203-NYA-05

Physique mécanique

Par André Girard

Cinématique de rotation

• Station spatiale orbitale

• Notre planète (sur elle même et autour du soleil)

• La grande roue (aux galeries de la Capitale)

Qui dit rotation pense à :

Mais surtoutGVZP

• Intro-Micro-MacroSituation de l’Univers mécanique et langage du scientifique

Rappel

• VectoÉquilibrante exprimée sous les 3 formes.

• Cinémo1. Paramètres de cinématique 1-D et 2-D2. MRU et MRUA du vélo (GVZ)3. Trajectoire balistique du ballon de soccer

RotatoMCU et MCUA

CycloProblème d’intégration (translation et rotation)

Cinématique de translation(mouvement linéaire)

Vecteur position

Vecteur vitesse

Vecteur accélération

Cinématique de rotation(mouvement angulaire)

Vecteur position angulaire

Vecteur vitesse angulaire

Vecteur accélération angulaire

v

a€

θ

€

ω

€

α

?Longueur = mètre

mm/sm/s2

Angle = radianrad

rad/srad/s2

€

ri et

r j

€

ru r et

r u θ

sx

y

z

Définition du radian

r

s

€

θArc de

cercle= Un

rayon

Soit : r = 10 mètres

€

θ =s

r=

10m

10m= 1 ?Conclusion

€

s = r θ

Linéaire angulaireC = 2 ∏ R

C = 6,28 R

Donc 1 radian = ? degrés

LINÉAIRE (autour du cercle) VERS ANGULAIRE (centre du cercle)

€

s = r θ

s

t= r

θ

tv = r ω

v = ω r

€

v = ω r

v

t=

ω

tr

a = α r

a = r α

€

s = r θ

Linéaire angulaire

s

r

€

θ

va

€

ω

€

α

3 autres façons de présenter de

la vitesseangulaire

€

ω# RPM

rotations, révolutions, tours

Minute

(RPM)

Période

T

Temps pour 1 seul tour

(s)

Fréquence

FRot, Rév, tours

seconde

(Hz)

€

ωrad / s =2Π(# RPM)

60

€

ωrad / s =2Π

T

€

ωrad / s = 2 Π f

Ex : 600 RPM

600 x (2) rad60 s

Ex : 24 heures

(2) rad24(60x60)s

Ex : 60 Hz

60x(2) rads

Appliquons maintenant ?

Le Turbo

Un élève, futur mécano, vient de tester un moteur Turbo pivotant, fixé à une piste circulaire ayant 2 mètres de rayon. Un processeur a déterminé que l'équation de sa position angulaire en radians sur la piste est exactement donnée par

€

θ(t) = 9t − t 2 − 8

1. Quel est son déplacement angulaire entre 0 et 2 secondes ?2. Nombre de tours effectués par le turbo dans les 2 premières secondes ?3. La grandeur de sa vitesse angulaire initiale ?4. Sa vitesse instantanée initiale en km/h ?5. La grandeur de son accélération angulaire initiale ?6. Que signifie l'aire de la surface sous la courbe de la vitesse angulaire en

fonction du temps entre 0 et 2 secondes ?

Test interactif bonusien

Activité d’apprentissageLe Turbo

Un élève, futur mécano, vient de tester un moteur Turbo pivotant, fixé à une piste circulaire ayant 2 mètres de rayon. Un processeur a déterminé que l'équation de sa position angulaire en radians sur la piste est exactement donnée par où t est en secondes et en radians.

Analogie avec la cinématique de translation :

€

θ

€

θ(t) = 9t − t 2 − 8

€

Δθ0 2 = ? # tours]0 2= ?

ωmoy3 8= ? ω (t) = ? ω0 = ?

v0 (km /h)

α moy02= ? ASLC]02

= ? a0 = ?

Le Turbo

€

Δθ02 = θ2 −θ0 = 6 − (−8) =14rad

ωmoy38=

Δθ38

Δt38

=θ8 −θ3

t8 − t3

ω(t) =dθ(t)

dt

α =dω(t)

dt

€

#Tours =Δθ02

2π

1. Déplacement angulaire entre 0 et 2 secondes (14 radians)2. Nombre de tours dans les 2 premières secondes (2,23 tour)3. La grandeur de sa vitesse angulaire initiale (9 rad/s)4. Sa vitesse instantanée initiale en km/h (18 m/s soit 64,8 km/h)5. La grandeur de son accélération angulaire initiale (-2 rad/s/s)6. Aire de la surface sous la courbe = déplacement angulaire

Les réponses

Observations suite à l’équation précédente :

€

θ(t) = 9t − t 2 − 8

θ(t) = −8 + 9t − t 2

θ(t) = θ0 + ω0t +1

2α t 2

θ0 = −8 radians

ω0 = 9 rad /s

α 0 = −2 rad /s2

a0 = R α 0 = (2m)(−2rad /s2) = −4m /s2

Serait-ce un MCUA par hasard ?

Tout comme la translation, analysons 2 mouvements particuliers en rotation

Le MCU

€

θ(t) = θ0 + ω t

ω = cte

v = cte0

12

3

4

56

7

R = 20m

v=2m/s

€

ω =v

r= (

2m

s)(

1

20m) =

0,1 rad

s

Il faut 10 s pour effectuer un radian ou 20 m d’arc

€

Mais est − ce quer v = cte

Soit le MRU « courbé» suivant:

R = 20m

€

rv = 2

r j = (2,900)

€

rv = −2

r i = (2,1800)

€

rv = 2

r i = (2,00)

Donc changement continueldu vecteur vitesse autour

de la circonférence.

Conclusion : MCU

Grandeur de la vitesse qui est

constante.

Trouvons

€

ra =

Δr v

Δt= ?

http://ici.cegep-ste-foy.qc.ca/profs/rfoy/capsules/centri.html

R = 4m

v=4m/s

€

ω =1 rad /s

MCU

€

ac =v 2

r=

((4m) /s)2

(4m)=

16m2

s2 4m= 4m /s2

€

ac =v 2

ret v = ωR

donc

ac =(ωr)2

r=

ω2r2

r= ω2r

€

Finallo ac =v 2

r= ω2r = aR = an

radiale

normale au vecteurvitesse (latérale).

Vecteurunitaireradial

vac

€

ru rDu centre

versl’extérieur

Vitesse tangentielleet accélération

perpendiculaire àla vitesse.

synonymes

Accélération se dirigeant vers le centre du cercle

€

Donc

ac = −4r u r

Le MCUA = MCU + atielle

€

θ(t) = θ0 + ω0t +1

2α t 2

ω(t) = ω0 + α t

€

a = atielle = r α

Vitesse variable non seulement en orientation mais en grandeur

Composante

radiale

Composante

tangentielle

atielle

Vecteur unitaire tangentiel

Perpendiculaire au radial et

en sens anti-horaire

€

ru θ

€

ru r

mutuellement perpendiculaire

v1

v2

v3

€

ac1

€

ac3

€

ac2

€

v22

r

Composante radialetoujours présente

v2

€

ac1

€

ac3

€

ac2

€

atielle = rα

Causée par le changementde l’orientation de v

Composante tangentielle

Causée par le changementde la grandeur de v

Si l’accélération tangentielle = 3et l’accélération centripète = 4alors :

€

ra tot =

r a = 3

r u θ − 4

r u r

Grandeur et angle ??? http://ici.cegep-ste-foy.qc.ca/profs/rfoy/capsules/centritan.html

3

4

34

5

2 questions possibles concernant l’angle de l’accélération totale instantanée

Angle p/r à la tangente du cercle

€

arcTgac

atielle3

4

5

Angle p/r au rayon du cercle

34

5

€

arcTgatielle

acConclusion ?

(Activité d’apprentissage autonome)

Le Motocycliste

Un motocycliste, initialement au repos, et faisant face au nord, se met à accélérer à un taux de 4 m/s2 dans le sens antihoraire, autour d’une piste circulaire de rayon 200 mètres.

Doubletter angulairement puis linéairement ?

Vous ne savez pas quoi trouver, alors …

Le Motocycliste (questions possibles)

Montrez par un X sur la piste circulaire, la position de la moto aux temps 5, 10 et 15 secondes (à l’échelle)

Montrez en bleu ses positions angulaires (en radians) aux mêmes moments.

Tracez en rouge, aux endroits appropriés, ses 3 vecteurs vitesse instantanée aux mêmes moments. Bien les inscrire ( v5, v10, v15).

Tracez d’une autre couleur distincte mais visible ses 3 accélérations radiales en fournissant leur grandeur respective.

Tracez d’une autre couleur distincte mais visible ses accélérations tangentielles aux mêmes moments.

Montrez un agrandissement local de la moto autour du cercle à 10 secondes, en traçant son accélération radiale et tangentielle à ce moment-là et en illustrant bien la grandeur de son accélération totale et l’angle que fait cette accélération totale résultante avec la tangente au cercle à cet endroit ?

Fortement suggéré SVP

Retournez aux acétates précédentes et tentez de solutionner ce problème de la moto sur une feuille de brouillon.

Prenez le temps qu’il faut pour réviser les notions, consulter vos notes personnelles, livres, manuels, sites web.

Seulement après avoir tenté véritablement de résoudre, passez à la prochaine acétate pour la solution.

Ces notions sont cruciales et doivent être maîtrisées pour le prochain examen.

Un motocycliste, initialement au repos, et faisant face au nord, se met à accélérer à un taux de 4 m/s2 dans le sens antihoraire, autour d’une piste circulaire de rayon 200 mètres.

€

donc un MRUA autour du cercle avec atielle = 4m /s2

et alors un MCUA autour du cercle α = a /r = 4 /200 = 0,02rad /s2

x(t) = x0 + v0t +1

2a t 2 ici x(t) = 2t 2 v(t) = v 0+ at = 4 t

θ(t) = θ0 + ω0t +1

2α t 2 ici θ(t) = 0,01t 2 ω(t) = ω0+ αt = 0,02t

x(5) = 50 v(5) = 20 ω(5) = 0,1 ac (5) =v5

2

R=

(20)2

200= 2m /s2

x(10) = 200 v(10) = 40 ω(10) = 0,2 ac (10) =v10

2

R=

(40)2

200= 8m /s2

x(15) = 450 v(15) = 60 ω(15) = 0,3 ac (5) =v15

2

R=

(60)2

200=18m /s2

N

€

t = 0€

V5 = 20

€

ac 5 = 2

€

Circonférence = 1256m

€

r = 200m

€

V10 = 40

€

V15 = 60

1 rad

O,25 rad

2,25 rad€

ac 10 = 8

€

ac 15 =18

€

atielle = 4€

atielle = 4

€

atielle = 4

€

ac 10 = 8

€

atielle = 4

48

arcTg 8/4 = 630

Le Turbo+

Un élève, futur mécano, vient de tester un moteur Turbo pivotant, fixé à une piste circulaire ayant 2 mètres de rayon. Un processeur a déterminé que l'équation de sa position angulaire en radians sur la piste est exactement donnée par où t est en secondes et en radians.

€

θ

€

θ(t) = 9t − t 2 − 8

Exercice d’apprentissage solo pour vérifier si vous comprenez les notions

Déterminez l’angle que fait son vecteur accélération totale instantanée, à la quatrième seconde, par rapport à la tangente du cercle à ce moment-là ?

Très bon problème que vous devriez tenter de solutionner sur une feuille de brouillon en

consultant les acétates antérieures avant d’aller voir la prochaine acétate de solution.

€

θ(t) = 9t − t 2 − 8

θ(t) = −8 + 9t − t 2

θ(t) = θ0 + ω0t +1

2α t 2

θ0 = −8 radians

ω0 = 9 rad /s

α 0 = −2 rad /s2

a0 = R α 0 = (2)(−2) = −4m /s2

€

donc un MCUA

θ(t) = θ0 + ω0t +1

2α t 2

ω0 = 9 rad /s

α 4 = α 0 = α = −2 rad /s2

ω(t) = 9 − 2t donc à 4s ω4 = 9 − 2(4) =1 rad /s

a4 = a0 = a = −4m /s2

Il reste à trouver l’accélération radiale du turbo à 4 seconde ?

€

ac( 4 )= aN ( 4 )

= aR( 4 )=

v 2(4 )

Rou ω(4 )

2R = (1)2(2) = 2m /s2

€

arcTgac

atielle

arcTg2

4= 270

2

4

Solution de Turbo+

Problème no 1

Un motocycliste qui roule à une vitesse de 108 km/h tente un dépassement sur une route secondaire, mais il y a un camion à 100 mètres qui vient en sens inverse à 68,4 km/h . Dès qu’ils s’aperçoivent, ils freinent tous les deux instantanément au taux de 6 m/s2. Fournir la solution graphique complète mais non à l’échelle de ce problème [2 mouvements sur un seul graphe x = f(t)] en prenant soin de préciser tous les paramètres de cinématique de cette situation. S’il y a collision, l’endroit et la vitesse d’impact de chacun, s’il n’y en a pas, leur position d’arrêt et la distance qui les sépare. Maintenir 2 décimales partout et présentez vos résultats sur un seul (grand) graphique , non à l’échelle (feuille blanche, allure des courbes) , en prenant soin de bien mettre en évidence les éléments cruciaux et en utilisant les bons termes pour les spécifier.

Problème no 2

Un cascadeur en moto s’apprête à effectuer un saut au-dessus de plusieurs voitures cordées. Il devra décoller d’un tremplin triangulaire pour aboutir sur un autre identique situé 380 m plus loin. Si la rampe du tremplin est longue de 12 mètres (sa longueur, pas sa base) et qu’il la quittera à 6 mètres du sol, alors déterminez la vitesse minimale pour qu’il réussisse cette cascade. En exprimant cette vitesse en km/h, est-ce que, selon vous, il serait possible de réaliser ce saut en utilisant un vélo ? S’il n’y avait pas de deuxième tremplin alors déterminez l’angle d’impact de la roue au contact du sol si on effectuait ce saut avec la moitié de la vitesse minimale trouvée.

Problème no 3

Un motocycliste de «trail» se promène allègrement hors piste à une vitesse de 90 km/h vers l’ouest (W). Pour faire demi-tour, il amorce un virage serré, en sens antihoraire (vue du haut), en freinant régulièrement autour d’une courbe formant un demi-cercle de 16 mètres de rayon qu’il quitte en direction est (E) à une vitesse de 54 km/h.Déterminez le temps pris pour franchir cette courbe ainsi que l’accélération totale instantanée de la moto à l’entrée, quand elle se dirige directement vers le sud (donc à mi course) et à la sortie de la courbe ? Pour chacun des endroits mentionnés prenez soin de bien illustrer le vecteur accélération résultant sur un dessin agrandi et d’exprimer (avec des couleurs) cette accélération résultante et ses composantesà l’aide des vecteurs unitaires appropriés. Ne pas oublier de préciser l’angle que fait le vecteur accélération avec le rayon du cercle aux 3 endroits .

Exercices facultatifs

Explorez votre vélo !Mesurez le rayon d'une roue, la hauteur du guidon jusqu'au sol, le

nombre de dents sur chaque plateau du pédalier ainsi que sur chaque pignon arrière.

Vous devez être en mesure de mettre en ordre les vitesses d'un vélo à partir des braquets croissants puis de déterminer le développement pour

une vitesse quelconque.