Decouverte des mathematiques 2005-2006

Feuille 2 :Suites numeriques

Exercice 1

1. Montrer que la suite u definie par un =∑n

k=012k converge.

2. Montrer que la suite u definie par un =∑n

k=01k! converge.

3. Soit a > 0. A quelle condition sur a la suite (un)n∈N definie parun =

∑nk=0 an converge-t-elle ?

Exercice 2 (Irrationnalite de e) On considere les suites u et v definies par un =∑n

k=01k! et vn = un + 1

n·n! .

1. Montrer que les suites u et v sont adjacentes.

2. Montrer que la limite l commune a u et v est irrationnelle.(Indication : supposer que l ∈ Q et montrer que c’est impossible en utilisant que pour tout n, un < l < vn).

Remarque : cette limite l n’est autre que le fameux nombre e.

Exercice 3 (Suites extraites) Soit u une suite. On dit que v est une suite extraite de u si pour tout n,vn = uϕ(n), ou ϕ : N −→ N est une fonction strictement croissante. Par exemple vn = un+1 ou vn = u2n.On admet le resultat suivant : Si les suites (u2n) et (u2n+1) converge vers la meme limite l, alors la suite (un)converge vers l.

1. Soit (an) une suite decroissante qui converge vers 0. On pose un =∑n

k=0(−1)kak.Montrer que les suites (u2n) et (u2n+1) sont adjacentes.

2. Conclure

3. Montrer que la suite( ∑n

k=11k2

)converge.

4. Montrer que si les suites (u2n), (u2n+1) et (u3n) convergent, alors la suite (un) converge. (On utilisera lefait que si une suite u converge, alors toute suite v extraite de u converge (vers la meme limite))

Exercice 4 On considere la suite u definie par recurrence par un+1 = f(un) ou f est une fonction decroissante.

1. Que peut-on dire sur le sens de variation de la suite u ?

2. Et pour les suites (u2n) et (u2n+1) ?

3. Que dire de la convergence de la suite definie par u0 ∈ [0, 1] et un+1 = 1− 23un ?

Exercice 5 Soit u la suite definie par u0 ∈ [0, 1] et un+1 = 1− u2n.

1. Etudier la fonction f definie par f(x) = 1− x2. En deduire que pour tout n, un ∈ [0, 1].

2. Montrer que f a un unique point fixe dans [0, 1].

3. Monter que les suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers des limites differentes. Conclure.

4. Tracer la courbe de fonction f et la droite d’equation y = x. A partir de ces deux courbes, placer sur l’axede abscisses les premiers termes de la suite. Commentaires.

Exercice 6 Soit u0 ∈ R et un+1 = f(un). La suite u converge-t-elle et si oui, vers quelle limite si est f est lafonction definie par :

1. f(x) = ex,

2. f(x) = sin(x),

3. f(x) = 1 +1x

.

Exercice 7 Soit C ∈ R fixe. On considere la suite u definie par u0 = C et un+1 = u2n + C.

1. Montrer que si |C| > 2, alors |un| tend vers +∞.

2. Montrer que si |C| ≤ 2 et |un0 | > 2 pour un certain n0, alors |un| tend vers +∞.

3. Etudier les cas ou C = 0, 1,−1 et −2.

4. Etudier le cas ou C = − 12 .

Exercice 8 (Suite de Fibonacci) Soit la suite recurrente F definie par : F0 = 1, F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1 +Fn.

1. Soit an = Fn+1Fn

. Exprimer an+1 en fonction de an.

2. Montrer que a converge et calculer sa limite.

3. Determiner l’expression de Fn et retrouver le resultat de la question 2.

Exercice 9 On considere la suite u definie par u0 = 1, u1 = 2, un+2 = √un+1un.

1. Montrer que u est bien definie.

2. Deteminer un pour tout n.

Exercice 10 (Suite recurrente triple) Soient u0, u1, u2 ∈ R et un+3 = 6un+2 − 11un+1 + 6un.

1. Factoriser le polynome X3 − 6X2 + 11X − 6.

2. En adaptant la methode de resolution pour les suites recurrentes doubles, deviner la forme de la suite(un) et verifier que votre intuition a vu juste.

Exercice 11 (Moyenne arithmetico-geometrique) Soient 0 < a < b. On pose u0 = a et v0 = b, et pourn ∈ N, {

un+1 =√

unvn,vn+1 = 1

2 (un + vn).

1. Montrer que pour 0 < x < y, on a :

x <√

xy <12(x + y) < y.

2. Que peut-on dire des suites u et v.

Probleme (Approche du nombre π) On considere dans le plan un cercle C de rayon 1. Soit n ≥ 3, onappelle In le polygone regulier a n cotes inscrit dans le cercle C et Cn le polygone regulier a n cotes circonscritau cercle C.

1. Faire un dessin pour n = 6

2. Soit ABC un triangle isocele en A tel que AB = 1 et BAC = α. Calculer la longueur du segment [BC]en fonction de α (on n’hesitera pas a faire un dessin).

3. En deduire le perimetre pn de In.

4. Soit ABC un triangle isocele en A tel que la hauteur issu de A coupe (BC) en H et AH = 1. Calculer lalongueur du segment [BC] en fonction de α (ici encore, on pourra faire un dessin).

5. En deduire le perimetre qn de Cn.

6. Montrer que les fonctions x 7−→ tan(x)x et x 7−→ sin(x)

x sont respectivement croissante et decroissante sur[0, π[.

7. En deduire que les suites (pn) et (qn) sont adjacentes. Conclure.

8. En prenant n = 3, 4, 6, 12, calculer des approximations successives de π.