2006 France CorinneStoffel

Universit Catholique de LouvainInstitut des Sciences Actuarielles

Fair Value et Risque deDfaut en Assurance Vie

Mmoire prsent en vue de lobtention duDiplme dEtudes Spcialises en Sciences Actuarielles par

Corinne Stoffel

Directeur : Professeur Pierre Devolder

Anne acadmique 2005-2006

Avant de commencer, je voudrais remercier toutes les personnes sanslesquelles la rdaction de ce mmoire naurait pas t possible.

Tout dabord, je tiens remercier de tout coeur mon directeur de mmoire,le professeur Pierre Devolder, pour sa disponibilit et pour le temps quil a

consacr ce travail.

Un grand merci galement Carole Bernard, de lISFA, pour un changede mails aussi constructif que sympathique.

Merci aussi ma famille, mes amis et mes collgues pour leur soutien.

Un merci particulier finalement Patrick pour sa patience.

Rsum

Dans un cadre de taux dintrt stochastiques, ce travail dveloppe unmodle de valorisation de march des engagements dune compagnie dassu-rance vie lgard de ses assurs. Le contrat propos par la compagnie estun contrat dassurance de capitalisation prime unique. La police contientune garantie de taux et une clause de participation aux bnfices.

Le modle tient galement compte du risque de dfaut. Il suppose laprsence dune autorit de contrle charge de la surveillance des compa-gnies dassurance vie qui a le droit de dclarer une compagnie dassuranceen faillite si une certaine exigence de solvabilit nest pas rencontre. En casde dfaut, les actifs rcuprs sont distribus aux stakeholders.

Sur base de simulations, nous tudions limpact de plusieurs variables surla probabilit de dfaut de lassureur et la valeur du contrat. Nous analysonsgalement le taux de participation aux bnfices caractrisant des contratsinitialement justes.

Dans une seconde tape, nous introduisons une composante de mortalitdans le modle pour tudier une assurance de capital diffr sans rembourse-ment. Cette deuxime partie est consacre ltude de leffet de la mortalit.Nous remarquons que la valeur des contrats dassurance vie diminue consi-drablement en fonction de cet lment de mortalit.

i

Introduction

Les compagnies dassurance-vie offrent une multitude de contrats conte-nant des clauses plus ou moins complexes. La garantie dun taux de rende-ment minimum, la possibilit dun remboursement anticip et les clauses departicipation aux bnfices sont des exemples de telles clauses apparaissantdans des polices standards.

Ces clauses sont souvent appeles options caches ; en effet, elles se d-crivent laide de la thorie des options, mais pendant longtemps elles ontt ngliges. Ces lments doption, implicites dans de nombreux contrats,sont des engagements des assureurs envers les assurs apparaissant au passif.Chaque convention particulire a donc une valeur et doit tre valorise. Pen-dant longtemps, ces options ont t ngliges ; ceci a particip aux difficultsrencontres par de nombreuses compagnies dans les annes 19901.

Au sujet de la garantie de taux dintrt, il faut savoir que la plupart despolices contiennent une garantie explicite que le compte du preneur dassu-rance sera crdit sur base annuelle avec un taux de rendement qui est aumoins gal un taux garanti fixe, appel taux technique. A lmission descontrats, le taux technique tait typiquement plus faible que les taux dint-rt en vigueur sur les marchs financiers, un fait qui a conduit les compagnies ignorer leur valeur de mme que leur risque.

Le rsultat dune priode dans laquelle les taux de march nont pas cessde dcrotre et dans laquelle les taux techniques sont rests au mme niveaua t une rduction de la rentabilit des compagnies dassurance. Les autori-ts de contrle ont rpondu cette menace de solvabilit due aux garantiesde rendement en diminuant les taux dintrt maximums qui peuvent lga-lement tre garanti aux assurs2.

1Pour une prsentation et une discussion dtaille des problmes rencontrs par lesecteur dassurance vie pendant la priode allant de la fin des annes 1980 jusquauxannes 1990 et des causes de ces vnements, le lecteur peut se rfrer par exemple Briys & de Varenne (1994, 1997a) ou Grosen & Jrgensen (2000, 2002).

2En particulier, larticle 18 de la troisime directive de lUnion Europenne au sujet delassurance vie, qui tait effective le 10 novembre 1992, demande que les garanties de taux

ii

Introduction iii

Les compagnies ont ainsi t forces de diminuer le taux technique sur lesnouveaux contrats. En consquence, les portefeuilles des compagnies dassu-rance vie contiennent plusieurs gnrations de polices avec diffrents tauxgarantis. Ceci soulve la question dviter un traitement inquitable entreles diffrentes classes dassurs surtout en matire dattribution de la parti-cipation aux bnfices.

Lapproche habituelle pour attribuer les participations aux bnfices consiste crditer tous les contrats avec un taux identique, suprieur ou gal au tauxtechnique le plus lev. Cette manire de faire augmente le risque de dfautdun business qui est dj dans de mauvais draps. Clairement, le chemincorrect vers une attribution juste des surplus parmi des classes de policesingales passe par une valorisation de march des diffrentes clauses - unpoint essentiel de ce travail.

Ceci explique les raisons pour lesquelles le sujet de la valorisation justedes passifs dassurance a attir beaucoup dattention dans la littrature aucours des dernires annes. La valorisation de march, appele fair valuedans la littrature anglophone, est comprise au sens dune tarification enlabsence dopportunits darbitrage. Les contrats dassurance vie sont consi-drs comme des produits financiers vendus et achets sur un march finan-cier liquide parmi des investisseurs parfaitement informs. Ce fait est priscomme une hypothse fondamentale dans ces tudes, et cest lhypothse debase que nous faisons dans ce travail. Notez que lide de fair pricing tend sinstaller avec les normes comptables IAS.

Les premiers articles ont t publis par Brennan & Schwartz (1976,1979) et par Boyle & Schwartz (1977). Ces auteurs ont dcrit quelques-uns des lments doptions des produits dassurance vie et ont dmontrcomment la thorie de tarification de Black & Scholes (1973), assez r-cente lpoque, peut tre applique pour valoriser ces contrats. Les contratsconsidrs dans ces articles sont des contrats en units de compte sans risquede crdit et avec des lments doptions de type europen.

Bacinello & Ortu (1993), Grosen & Jrgensen (1997) et Nielsen& Sandmann (1995) reprsentent dautres papiers plus rcents qui analysentdiffrentes formes de contrats en units de compte.

La concentration des articles analysant des polices en units de compteest en contraste svre avec la signification conomique de ces produits dans

dintrt ne dpassent pas 60 % du taux de rendement des dettes gouvernementales (dematurit non spcifie) (Voyez ce sujet Grosen & Jrgensen (2000)).

Introduction iv

le march des assurances sur la vie, dans lequel les polices avec participationbnficiaire sont de loin les plus importantes.

Les polices avec participation offrent ct dun taux de rendement ga-ranti la possibilit de participer dans les rendements suprieurs de la compa-gnie et dobtenir un supplment au paiement garanti. Le problme de dcrireet danalyser le mcanisme de distribution des participations aux bnficesest assez complexe, voyez ce sujet Grosen & Jrgensen (2000), ce quiexplique sans doute pourquoi un nombre aussi petit darticles ont trait decette question.

Toutefois, lintrt sest accru pour dvoiler la structure de ces mca-nismes et pour analyser les polices avec participation, comme le documententMiltersen & Persson (2003),Briys & de Varenne (1994, 1997a),Gro-sen & Jrgensen (2000) et Jensen, Jrgensen & Grosen (2001). Enparticulier, le modle de Briys & de Varenne (1994, 1997a) contient unmcanisme de participation et se distingue en tenant compte explicitementdu risque de crdit de lmetteur dans la valorisation des droits des assurs.

Les tudes les plus rcentes sappuient le plus souvent sur les travauxde Briys & de Varenne (1994, 1997a, 1997b). Elles visent valuerles lments du passif en valeur de march et fixer les paramtres descontrats dassurance vie afin quils soient quitables entre lassureur et las-sur, lquit tant entendue comme absence dopportunit darbitrage.

Briys & de Varenne (1994, 1997a) construisent un modle simplifine tenant pas compte des aspects de la mortalit. Le principe sous-jacent leur modle est lapproche de tarification des options de Merton (1974,1977, 1978, 1989).

Ces auteurs valorisent les actifs et les passifs dune compagnie dassu-rance vie qui ne vendrait quun seul type de contrat. Leur modle a t lundes premiers tenir compte du risque de dfaut de lassureur ; de plus, lasimplicit du mcanisme de distribution des participations bnficiaires per-met de driver des formules exactes dans quelques cas particuliers. Mmesils travaillent en temps continu, leur modle est essentiellement priodeunique puisque le dfaut est uniquement dtect lchance des contrats.Leur cadre de travail donne des formules fermes qui permettent de fixer lesdiffrents paramtres dun contrat quitable.

Miltersen & Persson (2003) proposent une extension multipriodiquefournissant des formules exactes. Bacinello (2001) suggre quant elle quela compagnie ait divers portefeuilles de rfrence plus ou moins risqus afinde fournir plusieurs combinaisons possibles (de taux technique, de niveau

Introduction v

de participation et de volatilit) lassur. Pour valuer les contrats, ellese place dans le cadre de Black et Scholes sous lhypothse dindpendanceentre le risque de mortalit et le risque financier.

Tanskanen & Lukkarinen (2003) considrent des contrats dassu-rance vie avec une forme de participation aux bnfices assez gnrale fonc-tion des valeurs du contrat et du portefeuille de rfrence diffrentes dates.Ils incorporent les clauses suivantes dans leur contrat : un taux dintrt mi-nimum garanti chaque anne, le droit de changer le portefeuille de rfrenceainsi que la possibilit de rsiliation la fin de chaque anne - donnant aucontrat un caractre bermudien. Ils supposent un taux dintrt constant etune volatilit constante.

Comme indiqu ci-dessus, une faiblesse signifiante du modle de Briys& de Varenne (1994, 1997a) est le fait quil dtecte la faillite seulement maturit. Un lment dynamique dinsolvabilit est ainsi perdu. Grosen &Jrgensen (2002) corrigent cette faiblesse en rintroduisant llment dy-namique au modle en imposant une restriction rglementaire qui supposeune surveillance continue de la solvabilit de la compagnie et une rgle defermeture base sur les engagements nominaux impliqus par la garantie detaux dintrt.

Jrgensen (2001) et Grosen & Jrgensen (2002) montrent quuncontrat dassurance vie garantissant un taux de rendement minimum peutse dcomposer en quatre termes : la garantie finale (assimilable un zro-coupon sans risque), loption europenne correspondant la participationaux bnfices lors de bonnes annes, une option de vente traduisant le risquede dfaut et enfin un terme reprsentant le ddommagement vers aux assu-rs en cas de faillite prmature de la compagnie.

Le cot de cet ajout de ralisme dans le modle est une complexit ac-crue des options impliques. Plus prcisment, les droits des stakeholdersvont changer doptions plain vanilla vers des types doptions plus exotiquesayant des caractristiques similaires aux options barrires knock-out. Gro-sen & Jrgensen (2002) montrent quil est possible de driver des formulesexactes sous certaines conditions.

Bernard, Le Courtois & Quittart-Pinon (2005) finalement ontpropos une mthode alternative aux arbres, approches numriques et simu-lations de Monte Carlo. Leur mthode de valorisation repose sur larticle deCollin-Dufresne & Goldstein (2001) qui tend lalgorithme de For-tet (1943) employ par Longstaff & Schwartz (1995) pour approcherla densit du temps de premier passage dun processus lognormal par unevaleur donne.

Introduction vi

Ce travail est consacr la valorisation de contrats dassurance vie dansle cadre de taux dintrt stochastiques et en tenant compte du risque dedfaut de la compagnie. Le modle est une extension des travaux de Briys& de Varenne (1997a) et de Grosen & Jrgensen (2002).

Le modle prsent modlise le bilan dune compagnie dassurance-vie quine vend quun seul type de police dassurance. Les assurs paient une primeunique en change dun contrat caractris par un rendement minimum ga-ranti et par la possibilit dune participation aux bnfices. Par contre, lemodle ne tient pas compte de la possibilit de rachat.

Toutefois, la compagnie dassurance peut faire dfaut ce qui transformele droit obligataire des assurs en obligation risque. Les compagnies dassu-rance sont soumises un suivi strict de leur solvabilit et le modle introduitune barrire de dfaut exponentielle. La prsence de cette barrire introduitalors des caractristiques de barrire knock-out dans loption de participa-tion bnficiaire des assurs puisque la participation sera conditionnelle labsence dinsolvabilit avant lchance des contrats.

Comme rsultat, deux donnes cl caractrisent de telles polices - le tauxdintrt garanti et le niveau de participation. Notre modle nous permet dedterminer le taux dintrt juste ou le niveau de participation juste que lesassurs devraient demander pour les compenser totalement contre les risquesauxquels ils font face.

Les bases techniques dont se servent les assureurs pour dterminer lesprimes des contrats dassurance vie sont au nombre de trois : le taux din-trt technique, une loi de survenance des dcs dcrite par une table demortalit et finalement les divers chargements qui viennent grever la prime.

Les chargements ont pour but de couvrir les frais de la compagnie das-surances ; elle a des frais lis la gestion dun contrat dassurance et sil ya une intervention dun intermdiaire, elle doit lui payer des commissions.Dans le cadre de cette tude-ci, nous ignorons les frais et nous travaillons enprime pure.

La table de mortalit permet dvaluer le cot moyen des contrats sous-crits par une compagnie dassurance. Dans un premier temps, nous ignoronsla mortalit. Le cadre de travail correspond alors celui de Briys & deVarenne (1997a) et de Grosen & Jrgensen (2002). La mortalit seraintroduite partir du chapitre 5.

Les rsultats de ce travail appellent au moins deux applications impor-

Introduction vii

tantes. Dabord, les formules de valorisation peuvent tre utilises dans leprocessus de cration de contrats qui sont initialement justes (dans le senso la valorisation du modle du contrat correspond la prime initiale).

Deuximement, les rsultats peuvent tre appliqus afin de dterminer lafair value des engagements dassurance aprs leur conception dans tout tatpossible de lconomie. Ceci est en ligne avec le dveloppement actuel dansle domaine de la compatibilit socitaire dans lequel les recommandationsvers une comptabilit de march et de fair value deviennent de plus en plusfortes (voyez ce sujet la discussion dans Jrgensen (2004)).

Ce travail est structur de la manire suivante :

Le premier chapitre introduit un modle gnral pour le contrat dassu-rance tout en ignorant la mortalit. Le contrat comporte un taux garantide mme quune clause de participations aux bnfices. Nous introduisons laprobabilit de dfaut de la compagnie travers dune barrire dclenchantesur la valeur des actifs.

Le chapitre 2 fixe ensuite les hypothses lies aux marchs financiers,comme les processus suivis par le taux dintrt sans risque, le prix deszros-coupons et les actifs de la compagnie.

Au chapitre 3, nous dveloppons les formules de valorisation du contrat,avant de prsenter au chapitre 4 quelques rsultats numriques. Nous dter-minons la valeur des contrats dassurance et le niveau quitable de partici-pation aux bnfices. Nous analysons leur sensibilit diffrents paramtres.

A partir du chapitre 5, nous introduisons la mortalit. Ce chapitre rap-pelle quelques notions de mortalit et prsente les deux tables de mortalitdont nous nous servons au chapitre 6 pour tudier limpact de lintroductionde la mortalit. Nous adaptons le modle introduit au premier chapitre afindvaluer une assurance de capital diffre sans remboursement.

Table des matires

Rsum i

Introduction ii

1 Le contrat dassurance de base 11.1 Les acteurs du march dassurance . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Les garanties du contrat dassurance . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Taux technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Clause de participation aux bnfices . . . . . . . . . . 4

1.3 Paiement maturit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Dfaut prcoce de la compagnie . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Le droit des assurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Le droit des actionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Dynamiques des marchs financiers 142.1 Hypothses de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Modlisation du taux sans risque . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Modlisation du prix des zro-coupons . . . . . . . . . . . . . 152.4 Modlisation du cours des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Le monde forward-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Modlisation du taux dintrt sans risque . . . . . . . 172.5.2 Modlisation du prix des zros-coupons . . . . . . . . 182.5.3 Modlisation du cours des actifs . . . . . . . . . . . . . 18

3 Valorisation de lengagement envers les assurs 203.1 Valeur du contrat sous la mesure risque-neutre . . . . . . . . 203.2 Valeur du contrat sous la mesure forward-neutre . . . . . . . 223.3 Contrats quitables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4 Mthode dvaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.1 Mthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.2 Formules fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

viii

TABLE DES MATIRES ix

4 Etude numrique 284.1 Donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.1 Contrats quitables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2 Paramtres et valeur du contrat . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Sensibilit au taux technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.1 Probabilit de dfaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.2 Participation bnficiaire juste . . . . . . . . . . . . . 334.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Sensibilit la volatilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3.1 Probabilit de dfaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3.2 Evaluation du contrat dassurance . . . . . . . . . . . 364.3.3 Participation bnficiaire juste . . . . . . . . . . . . . 384.3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4 Sensibilit au paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.1 Probabilit de dfaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.2 Evaluation du contrat dassurance . . . . . . . . . . . 424.4.3 Participation bnficiaire juste . . . . . . . . . . . . . 444.4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5 Sensibilit au paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.1 Probabilit de dfaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5.2 Evaluation du contrat dassurance . . . . . . . . . . . 484.5.3 Participation bnficiaire juste . . . . . . . . . . . . . 504.5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.6 Sensibilit la dure du contrat dassurance . . . . . . . . . . 514.6.1 Probabilit de dfaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6.2 Evaluation du contrat dassurance . . . . . . . . . . . 534.6.3 Participation bnficiaire juste . . . . . . . . . . . . . 544.6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Notions de mortalit 585.1 Fonctions biomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Tables de mortalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.1 Table statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2 Table prospective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.3 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2.4 Participation de mortalit . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.5 Comparaison entre les deux tables . . . . . . . . . . . 65

6 Capital diffr sans remboursement 676.1 Assurance de CDSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1.1 Evaluation actuarielle classique . . . . . . . . . . . . . 686.1.2 Valeur de march . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1.3 Valorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

TABLE DES MATIRES x

6.1.4 Contrats quitables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 Rsultats numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2.1 Donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.2 Evaluation du CDSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.3 Participation bnficiaire juste . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Conclusions 76

A Cas particuliers 80A.1 Valorisation des engagements de la compagnie sans dfaut pr-

coce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.2 Taux sans risque constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

B Mthode dvaluation de Fortet 87B.1 Principe de lapproximation de Fortet tendue . . . . . . . . . 87B.2 Formules quasi-fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.3 Moments des processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

C Algorithme de simulation en Fortran 95C.1 Fonctions auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95C.2 Algorithme de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

D Tables de mortalit 104D.1 Table statique FR 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104D.2 Table prospective TPRV 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Bibliographie 109

Chapitre 1

Le contrat dassurance de base

Dans ce chapitre, nous introduisons le modle de base qui sera utilispour analyser les diffrents aspects des produits dassurance vie. Ce modlesinspire de celui introduit par Briys & de Varenne (1997a).

Le contrat dassurance prsent dans ce chapitre est un contrat-pargnepurement financier. Lacquisition dune telle police garantit au souscripteurle paiement dun capital rmunr un rendement minimum et lui procuregalement une clause de participation aux bnfices.

Ces contrats sont proposs par des compagnies sujettes au risque de d-faut. Une autorit de contrle des compagnies dassurance est prsente surle march pour vrifier la solvabilit de celles-ci.

Dans un premier temps, nous ignorons la mortalit, qui sera introduite partir du chapitre 5. Cette manire de procder comporte lavantage deprsenter un modle gnral qui sera adapt dans la suite la combinaisondassurance vie tudie.

Nous commenons par dcrire les caractristiques du contrat dassuranceavant de dterminer ce qui se passera dans le cas dune faillite.

1.1 Les acteurs du march dassurance

Larrangement financier que nous allons analyser est initialis linstantt = 0. Nous considrons une compagnie dassurance vie dont lhorizon deprvision stend sur un intervalle de temps fini [0, T ]. Linstant T peut treconsidr comme le temps jusqu maturit dune cohorte de polices das-surance vie mises en t = 0. Nous supposons en outre que la compagnie nevend quun seul type de police dassurance vie.

1

Le contrat dassurance de base 2

Nous nous intressons une compagnie dassurance vie dont la structurede passif fait intervenir deux types dintervenants : les assurs et les action-naires. Le premier type dagents, les assurs, achte une police homogne la compagnie dassurance vie. Les assurs sont tous engags dans le mmetype de contrat venant maturit linstant T . Les actionnaires, le deuximetype, sont des requrants rsiduels fournissant les fonds propres. Par ailleurs,nous supposons que la compagnie dassurance vie ne se finance pas laidede dettes.

Sur le march dassurance, une autorit de contrle est prsente pour v-rifier la solvabilit des compagnies dassurance. En Belgique par exemple, ilexiste la Commission bancaire, f inancire et des assurances (CBFA). Dansle secteur des assurances, la CBFA est responsable entre autre de loctroide lagrment (qui est attribu ou non par Arrt Royal aprs analyse parla CBFA). Elle fait le suivi du respect des conditions dexercice qui inclutun contrle sur la marge de solvabilit des compagnies dassurance. Le siteinternet de la CBFA reprend lensemble des textes lgaux sappliquant auxassurances sur la vie.

A linstant t = 0, les deux (types d) agents investissent une somme dar-gent dans la compagnie. Linvestissement initial apport par les assurs estnot L0, et quivaut au paiement des primes dassurance, et celui des action-naires E0. Ces investissements servent former la base initiale des actifs dela socit, A0, comme illustr par le bilan de la figure 1.1. Le paramtre ( < 1) reprsente la quote-part initiale de participation des primes dans lesactifs de la compagnie. Le portefeuille des actifs est suppos tre totalementinvesti dans des actifs risqus (actions, obligations risques, biens immobi-liers).

Fig. 1.1 Bilan en t = 0

Actifs Passifs

A0 L0 = A0E0 = (1 ) A0

A0 A0

Par leur investissement initial, les agents acquirent un droit sur le paie-ment dun capital avant ou la date de maturit T . La suite va montrer queces droits sont similaires des drivs financiers ayant comme sous-jacents


les actifs de la compagnie dassurance. Ainsi, pour une description prcise descaractristiques des diffrentes clauses, nous pouvons valoriser les lmentsdu bilan sous lhypothse dabsence darbitrage.

Les sections suivantes dcrivent en dtail les droits des deux parties surles actifs de la compagnie. Nous commenons par spcifier les caractris-tiques du contrat dassurance, celles-ci permettront alors de dfinir le fluxdes assurs maturit sous lhypothse que la compagnie na pas t mise enfaillite avant T . Ensuite, nous dfinissons ce qui va se passer en cas de dfaut.

Nous adoptons pour la suite les notations suivantes : lindice L se rap-porte aux assurs (Liabilityholders en anglais) et lindice E aux actionnaires(Equityholders).

1.2 Les garanties du contrat dassurance

Avant dexplorer en dtail les droits acquis par les diffrentes parties,nous prsentons les clauses du contrat dassurance tudi. Celui-ci contient,en plus dun taux de rendement garanti, une clause de participation aux b-nfices.

Sous lhypothse que la compagnie nait pas t mise en faillite avant lamaturit des contrats dassurance, nous pouvons alors dcrire le paiementauquel les assurs ont droit maturit. Ensuite, nous allons fixer ce qui sepassera dans le cas dune faillite.

1.2.1 Taux technique

La compagnie dassurance vie propose des contrats dpargne contenantune garantie explicite de taux de rendement minimum, cest--dire une ga-rantie que les fonds investis vont accumuler au moins un taux fix lavance.Ce taux de rendement garanti est appel taux technique.

Autrement dit, la compagnie promet aux assurs un rendement continuaccumul sur la valeur de march initiale des engagements dau moins r

pendant la vie du contrat. Ainsi en T , date dchance commune des contrats,elle garantit aux assurs une somme finale qui est a priori de

LT = L0 er

T .

Le taux technique est garanti pour toute la dure de vie des contratsdassurance. Il convient alors de ne pas oublier que la promesse dun tauxtechnique est un engagement de la part de lassureur et a donc une valeur. Aucours des dernires annes, o les taux des marchs financiers nont cess de


diminuer, de nombreuses compagnies ont rencontr des problmes causedes anciens contrats contenant des taux techniques trs levs et souventbeaucoup plus levs que les taux actuellement en vigueur sur les marchsfinanciers. Le taux technique doit donc tre fix avec prudence.

Souvent, le taux technique ne peut dpasser un seuil lgal limite. En Bel-gique, ce seuil est fix 3.75% par lArrt Royal du 14 novembre 2003. Surle march belge, nous remarquons actuellement que les assureurs proposentsouvent des taux plus bas, de lordre de 2.25%. Ceci est d au fait que lestaux de rendement des OLO ont fortement diminu au cours des derniresannes et qu prsent, le taux de 3.75% dpasse largement les taux OLO.

Les compagnies dassurance se sont toutefois concertes pour proposertoutes le mme taux technique, un taux technique plus lev reprsentantun avantage commercial. A cause de la pression due la concurrence entrecompagnies dassurances, nous pouvons supposer pour la suite du travailquelles proposent toutes un taux technique identique.

Une observation simpose cependant ici. La promesse de la compagnie nepeut tre honore que si les actifs ont gnr assez de valeur, cest--dire siAT > LT

maturit. Dans le cas contraire, AT LT , et dans la situationo la compagnie na pas t mise en faillite prmaturment par lautorit decontrle, les assurs reoivent AT et les actionnaires ne touchent rien.

1.2.2 Clause de participation aux bnfices

En plus du paiement garanti maturit impliqu par le taux technique,le contrat dassurance comprend une clause de participation aux bnfices :les assurs ont droit un rendement supplmentaire si la valeur de marchdes actifs a volue de manire suffisamment favorable.

Nous considrons ici une participation aux bnfices finale, appele Ter-minal Bonus dans la littrature anglaise, par opposition une participationbnficiaire annuelle ou Reversionary Bonus. La distinction se fait en fonc-tion de linstant dattribution de la participation, la premire ntant donnequau terme du contrat tandis que la deuxime est distribue chaque anne.

Pour le Terminal Bonus, le complment des prestations attribu au termedu contrat est dtermin en fonction du surplus final entre lactif et le passif.Pour le Reversionary Bonus, la dotation de participation est effectue chaqueanne en fonction de la marge dintrt.

Les assurs reoivent ainsi une fraction des revenus financiers nets -si positifs - de la compagnie dassurance vie lorsque la situation financire


de la compagnie est assez favorable, soit quand AT > LT

avec < 1. Cesrevenus nets incluent dividendes, gains de capitaux nets, coupons et loyers. reprsente la partie contractuelle du surplus et est appel taux de partici-pation aux bnfices.

Ainsi, sans dfaut pralable, le capital garanti de LT sera minor en casde mauvais rsultats alors quil sera major en cas de rsultats exceptionnelsde la compagnie. Le taux de participation bnficiaire a parfois une limiteinfrieure due la rglementation. En France, par exemple, il ne peut treinfrieur 85%.

Dans la littrature rcente, il y a eu un dbat intense sur la maniredont on peut modliser de manire raliste cet lment de participation auxbnfices dans des contrats dassurance vie. Ici, nous adoptons lapprochede Briys & de Varenne (1994, 1997a) qui, sous lhypothse que les actifssont affects ds le dpart une classe de contrats, spcifient le payoff deloption bonus comme tant :

T = max[0, [L0A0

(AT A0) (LT L0)]]

= max[0, AT LT

].

= [AT LT

]+. (1.1)

Le montant positif T reprsente le revenu financier des assurs aprs le paie-ment du capital garanti.

En effet, les revenus financiers totaux (ATA0) de la compagnie entre lesinstants 0 et T sont supposs tre attribus aux diffrents contrats de manire ce que seulement une fraction = L0A0 est considre pour la participationbnficiaire des assurs. Aprs que les promesses garanties (LT L0) ont ttenues et dduites des bnfices financiers, les assurs reoivent une fraction de ces revenus financiers nets.

La compagnie commence distribuer des bnfices ds que T est positif,cest--dire ds que AT LT . En dautres termes, puisque LT

= A0 e

rT ,la compagnie commence servir un supplment ds que le taux de rende-ment des actifs dpasse le taux garanti r.

De lquation (1.1), il est clair que les assurs reoivent une fraction du surplus dans les tats finaux tels que la "part" des assurs dans lavaleur totale excde le paiement promis de LT . Le paramtre modliselamplitude dans laquelle les assurs participent dans des payoffs suprieurs.


1.3 Paiement maturit

La modlisation des clauses du contrat dassurance de la section prc-dente permet de dcrire le payoff contractuel L(T ) des assurs maturiten distinguant trois tats du monde.

Dans le premier scnario (le plus mauvais), la compagnie dassurances esttotalement insolvable : la valeur des actifs en T est infrieure au paiementgaranti aux assurs, LT . La compagnie est dclare en faillite et les actifssont distribus aux assurs :

L(T ) = AT si AT < LT . (1.2)

Dans le deuxime scnario, la compagnie est capable de respecter sesengagements garantis mais elle est incapable de servir une participation b-nficiaire, ce qui est quivalent T = 0 :

L(T ) = LT si LT AT < LT

. (1.3)

Dans le troisime scnario, la participation aux bnfices T est positive.Les actifs gnrent assez de valeur pour faire face au paiement garanti et la participation bnficiaire. Dans un tel cas, lengagement en T est gal

L(T ) = LT + T si AT LT

= LT + (AT LT ) si AT LT

= AT + (1 )LT si AT LT

. (1.4)

Si nous reprenons le vocabulaire utilis par Briys & de Varenne(1994), le premier cas correspond un cas dinsolvabilit totale ; le deuximecas est une insolvabilit partielle dans le sens o uniquement les engagementsgarantis sont remplis ; le troisime cas est le meilleur scnario et correspond un scnario de solvabilit totale.

Pour rsumer, le paiement accord aux assurs lchance du contrat,L(T ), se dcrit de la manire suivante en fonction de lvolution des actifsde lentreprise :

L(T ) =

AT si AT < LT

LT si LT AT LT

LT + (AT LT ) si LT < AT

(1.5)

ou de manire plus compacte :

L(T ) = min[AT , LT

]+ T

= [AT LT

]++ LT

[LT

AT]+

. (1.6)


La figure 1.2 est une illustration graphique de lquation (1.6).

AT

L

LT*

LT* L

T*/

Fig. 1.2 Pay-off final des assurs

Les engagements dassurance (1.6) sont constitus de trois composantescomme le montre la figure 1.3.

Le premier terme de lquation (1.6) est li la participation bnficiaireque la compagnie peut payer si les affaires vont bien. Les assurs dtiennentune position longue sur loption bonus.

Fig. 1.3 Paiement maturit des assurs

zro-coupon option de optionsans risque dfaut bonus

position longue position courte positionzro-coupon risqu longue

Le deuxime terme correspond une position longue sur un paiementfixe maturit, gal au capital garanti. Il peut tre assimil au payoff dunzro-coupon sans risque (de dfaut). Le terme restant est une position courtesur une option de vente, refltant le risque de dfaut. En particulier, ces deuxtermes sont collectivement quivalents au payoff dune obligation risque.

La relation (1.6) dfinit le payoff maturit relatif au contrat des as-surs. Si lchance du contrat est le seul instant de flux possible, les tech-niques standards pour les produits drivs de type europen peuvent treappliques pour la valorisation. En effet, ces payoffs partagent les mmescaractristiques que les options europennes usuelles.


1.4 Dfaut prcoce de la compagnie

Jusquici, nous avons suppos que la compagnie dassurance na pas tmise en faillite avant linstant T . Pour ajouter du ralisme au modle, nousintroduisons prsent une restriction rglementaire de solvabilit. Celle-ciest fixe de manire exogne et impose par lautorit de contrle. Une tellelimite a t propose la premire fois par Grosen & Jrgensen (2002).Nous suivons ici leur approche.

Comme annonc ci-dessus, nous supposons quune autorit de contrleest prsente sur le march de lassurance. Celle-ci suit, entre autres, la margede solvabilit requise par les compagnies pour quelles puissent proposer descontrats dassurance sur la vie. Nous supposons quune compagnie dassu-rance est solvable aussi longtemps que la valeur des actifs est suprieure une certaine limite impose par lautorit de contrle. Cette limite est fonc-tion des garanties de capital.

Techniquement, supposons que dans le cadre ci-dessus, la compagniepeut uniquement continuer son activit jusqu chance des contrats sousla condition :

At > L0 ert Bt, t [0, T [ , (1.7)

o la courbe {Bt} 0t


A ce point, il est intressant de distinguer deux cas. En effet, en fonctionde la valeur de , les cas de figure qui peuvent se prsenter sont diffrents.

Rglementation stricte : 1Pour 1 et dans le cas dune atteinte de la barrire, les curateurs sont

capables de rembourser aux assurs leur investissement initial augment desintrts au taux promis r jusqu la date de liquidation.

En mme temps, il y aura un surplus de

( 1)L0 er

quil faudra redistribuer aux actionnaires. Une alternative et une hypothsetrs raisonnable serait que le surplus servira payer les frais de faillite etirait dans ce cas des parties tierces comme lautorit de contrle et/ou lesavocats. Mme si intressante, cette possibilit nest pas approfondie dans lecadre de cette tude.

Ainsi, 1 correspond une situation dans laquelle lautorit decontrle prvient le dfaut en permettant les affaires uniquement pour descompagnies qui ont une marge dune certaine amplitude entre la valeur mar-ch de leurs actifs et les obligations nominales envers les assurs. La situation 1 est donc trs confortable pour les assurs et les autorits. Thorique-ment elle correspond une absence de prise de risques.

Fig. 1.4 Illustration de la barrire rglementaire pour 1 = 1.1, T = 10 et = 0.75

0 2 4 6 8 10

80

90

100

110

120

130

140

temps

Valeu

r

Fermeture prmature

L(t)B(t)Actifs, simulation 1 Actifs, simulation 2

La figure 1.4 montre un exemple dune telle situation : la premire simu-lation des actifs ne donne pas lieu des problmes de solvabilit et maturit


la compagnie peut remplir ses engagements sans problme quelconque. Ladeuxime simulation par contre donne lieu une fermeture force aprs en-virons sept ans et demi.

Rglementation moins stricte : < 1

< 1 correspond par contre une situation dans laquelle lautorit decontrle admet des dficits temporaires et limits. Si un dfaut intervientdans cette situation, les actifs rcuprs ne vont pas suffire pour couvrir laprime initiale des assurs rmunre au taux garanti jusqu linstant . Encas de dfaut, la compagnie ne sera donc pas en mesure de respecter int-gralement ses engagements vis--vis des assurs.

Cette situation peut tre vue comme correspondant un certain laxismede la part de la rglementation. Nous supposons que les assurs vont alors re-cevoir la valeur march rcupre en entier et que les actionnaires ne touchentrien.

Fig. 1.5 Illustration de la limite pour < 1 = 0.75, T = 10 et = 0.75

0 2 4 6 8 10

60

80

100

120

140

temps

Valeu

r

Fermeture prmature

L(t)B(t)Actifs, simulation 3 Actifs, simulation 4

Ce cas de figure est illustr par la figure 1.5 : la premire volution desactifs permet la compagnie de remplir ses engagements garantis, tandis quele deuxime cas entrane la mise en faillite par lautorit de contrle.


Paiement en cas de dfaut avant la maturit des contrats

Comme dcrit auparavant, il y aura un ddommagement aux assurs,dfini par (1.8), dans le cas dune fermeture prmature linstant . For-mellement pour < T , et en accordance avec la discussion ci-dessus, ce flux,L(), est donn par :

L() ={

L0 er si 1

L0 er si < 1

ou encore :

L() = min[, 1] L0 er

= min[, 1] L . (1.9)

A prsent, nous disposons de tous les lments ncessaires pour dcrirelengagement de la compagnie envers les assurs.

1.5 Le droit des assurs

Pour rappel, le paiement accord aux assurs lchance du contrat,L(T ), se dcrit de la manire suivante en fonction de lvolution des actifsde lentreprise :

L(T ) = [AT LT

]++ LT

[LT

AT]+

. (1.10)

En plus, dans le cas dune faillite de la compagnie dassurances, les assursont droit au remboursement suivant :

L() = min[, 1] L . (1.11)

En imposant la restriction rglementaire de solvabilit, le modle devientconsidrablement plus compliqu. En particulier, les droits des assurs ontchang doptions plain vanilla en des options de type plus exotique avecdes caractristiques communes avec les options barrires knock-out. Dans lecadre propos, la barrire knock-out est exponentielle et dfinie par la courbe{Bt} 0t


1.6 Le droit des actionnaires

Le paiement aux actionnaires est implicite dans les discussions des sec-tions prcdentes. Dailleurs, nous donnons ces formules uniquement titredinformation, puisque notre but est de valoriser lengagement de lassureurenvers les assurs.

En tant que possesseurs dun droit rsiduel et sous rserve que la compa-gnie nait pas cess son activit prmaturment, les actionnaires vont recevoirun paiement maturit donn par :

E(T ) =

0 si AT < LT

AT LT si LT AT LT AT LT (AT LT ) si LT < AT

=

0 si AT < LT

AT LT si LT AT LT (1 )(AT LT ) + (1 )AT si LT < AT

ou encore

E(T ) =[AT LT

]+ [AT LT ]+=

[AT LT

]+ [AT LT

]+. (1.12)

La figure 1.6 illustre la position des flux des actionnaires linstant T .

AT

E

LT* L

T*/

Fig. 1.6 Pay-off final des actionnaires

Le paiement maturit des actionnaires est la diffrence entre deux op-tions dachat europennes. Loption longue est un call sur les actifs totauxavec un prix dexercice gal au paiement maturit promis aux assurs.Si = 0, ce terme est loption call dengagement limit (voir Black &


Scholes (1973) et Merton (1973)). Les actionnaires ont loption de senaller si les affaires ne vont pas bien.

Le second call est en position courte. Il a un poids donn par le taux departicipation aux bnfices et correspond loption bonus mise lgarddes assurs. En effet, les actionnaires ont crit une option dachat aux assursen introduisant une clause contractuelle de participation aux bnfices basesur la valeur des actifs.

En ce qui concerne une indemnisation possible dans le cas dune ferme-ture force avant T , la section 1.4 a tabli quil ne pourrait y avoir un telpaiement dans un rgime o < 1. Toutefois, dans le cas o 1, il ya une marge de surplus en cas de dfaut et ceci ouvre la possibilit dunremboursement prmatur aux actionnaires.

Dans cette tude, nous ne considrons pas lalternative selon laquelle lesurplus serait distribu des parties tierces, nous supposons au contrairequil est pay intgralement aux actionnaires. Dans le cas dune fermetureprmature, les actionnaires ont droit au remboursement suivant :

E() ={

( 1)L0 er si 10 si < 1

= max[ 1, 0]L0 er= max[ 1, 0]L (1.13)

La valorisation de lengagement envers les assurs est essentielle. Uneanalyse plus profonde de cette question demande des hypothses supplmen-taires et en particulier un modle dynamique des marchs financiers. Nousabordons cette problmatique dans le chapitre suivant.

Chapitre 2

Dynamiques des marchsfinanciers

Afin de valoriser lengagement de la compagnie dassurance envers lesassurs, nous avons besoin dhypothses supplmentaires, notamment en cequi concerne les marchs financiers. Lobjet de ce chapitre est lintroductiondun modle dynamique de march financier.

Pour notre tude, nous avons besoin de connatre les dynamiques duprocessus des actifs de la compagnie dassurance vie, At, de mme que lesdynamiques dun zro-coupon sans risque expirant linstant T . Dans lessections suivantes, nous allons prciser ces processus.

2.1 Hypothses de base

Dans ce chapitre, nous allons spcifier un modle dynamique pour lvo-lution des actifs et des taux dintrt dans le temps. Toute lactivit a lieusur un espace de probabilit filtr (,=, (=t),P) supportant un mouvementbrownien sur lintervalle de temps fini [0, T ].

Nous supposons que les agents oprent dans une conomie en tempscontinu et sans frictions avec un march financier parfait, de manire ceque lon puisse ignorer les effets des taxes, les cots de transaction ainsi queles contraintes de divisibilit, de liquidit et de vente dcouvert.

Les marchs financiers sont supposs complets et sans frictions et les af-faires ont lieu en temps continu. Sous cette hypothse, Harrison & Kreps(1979) ont montr quil existe une unique mesure de probabilit Q, la pro-babilit risque-neutre, sous laquelle le prix escompt en continu de tout titreest une Q-martingale.

14

Dynamiques des marchs financiers 15

2.2 Modlisation du taux sans risque

Pour modliser lincertitude dans la structure terme des taux din-trt, les taux courts sans risque sont supposs distribus normalement. Ilssuivent un processus de retour la moyenne dOrnstein-Uhlenbeck1, propos lorigine comme fondement dun modle de structure terme par Vasicek(1977).

Sous la probabilit risque-neutre Q, la dynamique du taux dintrt sansrisque linstant t, rt, est donne par lquation diffrentielle stochastique

drt = a ( rt) dt+ dZQ1 (t), (2.1)

o a et sont des paramtres positifs et constants, le premier reprsentantla force de rappel du processus, le deuxime le taux dquilibre ; reprsentela volatilit de rt et ZQ1 est un mouvement brownien standard sous Q.

Si r0 dsigne le taux dintrt sans risque initial, la solution de lquation(2.1) scrit :

rt = r0 eat + (1 eat

)+ eat

t0eas dZQ1 (s) .

2.3 Modlisation du prix des zro-coupons

Le prix des zro-coupon est galement donn par le modle de Vasicek(1977). Notons P (t, T ) le prix linstant t dun zro-coupon expirant en T .Il est fonction du taux sans risque prcis dans la section prcdente.

Sous la probabilit Q, le zro-coupon venant expiration la date T ,P (t, T ), suit lquation diffrentielle stochastique suivante :

dP (t, T )P (t, T )

= rt dt P (t, T ) dZQ1 (t).

Dans le modle de Vasicek (1977), la volatilit du zro-coupon, P , estune fonction dterministe qui scrit :

P (t, T ) =

a

(1 ea(Tt)

). (2.2)

1Le seul dfaut de ce modle est le fait que des taux ngatifs ne sont pas interdits dansun environnement gaussien. On peut toutefois noter que pour des valeurs raisonnables desparamtres, cet vnement a une faible probabilit doccurrence.


Le prix dun zro-coupon en t de maturit T est ainsi donn par :

P (t, T ) = exp

(1a

(1 ea(Tt)

)(

2

a2 rt

)+ (T t)

( 22a2

)

+2

4a3(1 e2a(Tt)

)). (2.3)

2.4 Modlisation du cours des actifs

Le cours des actifs est suppos suivre un mouvement brownien gom-trique sous la probabilit risque-neutre. Le processus de la valeur des actifsest dcrit par lquation diffrentielle stochastique :

dAtAt

= rt dt+ dZQ(t) (2.4)

o ZQ est un mouvement brownien standard corrl au mouvement brownienZQ1 (li au processus du taux dintrt). Leur coefficient de corrlation estdonn par :

dZQ dZQ1 = dt .

La valeur du portefeuille des investissements de la compagnie est mod-lise par (2.4) comme tant soumise un risque de march spcifique ainsiquau risque de taux dintrt travers la corrlation entre les deux proces-sus de Wiener gouvernant ce systme.

Construisons prsent un mouvement brownien ZQ2 indpendant de ZQ1 ,

cest--dire tel que dZQ1 dZQ2 = 0. Nous pouvons dcomposer le mouvement

brownien ZQ selon ces deux composantes

dZQ(t) = dZQ1 (t) +1 2 dZQ2 (t).

De cette manire, nous avons dcorrl le risque li au taux dintrt desautres alas. La dynamique des actifs (2.4) scrit alors :

dAtAt

= rt dt+ dZQ1 (t) + 1 2 dZQ2 (t) . (2.5)


2.5 Le monde forward-neutre

Quand nous nous intresserons dans la suite la valorisation des enga-gements de la compagnie envers les assurs, nous aurons galement besoinde connatre les dynamiques ci-dessus sous la mesure forward-neutre.

En effet, la manire la plus efficace de tarifer des options dans un en-vironnement de taux dintrt stochastiques est dutiliser le changement denumraire technique et de choisir un zro-coupon ad hoc comme nouveaunumraire.

Dsignons par QT la mesure forward-neutre. Elle est dfinie de manirehabituelle par la drive de Radon-Nikodym :

dQTdQ = exp

( T0

P (s, T ) dZQ1 (s)12

T0

P2(s, T ) ds

).

A partir du thorme de Girsanov, le processus ZQT1 dfini par

dZQT1 = dZQ1 + P (t, T ) dt

est un mouvement brownien sous QT .

2.5.1 Modlisation du taux dintrt sans risque

La dynamique du taux dintrt instantan sous la probabilit QT peutsexprimer par :

drt = a(t rt) dt+ dZQT1 (t) (2.6)

avec

t = 2

a2(1 ea(Tt)) .

Sous la nouvelle mesure, le taux sans risque suit toujours un processusdOrnstein-Uhlenbeck.

La solution de cette quation diffrentielle stochastique est donne par leprocessus

rt = r0 eat +(

2

a2

)(1 eat

)+

2

2a2ea(Tt)

(1 e2at

)+ eat

t0eas dZQT1 (s) .

Il est donc possible de dterminer ses deux moments conditionnels parrapport la tribu = engendre par r. Dsignons par EQTu lesprance et par


VarQTu la variance sous la mesure risque-neutre QT conditionnellement lin-formation disponible linstant u. Dans la suite, nous omettons lindice u sicelui-ci vaut 0.

Il vient ainsi :

EQTu (rt) = EQT (rt |=u)= ru ea(tu) +

(

2

a2

)(1 ea(tu)

)+

2

2a2ea(Tt)

(1 e2a(tu)

)et

VarQTu (rt) = VarQT (rt |=u)= 2 e2at

t0e2as ds

=2

2a

(1 e2a(tu)

).

2.5.2 Modlisation du prix des zros-coupons

La dynamique sous QT de P (t, T ) est donne par :dP (t, T )P (t, T )

=(rt + P 2(t, T )

)dt P (t, T ) dZQT1 (t).

2.5.3 Modlisation du cours des actifs

Comme prcdemment, nous construisons un processus ZQT2 de telle ma-nire que ZQT1 et Z

QT2 soient des mouvements browniens standard non cor-

rls sous la mesure QT .

La dynamique sous QT de At scrit alors :dAtAt

=(rt P (t, T )

)dt+

( dZQT1 (t) +

1 2 dZQT2 (t)

). (2.7)

Aprs intgration, il vient

At =A0

P (0, t)exp

[ t0

(P (u, t) +

)dZQT1 (u) +

t01 2 dZQT2 (u)

+ t0

( P (u, T )

[P (u, t) +

]+P

2(u, t) 22

)du

].


Introduction dun processus driv de At

Dans la suite, nous nallons pas considrer le processus des actifs maisplutt le processus lognormal t dfini par :

t = At ert.

Nous aurons besoin de connatre les moments de t. Pour les dterminer,nous introduisons le processus

lt = ln(t) = ln(At) r t.

En appliquant le lemme dIt lquation (2.7), nous pouvons montrerque le processus lt suit sous QT lquation diffrentielle stochastique sui-vante :

dlt =(rt r

2

2 P (t, T )

)dt+ dZ1QT +

1 2 dZ2QT . (2.8)

Pour t fix, lt est une variable normale dcrite par ses deux premiers mo-mentsMt = EQT (lt) et Vt = VarQT (lt) qui sobtiennent partir de lquation(2.8) :

Mt = ln(

A0P (0, t)

)+ t0

(P (u, T )

[P (u, t)+

]+P

2(u, t) 22

r)du

et

Vt = t0

(2 + P 2(u, t) + 2P (u, t)

)du.

Prcisons les expressions des moments de lt pour une structure de vola-tilit exponentielle :

Mt = ln( A0P (0, t)

) t( 22a2

+

a+2

2+ r

)+

2

4a3(1 e2at

)+(2a3

+

a2

)eaT

(eat 1

)+

2

2a3ea(T+t)

(1 e2at

)(2.9)

et

Vt = t(2a2

+ 2 +2 a

) 2(1 eat

)(2a3

+

a

)+

2

2a3(1 e2at

).

(2.10)

Chapitre 3

Valorisation de lengagementenvers les assurs

Les caractristiques du contrat dassurances prsentes au chapitre 1 etles processus introduits au chapitre prcdent sont tous les lments nces-saires pour envisager la valorisation du contrat dassurance.

Le but de ce chapitre est la valorisation de lengagement de la compagniedassurance lgard des assurs donn par les formules (1.10) et (1.11).La valorisation des droits des actionnaires donns par les quations (1.12)et (1.13) peut se faire de manire similaire. Cependant, comme annonc ci-dessus, nous nous intressons la tarification de lengagement de lassureurenvers les assurs.

Nous commenons par donner les formules gnrales pour valoriser lecontrat des assurs. Pour ceci, nous suivons les approches de Grosen &Jrgensen (2002) et de Bernard, Le Courtois & Quittart-Pinon(2005). Ensuite, nous prcisons la mthode de valorisation.

3.1 Valeur du contrat sous la mesure risque-neutre

Nous nous plaons dans lunivers risque-neutre pour prendre avantage dela tarification martingale. Dans cette thorie, labsence darbitrage impliqueque sous la mesure de probabilit Q, tous les processus de valeur escomptssont des martingales.

En consquence, si nous dsignons par VL(t) la valeur en t (t < ) desflux des assurs, nous pouvons crire :

VL(t) = EQt[e Tt rs ds L(T ) 1{T} + e

t rs ds L() 1{

Valorisation de lengagement envers les assurs 21

o EQt dsigne lesprance sous la mesure risque-neutreQ conditionnellement linformation disponible en t et 1A la fonction indicatrice de lensemble A.

Remarquez que le premier terme du ct droit de lquation (3.1) re-prsente la valeur en t du paiement ventuel maturit et lesprance estconditionnelle au fait quil ny a pas eu de fermeture force prcdemmentvia la fonction indicatrice. Le second terme reprsente la valeur en t du rem-boursement ventuel en cas de faillite avant linstant T .

En fonction des paiements dfinis en (1.10) et (1.11), cette formule de-vient :

VL(t) = EQt[e Tt rs ds

(LT

+ [AT LT

]+ [LT AT ]+)1{T}+ e

t rs ds min[, 1]L 1{


3.2 Valeur du contrat sous la mesure forward-neutre

Nous souhaitons valuer le contrat dassurance vie dcrit ci-dessus. Pourcela, il faut dterminer la valeur des quatre sous-contrats donns par lesquations en (3.4). Pour simplifier les notations, nous nous concentrons ds prsent sur le cas t = 0.

Nous changeons dunivers de probabilit et passons dans le monde forward-neutre. Le fait que les prix relatifs sont des martingales sous la mesure mar-tingale quivalente forward-neutre permet de rcrire la formule (3.2) commesuit :

VL(0) = P (0, T ) EQT[(LT

+ [AT LT ]+ [LT AT ]+)1{T}

+ e T rs ds min[, 1]L 1{

LT

]E4 = QT

[AT < LT

; < T]

E9 = QT[AT < LT

]

E5 = EQT[AT 1{AT


Dcrivons encore deux cas particuliers prsents dans lannexe A. Lepremier cas particulier reprend lapproche de Briys & de Varenne (1994,1997a). Ces auteurs ne tiennent pas compte dune faillite ventuelle qui auraitlieu avant la maturit des contrats. Le contrat est alors gal une combi-naison doptions europennes classiques ; il est donc possible de travailler laide de formules fermes.

La section A.2 rappelle ensuite les rsultats de Grosen & Jrgensen(2002). Ces auteurs tiennent compte dune faillite probable avant linstantT et obtiennent des formules fermes dans le cadre dun taux dintrt sansrisque constant.

Avant daborder le calcul de chacune de ces formules, voyons la manirede dterminer des contrats quitables. Un contrat sera dit quitable sil at initi avec un partage juste de valeur entre assurs et actionnaires : uncontrat est quitable si linvestissement initial est gal la valeur initiale ducontrat souscrit.

3.3 Contrats quitables

Les assurs bnficient dun taux dintrt garanti et dune quote-partde la performance du portefeuille dactifs de la compagnie. Au total, deuxdonnes cl caractrisent la police dassurance : le taux dintrt garanti etle niveau de participation.

Le modle permet de dterminer le taux dintrt garanti quitable ou leniveau de participation quitable que les assurs devraient demander pourles compenser entirement des risques auxquels ils font face. En dautrestermes, le modle cherche dterminer le prix juste des passifs dassurancetant donn la structure actuelle du bilan de la compagnie.

Le taux garanti r est en gnral infrieur au taux march dun actifsans risque de mme maturit que la police. Comme lexpliquent Briys &de Varenne (1997a), le coefficient de participation peut tre vu commecompensation pour la diffrence entre ces deux taux et comme incorporantla prime de risque requise par les assurs dtenant des polices dassurancevie risques.

Les assurs doivent faire face au risque que les actifs ne performent pascomme prvu initialement. Les actionnaires peuvent sen aller si les affairesne vont pas bien. Les assurs touchent alors la part des actifs qui reste. Enconsquence, les assurs demandent une prime de risque pour les compenserdu risque quils supportent.


Les assurs disposent de deux manires de compensation. La premirepossibilit est que, pour un niveau de participation donn, ils demandentun taux garanti r de manire obtenir un taux de rendement quitable surleur pargne. La seconde manire est que, pour un taux r donn, ils peuventsassurer que le niveau de participation est tel que la police dassuranceoffre un taux de rendement quitable ex ante.

Nous cherchons ainsi dterminer la participation aux bnfices et letaux garanti permettant de rendre le contrat dassurance vie quitable entreles stakeholders. Un contrat est dit quitable, ou juste, sil a t initi avecun partage de valeur juste entre assurs et actionnaires.

Autrement dit, un contrat est quitable si linvestissement initial des as-surs L0 = A0 est gal la valeur totale des contrats souscrits. La conditiondquilibre sur r et est donc donne par :

L0 = VL(0) . (3.8)

Il existe une infinit de couples (r, ) permettant dobtenir un contratjuste entre les deux parties. Ces paramtres dpendent de la politique din-vestissement de la compagnie, cest--dire de la volatilit de ses actifs etde la barrire de surveillance impose par lautorit de contrle.

Cependant, tous les contrats ne sont pas acceptables. Les valeurs qui-tables de doivent obligatoirement tre comprises entre 0 et 1. De plus,le taux technique et la participation bnficiaire sont souvent soumis descontraintes lgales.

Lquation (3.8) donne soit le taux garanti r, soit le niveau de partici-pation comme variable dquilibre. Si est donn, le taux garanti doit tredtermin pour satisfaire la relation (3.8). Si r est donn, lquation (3.8)donne la valeur dquilibre du niveau de participation. Remarquez que si r

ne peut tre dtermin de manire explicite, il est possible de driver uneexpression analytique pour le taux de participation .

Si nous souhaitons calculer la participation aux bnfices rendant lecontrat quitable (pour un taux technique donn), nous pouvons nous ra-mener au calcul de

=L0

P (0,T ) TG+ PO LR(E7 E2) LT (E8 E3) . (3.9)

Le cas du calcul du taux garanti rendant le contrat quitable ( parti-cipation aux bnfices donne) est plus dlicat. Il faut avoir recours un


algorithme de recherche de racine sur la condition que la valeur initiale ducontrat est bien gale L0.

3.4 Mthode dvaluation

Pour valoriser le contrat dassurance, nous avons besoin de dterminerchacune des probabilits et des esprances dans (3.6). Nous avons donc be-soin de connatre la loi de linstant de dfaut - le premier temps de passagedu processus lognormal des actifs At par la barrire exponentielle donne en(1.8). Pour ceci, nous procdons par simulation.

Nous terminons ce chapitre en donnant les formules fermes permettantlvaluation des esprances de (3.7) qui ne font pas intervenir linstant dedfaut .

3.4.1 Mthode de Monte-Carlo

Pour simuler le processus des actifs, nous utilisons une mthode classique,dcrite dans Jckel 2002. Elle consiste simuler le processus en utilisantla dcomposition de Cholesky de la matrice de covariance de celui-ci.

Notons V une trajectoire vectorialise de taille n, chaque composantesuit une loi normale. Dsignons encore par C la matrice de covariance de V .Pour simuler V , il suffit alors de simuler un vecteur V de n lois normalesindpendantes, puis de dterminer une matrice A telle que AAT = C. Levecteur A V convient alors pour simuler V .

Nous souhaitons simuler le processus t = er tAt qui est dcrit laide

de lexpression suivante :

t =A0

P (0, t)exp

[ t0

(P (u, t) +

)dZQT1 (u) +

t01 2 dZQT2 (u)

+ t0

( P (u, T )

[P (u, t) +

]+P

2(u, t) 22

r)du

].

Nous pouvons rcrire cette expression en dcomposant le processus lintrieur de lexponentielle en un terme dterministe et en un terme ala-toire. Si nous dsignons par Ut le terme dterministe et par Vt le termealatoire, nous avons :

t =A0

P (0, t)exp

(Ut + Vt

)


avec

Ut = t0

( P (u, T )

[P (u, t) +

]+P

2(u, t) 22

r)du

],

Vt = t0

(P (u, t) +

)dZQT1 (u) +

t01 2 dZQT2 (u).

Pour appliquer la mthode dcrite ci-dessus, nous discrtisons lintervalle[0, T ] en n sous-intervalles [ti, ti+1] pour i = 0, ..., n 1. Nous souhaitonsalors simuler (ti)0in. La seule difficult consiste simuler Vti , variablesgaussiennes non indpendantes. La matrice de covariance est donne par :

Ci,j = Cov(Vti , Vtj )

= min(ti,tj)0

(P (u, ti) +

)(P (u, tj) +

)du

+ min(ti,tj)0

2 (1 2) du

En appliquant la mthode dcrite ci-dessus, nous obtenons une simula-tion de la trajectoire du processus t.

Lors de lvaluation du contrat, nous sommes confronts au franchisse-ment dune barrire par un processus discrtis. Ce problme est rencontrclassiquement lors de lvaluation par Monte-Carlo doptions barrires. Laprobabilit que le processus touche la barrire entre deux instants successifsnest pas ngligeable et introduit un biais de discrtisation. Il faut ainsi dis-crtiser assez finement pour obtenir un rsultat numrique prcis.

Dans le cadre de ce travail, nous travaillons avec cinq millions de simula-tions en discrtisant le temps en semaines, ce biais de discrtisation est alorsngligeable. Lalgorithme de simulation a t crit en langage Fortran et estdonn dans lannexe C.

Les auteurs Bernard (2005) et Bernard, Le Courtois & Quittart-Pinon (2005) prsentent une alternative aux simulations de Monte-Carlo.Leur mthode se base sur lapproximation de Fortet (1943). Elle consiste approximer la loi du temps de premier passage . Lannexe B reprend unedescription de cette mthodologie.


3.4.2 Formules fermes

Il est possible dvaluer les esprances de 3.7 qui ne font pas intervenirlinstant laide de formules fermes. Nous reprenons ici les notations deBernard, Le Courtois & Quittart-Pinon (2005).

Le processus T suit une loi lognormale de moments MT et VT (donnspar les formules (2.9) et (2.10)). Notons N la fonction de rpartition de laloi normale rduite.

Nous introduisons les deux fonctions suivantes pour une variable alatoireX de loi N (m,2) :

1(m;; a) = E(eX 1{eX>a}

)= exp

(m+

2

2

)N(m+ 2 ln(a)

),

2(m;; a) = E(eX 1{eX

Chapitre 4

Etude numrique

Lenjeu de ce chapitre est lvaluation numrique du contrat dassurancevie prsent ci-avant. Comme nous lavons remarqu prcdemment, deuxparamtres-cls sont en jeu : le taux technique r et le coefficient de partici-pation .

Avant de prsenter les rsultats numriques proprement dits, nous fixonsles paramtres qui interviennent dans ltude, tant au niveau des marchsfinanciers quau niveau de la compagnie et du contrat dassurances.

Ensuite, nous passons lvaluation du contrat dassurance. Nous analy-sons linfluence de diffrents paramtres sur la probabilit de dfaut, sur lavaleur du contrat ainsi que le taux de participations requis pour donner lieu des contrats quitables.

4.1 Donnes

Fixons dabord lenvironnement conomique de notre tude. Pour le pro-cessus du taux dintrt sans risque, quatre paramtres doivent tre fixs, savoir la force de rappel, le taux dquilibre long terme, la volatilit et savaleur initiale. Pour les trois premiers paramtres, nous prenons les valeursobtenues par Charlier & Kleynen (2003) sur base des marchs franaiset allemands, savoir

a = 0.463 , = 0.0562 et = 0.0067 .

Nous supposons que le taux sans risque est de 2.91% linstant t = 0.

En ce qui concerne le volet de lassurance proprement dit, nous admettonsque la part initiale des primes dans les actifs de la compagnie, , est de 80%.La valeur initiale des actifs est de 100 et leur volatilit de 10.25%. Nous

28

Etude numrique 29

Fig. 4.1 Donnes relatives aux marchs financiers

a r00.463 0.0562 0.0067 2.91%

supposons en outre que les contrats sont souscrits pour une dure de dix ans.

Le niveau de la barrire rglementaire , impos par lautorit de contrle,est fix 75%. Nous supposons par ailleurs que le taux technique maximumautoris par la lgislation, rmax, est de 2.5%.

Fig. 4.2 Donnes relatives au march de lassurance

A0 T rmax

80% 100 10.25% 10 0.75 2.5%

Il reste dterminer le taux technique et le taux de participation auxbnfices. Nous voulons les fixer de manire rendre les contrats quitables.Ceci est lobjet du point suivant.

4.1.1 Contrats quitables

Les paramtres r et ne peuvent pas tre fixs de manire indpendante.Le taux technique ne doit tre ni trop haut (risque de faillite trop importanten cas de baisse des taux), ni trop bas (contrat en dfaveur de lassur). Parailleurs, il ne peut dpasser un seuil lgal limite.

Quant la participation aux bnfices, elle est calcule de manire garantir lquit des contrats vendus aux assurs. Ainsi, est dautant plusgrand que le taux garanti est faible.

Niveau du taux de la participation bnficiaire

Le seuil lgal maximum, rmax, est bien adapt dans le sens o il nestpas trop lev par rapport aux taux dintrt en vigueur sur les marchs fi-nanciers. Nous supposons donc que la compagnie propose un taux techniquegal rmax.

La figure 4.3 reprsente la valeur du contrat dassurance en fonction dutaux de participation aux bnfices . Elle est ralise avec un taux technique

Etude numrique 30

de 2.5%.

Pour un taux technique donn, la valeur du contrat est dautant plusgrande que le taux de participation aux bnfices est important. En effet, untaux de participation aux bnfices plus lev est lavantage des assurs, lecontrat a donc une valeur plus importante.

0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

78

79

80

81

82

delta

Valeu

r

delta = 89.94 %

VL(0)L(0) (gal 80)

Fig. 4.3 Valeur du contrat en fonction du taux de participation = 80%, A0 = 100, = 10.25%, T = 10, = 0.75, r = 2.5%

Nous recherchons le taux de participation bnficiaire qui rend le contratquitable. Linvestissement initial des assurs est donn par L0 = A0, dansnotre exemple L0 vaut 80. Il faut ainsi trouver la valeur de qui donne lieu un contrat de valeur 80. Notons quune seule valeur de correspond uncontrat quitable, ie. donnant lieu une valeur initiale gale L0 = 80.

Pour un taux technique r de 2.5%, le taux de participation aux bnficesrequis est ainsi de 89.94%. Rappelons quil peut tre dtermin partir dela formule (3.9). Nous voyons galement que VL(0) est une fonction linaireen comme lindique la relation (3.9).

Niveau du taux technique

La figure 4.4 reprsente la valeur du contrat en fonction du taux garanti.Elle est ralise avec un taux de participation aux bnfices gal 89.94%.

Pour donn, la valeur du contrat est dautant plus grande que le tauxtechnique est plus lev. De la mme manire que pour le taux de participa-tion aux bnfices, un taux technique plus lev reprsente un avantage pourles assurs et par consquent le contrat gagne en valeur.

La figure 4.4 montre quune seule valeur de r permet dobtenir un contratquitable. Rappelons quil nest pas possible de trouver une formule directe

Etude numrique 31

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

78

80

82

84

r*

Valeu

r

r* = 2.5 %

VL(0)L(0) (gal 80)

Fig. 4.4 Valeur du contrat en fonction du taux technique = 80%, A0 = 100, = 10.25%, T = 10, = 0.75, = 89.94%

pour dterminer le niveau dquilibre de r, mais quil faut avoir recours un algorithme de recherche de racine. Graphiquement nous voyons que, pourdonner lieu un contrat juste, r doit tre gal 2.5% si vaut 89.94 %.

4.1.2 Paramtres et valeur du contrat

Le point prcdent nous permet de fixer les derniers paramtres nces-saires pour ltude, savoir r et . Ils sont choisis de manire obtenir descontrats quitables. Le tableau 4.5 donne lensemble des valeurs des para-mtres entrant en jeu. Certains sont susceptibles de changer par la suite, enparticulier la volatilit , les paramtres et ou la dure du contrat T .

Fig. 4.5 Donnes

a r0 A00.463 0.0562 0.0067 2.91% 80% 100

T r 10.25% 10 0,75 2.5% 89.94%

A laide des paramtres du tableau 4.5, nous pouvons dterminer les va-leurs pour les diffrentes esprances Ei de (3.7). Celles-ci permettent alorsde valoriser les quatre sous-contrats et le contrat dassurance. Ces valeurssont donnes au tableau 4.6.

Ayant fix tous les paramtres intervenant dans cette tude, nous allonsanalyser dans les sections suivantes linfluence de diffrents paramtres sur

Etude numrique 32

Fig. 4.6 Valeurs des Ei, des sous-contrats et du contrat

E1 E2 E3 E4 E50.03973 0.16081 0.00112 0.03393 2.70067E6 E7 E8 E9 E10

0.05674 136.82414 0.73182 0.09579 8.51983

TG BO PO LR VL(0)98.6404 30.8238 0.5350 3.4045 79.9978

la probabilit de dfaut, sur la valeur du contrat ou encore sur le niveau dela participation aux bnfices caractrisant des contrats initialement justes.

Nous commenons par tudier limpact du taux technique, pour consi-drer aprs linfluence de la volatilit des actifs. Ensuite, nous analysons ladpendance au niveau de la barrire rglementaire et au paramtre . Nousterminons ce chapitre par une analyse de limpact de la dure des contrats.

4.2 Sensibilit au taux technique

Ce point est consacr ltude de la sensibilit au taux technique. Nouscommenons par analyser son influence sur la probabilit de dcs avant denous intresser au taux de participation aux bnfices requis pour rendre lecontrat quitable.

4.2.1 Probabilit de dfaut

La figure 4.7 illustre la probabilit de dfaut de la compagnie en fonctiondu taux garanti. Les paramtres prennent les valeurs dfinies en 4.5 et letaux technique varie entre 0% et 5%.

La probabilit de dfaut est dautant plus grande que le taux techniqueest lev. Le dfaut a t dfini au chapitre 1 laide de la barrire rgle-mentaire Bt, donne par (1.7) :

Bt = Lt = L0 ert, (4.1)

la compagnie dassurance tant dclare en faillite quand la valeur des actifsatteint cette limite.

Etude numrique 33

Fig. 4.7 Probabilit de dfaut en fonction du taux technique = 80%, A0 = 100, = 10.25%, T = 10, = 0.75

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

r*

E1

Lt reprsente lengagement nominal de la compagnie dassurance lgard

des assurs linstant t. Dun point de vue formel, nous avons

Lt = L0 er

t = A0 ert. (4.2)

Lt quivaut la prime initiale des assurs L0, valorise au taux technique

jusqu linstant t.

Si le taux technique augmente, la garantie nominale des contrats est plusleve. La barrire rglementaire est donc galement plus leve. La margeentre la valeur des actifs et la barrire se rtrcit et le risque de dfaut devientplus important. Ce risque est dautant plus grand que le taux technique estlev.

Avant de passer au point suivant, remarquons encore que la probabilitde dfaut est non nulle pour un contrat sans taux technique (r = 0).

4.2.2 Participation bnficiaire juste

Ltude de la valeur du contrat en fonction du taux technique a dj tfaite au point 4.1.1, nous nous intressons donc directement la participa-tion bnficiaire donnant lieu des contrats initialement justes.

La figure 4.12 donne le taux de participation aux bnfices en fonctiondu taux technique tel que le contrat soit initialement juste. r prend sesvaleurs dans lintervalle [0%, 5%], les autres paramtres prennent les valeursdu tableau 4.5.

Etude numrique 34

Fig. 4.8 Valeurs quitables de en fonction de r

= 80%, A0 = 100, = 10.25%, T = 10, = 0.75

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

r*

delta

La figure 4.12 montre que, plus le taux garanti r est faible, plus il vafalloir compenser par une participation aux bnfices leve. En effet, untaux technique plus faible est au dsavantage du preneur dassurances ; pouravoir un contrat quitable, doit donc augmenter.

4.2.3 Conclusion

Un contrat proposant un taux technique plus lev a plus de valeur ; enmme temps, il gnre un risque de dfaut plus important. Un taux techniqueplus lev a pour effet daugmenter la barrire rglementaire de solvabilit.Pour une mme valeur initiale des actifs, la marge entre la valeur des actifset la barrire est rduite en fonction du taux technique.

Rappelons que le taux technique est dfini pour toute la dure du contrat.Pour viter les problmes de solvabilit quand les taux marchs baissent, ilfaut fixer le taux garanti de manire prudente.

En ce qui concerne la participation aux bnfices rendant le contrat qui-table taux technique donne, elle diminue en fonction du taux garanti. Untaux technique plus lev reprsente videmment un avantage pour les as-surs. Afin de proposer un contrat quitable, la participation aux bnficesdoit donc tre diminue.

Ces points nous ont permis de montrer que le taux technique doit trefix de manire offrir un rendement suffisant sans pour autant prendre desrisques de solvabilit trop grands.

Etude numrique 35

4.3 Sensibilit la volatilit

A prsent, nous nous intressons la sensibilit la volatilit des actifs.La premire partie donne une tude de linfluence de sur la probabilit dedfaut. Ensuite, nous analysons son impact sur la valeur du contrat pourconclure avec une analyse de la dpendance du niveau de la participationbnficiaire juste en fonction de .


La figure 4.9 reprsente la probabilit de dfaut E1 en fonction de lavolatilit des actifs. Les paramtres autres que prennent les valeurs dfi-nies au tableau 4.5, la volatilit varie quant elle dans lintervalle [0%, 25%].

Fig. 4.9 Probabilit de dfaut en fonction de la volatilit des actifs = 80%, A0 = 100, T = 10, = 0.75, r = 2.5%

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

sigma

E1

Quand la volatilit des actifs est faible (infrieure 7%), la probabilitde dfaut est ngligeable. Par contre, quand augmente, la probabilit dedfaut crot galement. Une volatilit plus leve reprsente des actifs plusvolatiles. Par consquent la probabilit que la valeur des actifs traverse, un instant donn, la barrire rglementaire, augmente. Pour une volatilit de25%, E1 prend ainsi une valeur dpassant les 50%.

Analysons prsent la probabilit de dfaut en fonction du taux tech-nique et de la volatilit. La figure 4.10 illustre lvolution de E1 en fonctionde ces deux paramtres. r varie dans lintervalle [0%, 5%] et prend unevaleur de 5%, 10.25% et 15% respectivement. Quand est gal 10.25%, lacourbe correspond celle de la figure 4.7.

Etude numrique 36

Fig. 4.10 Probabilit de dfaut en fonction de r et de = 80%, A0 = 100, T = 10, = 0.75

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

r*

E1

sigma = 5 %sigma = 10.25 % sigma = 15 %

La figure 4.10 montre que, pour un taux technique donn, E1 est dau-tant plus lev que la volatilit des actifs est grande.

Pour une faible volatilit des actifs ( = 5%, courbe noire en figure 4.10),la probabilit de dfaut est ngligeable et ceci indpendamment du taux tech-nique.

Si nous nous intressons prsent la courbe reprsentant une volatilitimportante ( = 15%, courbe vert clair), nous constatons que, mme pourdes taux techniques faibles, la probabilit de dfaut est trs importante.Ainsi, E1 a une valeur de lordre de 10% quand le taux technique est nul. Lapente est de plus en plus importante : leffet dune volatilit leve est doncde plus en plus important.

4.3.2 Evaluation du contrat dassurance

En figure 4.11, nous illustrons la dpendance de la valeur du contratdassurance en la volatilit des actifs. Les paramtres autres que prennentles valeurs du tableau 4.5, la volatilit des actifs prend les valeurs dans unefourchette allant de 0% 25%.

De la figure 4.11, il apparat que la valeur du contrat est dautant plusleve que la volatilit des actifs est importante. En effet, une volatilit desactifs plus leve entrane des fluctuations plus grandes pour la valeur desactifs. La possibilit pour la compagnie de raliser des rendements plus levsest plus importante. En consquence, le contrat a une valeur plus grande.

Etude numrique 37

Fig. 4.11 Valeur du contrat dassurance en fonction de = 80%, A0 = 100, T = 10, = 0.75, r = 2.5%, = 89.94%

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.2578

79

80

81

82

83

84

sigma

VL(0)

Valeur des sous-contrats

Voyons prsent la valeur des quatre sous-contrats en fonction de la vo-latilit. Rappelons que TG correspond la garantie finale, BO dsigne lop-tion de participation aux bnfices, PO loption de dfaut et LR reprsentele ddommagement des assurs en cas de faillite de la compagnie dassurance.

Le tableau 4.12 donne les valeurs du contrat dassurance et des sous-contrats pour diffrentes volatilits.

Fig. 4.12 Valeur du contrat et des sous-contrats en fonction de = 80%, A0 = 100, T = 10, = 0.75, r = 2.5%, = 89.94%

VL(0) TG BO PO LR5% 78.4439 102.7214 27.0502 0.0895 0.00487.5% 79.1524 102.3950 28.4729 0.1985 0.265910% 79.9239 99.2072 30.5900 0.5105 2.924812.5% 80.6529 91.7429 33.0070 0.6392 9.306515% 81.3932 81.9504 35.4277 0.6074 17.871217.5% 82.1344 71.8670 37.6471 0.5218 26.875720% 82.8671 62.5687 39.6063 0.4295 35.334622.5% 83.5500 54.3621 41.2763 0.3501 42.921425% 84.1902 47.2459 42.7124 0.2799 49.5904

Si nous analysons la valeur de la garantie finale en fonction de la volati-lit, nous voyons que TG est dcroissant en fonction de . Pour les assurs, il

Etude numrique 38

est ainsi de moins en moins intressant de possder ce sous-contrat. En effet,si la volatilit augmente, les actifs sont de plus en plus volatiles et la chancedobtenir le paiement garanti maturit diminue. Le sous-contrat comporteplus de risque et il a une valeur moindre.

Dun point de vue mathmatique, il ressort de la formule (3.6) que TGest proportionnel 1 E1. Puisque la probabilit de dfaut augmente enfonction de la volatilit, la valeur de TG diminue en fonction de ce para-mtre.

La valeur de loption de participation aux bnfices BO est croissante en. Une volatilit plus leve reprsente une possibilit accrue que les actifsde la compagnie aient un rendement suprieur. Ceci ouvre ainsi la voie desparticipations bnficiaires plus leves.

La dpendance de loption de dfaut PO change en fonction de la valeurde la volatilit. Quand est infrieur 12.5%, PO crot en fonction de , partir des valeurs de suprieures 12.5%, la valeur diminue.

La valeur de PO est conditionnelle au fait quil ny ait pas eu de dfautavant le terme des contrats. De plus, elle dpend de travers le payoff deloption, la valeur dun put tant croissant avec la volatilit du sous-jacent.PO dpend ainsi doublement de la volatilit.

Quand la volatilit est faible, cest la dpendance du payoff de loptionqui lemporte. Si augmente, la tendance sinverse et cest le risque de d-faut (de plus en plus important) qui lemporte.

Le ddommagement LR en cas de faillite avant le terme des contratsest croissante en fonction de la volatilit des actifs. Une volatilit plus im-portante reprsente un risque de dfaut plus lev, la probabilit de toucherun paiement avant la maturit des contrats est donc plus grande. Le paie-ment du ddommagement tant conditionnel une faillite avant maturit,la valeur de lindemnisation gagne en valeur.

4.3.3 Participation bnficiaire juste

La figure 4.13 illustre le niveau de la participation aux bnfices requisepour avoir un contrat initialement juste. Comme pour les graphiques 4.9 et4.11, la volatilit varie dans lintervalle allant de 0% 25%, les autres para-mtres prenant les valeurs dfinies en 4.5.

A taux garanti constant, la participation aux bnfices dcrot en fonc-tion de la volatilit. Le point prcdent a montr que la valeur du contrat

Etude numrique 39

Fig. 4.13 Valeurs quitables de en fonction de = 80%, A0 = 100, T = 10, = 0.75, r = 2.5%

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

sigma

delta

augmente avec . Une volatilit plus importante reprsente ainsi un contrat lavantage des assurs ; pour que le contrat ne favorise pas excessivementles assurs, il faut diminuer .

Intressons-nous prsent la relation entre les deux paramtres cls quisont le taux technique et le taux de participation aux bnfices. Cette relationest illustre en figure 4.14 en fonction de diffrentes valeurs de la volatilitdes actifs. Nous gardons une valeur de 10.25% pour et nous comparons lesrsultats ceux obtenus avec une volatilit de 5% et de 15% respectivement.

Fig. 4.14 Relation entre r et en fonction de = 80%, A0 = 10, T = 10, = 0.75

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r*

delta

sigma = 5 %sigma = 10.25 % sigma = 15 %

Pour des valeurs de r infrieures au taux sans risque en vigueur en t = 0,

Etude numrique 40

il apparat que la participation aux bnfices est dautant plus faible que lavolatilit est leve. En effet, lorsque la volatilit est faible, cest--dire enquasi-absence de risque de dfaut, laugmentation de la volatilit induit unerentabilit plus forte ; pour que le contrat ne favorise pas excessivement las-sur, la participation aux bnfices doit baisser.

Cette tendance sinverse par contre quand le taux technique sapprochedes 5%. Dans ce cas, r est nettement suprieur au taux sans risque, initia-lement gal 2.91%. Quand la volatilit des actifs est grande, le risque dedfaut est important et les assurs supportent un risque croissant de ne pasrcuprer entirement leur capital investi. Pour un taux technique donn, laparticipation aux bnfices doit ncessairement tre augmente pour garderun contrat quitable.

4.3.4 Conclusion

Les analyses de cette section montrent limportance dune bonne poli-tique dinvestissement travers de la volatilit des actifs. Quand la volatilitest plus leve, la probabilit de raliser des rendements suprieurs est plusgrande, dune autre ct, la probabilit de subir des pertes leves sur lesmarchs financiers est galement grande.

Il ressort de ltude ci-dessus quune volatilit plus leve augmente lerisque de dfaut. La probabilit de toucher un ddommagement avant lchancedu contrat est plus grande.

Dun autre ct, une volatilit plus importante permet la ralisation derendements suprieurs, la valeur de leur contrat est ainsi plus grande. Unegrande volatilit des actifs est lavantage des assurs ; pour viter que lecontrat ne favorise pas excessivement les assurs, la participation aux bn-fices juste doit tre plus faible.

En conclusion, les compagnies dassurance doivent choisir une politiquedinvestissement de manire raliser des rendements suprieurs, tout envitant de mettre trop en danger leur solvabilit. Ceci explique lintrt accrupour une gestion actif-passif au sein des compagnies dassurance.

4.4 Sensibilit au paramtre

Considrons prsent la sensibilit au paramtre . reprsente lexi-gence de solvabilit de la part de lautorit de contrle travers le niveau dela barrire rglementaire Bt, rappele en (4.1). Une valeur de plus levereprsente une autorit de contrle plus stricte.

Etude numrique 41

1 reprsente une situation dans laquelle lautorit de contrle obligeles compagnies disposer dune certaine marge entre le cours de leurs actifset les engagements nominaux envers les assurs. En revanche, si < 1,lautorit de contrle admet des dficits limits et temporaires.


La figure 4.15 illustre la probabilit de dfaut en fonction du paramtre qui reprsente le niveau de la barrire rglementaire exige par lautoritde contrle.

Fig. 4.15 Probabilit de dfaut en fonction de = 80%, A0 = 100, = 10.25%, T = 10, r = 2.5%

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

lambda

E1

Il apparat en figure 4.15 que la probabilit de dfaut est croissante enfonction de . Si augmente, lautorit de contrle devient plus exigeanteet demande des garanties de solvabilit plus importantes. Pour une mmevaleur initiale des actifs, la barrire rglementaire est donc plus leve. Lamarge entre la barrire et le cours initial des actifs est rduit. La probabilitque la valeur des actifs va atteindre Bt augmente, E1 sen retrouve donc pluslev.

Pour des valeurs de suprieures 100%, nous constatons que la proba-bilit de dfaut devient trs importante : E1 a des valeurs suprieures 30%et dpasse mme les 80% quand vaut 120%.

Analysons encore la probabilit de dfaut en fonction du taux techniqueet de . En figure 4.16, nous reprsentons la probabilit de dfaut en fonctiondu taux technique pour cinq niveaux de la limite rglementaire : prend lesvaleurs de 70%, 75%, 85%, 100% et 110% respectivement.

Etude numrique 42

Fig. 4.16 Probabilit de dfaut en fonction de r et de = 80%, A0 = 100, = 10.25%, T = 10

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

r*

E1

lambda = 70 % lambda = 75 % lambda = 85 % lambda = 100 % lambda = 110 %

La probabilit de dfaut est croissante en fonction de r et de . Quand a une valeur suprieure 100%, nous constatons que, mme pour un tauxtechnique nul, le risque de dfaut est non ngligeable.

4.4.2 Evaluation du contrat dassurance

Nous nous intressons prsent la dpendance de la valeur du contratdassurance en . La figure 4.17 reprsente la sensibilit de VL(0) la hau-teur du niveau de la barrire rglementaire.

Fig. 4.17 Valeur du contrat dassurance en fonction de = 80%, A0 = 100, = 10.25%, T = 10, r = 2.5%, = 89.94%

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

79

80

81

82

83

84

lambda

VL(0)

Etude numrique 43

La courbe reprsente en figure 4.17 prsente une discontinuit quand est gal 100%. En effet, ce point marque un changement dans la politiquepoursuivie par lautorit de contrle : dune politique plus laxiste, elle passevers une politique plus exigeante.

La courbe nest pas monotone : la val

2006 France CorinneStoffel

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