2010 Cours ENTPE - Element_du_trafic_light1

P O LY C O P I S

Sommaire

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Sommaire Avertissement Introduction Chapitre I Le modle LWR

1! 3! 5! 7!

I.1! Prambule : la caractrisation du trafic_______________________________________ 7!

I.2! Formulation Eulrienne et Lagrangienne du modle LWR ______________________ 11!

I.3! Rsolution analytique par la mthode des ondes cinmatiques____________________ 14!

I.4! La thorie variationnelle __________________________________________________ 23!

I.5! Rsolution numrique du modle LWR ______________________________________ 35!

Chapitre II Extensions du modle LWR

I.6! Conclusion _____________________________________________________________ 41! II.1! Acclration borne _____________________________________________________ 44!

43!

II.2! Restrictions de capacit fixes et mobiles _____________________________________ 50! II.6! Intersections et gestion des conflits _________________________________________ 73! II.3! Hybridation____________________________________________________________ 58! II.4! Individualisation des voies et changements de voie ____________________________ 62! II.5! Individualisation des caractristiques des vhicules ___________________________ 70!

Chapitre III Relations modle / ralit

II.7! Conclusion ____________________________________________________________ 83!

III.1! Outils danalyse du trafic _________________________________________________ 85!

85!

III.2! Calibrage du diagramme fondamental partir de donnes Eulriennes ___________ 89!

III.3! Calibrage du diagramme fondamental partir de donnes trajectoires ____________ 95!

Table des matires

III.4! Conclusion ____________________________________________________________ 98!

101!

1

Sommaire

Bibliographie!

105!

2

Avertissement

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Ce document nest pas destin suivre le cours de thorie du trafic mais en propose une vision synthtique permettant posteriori de mieux comprendre les liens entre les diffrentes notions introduites en cours. Il propose galement de nombreux complments afin de fournir un tat de lart exhaustif sur le modle LWR et ses applications. Cet tat de lart doit permettre aux tudiants dapprofondir au besoin le cours de thorie du trafic et de pouvoir si reporter par la suite. En complment de ce document, diffrents supports traitant spcifiquement des concepts prsents durant les diffrents sances de cours sont disponibles sur le site internet ddi au cours1. Ce site prsente galement le contexte professionnel et les objectifs pdagogiques du cours de thorie du trafic. Enfin, il faut noter que le cours de thorie du trafic sinscrit dans un parcours de formation lENTPE. Ainsi, les lments de base concernant la modlisation du trafic sont abords en 1re anne en cours de modlisation simplifi du trafic2 (MOSIT - tronc commun). Les applications des modles de trafic aux problmes de gestion et doptimisation de lusage des infrastructures sont abordes en 2me anne dans le cours intitul optimisation de lusage des infrastructures de transports3 (OUIT tronc commun). Une approche approfondie des applications des modles du trafic est propose en 3me anne pour les tudiants du dpartement Transport dans le cours ponyme4 (AMT - Transport).

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www.entpe.fr/fr/internet/contenu/departements/transports/laboratoire_licit/enseignements/theorie_du_trafic www.entpe.fr/fr/internet/contenu/departements/transports/laboratoire_licit/enseignements/modeles_simplifies_du_trafic www.entpe.fr/fr/internet/contenu/departements/transports/laboratoire_licit/enseignements/

optimisation_de_l_usage_des_infrastructures_de_transports 4 www.entpe.fr/fr/internet/contenu/departements/transports/laboratoire_licit/enseignements/application_des_modeles_de_transports

3

Introduction

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Lobjet de cet ouvrage est de prsenter ltat de lart concernant le modle LWR (Lighthill et Whitham, 1955) (Richards, 1956), destin reproduire le comportement dynamique de lcoulement dun trafic routier. Ce modle se distingue par sa simplicit (peu de paramtres) et par sa pertinence exprimentale qui ne cesse dtre mise en avant par des tudes de plus en plus nombreuses. Il se distingue galement par lexistence dun grand nombre dextensions qui ont t proposes ces dernires annes pour enrichir ses capacits prdictives en tenant compte de phnomnes particuliers (acclration borne, individualisation des classes de vhicules, multi-voies avec changement de voie, conflits aux carrefours). Le modle LWR reprsente aujourdhui une solution pertinente et performante pour simuler le comportement du trafic que ce soit en milieu urbain ou interurbain. Le modle LWR a galement dimmenses vertus pdagogiques. En effet, cest sans doute le seul modle dont les solutions sont calculables analytiquement pour de nombreuses situations non triviales. Ceci permet la fois de mieux comprendre le comportement dune circulation et de travailler sur la rsolution numrique du modle en ayant une rfrence accessible (la solution continue). Parce quil dcrit la propagation des ondes dans le trafic, il permet galement denrichir les mthodes danalyse de donnes exprimentales. Enfin, ce modle a lavantage de pouvoir tre exprim aisment la fois comme un modle de flux permettant lanalogie avec la mcanique des fluides (modlisation macroscopique) et comme un modle particulaire conservant une attache forte avec la ralit du phnomne (dplacement des vhicules). Cette dualit combine avec la thorie variationnelle permet (i) dutiliser le calcul des variations pour dterminer ses solutions numriques et de gnraliser ainsi le concept doffre et de demande et (ii) dapprhender compltement lensemble de ses proprits. Cet ouvrage est compos de trois chapitres. Le premier prsente les bases thoriques du modle LWR. Le second montre comment ce modle peut tre complt pour prendre en compte toute une srie de phnomnes particuliers qui permettent de dcrire compltement les situations pouvant tre rencontres aussi bien en milieu urbain quinterurbain. Le dernier chapitre fait le lien entre le modle et les observations exprimentales ralises en priode de congestion sur autoroute. Il sattache notamment donner une vision complte du problme de la calibration du modle LWR au travers de sa relation fondamentale.

5

Chapitre I : Le modle LWR

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Ce chapitre propose de mettre en perspective lensemble des recherches anciennes et rcentes menes sur les diffrentes formulations du modle LWR (Lighthill et Whitham, 1955) (Richards, 1956). Lobjectif est de montrer que ces formulations, dveloppes selon des objectifs ou des points de vue diffrents (rsolution analytique/numrique, reprsentation continue/particulaire du trafic, calcul de solutions simplifies), ne sont que diffrentes facettes du mme problme. La mise en vidence des relations entre ces facettes dmontre la cohrence densemble de ce modle et permet de mieux comprendre sa robustesse et sa qualit de reprsentation du comportement du trafic, malgr le faible nombre de paramtres utiliss.

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La reprsentation la plus intuitive du trafic est de considrer la trajectoire xi(t) de chaque vhicule i prsent sur le rseau en fonction du temps. Cette reprsentation, classiquement qualifie de microscopique, permet de dduire ltat cinmatique des vhicules : la vitesse vi(t) et lacclration ai(t). Deux variables qualifiant les interactions entre les vhicules peuvent galement tre dfinies : lespacement si(t) (spacing), soit la distance linstant t entre le vhicule i et son leader i-1, et lintertemps hi(x) (headway), soit le temps qui spare le passage des vhicules i et i-1 au point x (cf. Figure I.1a).(a) (b)

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Espace

Espace

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t Temps

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Temps

Figure I.1 : Caractrisation du trafic ; (a) Microscopique (b) Macroscopique.

7


La reprsentation microscopique du trafic permet de connatre finement ltat dun ensemble de vhicules mais nest souvent pas adapte en pratique. En effet, la mesure exhaustive des trajectoires nest envisageable que pour des oprations de recherche ponctuelles et nest pas adapte un contexte oprationnel, en ltat actuel des dispositifs de recueil de donnes. En considrant des priodes dagrgation temporelle !t et spatiale !x, le trafic est caractris de manire macroscopique par le dbit q(t ! t + "t, x) traversant un point x entre les instants t et t+!t et par la densit k (t, x ! x + "x) de vhicules prsents entre les points x et x+!x linstant t (cf. Figure I.1b). Il faut noter que contrairement la situation usuellement rencontre en mcanique des fluides, le nombre de particules (ici les vhicules) dans le flux est petit et trs loin du nombre dAvogadro. Ainsi, lchelle pertinente (taille de la maille !t!!x) pour la reprsentation macroscopique est potentiellement trs grande et suprieure au cadre demploi usuel des variables macroscopiques en thorie du trafic. Aucun auteur ne sest pench srieusement sur cette question. Il sagit dune critique rcurrente formule lencontre des modles macroscopiques de trafic. La formulation duale du modle LWR prsente par la suite permettra de proposer un nouveau regard sur cette question. Dautres dfinitions du dbit et de la densit empiriques ont t proposes par Edie (1963). Elles sont bases sur lobservation du comportement des vhicules dans une rgion du diagramme espace-temps de taille !t!!x (cf. zone grise - Figure I.1b). En notant, li la longueur et ti la dure du trajet parcouru dans cette rgion par le vhicule i, les dfinitions du dbit q et de la densit k sont donnes par :

Ces dfinitions sont moins sensibles aux effets de bords dus au caractre discret du trafic. En effet, un vhicule prsent en x juste avant t ne sera pas du tout pris en compte dans le calcul de q alors quil sera considr au travers de la longueur parcourue dans la rgion de calcul dans q . De plus ces dfinitions restent valables en prsence de changements de voie, i.e. des entres ou des sorties de vhicules dans la rgion dtude. Elles gardent cependant le dfaut de ne pas tre pertinente lorsque !t ou !x sont petits. .:;:B C-('-,'#>7%'&(?(7$(@"-1+%"-(/'(D",E"F%+G(!H"I#J(H!(10&*',J(

A partir dun ensemble de trajectoires {xi(t)}i"(1..n) dfinissant le comportement des vhicules sur un tronon (cf. Figure I.2a) il est possible de dfinir un ensemble de courbes dans lespace (t,x,n) (cf. Figure I.2b). La troisime coordonne reprsente lindice i du vhicule associ la trajectoire xi(t). Par convention, les vhicules sont numrots dans lordre de cration en amont du tronon. Cet ensemble de courbes peut tre interpol linairement en t et en x pour donner une surface, dite de Moskowitz (1965) et note N(t,x) (cf. Figure I.2c). Cette surface (N curves) dfinit de manire continue le numro (nombre rel) du vhicule prsent en x linstant t. Elle rsume lensemble des caractristiques du trafic sur le tronon dans le temps. Ce sont les travaux de Newell (1993) qui ont popularis lusage de cette surface en thorie du trafic.8

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"t, x ! x

"x

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i

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(1.1)


Figure I.2: Liens entre reprsentation microscopique et macroscopique ; (a) Trajectoires des vhicules en 2D (b) Trajectoires en 3D (c) Fonction de Moskowitz surface N (d) CVC au point x0 (e) CVC linstant t0.

Lintersection de la surface N et du plan x=x0 dfinit une courbe dquation Nx(t)=N(x0,t). Dans le plan (t,n), cette courbe est linterpolation linaire de la courbe en escalier qui reprsente le nombre cumul de vhicules ayant franchi le point x0 en fonction du temps (cf. Figure I.2d). Cette courbe est plus couramment appele courbe des vhicules cumuls (cumulative vehicle count) et note CVC. Sa drive correspond au dbit q(t) observ linstant t en x0. Par extension, il est alors possible de dfinir de manire continue le dbit q(t,x)1 au point x linstant t comme la drive #tN de N(t,x)

Formellement la fonction q(t,x) est dfinie presque partout (non dfinie sur certaines trajectoires). En effet, la fonction N(t,x) est continue et drivable partout sauf sur les trajectoires pour lesquelles linterpolation linaire induit une rupture de pente. Il est galement possible de dfinir q(t,x) en tout point en choisissant une interpolation polynomiale lors de la dfinition de la fonction N(t,x). 9

1


par rapport au temps. Cette dfinition a lavantage de ne pas dpendre du pas de temps ! dagrgation de la mesure, contrairement q ou q . De la mme manire, lintersection de la surface N avec le plan t=t0 dfinit une courbe dans le plan (x,n) dquation Nt(x)=N(x,t0). Cette courbe dcrit la rpartition des vhicules sur le tronon linstant t0 (cf. Figure I.2e). Sa drive correspond loppose de la densit k(x) observe en x linstant t0. Il est donc possible de donner une dfinition continue la densit en x linstant t : k(t,x)=-#xN. En corollaire, lespacement du vhicule i prsent en x linstant t, i=N(t,x), admet galement une dfinition continue si(t)=1/k(t,x). La vitesse v(t,x) peut enfin tre dfinie comme le ratio q(t,x)/k(t,x). Elle correspond la vitesse vi(t) du vhicule i=N(t,x). Il faut noter que, dun point de vue formel, la fonction N(t,x) nest dfinie que pour des tronons de longueur finie et pour un horizon temporel born. Il est possible dtendre cette dfinition pour des tronons de longueur infinie vers laval condition de dfinir la position du premier vhicule et de supposer le rseau vide en aval. .:;:K 5'1+0&'(/',(1"0&>',(/'(*=3%107',(10#07=,(

Les courbes de vhicules cumuls permettent galement de calculer facilement certains indicateurs permettant de caractriser simplement ltat du trafic. Ainsi, la distance horizontale qui spare les CVC observes en deux points conscutifs x0 et x1 correspond au temps de parcours ! (cf. Figure I.3) du vhicule i. La distance verticale dfinit le nombre de vhicules prsents entre ces deux points un instant donn. En supposant que le temps de trajet entre x0 et x1 en situation fluide !u est dfini par la vitesse libre u indpendamment du dbit, la CVC observe en x1 doit correspondre celle en x0 translate de !u. Les diffrences entre la CVC translate et celle rellement observe en x1 indiquent la prsence dune congestion (zone grise sur la Figure I.3). Il est alors possible de lire directement le retard r=!-!u subit par chaque vhicule et par cumul le temps total perdu (surface de la zone grise).

N(t,x0) i x0 u x1 CVC r

N(t,x1)

u

TempsFigure I.3 : Estimation des temps de parcours par lecture des CVC.

10


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Le modle LWR est bas sur lunique hypothse de lexistence dune relation Q concave entre le dbit q et la densit k telle q=Q(k). Cette relation dcrit les tats stables du trafic sur un tronon et a t pour la premire fois mise en vidence par Greenshield (1935). La forme la plus simple et la plus rpandue dans la littrature est le diagramme triangulaire (TDF) (cf. Figure I.4a). Ce diagramme apparat bien adapt pour reproduire les comportements du trafic observs exprimentalement. Trois paramtres suffisent pour le dcrire : la vitesse libre des vhicules en situation fluide u, la densit maximale " et la vitesse des ondes de redmarrage w. Son quation est :

Q(k) = min( uk,w( k ! " ))

(1.2)

Le diagramme prsente un extrema qc observ pour la densit kc. Cette densit spare deux modes de fonctionnement du trafic : le trafic fluide (k$kc) o les vhicules interagissent peu ou pas entre eux et le trafic congestionn (k>kc) o les interactions sont fortes et pnalisent le fonctionnement global de linfrastructure. Il est noter que pour un TDF, kc=|w|"/(|w|+u).q qc

(a)

v u

(b)

u

w

$w$

%&'()*+,&' -./,0) k q wi i c

(c)

k v

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c

(d)

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i

k

i

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k

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s

Figure I.4 : Le diagramme fondamental ; (a) Q Triangulaire (b) V Triangulaire (c) Q Lpm ou Qpm (d) V Lpm ou Qpm.

Dautres formes de diagramme fondamental ont galement t proposes dans la littrature. Il ne sagit pas ici de les prsenter de manire exhaustive. Deux classes de diagramme permettant dtudier en dtail les proprits du modle LWR peuvent cependant tre exhibes : les diagrammes linaires par morceaux (Lpm) et ceux11


quadratiques par morceaux (Qpm) (cf. Figure I.4c). Il est noter quun diagramme Lpm peut sexprimer sous la forme :

Q(k) = min ( w i ( k " # i ))i!{1,n }

(1.3)

i : indice des points anguleux (ki,qi) wi : pente du diagramme "i=ki-qi/wi

Il peut tre utile dexprimer le diagramme fondamental en utilisant dautres variables de trafic que q et k. Parmi toutes les formulations possibles, il est important de citer la relation V entre la vitesse v et lespacement s :V ( s) = v = q Q(k) = = sQ(1/ s) k k

(1.4)

Cette relation sera utilise comme diagramme fondamental de rfrence lors de llaboration de la formulation Lagrangienne du modle LWR. La Figure I.4b prsente la relation V lorsque Q est triangulaire. Afin de faciliter lutilisation de ce diagramme, on introduit les variables suivantes : lespacement minimum #=1/" et lespacement critique sc=1/kc. Pour finir, la Figure I.4d prsente la forme de V dans les cas o Q est Lpm ou Qpm. .:B:B L"$+%"-(P$#%7+"-%'--'('+(/0$7%+=(

Le paragraphe I.1.2 a montr que le comportement du trafic peut tre compltement dfini par la fonction N(t,x) qui est presque partout diffrentiable. Lexistence dun diagramme fondamental Q permet dexprimer le modle LWR sous la forme :

! t N = Q("! x N )

(1.5)

Cette quation est de type Halmilton-Jacobi avec pour Hamiltonien Q. Cette formulation nest pas la formulation originelle et classique du modle LWR qui sera prsente au paragraphe suivant. Il sagit dune formulation synthtique du modle, mise en avant par Daganzo (2005 ; 2005b), qui permet ltablissement de mthodes de rsolution performantes car bases sur le principe variationnel (cf. I.4)../0 .40

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X.t3n0

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Figure I.5 : La dualit en trafic ; (a) surface N (b) surface X.

12


Lexpression du modle LWR sous la forme dune quation dHamiton-Jacobi permet galement de mettre en avant le principe de dualit en trafic (Daganzo, 2006) (Leclercq et al, 2007). La fonction N tant continue et dcroissante suivant x, la relation N(t,x)=n, o n est le numro du vhicule prsent en x linstant t, dfinit une fonction implicite X(t,n) qui dcrit la position du vhicule n linstant t, x=X(t,n). Les fonctions N et X dcrivent la mme surface de Moskowitz (cf. Figure I.5) ; le repre (t,x) qui dfinit N est simplement transform par simple rotation autour de laxe t en repre (t,n) pour dfinir X. Le repre (t,x) peut tre qualifi dEulrien car ltat du trafic y est dcrit de manire fixe dans lespace. Le repre (t,n) peut quant lui tre qualifi de Lagrangien car il suit les vhicules dans leur mouvement. Le problme primal consiste donc dterminer N dans le repre Eulrien tandis que le problme dual consiste dterminer X dans le repre Lagrangien. Les fonctions N et X sont relies par les relations suivantes :N ( t, X(t,n)) = n ; X ( t,N(t, x)) = x

(1.6)

Les relations (1.6), la diffrentiabilit de N presque partout et sa monotonie suivant x (fonction dcroissante) garantissent lexistence de X et sa diffrentiabilit presque partout. De plus, la drivation de (1.6) montre que #xN=1/#nX et que #tN=#tX/#nX. La quantit s=-#nX est gale linverse de la densit et correspond donc la dfinition continue de lespacement. La quantit v=#tX reprsente la vitesse des vhicules. En remplaant dans (1.5) les expressions des drives partielles de N par leurs homologues en X on obtient :

! t X = "! n XQ("1/! n X ) = V ("! n X )

(1.7)

La relation V est le diagramme fondamental entre v et s prsent au paragraphe prcdent. Elle prend tout son sens ici, car il sagit du dual de Q dans lexpression du modle LWR dans le repre Lagrangien (t,n). Il faut noter que lquation (1.7) est galement de type Hamilton-Jacobi. Le problme est donc parfaitement symtrique en Eulrien et en Lagrangien. Le tableau ci-dessous (Leclercq et al, 2007) rsume les correspondances entre lexpression Eulrienne (primal) et Lagrangienne (dual) du modle LWR.Primal (Eulrien) Repre Fonction de Moskowitz Variable principale Variable secondaire Diagramme fondamental Expression du modle (t,x) N(t,x) k=-"xN Q="tN Q(k) Dual (Lagrangien) (t,n) X(t,n) s=-"nX v="tX V(s)

! t N = Q("! x N )

! t X = V ("! n X )

Tableau I.1 : Correspondances entre les variables entre problmes primal et dual

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La fonction N tant diffrentiable presque partout, le thorme de Schwartz indique que "t,xN="x,tN. La formulation classique du modle LWR sobtient alors en drivant lquation (1.5) par rapport x et en exprimant le rsultat suivant la variable k :13


! x Q( k ) = ! t,x N = ! x,t N = "! t k

(1.8)

On obtient alors une quation hyperbolique scalaire de la variable k avec pour fonction de flux Q :

! t k + ! x Q( k ) = 0

(1.9)

Cette quation traduit la conservation du flux de vhicules. Elle correspond la formulation originelle propose par Lighthill et Whitham (1955) et Richards (1956) dans le repre Eulrien. Il est galement possible de driver lquation (1.7) suivant n et dexprimer le rsultat en fonction de s, en notant que X est galement diffrentiable presque partout. On obtient alors la formulation du modle LWR, dans le repre Lagrangien, sous la forme dune quation hyperbolique scalaire de la variable s avec pour fonction de flux V. Elle traduit que la variation despacement entre 2 particules du flux est gale au diffrenciel de vitesse entre celles-ci.

! t s + ! nV ( s) = 0

(1.10)

Il faut noter que lquation (1.10) prsente classiquement en mcanique Lagrangienne un signe moins car la dfinition choisir pour N est lgrement diffrente. Lexpression du modle LWR sous forme dquations hyperboliques montre galement une correspondance parfaite entre lexpression primale (1.9) dans le repre Eulrien et duale (1.10) dans le repre Lagrangien. Les mthodes dveloppes pour rsoudre le modle en Eulrien pourront donc tre calques en Lagrangien en utilisant le tableau de correspondance prsent ci-dessus.

.:K 9=,"70+%"-($-$7O+%A0'(4$&(7$(#=+3"/'(/',("-/',(1%-=#$+%A0',(Lobjet de ce paragraphe est de prsenter la mthode classique de rsolution analytique du modle LWR exprim sous forme dune quation de conservation. Cette mthode met en vidence les ondes qui se propagent dans un flot de trafic et a pour rsultat en Eulrien, les diagrammes espace-temps indiquant les densits observes en tout point et en Lagrangien, les diagrammes numro-temps indiquant la valeur de lespacement en tout point. Cette mthode permet ainsi de comprendre la physique du trafic et ses principales proprits. Dautres mthodes de rsolution bases sur le principe variationnel appliqu la formulation du modle LWR sous forme dquation dHamilton-Jacobi seront prsentes au paragraphe I.4. .:K:; 9=,"70+%"-(/$-,(7'(&'46&'(M07=&%'-($%&%'%( !)"*)+,-.)+-/0,1*+23("*45/0,61(7(1"27*0"*45/08,/",-.)+-/0,-/,19)1,

Lquation hyperbolique (1.9) mise sous forme conservative correspond une quation dondes ayant pour clrit c= Q'(k) :

! t k + c! x k = 0

(1.11)

Ce type dquation a pour proprit fondamentale de conserver la quantit transporte (ici k) le long de lieux y(t) du plan (t,x) appels ondes cinmatiques (kinematic waves) ou caractristiques. Ces ondes ont pour pente c tout instant :14


dt k ( t, y(t)) = 0 ! y'(t) = Q'(k) = c

(1.12)

La densit est donc constante le long de droites de pente c gale la drive du diagramme fondamental Q'(k) . Cette proprit fournit une mthode commode pour dterminer la solution du modle LWR. En effet, partir dune condition initiale correspondant un profil spatial de densit k(x,t0) linstant t0, il est possible de dterminer comment se propage chaque valeur de densit :

!t " t 0 k ( x + c(t # t 0 ),t ) = k(x,t 0 ) avec c = Q' ( k(x,t 0 ))

(1.13)

Le diagramme fondamental tant concave, toute condition initiale continue dcroissante va gnrer un faisceau non convergent dondes cinmatiques (cf. Figure I.6a). En revanche, toute condition initiale continue croissante va avoir tendance se contracter dans le temps jusqu produire un profil discontinu linstant o deux ondes cinmatiques portant des densits diffrentes se rencontrent (cf. Figure I.6b). Cette discontinuit va ensuite se propager suivant une droite appele onde de choc (shockwave) dont la pente C respecte la condition de Rankine-Hugoniot : C= [q] [k](b1) k t2 t1 t0

(1.14)

(x)=xu-xd reprsente le saut de dbit ou de densit entre lamont u et laval d du chock kB (a1)

k

A

t2 t1 t 0 x (a2) (b2) x dbut onde de choc kA

x

x

kB kA k t0 t1 t2 t k t0A

t1

t2

t

B

onde de choc

k

B

Figure I.6 : Evolution temporelle dun profil spatial de densit ; (a) Condition initiale dcroissante (b) Condition initiale croissante (1) Profil spatial (2) Diagramme espace-temps.

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