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  • CAHIERS DE TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

    CATÉGORIQUES

    RENÉ GUITART Tenseurs et machines Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome 21, no 1 (1980), p. 5-62

    © Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1980, tous droits réservés.

    L’accès aux archives de la revue « Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

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    TENSEURS ET MACHINES

    par René GUIT ART

    CAHIERS DE TOPOLOGIE

    ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

    Vol XXI-1 (1980)

    &n hommage reconnaissant et respectueux à Charles Ehresmann

    INTRODUCTION.

    Le but de ce travail est de munir certaines catégories d’algèbres KP au-dessus d’une catégorie monoi’dale (K , ® , ... ) d’une structure mo-

    noidale, i.e. d’un bon produit tensoriel ®. Une application au non-déter-

    minisme est donnée.

    a) Tout d’abord au n° 1 du Chapitre 1 on montre que les lois distri-

    butives D: @ => P d’un tenseur @: K X K -> K sur une monade P : K => K

    sont aussi bien des extensions ® de ® à Kl P (catégorie de Kleisli de

    P ) que des relèvements P de P à Klo ( catégorie des «algèbres » de 0 ). Avec trois équations de plus (5 , 6 , 7, n° 11 ) on aboutit exactement

    aux monades monoidales , i. e. aux monades dans la 2-catégorie Mon des

    catégories monoidales (voir [l0] et [20] ).

    b) On prouve ensuite au n° 1.2 le :

    THEOREME A. 10 Pour toute monade monoidale (P, D) et tout 9-monoi*de

    M on a une loi distributive (au sens d’Applegate - Beck ) (-)@M => P . 20 P se relève aux 9-monoides, et si de plus K est à sommes dé-

    nombrables, on a une loi distributive (conjecturée par Kock dans [20])

    (-)*=> P, avec (- * la monade dont les algèbres sont les 0-monoides.

    Arbib -Manes [1] et E. Burroni [8] ont montré la nécessité dans

    l’étude du non-déterm inisme d’avoir une structure de monade P sur le pro-

    cessus P «donnant du flou », et une loi distributive (-)*=> P. En vue

    de fonder la théorie catégorique des automates non-déterministes ils ont donné dans des cas particuliers les lois distributives du Théorème A. On

    les obtient ici en général et surtout on voit qu’elles découlent de la don-

    née plus fondamentale D: @ => P .

    c) Comme exemples de monades monoïdales, on cite en 1.3 les mona-

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    des (-) @M avec M un 0-monoide commutatif, et les monades fortes commutatives sur les catégories (K , ® , ... ) mono’idales symétriques fer-

    mées (suivant Kock [20]). En particulier on a sur Ens la monade PLI des parties L-floues (avec PL (X) = LX, ... ), où L est un monoïde abé- lien complet.

    d) En 1.4 on rappelle les constructions connues des produits tenso-

    riels utiles à l’intelligence de la suite, notamment en termes de bimorphis- mes (Banachewski-Nelson [2], Foltz [12], Kelly ) ( voir n° 1.5.2,3), en termes de costructures doubles (Foltz - Lair [ 13, 21] ) ( voir n° 1.5.4). On

    rappelle aussi les résultats de Porst-Wischnewsky [23] , de A . et C.Fh- resmann [3] , de Day [9], Grève [14], Linton (cité dans Manes [22] ).

    e) En 1.5 on montre (Proposition 16) comment la formule du produit tensoriel d’espaces vectoriels s’étend au produit tensoriel d’algèbres d’une monade arbitraire. C’est le point de départ du

    THEOREME B. Soit (P, D) une monade monoidale sur une catégorie mo- noidale (K, 18, ... ).

    10 Si K 1’ ( catégorie des algèbres de P ) est à conoyaux ( par exem-

    ple si K est à conoyaux et K P -> K à quasi-quotients ), alors il existe @ sur KP classifiant les D-bimorphismes, donné par un conoyau simple dans K P :

    On a alors (K@)P = (Kp) @. 20 Si de plus (P , D) est coh érente ( i. e. si d X E Ko , (-) ® L X pré-

    serve les conoyaux de

    (La ®L B, sA ®L B) et (1(A,a)®LB, 1(A,a)@sB) pour tout (A, a ), (B, B) de (KP)0, et si L X®(-) préserve les co- noyaux analogues) alors (KP @, ... ) est monoidale, et même le fonc.. teur UP: (Kp, @) -> (K, 0) est une factorisation monoidalé finale de (PD).

    30 En particulier si (K , ®, ... ) est monoidale symétrique fermée à

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    noyaux, si (P, D) est une monade monoïdale symétrique (ce qui.. suivant

    Kock [20] équivaut à dire que (P, D) est une monade forte commutative) et si KP est à conoyaux, alors @ étant adjoint à Hom, (P, D) est co- hérente, si bien que, KP étant fermée suivant Kock [20 ], on a:

    ( K P , ,0, ... ) est monoidale symétrique fennée. On améliore ainsi des résultats de Kock [20], Porst - W’ischnew-

    sky [23], Day [9], A. et C. Ehresmann [3], Foltz-Lair [13, 211, et de

    Keigher [18]. Ce dernier en particulier obtenait 3 mais sous l’hypothèse

    supplémentaire que P soit «adjointe », i.e. de la forme (- )@M avec M

    un monorde abélien.

    En Février 1979 j’ai exposé ce Théorème B à Kock; il m’a appris

    que Day lui avait indiqué dans une lettre un résultat assez semblable à

    3, résultat que Day ne semble pas avoir publié.

    f) Si (K 0 ...) est une catégorie monoi’dale et P : K -> K un fonc-

    teur, une machine (resp. une machine P-floue) d’entrée X et sortie Y, où X et Y sont des objets de K , est un couple de morphismes de K :

    Comme l’ont montré de nombreux auteurs (voir dans Ehrig & al [11] et

    Mânes [22] de multiples références) un outil algébrique indispensable à

    la simulation en Sciences expérimentales est la notion de machine non-

    déterministe, ou machine P-floue (e.g. machine partielle, relationnelle,.

    floue, stochastique, etc... ) avec entrée et sortie des ensembles, des mono-

    i’des, des monoïdes flous.

    Au n° 2.1 on indique comment les concepts les plus généraux de

    machines non-déterministes ( avec, même, entrées et sorties des catégo- ries P -floues et des bicatégories P-graduées ) sont en réalité juste des enrichissements (au sens de Eilenberg-Kelly [10]) dans (KP, @) de la notion ordinaire (déterministe) de machine.

    g) Au n° 2.2 on montre que la mise en série des machines P-floues dans (K, X) donne une bicatégorie de machines, comme dans le cas dé-

    terministe, plus précisément parce que, (P, D) étant m ono 1°da le , ( Kl P , X )

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    est monoi’dale, de sorte que les P-relations ternaires forment une bicaté-

    gorie (KlP , x )-graduée .

    h) Dans le n° 2.3 on résume des résultats de Fhrig & al [11] sur l’é-

    tude du comportement des machines non-déterministes (voir aussi le der-

    nier chapitre de Manes [22] ) et sur la minimisation de ces machines.

    Ensuite on montre que, pour les machines Po-floues dans un topos de Grothendieck, la minimisation est possible ( Proposition 40).

    i) De notre point de vue, l’idée des catégories pseudo-fermées de [11]

    consistait à se placer dans (KlP, x ) , ce qui - littéralement - était in-

    complet ( e . g. sans calcul d’images, de lim ite s ). L’observation fonda- mentale que nous voulons faire est la suivante : Tous les exemples de

    P-flous envisagés sont décrits par des monades monoidales cohérentes, de sorte qu’en appliquant le Théorème B on dispose de la catégorie mo-

    noidale (KP , ê ) . En conséquence, on peut espérer obtenir les divers thé- orèmes d’observabilité et minimisations des machines P-floues de [11] par

    s imple lecture dans ( KP , ® , ... ) des théorèmes déterm inistes de [ 11 ] valables dans (K, ® , ... ) ( les machines P-floues dans (K , ® ) étant

    des machines déterministes particulières dans (KP , ® ) ). Nous montrons que ceci est possible (Propositions 42, 43 ), grâce au

    THEOREME C. Soit (K, @) monoidale ferrrcée symétrique à sommes dé-

    nombrables, à images régulières, à conoyaux et noyaux. Soit P une mo-

    nade forte commutative régulière sur K telle que KP soit à conoyaux. Alors (Kp , ®) est monoidale fermée symétrique à sommes dénom-

    brables, à images régulières, à conoyaux et noyaux. Par suite les résul-

    tats de Ehrig & al [77] s’appliquent dans (KP , ®).

    En conclusion notre position est la suivante : s’il ne fait pas de

    doute que le concept de P-flou soit utile pour permettre aux expérimenta- teurs une analyse plus naturelle et plus fine des situations à simuler, il

    apparait que la partie mathématique est en fait très simple puisque, dès

    que l’on se place dans le cadre «complet » naturel (KP , ® ) , ceci se ré- duit à un calcul déterministe classique.

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    Les autres problèmes qui ne se laissent pas réduire par le Théo-

    rème C, et sont donc effectivement non-déterministes, constituent la

    partie fine de la théorie des P-machines, qui se trouve ainsi mieux cer- née.

    j) Pour terminer nous voudrions indiquer que Mon est de la forme

    D-C