descartes.Cen'estpas''l'exprience'',mais''l'exprimentation''quijoua-plustardseulement-unrle positif considrable. L'exprimentation consiste interroger mthodiquement la nature; cette interrogation prsupposeetimpliqueunlangagedanslequelformulerlesquestions,ainsiqu'undictionnairenous permettantdelireetd'interprterlesrponses.PourGalile,nouslesavonsbien,c'taitencourbes, cerclesettriangles,enlangagemathmatiqueoummeplusprcismentenlangagegomtrique-non celui du sens commun ou de purs symboles - que nous devons parler la nature et recevoir ses rponses. '' Ltudedelamcaniquecontribuedvelopperunespritscientifique.Ltudiantauniveau universitairesedoitdepasserdel'tatd'utilisateurserviledequelquesformulescelui d'acteursachantgnrerdesrsultatsdansuncontextenouveauetceluidejugepouvant estimer les limites dapplicabilit des schmas thoriques quil invoque. La mcanique comme prparation aux cours de mathmatiques Souvent un cours de mcanique sert d'introduction ou de motivation aux notions et aux outils mathmatiques qui seront prsents dans les cours d'analyse et d'algbre linaire. Il n'est pas forcment prfrable d'avoir reu un enseignement mathmatique formel avant de rencontrer dessituationsocesavoirmathmatiquedevientncessaire !Parconsquent,depetites considrationsmathmatiquesapparaissentnaturellementdanscetrait,maispurementdun 1 H. Bouasse, Cours de mcanique rationnelle et exprimentale, Paris 1910 2 disait (Histoire de la pense scientifique, p.168-169) 10/12/20055 pontdevuepragmatiqueetaussifurtifquepossible.Cettemathmatisationncessiteun entranementetdelencouragement.Ilfautsesouvenirquelinsistancemathmatiquede lactivit scientifique est une affaire vieille de 400 ans ! Galile disait dj : " Philosophy is written in this grand book, the universe, which stands continually open to our gaze. Butthe bookcannot be understood unless one firstlearns tocomprehendthelanguage andtoread the alphabet in which it is composed. It is written in the language of mathematics, and its characters aretriangles,circles,andothergeometricfigures,withoutwhichitishumanlyimpossibleto understand a single word of it; without these, one wanders about in a dark labyrinth. 3 La science ne rpond pas la question pourquoi ?, mais comment ?.4 L'tude de la mcanique est particulirement propice lillustration de ce point de vue sur les sciences. On y apprend en effet utiliser un formalisme mathmatique et en dduire les consquences physiques. Cest le cas par exemple avec la description du mouvement dune toupie : "pourquoi ne tombe-t-elle pas ?" demande-t-on la lgre. Le traitement formel du problme du gyroscope remplace la question "pourquoi ?" par une description qui fait appel des lois et des modles. Une introduction des phnomnes physiques varis Ilestimportantdes'habituerl'utilisationdesmathmatiques,spcialementpourla description des phnomnes physiques plus complexes, car : ''Ils'avrequ'aveclessujetsdephysiquedeplusenplusavancs,leschosessedduisent mathmatiquement beaucoup plus vite qu'elles ne peuvent tre comprises en termes simples ou avec des concepts fondamentaux.''5 Il est possible, dans le cadre de la mcanique rationnelle, de prendre connaissances de phnomnes divers, qui traditionnellement sont introduits dans des cours plus avancs. Cest ainsi quon peut parler doscillateurs harmoniques forcs en terme de rponse linaire, quon peut examiner des effets de relaxation ou mme dhystrse. Un problme fera voir une vision mcaniciste dun mode mou , concept des transitions de phases en physique du solide. A partir de leffet Doppler relativiste, on voquera leffet Mssbauer et ses applications en magntisme. La dynamique terrestre sera l'occasion d'introduire des mthodes de calcul des perturbations. 3 Selon Dava Sobel,"Galileos Daughter", Fourth Estate, London 1999 4? in "Encyclopedia of Ignorance", Pergamon 1977 5 Feymann, Lectures on Physics, I-20-6 10/12/20056 Cadrage historique Ilfautreconnatreetapprcierlelongcheminparcourudepuislespremirestentativesde descriptiondunphnomneaussicourantquelachutedescorpslasurfacedelaTerre, passant par la formalisation de Newton, pour aboutir aux grands principes du 19me sicle et la dcouverte du chaos au 20me sicle. .

Aristote6

DiogneLaertedisaitdeluiqu'ilavaitundfautdeprononciation,quesesjambestaient maigres, ses yeux petits et qu'il attirait l'attention par son accoutrement, ses bagues et sa coupe de cheveux.

Lui, c'est Aristote !

AristotetudiaavecPlatonAthnespendant20ans.A49ans,ilfondeleLyceum. Alexandreluidonneunsupportfinancierconsidrable.Ilauraitexigdespcheursetdes chasseursduroyaumed'informerAristotedetouslesfaitsquipourraientl'intresser.Ilest amusantdeconstaterquenfindu20mesicle,lePrixNobelPierre-GillesdeGennes prconisait, dans un discours la Sorbonne intitul "De la fermeture clair au laser", que les professeurs fassent des sjours dans l'industrie pour y dcouvrir les problmes fondamentaux poss par la pratique industrielle.

Aristotecrivitbeaucoup.Encequiconcernelachutedescorps,uneanalysemodernedes textes anciens ne permet pas de dire si, pour Aristote : les corps tombaient en proportion de leur poids le vide tait impossible s'il existait un vide, tous les corps tomberaient la mme vitesse dans le vide.

A la mort d'Aristote, ses notes furent vendues la librairie d'Alexandrie. Aprs le 2me sicle decettere,peudenouveauxtextesfurentproduits.Seulsdescommentairesetdes encyclopdies voyaient le jour.Du7eau10esicle,lesanciensdocumentstaientrecopis,perdusetaltrsdansles monastres.Du10meau12mesicle,lestextesanciensfurentenseignsnouveau.Les erreursdecopieetdetraductionentranrentdegrandesconfusions.Lesexpertsd'alors concentraienttouteleurnergieessayerdedterminercequitaitvraimentditdansles textesoriginaux.L'glised'abordconsidraavecsuspicionlestextesanciensainsi redcouverts. Puis, grce en particulier Saint-Thomas d'Aquin, la conception aristotlicienne du monde prit part dans les visions chrtiennes instaures par lEglise. Ds lors, toute attaque contre Aristote tait une attaque contre l'glise elle-mme.

Acausedecelongettortueuxprocessusdetransmissiondespensesetdestravaux d'Aristote,GalilepouvaitciterAristotesouslepireclairage,luifaisantdirequele 6Source:LeonCooper,PrixNobeldePhysique1972,"Anintroductiontothemeaningandstructureof physics"

10/12/20057 mouvement vers le bas d'une masse d'or ou de plomb, ou de n'importe quel objet pesant, est d'une rapidit en proportion de sa taille.

La"tabularasa"deDescartesdoitaussitreenvisagedanscecontexted'explosiond'un carcanvieuxde500ansotoutepense,touteobservationettouteconnaissancetait confinecequitaitcrit"dansAristote".Descartestentadeconstruireunevisiondu monde.Ilvitl'universtoutentiersaufpeut-treDieuetl'mehumaine,commeunevaste machine. Dieu cra la matire et lui impartit le mouvement; depuis, le monde volue selon les lois de la mcanique.

A la fin du XIVme sicle, les concepts de la mcanique ont bien volu par rapport la vision aristotlicienne. Le tableau suivant suggre quelques points de repre.

Aristoteconcepts la fin du 16e sicle Univers clos Univers infiniGiordano Bruno Univers plein Univers vide L'espace a un point unique L'espace est le mme dans toutes les directions Copernic Particules tombent ou montent Particules en mouvement uniforme sauf si elles entrent en collision Descartes Mouvement par rapport l'espace Mouvement par rapport l'objet Oresme

La science de Galile7 Galilecrivituntraitsurlemouvement.Ils'agitd'undialogueentrelematre,un observateur neutre et ouvert, et un reprsentant des vues traditionnelles.

Galile dfinit le mouvement uniforme : vitesse constante et direction constante. C'est pour lui lemouvement"naturel".Toutedviationdecetteuniformitseraattribueuneforce.Il dfinitlemouvementrectiligneuniformmentacclr.Pourlui,cettedfinitionestutile, parce qu'elle reprsente un mouvement qui s'observe dans la nature : la chute des corps. Et il le prouve exprimentalement. 7LuniversitdeRiceauTexasaprparunsiteWEBproposdeGalileetsontemps.Cesitemritele dtour !(http://es.rice.edu/ES/humsoc/Galileo/ ) 10/12/20058 Dmonstrationd'auditoire:deuxbillessontlchessimultanment, l'unesansvitesseinitiale,l'autreavecunevitesseinitialehorizontale. Elles touchent le sol simultanment. Galileexpliquelemouvementd'unprojectileenconsidrantlesprojectionsdumouvement (mme si ce ne sont pas ses termes) selon deux directions perpendiculaires. Quand une balle est lance horizontalement, elle ne subit aucune force horizontale, sa vitesse horizontale reste constante.Onpeutleconstatersurl'image.Enrevanche,danslaverticale,ellen'apasde vitesse initiale, elle suit un mouvement identique une chute libre. Galileposeleproblmeduchoixdurfrentiel,c'est--direducorpssolideparrapport auquel le mouvement se mesure :

"unbouletestlchdusommetd'unmtd'unnavireavanantparrapportlactela vitesse vo constante. Vu du navire : le boulet fait une chute verticale, le long du mt. Vu de la cte : le boulet dcrit une parabole."

Enfaisanttoutessortesd'expriencesavecdespendules,Galilefitladcouvertequidonna lieuauxconsquenceslesplusprofondes.Uneballedeplombetuneballedeligedela mme taille, pendues des fils de mme longueur, se balanaient la mme vitesse. Cela tait tonnant,caraprstout,lesoscillationsd'unpendulesontunpeucommeunechute,etles corpslourdsdevraienttomberplusvitequelescorpslgers.Galilecommenasuspecter quecefait"vident"pourraitnepastrevrai.Sesdoutesleconduisirentauxfameuses expriences de la tour penche, d'o il fit tomber des balles de toutes sortes. Elles frappaient le sol presque simultanment. Un caillou arrivait au mme moment qu'un boulet de canon, ou presqueaummemoment.Galileperuttrsvitelaraisondecetteingalitdestempsde chute : la rsistance de l'air. Une fois de plus, il le prouva par l'exprience : il fit tomber des poids diffrents dans l'eau. La vitesse de chute variait grandement dans ce cas, car l'eau offrait une rsistance plus leve que l'air. De ces expriences il conclut que dans le vide, une plume tomberait aussi vite que du plomb. A son poque, cette affirmation devait rester sans preuve, car il tait bien connu que la Nature avait horreur du vide. Il restait son lve Torricelli de se dbarrasser de ce prjudice aristotlicien.

10/12/20059 Les dmonstrations dauditoire

Professeurdemathmatiquesl'universitdePadoue,Galilesuscitaitl'enviedeses collguesparsesleonsl'auditorium"Maximum".Enplusdugroupedesestudiants rguliers,ilavaitdejeunesnoblesdetoutel'Europeassissespieds.Parmieuxlefutur prince de Sude, Gustave Adolphe. De ce matre, ils apprenaient la construction des ponts, la planification des ports, la fortification, et la construction d'artillerie. Il conut pour eux un fort futuriste dont la forme polygonale permettait de couvrir l'entier du terrain, un fort sans aucun des angles morts connus pour tre dangereux. Deux gnrations plus tard, un Franais nomm Vauban connut la gloire en employant le mme systme.LescollguesdeGalileluienvoulaient.Ilsdisaientdeluiqu'ilsecomportaitcommeun charlatan ou un jongleur, qu'il ne possdait pas la moindre trace de dignit acadmique. Et en effet ses classes taient un peu comme le stand d'un magicien de foire. Il sifflait en direction d'untubed'orgue,quiluirpondaitaveclammenote:"RESONANCE"disaitGalile.Il faisait tirer au pistolet dans la montagne, et comptait les secondes entre le flash de l'explosion etleson.Ainsilestudiantsapprenaientquelesonsedplacedesvitessesfinies.Il construisit des dispositifs calculer qui permettaient aux tudiants de s'pargner la moiti des travauxd'arithmtique.Plustard,entantqu'architectesouingnieurs,ilsconomisrentles matriauxdeconstructionavecdestubescreux,carGalileleuravaitdmontrleur robustesse l'aide d'os de chien.

Pourlestudiants,l'aspectleplusextraordinairedesonenseignementtaitlapossibilitde voir les choses de leurs propres yeux, au lieu de simplement en entendre parler, philosophant pouroucontreAristote.Galilesemoquaitdetellespdanteriesetdelacroyancequela vritpouvaittretrouveensepenchantsurdevieuxmanuscrits.Samthodetaitde chercher la vrit dans la nature.

Dmonstration dauditoire : une plume et une pice de monnaie tombent en mme temps dans un tube vacu. Aristoteavaittabliunedistinctionclaireentrelesobjetslourds,quiavaienttendance descendre, et les corps lgers, qui montaient. L'air par exemple, montait. L'ide de Galile que l'air avait un poids tait une rvision rvolutionnaire du sens commun et des apparences. Car il eut l'ide folle de peser le gaz invisible de la vie, qui ne pouvait mme pas tre senti, sauf si leventsoufflait.Sonexpriencetaitsimpleetingnieuse.Ilquilibraunevessiedeporc pleined'airavecunrcipientcontenantdel'eau.Ensuite,ilcrevalavessie.Leplateaudela balance descendit, indiquant que le poids de l'air tait mesurable. Ces dmonstrations devaient avoir l'air d'une rvolution aux yeux de ses tudiants. Elles marquent le dbut de la physique exprimentale.

10/12/200510 Lesapparencessonttrompeusesenastronomieetenphysique.Lestres humains ne sont pas naturellement quips pour deviner les secrets de la nature. Cela nous rend tout aussi humble de le reconnatre que de raliser que le lieu de sjour de l'homme n'est pas le centre de l'univers. La conclusion que les lois de la nature ne sont pas videntes, qu'elles ne peuvent pas tre conues par simple raisonnement,taitaussiriched'enseignementquelarvolutioncopernicienne. Unefoisquecelafutaccept,lavieillemaniredephilosopherfutdiscrdite. Unefoisquecelafutaccept,l'hommeoccidentalcommenasoninvestigation et sa conqute de la nature. 8 8 daprs "And There Was Light, The Discovery of the Universe", Rudolf Thiel 10/12/200511 Cinmatique une dimension Considrons un point se dplaant "sur un axe cartsien Ox. On notera volontiers sa position au cours du temps parx = x (t).On entend par ceci que la position est repre par la coordonnex, que xvarie dans le temps, et quex (t)est la fonction du temps. Pour calculer la vitesse, on notera souvent v=xt, le symboleindique un accroissement de ..... (la grandeur qui suit). De mme pour l'acclration : a=vt. Quelle valeur faut-il prendre pourt ? On peut dfinir une vitesse et une acclration instantane en prenant la limite quandt tend vers zro. Vos cours de maths vous diront pour quelles fonctions x (t) etv(t)les limites suivantes existent : 00limlimttxvtvat == On utilisera les notations suivantes : 22dxv xdtdv d xa v xdt dt= == = = =`` `` Lanotation, x x ` `` seratrsutilise.Pourvisualiserunconceptdemcanique(vitessetangentielle,acclration centripte, thorme du moment cintique), on fera recours unt fini. Il est frquent que la drive par rapport au temps prenne des formes varies quil faudra matriser. On considre ici sans en donner le sens physique les exemples suivants:( )22 2( ) cos ( ), constantscos ( )fonctiondu temps1 2o , et non pasx x t txE Id ddt dt = = + === =`` ` ` ` Ces fonctions sont de la forme : ( ( )) x f g t = On reprendra ici la rgle de drivation de fonctions de fonctions. On partde :( ) ( )" "x t dt x txdt+ = ` do on tire ( ) ( ) x t dt x t x dt + = + `avec un abus de notation trs frquent en physique.Un dessin permet de se reprsenter le sens de cette quation, qui sera bientt connue comme un dveloppement limit au premier ordre. 10/12/200512 Pour la composition de fonctions on a alors, en appliquant cette rgle pour f et pour g :[ ] { }[ ] [ ] { }[ ]( ) ( ) ( ( )) ( ( ))" " 1( ) ( ) ( ( ) 1( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )x t dt x t f g t dt f g txdt dtf g t g t dt f g tdtf g t g t dt f g t f g tdtg t f g t+ + = = =+ =+ =`````` Lepassagedeladeuximelatroisimeligneestuneapplicationdudveloppementlimitappliqu largument de f augment de( ) g t dt ` . Une reprsentation graphique permet de mieux saisir le sens des termes. Pour les exemples de fonctions ci-dessus, cette rgle de drivation donne : 2( ) cos ( ) sin ( )cos( ) sin ( )1 2x x t t x tx xE I E I = = + = + = = = =```` ``` ` Le modle du point matriel

Il arrive souvent qu'on puisse dcrire le mouvement d'un objet et mme prdire correctement son mouvement par les lois de la dynamique en associant l'objet un point gomtrique auquel on attribue la masse de l'objet. C'est ce qu'on appelle un point matriel. 10/12/200513

Lamcaniquedonneuncadresimpledanslequellanotiondemodlepeuttreperuedefaontoutfait explicite.Ondevraitstonnerdeprimeabordquelesobjetssuivantspuissenttreconsidrcommedes points : -une locomotive en ligne droite -un homme qui se jette d'un pont attach un lastique -une sphre d'acier au bout d'un fil trs long

Note :Il s'agit d'un modle ! C'est--dire que cela ne peut tre qu'une approximation. On verra les limites de ce modle quand on tudiera la mcanique du corps solide indformable. Par exemple, si on considre une sphre auboutd'unfil,lemodledupointmatrieldoittreabandonn,quandlalongueurdufilestdel'ordrede grandeur du diamtre de la sphre ou quand la prcision de la prdiction est pousse assez loin. Le mouvement rectiligne uniforme

Dfinition : un point matriel se dplaant en ligne droite, une vitesse constante.

La trajectoire du point matriel est la droite.

On dfinit un axe de coordonnesxassoci la droite, un pointOsur l'axe. La dfinition stipuledx/dt = x` = vo = constante.

On cherchex = x (t). On voit quex = vo t + xo satisfait la dfinition, avec xo constant.

x = vo t + xo est appel l'quation horaire du point matriel.

L'quation horaire du point matriel est une quation paramtrique de sa trajectoire, o le paramtre est le temps !(voir la srie d'exercices "paramtrer une courbe").

Le mouvement rectiligne uniformment acclr

Dfinition : un point matriel se dplace en ligne droite avec une acclration constante ao.

On cherche x = x(t)tel quex ``= ao. On voit que x(t) = (1/2) ao t2 + vot + xo satisfait la dfinition avec oaet ovconstants. A priori, toutes les valeurs de oaet ovsont permises. En mcanique, elles sont spcifies par les conditions initiales. En effet on a, t = 0 :

( )( ) ( )oo o ox o xv t a t v v o v== + = 10/12/200514 Graphiques Une voiture se dplace en ligne droite de telle manire que sa position en fonction du temps est la fonction reprsente par le graphe donn. Etablir le graphe de la vitesse en fonction du temps, et de lacclration en fonction du temps. Tintin Tintin roule en voiture sur une route rectiligne qui croise une voie de chemin de fer rectiligne perpendiculaire. Il estunedistanceddelintersectionquandilaperoituntrainquiavanceverslecroisementunevitesseV constante.LalocomotiveestunedistanceLdelintersectioncemoment-ci.Tintinavanceunevitessev jusqucetinstant.Ilveutsassurerdepasserlintersectionavantletrain.Ildcidealorsdacclrer.Son acclration a est constante. Faire un schma de la situation. Mettre les donnes sous forme mathmatique. Donner la condition sur lacclration a pour que Tintin arrive passer lintersection avant le train. 10/12/200515 1re partie :SENSIBILISATIONAUX OBJECTIFS DE LA MECANIQUE La balistique lmentaire Loscillateur harmonique Sensibilisation au problme du chaos 10/12/200516 Avant dnoncer les grands principes de la mcanique sous la forme de postulat, il est bon de sexposer quelques problmes de mcanique. Cela permet de raliser les ambitions et les limitations du projet qui fait la quintessence de la mcanique rationnelle. Les problmes de balistique dans le champ de la pesanteur et le modle de loscillateur harmonique sont deux exemples simples qui permettre de mettre en scne les lments de la dmarche mcaniste. On part dune loi physique, la deuxime loi de Newton sous la formem = F a , et lusage de coordonnes familires, les coordonnes cartsiennes, permettent dexprimer la dynamique considre sous la forme dquations diffrentielles. Celle de loscillateur harmonique nest pas triviale. On y voit la ncessit de dvelopper des outils mathmatiques pour intgrer de telles quations. Lexploitation des rsultats sur la rsonance dun oscillateur harmonique met aussi en vidence la ncessit de dvelopper un savoir-faire dans lusage des nombres complexes. La balistique est un exemple immdiat, sans ces difficults mathmatiques. Il permet toutefois de montrer le rle de la loi du mouvement et des conditions initiales pour prdire le mouvement en tout temps. On a ainsi accs un exemple simple de dterminisme simple. Un exemple de loi physique donn sous la forme dune srie permet danalyser la complexit qui peut surgir de lois de prime abord dterministe. Il sagit l dun aperu sur le chaos, juste pour garder les esprits ouverts sur les complexits qui peuvent surgir dune modlisation simple. 10/12/200517 La balistique

Lepremierexempledemcaniqueseraceluidelatrajectoiredobjetsmodlisablesentant quepointmatriel,soumisleffetdelapesanteur :unchampdeforceconstant.Laloi Force=masse *acclration serasupposeconnue,dumoinsdanslecadredunetelle application rudimentaire. La balistique lmentaire donne l'occasion de passer d'une description une dimension d'un problmedemcaniqueunepremireapprhensiond'unproblmedeuxdimensions.La description cinmatique se fait en coordonnes cartsiennes, donc reste trs simple. La notion deprojectionestimmdiate.Leshabitudesprisesventuellementdansunenseignement antrieur, qui consiste inclure les repres dans la dfinition du problme, sont abolir. Au fil des leons, l'tudiant prendra l'habitude de les choisir.

La balistique donne aussi l'occasion d'illustrer la notion la plus lmentaire du dterminisme : avec une loi physique et des conditions initiales, on prdit l'tat du systme, en tout temps.

Projectile sous l'effet de la pesanteur

Lobjectifformeldecettepremireapprochedelamcaniqueestdedonnerunexemple d'applicationdeladeuximeloideNewtonsouslaformeF=maencoordonnes cartsiennes.

Etape 1 : loi de la dynamique Danslasectionprcdente,nousnoussommeslimitladonnedemouvementsspcifis par leur vitesse et leur acclration. Il sagissait donc de considration purement cinmatique. Maintenantnousvoulonsconduireuneanalysedeladynamiquedunsystme.Pourcela, nous avons besoin dune loi qui stipule comment un systme volue quand il est soumis une ou plusieurs forces. Ainsi, nous invoquons une loi physique, connue comme la deuxime loi de Newton : 4

m = F a Nousverronsplusloindanslecourscommentutilisercetteloientoutegnralit.Ici,nous prendrons l'approche de Galile, qui consistait analyser le mouvement dans deux directions perpendiculaires de l'espace :la verticale et l'horizontale. Etape 2 :modle de force Onobservequel'attractionterrestredonnelieuauneforceverticaleressentieparunpoint matriel de masse m qui est proportionnelle la masse m. La constante de proportionnalit est g=9.8ms-2.Galileavaitdjobservquecetteforcetaitproportionnellelamasse,en observantlemouvementdependules.Cettedescriptionduneobservationapproximativeest souventappeleloiphnomnologique.Ilnesagitqued'unmodle.Nousverronsquela rotation de la Terre implique une variation systmatiquedugapparent, du ple l'quateur. Demme,laprsencedunegrotteoudunemontagnepeutchangerlavaleurdeg. 4 R. Feynman : "The character of a physical law", MIT press 1965 10/12/200518 Limportance de tels effets dpend du degr de prcision avec lequel on veut bien travailler. Enfin, si le projectile sloigne considrablement de la Terre, il faudra se rfrer la loi de la gravitation de Newton, car lattraction diminue comme le carr de la distance au centre de la Terre. Faut-ilinvoquerdautresforces ?Dansunepremiretape,notremodlesupposequel'air n'agit pas ou seulement de faon ngligeable sur le mouvement. Etape 3 : point matriel On dcrit lobjet considr comme un point matriel de masse m. Il subit donc une seule force :

m = F g

gestunvecteur,sadirectionestverticaleverslebas.Sonmodule(sagrandeur)vaut g= 9.8 m/s2.

Etape 4 :Cette tape constitue souvent la premire tape, les autres faisant partie de la donne, ou tant implicites.Undessinpermetdecommuniqueraulecteurdelarsolutionduproblme plusieursdeslmentsd'informationsansrecourirdelonguesphrases.Lesconventions graphiques sont souvent facilement reconnues. Dans cet exemple, on va d'abord tre naf et prendre un repre mal commode, c'est--dire qui rendlesquationsassezcompliques.Cesontdeschosesquiarriventdanslapratique.On supposeunesituationphysiquedanslaquellelepointmatrielautempst=0estaupointP, avec une vitesse ov,.

Le systme d'axes cartsiens centr en O n'apporte rien. Alors on choisit de prendre celui centr enPo P est au bout de0OP x=,. Dans ce repre, t = 0 00( 0 ) 0 ( 0 )0o xo yo zvX t t vv = = = = = V V, , , Etape 5 10/12/200519 Pourchaquedirectiondel'espace(Ox,Oy,Oz)laforcedanscettedirectionestgalela massefoisl'acclrationdanscettedirection.Plusloin,onverraquecelarevientprojeter mathmatiquementlaloi 22 dm mdt=rg danslerepreassociauxaxescartsiens.Onobtient ainsi les quations du mouvement 0 0 mxmymz gm=== `````` Trssouventdanslecadredececours,lobtentiondesquationsdumouvementsera considre comme laccomplissement de lanalyse du problme. Il arrive trs souvent que la rsolutiondesquationsdumouvementnesoitpaspossible,oubienncessiteunbagage mathmatique quon na pas, ou bien encore, ne peut tre ralis que numriquement. Etape 3 : intgration des quations du mouvement Ce cours commence par lexemple de la balistique lmentaire et les oscillateurs harmoniques parcecequecesdeuxexemplespermettentdallerjusquaubout.Ltudiantpeutainsi pleinement apprcier les objectifs de la mcanique. Ilestimportantderaliserquelesquationsdumouvementgnrentunefamillede mouvementspossibles.Lasituationestasseztrivialeenbalistique :onpeutavoirun mouvementvertical,oubienuneparabole.Onpeutfacilementsimaginerquelesquations du mouvement pour un pendule constitu dune masse ponctuelle au bout dun fil sans masse donnentlieudesfamillesdesolutionsmoinstriviales.Onpourraitavoirlemouvement pendulaireplan,bienfamilier.Onpeutaussiavoirunmouvementcomplexetrois dimensions.Etenfin,enlanantlamasseavecjustelabonnevitessehorizontale,onpeut obtenir un mouvement circulaire plan ! Le type de mouvement quon obtient peut varier, non pas parce que la dynamique change (de nouvelles forces ne sont pas introduites), mais par le choix des conditions initiales. Enrsum,pourrsoudreleproblmecompltement,ilfautsedonnerdesconditions initiales. Celles-ci sont par exemple donnes en spcifiant, un instant donn, la vitesse et la position. On supposera par exemple, au temps t=0, une vitesse ov,et une positionox,. Lesquationsdumouvementsontdesquationsdiffrentielles.Ici,onprendl'approchequi consiste se poser la question lmentaire: "quelle est la fonction du temps x (t), y(t) ou z(t) telle que sa drive seconde par rapport au temps gale ", le second membre correspondant. Il est facile de voir que la solution a la forme :

2 2ox oxoy oyx(t) = v vy(t) = v v1 1z(t) = 2 2oooz o ozt x tt y tgt v t z gt v + = + = + + = +

Lasolutionprendlaformed'unequationparamtriquedelatrajectoire,otestle paramtre. La trajectoire est une parabole. Pour liminer le temps, on tire t de y et pose : 10/12/200520 2oy oy1 y yz2 v voxoyozx vy vg v= = +

On trouve ainsi une parabole dans le plan dfini paroxoyx vy v= .Certains seront surpris que ce rsultat ne soit pas aussi simple que ce qu'ils ont peut-tre t habitus voir. Pourquoi?

Cela vient du choix du systme de coordonnes. Pour retrouver une forme de solution plus familire, on peut choisir un systme de coordonnes de telle manire que le plan Oxz contienne le vecteur vitesse initiale ov,

Dans ce repre, 00oxozvv = V 2ox0 x (t)=v0 y (t)=01 z (t)=2ozmx tmymz gm gt v t= == + `````` On a ainsi obtenu une expression mathmatique synthtique qui rend compte de l'observation. Sonintrtestessentiellementhistorique:lahauteurd'uneballequitombesansvitesse initiale( ) 0oxv = estlammeentouttempsquecelled'uneballequiaunevitesseinitiale horizontale ( ) 0oxv . Pour passer de l'quation paramtrique de la trajectoire sa forme cartsienne, utilisons x = x (t)pour crire t en fonction de x : 2ox ox01 x xz2 v vozyg v= = +

A partir de ce rsultat, toutes sortes de questions peuvent tre analyses :-jusqu'o ira le projectile ? -quelle est l'inclinaison deV0pour une distance de tir optimale ? -etc 10/12/200521 Dmonstration dauditoire : une table air est lgrement incline, le grand bord restant horizontal. Deux plots sont lchs en mme temps aux deux coins opposs de la table. On observe que le plot qui a une vitesse initiale nonnulle,percuteleplotenchutelibrepourautantquelavitesseinitialepointeverslautreplot.Onobserve aussilcartverticaldeplusenplusgrandentredeuximagesduplot,alorsquelcarthorizontalestconstant entre deux images La loi du paralllogramme des forcesEn science, rpute tre la fille de la logique et de la raison pure, on remarque, peut-tre avec surprise, que la sage-femme doit y accomplir un acte de cration".5 CetteloibienconnuedetousfutdcouverteparSimonStvin(1548-1620).C'estlui,qui, vingt ans plus g que Galile, avait fait l'exprience de la chute des corps dmontrant que le temps de chute est indpendant de la masse. Les objets lchs simultanment d'une hauteur de 30 pieds tombaient sur une planche. Le son permettait de dtecter l'instant de la chute. Dmonstration d'auditoire : l'exprience de Stvin

Deux forcesAetB

agissent sur P. Quel estC pour quePsoit immobile?

Uneforceauneintensitetunedirection.Reprsentons-laparuneflche.Soitdeuxforces appliques. Il existe une rsultante qui est une force. Oncherchecettersultante.Onsupposequelesflches-forcess'additionnentcommeles vecteurs. 5 Leon Cooper, op. cit. B AC P 10/12/200522

Ondevraitenfairelavrificationexprimentale:enappliquant a et b,,enP,ilfaut exercer ( ) c a b = + ,, , pour que P reste immobile.

Aprsdessiclesdepratique,ondit"lesforcessontdesvecteurs".Biensrlesforcesne sontpasdesvecteurs,cesontdesforces.Leurreprsentationenvecteurestparfaitement valable car elle est prdictive.

Rsistance de l'air

Le modle selon lequel la force exerce sur le projectile estmgest-il bon ?

Si on considre une chute libre sur une trs grande hauteur, par exemple, on sait bien que la vitessenecrotpasjusqu'l'infini,onendduitimmdiatementquilfautajouterquelque chose notre modle. La rsistance de l'air joue un rle. Nous affinons notre modle de force en posant :m b = F g vov est la vitesse. Maintenant " m = F a " projet sur le mme systme d'axe cartsien que le dernier choisi donne :

mx bxmy bymz mg bz= = = `` ``` ``` ` Intgration analytique Quen est-il dey (t) ? y (0)=0y(0) 0 = `d b(y) ydt m= ` `

10/12/200523 Cette quation dit quey`dcrot si y`est positive,y`crot siy`est ngative. Comme y`(t = 0) = 0,y` reste 0. Doncy (t) = 0

Considronsx (t) : bx xm= `` `d b(x) xdt m= ` `Changeons de variablex`=v : bv vm= `Cette quation est frquemment rencontre en physique. Elle a la solutionv (t)= v(0)bt / mebt / mdxx (0) edt= `Quelle est la fonction dont la drive vaut bt / mx(0) e`? C'est une fonction la forme : bt / mmx(t) x(0) e Ab = + `La condition initiale est x (0)=0 0 =mx(0) Ab + `A=mx (0)b`( )bt / mmx (t)=x (0) 1 eb `On peut criremb= ( )t /x(t) x(0) 1 e = ` Que se passe-t-il t ? 10/12/200524 x (t ) x(0) `Sousleffetdelafriction,ledplacementhorizontalnepeutpastreplusgrandquex (0) `!

On examine maintenant z(t) : m z mg b z = `` `1z g z = `` ` avec mb =Au dbut z` est petit,z g `` , c'est le cas trait plus haut.Puis le terme enz` domine,z`suit une quation commev(ci-dessus) donc0 z ``et : limitez g = `Une grosse masse impliquegrand et leffet de friction ne devient sensible que si le temps estdelordredegrandeurde .Pratiquement,sionexaminelachuteduneballedeping-pong, on peut esprer voir leffet de la friction. Mais avec une balle dacier, on ne peut pas ! Onpeutconsidrerlquationenzcommetantcomposedetermesquisexprimententerme de z, et des termes indpendants de z. Pour intgrer une quation diffrentielle linaire avec une tellestructure,ilexisteunemthodestandard.Elleconsistechercherdabordunesolution particulire de lquation diffrentielle avec le terme constant. On constate que z g t = estunesolution.Lasolutiongnraledelquationhomogne(sanssecondmembre),1z z = `` ` , est donne par /z A e= ` ,d'o t /z A e B = + .Alorslasolutiongnraledel'quationdiffrentiellecomplte est t /z (t) g t A e B = + Les constantes A et B sont dtermines par les conditions initiales t /z g A e = + `z (0) g A = + `0 z (0) A B = = + Finalement, ( ) ( )t /z (t) g tz (0) g e z (0) g = + + + ` `( ) ( )2 t /g t z (0) g 1 e = + + `10/12/200525 On peut arriver au mme rsultat en commenant par intgrer lquation diffrentielle pour z en posant le changement de variable1a g z = `Alorsz a a = = ` `` .Onreconnatcettequationdiffrentiellepourlavoirdjrencontre pour la direction x. La variable a est donc une fonction exponentielle du temps. Ayant a, on peut finir la rsolution en intgrant en intgrant pourz` . Les conditions initiales permettent de conclure. Intgration numrique Ilexistedesoutilstrscommodes,etdautrestrspuissants,pourtrouverdessolutions numriquesdesequationsdiffrentialles.MATHEMATICAparexemple,permet dexplorer des quations du mouvement aussi simple que celles de la balistique. La syntaxe, bienquesouventdlicate,estremarquablementsimplepourcetteapplication.Unexemple, volontairement modeste dans son usage de MATTHEMATICA, est prsent ci-dessous. g=9.8; tmax=0.5282; vo=10; a=15 Degree; xo=0;vxo=N[vo Cos[a]]; xo=0;vzo=N[vo Sin[a]]; k= 0.8;ntrajectory@kD = NDSolve@8nx

@tD ==knx

@tD,nz

@tD ==knz

@tD g,nx@0D == xo, nx

@0D ==vxo,nz@0D == 0,nz

@0D == vzo b, eti etj sont les vecteurs unitaires des axes Ox et Oy. Montrer que le point matriel se dplace sur une ellipse. Facultatif : un point matriel M se dplace dans un plan par rapport aux points fixes A et B de faon que la condition = + BM AM constante soit vrifie. Montrer que le point matriel se dplace sur une ellipse. 10/12/200560

Repres, Vecteurs,Coordonnes sphriques et cylindriques Pourselancerdansladescriptiondumouvementdunpointmatrieldanslespacetrois dimensions, il est ncessaire de perfectionner son outillage mathmatique et gomtrique. En cherchant appliquer la deuxime loi de Newton, on sera naturellement confront projeter des forces dans des directions particulires. Il est bon de dfinir la projection dune force sur unaxeparuneoprationbiendfiniemathmatiquement.Ladescriptiondesrotationsest courammentfaiteenmcaniqueparlebiaisduneexpressionfaisantintervenirleproduit vectoriel.Cechapitrerappellanotiondeproduitvectorielestintroduitladescriptiondes rotationsinfinitsimales.Enfin,cechapitreintroduitlesdfinitionsdescoordonnes cylindriques et sphriques. Les repres naturellement associs ces coordonnes sont dfinis. Lescomposantesdesvitessesetacclrationsprojetesdanscesrepressontobtenuespour usage ultrieur dans les problmes contraintes (voir chapitre contraintes ) Produit scalaire Il sagit ici de rappeler quelques proprits lmentaires du produit scalaire, dans le but essentiellement de fixer les notations. Considrons un systme daxes cartsiens et un point P de coordonnes (x,y,z). Le vecteur a=OP a les composantes (x,y,z). Soit un autre vecteur b de composantes (x,y.z). Le produit scalaire peut tre dfini par : ' ' ' xx y y zz = + + a bOn considre maintenant deux vecteurs orthogonaux. On peut (dans une attitude typique de la mcanique) dfinir un systme daxes de coordonnes avec laxe des x le long du premier vecteur a et laxe des y le long du deuxime,b . Alors le produit scalaire vaut : = a b a bDanslecasgnral, onpeut dcomposerundesvect eursenunvect eur parallle etun vect eur perpendiculaire laut re vect eur : 0 0 = + = =| |avec et a a a a b a aAlors, on a : cos = = = a b a b a b a b| | o est langle entre les deux vecteurs. 10/12/200561

Repre Considrons un systme d'axes daxes cartsiens 1 2 3x x x . On appelle vecteur unit un vecteur dont la norme vaut 1. Les trois vecteurs 1 2 3 , , x x xreprsentent les vecteurs units dans les directions 1, 2 et 3. Dans une notation plus synthtique ( voir au cours d'algbre linaire) : i j ijx x =o 10ijsi i jsi i j= = On appelle( )1 2 3 , , , A x x xun repre. Dans ce trait, quand on parlera de repre, il s'agira toujours d'un repre "orthonorm direct". Directveutdirequelesvecteursunitsobissentlargledutire-bouchonoudelamain droite Letire-bouchontournecomme1e tournesousl'actionde 2e si 2e reprsentaituneforce attache l'extrmit de 1e . Il tourne en avanant dans le sens de 3e . On peut aussi imaginer que ce mme mouvement hypothtique de 1e et 2e est suivi par les doigts de la main droite. Le pouce de la main droite est alors dans la direction de3e .10/12/200562

Projection d'un vecteur sur axe On considre un vecteur APet un axe de coordonnes cartsiennes. La projection de AP sur l'axe estcos APoAP est la norme du vecteur AP etl'angle entre le vecteur et l'axe. On notera que cette grandeur a un signe qui dpend de la valeur de langle . Soit u le vecteur unitaire dans la direction de l'axe. La projection de AP sur l'axe vaut u APcar en gnral( ) cos , = a b a b a bet par consquent cos u = AP AP . Soit v u dans le plan (APP'). La somme vectorielle = + AP AP' P'P peut s'crire ( ) ( ) u u v v = + AP AP AP . Cetteformulepeutparatredalluretrange.Pourant,elleexprimeunrsultatbienconnu quand il s'agit des coordonnes cartsiennes pour lesquelles on peut crire: x x y y z z = + + AP Cetteformulationvectorielledesprojectionsserautilisedanscequisuit.Onyfera galement appel dans les cas dlicats de projection o l'inspection d'un dessin ne suffit plus. Produit vectoriel Soient deuxvecteurs donns par leurs composantes sur un repre i, j, k. Le produit vectoriel se calcule selon la rgle : 2 3 3 2 1 12 2 3 1 1 31 2 2 13 3a b a b a ba b a b a ba b a ba b = = ia b jk Le produit mixte( ) a b cpeut se calculer comme le dterminant: 10/12/200563

( )1 1 12 2 23 3 3c a bc a bc a b = a b c Des rgles du calcul des dterminants, il vient ainsi( ) ( ) ( ) = = a b c c a b b c aQuand deux colonnes sont identiques, le dterminant est nul. Par consquent :

( ) ( ) 0 = = a b a a b bCela signifie quea x best perpendiculaire au plan contenant a etb. On veut maintenant tablir la relation entre le module du produit vectoriel de deux vecteurs et lesmodulesdesdeuxvecteurs.Poursefaire,ondcomposeundesvecteursenunvecteur parallle et un vecteur perpendiculaire lautre vecteur :0 0 = + = =| |avec et a a a a b a aAlors |0 et a b= a b=a b. Par consquent, le module du produit vectoriel est donn par ( ) sin , = = a b a b a a b bPour la 1re galit on peut simaginer calculer le produit vectoriel en composantes en utilisant le repre port par, , a b a b . Autres proprits du produit vectoriel Si ( ) 0 a b c = alors a b est perpendiculaire c,donca, b et c sont dans le mme plan et il existeettels que + = c a bUne formule souvent utilise est : ( ) ( ) ( ) - = a b c a c b a b c Une faon de la dmontrer est de faire le dveloppement de lexpression : 10/12/200564

1 2 3 3 12 3 1 1 33 1 2 2 1a b c b ca b c b ca b c b cijk De mme il peut tre montr : ( ) ( ) ( ) 0 a b c + b c a + c a b =( ) ( ) ( ) = a b c b c a = c a b Coordonnes cylindriques et sphriques Enapprenanttravailleravecdessystmesdecoordonnesautresquelescoordonnes cartsiennes, l'tudiant se familiarise avec la notion de repre et l'ide de choisir la meilleure manire de paramtrer un problme.

Coordonnes cylindriques Les coordonnes cylindriques sont, , z dfinies dans la figure suivante. Larelationentrecoordonnescartsiennesetcylindriquess'obtientimmdiatementpar inspection de la figure. x1 =cos x2 = sin x3 = z Utiliserlescoordonnescylindriquespourdcrirelemouvementd'unpointmatrielsignifie que l'quation horaire est donne par: = (t) =(t) z = z (t) Coordonnes sphriques La position du point matriel est donne par les coordonnes (r, , ) 10/12/200565

La relation entre les coordonnes cartsiennes et sphriques est donne par : 123sin cossin sincosx rx rx r ===

Le mouvement du point matriel est donn par: ( )( )( )r r ttt === Lignes de coordonnes On va maintenant dfinir un repre li au point matriel dont lorientation est donne par les lignes de coordonnes.Dfinition : une ligne de coordonne est le lieu gomtrique des points qui ont 2 coordonnes de valeurs fixes.

Pour les coordonnes cylindriques, les lignes de coordonnes sont dnotes dans le graphique ci-dessous par les deux coordonnes maintenues constantes. De mme pour les coordonnes sphriques :

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Repres associs Desconsidrationsgomtriquessimplessuffisentmontrerquelesvecteurstangents chaque ligne de coordonnes sont orthogonaux. Il suffit alors de prendre des vecteurs tangents de norme 1 pour former un repre.

coordonnes cylindriques

coordonnes sphriques Composantesdelavitesseetdelacclrationsurlesrepresassocisaux coordonnes cylindriques et sphriques

Onverraquilestsouventbnfiquedutiliserlescoordonnescylindriquesousphriques. Danscecas,onvoudraconnatrelescomposantesdelavitesseetdelacclrationdansle repre associ aux coordonnes. On peut partir des relations entre coordonnes cartsiennes et cylindriques,driverunefoispourlavitesse,deuxfoispourlacclrationetfinalement regrouperlestermesenreconnaissantlescomposantescartsiennesdesvecteursunitsdu repreassoci.Onverraplusloinunemanirepluslgante.Celle-cialavantagedtre 10/12/200567

immdiate,maislaborieuse.Ontrouvelesrsultatssuivant,quidevraientfigurerdansun formulaire de base de la mcanique. Coordonnes cylindriques

p z= p p z + +`` ` v e e e( ) ( )22p z= p p p p z + + +` `` ``` ` `` a e e e

Coordonnes sphriques

sinr=r r r + +` `` v e e e

2 2 22sinsin 2 cos 2 sin2 cos sinra r r ra r r ra r r r = = + += + ` ````` ` ` ```` ` `` Coordonnes Ecrire en coordonnes cartsiennes (x,y,z),cylindriques ( , ) et sphriques (r, , )l'quation d'une sphre centre l'origine. l'quation d'un cylindre parallle l'axe z, de longueur L, dont l'axe passe par l'origine. Produit vectoriel Dessiner ( ) r , , , Des charges lectriquesqngatives passent dans un ruban conducteur une vitessev. Un champ magntiqueBest appliquperpendiculairement au ruban. Dessinerv,,B,,qv B ,,. Soit une grandeur physique dfinie par un vecteurL,, telle que dLLdt = ,,,.Dcrire le mouvement deL,. Dmontrer( ) ( ) ( ) a b c a c b a b c = , , ,, , , , , , 10/12/200568

Rotations

Lanotionderotation,bienquefamiliretous,demeuredifficilecomprendreet manipuler quand elle est exprime sous forme mathmatique. Et pourtant, elle est centrale en mcanique.Onpeutbiens'imaginerquelemouvementd'unsolidencessiteunedescription des rotations. En fait, la notion de rotation intervient aussi en cinmatique du point matriel, pour la raison suivante. Commenousl'avonsvuaveclesproblmesdebalistique,pourtraiterunproblmede mcanique,nousprojetonslesquationsvectoriellesdumouvementdansdesdirections orthogonales.Nousverronsquunproblmedemcaniqueestsouventsimplifisilerepre choisi est en mouvement. Cest le cas par exemple lorsquon travaille avec des coordonnes cylindriques ou sphriques. Par consquent, on va aborder cette question de la reprsentation desrotationsenexaminantlemouvementd'unrepre,enposantquesonorigineestfixe. Nous verrons quil sagit toujours dune rotation.

Dans ce qui suit, nous adoptons le point de vue selon lequel le vecteur r = OP est donn. Ses projectionssurdeuxrepresdiffrentssontlies.Lesloisdetransformationpeuventtre obtenues de la manire suivante. Vu le caractre introductif de cette prsentation, on la basera sur un exemple concret : une rotation daxe 3Ox dun angle . Les projections des vecteurs unitaires d'un repre sur l'autre s'obtiennent par inspection de la figure 1 1 22 1 2 cos sin sin cosy x xy x x = += + Il suffit d'effectuer le produit scalaire de r avec ces quations pour obtenir les coordonnes de r dans les deux repres : 12 cos sin1 21 2y x +sin xy x +cos x = = r r rr r r Avec les conventions dcriture habituelles, cela scrit : 10/12/200569

1 1 22 1 2cos sinsin cosy x xy x x = + = + Il est commode demployer une notation matricielle: 1 12 2cos sinsin cosy xy x = Si la troisime coordonne est ajoute, on a: 1 12 23 3cos sin 0sin cos 00 0 1y xy xy x = On dsignera par A cette matrice et on dsignera symboliquement la transformation par : ( ) ( )i iy A x = Composition des rotations On considre une deuxime rotation, celle-ci dans le plan 2 3Ox x Cette rotation sous forme matricielle donne : 1 12 23 31 0 00 cos sin0 sin cosy xy xy x = On notera B cette deuxime matrice et on notera symboliquement : ( ) ( )i iy B x =Onconsidrealorslacompositiondesrotations,enprenantsoindespcifierlordredans lequel les rotations sont faites. On pose que la premire rotation est celle dfinie par la matrice B.AlorslescoordonnesduvecteurOPdeviennentsousleffetdesdeuxrotations successives : ( ) ( )( ) ( ) ( )i ii i iy B xz A y AB x== = 10/12/200570

CettenotationnadesensquesileproduitAB estdfini.Ilsetrouvequeleproduitdes matrices dans cet ordre donne, comme la notation le suggre, la matrice de la composition des rotations, dans cet ordre. Pour sen convaincre, on calcule dune part le produitAB: cos cos sin sin sinsin cos cos sin cos0 sin cosAB = Dautrepart,onpeutconstruirelafigurequiexprimeleffetdelacompositiondesrotations sur le repre. Onpeutalorsdterminerlamatricedelatransformationrsultanteenprojetantlesvecteurs unitsdurepretransformsurlerepreinitial.Parexemple,aveclanotationconvenue usuelle : 3 13 23 3 0 sin cosz xz xz x = = = Ainsi, on peut se convaincre que les lments de matrice de la transformation sont bien ceux obtenu par le produitAB des matrices de chaque rotation. Thorme dEuler Toute transformation d'un repre orthonorm direct un autre qui laisse l'origine fixe, est une rotation. Ce rsultat est connu sous le nom de thorme d'Euler. On commence par projeter un repre (1 2 3 , , Oz z z ) dans le repre( )1 2 3 , , O x x xen toute gnralit : ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 x x x x x x z z z z= + + ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 x x x x x x z z z z= + + ( ) ( ) ( )3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 x x x x x x z z z z= + + On peut crire ces relations en terme des lments de la matrice de la transformation : 1 1 2 3 11 12 132 1 2 3 21 22 233 1 2 3 31 32 33 x x x zx x x zx x x z= + += + += + + 10/12/200571

Soit P un point donn, reprsent par le rayon vecteurOP = r. Les composantes du vecteur r se calculent selon : 1 1 z z = r = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 2 2 3 3x x x x x x z z z + + r r r Il en va de mme pour 2z et 3zet ainsi : 1 12 23 3z x 1 1 1 1 2 3x z 2 2 2 1 2 3x z 3 3 3 1 2 3x x x z z zx x x z z zx x x z z z = On pourrait chercher la transformation inverse en calculant les projections de( )1 2 3 , , x x xdans ( )1 2 3 , , z z z . Par exemple : ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1x x x x z z z z z z= + + L'lment(1,2)decettematriceestjustementl'lment(2,1)delamatriceprcdente.De mme pour les autres lments de la matrice. On peut donc crire : 1 2 3 1 11 21 311 2 3 2 12 22 321 2 3 3 13 23 33 x z z zx z z zx z z z= + += + += + + Ainsi la matrice de la transformation inverse est obtenue en intervertissant le numro de ligne et de colonne de la matrice de la transformation directe. La rsultante de cette opration sur les lignes et les colonnes s'appelle la transpose dune matrice. Elle est dfinie par ses lments de matrice : ( )Tjiij =Nousavonsobtenu ( ) ( )1 Tjiij ij = = ,cest--dire,linversedelamatriceestsa transpose. Une matrice qui a cette proprit est dite orthogonale. Aux cours de mathmatiques, il est montr qu'une transformation orthogonale admet toujours la valeur propre +1.Pour nous, cela veut dire que le systme d'quation u u = a toujours une solution. Donc il y a toujours un axe fixe ! De plus, les angles entre les vecteurs et aussi les longueurs sont conserves dans une telle transformation. En effet : ( ) ( ) x y =j kjk j k k k,x y x yx y x yTji ij j ik k iki j k jk ij k k = = = = = x y On peut conclure que la transformation qui amne un repre en un autre de mme origine, est une rotation. Rotations infinitsimales 10/12/200572

En mcanique, nous aurons affaire des repres qui voluent au cours du temps. Pour le calcul des drives temporelles, il faudra considrer le repre l'instantt ett + dt.Entre t ett + dt, lerepreaurasubitunerotationinfinitsimale,c'est--direquel'anglederotationsera "infiniment" petit. Danslepremierexemplederotationci-dessus,silangleestinfinimentpetit,notd ,les dveloppements limits au premier ordre des lments de matrice fournissent : 1 12 23 31 01 00 0 1y d xy d xy x = Dune manire gnrale, une matrice infinitsimale doit avoir la forme 1+ o1 dsigne la matrice identit 1 0 00 1 00 0 1

Lamatrice naquedeslmentsinfinimentpetitsounuls.Engnral,lacompositiondes rotationssecalculecommeleproduitdesmatricesdesrotationscorrespondantes.Danslecas de rotations infinitsimales, nous avons le rsultat simple suivant : ( ) ( )1 2 1 2+ + = + + 1 1 1 caronngligelestermessuprieursaupremierordre.Parconsquent,lacompositiondes rotationsinfinitsimalescorrespondladitiondesmatrices correspondantes.Cersultat implique que la transformation inverse est immdiate : ( )1 + = 1 1 car ( ) ( ) + = + = 1 1 1 1. Vecteur instantan de rotation

Danslecadredelacinmatique,nousallonsnousintresserlvolutiontemporelledes vecteursunitsdunrepreentreuntempstett+dt.Soit1+ la matrice qui dcrit cette rotation. On a : ( ) ( ) ()( ) () () i ii i it dt tt dt t t+ = ++ =1 e ee e e Les lments de matrice de sont nuls ou proportionnels dt.On peut donc crire = A dt o les lments de A sont finis. Il vient alors : ( ) () () i i it dt t Adt t + = e e e Par consquent, la drive des vecteurs units peut scrire : 10/12/200573

()()iid tA tdt=ee LamatriceAdoitavoirdespropritsparticulires,dufaitquelleestdirectementlieune rotation. Le fait que la norme des vecteurs units soit conserve implique : ( ) ( ) 0 1 2 2i i i i iid dA Adt dt= = = = e e e e Pour se convaincre de la dernire galit, il suffit dcrire i iA e e en termes matriciels. On crira parexemple 20 10 = e .Lefaitquelesanglesentrelesvecteursunitssoientaussiconstants implique: ( ) 0i j i j j i ij jidA A A Adt= = + = + e e e e e e Ainsi la matrice A doit avoir la forme : 12 1312 2313 23000A AA AA A Il ny a que trois coefficients qui dterminent cette transformation. Par convention, ces trois coefficients sont nots comme suit :

3 23 12 1000A =

Cestcetteconventionquivaimposerquonnetravaillequ'avecdesrepresorthonorms directs. On change maintenant de point de vue ! On considre lvolution dun vecteurrrigidement li au repre. Parce quil est rigidement li, ses composantes( )1 2 3, , r r rsont indpendantes du temps. Lvolution temporelle derest donc donne par : ( )1 2 31 2 31 2 31 2 3d dr r rdt dtr A r A r A= + += + +re e ee e e 10/12/200574

3 2 13 1 22 1 33 2 2 33 1 1 32 1 1 2000rdA rdtrr rr rr r = = + = + rr Onreconnaticiunproduitvectorielpourautantquonpose lexistence dun vecteur : 123 = On a alors pour tout vecteur li au repre en rotation : ddt= rr Formules de Poisson Decesconsidrationsdcoulentlersultatgnralsuivant.Soitunrepre( )1 2 3 , , O e e e qui change son orientation dans le temps. Il existe un tel que iiddt= ee i = 1, 2, 3

On appelle ces relations les formules de Poisson. On va sy rfrer trs souvent trs souvent. Interprtation gomtrique du vecteur Ladirectionduvecteursobtientimmdiatement.Comme r(t+dt)r(t)=0sirest parallle , il faut conclure queestsur l'axe de rotation. Il faut encore en dterminer la norme.Onlobtientparlaconsidrationgomtriquesuivante.D'unepart,lquation dvolution pour unr li au repre en rotation implique ( ) () sin t + dt t dt = r r r Daut re part ,linspect ion de la figure fournit: 10/12/200575

( ) ()sint dt td+ =r r r od dt = . Ces deux quations fournissent pour le module du vecteur : ddt= On appelle le vecteurla vitesse instantane de rotation. Application 1 : vitesses et acclrations en coordonnes cylindriques Avec ce rsult at ,on esten mesure dobt enir les composant es de la vit esse et delacclrat ionencoordonnescylindriquesdemanireefficace. Avec lesnot at ionsconvent ionnellespourlescoordonnescylindriques, onpartde : = r eLevect eurinst ant anderot at ionest dansladirect iondezet demodule ` . Les formules de Poisson fournissent:= == = ` ``` `` e e ee e e Lavit esseet lacclrat ionsobt iennent pardrivat ionparrapport au t emps : = + = + +`` ` ` ` ` r e e e e e2= + + + ` `` ` ``` `` ` ` r e e e e e( ) ( )22 = + +` `` ``` `` ` r e e Le mme calcul peut tre conduit dans le cas des coordonnes sphriques. Il faudra considrer les vecteurs instantans des rotations dfinies par les deux angles et. La composition des rotations se traduit simplement par ladition de ces vecteurs instantans de rotation. 10/12/200576

Application 2 : le mouvement circulaire Unpointmatrieldcrivantuncerclevitessescalaireconstantesubitunerotationdontle vecteurinstantanestconstant,normalauplanducercle.Lesrsultatsgnrauxci-dessus permettent dcrire pour lvolution temporelle : ddt= = rv r Cette quation implique pour le module de r: ( ) 2 2 ( ) 0d ddt dt= = =rrr r r r c'est--dire que le module derest constant, comme il se doit.De plus( ) ( ) ( )d d ddt dt dt= = = = ra v r r Ont rouvegraphiquement quelacclrat ionest cent ript e. Cet t e expression de lacclrat ion cent ript e reviendra souvent . 10/12/200577

Coordonnes polaires, v, a Soit un rfrentiel, des axes cartsiens attachs ce rfrentiel et portant les vecteurs-units xe, et ye,. Soit (r, ) les coordonnes d'un point matriel. Soient re, ete, les vecteurs units associs. a) Montrez r x ye cos e sin e = + , , , x ye sin e cos e = + , , ,

b) Dmontrez re e= , ,` ` re e = , ,` ` Cyclotron Une particule de masse m, de charge q, se dplace dans un champ magntique uniforme B parallle Oz. Une forceF q v B = , ,, sexerce alors sur la particule. La pesanteur est nglige. a) Etablir les quations du mouvement en coordonnes cartsiennes. Que peut-on dire du mouvement selon Oz ? b) Montrer que la seconde loi de Newton peut scrire sous la forme dvvdt= ,, ,. Dfinir le terme,. c) En dduire que lnergie cintique 21K mv2=est une constante du mouvement. d) Dmontrer que les mouvements selon Ox et Oy sont harmoniques. e) Dmontrer que le mouvement selon Oxy est circulaire. Exprience du feutre sur la table tournante On suppose que: la friction du feutre sur la table est nglige. Le problme de la trajectoire est trait par leffet de la rotation du systme daxes de coordonnes choisis. 1) Dcrire la trajectoire du feutre dans un rfrentiel fixe. La vitesse angulaire du disque central est. 2) La trajectoire marque sur la table tournant la vitesse angulaire est la trajectoire du feutre vue dans un rfrentiel attach la table. Exprimer les coordonnes cartsiennes d'un point du rfrentiel tournant en fonction des coordonnes de ce point dans le rfrentiel fixe. En dduire les quations horaires du mouvement dans le rfrentiel tournant. Esquisser la trajectoire. 3) Ecrire les quations du mouvement en utilisant les coordonnes, la vitesse et l'acclration mesures dans le rfrentiel tournant. 4) Montrer que les quations horaires de 2) vrifient les quations du mouvement. 10/12/200578

La mcanique newtonienne Ayantposencinmatiquelancessitdedfinirun rfrentiel,laquestionseposenaturellementdesavoirsi nimportequelrfrentielpeuttrechoisi.Newton,dansses Principia rpondcettequestionparuneloi,dite premireloideNewton ouloidinertie.Ilposeensuite comme deuxime loi une version gnralise de la loi que nous avonsutilisjusquici.Cettegnralisationvientde lintroductionparNewtondelanotiondequantitde mouvement. Les dveloppements de la physique thorique qui luiontsuccdontrvllegniedecetteapproche !Enfin, Newtonposeunetroisimeloi,navementappele loi daction et de raction . On verra que cette loi peut en fait tre comprise comme une expression dune proprit fondamentale des forces dinteraction entre toutes particules.

La mise en forme systmatique, logique et dductive de la mcanique par Newton doit tre vue comme un temps fort du dveloppement de la science moderne. Newton la commence par un commentaire sur le temps et lespace. Celui-ci sera discut au moment o ces notions sont remises en question dans le cadre de la relativit restreinte. Ensuite, Newton introduit deux dfinitions. La premire, celle de la quantit de matire, peut paratre triviale. Mais elle permet de faire comprendre la deuxime : la quantit de mouvement. La quantit de matire : masse d'inertie

La masse M V = ou est la densit et V le volume est une grandeur extensive : la valeur de cette grandeur pour un systme form de deux sous-systmes est la somme des valeurs de cettegrandeurdanschaquesous-systme.Danslecasd'unedistributiondemasses,onpeut dfinir la densit

( )( )vlimvMxx

La notion de masse nest assure que lorsquon peut dfinir une mthode pour mesurer cette quantit de matire. Cette mthode n'est peut-tre pas pratique, mais elle permet de dfinir le concept de masse que l'on peut appeler la masse d'inertie. Une telle exprience virtuelle est souvent appele Gedankenexperiment . Dmonstrationd'auditoire:exprienceaveclerailair.Onimaginequundispositifplac entre deux plots du rail air gnre une dtente qui libre les deux plots en les poussant loin lun de lautre. 10/12/200579

Considrons quun des plots soit un multiple de l'talon de masse. La mesure de la masse dans le sens donn ici est la cherche du multiple tel que les wagons se sparent vitesses gales. La justification de cette mesure est fonde sur la troisime loi (loi d'action et de raction).

La quantit de mouvement 19

Unegrandeide,attribueNewton,estcelled'associeraumouvementunegrandeur extensive qui caractrise l'tat du mouvement. Dans des expriences de choc par exemple, un objet peut transfrer tout ou partie de sa quantit de mouvement un autre.

Premire loi de Newton et rfrentiel dinertie

SelonNewt on: "Tout corpspersvredansl' t at dereposoude mouvement uniformeenlignedroit emoinsquequelqueforcen' agisse sur lui etne le cont raigne changer d' t at . " Ainsi,laquestiondesavoirquest-cequiconstitueunbonrfrentiel,lapremireloide Newtondonneunerponsepratique.Ilfautquedanscerfrentiel,leprincipedinertiesoit vrifi.Cest--dire,danslamesureounobjetpeuttrelibredeforce,ildoittreoubien immobile, ou bien en mouvement rectiligne uniforme. Le degr de prcision des observations entreenjeudansunetellevaluation.Sinousvoulonsdcrireunobjetlancquelques mtresdanslechampdelapesanteur,ilsuffitdeconsidrerlaTerrecommeunrfrentiel dinertie. En revanche, si nous voulons dcrire le pendule de Foucault,20 nous ne pouvons plus noussatisfairedecetteapproximation.Ilfautconsidrerunrfrentielau-deldelaTerre comme rfrentiel dinertie !Un rfrentiel dans lequel le principe dinertie est vrifi (dans la mesure de la prcision des appareils utiliss pour l'tude des phnomnes considrs) est appel un rfrentiel dinertie.

Note historique : le principe d'inertie met dfinitivement fin l'ide que si la pierre lance par unecatapultecontinuesonmouvement,c'estqu'uneactions'exercesurelle.Rappelonsque pour Galile dj, le mouvement horizontal de cette pierre est uniforme, car aucune force ne s'exerce dans cette direction. La notion de force

19 en anglais : linear momentum 20 Voir chapitre mouvement relatif 10/12/200580

LapremireloideNewtonnoncequetoutcorpspersvredanssontatdereposoude mouvement rectiligne uniforme sauf si des forces "imprimes" le contraignent d'en changer.

Alors Newton pose la dfinition suivante : une force (imprime) est une action exerce sur un corps, afin de lui modifier son tat, que ce soit un tat de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

Newton a su apporter la distinction entre force et inertie. La force est la seule manire de faire varierlemouvementd'uncorps.Sidesactionsdiffrentesontlemmeeffetsurunpoint matriel, on dira que la mme force agit. Newton tablit la rgle daddition des forces. Elle a t voque avec l'exprience de Stvin quand on tait confront en balistique la question de savoir comment additionner leffet de la pesanteur et de la friction dans lair. Les forces ont unedirection,uneintensitetunsens.Quandlesforcessontperuescommedesvecteurs, cetteloidadditionsembletriviale.MaisilfaudraattendreJ.W.GibbsetO.Heavisidedate au XIXe sicle pour avoir une description en termes de calcul vectoriel !21 Deuxime loi de Newton

SelonNewton:"Leschangementsdemouvementsontproportionnelslaforcemotrice ( t F ), et se fait dans la ligne droite dans laquelle cette force est imprime l'objet." Dans le formalisme vectoriel moderne, cette loi sexprime par : ddt=pF

o Festlarsultantedesforcesappliques.IlesttoutfaitremarquablequeNewtonait introduitlanotiondequantitdemouvement.Ilsetrouvequececonceptgardesonrle centraldansdesthoriesplusavances,commelathoriedelarelativitetlamcanique quantique, alors que la formulation commune F = ma doit tre abandonne. Dmonstrationd'auditoire:desexpriencesavecdeschocsmoussurunbancair(voir figure) montrent qu'il est raisonnable de prendre pour la quantit de mouvementp:m = p vovest la vitesse, m la masse. Les chocs mous sont obtenus en plaant de la pte modeler sur un plot, et une pointe sur lautre, qui senfonce dans la pte modeler dans la collision.

Lorsquep = mvetmest constante, la deuxime loi donnela formulation bien connue m a =Fomestlamassed'inertie.Maisexprimeentermesdequantitdemouvement,la deuxime loi est plus gnrale puisqu'elle inclut le cas d'une masse qui dpendrait du temps. C'est le cas des systmes ouverts (voir le chapitre sur ce sujet). 21 Gruber, Mcanique Gnrale, PPUR 10/12/200581

Ttroisime loi de Newton

SelonNewton:"Atouteaction,ilyatoujoursuneractiongalequiluiestoppose"; autrementdit,lesactionsmutuellesdedeuxcorpsl'unsurl'autresonttoujoursgaleset opposes."

Danssaversionmoderne,latroisimeloivoqueunepropritgnraledesforces(voir chapitresystmesdepointsmatriels). 22Onverraquelesforceslmentairesentredeux particulessontgales,opposes,etdeplus,quellessontparalllesausegmentportparles deux particules. Lexpression mathmatique de cette proprit-ci est diffre la section sur lesloisdeconservation.Cetteformemodernepermetdedduiredesprincipesde conservations trs important en mcanique. En revanche, quand Newton dit "A toute action, il yatoujoursuneractiongalequiluiestoppose";ilpensedessituationsphysiques simplescommeundoitquisappuieraitcontreunetableouunepierretireparunecorde. Danscescas-l,onditquelesactionsmutuellesdedeuxcorpsl'unsurl'autresonttoujours gales et opposes. La figure ci-contre illustre une telle situation. Le systme est virtuellement dcomposendeuxparties,lapartieteestremplaceparlaforcequelleexeraitsurla premire.

Ainsi,onadeuxpoidsretenusparunecordepassantpardeuxpoulies.Dcomposonsce systmeendeuxsous-systmessparsquivalents,enremplaantl'effetdel'autresous-systmeparlesforces 2 1 Fet 1 2 F reprsentesci-dessous par des ressorts.La 3e loi dit :0 + =1 2 2 1F F 22 Feynman, Lecture notes on Physics 10/12/200582

Homme sur un bateau Un homme de masse m est au bord d'un bateau de masse M. Il saute sur la berge, la mme hauteur que le bateau. Le bateau est suppos toujours horizontal et l'eau sans viscosit. Le bord du bateau est une distance d du bord de la berge. Sur la terre ferme, il peut sauter une distance D. Modliser l'homme par un point matriel pour dterminer sa vitesse de saut par rapport son support, que ce soit le bateau ou la terre ferme. Trouver l'angle optimal de saut depuis le bateau. O A Y2 Y1X1 X2 10/12/200583

Moment Cintique, Moment dune force, Systmes de points matriels, Centre de Masse, Principes de conservations Deuxnouvellesgrandeursphysiquessontdfinies:lemomentcintiqueetlemomentduneforce.Cesdeux grandeurspermettentd'exprimeruneconsquenceimportantedela3meloideNewton.Cesdeuxgrandeurs joueront aussi un rle prdominant dans la dynamique d'un corps solide. Moment cintique dun point matriel Soit O un point du rfrentiel et un point matriel en P. On appelle moment cintique oL par rapport au point O la grandeur o= L OP p om = p vest la quantit de mouvement du point matriel. Moment dune force On appelle oMmoment de la forceF par rapport au point O, la grandeur :

o= M OP F

Il faut faire attention de toujours spcifier le point de rfrence du moment cintique et du moment de force, car ces deux grandeurs en dpendent ! Lemomentcintiqueetlemomentdeforcessontlisparune relationquideviendratrsimportantequand on considrera la mcanique dun systme de point matriel, en particulier un solide. Thorme du moment cintique pour un point matriel

tdd=LM 10/12/200584

Dmonstration : ( )( ) ( )od ddt dt= = + = ``L OP pOP p OP p OP F

Systmes de points matriels

Denombreuxsystmesmcaniquespeuventtremodlissparunensembledepoints matriels.Nousdfinissonspourunensembledepointsmatrielsm OP oOestun point du rfrentiel : la quantit de mouvement totale = P p om = p v le moment cintique total par rapport O

, o o = L L

o , o = p L OPLe thorme du moment cintique et la deuxime loi de Newton s'appliquent chaque masse :

dd=pFt

,,oodd=LMt oFest la rsultante de toutes les forces agissant surmet , o = M OP F Enonc gnral de la troisime loi de Newton

Pour un systme matriel, il convient de distinguer les forces intrieures qui dpendent de l'tat du systme et ne sont pas modifies par l'volution extrieure. Les forces appliques au systme sont les forces extrieures. La troisime loi de Newton s'exprime pour les forces intrieures de la manire suivante :

int0 =F

int0 =OP F

oP est le point d'application de la force intF . La premire relation dcoule immdiatement du sens intuitif delaloidactionetderaction.Eneffet,lesforcespeuventtoujourstredcomposesenunesuperposition d'interactions de paires de particules. Alors on a : ( )1int0N < < == + = F FF F Ladeuximerelationestunecontraintesurlesforcesintrieuresquiexprimeuneproprit fondamentaledesforcesd'interaction :lesforcesentredeuxparticulessontparalllesau segment liant ces deux particules. On obtient cette deuxime relation en explicitant les forces intrieures en forces dinteractions entre paires de particules : 10/12/200585

( )( )1intN < < = + OP FOP F OP F

( ) ( )a = OP OP F ( ),0 = =P P F

Thorme du moment cintique et de la quantit de mouvement La troisime loi de Newton implique donc : ext ext = = F F F

ext exto = = OP F OP F M

On notera les rsultantes des forces et des moments de forces: ext ext=F F ext exto =OP F M . Ensommantlesexpressionsduthormedumomentcintiqueetdela2meloideNewtonsurappliques chaque point matriel, et en tenant compte du fait quon peut ignorer les forces intrieures, il vient deux relations : =ext ooddtLM=extddtPF Les deux rsultats sont traditionnellement appels le thorme du moment cintique et le thorme de la quantit de mouvement. Ces deux thormes jouent un rle central en mcanique. En dynamique du solide indformable, en particulier, ces deux thormes constituent la base thorique qui fournira les quations du mouvement. Dans ce qui suit, on dduit de ces deux thormes des principes de conservation trs important. De ces rsultats on tire dabord quun systme isol, cest--dire libre de forces extrieures, possde une quantit de mouvement totale et un moment cintique total constants ! On dit que les grandeurs sont conserves. Cesloisdeconservationsontvalablesmmeenrelativitrestreinteetenmcaniquequantique!Ellespeuvent tre drives de notions de symtrie plus fondamentales.

Onappliquerasouventcesprincipesdeconservation,carilspermettentdesimplifierl'analysed'unsystme physique.

Quandunsystmen'estpasisol,ilsepeutquonpuisseargumentersurlabasedelaconservationd'une composantedelaquantitdemouvementtotaleoudumomentcintique.Onpeutparexempleconsidrerun systme mcanique sur une table air horizontale. Les plots sur la table air ne sont pas isols. Ils subissent la sustentation delatableair. Cependant, dansle plan horizontal, pour un grandnombred'expriences,on peut ngliger toutes les forces horizontales. On en dduit que la quantit de mouvement totale dans le plan horizontal est conserve. Formellement, soitune direction fixe par rapport au rfrentiel dinertie, dans laquelle :10/12/200586

0extu = Fou 0ext0u = M

Alors P u ,ou L urespectivement, sont conserves. Illustrations de lutilisation des principes de conservation

1) Choc mou sur banc air

Dmonstrationd'auditoire:unplotsurlebancairestimmobile.Unautreentreencollisionaveclepremier. Ensuite les deux plots sont accrochs l'un l'autre.

Onngligelesfrottementssurlebancair.Parconsquentonpeutconsidrerquelaquantitdemouvement totale des plots est conserve. On considre la quantit de mouvement du systme avant et aprs la collision.

avant:=m+0 p vaprs:f=(m + m)p vPar consquent :12f = v v2) Recul du fusil sur rail coussin d'air Dmonstration d'auditoire : un tube est mont sur un plot de rail air. Un piston est enfil dans le tube, puis de l'hydrogneestinsraufonddutube.Unedchargelectriqueprovoquelexplosiondugaz.Lepistonest ject. Onsedemandequelleestlavitesseduplotaprsletempstdel'explosions'ilavaitinitialementunevitessev quand il tait dans le canon. Les masses sont dfinies sur le croquis. 10/12/200587

mestlamassedupiston.Oncaractrisel'effetdel'explosiontparlavitesseud'jectiondupiston.Cette vitesse uest relative au canon ! avant t : ( )0M m = + P vaprs t : ( ) ( )0M m = + + + P v v u vLes vitesses ici doivent tre des vitesses absolues. La vitesse du plot ject est donn par la somme vectorielle de lavitesseducanonetdecelleduplotparrapportaucanon.Cettecompositiondesvitessesserasystmatise dans le cadre du mouvement relatif. Mais il sagit l dune notion tout fait intuitive. Si un enfant court dans un trainenmarche,lavitessedelenfantparrapportausolestlasommedesvitessesdelenfantparrapportau train, et du train par rapport au sol !Finalement, la conservation de la quantit de mouvement totale implique : ( ) ( ) ( )0 0M m M m + = + + + v v v u v0M m = v uSi u est oppos v, alorsvaugmente v, conformment notre intuition.

3)Force centrale Dfinition :Unpointmatrielsubituneforcecentrales'ilexisteunpointOtelqu'entout tempslaforcesoitdirigeverscepointO.C'estlecasd'uneplantedanslechampde gravitation du soleil.Dmonstration d'auditoire : une masse et un ressort attach O sur une table coussin d'air. Pour touteforce centrale de centre O, on a, par dfinition: //F OPdonc0d/dt = =0 L OP F Le moment cintique par rapport au centre de force O,L0 ,est une constante du mouvement.4) Mouvement circulaire: Considrons un point matriel dcrivant un cercle sur un plan horizontal, sansfrottement.Savitesseestdonnepar= v r .Sonmoment cintique par rapport au centre du cercle est donn par :0m = L OP v Lemomentcintiqueestconservcarlaforceestestcentrale.Lemoduledumoment cintique vaut 20mr = L .Onimaginealorsunmcanismequipermettedechangerlerayon,toujourssans frottement. Pour nimporte quelle deux valeurs r1 et r2. du rayon du cercle,la conservation du moment cintique implique: 2 21 1 2 2mr mr =10/12/200588

Note : Le moment cintique et la formation du systme solaire23 Le98%dumomentcintiquedusystmesolaireprovientdumouvementorbitaldesplantes.La rotation propre des plantes est ngligeable. La rotation propre du soleil ne constitue que 2%. Or le soleil comprend la plus grande partie delamassedusoleil.Ilestdifficiledecomprendrecommentlesystmesolairesestconstitudemaniretellequelesoleiltournesi lentement. Il est galement difficile de rendre compte, par un modle de formation du systme solaire, de la rotation de Vnus, oppose la rotation de toutes les autres plantes, et de laxe de rotation dUranus, qui se trouve dans le plan des orbites des plantes ! Rfrentiel centre-de-masse

SoitunrfrentielRcomprenantunpointO.Soitunensembledepointsmatrielsm aux pointsP. Dfinition :LecentredemasseGdusystmedepointsmatrielsestdfiniparlamoyenne gomtrique des positions des points Ppondre par leur masse :1mM =OG OP avec M, la masse totale du systme de points matriels. La dfinition du centre de masse ne dpend pas du choix du point O. En effet, soit un autre point du rfrentielO. La dfinition du centre de masse en utilisant O' fournit un pointG donn par : 1mM1 1 m mM M = = + = + =OG OPOO OPOOOGOG

Ceci prouve que G et G' sont confondus. Deladfinitionducentredemasse,ontireuneexpressiontrsutiledelaquantitde mouvement totale du systme de points matriels : ( ) M G= V PDmonstration : on aM m =OG OPEn drivant par rapport au temps, il vient : 23 Discovering Astronomy, R. Robert Robbins, W. H. Jeffreys, John Wiley and son, 1988 10/12/200589

( ) ( ) M G m P = = = V V p P Dfinition :Lerfrentielquicontientlecentredemassedusystmedepointsmatrielset qui est en translation par rapport au rfrentiel R est appel rfrentiel centre de masse . Onvoqueicideuxpropritsdurfrentielcentredemassequideviendrontutilesdans ltude des collisions et en mcanique du solide indformable. Dune part, on note que mGP= 0 Dmonstration : de la dfinition de G, on peut crire1 11m mM MmM = = + = + OG OP OG GPOG GP Du premier et du dernier terme de cette srie dgalit vient la proprit annonce. Onnotera( )aP V lesvitessesmesuresparrapportaurfrentielRchoisiet( ) ' PV lesvitesses mesures dans le rfrentiel du centre de masse. De = + OP OG GP on tire par drivation par rapport au temps : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )'P G P GG P = + = +V V V VV V Alors on a aussi :mV' (P)= 0 Ceci s'obtient en drivantpar rapport au temps la dfinition de G:

1( ) ( )1( ) '( )1( ) '( )G m VMm G VMG m VM = = = + = +V PV PV P Du premier et du dernier terme de cette srie dgalit vient la proprit annonce. Thorme du centre de masse La premire de ces proprits revient dire que le centre de masse est le centre gomtrique pondrparlesmasses.Laseconde,quelesquantitsdemouvementformentcommeune 10/12/200590

explosiondevecteursdesommenulle.Onpeutyvoirpourconsquencequelaquantitde mouvement totale dun systme de points matriels scrit simplement : ( ) ( )totm V M G = =P P VLa troisime loi de Newton implique : ( )extd GMdt=VF LecentredemasseapparatainsicommeunpointmatrieldemasseMauqueltoutesles forcesextrieuresexercessurlesystme(endiffrentspointsdusystme)luiseraient appliques(directement).Cersultatestconnucommelethormeducentredemasse.Il est trs utilis en mcanique ! 10/12/200591

Energie, puissance, travail La notion de travail est introduite dabord avec un mouvement rectiligne. Les notions peuvent ainsi tre abordes sans avoir trait immdiatement les difficults mathmatiques inhrentes aucastroisdimensions,savoir,lesconditionssouslesquellesuneforcedrivedun potentiel.

Mouvement rectiligne On considre un point matriel se dplaant en ligne droite sous l'effet d'une force dpendante de la position, et de direction parallle la ligne droite. L'quation du mouvement de ce point matriel a donc la forme :

22( )d xm F xdt=

Commelapositionjoueunrleprimordialdansceproblme,onexprimelavitessecomme une fonction de la position, qui elle-mme est fonction de temps.

( ( )) v v x t =

La rgle habituelle des drives de fonctions de fonctions donne :

dv dv dx dvvdt dx dt dx= = L'quation du mouvement devient : 2( )1( )2dvm v F xdxdmv F xdx = =

Il suffit alors de multiplier par dx :( )1 22( )d mvdx F x dxdx= puisdintgrer :2 221 11( ) 2x xx xdmv dx F x dxdx =

10/12/200592

( ) ( )22 22 112 11 1( ) 2 2xxm v x m v x F x dxK K = _ _ On voit par ce rsultat l'intrt de dfinirl'nergie cintique ( kinetic energy en anglais) :

212K mv =

et le travail de la force F pour aller de x1 x2 (work):

12( )W F x dx = x2x1

De la deuxime loi de Newton, on a ainsi dduit que le travail de la force dans le dplacement de 1 2 est gal la variation de l'nergie cintique en passant de 1 2.

On dfinit une nergie potentielleV (x)associe F comme le travail de F quand le point matriel se dplace de x un point de rfrence (xs). ( )( )- ( ) ssx xx xV x F x dx F x dx = = Par consquent, le travail de la force en allant d'un point quelconque un autre est :

2 2121 11 2( )( )( ) ( ) - ( )x x sx xsxxW F x dx F x dx F x dxV x V x= = + ==

Ainsi on a 2 1 1 2- ( ) - ( ) K K V x V x =ou2 2 1 1( ) ( ) K V x K V x + = +Donc E = K + Vest une constante du mouvement. On l'appelle l'nergie mcanique totale. On dit qu'elle est conserve. En gnral, quand les forces sont telles que l'nergie mcanique totale est conserve, on dit que les forces sont conservatives. La force Fse dduit de l'nergie potentielle par drivation. En effet, de : ( )( )- ( ) ssx xx xV x F x dx F x dx = = on tire ( )dVF xdx= , soit :( )dVF xdx= Exemple : la force de rappel dun ressort est de la forme ( ) -F x k x = . Cette force drive du potentiel 10/12/200593

21( )2V x k x = En effet -dVk xdx= On peut aussi obtenir le potentiel par intgration du travail : 201( ) ( )2sx xxV x F x dx kxdx kx = = = D'une manire gnrale, les lois de conservations sont trs utiles pour rsoudre les problmes demcaniquecarellesdonnentdesrelationsavecdesdrivespremiresparrapportau temps, alors que F = ma contient des drives secondes. On parle d'intgrales premires pour dsigner de telles constantes du mouvement.

Ainsi par exemple, au lieu de rsoudre le problme 1 dimension

( )( )00oom x kxx vx x= ==``` onpeutsuivreladmarchesuivante.L'nergieestdonneparlesconditionsinitiales.Sit = 0, la vitesse est vo et la position xo, alors : 2 2 2 201 1 1 12 2 2 2omx kx E mx kx + = = + ` `On peutrsoudre pour x( t ) par simple int grat ion : 02 22( )22 122 12'2 12x t to xx E kxmdxE kxdt mdxt dtE kxm = = = = ` C'estuneintgralequel'onpeutrsoudreenfaisantlechangementde variable ( ) sin / 2 k E x = .Ontrouvelasolutiondelaformebienconnue: ( ) ( )0sin x t A t = + , avec la pulsation : km= .

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Cas gnral On considre connue la trajectoire d'unpointmatrielquisubituneforce F.Letravaildela forcedansundplacementinfinitsimallelongdecettetrajectoireseranotW .Cette notationneveutpasdirequ'ils'agissed'uneoprationmathmatiquesurlafonctionW.Ce travailvautW d = F r .

Le produit scalaire d F rprend en compte le fait que la composante de la force normale la trajectoire ne travaille pas, puisque pour cette composante il n'y a pas de dplacement le long delaforce.C'estlaprojectiondelaforcesurlatangentelatrajectoirequitravaille.Cette projection vautF cos ( ),comme prescrit par le produit scalaire : coscosW dd d == = F rF r F r

Le travail fourni par la force pour aller dun point 1 un point 2sur la trajectoire vaut : 2 2121 1W W d = = F r On sous-entend ici que l'intgrale est effectue pour le chemin que parcourt le point matriel. C'est une intgrale dite "curviligne". La manire d'effectuer une telle intgrale appartient un cours de mathmatiques. Son sens physique, lui, est intuitif.

La puissance instantane

La puissance instantane est dfinie comme le taux de variation temporelle du travail. On peut crire :

( )W dP tdt dt= = = rF F v

En fait, cette faon de driver ce rsultat n'est pas tout fait claire puisque F et v dpendent dutemps.Pourplusderigueur,ilfautexpliciterl'intgraledelaforcesurlecheminen 10/12/200595

paramtrisantlecheminparl'quationhorairedelatrajectoire( ) t = r r .Onaainsi: 0( ( ))0ttW d t dt = = rrF r F r v . La drive temporelle est alors clairement dWPdt= = F v Units:

Il est bon ce point de rsumer les units des grandeurs physiques introduites en mcanique et leurs noms usuels :

longueurm vitessem s-1 acclrationm s-2 forcekg m s-2Newton travail,nergiekg m2 s-2Joule puissancekg m2 s-3 Watt

Onprendranot equele kilowat t heure ut ilisent echniqueet uneunit dnergie. Danst out calculanalyt ique, ilest bondevrifiersouvent que lesunit sdesexpressionssont cohrent es, carc' est uneexcellent e maniredes' assurerqu' unefaut en' apast int roduit eparles manipulat ions algbriques.

Dfinition : Energie cintique Soit un point matriel de masse m, de vitessev . On appelle nergie cintique de ce point matriel la grandeur 21 2K mv = . Thorme de l'nergie cintique Cethormeestlagnralisationdursultatobtenudanslecasdumouvementrectiligne, c'est--dire que le travail des forces exerces sur le point matriel est gal au changement de l'nergie cintique pour aller d'un point un autre de la trajectoire : 22 1 121K K d W = =F rDmonstration :Avec la deuxime loi de Newt on on a : 212 21 1 ttd m d m dtdt = = dvF r a r vDans la dernire galit, on a paramtris la trajectoire par l'quation horaire. Or 10/12/200596

2 21 122 22 111 12 2t tt td dm dt mv dt mv K Kdt dt = = = vv Paranalogieavecleproblmedumouvementrectiligne,onpeutsedemandersidanslecas gnral on pourrait dfinir une nergie potentielle associe la force F telle que 212 1 21W d V V = = F rCelasignifiequel'onveutpouvoirdfinirunefonctiondelapositionseulement,V (r),et dune position de rfrence rs, avec :( ) srrV d = r F rSi on le peut, alors : 2 212 1 21 1ssrrW d d d V V = = + = F r F r F ret 2 1 1 2K K V V = . Par consquent, si V existe, alors l'nergie mcanique totale K + V = E est une grandeur conserve. Dfinition : nergie mcanique totale On conviendra dappeler nergie mcanique totale la quantit E=K+V. Cela prsuppose bien sr que V est dfini ! LesdfinitionsdeKetVsontutiles,caronaconservationdelasommeK+Vpourtout systme dont toutes les forces drivent de potentiels.

La question reste de savoir sous quelle condition on peut un potentielV(r). Comme V(r) est dfini comme un travail pour aller de r une position de rfrence, il faut que le travail de la force pour aller d'un point un autre ne dpende pas du chemin. La condition ncessaire et suffisante pour avoir une nergie potentielle pour une force donne est que le travail sur tout chemin ferm (une boucle) est nul : F r =zd 0 Pratiquement, lintuition en general suffit se convaincre de lexistence du potential ou pas. C'estlecasdelapesanteur.Cen'estpaslecasd'uneforcedefrottement,videmment.Sile potentielexiste,ilsuffitdopreruneintgrationsuruncheminpourtrouverlepotentiel.A titre indicatif, on notera que les mathmatiques fournissent une condition quivalente : 0 = = rot F F

SiV (r)existe,alorslesprojectionsdelaforcesurunreprecartsiendurfrentielsont donnes par :10/12/200597

VxVyVz V V = = = F grad

Dmonstration :de 212 1 21W V V d = = F r on tire que pourun chemin infinitsimal de 1 2:

( ) ( ) d V d V = + + F r r r r

Prenons id = e / r oieest un vecteur unit port par laxe i. Alors : ( ) ( ) i i iiVd e F V Vx = = = + = e / / / / F r F r rLa dernire galit applique la dfinition de la drive partielle.

Exemple : Potentiel gravitationnel.

La force gravitationnelle peut tre drive de la fonctionV (r) donne par :

V rG M mr( ) = Avec2 2 2r x y z = + + on a par exemple : 2 2 221 VG M mx xx y zG M m xr r = + + = Cest bien la composante x de la force de la graviation. Evolution de lnergie en prsence de forces non-conservatives Si toutes les forces sont conservatives on a: E=T+Vestconstante,cest--dire 0dEdt= .Ilarrivequecertainesforcessoient conservatives, et d'autres pas. Pour ce cas, on crira la dcomposition des forces:C NC+ F F . CFest la rsultante des forces conservatives. C'est--dire, il existe V avec CV = F . NCFest la rsultante des forces non-conservatives. 10/12/200598

Alors la deuxime loi de Newton fournit : C NCm m = = + `` ` r v F F . En multipliant parv , on reconnat la drive de lnergie cintique : 212C NC NCdm mdtV = = + = +` vv vF v F v v F v Le termeV v est une drive totale par rapport au temps. En effet : V dx V dy V dz dVVx dt y dt z dt dt = + + = v On peut ainsi crire que la drive par rapport au temps de lnergie mcanique totale est gale la puissance des forces non-conservatives. 212NCdm Vdt + = v F v Un cas typique est celui des forces de frottement. Elles sopposent la vitesse, dont le deuxime terme de cette galit est ngatif, indiquant, comme il se doit, une perte dnergie mcanique. Rampe sur roulette Un enfant descend une rampe munie de roues. On suppose : - que la rampe roule sans frottement sur un sol horizontal, - que l'enfant glisse sans frottement sur la rampe - que la rampe est initialement immobile au dbut de la descente de l'enfant. 1) Quelles sont les forces exerces sur l'enfant ? Son nergie mcanique totale est-elle conserve dans la chute ? 2) L'nergie mcanique totale de la rampe et de l'enfant dessus est-elle conserve ? 3) Quelle est la vitesse de la rampe quand l'enfant arrive en bas de la rampe ? 10/12/200599

Projet d'une balanoire Uneenfantsejetted'unebalanoireenmouvement.Sonpapasedemandequellepositiondumouvement d'amplitudedonneest-cequ'elledevraitselaisserallerhorsdusigepourallerleplusloin.Pouranalyserla situation, on modlise l'enfant sur sa balanoire par un pendule mathmatique : un point matriel pesant au bout d'un fil. Un dispositif sans masse libre le point matriel sans interfrer autrement sur le mouvement du pendule.a)Silependuleauneamplitudemaximummax ,trouverlavitesse 0 0v v =,aupoint 0 max B. LepointBglisseversAjusquceque B, cF = A,sF ,ou c sB A = .Acepoint,le glissement deAsenclenche. Or : B, c cGF aa b= + A,s sGF ba b= + Notons 1b la valeur critique de b laquelleB, c A,sF F = . On a s1 cab=>1 QuandAsemetenmouvement,A, CF < A,SF ,cestBF quidoitdiminuerpourmaintenirla barre larrt.En fait,Bsarrte de glisser. Actualits :-de nos jours, les frottements sont tudis lchelle quasi atomique, cest ce quon appelle la nanotribologie . 53 52 nous verrons en dynamique du solide que le thorme du moment cintique sapplique en prenant le centre de masse comme point de rfrence pour dfinir le moment cintique et les moments de force. 53 Physics Today Sept 1998, p. 22 10/12/2005139

-desrecherchesrcentestententdemettreenvidencelapossibilitdtatsdinteractions entredeuxsurfacestellesquelessurfacessedplacentluneparrapportlautresans frottement. Le terme supralubrification est construit pour suggrer une analogie avec la supraconductivit (le transport de charges sans dissipation). 54 Les frottements visqueux Dans les fluides trs basses vitesses, la force de frottement subie par un solide se dplaant la vitessevpar rapport au fluide peut