2004 These Doctorat Petre

THESE

Présentée en vue de l’obtention du titre de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PAUL SABATIER TOULOUSE

Spécialité : Génie Electrique

par

ANCA PETRE

Soutenue le 3 décembre 2004, devant la commission d’examen composée de:

A. TOUREILLE Professeur à l’Université Montpellier II Président - Rapporteur

G. TOUCHARD Professeur à l’Université de Poitiers Rapporteur

R. GERHARD-MULTHAUPT Professeur à l’Université de Potsdam Examinateur

J-L. FRANCESCHI Professeur à l’Université Toulouse III Directeur de thèse

D. MARTY-DESSUS Professeur à l’Université Toulouse III Co-directeur de thèse

OPTIMISATION DE LA METHODE FLIMM POUR LA

CARACTERISATION EN VOLUME DES CHARGES D’ESPACE

DANS LES ISOLANTS POLYMERES MINCES

A ma mère, à mon grand-père et à Mr. Smoleanu…

Je pense souvent à vous !

Le temps des remerciements est enfin arrivé… Nous voilà au bout de mes trois

années de thèse passées au LGET. Cette période a été pour moi très riche en

rencontres et je voudrais exprimer ma gratitude envers toutes ces personnes qui ont

été à mes côtés le long de ces années.

Mes premières pensées se dirigent tout naturellement vers Mr. Franceschi, dont

le constant soutien a constitué pour moi une aide précieuse pour mener à bien ce

projet, qu’il a eu d’ailleurs la gentillesse de me confier et qui était pour moi un grand

défi.

J’adresse également un grand merci à Didier Marty-Dessus et Laurent

Berquez, de qui j’ai appris énormément et qui ont été toujours là pour moi. Merci à

tous les deux pour vos encouragements et votre aide dans les moments difficiles.

Je ne dois pas oublier Mr. A. Toureille et Mr. G. Touchard qui m’ont fait

l’honneur d’accepter d’être les rapporteurs de mon travail. Mes remerciements vont

aussi à Mr. R. Gerhard-Multhaupt, pour avoir accepté de participer à mon jury.

Je tiens à remercier l’ensemble du personnel du laboratoire, à ceux (nombreux)

qui m’ont aidé dans mon travail et à tous les autres qui ont contribué à la bonne

ambiance du labo.

Petite pensée pour les « anciens » : Cédrick, Aziz, Mimoun, Khalid… Merci pour

l’amitié que vous m’avez témoignée !

Je souhaite remercier aussi mes collègues de bureau, Amira et Guillermo, pour

leur amitié, leur soutien et leur patience, car je sais que pour eux cela n’a pas été tous

les jours facile de me supporter…

Une pensée toute particulière va vers Hubert qui a bien voulu me faire

confiance et m’accorder son amitié qui m’est très chère.

Egalement, je souhaite exprimer ma reconnaissance envers une personne qui a

toujours été à mes côtés, qui a su m’écouter, m’aider et m’épauler : merci Edgar !

Je profite de l’occasion pour dire également merci à mes amies et leur dire que

leur amitié compte énormément pour moi : Diana, Simona, Laurence, Mihaela et

Pedro.

Adelina et Barbu, mes anges gardiens, je vous remercie pour nos longues

discussions durant lesquelles j’ai appris énormément et merci de m’avoir ouvert les

yeux sur le monde…

J’ai également une pensée pour mon collègue de « souffrance » de Montpellier,

avec qui j’ai beaucoup partagé durant cette dernière année de thèse.

Je tiens également à remercier Mr. Laval d’avoir eu confiance en moi et de

m’avoir ouvert les portes pour faire des études en France. Si je suis là aujourd’hui, je

vous le dois en grande partie.

Tout naturellement, je pense à ma famille en Roumanie que je n’ai

malheureusement pas beaucoup vu ces dernières années, mais j’aimerais leur dire

qu’ils sont toujours présents dans mon cœur.

Finalement, 1001 mercis pour tout à Christophe, la liste serait très longue si je

devais énumérer toutes les choses pour lesquelles je lui sais gré… Merci !

En exprimant ainsi ma gratitude envers vous tous, je prends conscience de la

chance que j’ai d’être si bien entourée et d’avoir autant d’amis …

Sommaire

Sommaire

1

Introduction générale..................................................................5

Chapitre I - Contexte général de l’étude de charges d’espace.......7

I.1 Historique ....................................................................................................................7

I.2 Problématique .............................................................................................................8

I.3 L’injection et le transport des charges .......................................................................9

I.3.1 Conduction ionique ............................................................................. 10

I.3.2 Conduction électronique...................................................................... 11

I.3.3 Mécanismes contrôles par l’interface.................................................... 11

I.3.3.1. Schottky ........................................................................................................13

I.3.3.2. Fowler-Nordheim ou l’effet tunnel ................................................................14

I.3.4 Mécanismes contrôlés par le volume du polymère................................. 14

I.3.4.1. Courants limités par charge d’espace ...........................................................14

I.3.4.2. Poole-Frenkel ...............................................................................................16

I.3.4.3. Hopping........................................................................................................16

I.3.5 Courants résultant de l’orientation dipolaire......................................... 17

I.3.6 Nouvelles approches............................................................................ 18

I.3.6.1. Approche fractale..........................................................................................18

I.3.6.2. Modélisation moléculaire..............................................................................19

I.4 Les méthodes de détection des charges d’espace......................................................20

I.4.1 La méthode des courants thermostimulés ............................................ 20

I.4.2 Les méthodes avec résolution spatiale.................................................. 21

I.4.2.1. Les méthodes thermiques...............................................................................21

I.4.2.1.1 Implémentation expérimentale des méthodes........................................................ 22

I.4.2.1.2 Génération du signal .............................................................................................. 23

I.4.2.1.3 Distribution de la température ............................................................................... 24

I.4.2.1.4 Déconvolution mathématique................................................................................ 25

I.4.2.2. Les méthodes acoustiques .............................................................................27

I.4.2.3. Comparaison entre les méthodes thermiques et acoustiques..........................27

I.4.2.4. Nouvelles applications des méthodes.............................................................28

I.5 Conclusion .................................................................................................................29

Chapitre II - Génération et détection du signal FLIMM ...............31

II.1 Introduction .............................................................................................................31

II.2 La technique FLIMM..............................................................................................32

II.2.1 Dispositif expérimental ....................................................................... 32

Sommaire

2

II.2.1.1. Principe général ..........................................................................................32

II.2.1.2. Les éléments de la chaine de mesure............................................................34

II.2.1.2.1 Diode laser et système optique............................................................................. 34

II.2.1.2.2 Le préamplificateur .............................................................................................. 35

II.2.1.2.3 Détection synchrone ............................................................................................. 38

II.2.2 Génération du signal .......................................................................... 39

II.2.2.1. Principe.......................................................................................................39

II.2.2.2. Problème électrostatique .............................................................................40

II.3 Les principales évolutions........................................................................................46

II.3.1 Mise en œuvre d’une nouvelle cellule .................................................. 46

II.3.2 Augmentation du rapport S/B ............................................................ 48

II.3.2.1. Différentes couches et comparaisons ...........................................................48

II.3.2.2. Influence de l‘épaisseur des électrodes ........................................................51

II.3.2.3. Influence de la nature des électrodes ...........................................................52

II.3.2.4. Influence du diamètre des électrodes............................................................53

II.3.3 Développement des logiciels................................................................ 54

II.3.3.1. Programme d’acquisition ............................................................................54

II.3.3.2. Programme de calcul de la température ......................................................56

II.3.3.3. Programme de traitement des données.........................................................57

II.4 Conclusion................................................................................................................58

Chapitre III - Modélisation de la température et problème inverse FLIMM...................................................................61

III.1 Modélisation de la température .............................................................................61

III.1.1 Introduction...................................................................................... 61

III.1.2 Equation générale de diffusion de la chaleur ...................................... 62

III.1.3 Modèle 1D avec apport surfacique...................................................... 62

III.1.3.1. Equation de la chaleur ...............................................................................63

III.1.4 Modèle 3D avec apport volumique...................................................... 64

III.1.5 Comparaison 1D / 3D ....................................................................... 67

III.1.6 Modèle 1D avec apport volumique...................................................... 69

III.1.6.1. Géométrie du problème ..............................................................................69

III.1.6.2. Equation de la chaleur ...............................................................................69

III.1.6.3. Source de chaleur.......................................................................................70

III.1.6.4. Expression de la température .....................................................................72

III.1.7 Modèle 1D quatre couches................................................................. 72

III.1.7.1. Géométrie du problème ..............................................................................73

Sommaire

3

III.1.7.2. Equations de la chaleur ..............................................................................73

III.1.7.3. Modélisation des sources de chaleur ..........................................................74

III.1.7.4. Expressions de la température....................................................................76

III.1.7.5. Renseignement du modèle en constantes.....................................................77

III.1.8 Validation des modèles ...................................................................... 79

III.1.8.1. Profils en profondeur..................................................................................79

III.1.8.2. Profils en fréquence....................................................................................80

III.2 Déconvolution mathématique ................................................................................81

III.2.1 Introduction...................................................................................... 81

III.2.2 La méthode d’approximation.............................................................. 82

III.2.3 Méthodes de régularisation................................................................ 82

III.2.3.1. La régularisation de Tikhonov ...................................................................83

III.2.3.1.1 La méthode L-Curve ........................................................................................... 84

III.2.3.1.2 La méthode d’auto-cohérence (SC) .................................................................... 84

III.2.3.2. La méthode TSVD.......................................................................................85

III.2.3.3. Piecewise Polynomial -TSVD .....................................................................86

III.2.4 Calibration des méthodes mathématiques .......................................... 86

III.2.4.1. Validation de la temperature ......................................................................88

III.2.4.2. Profils de polarisation ................................................................................89

III.2.4.3. L’influence du bruit ....................................................................................92

III.2.4.4. Les effets de la bande de fréquence utilisée.................................................94

III.3 Conclusion ..............................................................................................................96

Chapitre IV - Résultats expérimentaux ......................................99

IV.1 Distributions globales de charges d’espace............................................................99

IV.1.1 Etude du comportement du PET (analyse 1D) .................................... 99

IV.1.1.1. Préparation des échantillons ......................................................................99

IV.1.2 Etude 1D du PEN soumis à hauts champs....................................... 103

IV.1.2.1. Matériau étudié ........................................................................................103

IV.1.2.2. Contexte de l’étude ...................................................................................104

IV.1.2.2.1 Préparation des échantillons ............................................................................. 105

IV.2 Cartographies 2D et 3D........................................................................................109

IV.2.1 PEN irradié par UV.......................................................................... 109

IV.2.2 Etude du PTFE irradié par MEB ...................................................... 116

IV.2.2.1. Préparation des échantillons ....................................................................116

IV.2.2.2. Cartographie barreaux avec une résolution de 50 µm - Laque d’argent....117

Sommaire

4

IV.2.2.3. Cartographie d’un angle en 3D ................................................................121

IV.2.2.4. Cartographie 3D des barreaux 10µm .......................................................123

IV.2.2.5. Evolution temporelle de la charge d’espace..............................................126

IV.3 Conclusion ............................................................................................................128

Conclusions générales .............................................................131

Bibliographie...........................................................................133

Annexe 1……............................................................................143

Constantes d’intégration de l’équation de la chaleur quatre couches ........................143

Annexe 2……............................................................................145

Simplification de l’équation du courant par intégration par parties..........................145

Introduction générale


5

Le travail de thèse présenté dans ce mémoire a pour objet d’améliorer la

connaissance de la répartition spatiale des charges d’espace dans les matériaux

isolants à la base des systèmes utilisés en Génie Electrique comme par exemple les

câbles haute tension, les transformateurs, les condensateurs. Ces éléments sont

soumis à des contraintes sévères et doivent résister en particulier à de très forts

gradients de tension de l’ordre de quelques dizaines de kV/mm.

Un problème majeur auquel se heurtent les concepteurs est dû à l’apparition de

champs électriques locaux importants induits par les charges d’espace piégées dans

le matériau. Elles résultent principalement de la dissociation d’espèces

électriquement neutres, de l’injection de charges en surface de l’isolant, ou encore

de l’orientation des dipôles électriques. Dans ces zones affectées d’un fort champ

électrique local, les phénomènes dissipatifs d’énergie peuvent entraîner un

vieillissement important de l’isolant donc une rupture prématurée. Il est donc

difficile dans ces cas de prévoir la durée de vie d’un système.

Ces études rencontrent actuellement un regain d’intérêt. En effet, l’utilisation de

nouveaux matériaux isolants avec une augmentation toujours croissante des

performences, c'est-à-dire des contraintes imposées (électriques, thermiques,

mécaniques), nécessite la mise en oeuvre des méthodes expérimentales permettant

de mesurer la distribution de charges ou la répartition du champ électrique avec

précision. Ainsi, plusieurs techniques de mesure des charges d’espace ont été

développées, notamment les méthodes thermiques non-destructives, parmi

lesquelles la méthode FLIMM que nous présentons. Son caractère particulier réside

dans sa capacité à détecter des charges ponctuelles dans les isolants. De plus,

grâce à un balayage en surface de l’échantillon étudié, des cartographies

multidimensionnelles des charges peuvent être réalisées à l’échelle du micron.

L’objectif principal de ce travail de thèse est d’optimiser et faire évoluer la méthode

FLIMM, tant du point de vue théorique qu’expérimental pour la rendre

opérationnelle dans le domaine tridimensionnel.

Dans le premier chapitre, après un bref historique concernant les matériaux

polymères utilisés en Génie Electrique et leurs applications, une étude

bibliographique relative aux mécanismes d’injection et de transport de charges est

rappelée.


6

Comme l’intérêt des utilisateurs en Génie Electrique s’est porté sur les méthodes de

détection des charges d’espace ou de polarisation de nombreuses méthodes

existent. Suivant le type de source excitatrice utilisée, ces techniques peuvent être

divisées globalement en méthodes thermiques ou acoustiques. La technique

développée dans notre équipe appartient au groupe des méthodes thermiques. Une

description détaillée et une comparaison des différentes méthodes sont effectuées

au cours de ce premier chapitre, qui se termine en évoquant les perspectives

d’évolution et les nouvelles applications en cours de développement.

Le deuxième chapitre est consacré à la description du banc expérimental de la

méthode FLIMM que nous utilisons. Un intérêt particulier est accordé à la

génération et la détection du signal utile.

Les nombreuses améliorations apportées à cette technique sont détaillées,

notamment en ce qui concerne l’augmentation du Signal/Bruit détecté, ou le

développement des logiciels de calcul.

Le troisième chapitre s’attache à déterminer un paramètre fondamental, la

température locale dans l’échantillon.

En effet, la connaissance de la température est primordiale dans la détermination

de la distribution de charges en FLIMM, c’est pourquoi la modélisation de la

température, ainsi que la résolution numérique du problème mathématique sont

détaillés. Ainsi, des nouveaux modèles de température se rapprochant davantage

du phénomène physique sont développés et implantés.

Une partie importante du travail effectué, décrite dans ce chapitre, est dédiée à la

résolution du problème inverse. Plusieurs méthodes d’inversion existent, mais la

difficulté réside dans le choix de celle qui est le plus adaptée à nos

expérimentations. Ainsi, plusieurs algorithmes de déconvolution sont testés et

comparés.

Tous les résultats expérimentaux sont présentés au cours du quatrième chapitre.

En effet, une fois la méthode calibrée tant du point de vue expérimental que

théorique, nous pouvons procéder à la caractérisation de matériaux polymères

soumis à des différentes contraintes (thermiques ou électriques).

En particulier, nous montrons que notre technique permet la représentation

tridimensionnelle des charges par cartographies avec une excellente résolution

latérale de l’ordre de 10µm actuellement.

I - Contexte général de

l’étude de charges d’espace

Chapitre 1 – Contexte général de l’étude de charges d’espace

7

I.1 Historique

Les britanniques ont découvert la civilisation Maya dans l’Amérique Centrale vers

1500. Les Maya sont supposés être les premiers à avoir mis en oeuvre une

application avec un matériau polymère. En effet, leurs enfants jouaient avec des

balles faites à partir des arbres de caoutchouc. Plus tard, vers 1839, Goodyear a

découvert la vulcanisation, en combinant le caoutchouc naturel avec du soufre et à

une température élevée. Le caoutchouc vulcanisé est un polymère qui est plus

résistant et plus souple que le caoutchouc naturel et cela a ouvert la porte vers un

énorme marché pour les produits caoutchoutés.

En 1869, l’américain Hyatt cherchait à remplacer l’ivoire utilisé pour la fabrication

des boules de billard. Il a découvert ainsi le celluloïd, mélange de nitrate de

cellulose et de camphre. Le celluloïd a été le premier matériau plastique synthétique

et il a été largement utilisé comme substitut pour des substances plus chères,

comme l’ambre, l’ivoire. Il a contribué aussi à sauver la vie de beaucoup

d’éléphants…

Au début du XX siècle, avec le développement spectaculaire de l’électricité et les

besoins d’un matériau isolant efficace appraissent. Léo Baekeland, un chimiste

belge, a imaginé qu'il était nécessaire de mettre au point avec profit un produit de

remplacement synthétique pour la gomme laque. Ainsi, en 1907, après des longs

travaux, il élabore la bakélite, premier matériau synthétique à 100%. Initialement

utilisée comme isolant électrique, la bakélite va trouver des applications dans tous

les domaines de la vie quotidienne. Elle est connue comme le "matériau à mille

utilisations". Depuis son invention, l’utilisation du plastique a dépassé celle de

l’acier, de l’aluminium et du cuivre réunies. La production mondiale annuelle des

plastiques est d’environ 150 millions de tonnes. L’évolution des polymères continue

avec la découverte de la structure chimique de la cellulose, qui nous prouve que les

polymères sont composés de longues chaînes moléculaires. A la même époque,

Staudinger a suggéré pour la première fois l’idée de « macromolécule » et il a

démontré que les petites molécules peuvent former des polymères par

agglomération physique, mais aussi par réaction chimique. Il associa la masse

molaire de ces polymères à certaines de leurs caractéristiques physiques, comme la

viscosité. Il a posé ainsi les bases de la théorie moderne des polymères et a

contribué au développement des plastiques modernes. A partir de cette époque, des


8

nombreux polymères ont été développés, comme le polystyrène, le nylon, le

polyéthylène (PE), polyéthylène téréphtalate (PET), polyéthylène naphtalène (PEN) et

encore beaucoup d’autres… Les applications de ces nouveaux matériaux se sont

diversifiées, notamment en génie électrique. Ils occupent une grande place, comme

dans les composites pour circuits imprimés, les résines pour encapsulation, les

transducteurs piézoélectriques et les isolants pour câbles haute tension.

I.2 Problématique

Dans beaucoup d’applications, les polymères sont utilisés comme isolants

électriques. Leur fonction principale est de s’opposer au passage du courant entre

les conducteurs. Ainsi, les propriétés électriques du matériau utilisé jouent un rôle

primordial.

En Génie Electrique, les propriétés les plus importantes d’un isolant sont : la

permittivité (rapidité de transmission d’une onde électromagnétique, résistance à

l’échauffement qui peut naître sous l’effet d’un champ alternatif), la résistivité

(opposition au passage du courant) et la rigidité diélectrique (résistance à la

formation d’arcs sous l’effet de différences de potentiels).

Par exemple, l’application du polyéthylène comme isolant dans les câbles HT est

principalement due à sa permittivité relative faible ( 32.=rε ), à sa grande

résistivité et à sa rigidité diélectrique d’environ 200 kV/mm en alternatif.

Quand un isolant est soumis à une tension, plusieurs phénomènes peuvent

apparaître. Les charges d’espace intrinsèques peuvent bouger sous l’effet du

champ, les espèces ioniques peuvent se dissocier et, en fonction de la nature de

l’interface isolant-électrodes, des charges peuvent être injectées dans le matériau

[Chap 86]. De plus, le PE commercial contient également des impuretés polaires

(acide benzoique etc.) qui vont s’orienter avec le champ et donner naissance à une

polarisation dipolaire. La présence de ces charges d’espace dans des zones à pièges,

comme l’interface entre les zones amorphe-cristalline, peut produire un champ

électrique interne très important pouvant conduire à la rupture diélectrique.

La contrainte électrique n’est pas le seul facteur qui mène à l’accumulation des

charges d’espace dans les matériaux. Des études ont montré que les processus de

réticulation, de fusion, d’assouplissement des polymères peuvent également

participer à la création des charges d’espace [Eyer 85].


9

Des films minces de polymères comme le Téflon (FEP) et le Mylar (PET) sont

largement utilisés dans l’industrie spatiale. Ces matériaux sont exposés à des

radiations gamma et à des bombardements électroniques, qui provoquent le

piégeage durable des charges. L’accumulation de ces charges peut conduire à des

phénomènes de rupture dans les revêtements spatiaux.

Pour toutes ces raisons, il est important de comprendre les phénomènes de rupture

diélectrique ainsi que les phénomènes de création et de transport de charges.

I.3 L’injection et le transport des charges

Dans les matériaux diélectriques (matériaux polymères) de structure semi

cristalline complexe, plusieurs phénomènes ou mécanismes de conduction

électriques peuvent générer de très faibles courants.

La théorie de conduction la plus connue est la théorie de bandes qui nous permet

de décrire les phénomènes d’interaction électriques dans la matière organisée, c’est-

à-dire dans les matériaux cristallins. Dans cette théorie nous avons des porteurs de

type électrons ou trous (défaut d’électrons). Dans un solide cristallin, les porteurs

ne peuvent pas acquérir n’importe quelle énergie, il existe de bandes d’énergie

permises (de valence et de conduction) et des bandes d’énergie interdites. Dans les

bandes autorisées, le nombre de places varie en fonction de l’énergie. Par contre

aucun porteur ne peut exister avec une énergie correspondante à la bande interdite.

Ces considérations de la théorie de bandes ne sont évidement pas respectées dans

le cas des matériaux polymères, caractérisés par un certain désordre structural.

Plusieurs auteurs [Diss 92], [Coel 93] ont fait des ajustements à la théorie de

bandes pour expliquer le comportement des matériaux non cristallins, comme les

polymères. Ces ajustements sont les suivants :

• Les frontières entre les bandes de valence et de conduction et la bande interdite

ne sont plus parfaitement définies. Ce phénomène est du aux défauts présents

dans le matériau et se traduit par l’apparition d’une densité d’états occupables

dans ce qui était précédemment la bande interdite. Ces états, qui sont occupés

ou vides, selon leur position par rapport au niveau de Fermi, sont dits localisés,

car ils ont un potentiel énergétique inférieur par rapport à leurs plus proches

voisins. Ces états localisés sont également connus sous le nom des pièges. La


10

nature des pièges peut-être chimique (dues aux impuretés, aux additifs, aux

malformations du polymère) ou physique (d’ordre topologique).

Ec

Ev

E

Etats localisés

peu profonds

profonds

profonds

peu profonds

pièges à

électrons

pièges à

trous

N(E)

gap

Th

+

-

TeTe

4 -

10

eV

0.1

- 0

.5 e

V0

.1 -

0.5

eV

BANDE DE VALENCE

BANDE DE CONDUCTION

Figure I. 1– Diagramme d’énergie avec pièges d’après Sessler [Sess 99]

• La mobilité des porteurs occupant éventuellement ces états sera de plus en plus

faible au fur et à mesure que l’on se rapproche du milieu de la bande de

conduction. Le temps de piégeage des porteurs dépend fortement de la

profondeur de pièges, ainsi que de l’énergie nécessaire pour extraire les

porteurs, de la température et d’autres facteurs comme le champ appliqué.

Pour faire une meilleure description des mécanismes de conduction dans les

matériaux polymères, il faut considérer les types de porteurs de charges électriques

qui peuvent se présenter dans ces matériaux. Les électrons, les trous et les ions

sont les principaux porteurs de charges dans les polymères.

I.3.1 Conduction ionique

Dans les polymères, il existe des ions, en plus ou moins grandes quantités. Les ions

peuvent provenir d’impuretés, dépendant des procédés de fabrication et des

procédés de mise en ouvre. Ils peuvent être générés également par des processus

d’ionisation liés, par exemple, à l’absorption de rayonnement, des processus de

dégradation du matériau, ou encore de l’absorption de contamination, comme des

molécules d’eau qui peuvent former des ions OH- en se dissociant.


11

Le transport d’ions résulte en un transport de matière, raison pour la quelle les

mobilités ioniques sont inférieures, de plusieurs ordres de grandeurs, aux mobilités

électroniques. Dans ce cas le mécanisme de transport est, en fait, une série de

sauts au-dessus des barrières de potentiel, qui permet aux ions de se mouvoir d’un

site à un autre. Ces barrières de potentiel sont créées par la structure complexe du

polymère et peuvent être modifiées lorsqu’on applique un champ électrique

extérieur [Diss 92], (Wint 83].

I.3.2 Conduction électronique

Dans le cas des porteurs de charges de type électronique, on peut modéliser le

transport de ces charges en considérant les phénomènes de conduction comme un

flux d’électrons. Donc ce flux de porteurs sera soit contrôlé par des phénomènes

d’interface électrode-polymère, soit par des phénomènes de volume au sein du

matériau.

I.3.3 Mécanismes contrôles par l’interface

Sous l’effet d’un champ électrique élevé, des charges peuvent être injectées dans

l’isolant à partir de l’électrode et peuvent bouger vers l’intérieur. Ces mécanismes

ne dépendent pas seulement de la tension appliquée, mais aussi d’autres facteurs

comme la température, la nature du polymère et de l’électrode. D’après Ieda [Ieda

84], l’interface métal-isolant joue un rôle important dans la conduction, étant à

l’origine de plusieurs phénomènes (Tableau I. 1) :

Phénomènes liés à l’interface métal-isolant

1. Injection des porteurs (électrons ou trous)

2. Etats de surface

3. Réactions électrochimiques

4. Ionisation

5. Courants ohmiques et limitation de la charge d’espace

Tableau I. 1 – Effets à l’interface électrode-polymère

Il a été également montré que la nature de l’électrode joue un rôle très important

dans la conduction [Koji 85].


12

Au contact métal-isolant, il existe une barrière de potentiel: la bande de valence de

l’isolant est située à un niveau inférieur par rapport au niveau de Fermi du métal.

Pour qu’un électron du métal puisse passer dans l’isolant, il doit absorber une

énergie minimale, équivalente au travail de sortie. Le diagramme des bandes

énergétiques est schématisé dans la Figure I. 2 a).

Le problème majeur pour l’électron est de franchir la barrière de potentiel qui existe

entre le métal et l’isolant. L’application d’un champ électrique a pour conséquence

la réduction de la hauteur Φ de cette barrière. Ce phénomène est schématisé dans

la Figure I. 2 d) et il résulte de la superposition des effets de la force image (Figure I.

2 b)) et de l’énergie potentielle de l’électron (Figure I. 2 c)) dues au champ appliqué.

Ces modifications de la barrière vont être détaillées dans les mécanismes de

Schottky et Fowler-Nordheim.

Métal Polymère

V(x, image)Φ

Ef

x

Φ

Ef

x

Métal Polymère

-eEx

Φ

Ef

x

Métal Polymère

a) b)

c) d)

Φ

Ef

x

Métal Polymère

Figure I. 2 – Barrière de potentiel à l’interface métal-isolant : a) Hauteur totale de la

barrière; b) effet de la force image; c) effet de l’énergie potentielle du

champ électrique appliqué; d) la barrière résultante.


13

I.3.3.1. Schottky

Si l’on considère que la hauteur de la barrière de potentiel est suffisamment basse,

des électrons avec une énergie suffisante peuvent la franchir. L’abaissement de la

barrière est associé à une attraction électrostatique qui a lieu entre l’électron et le

métal supposé chargé positivement (charge image) après l’extraction de l’électron

vers l’isolant. Cette attraction induit un changement graduel de la barrière du à

l’énergie potentielle de l’électron [Diss 92],[Coel 93],[Lamb 67].

Φ

Ef

x

Métal Polymère

1

2

3

1 Effet Schottky

2 Effet tunnel assisté thermiquement

3 Effet tunnel

Figure I. 3 – Mécanismes de conduction contrôlés par l’interface

L’expression du courant Schottky reste simple tant que l’on considère que le

matériau est exempt des pièges :

−Φ

−=kT

EATJ s

2

1

2 βexp (1. 1)

où A est la constante de Richardson et sβ la constante de Schottky donnée par :

2

1

0

3

4

=

πεεβ

qs avec ε la permittivité relative du matériau.

Le courant dépend de la température et de la nature de l’électrode (au travers de Φ

qui représente la hauteur de la barrière de potentiel à franchir par les porteurs). Le

logarithme du courant varie linéairement avec la racine carrée du champ appliqué,

la pente de cette droite permet de calculer la constante sβ donnant ainsi accès à la

permittivité du matériau.


14

Dans le cas d’un stockage de charges dans l’isolant ou près de l’interface, le champ

n’est plus uniforme dans l’échantillon. Pour prendre en compte cette modification

du champ dans le modèle Schottky, Toureille [Tour 74] propose de tenir compte de

l’effet de la charge d’espace. On considère que la valeur du champ au contact est

proportionnelle au champ macroscopique appliqué suivant l’expression EEc γ=

où 1<γ correspond au cas de l’injection d’une homocharge et 1>γ d’une

héterocharge. L’expression du courant est obtenue en remplaçant la valeur de E

par cE dans l’expression (1.1).

I.3.3.2. Fowler-Nordheim ou l’effet tunnel

L’application d’un champ élevé, supérieur à 1810

−Vm , entraîne une diminution de

la largeur de la barrière de potentiel. Dans ce cas, même si l’électron n’a pas

suffisamment d’énergie pour passer au-dessus de la barrière, il peut la traverser. Ce

phénomène est expliqué par la mécanique quantique, tenant compte du caractère

ondulatoire de l’électron. En effet, l’électron peut se manifester de l’autre coté de la

barrière sous forme d’onde d’autant moins amortie que la largeur de la barrière est

faible ; il suffit que la longueur d’onde associé à l’électron ne soit pas très petite

devant la largeur de la barrière [Wint 83], [Coel 93].

Le courant obtenu est indépendant de la température et a pour expression :

−=E

BAEJ exp2

(1. 2)

avec : Φ

=h

qA

π8

3

et h

mB

3

28 23 /Φ=

π

I.3.4 Mécanismes contrôlés par le volume du polymère

I.3.4.1. Courants limités par charge d’espace

Ce phénomène est généralement observé dans les films minces. Si l’on considère

que le contact métal-isolant est bon, alors l’injection des charges sera plus

importante que leur extraction. Ainsi, au niveau de l’électrode à partir de laquelle il


15

y a injection, la densité des porteurs en excès est importante, la conductivité

augmente d’une façon significative et le champ électrique est faible.

Au faible champ, le matériau a un comportement ohmique du aux porteurs

intrinsèques. Dans cette zone, le courant est quadratique et la mobilité est

généralement contrôlée par les pièges.

Pour des tensions élevées, on assiste à une injection importante et tous les pièges

vont être occupés. Si l’on augmente encore la tension jusqu’à la valeur TFLV , les

porteurs injectés ne pourront plus être piégés qui se traduit par une augmentation

significative du courant [Wint 83], (Coel 93], [Diss 92].

La tension TFLV peut être calculée en utilisant l’équation de Poisson et a pour

expression :

r

tTFL

dqNV

εε 0

2

2= (1. 3)

avec q la charge élémentaire, tN la densité des charges , d l’épaisseur, 0ε la

permittivité du vide et rε la permittivité relative du matériau.

Au-delà de TFLV , le matériau suit la loi quadratique d’un matériau sans pièges.

Ces régimes sont présentés dans la Figure I. 4:

Sans pièges

Vtr1 V

tr2VTLF

Avec un niveau

de pièges

Log V

Log J

Figure I. 4 – Caractéristique courant-tension pour un mécanisme de

conduction limité par charges d’espace


16

I.3.4.2. Poole-Frenkel

Le mécanisme Poole-Frenkel est un effet similaire à l’effet Schottky mais qui a lieu à

l’intérieur du matériau, et non à l’interface.

Comme on le voit sur la figure représentant les puits de potentiel associé à un

centre ionisé, l’effet Poole-Frankel résulte de l’abaissement I∆ de l’énergie

d’ionisation I du centre sous l’effet combiné du potentiel coulombien d’un centre

d’ionisation supposé ionisé et du potentiel associé au champ appliqué.

Dans les solides, les centres ionisés sont généralement fixes, par conséquent la

conduction peut se faire que par les électrons qui on pu franchir la barrière

abaissée II ∆− [Coel 93], [Diss 92], [Lamb 67].

L’expression du courant Poole-Frenkel peut se mettre sous la forme :

−Φ

−= ∞kT

EEJJ

pf2

1

βexp (1. 4)

où spf ββ 2=

Dans le cas de l’effet Poole, il faut que la distance λ séparant deux pièges soit

suffisamment faible pour que leur potentiel interfère. Le courant prend alors la

forme :

−Φ

−=kT

qE

EJJ 20

λ

exp (1. 5)

I.3.4.3. Hopping

Dans ce modèle, les défauts de structure entraînent l’existence de sites

énergétiques pouvant être occupés par les porteurs. Dans ce cas, le niveau de Fermi

est une valeur d’énergie qui, en première approximation, sépare les niveaux

occupés des niveaux vides.


17

Figure I. 5 – Sauts de site à site dans un mécanisme de Hopping

A chaque site est associé une fonction d’onde, qui d’après la mécanique quantique

est liée à la probabilité de présence. Lorsque les sites sont spatialement et/ou

énergétiquement proches, il y a un recouvrement non négligeable des fonctions

d’onde et donc une probabilité de passage d’un site à l’autre (Figure I. 5). Plus on se

rapproche du niveau de Fermi, plus la probabilité d’occupation se rapproche de 1/2

et plus on peut trouver des sites donneurs (occupés) ou accepteurs (vides) proches

les uns des autres. On peut donc avoir un processus de migration de porteurs

d’origine purement quantique qui se manifeste autour du niveau de Fermi [Segu

00], [Coel 93].

En optimisant les compromis entre distance énergétique et distance spatiale, la

conductivité peut s’écrire :

−

4

1exp α

T

Aσ (1. 6)

où A est une constante dépendant de la densité et de la nature de pièges. Cette loi a

été vérifiée à des températures de l’azote liquide ou inférieures.

I.3.5 Courants résultant de l’orientation dipolaire

En plus des électrons et des ions, le matériau peut également contenir de dipôles.

Lorsque dans une molécule, le barycentre des charges positives ne coïncide pas

avec celui des charges négatives, on dit que la molécule est polaire et qu’elle

possède un moment dipolaire.

Si l’on applique un champ électrique, alors les dipôles vont s’orienter dans la

direction du champ. Ce phénomène est connu sous le nom de polarisation et


18

dépend de la structure chimique du matériau et de l’intensité du champ électrique.

Les dipôles peuvent être permanent ou induits. Les dipôles induits disparaissent

une fois le champ électrique enlevé. Par contre, les dipôles permanents font partie

intégrante du matériau et ils ne dépendent pas du champ. De plus, ces dipôles

peuvent rester immobiles et alors le matériau demeure polarisé même après

l’enlèvement du champ.

La polarisation →

P est définie comme le moment dipolaire par unité de volume et la

charge totale induite s’écrit :

→→

∫−= adPQ (1. 7)

où →

P est la polarisation, →

ad l’élément de surface.

L’orientation d’un dipôle dans un champ électrique occasionne un déplacement de

charge. Comme tout déplacement local de charge, cela induit un courant dans le

circuit extérieur de mesure. Si l’on applique un champ continu, les dipôles se

déplacent puis atteignent un état d’équilibre. Statistiquement, on peut alors

considérer que les charges sont immobiles et que le courant cesse [Segu 00].

La densité de courant est une somme d’exponentielles :

)exp()()(ii i

st

VCtJττ

εε−

−= ∑∞1

00 (1. 8)

Où 0C est la capacité, 0V la tension appliquée, τ temps de relaxation, ∞εε ,s les

permittivités relatives correspondant respectivement au champ statique et aux

champs à fréquence élevée.

I.3.6 Nouvelles approches

I.3.6.1. Approche fractale

Comme nous l’avons constaté dans les paragraphes précédents, les mécanismes de

conduction dans les matériaux polymères sont de type ionique ou électronique et

dépendent fortement de la structure complexe dans ces matériaux.

Plus récemment quelques auteurs [Novi 00], [Novi1 00], [Prig 04] ont proposé une

nouvelle approche pour expliquer les propriétés macroscopiques (électriques,


19

mécaniques, etc.) dans les isolants. Il s’agit de considérer l’aspect fractal de la

morphologie des polymères. Dans ce cas des phénomènes de conduction, les

porteurs de charge électrique sont placés dans un milieu fractal caractérisé par des

irrégularités dues à des changements d’échelle. Dans un objet fractal la dimension

est de type non-entier, et est associée au comportement de type loi de puissance de

la conductivité en fonction de la température.

Samukhin, et al. [Samu 98] ont modélisé les chaînes macromoléculaires à

l’intérieur d’un cube (LxLxL), dans ce cas les chaînes forment ensembles de paquets

non connectés les unes par rapport aux autres. Le mécanisme de conduction

obtenu est un comportement modifié du mécanisme de conduction par saut

(hopping), qui a été appelé « Variable Range Hooping (VRH) ».

Dans la littérature nous pouvons trouver plusieurs approches du mécanisme de

conduction dans les polymères en considérant la notion de dimension fractale.

Dans tous les cas, ces modèles font une meilleure description mathématique de

transport de charges électriques, cependant il reste encore à expliquer la

signification physique du valeur fractionnaire de la dimension par rapport au

mécanisme de conduction dans les polymères.

I.3.6.2. Modélisation moléculaire

L’injection et le transport des charges dans les isolant ont été caractérisés

notamment par des techniques expérimentales ou par des modèles

phénoménologiques d’injection ou de décharge.

Une autre approche intéressante, qui se développe de plus en plus, est la

modélisation moléculaire. Cette technique implique l'utilisation de méthodes de

calcul théoriques (mécanique moléculaire, dynamique moléculaire, mécanique

quantique ab-initio ou semi-empirique, ...) permettant de déterminer la

représentation graphique de la géométrie ou de la configuration des atomes d'une

molécule et d'évaluer les propriétés physico-chimiques de la molécule étudiée.

Meunier et al. [Meun 00], [Meun 01] ont utilisé la modélisation moléculaire afin de

relier les défauts microscopiques à la formation de la charge d’espace. Dans un

premier temps, il est primordial de comprendre le rôle des défauts au niveau

moléculaire dans le piégeage des charges.


20

Cette modélisation permet de calculer l’affinité électronique et par conséquent la

profondeur des pièges d’un système moléculaire donné. Le calcul de l’affinité

électronique se fait par le biais des méthodes ab initio.

Cette technique permet également de dissocier les défauts qui sont de nature

chimique et physique et d’analyser séparément leurs caractéristiques et d’en

déduire leur influence sur le piégeage des charges.

Il a été montré [Meun 00] qu’en utilisant la modélisation moléculaire il est possible

d’estimer l’énergie, le nombre des pièges, ainsi que le temps de piégeage des

électrons dans les pièges.

Toutes les approches présentées auparavant sont des modèles théoriques qui

tentent d’expliquer les phénomènes d’injection et de transport de charges dans les

matériaux polymères.

Des techniques expérimentales ont été également développées afin de déterminer la

distribution des charges d’espace (densité, polarité, location). Ces techniques sont

directement liées à la variation du champ interne dans le matériau qui se traduit

par l’apparition d’une tension ou d’un courant dans le circuit externe.

I.4 Les méthodes de détection des charges d’espace

A partir du milieu des années 70, beaucoup de chercheurs ont concentré leurs

efforts afin de déterminer les distributions des charges dans les isolants. Ainsi

plusieurs techniques ont été mises au point et l’on peut les diviser en deux

catégories : les méthodes sans résolution spatiale (les courants thermostimulés) et

celles avec résolution spatiale (les méthodes thermiques et acoustiques).

I.4.1 La méthode des courants thermostimulés

Cette technique, mise au point par Bucci et Fieschi [Bucc 64] dans les années 60,

est basée sur la décharge ou la dépolarisation du matériau par activation

thermique. Elle a été l’une des premières à mettre en évidence la présence des

charges d’espace dans les isolants. Elle permet de déterminer la nature de la charge

accumulée, les temps de relaxation et les niveaux énergétiques des pièges mis en

jeu.


21

I.4.2 Les méthodes avec résolution spatiale

Des nombreuses techniques de mesure de charges d’espace et de polarisation avec

une résolution axiale d’environ 1µm ont été développées depuis le milieu des années

70 [Alqu 81], [Sess 81], [Sess 82], [Maen 85], [Taka 87], [Gerh 87], [Lang 81], [Gerh1

87], [Leal 90] et plus récemment une nouvelle technique a été développée avec une

résolution en 3D [Fran 97]. Ces méthodes peuvent être divisées en deux catégories :

thermiques et acoustiques. Dans les deux cas, des signaux électriques sont générés

et sont dus à des changements mécaniques ou diélectriques provoqués par la

diffusion de la chaleur ou la propagation d’une onde de pression dans l’échantillon.

La distribution de charges peut être obtenue à partir de la réponse électrique.

Une description détaillée de ces méthodes et leur évolution a été réalisée par Ahmed

et Srinivas [Ahme 97].

Une attention particulière sera accordée aux méthodes thermiques, puisque la

méthode utilisée lors de ces travaux en fait partie. Les méthodes acoustiques seront

juste mentionnées et leur principe sera décrit.

I.4.2.1. Les méthodes thermiques

A partir du milieu des années 70, les méthodes thermiques ont été développées afin

d’analyser de façon non-destructive les distributions des charges et de la

polarisation dans les polymères isolants minces. Parmi les plus connues, on peut

citer dans l’ordre chronologique la méthode de l’impulsion thermique (MIT), la

méthode LIMM (Laser Intensity modulation Method) et la MOT (méthode de l’onde

thermique).

La caractéristique commune de ces méthodes thermiques consiste dans l’analyse

du courant ou de la tension générés par le matériau diélectrique après une

excitation thermique.

L’avantage majeur de ces techniques réside dans la résolution spatiale qui peut être

atteinte avec les différentes implémentations expérimentales. La nature diffusive de

la chaleur implique une résolution spatiale non uniforme dans l’échantillon. Ainsi

une grande résolution spatiale peut être obtenue proche de la surface excitée mais

elle décroît avec l’épaisseur du matériau.

Une autre question largement débattue porte sur la nécessité d’un traitement

mathématique complexe des données afin d’en déduire les distributions de charges


22

ou de polarisation. Il semblerait que la déconvolution mathématique délicate des

signaux soit un argument majeur contre les méthodes thermiques. Néanmoins, il a

été montré [Baue 93], [Plos 92] qu’en utilisant une méthode approximation basée

sur un changement d’échelle, la distribution de charge peut être estimée

directement à partir des données expérimentales, sans faire appel à des méthodes

mathématiques fastidieuses. Ce procédé sera détaillé dans le chapitre suivant. De

plus, les méthodes mathématiques, comme par exemple la régularisation, ont

atteint une maturité qui permet l’extraction de la charge sans aucune équivoque.

Ces différents points vont être abordés au cours des paragraphes suivants pour

répondre aux différentes interrogations relatives aux méthodes thermiques.

I.4.2.1.1 Implémentation expérimentale des méthodes Le but ici est de décrire brièvement les implémentations expérimentales des

différentes méthodes et de mettre en évidence les similitudes qui existent entre

elles.

Les méthodes thermiques se différencient notamment par le type de source

d’excitation utilisée. Les méthodes d’impulsion thermique et la LIMM utilisent

généralement comme source excitatrice les lasers.

L’intérêt d’utiliser un faisceau laser est double : il nous permet d’obtenir une

information globale de la distribution de charge dans l’échantillon si le faisceau est

défocalisé. Par contre, si l’on focalise le faisceau laser, une analyse ponctuelle de la

charge peut être effectuée [Mart 02]. De plus, la faible puissance du faisceau laser

(mW) assure une analyse non-destructive du matériau.

Dans la MOT, l’excitation thermique est réalisée en appliquant d’un échelon de

température. Une face de l’échantillon est en contact avec un radiateur et est

initialement portée à 30°C avant d’appliquer le front froid. Ensuite, un liquide froid

(0°C) circule dans le radiateur, provoquant ainsi un échelon de température

CT °−=∆ 30 . Cette technique est également non-destructive car la température

maximale atteinte est alentour de la température ambiante, donc elle n’endommage

pas le matériau.

La source excitatrice (laser ou échelon de température) provoque à l’intérieur du

matériau des ondes thermiques qui se propagent à l’intérieur du matériau. Ces

ondes interagissent avec la distribution de charges ou de la polarisation et

génèrent, entre les deux électrodes de l’échantillon, un signal porteur d’information.


23

Ce signal peut être une tension, comme c’est le cas dans la méthode de l’impulsion

thermique, ou un courant pyroélectrique enregistré par la LIMM et la MOT. La

mesure du courant pyroélectrique s’avère parfois difficile, étant donnée sa faible

valeur (~pA).

La MOT et la MIT sont des méthodes temporelles, alors que la LIMM est une

méthode fréquentielle. Ceci implique que les méthodes temporelles fournissent une

réponse rapide de la distribution de charge, de quelques µs pour la MIT et de

quelques secondes pour la MOT. Ces techniques conviennent donc à l’étude des

phénomènes qui évoluent rapidement avec le temps. En LIMM, afin d’assurer une

bonne résolution spatiale, le balayage en fréquence doit s’effectuer sur une plage

importante, rendant ainsi cette technique relativement lente. Elle convient donc à

l’étude des phénomènes qui évoluent peu avec le temps.

Une attention particulière est demandée dans l’implémentation expérimentale de

ces méthodes, notamment en ce qui concerne la source thermique utilisée, les

conditions aux limites des équations de la chaleur, les performances de

l’amplificateur, l’épaisseur et la nature des électrodes. Tous ces problèmes ont été

détaillés par Collins [Coll 79].

I.4.2.1.2 Génération du signal Dans les méthodes thermiques, le signal utile est généré par les contributions du

champ électrique et de la polarisation, qui, en général, ne peuvent pas être

déconvoluées. Cette séparation est néanmoins possible, dans certains cas, si l’on

connaît les caractéristiques du matériau. Ce problème est rencontré dans toutes les

méthodes, thermiques ou acoustiques.

Considérons un matériau diélectrique métallisé sur les deux faces, les dimensions

latérales de l’électrode excitatrice sont beaucoup plus grandes que l’épaisseur du

matériau. Ceci permet une modélisation unidimensionnelle de la température

),( txT , utilisée actuellement par la majorité des techniques.

En conditions de court-circuit, un signal électrique )(tI est généré entre les deux

électrodes et il apporte une information concernant les distributions de la

polarisation )(xP et le champ électrique )(xE dans l’échantillon :

( ) ∫ ∂

∂−−=

d

xp dxtxTt

xExPd

AtI

0

0 ),()()()( εεααα ε (1. 9)


24

où A est la surface de l’électrode, d l’épaisseur de l’échantillon, 0ε la permittivité du

vide, εααα ,, xp les coefficients …

La fonction ( ) )()()( xExPxr xp εεααα ε 0−−= est appelée « fonction charge » et

elle est composée des contributions de la polarisation )(xPpα et du champ

électrique ( ) )(xEx εεαα ε 0− .

En général, les méthodes thermiques fournissent une information globale de )(xr .

Néanmoins, les contributions de )(xP et )(xE peuvent être séparées à partir des

données expérimentales, seulement dans deux cas précis :

• si le matériau est non polaire, seulement )(xE contribue dans l’équation (1.9). A

titre d’exemple, le Téflon (PTFE) et ses copolymères, le polyéthylène (PE) font

partie de cette classe de matériaux.

• si le matériau est polaire, alors la contribution de )(xP sera prédominante dans

l’équation du courant. Le PVDF (polyvinylidène fluoride) et ses copolymères sont

les matériaux les plus connus de cette classe.

• Dans les matériaux où la polarisation est faible, une détermination unique de

)(xE et )(xP est généralement impossible.

I.4.2.1.3 Distribution de la température La connaissance de la distribution de température à l’intérieur de l’isolant est très

importante, la détermination du profil de charges ou de polarisation en dépend

fortement.

Suivant la source d’excitation utilisée, le calcul de la température s’effectue

différemment.

En LIMM, on considère que le diamètre de l’électrode excitatrice est beaucoup plus

grand devant l’épaisseur du matériau, ce qui permet une modélisation

unidimensionnelle du gradient thermique. Ceci permet une simplification des

conditions aux limites de l’équation de propagation de la chaleur [Lang 86, Lang

91].

Une modélisation tridimensionnelle a été développée par notre équipe et utilisée par

la méthode FLIMM (Focused Laser Intensity Modulation Method). Cette approche

permet une analyse ponctuelle des charges d’espace et également la réalisation des


25

cartographies 3D. Nous n’allons pas insister sur ces modélisations, puisqu’une

description détaillée de ces modélisations sera effectuée dans le Chapitre III.

Dans la méthode de l’onde thermique, le calcul de la température s’effectue à partir

de l’équation de la chaleur en géométrie plane avec un choix judicieux des

conditions aux limites. Ainsi, plusieurs modèles ont été proposés :

• Le modèle à deux sources de température est un modèle très rigoureux

physiquement. Dans cette modélisation, on considère que l’électrode de mesure

demeure à une température 0T tandis que l’échelon thermique est appliqué à

l’électrode en contact avec le radiateur. Ce traitement basé sur l’analyse inverse

de Fourier est lourd à mettre en œuvre numériquement [Tour 94], [Cher 92].

• Dans le modèle à une source de température, l’électrode excitatrice est

considérée comme seule source de température. L’électrode de mesure est

supposée à l’infini. Ce modèle n’est valable que lorsque l’onde thermique n’a pas

encore atteint l’électrode de mesure [Mata 01].

I.4.2.1.4 Déconvolution mathématique La détermination de la distribution de charges et la polarisation nécessite un

traitement mathématique du signal pyroélectrique. Chaque méthode thermique

possède ses propres méthodes de déconvolution, liées au calcul de la distribution

de la température dans l’échantillon.

Ainsi, pour chaque technique, plusieurs processus ont été implémentés et utilisés.

• Concernant la méthode de l’impulsion thermique, étant donné qu’elle fût la

première développée, nous permet de voir l’évolution de ces procédés de

déconvolution. Le traitement mathématique, proposé par Collins, consiste à

choisir une discrétisation de la distribution de charges et à calculer la tension

que cette distribution génère. Plusieurs itérations sont ensuite utilisées pour la

distribution de charges et la tension est calculée jusqu’à ce que les données

expérimentales soient en accord avec la discrétisation proposée. Ce procédé est

laborieux et peu précis, seule l’expérience permettra une reproduction des

résultats.

Plus tard, DeReggi et al. [DeRe 78] ont montré que le signal électrique pouvait être

analysé en utilisant les transformées de Fourier. Cette méthode a été implémentée

par Mopsik et DeReggi [Mops 82] rendant ainsi possible l’obtention des 10 premiers


26

coefficients de Fourrier de la distribution de charges. La résolution obtenue avec

cette méthode est de 2.5µm pour un film de 25µm.

• En LIMM, au départ, les auteurs ont proposé également une analyse basée sur

les transformées de Fourier. Par la suite, Lang [Lang 91], [Lang 98] a introduit

les méthodes de régularisation, les plus connues étant la régularisation de

Tikhonov et la TSVD (Truncated Singular Values Decomposition). Le principe

des méthodes de régularisation consiste à imposer une contrainte

supplémentaire sur le système d’équations afin de rendre la solution unique.

Une autre méthode de déconvolution a été développée et implémentée par Ploss

et al. [Plos 92]. Il s’agit de la méthode d’approximation, basée sur un

changement d’échelle. Cette procédure ne nécessite pas de traitement

mathématique fastidieux, la distribution du champ ou de la polarisation est

obtenue en faisant la soustraction entre les parties réelle et imaginaires du

courant pyroélectrique, après un changement d’échelle en fonction de la

diffusion du gradient thermique ω/Dx 2= , où ω est la pulsation et D la

diffusivité thermique. Cette méthode peut être également appliquée aux autres

méthodes thermiques par un changement d’échelle adéquat. La résolution

spatiale obtenue par cette approche est intéressante mais uniquement dans une

zone proche de la surface excitée.

Les méthodes utilisées en LIMM seront détaillées et comparées dans le chapitre

suivant.

• Pour la méthode de l’onde thermique, trois méthodes numériques sont

généralement utilisées : une méthode par analyse de Fourier, une méthode par

dérivations successives et une méthode d’inversion matricielle.

La méthode par analyse de Fourier est utilisée quand on considère une

modélisation avec deux sources de température. Pour résoudre l’équation de

départ, le champ électrique est écrit sous forme d’une série de Fourier. Ce

traitement est lourd à mettre en œuvre numériquement [Noti 01], [Cher 92].

Un traitement par dérivations successives est utilisé quand on considère une

seule source de chaleur. Ce modèle est valable tant que l’onde thermique n’a pas

encore atteint l’électrode de mesure, par conséquent, seulement une partie du

courant enregistré est exploitée. Cette approche est beaucoup plus simple à

mettre en oeuvre et elle est privilégiée dans le calcul des profils de charges [Noti

01].


27

La troisième méthode consiste à prendre en compte la température réelle sur

chaque face de l’échantillon en fonction du temps de mesure. On écrit l’équation

1 sous forme matricielle et le courant se traite en inversant la matrice des

températures [Mata 01], [Noti 98], [Abou 97].

I.4.2.2. Les méthodes acoustiques

Un autre groupe de techniques de détection des charges d’espace est celui des

méthodes acoustiques. Parmi les méthodes les plus connues, on peut citer la LIPP

(Laser Induced Pressure Pulse) [Sess 82], [Male 00] et la PEA (Pulsed Electro

Acoustic method) [Taka 99], [Fuku 02], [Maen 88].

Comme pour les méthodes thermiques, le phénomène physique de ces

implémentations est très semblable, le paramètre qui les différencie étant la source

d’excitation utilisée.

Le principe de ces méthodes consiste à exercer une onde de pression sur une face

de l’échantillon qui se propage à l’intérieur du matériau. Ainsi, les charges d’espace

soumises à cette contrainte se déplacent, créant un signal électrique détecté sur

l’autre électrode. Ce signal est directement proportionnel à la variation du champ

électrique, relié à la distribution des charges d’espace.

L’onde de pression peut être produite soit par un faisceau laser de courte durée

(LIPP), soit par l’application d’une impulsion de tension (PEA).

I.4.2.3. Comparaison entre les méthodes thermiques et acoustiques

Les méthodes thermiques et acoustiques sont des méthodes complémentaires : les

techniques acoustiques sont utilisées pour l’étude des films épais avec une bonne

résolution spatiale en profondeur, par contre, les méthodes thermiques sont

excellentes pour déterminer les distributions de charges dans les films minces, avec

une très bonne résolution spatiale proche de la surface excitée.

Cette conclusion en résulte des nombreuses comparaisons effectuées entre les

méthodes acoustiques et thermiques pour la détermination des distributions de

charges ou de polarisation dans les diélectriques [DeRe 92], [Alqu 92], [Yang 94],

[Blos 96], [Boué 97], [DasG 96].

Les principales caractéristiques des méthodes thermiques et acoustiques sont

présentées dans le tableau :


28

Méthode

Impulsion thermique

MIT

Modulation thermique

LIMM, FLIMM

Echelon thermique

MOT

Electro-acoustique

PEA

Impulsion de pression

LIPP

Source d’excitation

Impulsion laser

Faisceau laser modulé en intensité

Chauffage ou refroidissement d’une électrode

Impulsion de tesnion

Impulsion laser

Nature de la perturbation Dilatation Dilatation Dilatation

Champ électrique

Compression

Quantité mesurée

Variation de la tension

Courant entre les électrodes


Signal acoustique


Durée de la mesure

Courte

(1-10µs)

Longue

(1-100min)

Moyenne

(5-20 s)

Courte

(0.5-10µs)

Courte

(0.5- 10µs)

Résolution spatiale

> 2 µm < 1 µm Films ~1 µm

MOS < 100nm > 10 µm 1µm

Epaisseur des matériaux

< 200µm < 100 µm 20µm – 5mm

MOS < 100 nm < 10 mm 100µm – 1mm

Déconvolution mathématique

Nécessaire Nécessaire Nécessaire Nécessaire Non

nécessaire

Tableau I. 2 – Principales caractéristiques des méthodes de détection de charges d’espace

I.4.2.4. Nouvelles applications des méthodes

Depuis leur création, les méthodes de détection de charges ont beaucoup évoluées

afin de répondre aux demandes des plus en plus pointues.

• Au Japon, un grand nombre de chercheurs concentrent leurs efforts afin

d’élargir le champ d’application de la méthode PEA. Ainsi, Matsui et al. [Mats 02]

ont développé la 3H-PEA (High spatial resolution, High repetition rate, High

voltage measurement). Cette nouvelle variante de la PEA offre la possibilité de

réaliser de mesures de charges d’espace tous les 0.5 ms, permettant ainsi une

étude quasi continue de la dynamique des charges jusqu’au claquage. Maeno et

Fukunaga [Maen 02] ont mis au point un système miniaturisé de la PEA qui

permet de mesurer la distribution des charges sur place, que ça soit en

laboratoire ou en entreprise. Grâce à un oscilloscope portable, les profils de

charges peuvent être observés immédiatement, sans déconvolution

mathématique. Ce système est surtout utilisé pour l’étude des matériaux dans

un environnement spatial.


29

• Au laboratoire d’Electrotechnique de Montpellier, outre les mesures des charges

d’espace dans les films et câbles, la MOT a été utilisée pour déterminer la

distribution de charges d’espace dans les structures MOS (Métal-Oxyde-

Semiconducteur) [Fruc 04]. En utilisant une modélisation simple de la structure

MOS autant du point de vue électrostatique que thermique, une estimation de la

charge d’espace dans l’oxyde peut être obtenue, sans déconvolution

mathématique.

• Dans notre équipe, une évolution de la LIMM a été mise au point, donnant

naissance à la méthode FLIMM (Focused Laser Intensity Modulation Method).

Cette nouvelle technique consiste à focaliser le faisceau laser à la surface de

l’échantillon, ce qui permet une détection ponctuelle de charges dans les

isolants [Mart1 02]. De plus, grâce à des platines microscopiques qui permettent

un balayage suivant les axes X et Y, des cartographies multidimensionnelles de

charges peuvent être réalisées [Petr 04], avec une résolution spatiale en

profondeur d’environ ~1µm et latérale d’environ 10 µm.

I.5 Conclusion

Les polymères ont trouvé de nombreuses applications dans le Génie Electrique,

grâce à leurs propriétés isolantes élevées.

Néanmoins, quand ils sont soumis à des contraintes importantes (électriques,

thermiques, mécaniques), le champ électrique interne augmente provoquant le

claquage prématuré des matériaux. Il est maintenant admis que les charges

d’espace jouent un rôle prépondérant à l’origine de la rupture diélectrique.

De nombreuses théories ont été élaborées qui tentent d’analyser les phénomènes

d’injection et de transport de charges dans les isolants. Un rappel de ces théories a

été fait dans la première partie de ce chapitre.

Elles tentent d’expliquer l’apparition des charges, mais elles ne peuvent pas prédire

la quantité et la localisation de ces charges.

Ainsi, des méthodes de détection des charges d’espace avec une résolution spatiale

dans une direction ont été développées à partir du milieu des années 70. Ces

méthodes peuvent être séparées, suivant le type de la source excitatrice, en

méthodes thermiques et acoustiques.


30

Dans ce chapitre, une description détaillée des méthodes thermiques a été

effectuée, ainsi qu’une comparaison des implémentations expérimentales de ces

techniques.

Le principe des méthodes acoustiques a été également rappelé. La conclusion

majeure qui ressort c’est la complémentarité des méthodes thermiques et

acoustiques démontrée par de nombreuses études.

II - Génération et

détection du signal FLIMM

Chapitre 2 – Génération et détection du signal FLIMM

31

II.1 Introduction

La nécessité de déterminer la répartition spatiale des charges dans un isolant tant

du point de vue théorique qu’expérimental n’est plus à démontrer. Sur plan

théorique, cette répartition contribue à la compréhension des mécanismes de

conduction, d’injection, de transport et de piégeage de charges. Les applications

concernent les processus de vieillissement des matériaux piezoélectriques, la

dégradation des mémoires ferroélectriques et les phénomènes de rupture dans les

cables.

Dans les années 80, une nouvelle technique de détection de profils de charges et de

polarisation a été développée par Lang et Das-Gupta [Lang 86]. Cette technique,

appelée LIMM (Laser Intensity Modulation Method), consiste à irradier la surface de

l’échantillon étudié par un faisceau laser modulé en intensité à une fréquence

variable. On mesure ensuite le courrant pyroélectrique qui résulte de l’interaction

de l’onde thermique produite par le laser avec les charges d’espace ou la

polarisation.

La LIMM est une technique très utilisée actuellement, grâce à sa facilité de mise en

œuvre et à la performance des résultats, notamment dans une zone proche de la

surface irradiée. Elle trouve des applications dans de nombreux domaines, mais est

principalement utilisée pour la détermination des profils de charges et de

polarisation dans les matériaux ferroélectriques et polymères. Les études effectuées

sur les céramiques (PLZT, LiTaO3) ont porté sur la détermination des profils de la

polarisation permanente et spontanée [Boué 97], [Lang 96].

Les matériaux polymères sont utilisés dans beaucoup de domaines, notamment

comme isolants en génie électrique. Il est donc important de connaître leur

comportement sous différentes contraintes (électriques, thermiques, mécaniques).

Pour cela, la méthode LIMM a été employée afin de déterminer les profils de charges

à l’intérieur de ces matériaux, ainsi que leur évolution en fonction des différents

paramètres [DasG 96], [Blos 94], [Blos 96].

La LIMM a trouvé récemment des nouvelles applications, comme par exemple dans

l’étude des cristaux liquides [Leis 98], [Leis1 98], [Lehm 99], des polymères

possédant des caractéristiques optiques non linéaires [Baue 94] ou encore les


32

composites [Gesc 97] qui sont des nouveaux matériaux avec des larges applications

dans les dispositifs dédiés à la photonique, les capteurs, ou à l’optique non linéaire.

Afin de répondre à des champs d’applications plus vastes, la méthode LIMM a

évolué vers des nouvelles variantes, comme la SLIMM (Surface LIMM). Cette

méthode, développée par Lang en 1996 [Lang 96], permet la mise en évidence des

profils de polarisation proche de la surface excitée avec une résolution en

profondeur inférieure au micromètre.

La méthode FLIMM (Focused LIMM) a été mise en œuvre dans notre équipe [Fran

00], et a fait objet des travaux de deux thèses de doctorat [Haas 97], [Biel 01].

La particularité de cette méthode réside dans la focalisation du faisceau laser qui

permet une détection ponctuelle des charges d’espace et la réalisation de

cartographies spatiales 3D avec une résolution latérale de quelques microns et une

résolution en profondeur de l’ordre du micromètre.

Ce type de mesure correspond à une attente forte, si l’on considère qu’à l’heure

actuelle, il n’existe pas d’autres techniques de diagnostic avec de telles spécificités

en 3D.

II.2 La technique FLIMM

II.2.1 Dispositif expérimental

II.2.1.1. Principe général

La source d’excitation est une diode laser modulée en intensité par l’intermédiaire

d’un générateur BF à une fréquence variable. Le faisceau laser issu de cette diode

est focalisé à la surface de l’échantillon par un système optique performant,

permettant d’obtenir une taille de spot inférieure à 10 µm. Les cartographies de

charges sont effectuées grâce à des platines micrométriques qui permettent des

déplacements suivant les axes X et Y de la surface de l’échantillon étudié avec une

précision micromètrique.

L’échantillon est métallisé sur les deux faces avec une couche fine d’or (20 à 50

nm). Afin d’assurer une meilleure absorption du faisceau laser, une fine couche

opaque est généralement déposée sur les électrodes. L’échantillon est placé dans la


33

cellule de mesure servant à la fois de support et de protection contre les

perturbations électromagnétiques. A la sortie de la cellule, le préamplificateur de

transconductance faible bruit est chargé d’effectuer à la fois l’adaptation

d’impédance à l’entrée en tension du détecteur synchrone et l’amplification du

signal pour l’amener à un niveau convenable pour être traité. Il est également

utilisé pour remplir la condition de court-circuit virtuel en régime alternatif entre

les électrodes qui est nécessaire pour nos mesures.

Le signal amplifié est ensuite extrait du bruit par l’intermédiaire d’un détecteur

synchrone.

L’ensemble du dispositif est piloté par un ordinateur, qui permet l’incrémentation

de la fréquence avec un certain pas et l’enregistrement de l’amplitude du signal

suivant deux axes perpendiculaires (réel et imaginaire).

Figure II. 1 - Banc de mesure


34

II.2.1.2. Les éléments de la chaine de mesure

II.2.1.2.1 Diode laser et système optique La génération du signal est assurée par l’association d’une diode et une lentille de

focalisation.

• La diode laser

Son optique et son driver déterminent les caractéristiques du faisceau incident,

c’est-à-dire sa puissance, son intensité et son type de modulation. L’amplitude du

signal pyroélectrique, ainsi que la résolution spatiale sont directement dépendants

de la forme du faisceau laser qui illumine l’échantillon.

La diode actuellement utilisée (PMT45 (LD1360)) peut être modulée par un signal

TTL jusqu’à la fréquence de 20 MHz. Les caractéristiques de cette diode sont

résumées dans le tableau :

Caractéristiques Valeurs

Puissance en sortie

Longueur d’onde

Diamètre du faisceau

Modulation

45 mW

658 nm

1.9 mm (faisceau circularisé par microlentille)

1 Hz – 1MHz : TTL

Tableau II. 1 – Caractéristiques de la diode laser

• La lentille de focalisation

La lentille de focalisation permet de focaliser le faisceau laser à la surface de

l’échantillon. La résolution spatiale dépend du diamètre du spot de focalisation.

La lentille utilisée provient de la société Melles Griot donnant une taille de spot de

6 µm, d’après les données du fabricant.

• La webcam

Au niveau de l’échantillon, une partie de la lumière est absorbée par l’objet, l’autre

partie est réfléchie et détectée par une webcam qui permet la mise au point de la

focalisation et l’estimation de la taille de spot.


35

Ce système permet également de visualiser la surface de l’échantillon et donc de

choisir une zone précise d’étude.

La webcam utilisée est une Philips ToUcam avec une résolution de la caméra de

640/480 pixels.

II.2.1.2.2 Le préamplificateur a) Caractéristiques

Il s’agit d’un pré-amplificateur de courant FEMTO (LCA-200k-20M). Ses principales

caractéristiques sont données dans le tableau suivant :

Caractéristiques FEMTO

• Bande passante (200kHz) indépendante de la capacité du détecteur jusqu’à 10nF

• Très faible bruit en courant : HzfA /40 ramené à l’entrée à 10kHz

• Bruit en tension : HznV /6 à 10kHz

• Bande passante : DC jusqu’à 200kHz

• Gain transimpédance 20MV/A

• Impédance d’entrée : Ω50 ( pF5 ) sur toute la bande passante

Tableau II. 2 – Caractéristiques du préamplificateur

b) Rapport signal/bruit

Les courants pyroélectriques efficaces détectés entre les électrodes peuvent

atteindre des niveaux très faibles (~0.1 pA). La caractéristique principale requise qui

guide le choix effectué du pré-amplificateur est son faible bruit en courant

équivalent ramené à l’entrée.

Considérons la Figure II. 2 dans laquelle la cellule de détection est symbolisée par

une source de courant d’impédance SZ . L’amplificateur est supposé non bruyant

de gain G et les générateurs de bruits équivalents ne et ni sont ramenés à l’entrée.


36

Figure II. 2 – Schéma du préamplificateur

La tension de bruit en sortie est alors égale à :

2

2

22 4

++=

SS

nnb

R

kTB

Z

eiGe (2. 1)

2ni - bruit lié à l’amplificateur

2

2

S

n

Z

e- bruit de la source + amplificateur

SR

kTB4- bruit lié à la source (bruit thermique Johnson), où k est la constante de

Boltzmann, T la température (K) et B la bande passante.

A kHz10 :

≈Ω=

=

=

cS

n

n

ZkZ

HznVe

HzfAi

160

6

40

/

/

avec

Ω=

=

1410

100

S

S

R

pFC (2. 2)

De sorte que le terme SR

kTB4<< 2

ni et 2

2

S

n

Z

e (2. 3)

On en déduit HzµVeb /).()( 11055102 147 ≈⋅⋅⋅= − (2. 4)

Pour une bande de 10kHz : µVVekHzb 10010101 3

10=⋅⋅= )( µ (2. 5)

Un signal à l’entrée de l’amplificateur de effpA10. produit en sortie une tension :

µVeout 21021010 712 =⋅⋅⋅= −. (2. 6)

Dans ce cas typique, le rapport S/B en tension à l’entrée du détecteur synchrone

est égal à :


37

dBB

SdB 34

10100

10220

6

6

−=⋅

⋅=

−

−

log (2. 7)

L’extraction du signal du bruit s’effectue alors sans problème par le détecteur

synchrone. Il faut noter cependant que les facteurs limitants dans notre cas sont la

fréquence maximale d’étude et la capacité de l’échantillon.

Dès que le terme 2

2

S

n

Z

edeviendra plus grand que 2

ni , aucun signal ne pourra être

détecté. Ce sera le cas si la capacité des échantillons augmente, ou si l’on travaille à

des fréquences plus élevées.

c) Validation des conditions de « court-circuit »

L’équation fondamentale de la FLIMM (2 .27) est valable dans le cas où la condition

de court-circuit entre les électrodes est remplie.

Dans l’absolu, on ne peut pas remplir rigoureusement cette condition, mais

seulement tenter de s’en rapprocher au maximum.

Si l’on considère une source schématisée par son impédance équivalente sZ

attaquant l’amplificateur représenté à son entrée par son impédance d’entrée AZ .

Figure II. 3 – Modélisation de l’étape d’entrée

Tendre vers les conditions de court-circuit signifie maximiser le rapport A

s

Z

Z. Or,

sZ , constituée d’une capacité SC en parallèle avec une résistance SR (résistance de

l’isolant), est proportionnelle à 1−f . D’autre part, fZA ≈ ce qui implique


38

2−≈ fZ

Z

A

s . La condition de court-circuit est donc d’autant plus difficile à tenir

que la fréquence augmente.

Pour un cas d’étude typique nous avons pFCS 100= , Ω= 1410SR ,

kHzf 10= , donc :

Ω=+

= kCR

RZ

SS

Ss 160

1 222 ω (2. 8)

Le constructeur donne une valeur d’impédance d’entrée de l’amplificateur quasi

constante sur la bande passante et égale à Ω50 .

Il en résulte que 13200 >>≈A

s

Z

Z et dans ce cas, la condition de court-circuit est

remplie.

II.2.1.2.3 Détection synchrone La détection synchrone est utilisée pour extraire du bruit des signaux à une

fréquence donnée. Ces signaux sont noyés dans le bruit (le rapport S/B en tension

pouvant atteindre -80 à -100dB).

Un détecteur synchrone se compose typiquement d’un multiplicateur analogique,

d’un circuit moyenneur et d’un amplificateur continu de sortie qui restitue

l’amplitude du signal d’entrée. Le rapport signal sur bruit sera d’autant plus grand

que la constante de temps du moyenneur sera grande.

Du point de vue mathématique, un détecteur synchrone réalise une multiplication

entre le signal de référence et le signal à mesurer. Un filtre passe-bas reconstitue

alors une valeur proportionnelle à l’amplitude du signal.

Le signal issu de notre système de mesure pouvant atteindre des niveaux très

faibles ( effpA10. ), un détecteur synchrone (EG&G 5302) travaillant jusqu’à 1MHz,

est utilisé pour l’extraire du bruit.


39

II.2.2 Génération du signal

II.2.2.1. Principe

Le faisceau laser modulé en intensité à une fréquence f et focalisé à la surface de

l'échantillon crée des échauffements périodiques dans une zone proche de la

surface que nous appellerons zone thermique. La taille de la zone thermique est

conditionnée par les caractéristiques du matériau mais aussi par la fréquence de

modulation. Plus la fréquence est basse et plus la zone irradiée est profonde. On

peut ainsi avoir accès à des informations qui sont fonction de la profondeur en

faisant varier la fréquence.

On définit la longueur de diffusion thermique α t [Mart 92] par la distance à laquelle

une source de chaleur est atténuée de e-1. Elle peut s'écrire:

ωα t

t

D.2= (2. 9)

Où Dt (m2/s) est la diffusivité thermique et ω la pulsation de modulation du

faisceau.

Lorsque une charge électrique est atteinte par un gradient thermique, elle est

localement déplacée à la fréquence de modulation. Ce déplacement relatif entre les

deux électrodes crée une variation des charges électriques images sur ces électrodes

et donc une différence de potentiel détectée par le système de mesure. Ayant obtenu

pour un point de la subsurface la distribution de charge, il suffit alors de déplacer

la source laser en surface de l’échantillon pour réaliser une étude

multidimensionnelle de la répartition de la charge électrique. L’avantage est ici

l’augmentation de la résolution latérale en comparaison avec les autres méthodes

de détection.


40

Lock-in

AmplifierComputer

I(f)-

+

Driver

Sample

RElectrode

Electrode

d

Figure II. 4 – Schéma de principe du banc FLIMM

Les limites de cette méthode, comme la plupart des méthodes thermiques, sont

relatives au type de source utilisée. Le but étant de localiser la charge en

profondeur, il faudra exciter le matériau sur une large bande de fréquence. La

modélisation thermique donne alors des indications sur le choix de cette bande

mais montre aussi les limites : à basse fréquence, tout le matériau est irradié et le

signal capté est donc issu de l’état de charge général dans la zone thermique. Il

devient donc difficile d’obtenir une bonne résolution sur toute la profondeur de

l’échantillon. Une solution consiste à retourner l’échantillon, et à renouveler

l’opération. L’association des réponses obtenues successivement sur les deux faces

permet de reconstituer le profil intégral à l’intérieur de l’échantillon.

II.2.2.2. Problème électrostatique

L’information que nous recueillons est liée à la variation de la charge induite au

niveau des électrodes de l’échantillon par une source de perturbation thermique.

Il faut donc résoudre le problème électrostatique lié à l’apparition et à l’évolution de

ces charges pour pouvoir clairement établir une équation fondamentale décrivant

l’évolution de notre information « utile », en l’occurrence le courrant pyroélectrique

de court-circuit.

Nous envisageons dans le futur proche de faire évoluer la FLIMM vers une étude

« sous tension» de nos échantillons. Dans ce but, les équations menant à l’équation

fondamentale ont été réécrites, en tenant compte du terme associé « sous tension »

lié au champ électrique externe appliqué.

Le gradient thermique qui interagit avec les charges d’espace ou avec la

polarisation, génère, entre les deux électrodes, un courant pyroélectrique I(f).


41

Comme montré dans la Figure II. 4, l’électrode supérieure coté impact laser est à la

masse. On crée ensuite une condition virtuelle de court-circuit entre les bornes de

l’échantillon en connectant à l’électrode inférieure un préamplificateur d’impédance

sensiblement nulle (voir §II.1.2.2). Cette condition de court circuit simplifie

considérablement les équations électriques utilisées.

On considère une charge iQ située à l’intérieur du matériau, dans une couche

plane infiniment mince, de surface S, parallèle aux électrodes et située à la distance

z et )( zL − de celles-ci.

pA

LASER

Qi2

Qi1

Qi

Z

z=0

z=L

z=zi

Figure II. 5 – Création des charges images

Par influence totale, la charge interne iQ induit sur les électrodes, des charges

images 1iQ et 2iQ , qui dépendent des distances z et )( zL − . La pénétration d’une

onde de chaleur à partir de l’une des électrodes et la dilatation qui l’accompagne

font varier les valeurs relatives de ces distances et modifient l’équilibre des charges

images.

Pour une charge interne iQ (par unité de surface), située à l’abscisse z , la

condition d’influence totale suppose que la somme des charges dans un plan soit

nulle.

021 =++ iii QQQ (2. 10)

L’induction électrique ED ⋅= ε vaut, en tenant compte des charges de

surface 1σ induites par l’application d’une tension HTV :

Sur ],[ z0 : 11σε += iQE


42

Sur ],[ Lz : 112σε ++=−= iii QQQE

ε représente la permittivité du matériau ( )1−Fm et E le champ électrique interne

( )1−Vm .

Le théorème de Gauss permet d’écrire ∫ =⋅ HTVldErr

(2. 11)

Où HTV est la tension appliquée entre les électrodes dans le cas géneral.

D’où HT

L

z

iiz

iVdu

QQdu

Q=

+++

+

∫∫ ε

σ

ε

σ 11

0

11

Soit ∫ ∫−=+

L L

z

iHTidu

QVdu

Q

0

11 εεσ )( ⇔ 1

0

1σ

ε

ε−

−

=

∫

∫L

L

z

iHT

i

du

duQV

Q (2. 12)

Le calcul de la charge 2iQ se fait de la même manière :

L’induction électrique vaut :

Sur ],[ z0 : 12σε +−−= ii QQE

Sur ],[ Lz : 12σε +−= iQE

Donc :

∫ ∫−−=−

L z

iHTidu

QVdu

Q

0 0

12 εεσ )( ⇔ 1

0

02

σ

ε

ε+

−−

=

∫

∫L

z

iHT

i

du

duQV

Q (2. 13)

La charge 2iQ peut s’écrire comme la somme de la charge présente sur l’électrode

lorsque l’isolant est en condition de court-circuit et la charge crée lorsqu’on

applique une tension HTV :

CCHT iii QQQ222

+= (2. 14)

Le changement de température provoque :

• une dilatation du matériau : duTud x )( α+=′ 1 (2. 15)

• une variation de ε telle que )( TT εαεε +=′ 10

, (2. 16)


43

avec εαα ,x respectivement le coefficient de dilatation thermique du matériau et le

coefficient de dépendance à la température de la permittivité du matériau et 0T la

température d’équilibre.

De sorte que :

01

1

T

x du

T

Tud

εα

α

ε ε

+

+=

′

′ (2. 17)

Calcul de CC

Q2 :

∫

∫

∫

∫

+

+

+

+−

=

′

′

′

′

−=L

x

zx

i

L

z

i

CCdu

T

T

du

T

TQ

ud

udQ

Q

0

0

0

02

1

1

1

1

εα

α

εα

α

ε

ε

ε

ε

Un développement limité au premier ordre implique :

TTTT

Tx

x αααα

αε

ε

+=+−≈+

+11

1

1 , ( εααα −= x )

L’expression de CC

Q2 devient alors :

−+−= ∫∫Lx

i TduL

TduxL

xQQ

CC

00

2 1αα

(2. 18)

Calcul deHT

Q 2 :

1

0

1

0

2

1

σα

ε

σ

ε

+

+

−

=+

′

′

−=

∫∫L

HT

L

HT

HT

TduL

LV

ud

VQ avec

L

VHTεσ =1

D’où

L

VTdu

LLVQ HT

L

HTHT

εαε+

−−= ∫0

2 1 (2. 19)

Donc

∫=L

HT

HTTdu

L

VQ

022

αε (2. 20)

HTCCQQQi 22 ,, sont déjà des charges intégrés sur l’ensemble de l’échantillon


44

• Expression du courant de court-circuit :

++

−=−= ∫∫

Lzi

icc

cc TduzL

QTduQ

Ldt

d

dt

dQtI

002

21

αα)( (2. 21)

Soit :

∂

∂−

∂

∂= ∫ ∫

z L

icc dut

T

L

zdu

t

TQ

LtI

0 0

α)( (2. 22)

iQ étant la charge totale dans l’échantillon

En remplaçant ∫=L

i dzzSQ

0

)(ρ (2. 23)

où )(zρ est la densité volumique de charge dans la direction de l’épaisseur de

l’échantillon et S la surface des électrodes, on obtient :

dzdut

T

L

zdu

t

Tz

L

StI

z LL

cc

∂

∂−

∂

∂= ∫ ∫∫

0 00

)()( ρα

(2. 24)

On rappelle que tjefzTtzT ω),(),( = pour une modulation sinusoïdale.

On en déduit :

dzTdzL

zTduz

L

SjfI

L Lz

cc ⋅

−= ∫ ∫∫

0 00

)()( ρα

ω (2. 25)

En posant : ∫∫ −=LL

TdzL

zTdufzg

00

),( , on obtient :

∫ ⋅=L

cc dzfzgzL

SjfI

0

),()()( ρα

ω (2. 26)

Cette expression peut-être simplifiée par intégration par parties, le développement

des calculs est présenté dans l’annexe 2.

L’expression du courant en condition de court-circuit s’écrit :

∫ ⋅−=L

cc dzfzTzECjfI

0

),()()( ωα (2. 27)


45

D’une façon plus générale, et dans le cas où l’échantillon possède une distribution

de polarisation, l’équation se généralise :

∫ ⋅=L

cc dzfzTzrL

SjfI

0

),()()( ω (2. 28)

avec )()()( zEzpzr αε−= appelée « fonction charge »

où S est la surface des électrodes métalliques, L l’épaisseur de l’échantillon,

)(zr la fonction charge, )(zp le coefficient pyroélectrique dans la direction de

l’épaisseur de l’échantillon z.

• Expression du courant lié à HTV :

SdutuTLL

Vdt

dS

dt

dQtI

L

HTHT

HTV ⋅

−−−=⋅−= ∫ )),(()(0

21

αε (2. 29)

On en déduit :

∫∫ −=−=L

HTL

HT

HTV dzfzTL

CVjdzfzTS

L

VjfI

002

),(),()( ωαε

ωα (2. 30)

L’extraction de la fonction charge )(zr par des méthodes mathématiques de

déconvolution, à partir de l’équation (2. 27) nécessite la connaissance du courant

)( fI et de la température ),( fzT qui se propage à l’intérieur du matériau.

Les mesures du courant pyroélectrique )( fI sont très délicates, à faible niveau.

Afin de palier ce problème, plusieurs solutions ont été envisagées qui seront

détaillées dans les paragraphes suivants.

On note également l’importance fondamentale de la température. Il est donc

nécessaire de bien modéliser l’onde thermique afin de ne pas entacher les résultats

de mesure d’approximations supplémentaires. Les différents modèles proposés

seront présentés dans un chapitre consacré à la modélisation.

Il reste cependant à résoudre le problème mathématique d’inversion consistant à

retrouver )(zr . C’est là le cœur du problème; les méthodes d’inversion ‘’classiques’’

ne donnent pas de solution fiable car la matrice des résultats expérimentaux est

très mal conditionnée. Plusieurs méthodes mathématiques ont été


46

implémentées, testées et comparées, afin de trouver celle qui convient le mieux à

nos expérimentations.

II.3 Les principales évolutions

La méthode FLIMM a été implantée dans notre laboratoire depuis quelques années.

Les résultats obtenus auparavant ont montré son intérêt dans la détection des

charges d’espace, notamment dans la réalisation des cartographies spatiales.

Afin de la rendre encore plus puissante et plus fiable, quelques améliorations

expérimentales ont été apportées, soit au niveau de la chaîne expérimentale

(nouvelle cellule, pré-amplificateur), soit au niveau de la préparation des

échantillons.

II.3.1 Mise en œuvre d’une nouvelle cellule

Les améliorations de la cellule de mesure ont été effectuées toujours dans l’esprit de

permettre une facilité dans la réalisation des cartographies 3D des charges

d’espace. Une nouvelle cellule a été conçue et les parties composantes sont

montrées en détail dans la Figure II. 6.


47

Capot Teflon

Electrode Laiton

Plaque de verre

Support echantillon Teflon

Embase

Aluminium

Amplificateur

Bague de maintien

Aluminium

Figure II. 6 – Détails de la cellule de mesure

La principale amélioration apportée à la cellule consiste dans la conception du

capot. Une ouverture de diamètre de 20mm a été prévue afin de permettre un

balayage en X et Y de la surface de l’échantillon. L’intégration d’une plaquette de

verre permet d’une part de maintenir l’échantillon en contact électrique avec

l’électrode porteuse de signal, et de visualiser le positionnement du faisceau laser

sur la zone à étudier, d’autre part. L’intégration d’une webcam dans notre système

de mesure permet de connaître la position exacte du faisceau laser et d’estimer la

taille de spot.

Cette nouvelle cellule a été conçue de façon à permettre l’interchangeabilité des

préamplificateurs. En effet, un amplificateur à large bande passante s’insère

facilement à l’intérieur de la cellule et son maintien est assuré par l’intermédiaire

d’une bague. Un connecteur Lémo assure le contact entre l’ampli et l’électrode de

mesure. Si l’on veut utiliser l’amplificateur Femto, un câble blindé assure la

connexion entre l’entrée de l’amplificateur et l’électrode de mesure, comme le

montre la figure précédente.


48

II.3.2 Augmentation du rapport S/B

Comme on l’a vu auparavant, l’extraction de la charge d’espace à partir de

l’équation fondamentale FLIMM dépend fortement du courant pyroélectrique

enregistré. Plus le niveau du signal est important, plus les courants sont « propres »

et moins il y a d’instabilités numériques dans la déconvolution mathématique.

L’intensité du signal utile est liée à l’absorption du faisceau laser. Pour augmenter

le rapport S/B, on peut donc améliorer l’absorption optique du faisceau par les

électrodes.

Généralement, dans la littérature, une couche mince opaque (20nm) de bismuth

[Baue 90] est déposée sur les électrodes de l’échantillon. Cette méthode semble

donner de bons résultats. Cependant, le bismuth n’est pas facile à déposer à cause

de sa toxicité. Notre laboratoire n’étant pas équipé d’un évaporateur qui éliminerait

tout risque d’intoxication, il nous a fallu donc trouver d’autres solutions.

Néanmoins, on a pu réaliser un échantillon test avec une couche de bismuth de

20nm afin de tester sa capacité à augmenter le niveau du signal pyroélectrique.

II.3.2.1. Différentes couches et comparaisons

Devant la toxicité du bismuth, il a fallu envisager une autre solution, plus simple à

mettre en œuvre. L’encre de Chine a été choisie d’une part pour la facilité de la

réalisation des couches, et pour ses propriétés optiques, d’autre part.

Le dépôt a été réalisé à la tournette type TP 1100 en ajoutant quelques gouttes

d’encre de Chine sur les deux faces de l’échantillon à étudier et en faisant tourner

avec une vitesse de 4000 m/s et une accélération de 8000 m²/s pendant 30 s.


49

10 100 1000 10000

-1

0

1

2

3

4

5

Co

ura

nt p

yro

éle

ctr

ique

(n

A)

Fréquence (Hz)

Au et encre tournette Au Au et encre posée manuellement

Figure II. 7 – Influence de l’encre

La Figure II. 7 montre qu’en déposant une couche d’encre par dessus de l’électrode,

le niveau de signal augmente dans un rapport proche de 5 en comparaison avec un

échantillon dépourvu d’une couche absorbante. Ce résultat est satisfaisant, mais il

présente néanmoins un inconvénient : l’épaisseur de la couche déposée ne peux pas

être contrôlée et mesure environ 1µm. Ceci entraîne une perte de la résolution en

surface, mais reste exploitable sur une plage de fréquence comprise entre 100 Hz et

10kHz, ce qui est convenable, vu la faible épaisseur de l’échantillon. D’autre part, si

le dépôt est effectué manuellement, l’épaisseur est globalement plus importante et

la couche semble très inhomogène. Dans ce cas, la forme même de la réponse du

courant pyroélectrique change et l’on ne peut plus considérer que le dépôt est sans

influence sur la réponse physique de l’échantillon (en vert sur la Figure II. 7).

Un autre dépôt susceptible d’augmenter le niveau de signal est celui de carbone.

Plusieurs échantillons ont été réalisés, suivant l’épaisseur de la couche absorbante

(10nm, 20nm, 50nm). Les dépôts ont été effectués par évaporation, l’épaisseur étant

ainsi maîtrisée. Le signal utile est plus important lorsque la couche de carbone a

une épaisseur de 20nm (Figure II. 8).

La couche de 10nm n’est pas suffisamment épaisse (prédite par la couleur violette

du dépôt), par conséquent l’absorption optique du faisceau laser n’est pas

suffisante. Par contre, pour un dépôt de 50nm, on assiste à une surchauffe de

l’échantillon ce qui entraîne une modification de la structure interne du matériau.

En conclusion, l’épaisseur optimale de la couche de carbone est de l’ordre de 20nm.


50

10 100 1000 10000

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Coura

nt pyro

éle

ctr

ique (

nA

)

Fréquence (Hz)

Carbone 10 nm

Carbone 20 nm

Carbone 50 nm

Figure II. 8 - Influence de l’épaisseur de la couche de carbone

Mis à part le bismuth, deux autres solutions ont été étudiées. La Figure II. 9 montre

que le niveau de signal a augmenté dans un rapport 3, respectivement 2 pour les

couches d’encre et de carbone rapporté au signal avec la couche de bismuth. Ce

résultat est très satisfaisant dans la mesure où nous avons trouvé un remplaçant

pour le bismuth et qui donne des résultats supérieurs. Dans le cas des mesures

globales de charges d’espace, la solution retenue est la couche d’encre en raison de

sa bonne absorption optique et de la facilité de réalisation du dépôt. Pour la

réalisation des cartographies, un dépôt uniforme par évaporation est nécessaire,

dans ce cas, la couche de carbone sera privilégiée.

10 100 1000 10000

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

Mo

dule

du c

ou

ran

t p

yro

éle

ctr

ique

(nA

)

Fréquence (Hz)

Encre

Carbone

Bismuth

Figure II. 9 - Comparaison des couches absorbantes : encre, carbone, bismuth


51

II.3.2.2. Influence de l‘épaisseur des électrodes

Comme on l’a vu pour le dépôt de carbone, l’épaisseur de la couche absorbante

influence sur le niveau du signal. Il doit en être de même pour l’épaisseur de

l’électrode. Il nous a paru donc intéressant d’étudier l’influence de l’épaisseur, afin

d’essayer de dégager le meilleur compromis. Les études ont été effectuées sur des

échantillons de PVDF métallisés avec une couche d’or avec une épaisseur comprise

entre 5 et 100nm, avec un pas de 12nm. Dans chaque cas, nous avons vérifié que

la conductivité des électrodes restait effective. Les résultats obtenus sont présentés

dans la Figure II. 10.

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

Module

du c

oura

nt pyro

éle

ctr

ique (

nA

)

Epaisseur de l'électrode (nm)

Figure II. 10 - Influence de l’épaisseur de l’électrode

D’après ce graphique, on constate qu’un niveau de signal important est obtenu

pour des épaisseurs d’électrode comprise entre 25 et 40nm. Pour les dépôts fins

inférieurs à 20nm la conductivité électrique n’est pas suffisante pour assurer la

prise des contacts rendant ainsi les mesures impossibles.

Par contre, la diminution du signal utile dans le cas des dépôts supérieurs à 20nm

se justifie par une épaisseur trop importante provoquant une forte déperdition

thermique latérale qui réduit l’interaction du gradient thermique avec les charges

étudiées.


52

II.3.2.3. Influence de la nature des électrodes

L’électrode doit présenter simultanément plusieurs caractéristiques: une faible

épaisseur, une bonne absorption optique et une faible conductivité thermique, afin

d’éviter les fuites thermiques latérales. Pour satisfaire toutes ces contraintes, nous

avons déposé des matériaux différents de ceux utilisés traditionnellement, comme

l’or et l’aluminium.

Le critère de choix pour les matériaux s’est porté surtout sur leurs propriétés

thermiques, mais également sur leur facilité de dépôt dans notre laboratoire.

Une liste des matériaux a été dressée, mais parmi eux seulement trois ont été

retenus : le carbone, l’étain et l’indium.

L’indium présente de bonnes caractéristiques, mais une fois déposé, il s’oxyde très

vite au contact de l’air rendant ainsi impossible tout contact électrique.

10 100 1000 10000

0,0

0,5

1,0

1,5

Module

du c

oura

nt pyro

éle

ctr

ique (

nA

)

Fréquence (Hz)

Aluminium

Or

Carbone

Etain

Figure II. 11- Influence de la nature des électrodes

La Figure II. 11 montre le module du courant pyroéléctrique relevé pour les

différentes types électrodes. On remarque qu’en utilisant une électrode en carbone,

le signal utile est deux fois plus important que pour un échantillon avec une

électrode en or ou aluminium.

Il apparaît donc intéressant d’utiliser directement un dépôt de carbone en tant

qu’électrode, d’autant plus qu’il sert à augmenter l’absorption optique du faisceau.

Cependant, ceci ne sera possible que si aucune action post-dépôt n’est nécessaire,

en particulier si l’échantillon n’est pas soumis à une contrainte de tension. Il pourra


53

être donc utilisé dans le cas des matériaux polaires du type PVDF dont on cherche

à évaluer le profil de polarisation.

Pour l’étude des charges implantées, par exemple dans le PE, nous avons testé

l’utilisation d’électrodes en carbone et en étain. Celles-ci n’ont pas supporté

l’application d’une tension de charge supérieure à 20kV/mm sur l’échantillon,

certainement liée à une résistivité accrue (Tableau II. 3).

On peut constater également que le niveau de signal est inversement proportionnel

à la conductivité thermique de l’électrode déposée. Ceci est dû certainement à un

meilleur confinement de l’énergie déposée induit par une diminution de l’étalement

radial des ondes thermiques dans l’électrode. Ce résultat surprenant n’était pas

évident à priori.

Matériau Caractéristiques

Carbone Etain Aluminium Or

Conductivité thermique

à 0-100°C (11 −− KWm )

80 66.8 237 317

Résistivité à 20°C

( cmµΩ ) 1375 à 0°C 12.6 2.67 2.2

Tableau II. 3 – Conductivité thermique et résistivité

En conclusion, le dépôt direct de carbone en tant qu’électrode de contact est adapté

à l’étude de profils de polarisation et semble augmenter sensiblement le signal

pyroélectrique. En revanche, celles-ci ne tiennent pas suffisamment la charge pour

l’implantation à posteriori de charges dans l’isolant.

II.3.2.4. Influence du diamètre des électrodes

La taille de l’électrode est un autre facteur dont il faut tenir compte. Dans la

littérature, les auteurs utilisent en général des électrodes de diamètres de l’ordre de

2mm [Blos1 96], [Leis2 98].

D’après l’équation fondamentale FLIMM, on sait que le niveau du courant est

directement proportionnel à la capacité de l’échantillon, et que la capacité est

proportionnelle à la surface de l’électrode. Théoriquement, il faut donc utiliser des

diamètres assez importants.


54

La Figure II. 12 montre qu’expérimentalement, on retrouve des résultas prévisibles

par la théorie. Plus le diamètre augmente, plus le niveau de signal augmente,

jusqu’à une valeur seuil d’approximativement 25 mm. Au-delà de cette valeur, on

constate une chute importante dans le niveau de signal. Ce phénomène peut être

expliqué par un étalement thermique dans l’électrode qui semble freiner la

conversion thermique utile à l’excitation des charges. Dans nos expérimentations, le

choix c’est porté sur un diamètre de 16mm qui correspond au diamètre de

l’électrode porteuse de signal, intégrée dans notre cellule de mesure.

0 5 10 15 20 25 30 35

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Mo

du

le d

u c

ou

ran

t p

yro

éle

ctr

iqu

e (

pA

)

Diamètre de l'électrode (mm)

Figure II. 12 - Influence du diamètre de l’électrode

II.3.3 Développement des logiciels

La fiabilité et la reproductibilité sont deux paramètres importants dans la mesure

des charges d’espace. Pour cela, des logiciels d’acquisition et de calcul ont été

développés.

II.3.3.1. Programme d’acquisition

L’acquisition du courant pyroélectrique s’effectue de manière automatique, par

l’intermédiaire de l’ordinateur. L’interface entre le dispositif de mesure et

l’ordinateur est assurée par un logiciel développé sous Delphi. Ce programme

permet une souplesse dans le choix des paramètres de mesures et l’enregistrement

des courants dans des fichiers ASCII (*.dat) ou des fichiers compatibles avec Matlab

(*.m).


55

Ce logiciel permet l’affichage instantané de l’évolution des spectres de courants, en

donnant la possibilité de visualiser le module, la phase de détection ou bien les

parties imaginaire et réelle des courants (Figure II. 13).

Le choix de la gamme de fréquence se fait en sélectionnant les fréquences

minimales et maximales et le nombre des points entre ces deux valeurs.

L’espacement des fréquences peut se faire de façon linéaire ou logarithmique, avec

un tirage des fréquences soit aléatoire, soit dans l’ordre croissant.

Afin de faciliter le traitement des données ultérieurement, ce logiciel permet

l’intégration dans le fichier de mesure des paramètres concernant les

caractéristiques de l’échantillon. Ainsi, avant le lancement du programme

d’acquisition, on renseigne le fichier avec le type du polymère étudié, sa capacité et

le diamètre de l’électrode. Ces constantes sont nécessaires lors du traitement

mathématique des données.

Ce logiciel, avec son interface interactive, rend l’acquisition des données facile et

fiable.

Figure II. 13 – Interface du programme d’acquisition


56

II.3.3.2. Programme de calcul de la température

La propagation de la chaleur à l’intérieur du matériau est calculée en utilisant

plusieurs modèles de température, qui seront détaillés dans le chapitre suivant.

Un logiciel de calcul a été développé pour chaque modèle en tenant compte de leurs

caractéristiques. La Figure II. 14 montre l’interface du logiciel pour la modélisation

unidimensionnelle quatre couches.

La distribution de la température dépend de la source excitatrice, pour cela ce

programme offre la possibilité de renseigner le modèle avec ses caractéristiques :

puissance de la diode, rayon de spot et également la longueur d’onde du laser

utilisé. La longueur d’onde est très importante car d’elle dépendent les

caractéristiques thermiques du matériau utilisé. La réponse en température peut

être différente suivant la longueur d’onde utilisée, comme on le verra dans le

paragraphe 3.1.20.

Ce logiciel permet également de choisir les quatre milieux dont l’échantillon est

composé. Pour chaque couche, on a la possibilité de choisir le type du matériau et

son épaisseur. A titre d’exemple, la première couche est constituée généralement

de l’air ou de verre. La deuxième représente l’électrode excitatrice déposée sur le

matériau à étudier (milieu 3). La dernière couche est associée à l’électrode de

mesure.

Une fois les caractéristiques des matériaux sélectionnées, on détermine la gamme

de fréquence pour laquelle la température sera calculée. En général, elle correspond

à la gamme de fréquence utilisée lors de l’acquisition du courant pyroélectrique.

La distribution de la température peut se calculer sur la totalité de l’échantillon ou

pour chaque couche séparément. De plus, on peut la déterminer en fonction de la

fréquence, de l’épaisseur du matériau ou alors en fonction de ces deux paramètres.

La répartition des points de calcul suivant z peut se faire de façon linéaire ou

logarithmique.

Finalement, la distribution de la température est écrite dans un fichier compatible

avec le logiciel Matlab.

Pour les autres modèles de température, le calcul se fait de la même façon, par

l’intermédiaire des logiciels qui offrent une souplesse dans le choix des paramètres

et une facilité d’utilisation. De plus, le temps de calcul est très court (~secondes),

quelque soit le modèle et le nombre de points de calcul. Ces programmes


57

permettent également l’affichage des courbes de température, ainsi que leurs

valeurs.

Figure II. 14 – Interface du logiciel de calcul de la température

II.3.3.3. Programme de traitement des données

Le calcul de la distribution de charges se fait grâce à un programme écrit sous

Matlab. Il débute par l’importation des données expérimentales, qui ont été

stockées dans un fichier par le logiciel d’acquisition. Ensuite, on renseigne le

programme avec la distribution de la température, qui a été également écrite dans

un fichier Matlab, comme on l’a vu précédemment.

La suite du programme est constituée par des routines Matlab, comme par exemple

celle qui permet le calcul du paramètre de régularisation, avec la méthode L-curve

[Hans 93].

Enfin, les résultats sont affichés et constitués des distributions de champs

électriques et de charges d’espace, en parties réelles et imaginaires.


58

II.4 Conclusion

La méthode FLIMM est utilisée dans notre équipe pour la détection et la localisation

de charges d’espace dans les diélectriques minces.

Pour mieux comprendre le fonctionnement de cette technique, une description

détaillée du dispositif expérimental a été effectuée dans la première partie de ce

chapitre. Son principe général ainsi que la génération du signal ont été également

évoqués.

En FLIMM, une attention particulière doit être accordée à l’acquisition des données,

la précision des résultats en dépend fortement.

Dans le cas des mesures de charges, le courant FLIMM est très faible (~pA), ce qui

rend le traitement mathématique difficile. Pour palier ce problème, plusieurs

solutions ont été développées :

• L’intensité du signal utile étant liée à l’absorption du faisceau laser, pour

augmenter le rapport S/B, on cherche à améliorer l’absorption optique du

faisceau par les électrodes. Pour cela, une étude concernant la nature, la taille

et l’épaisseur des électrodes a été menée afin d’en tirer le meilleur compromis

pour augmenter le niveau du signal utile. Des fines couches optiquement

opaques (carbone, encre, bismuth) à déposer par dessus l’électrode ont été

également envisagées afin d’augmenter le rapport S/B.

• Une autre amélioration porte sur le choix judicieux du préamplificateur. La

méthode FLIMM est surtout utilisée pour déterminer les profils de charges dans

une zone très proche de la surface excitée, ce qui impose de travailler en haute

fréquence à très faible niveau car dans nos expérimentations, le courant

pyroélectrique est très faible. Il fallait donc mettre en oeuvre un préamplificateur

avec un bon compromis entre une très large bande passante et un gain élevé. Le

choix s’est porté, après différentes études comparatives, sur un amplificateur

faible bruit commercialisé par FEMTO.

• Une nouvelle cellule de mesure a été construite dans le but d’augmenter la

précision et la fiabilité de nos mesures expérimentales. La réalisation des

cartographies multidimensionnelles nécessite en particulier de visualiser le

positionnement du faisceau laser afin de permettre l’étude d’une zone précise de

l’échantillon, ce qui impose de nombreuses contraintes.


59

Afin de faciliter l’acquisition des données et leur traitement mathématique, des

programmes informatiques ont été mis au point, assurant une bonne reproduction

et une très grande fiabilité. Ces programmes sont surtout très efficaces pour

l’implémentation de méthodes de déconvolution et pour le calcul de la température.

Ainsi le balayage du faisceau sur l’échantillon, l’acquisition du signal et l’obtention

des répartitions de charges sont complètement automatisés.


60

III - Modélisation de la

température et problème

inverse FLIMM

Chapitre 3 – Modélisation de la température et problème inverse FLIMM

61

III.1 Modélisation de la température

III.1.1 Introduction

En instrumentation FLIMM, il est impossible d’évaluer expérimentalement la

variation de la température à l’intérieur du matériau. S’il existe des méthodes pour

mesurer la température en surface d’échantillon (ex : la méthode bolométrique),

aucune méthode en revanche ne peut nous renseigner sur la répartition de la

température locale dans le volume.

Ainsi, la nécessité de mettre au point un modèle mathématique cohérent pour

étudier la température locale dans un échantillon s’est imposée. La détermination

théorique du champ de température au sein de l’isolant soumis à une irradiation

par faisceau laser revêt une très grande importance. D’elle dépendra la précision

des résultats obtenus in fine. En effet, l’extraction de la charge à partir de l’équation

de Fredholm (2. 27) nécessite un traitement mathématique délicat, et la

température y joue un rôle primordial. Plus la modélisation est proche des

phénomènes physiques, plus les résultats obtenus se rapprochent d’une solution

réelle.

Plusieurs modèles de température ont été développés dans notre équipe.

Historiquement, le premier mis au point a été de type unidimensionnel, en

considérant une source de chaleur à apport surfacique. Ce modèle nous donne une

estimation de la charge à l’intérieur de l’échantillon, mais étant donnée l’originalité

de la méthode FLIMM, qui consiste à détecter point par point une distribution de

charges et à réaliser ainsi une cartographie en 3D, le développement d’un nouveau

modèle tenant compte d’une propagation multidimensionnelle du gradient

thermique s’est avéré nécessaire. Il s’agit d’une modélisation de la température 3D

avec apport volumique de chaleur qui a été le sujet d’une thèse de doctorat dans

notre équipe (Mous 00).

Nous exposons dans un premier temps le principe de ces deux modèles, ainsi que

l’analyse de leurs performances. Dans un second temps, une alternative originale

au modèle 3D est proposée, il s’agit du modèle 1D multicouches.


62

III.1.2 Equation générale de diffusion de la chaleur

La température T en un point localisé par son vecteur position rrest solution de

l’équation de diffusion de la chaleur pour un milieu homogène, isotrope et dont les

coefficients ne présentent pas de thermo-dépendance :

χ

),(),(1),(

trQ

t

trT

DtrT

t

rrr

−=∂

∂−∆ (3. 1)

),( trQr

représente la source volumique de chaleur,

χ la conductivité thermique (W/m/K)

tD la diffusivité thermique (m²/s)

pt

CD

ρ

χ=

pC la chaleur spécifique (J/g°C) et ρ la masse volumique (g/cm3)

En fonction de la géométrie de la source ),( trQr

, de celle de l’échantillon et des

conditions physiques aux limites, l’étude de différentes modélisations du

comportement thermique peut être effectuée.

III.1.3 Modèle 1D avec apport surfacique

Il s’agit du modèle le plus simple développé. Il a physiquement un sens si le

diamètre du faisceau est supérieur à l’épaisseur de l’échantillon. Nous considérons

alors que l’apport d’énergie par le faisceau laser se fait en surface de l’échantillon

(Figure III. 1).

Apport surfacique de

chaleur par laser

Echantillon

z

L

0

Figure III. 1 – Modèle unidimensionnel surfacique


63

III.1.3.1. Equation de la chaleur

Pour un modèle unidimensionnel [Suzu 85], les équations de propagation de la

chaleur peuvent s’exprimer par :

⋅−=

=−∂

∂

)()(

0)()( 2

2

2

zgradTz

zTz

zT

χϕ

δ avec

tDj

ωδ =2 (3. 2)

avec les conditions aux limites correspondant à un modèle sans flux de chaleur sur

la face arrière:

=

=

ηϕ

ϕ

0)0(

0)(

j

L (3. 3)

où ( )20 m/Wj est la densité de puissance du faisceau laser, η le coefficient

d’absorption optique des électrodes

En résolvant ces équations, on obtient l’expression de la température [Lang 86]

dans le volume :

L

LzjfzT

γ

γ

χδ

η

sinh

)(cosh),( 0 −

⋅= avec tD

fj

πγ )1( += (3. 4)

avec ( )mL l’épaisseur de l’échantillon et γ le nombre d’onde complexe.

A partir des mêmes équations de la chaleur, et en tenant compte de échanges de

chaleur entre l’échantillon et le milieux arrière, les conditions aux limites

deviennent :

=

=

ηϕ 0)0(

0)(

j

LT (3. 5)

L’équation de la température avec flux sur la face arrière peut s’écrire :

0 sinh ( )( , )

cosh

j L zT z f

L

η γ

χδ γ

−= ⋅ (3. 6)

Suivant l’hypothèse faite sur le flux de chaleur sur la face arrière, on peut tracer les

profils de température de la Figure III. 2 pour un échantillon de PE de 25 µm.

La supposition d’un apport surfacique est valide car l’échantillon est semi-

transparent. Ainsi, l’énergie du faisceau laser ne peut pas complètement être

transférée en chaleur dans l’électrode.


64

0 5 10 15 20 25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

0 5 10 15 20 25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8avec flux sur la face arrière

Tem

péra

ture

(m

K)

Profondeur (µm)

sans flux sur la face arrière

f = 10000 Hz

f = 1000 Hz

f = 100 Hz

Profondeur (µm)

Tem

péra

ture

(m

K)

Figure III. 2 – Profils de température en profondeur

En analysant les courbes ci-dessus, on remarque que l’hypothèse du flux sur la

face arrière de l’échantillon a une grande influence en basse fréquence et en

particulier en dessous de 1kHz, où les profils 1D de température sont très

différents.

Ainsi, il faudra préciser clairement si l’on considère que l’échantillon est

thermiquement isolé ou pas.

III.1.4 Modèle 3D avec apport volumique

Nous considérons ici un apport volumique de chaleur par le faisceau laser, c'est-à-

dire une certaine pénétration du flux lumineux au sein de l’échantillon. Le profil en

surface du faisceau laser sera considéré Gaussien.

L’échantillon type est à faces parallèles, distantes d’une longueur d et à dimensions

latérales infinies. On considère un point M du matériau de coordonnées ),,( zyx . La

face avant reçoit l’impact laser. L’axe principal de symétrie )(z est l’axe du faisceau

incident. Pour tenir comte des flux sur la face avant et arrière, deux milieux de

propagation sont ajoutés de part et d’autre de l’échantillon (Figure III. 3).


65

Faisceau Laser

Air

Echantillon

Milieu de fond

(semi-infini)

z

L

0

2

1

3

(a)

(s)

(f )

Figure III. 3 – Modèle tridimensionnel avec apport volumique

La distribution de la température dans le volume est définie par l’équation de

conduction de chaleur. Dans le modèle à trois couches air (a) / échantillon (S) /

milieu de fond (f) (Figure III. 3), elle prend trois formes différentes [Mous 00] :

=−∇

−=−∇

=−∇

0

1

0

2

2

2

),,,(),,,(

),,,(),,,(),,,(

),,,(),,,(

tzyxTDjtzyxT

tzyxQtzyxTDjtzyxT

tzyxTDjtzyxT

tf

ts

ta

ω

χ

ω

ω

(3. 7)

avec

:tiD diffusivité thermique du milieu i

:tiχ conductivité thermique du milieu i

Les conditions de continuité de la température et du flux de chaleur aux interfaces

imposent les conditions aux limites suivantes :

−=−

−=−

===

===

==

==

Lz

ff

Lz

ss

z

ss

z

aa

fs

sa

dz

dT

dz

dT

dz

dT

dz

dT

LzTLzT

zTzT

χχ

χχ00

)()(

)0()0(

(3. 8)


66

L’énergie optique dans l’échantillon peut s’écrire [Jack 80] :

tjza

yx

eeea

RPtzyxQ ωβ

λλβ

π

−

+−−

=2

22)(

22

0 )1(2),,,( (3. 9)

où 0P est la puissance du faisceau laser, R le coefficient de réflexion optique, β le

coefficient d’absorption optique et a le rayon de la tâche focale.

La méthode de résolution des équations est basée sur l’utilisation des transformées

de Fourier.

On effectue une double transformée de Fourier de l’équation de conduction de la

chaleur par rapport aux variables spatiales x et y. L’importante simplification qui en

découle permet de résoudre dans le plan des transformée à l’aide de fonctions de

Green. L’hypothèse d’un milieu thermiquement épais aboutit à une expression de la

chaleur simple dans le plan de Fourier. Le retour dans le plan réel est effectué à

l’aide d’un logiciel de calcul numérique permettant d’exploiter au mieux les

résultats obtenus.

Le résultat obtenu dans le plan réel est ensuite transformé dans en coordonnées

cylindriques et on obtient :

∫ ∫∞

= =

=

0

2

0k

jkr kdkdekTzrTπ

η

η ηcos)(~

),(

(3. 10) où

−

−= − zz

s

ss eekS

kTδδλ

λδ

β

βδ 22

0 )(~

)(~

avec

Qnmk =+= 222 , 22

)1(2

)(~

020kaeRPkS −−−= λβ

χπ et jbas +=δ

où

2

4 22 Ω++=

QQa ,

2

4 22 Ω++−=

QQb et

tD2

ω=Ω


67

III.1.5 Comparaison 1D / 3D

Le but est ici de comparer les deux méthodes décrites auparavant, étant donné

leurs différences, autant de point de vue de l’apport d’énergie, que des conditions

aux limites.

Les premières études proposées concernent la simulation de la température en

fonction de la fréquence, pour un échantillon de PE de 25µm d’épaisseur.

0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50 Modèle 3D volumique

Modèle 1D surfacique avec flux

PE épaisseur 25µm

Fréquence 10 Hz

Tem

péra

ture

(m

K)

Epaisseur (µm)

Figure III. 4 - Distribution de la température pour f = 100Hz

A basse fréquence, la différence majeure entre les deux modèles réside au niveau de

z=L. On constate que la température en face arrière est nulle pour le modèle 1D ce

qui correspond physiquement à notre configuration expérimentale. Cette différence

est certainement due aux hypothèses faites sur les conditions aux limites en face

arrière. En effet, pour le modèle 3D on a supposé qu’il n’y pas d’apport de chaleur

sur la face arrière.


68

0 5 10 15 20 25

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20 Modèle 3D volumique

Modèle 1D surfacique avec flux

PE épaisseur 25µm

Fréquence 10000 Hz

Tem

péra

ture

(m

K)

Epaisseur (µm)

Figure III. 5 - Distribution de la température pour f = 10kHz

Dans la Figure III. 5, on remarque que pour les hautes fréquences, l’onde thermique

s’atténue rapidement avec la profondeur. L’échantillon est ainsi irradié sur une

zone très proche de l’électrode excitée ce qui nous permet d’avoir une bonne

résolution spatiale proche de la surface, ce qui est le point fort de la FLIMM.

Pour une fréquence de 10kHz, l’onde thermique pénètre dans l’échantillon jusqu’à

une profondeur maximale d’environ 7 µm, indépendamment du modèle choisi. De

plus, on peut noter que la variation de la température n’a pas la même allure

suivant le modèle utilisé. A z=0, la tangente de la température est horizontale pour

le modèle 3D avec apport volumique, tandis qu’elle est verticale pour le modèle 1D

avec apport surfacique. En réalité, la température se propage suivant les directions

(x, y, z), il est donc logique de constater que le modèle 3D avec apport volumique

modélise mieux la distribution de la température au sein de l’échantillon.

Suite à la comparaison de ces deux modèles, on en déduit que pour des fréquences

plus élevées, le modèle 3D avec apport volumique est plus adapté à nos

expérimentations que le modèle unidimensionnel. Par contre, il ne tient pas compte

de l’apport de chaleur par le faisceau laser sur la face arrière. Pour cela, à basses

fréquences, le modèle 1D avec flux, donne une meilleure approximation de la

température. Afin de pallier ces problèmes, un nouveau modèle de température

unidimensionnel a été envisagé avec apport volumique de chaleur et qui tient

compte des flux sur la face arrière.


69

III.1.6 Modèle 1D avec apport volumique

III.1.6.1. Géométrie du problème

Pour améliorer le modèle 1D avec apport surfacique, nous considérons un apport

volumique de chaleur par le faisceau laser. (Figure III. 6). Celui-ci est utile si le

faisceau laser est focalisé (taille de spot inférieure à l’épaisseur de l’échantillon).

Apport volumique de

chaleur par laser

Echantillon

z

L

0

Figure III. 6 – Modèle unidimensionnel volumique

III.1.6.2. Equation de la chaleur

La température en un point localisé par sa position sur l’axe Oz est solution de

l’équation différentielle de la chaleur pour un milieu homogène, isotrope et dont les

coefficients ne présentent pas de thermo-dépendence :

)(1

)(2

2

zQzTD

jz

T

t χ

ω−=−

∂

∂ (3. 11)

où ω est la pulsation ( fπω 2= , f étant la fréquence de modulation du laser en Hz).

On considère un flux nul sur les faces avant et arrière, donc les conditions aux

limites sont données par :

=∂

∂−

=∂

∂−

=

=

0

00

Lz

z

z

T

z

T

χ

χ

(3. 12)


70

III.1.6.3. Source de chaleur

Le milieu est supposé non diffusif et opaque pour l’infrarouge. Soit 0φ le flux

surfacique du faisceau laser incident à l’interface air / échantillon. (Figure III. 7)

Celui-ci représente la puissance par unité de surface du faisceau laser incident, il

possède une symétrie de révolution :

2

0

20

02

−

=r

r

er

P

πφ (3. 13)

où P est la puissance du laser (W) et 0r est le rayon du faisceau à 1/e (m).

Air (n=1, β=0) Echantillon (ni, βi) Air (n=1,β=0)

φ0

φ−

φ+

φt

=(1−R2) φ+(L)

R1φ−(0) R

2φ+(L)

φ+(L)(1− R1)φ

0

(1− R1)φ−(0)

R1φ

0

1 2 3

z

L0

Figure III. 7 – Modélisation de la source de chaleur

Soient ijR la réflectivité spéculaire au niveau de l’interface entre les différents

milieux et λβ le coefficient spectral d’absorption. λβ est défini à partir de l’indice

complexe de réflexion de l’échantillon utilisé :

iii jknn −=~ (3. 14)

où in est l’indice de réfraction, lié à la vitesse de propagation de l’onde dans le

milieu considéré et ik l’indice d’extinction décrivant l’atténuation de l’onde lors de

cette propagation. On peut relier la réflectivité et l’absorption à l’indice optique

complexe par la relation suivante :

22

22

)()(

)()(

jiji

jijiij

kknn

kknnR

+++

−+−= (3. 15)


71

λ

πβλ

ik4= )( 1−cm (3. 16)

Les flux transmis +φ et réfléchi −φ , incluant les réflexions multiples aux interfaces,

vérifient les équations différentielles suivantes :

=+−

=+

−−

++

0)()(

0)()(

1

1

zdz

zd

zdz

zd

iφβφ

φβφ

λ

λ

(3. 17)

qui ont pour solutions :

=

=

−

−+

z

z

Mez

Nez

1

1

)(

)(

λ

λ

β

β

φ

φ (3. 18)

Les conditions aux limites sont :

=

+−=

+−

−+

)()(

)0()1()0(

2

110

LRL

RR

φφ

φφφ (3. 19)

Les constantes d’intégration sont donnés par :

−

−=

−

−=

−

−

−

L

L

L

eeR

RRM

eR

RN

λ

λ

λ

ββ

β

φ

φ

2022

1

11

0221

1

1

)1(

1

1

(3. 20)

La source de chaleur générée par le faisceau laser incident dans le milieu s’exprime

comme la divergence du flux radiatif qu’il crée en chaque point du matériau :

dz

zd

dz

zdzQ

)()()(

+−

−=φφ

(3. 21)

L’expression de l’énergie absorbée devient alors :

zeSzQ λβχ −−= 0)( (3. 22)

avec λβπχ 2

100

2

)1(1

a

RPS

−−= (3. 23)

a étant le rayon de la tache focale cylindrique (m).


72

III.1.6.4. Expression de la température

La solution de l’équation )(1

)(2

2

zQzTD

jz

T

t χ

ω−=−

∂

∂ est de la forme :

)()( zfBeAezT zz ++= −δδ (3. 24)

avec

+==

−=

−

−

−=

−

−

−=

−

−

+−

−

−−

)1(2

,

)()(

)(

)(

2

22

0

22

0

22

0

jDD

j

eS

zf

ee

eeSB

ee

eeSA

tt

z

LL

LL

LL

LL

ωδ

ωδ

δβ

β

δβδ

β

δβδ

β

λ

λ

λ

β

λ

λ

δδ

δβ

λ

λ

δδ

δβ

λ

λ

(3. 25)

L’hypothèse d’un modèle monocouche aboutit à une expression de la chaleur

relativement simple. Ce modèle présente des problèmes aux basses fréquences liés

aux hypothèses faites sur les flux sur les faces avant et arrière. De plus, la

température se propage dans toutes les directions et une modélisation 3D s’avère

donc nécessaire [Mart 00].

III.1.7 Modèle 1D quatre couches

Le modèle 1D quatre couches a été réalisé suite aux améliorations apportées à la

cellule de mesure. La superposition d’une plaquette de verre par dessus

l’échantillon risque d’entraîner une modification dans la propagation de la

température. Ainsi, dans le modèle 1D quatre couches on tient compte de la

propagation de la chaleur en fonction des caractéristiques thermiques de chaque

milieux composant l’échantillon.


73

III.1.7.1. Géométrie du problème

Nous considérons un apport volumique de chaleur par le faisceau laser. La

propagation se fait suivant l’axe z du faisceau incident (Figure III. 8)

Electrode -l

z

L

0

Faisceau Laser

Air (semi-infini)

Echantillon3

1

2

Laiton (semi-infini)4

Figure III. 8 – Modèle unidimensionnel quatre couches

III.1.7.2. Equations de la chaleur

La distribution de la température dans le modèle est définie par l’équation de

conduction de la chaleur.

Dans notre modèle à quatre couches (air, électrode supérieure, échantillon et

électrode inférieure), on obtient dans chaque milieu :

−=−

−=−

−=−

=−

)(1

)(1

)(1

0

44

4242

42

33

3232

32

22

2222

22

1212

12

zqTdz

Td

zqTdz

Td

zqTdz

Td

Tdz

Td

χδ

χδ

χδ

δ

(3. 26)

avec ti

iD

jω

δ =2 , )4,1(=i , 12 −=j

Les conditions de continuité de la température et du flux de chaleur aux interfaces

imposent les conditions aux limites suivantes :


74

=

=

=

=+∞=

===

===

−==−=

=−∞=

==

==

−=−=

LzLz

zz

lzlz

dz

dT

dz

dT

dz

dT

dz

dT

dz

dT

dz

dT

zT

LzTLzT

zTzT

lzTlzT

zT

44

33

0

33

0

22

22

11

4

43

32

21

1

0)(

)()(

)0()0(

)()(

0)(

χχ

χχ

χχ

(3. 27)

III.1.7.3. Modélisation des sources de chaleur

La modélisation de la source de chaleur pour le modèle quatre couche peut être

schématisée comme suit :

Echantillon

φ1

φ4

+(L) =(1- R3) φ

3

+(L)

R2φ

2

-(-l) R3φ

3

+(L)

φ3

+(L)

Air Electrode Laiton

(1- R1)φ

1

R3 φ

3

−(0)φ2

−

φ2

+

φ3−

φ3

+R2φ

2

+(0)

(1- R3) φ

3

-(0)

(1- R2) φ

2

+(0)

z

-l L

1 2 3 4

0

(1- R1)φ

2

-(-l)

R1φ

1

Figure III. 9 – Modélisation de la source de chaleur pour quatre couches

Soient 1ρ , 2ρ et 3ρ les réflectivités spéculaires sur chacune des faces λβ1 , λβ2 , λβ3

et λβ4 les coefficients spectraux d’absorption.

Les flux transmis )(zi+φ et réfléchi )(zi

−φ (i=1,4 est l’indice de la couche), incluant

les réflexions multiples aux interfaces, vérifient les équations différentielles

suivantes [Auss 89] :


75

=+−

=+

−−

++

0)()(

0)()(

zdz

zd

zdz

zd

iii

iii

φβφ

φβφ

λ

λ

(3. 28)

avec les conditions aux limites :

=−

=

−=−

−+=

−+−=−

++

+−

−++

−+−

−+

)()()1(

)()(

)0()0()0()1(

)0()1()0()0(

)()1()(

433

333

33322

33222

22112

LLR

LRL

RR

RR

lRRl

φφ

φφ

φφφ

φφφ

φφφ

(3. 29)

Suivant le même raisonnement que pour le modèle 1D monocouche, les équations

différentielles ont pour solutions :

=

=

=

−

−

=

+

zi

ii

zi

ii

i

i

eMz

eNz

λ

λ

β

β

φ

φ

3,2

4,2

)(

)(

(3. 30)

En soumettant ces solutions générales aux conditions aux limites (3.29) nous

déterminons les constantes d’intégration :

=−

=

−=−

−+=

−+−=−

++

+−

−++

−+−

−+

)()()1(

)()(

)0()0()0()1(

)0()1()0()0(

)()1()(

433

333

33322

33222

22112

LLR

LRL

RR

RR

lRRl

φφ

φφ

φφφ

φφφ

φφφ

−

−−+=

−

−−+−

−=

−−

−

−

−

−

lL

L

L

L

l

eNeeR

RRRRM

eeR

RRRReR

RN

23

3

3

3

2

2

22

2

223

23322

2

223

2332

2

112

1

)1)(1(

1

)1)(1(1

)1(

λλ

λ

λ

λ

λ

βββ

ββ

β

φ

(3. 31)


76

−

−=

−

−=

−

−

−

−

−

l

L

L

l

L

eNeR

eRRM

eNeR

RN

2

3

3

2

3

2222

3

223

3

2222

3

23

1

)1(

1

)1(

λ

λ

λ

λ

λ

ββ

β

ββ

(3. 32)

l

L

L

eNeR

eRRN 2

3

32

2223

324

1

)1)(1(λ

λ

λβ

β

β−

−

−

−

−−= (3. 33)

La source de chaleur générée par le faisceau laser incident dans le milieu i

s’exprime comme la divergence du flux radiatif qu’il crée en chaque point du

matériau :

dz

zd

dz

zdzQ ii

ii

)()()(

4,2

−+

=+−=

φφ (3. 34)

Nous obtenons ainsi les trois sources de chaleur pour les 3 milieux :

( )( )

+

−

−−+= ++−

−

)()(2

223

2332222

223

31

11)(

lzlzL

Leee

eR

RRRRNzQ λλλ

λ

ββββλβ (3. 35)

[ ]zzL

L

l

eeeReR

eRNzQ 333

3

22

3223

23231

)1()( λλλ

λβββ

βλ

β

λβ −−

−

−

+−

−= (3. 36)

)(22

223

2344

43

3

2

1

)1)(1()(

LzL

L

l

eeeR

eRRzQ

−−−

−

−

−

−−= λλ

λ

λββ

β

β

λβ (3. 37)

III.1.7.4. Expressions de la température

La méthode de résolution (annexe 1) est basée sur l’utilisation des techniques des

équations différentielles. Les expressions de la température dans les quatre milieux

sont les suivantes :

++=

+++=

+++=

+=

−−−

−−

+−+−−

−

)(4444

23333

)(21

)(2222

111

444

3333

22222

11

)(

)()(

)()(

)(

Lzzz

zzz

lzllzzz

zz

eCeBeAzT

eeCeBeAzT

eeeCeBeAzT

eBeAzT

λ

λλ

λλλ

βδδ

ββδδ

βββδδ

δδ

α

α (3. 38)

Les constantes d’intégration sont reportées dans l’annexe.


77

Par rapport au modèle tridimensionnel volumique, caractérisé par une difficulté

mathématique de résolution de l’équation de chaleur et de temps de calcul

prohibitifs, le modèle quatre couches avec un apport volumique présente une

résolution mathématique analytique, et par conséquent une souplesse de

programmation et des simulations plus rapides.

Les problèmes liés aux hypothèses sur les flux sur les faces avant et arrière sont

résolus. L’apport de chaleur se fait dans tous les milieux.

III.1.7.5. Renseignement du modèle en constantes

Ce modèle de température nécessite une connaissance plus approfondie des

caractéristiques thermiques et optiques du matériau.

La propagation de la température dépend fortement des caractéristiques thermiques

du matériau. Celles qui nous intéressent dans nos calculs sont la conductivité et la

diffusivité thermique. Leurs valeurs sont facilement accessibles, elles sont soit

fournies par le fabricant, soit issues de la littérature. Quelques exemples sont

donnés dans le tableau ci-dessous :

Matériau PE PVDF PEN Téflon

Diffusivité thermique ( sm /2 ) 81010

−⋅ 81012

−⋅ 7

10451−⋅.

710131

−⋅.

Conductivité thermique ( 1−mKW / ) 0.41 0.12 0.3 0.2

Du point de vue optique, les modèles à apport volumique nécessitent la

connaissance de l’indice complexe de réfraction, donné par l’équation :

iii jknn −=~ (3. 14)

Il faut donc connaître l’indice de réfraction et le coefficient d’absorption du matériau

utilisé.

L’indice de réfraction in est généralement mesuré avec un réfractomètre d’Abbé et

ses valeurs sont données par le fournisseur.

Les valeurs du coefficient d’absorption utilisées ont été calculées à partir des

mesures d’absorbance effectuées dans notre laboratoire. L’absorbance a été

mesurée à l’aide d’un spectrophotomètre (Shimadzu UV-2100). Le spectre


78

d’absorption enregistré en fonction de la longueur d’onde pour un échantillon de

PEN de 25 µm est présenté dans la Figure III. 10 :

600 650 700 750 800

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

Ab

so

rba

nce

Longueur d'onde (nm)

Figure III. 10 – Spectre d’absorption

L’absorbance mesure la diminution entre l’intensité lumineuse 0φ du faisceau

incident et l’intensité lumineuse tφ du faisceau transmis lorsqu’un faisceau de

lumière monochromatique traverse un milieu absorbant. Elle est donnée par la loi

de Beer – Lambert :

t

Aφ

φ0log= (3. 39)

avec 0φ l’intensité lumineuse du faisceau incident

tφ l’intensité lumineuse du faisceau transmis

A partir de la loi de Lambert-Bouguer on peut écrire que :

Lt ⋅−= λβφ

φ

0

ln (3. 40)

Si l’on introduit l’équation (3. 39) dans (3. 40) on obtient :

Lt

⋅=⋅ λβφ

φ0log10ln (3. 41)

d’où L

A⋅=

10lnλβ (3. 42)

En remplaçant la valeur de λβ dans l’équation (3. 16) on obtient le coefficient

d’absorption ik .


79

III.1.8 Validation des modèles

III.1.8.1. Profils en profondeur

Toujours pour un échantillon de PE, dans les mêmes conditions de simulation que

précédemment, la réponse en fréquence des trois modèles sur une large gamme de

fréquence (10 Hz – 100 kHz) au point d’impact laser (z=0) a été simulée (Figure III.

11). La différence entre les trois modèles pour une profondeur z=10 µm a été

également tracée sur la Figure III. 11.

Ces courbes montrent bien l’évolution rapide du niveau du signal qui décroît très

fortement quand la fréquence augmente. On pourra remarquer aussi qu’à partir de

100 Hz, les profils fournis par les modèles quatre couches et 3D semblent

identiques. Ceci est particulièrement intéressant dans la mesure où nos études en

fréquences s’effectuent dans la majorité des cas à partir de cette fréquence seuil.

Les différences notables observées proches de la surface de l’échantillon

proviennent bien entendu de la modélisation différente de la chaleur dans les deux

cas.

10 100 1000 10000 100000

0

2

4

6

8

10

12

14

10 100 1000 10000 100000

0

2

4

6

8

10

12

14

1D monocouche apport volumique

3D apport volumique

1D 4 couches apport volumique

Echantillon: PE 25 µm

Te

mpé

ratu

re (

mK

)

Fréquence (Hz)

z=10 µm

Tem

péra

ture

(m

K)

Fréquence (Hz)

z=0 µm

Figure III. 11 - Profils de température en profondeur


80

L’observation majeure pour nous est que le modèle quatre couches avec apport

volumique présente des profils de température en concordance avec ceux fournis

par la modélisation tridimensionnelle volumique, bien que la propagation

considérée ne soit qu’axiale suivant z. Ceci confirme nos suppositions et nous

permet d’envisager le systématisation de l’utilisation du modèle 1D quatre couche,

beaucoup plus facile de mise en œuvre.

III.1.8.2. Profils en fréquence

0 5 10 15 20 25

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20 25

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0 5 10 15 20 25

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0 5 10 15 20 25

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

f =10 Hz

Te

mp

éra

ture

(m

K)

Epaisseur (µm)

Te

mp

éra

ture

(m

K)

Epaisseur (µm)

f =100 Hz

1D monocouche apport volumique 3D apport volumique 1D 4 couches apport volumique

Echantillon: PE 25 µm

f =10 kHz

Te

mp

éra

ture

(m

K)

Epaisseur (µm)

f =100 kHz

Te

mp

éra

ture

(m

K)

Epaisseur (µm)

Figure III. 12 - Profils de température en fréquence

Les études proposées concernent la simulation de la température en fonction de la

profondeur pour un échantillon de PE. Pour différentes fréquences (10 Hz, 100 Hz,


81

10 kHz, 100 kHz), nous comparons les profils simulés avec les différents modèles

utilisés. Les constantes de simulation sont identiques.

Ouelle que soit la fréquence utilisée, les courbes fournies par le modèle 1D

monocouche avec apport volumique donnent des valeurs de température

supérieures à celles fournies par les deux autres modèles. Ceci peut s’expliquer par

les hypothèses sur les flux au niveau des interfaces.

Quel que soit le modèle de simulation, les courbes de la Figure III. 12 montrent que

l’onde thermique traverse tout l’échantillon et que les variations de la température

atteignent la face arrière de l’objet jusqu’à une fréquence f =100 Hz. Aux fréquences

plus élevées, l’excitation thermique reste limitée à une zone de l’échantillon proche

de la surface et la pénétration n’est plus que de 10µm pour f =10 kHz et de 5µm

pour f =100 kHz.

III.2 Déconvolution mathématique

III.2.1 Introduction

La connaissance du courant pyroélectrique ( )I f et l’approximation de la

distribution de température ),( fzT modélisée dans la première partie, permettent

l’estimation de la forme du profil de charge ou de polarisation en utilisant un

traitement mathématique du problème d’inversion de l’équation 2. 27.

Celle-ci est de type intégrale de Fredholm de première espèce, où ( )r x est la fonction

inconnue à déterminer. ),( fzT constitue la répartition de la température, et ( )I f

l’ensemble des mesures expérimentales. Les équations basées sur de telles

intégrales sont très mal conditionnées, ceci étant dû en particulier à l’extrême

sensibilité du système. Elles peuvent donc produire une infinité de solutions en

tenant compte de ce domaine d’erreurs expérimentales. Plusieurs méthodes ont été

élaborées dans le but de résoudre le plus finement possible ce type de problème.

Pour la procédure FLIMM, on peut citer :

• la méthode d’approximation,

• les méthodes de régularisation.


82

III.2.2 La méthode d’approximation

Elle ne nécessite pas d’inversion de matrice, et est basée sur l’approximation de

l’équation (3. 6) de la température pour les fréquences les plus élevées utilisées. Elle

permet alors une simplification de l’équation du courant pyroélectrique (2. 27), mais

également l’extraction d’une approximation de la fonction charge ( )ra zp dans le

matériau à une profondeur rz telle que [Plos 92]:

dzzzfzpzDISjD

kLzp rarra ),()()/()()( ∫

∞

⋅==ℑ−ℜ=

0

2

0

2ωη

(3. 43)

où ℜ et ℑ sont les parties réelles et imaginaires du courant pyroélectrique.

La profondeur de pénétration thermique est donnée par f

Dzr

π=

et la fonction rzz

rrra e

z

z

zzzf /sin),( −⋅

=

2, dite « fonction fenêtre

normalisée » , extrait une approximation de )(zp à la profondeur rzz = . La largeur

de ce noyau ),( ra zzf détermine la résolution à la profondeur rz . Il a été démontré

[Plos 92] que la résolution spatiale décroît avec la profondeur de pénétration. Une

bonne approximation est donc obtenue avec une résolution maximale près de la

surface de l’échantillon étudié. Il est donc nécessaire d’effectuer une deuxième

mesure sur la face opposée du matériau afin d’obtenir une reconstitution complète

et acceptable du profil de la charge. Le principal avantage de cette méthode est

d’éviter des traitements mathématiques susceptibles d’être perturbés par des

erreurs expérimentales. Sa mise en œuvre est facile et immédiate.

III.2.3 Méthodes de régularisation

Le but de la régularisation est d’imposer une contrainte supplémentaire sur le

système d’équations pour rendre la solution unique.

L’équation fondamentale de type Fredholm tenant compte d’un environnement

bruité est donné par :


83

∫ +=1

0

0 )()()(),( sesbdttxtsA (3. 44)

où )()( sesb +0 constitue le signal mesuré, )(se le bruit, ),( tsA la fonction noyau et

)(tx la solution recherchée qui est une approximation de la charge.

Le signal mesuré étant constitué d’un ensemble fini de valeurs de s, nous pouvons

remplacer le modèle continu (3. 44) par une équation linéaire discrète:

bebAx =+= 0 ,

ou sous forme de moindres carrées: 2

bAxx

−min (3. 45)

Il est très difficile de résoudre ces équations linéaires discrètes en raison d’un grand

nombre de petites valeurs singulières qui tendent à augmenter l’influence des

erreurs. Une solution significative de ces équations peut être calculée en utilisant

les méthodes de régularisation. Leur but consiste à introduire une information

additionnelle par rapport à la solution recherchée afin de stabiliser le problème

inverse, puis à extraire une solution proche de la réalité. Plusieurs contraintes

additionnelles peuvent être ajoutées, mais on impose généralement une

minimisation de la norme d’ordre 2 de la solution.

Plusieurs méthodes de régularisation ont été décrites par Hansen [Hans 96], [Hans

94]. Nous nous sommes focalisés sur les méthodes de Tikhonov, Truncated

Singular Value Decomposition (TSVD) et Piecewise Polynomial TSVD. La différence

entre ces techniques réside dans la manière dont on impose les contraintes

additionnelles sur la solution afin de réduire l’effet des erreurs.

III.2.3.1. La régularisation de Tikhonov

La forme de régularisation la plus connue est celle développée par Tikhonov [Tikh

77] et elle est appliquée à des domaines très variés, comme par exemple le

traitement des images [Andr 77] ou la technologie biomédicale [Skip 02].

Le principe de cette méthode consiste dans le choix d’une solution λx qui satisfasse

le problème

22

2

2PxbAx

xλ+−min (3. 46)

où P est l’opérateur différentiel de premier ordre. λ est le paramètre de

régularisation qui contrôle le poids entre la minimisation de la contrainte latérale

2Px par rapport à la minimisation de la norme résiduelle

2bAx − .


84

Plusieurs méthodes permettant la détermination du paramètre de régularisation

existent, les plus récentes et fiables étant L-Curve (LC)[Hans 93] et self-consistency

(SC) (méthode d’auto-cohérence)[Hone 90].

III.2.3.1.1 La méthode L-Curve LC réside dans un graphique en échelle log-log entre la norme de la contrainte

latérale 2

Px et la norme résiduelle 2

bAx − . Comme son nom l’indique, le

graphique a toujours une allure en L avec un point remarquable séparant les

parties verticales et horizontales de la courbe.

La partie verticale correspond à des valeurs faibles de λ ce qui signifie que la

solution est dominée par les erreurs expérimentales. Les grandes valeurs de λ

situées dans la partie horizontale indiquent que la solution est dominée par les

erreurs mathématiques. Par conséquent, le paramètre de régularisation optimal est

trouvé dans le point de cassure de la courbe.

10 13

10 12

10 2

10 4

10 6

10 8

10 10

10 12

10 14

10 16

1.3468e 016

4.7544e 018

1.6784e 019

5.9249e 021

2.0916e 022

7.3837e 024

2.6066e 025

9.2016e 027

3.2483e 028

1.1467e 029

residual norm || A x b || 2

solu

tion n

orm

|| x || 2

L curve, Tikh. corner at 5.688e 017

La valeur optimale

l faible

moins de lissage

l fort

plus de lissage

Figure III. 13 – Exemple de L-curve

III.2.3.1.2 La méthode d’auto-cohérence (SC) SC réside dans la construction d’un vecteur λx avec des erreurs aléatoires

gaussiennes indépendantes (η )


85

ββλ λ bAAAbx TT 1−+= )()( IIII (3. 47)

avec σηββ += Axb , où βx est obtenu à partir des valeurs expérimentales σb , et

σ indique les erreurs standard des valeurs mesurées. Le paramètre optimal λ

correspond à un minimum entre les erreurs prévues du vecteur λx et les erreurs du

vecteur βx calculé à partir des données expérimentales. Comme β est un point de

minimum, on l’obtient en résolvant l’équation:

02 =−∂

∂

= βλλβ

λ)( xx (3. 48)

La méthode de Tikhonov est relativement difficile à mettre en oeuvre, et le choix du

paramètre de régularisation est d’une importance primordiale afin d’obtenir des

résultats proches de la solution réelle.

III.2.3.2. La méthode TSVD

Une autre méthode intéressante est “Truncated Singular Values Decomposition »

(TSVD) [Hans 90].

Cette procédure néglige la contribution des petites valeurs singulières qui résultent

de la décomposition en valeurs singulière (SVD) de la matrice solution. En effet, la

SVD est tronquée suivant un paramètre de troncation k , avant que ces petites

valeurs singulières deviennent significatives.

La matrice A devient:

∑=

=Σ=k

i

Tiii

Tk vuVUA

1

σ

(3. 49)

où U et V sont des matrices unité construites à partir des ii vu , qui sont des

vecteurs singuliers, et ndiag σσσ ,..., 21=∑ où nσσσ ,...., 21 sont les valeurs

singulières.

La solution donnée par TSVD est:

i

k

i i

Ti

k vbu

x ∑=

=1 σ

(3. 50)

où k est le paramètre de troncation.


86

III.2.3.3. Piecewise Polynomial -TSVD

La méthode PP-TSVD (Piecewise Polynomial Truncated Singular Values

Decomposition) [Hans 96] a montré ses capacités dans de nombreux domaines, en

particulier en hélioseismologie [Corb 98] et dans le traitement des images [Hans 00].

Basée sur la TSVD, cette méthode calcule une solution par morceaux sans aucune

information a priori sur les points de cassure.

La caractéristique principale de cette méthode réside dans le remplacement de la

norme d’ordre 2 par une norme d’ordre 1 afin d’obtenir les points de cassure, et

d’éviter ainsi le lissage de la solution.

La solution kLx , est basée sur la solution kx obtenue par TSVD à laquelle on ajoute

une correction k kV w− qui a pour but de minimiser les erreurs de la solution:

kkkkL Vxx ϖ−=, (3. 51)

où kV est une matrice composée des vecteurs nuls de la matrice kA et kw est la

solution du problème:

1kk PxLV −ϖ)(min (3. 52)

Le paramètre de troncation k a pour rôle de contrôler la stabilité de la solution. L

est une matrice qui approxime la dérivée d’ordre p, et pk − donne le nombre de

points de cassure.

La précision de cette méthode est donnée par le choix du paramètre de troncation k

et par l’ordre de l’opérateur différentiel. Ce dernier a été choisi d’ordre un, un ordre

plus important générant des instabilités dans la solution. En effet, cette méthode a

été appliquée pour un modèle théorique (le modèle Shaw [Hans 92]), et le meilleur

résultat à été obtenu pour un opérateur différentiel d’ordre quatre. Par contre, dans

nos expérimentations, un ordre supérieur à 1 rend la solution très sensible aux

perturbations.

III.2.4 Calibration des méthodes mathématiques

Devant la complexité et les différences entre les méthodes décrites auparavant, il

nous a paru intéressant d’effectuer une comparaison entre celles-ci, afin de voir


87

quelles sont les plus adaptées à nos expérimentations. Pour calibrer ces méthodes,

nous avons choisi des échantillons « sandwich», composés de plusieurs films de

PVDF (Polyfluorure de Vinylidène). L’intérêt de ces échantillons sandwich réside

dans la connaissance exacte du profil du coefficient pyroélectrique. En fonction de

la configuration de l’échantillon on peut donc prédire le résultat attendu.

Le PVDF peut posséder différentes phases cristallines, les plus connues étant les

phases α et β [ElMo 01]. La phase non polaire α est obtenue par refroidissement

rapide à partir de l’état fondu. La phase polaire β , qui est responsable des

propriétés piezo et pyro-électriques, peut être obtenue à partir de la phase α , par

étirement mécanique. Pour nos mesures, les films de PVDF en phase α (L=44µm) et

β (L=27µm) proviennent de chez Piezotech™. Le coefficient pyroélectrique donné

par le fabricant pour la phase β est de 20 KmC 2/µ et il sera considéré comme

référence pour nos profils théoriques.

Les configurations des échantillons ont été choisies afin d’obtenir des distributions

de polarisation non uniformes pour mieux tester les différentes techniques de

déconvolution.

Nombre des

films Polarisation

Epaisseur

totale

Echantillon A deux Positive-Negative (P-N) 54 µm

Echantillon B trois Unpoled-Positive-Unpoled (U-P-U) 115 µm

Tableau III. 1 - Configuration des échantillons

Les différents films composant l’échantillon sont thermiquement mis en contact par

une fine couche de pentadécane (~1µm). Chaque échantillon est métallisé sur

chaque face avec une couche mince d’or de 50nm, déposée par évaporation. La

conversion photo-thermique peut être augmentée par l’ajout de couches

optiquement absorbantes.

La gamme de fréquence utilisée dans nos mesures a été ajustée pour chaque

échantillon, en tenant compte de la propagation thermique au sein de chaque

échantillon. Ainsi, pour l’échantillon A qui a une épaisseur de 54µm, la face arrière

sera irradié pour une fréquence approximativement égale à 10Hz. Par contre, pour

l’échantillon B (épaisseur de 115µm), la fréquence de départ est de 1Hz. Pour tous

ces échantillons, les courants pyroélectriques ont été enregistrés à partir des deux


88

faces, en utilisant 513 fréquences de modulation, ce qui correspond à 102

fréquences par décade. Le temps de moyennage a été réglé à 5 secondes par point

de mesure, ce qui signifie un temps total d’acquisition d’environ une heure et demie

pour un profil de polarisation. Pour les mesures de charges d’espace, où le courant

pyroélectrique est faible (~pA), le temps de moyennage est de 10 secondes. Les

courants pyroélectriques enregistrés à partir des deux faces sont présentés dans la

Figure III. 14.

10 100 1000 10000 100000

-100p

0

100p

200p

300p

400p Partie réelle face 1

Partie imaginaire face 1

Partie réelle face 2

Partie imaginaire face 2a)

Courant pyroelectrique ( A )

Fréquence ( Hz )

10 100 1000 10000-40p

-30p

-20p

-10p

0

10p

20p

30p

40p

50p Partie réelle face 1


Partie réelle face 2


b)

Courant pyroelectrique ( A )

Fréquence ( Hz )

Figure III. 14 – Courants pyroélectriques pour a) l’échantillon A et b) l’échantillon B

III.2.4.1. Validation de la temperature

Dans la première partie de ce chapitre, nous avons montré l’importance de la

température dans le processus de déconvolution. Avant de procéder à l’extraction

du profil de polarisation, une simple calibration de la température a été effectuée.

La Figure III. 15 montre la configuration de l’échantillon A, composé par 2 films de

PVDF, avec des orientations différentes de la polarisation. On peut donc en déduire

que le profil de polarisation devra être positif sur la première moitié de l’échantillon,

respectivement négatif sur la deuxième moitié.

PVDF

PVDF

Pentadécane

Electrode

+

-

+

-

Figure III. 15 – Configuration de l’échantillon


89

En considérant le profil de la Figure III. 16 a) comme profil de référence pour

l’échantillon A et connaissant la distribution de la température calculée par le

modèle 1D quarte couches, en utilisant l’équation Y, on peut facilement simuler le

courant pyroélectrique.

Le courant expérimental enregistré pour l’échantillon A est montré dans la Figure

III. 16 b). On constate une forte ressemblance entre les deux courants, autant de

point de vue des allures des courbes, que de l’amplitude.

On peut donc conclure que la température calculée par le modèle 1D quatre

couches est une bonne approximation de la distribution réelle de température au

sein de l’échantillon.

PVDF

PVDF

+

-

+

-

0 10 20 30 40 50

-20

-10

0

10

20

Epaisseur (mm)

Co

eff

icie

nt

py

roe

lect

riq

ue

(µ

C/m

3)

T(x,f)+ =

10 100 1000 10000 100000-200

-100

0

100

200

300

400

500

Co

ura

nt

py

roe

lec

triq

ue

(p

A)

Frequences (Hz)

10 100 1000 10000 100000-200

-100

0

100

200

300

400

500

Co

ura

nt

py

roe

lec

triq

ue

(p

A)

Frequences (Hz)

FLIMM

set-up

Theorie

Exp

erim

en

tal

Figure III. 16 – Courants pyroélectriques déterminés théoriquement ou

expérimentalement

III.2.4.2. Profils de polarisation

Le but de cette section consiste à comparer graphiquement et numériquement les

différentes méthodes de déconvolution.

Pour la méthode de Tikhonov, nous avons utilisé les deux méthodes de

détermination du paramètre de régularisation : L-curve et Self-consistency. Les

résultats sont comparables, comme le montre la Figure III. 17.


90

La méthode d’auto-cohérence (self-consistency) a été récemment implémentée dans

nos calculs, des tests supplémentaires restent donc nécessaires afin d’évaluer ses

performances. Par contre, la méthode L-curve est utilisée depuis longtemps et ses

performances ne sont plus à démontrer. Elle sera le critère de référence pour les

résultats présentés par la suite.

Comme nous l’avons montré dans le paragraphe III.2.2 la méthode d’approximation

donne des résultats pertinents proche de la surface de l’échantillon. Ainsi, les

profils du coefficient pyroélectriques présentés par la suite, ont été obtenus en

fusionnant les résultats obtenus à partir de chaque face de l‘échantillon.

0 10 20 30 40 50-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

SC

LC

NP

Coefficient pyroelectrique (µC / m²K

)

Epaisseur (µm)

Figure III. 17- Comparaison entre les méthodes L-curve et SC

Pour les méthodes TSVD et PP-TSVD, le paramètre de troncation a été choisi

arbitrairement, en testant différentes valeurs jusqu’à l’obtention d’un profil qui se

rapproche le plus du profil théorique.

Pour les échantillons A et B, les solutions estimées par les quatre méthodes à partir

des courants pyroélectriques sont montrées dans la Figure III. 18.

En procédant à une analyse visuelle on note que, pour l’échantillon A qui a une

configuration relativement simple, les résultats sont très semblables.

Afin de comparer les profils reconstitués par rapport au profil théorique, nous

avons utilisé un critère d’erreurs relatives (ER).

Les erreurs relatives, exprimées en pourcentage, ont été calculées en utilisant la

formule :


91

100⋅−

=i

ii

T

CTER (%) (3. 53)

où iT représente le profil théorique et iC le profil reconstitué par les différentes

méthodes.

Les valeurs obtenues sont présentées dans le Tableau III. 2.

0 10 20 30 40 50-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

Coe

ffic

ien

t pyro

ele

ctr

iqu

e (

µc/m

2K

)

Epaisseur (µm)

Tikhonov

TSVD

PP-TSVD

Approximation

Profil théorique

P N

0 20 40 60 80 100

-5

0

5

10

15

20

Co

eff

icie

nt

pyro

ele

ctr

iqu

e (

µc/m

2K

)Epaisseur (µm)

Tikhonov

TSVD

PP-TSVD

Approximation

Profil théorique

U P U

Echantillon A Echantillon B

Figure III. 18 – Profils de polarisation obtenus par les méthodes de Tikhonov (dash line),

TSVD (dot line), PP-TSVD (dash dot line) et approximation (dash dot dot line)

Pour l’échantillon B, quelques différences apparaissent, notamment dans la forme

et l’amplitude des courbes.

Le premier film de l’échantillon est de type α-PVDF (non polaire), la polarisation à

l’intérieur de ce matériau est donc théoriquement nulle. Ce résultat est retrouvé par

la méthode d’approximation, c’est d’ailleurs la seule méthode qui fournit un bon

résultat sur toute l’épaisseur de chaque film. Par contre, la méthode de Tikhonov

tend à lisser la solution, ce qui entraîne une anticipation de la polarisation du film

suivant. Ceci pourrait expliquer le décalage de la courbe et le non respect de

l’épaisseur de chaque film composant l’échantillon.

Pour le deuxième film de l'échantillon B (PVDF polarisé positivement), on note que

PP-TSVD calcule un coefficient pyroélectrique (~ KmC 220 /µ ) proche de la valeur

théorique. Le profil correspondant à l'interface entre les couches montre une chute

au niveau de la polarisation. Ceci peut être expliqué par une mauvaise

transmission des ondes thermiques d'un milieu à l'autre, probablement due à la

présence de la pentadécane. En effet, lors de ces calculs, le modèle de température


92

utilisé à été le modèle 1D monocouche. On a donc supposé que l'échantillon est

composé d’une seule couche, et que les variations de température qui pourraient se

produire entre les divers milieux n'ont pas été prises en considération.

Pour cet échantillon, il est impossible de calculer les erreurs relatives, elles tendent

vers l'infini pour le premier et dernier film de l’échantillon. Pour surmonter cette

difficulté, nous avons fait une analyse de la valeur minimum pour la zone U et une

analyse de la valeur maximum pour la zone P (Tableau III. 2). La "zone U" signifie

que le profil théorique dans cette couche devrait être zéro et KmC 220 /µ pour la

"zone P".


Erreurs relatives % Erreurs relatives % Analyse du minimum et

maximum

A partir d’une face A partir des deux faces Zone U Zone P Zone U

TIKHONOV 40.67 22.69 3.45 3.76 0.87

TSVD 40.79 25.93 5.81 0.27 3.88

PP-TSVD 35.24 18.88 0.54 0.79 1.53

APPROX ------- 17.59 2.23 13.01 2.58

Tableau III. 2 – Résultats des analyses numériques pour le coefficient pyroélectrique

Pour l'échantillon A, si l’on regarde les ER calculées pour les profils reconstitués à

partir des mesures sur les deux faces de l’échantillon, on peut conclure que

l'approximation et la PP-TSVD donnent une bonne reconstruction du coefficient

pyroélectrique. D'autre part, les erreurs relatives calculées pour des profils obtenus

à partir d’une seule face augmentent jusqu'à 60%.

Pour l'échantillon B, PP-TSVD donne une bonne reconstruction sur la totalité de

l'échantillon. Comme prévu, la méthode d'approximation donne un bon résultat

proche de la surface, mais elle n'est toujours pas assez précise pour atteindre une

résolution satisfaisante à l’intérieur de l’échantillon. Nous notons que la méthode de

Tikhonov fournit une bonne reconstruction du profil pyroélectrique.

III.2.4.3. L’influence du bruit

La sensibilité des méthodes de déconvolution par rapport à la qualité des courants

enregistrés est un paramètre important dont il faut tenir compte dans la


93

comparaison. Pour cela, nous avons superposé aux courants expérimentaux un

bruit aléatoire gaussien de 5 à 100% avec un pas de 5%.

Le coefficient de corrélation (CC) [Afif 72] a été utilisé comme moyen d’évaluation

quantitative de la qualité de reconstruction des coefficients pyroélectriques. Les

résultats sont montrés dans le Tableau III. 3. Pour chaque échantillon, le coefficient

de corrélation a été calculé pour plusieurs points afin d'étudier les effets du bruit à

différentes épaisseurs. Comme on l’a vu dans l'éq. (3.43), la méthode

d'approximation est basée sur la différence entre les parties réelle et imaginaire du

courant pyroélectrique. Si un bruit est ajouté au courant, la solution change

linéairement avec le bruit, rendant d'autres analyses inutiles.


CC à 5µm CC à 40µm CC à 20µm CC à 60µm CC à 90µm

TIKHONOV -0.50 0.91 0.90 -0.67 0.39

TSVD -0.19 0.07 0.14 0.25 0.27

PPTSVD 0.13 0.13 -0.10 0.25 -0.15

Tableau III. 3 – Valeurs du CC relatives aux effets du bruit

Echantillon A

0 10 20 30 40 50-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

Epaisseur (µm)

Coe

ffic

ient p

yro

ele

ctr

ique

(µ

C/m

2K

)

0 10 20 30 40 50-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Epaisseur (µm)

Co

eff

icie

nt

pyro

ele

ctr

iqu

e (

µC

/m2K

)

0 10 20 30 40 50

-30

-20

-10

0

10

20

Coe

ffic

ient

pyro

ele

ctr

ique

(µ

C/m

2K

)

Epaisseur (µm)

Echantillon B

0 20 40 60 80 100

-5

0

5

10

15

20

25

Co

effic

ient p

yro

ele

ctr

ique

(µ

C/m

2K

)

Epaisseur (µm)

0 20 40 60 80 100-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Co

eff

icie

nt

pyro

ele

ctr

iqu

e (

µC

/m2K

)

Epaisseur (µm)

0 20 40 60 80 100

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Co

eff

icie

nt

pyro

ele

ctr

iqu

e (

µC

/m2K

)

Epaisseur (µm)

TIKHONOV TSVD PPTSVD

Figure III. 19 - Effets d’un bruit théorique sur la solution obtenue


94

Les coefficients de corrélation obtenus pour les méthodes TSVD et PP-TSVD sont

faibles, suggérant que les solutions calculées par ces méthodes peuvent être

affectées par le bruit mais d'une manière non linéaire.

Une analyse graphique de la Figure III. 19 montre l'influence du bruit sur les

solutions. D'autre part, le coefficient de corrélation le plus élevé (0.9) a été obtenu

pour la déconvolution de Tikhonov. Cette forte corrélation signifie qu'il y a une

dépendance linéaire positive de la solution avec le bruit. Les valeurs négatives du

coefficient de corrélation trouvées par cette même méthode impliquent que la

solution calculée tend à diminuer avec le bruit.

III.2.4.4. Les effets de la bande de fréquence utilisée

Une analyse de la gamme de fréquence a été finalement utilisée pour illustrer la

dépendance de la propagation thermique avec la fréquence. À basse fréquence, les

ondes thermiques atteignent la face arrière de l'échantillon, tandis qu'elles sont

confinées près de la surface à des fréquences plus élevées.

Pour souligner ce phénomène, six gammes de fréquence ont été choisies, chaque

gamme avec un nombre différent de fréquences (Tableau III. 4). Afin de mesurer

numériquement les résultats obtenus pour chaque gamme, nous avons employé les

erreurs relatives pour l'échantillon A, et l'analyse du minimum et maximum pour

des résultats de l’échantillon B. Les résultats sont montrés dans le Tableau III. 5 et

dans Figure III. 20. Nous notons que cette analyse ne sera pas appliquée pour la

méthode d'approximation.

Echantillon A

Bande de

fréquences

Nombre de

fréquences TIKHONOV TSVD PPTSVD

100Hz-100kHz 308 49.31 64.89 99.93

100Hz-10kHz 206 54.41 58.64 28.92

10Hz-100kHz 410 56.74 68.74 54.40

10Hz-10kHz 308 56.32 63.25 58.60

1Hz-100kHz 513 40.67 40.79 35.24

ERREURS RELATIV

ES %

1Hz-10kHz 410 41.04 41.01 37.87


95

Tableau III. 4 – Les erreurs relatives calculées pour l’échantillon A

Echantillon B

TIKHONOV TSVD PPTSVD Bande de

fréquences Zone U Zone P Zone U Zone U Zone P Zone U Zone U Zone P Zone U

100Hz-100kHz 0.15 19.98 4E-4 17.22 18.59 0.08 11.06 31.06 11.06

100Hz-10kHz 10.12 17.30 0.22 5.32 18.87 0.06 6.29 26.29 6.29

10Hz-100kHz 9.77 5.44 1.42 5.28 4.40 3.02 0.98 9.07 10.92

10Hz-10kHz 1.47 5.11 1.24 1.30 3.93 3.43 0.36 5.11 14.88

1Hz-100kHz 3.45 3.76 0.87 5.81 0.27 3.88 0.54 0.79 1.53

1Hz-10kHz 1.54 1.51 0.91 0.80 11.25 3.02 0.22 9.60 1.80

Tableau III. 5 – Résultats de l’analyse numérique pour l’échantillon B

Echantillon A

0 10 20 30 40 50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

100Hz-100kHz

100Hz-10kHz

10Hz-100kHz

10Hz-10kHz

1Hz-100kHz

1Hz-10kHz

Profil théorique

Epaisseur(µm)

Co

eff

icie

nt

Pyr

oele

ctr

ique

(µ

C/m

2K

)

0 10 20 30 40 50-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

100Hz-100kHz

100Hz-10kHz

10Hz-100kHz

10Hz-10kHz

1Hz-100kHz

1Hz-10kHz

Profil théorique

Epaisseur (µm)

Coeffic

ient pyr

oele

ctrique (µ

C/m

2K

)

0 10 20 30 40 50-30

-20

-10

0

10

20

30

100Hz-100kHz

100Hz-10kHz

10Hz-100kHz

10Hz-10kHz

1Hz-100kHz

1Hz-10kHz

Profil théorique

Co

eff

icie

nt

pyr

oe

lectr

iqu

e

(µC

/m2K

)

Epaisseur (µm)

Echantillon B

0 20 40 60 80 100

-10

-5

0

5

10

15

20

25

100Hz-100kHz

100Hz-10kHz

10Hz-100kHz

10Hz-10kHz

1Hz-100kHz

1Hz-10kHz

Profil théorique

Co

eff

icie

nt p

yro

ele

ctr

ique

(µ

C/m

2K

)

Epaisseur (µm)

0 20 40 60 80 100-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

100Hz-100kHz

100Hz-10kHz

10Hz-100kHz

10Hz-10kHz

1Hz-100kHz

1Hz-10kHz

Profil théorique

Coeffic

ient P

yroele

ctr

ique (µ

C/m

2K

)

Epaisseur (µm)

0 20 40 60 80 100

-10

-5

0

5

10

15

20

100Hz-100kHz

100Hz-10kHz

10Hz-100kHz

10Hz-10kHz

1Hz-100kHz

1Hz-10kHz

Profil théorique

Coeff

icie

nt pyr

oele

ctr

ique (

µC

/m2K

)

Epaisseur (µm)

TIKHONOV TSVD PP-TSVD

Figure III. 20 – Effets des différentes gammes de fréquence sur la solution obtenue


96

Autant l’analyse visuelle que celle numérique prouvent que les gammes de

fréquence qui commencent à 100Hz fournissent des informations insuffisantes en

profondeur par les trois méthodes.

À 100Hz, dans le cas de l'échantillon B, la zone irradiée est plus petite que

l'épaisseur de la première couche. Ainsi le profil pyroélectrique obtenu par les trois

méthodes de régularisation n’est pas satisfaisant. Pour les gammes de fréquence

commençant à 10Hz, les résultats s'améliorent de manière significative, mais

demeurent toujours assez éloignés de la réalité. Comme prévu, les meilleures

reconstructions et les plus petites erreurs sont obtenues pour les gammes de

fréquences les plus étendues (à partir du 1Hz).

Le nombre de fréquences n'est pas un paramètre significatif parce que les

paramètres de régularisation et de troncation sont ajustés afin d'obtenir les

meilleures reconstructions possibles du coefficient pyroélectrique par rapport au

profil théorique.

Comme illustré ci-dessus, les gammes de fréquence ont le même impact sur les

solutions calculées par toutes les méthodes.

III.3 Conclusion

La détermination des distributions de charges d’espace ou de polarisation à partir

des données expérimentales nécessite d’une part la modélisation du gradient

thermique à l’intérieur du matériau et la résolution de l’équation de Fredholm

d’autre part.

Avec la méthode FLIMM, il est impossible de mesurer la température locale induite

par le faisceau laser. Ainsi, plusieurs modélisations de la température ont été

développées dans notre équipe. Dans un premier temps, un modèle

unidimensionnel avec un apport surfacique d’énergie a été proposé qui permet une

estimation globale de la charge. Devant l’aspect focalisé de la FLIMM, ce modèle

s’avère insuffisant. C’est pourquoi un nouveau modèle avec apport volumique

« quatre couches » a été mis au point. La particularité de ce modèle réside dans le

fait qu’il tient compte de différents milieux qui composent l’échantillon. En effet, la

propagation de la chaleur dépend des caractéristiques thermiques de chaque milieu

et il faut en tenir compte si l’on veut modéliser le plus finement possible le

phénomène physique.


97

Ce modèle a été déjà implémenté dans nos calculs et les résultats obtenus sont très

satisfaisants.

L’équation fondamentale de la FLIMM est une équation intégrale de Fredholm dont

la résolution nécessite des traitements mathématiques complexes.

Plusieurs méthodes de calcul ont été implémentées et comparées afin de trouver

celle qui convient le mieux à nos expérimentations. Parmi elles, les plus

importantes sont la méthode d’approximation et les méthodes de régularisation.

Afin de calibrer ces techniques, des mesures ont été effectuées sur un échantillon

sandwich dont on connaît la distribution de la polarisation.

Ainsi, nous avons montré que la méthode d’approximation donne de très bons

résultats dans une zone proche de la surface irradiée, mais la résolution spatiale

décroît avec l’épaisseur du matériau. De plus, cette technique est très facile à

mettre en œuvre et elle ne nécessite pas de traitements mathématiques fastidieux.

Une autre méthode qui donne des résultats satisfaisants sur ce type d’échantillons

est la régularisation de Tikhonov. Le principal avantage de cette technique réside

dans le fait qu’elle fournit une information sur toute la profondeur de l’échantillon.

Néanmoins, son implémentation est relativement complexe et le choix du paramètre

de régularisation reste délicat.

Notre travail a consisté à mettre en oeuvre les différents modèles de température.

Nous avons également développé la résolution mathématique et les résultats

obtenus ont été détaillés et comparés. La validation de ces modèles théoriques

permet maintenant l’extraction de la distribution des charges avec une grande

fiabilité et reproductibilité.


98

IV - Résultats

Expérimentaux

Chapitre 4 – Résultats expérimentaux

99

Après avoir optimisé et validé l’ensemble de la chaîne instrumentale FLIMM, nous

présentons dans ce chapitre des résultats caractéristiques en une, deux ou trois

dimensions pour illustrer l’intérêt des représentations cartographiques lors de

l’étude de la répartition de charges.

IV.1 Distributions globales de charges d’espace

IV.1.1 Etude du comportement du PET (analyse 1D)

Les résultats présentés dans cette partie ont été obtenus lors de l'opération

"Synergie des contraintes et durabilité des isolants organiques" du thème matériaux

du GDR ME²MS. Les objectifs des travaux entrepris concernent la caractérisation

d'un matériau organique modèle. Dans un premier temps, le choix s'est porté sur le

polyéthylène téréphthalate (PET) dont les applications actuelles concernent

l'isolation électrique de composants du génie électrique (condensateurs,

transformateurs) et qui peut présenter des morphologies différentes (amorphe ou

avec différents taux de cristallinité).

IV.1.1.1. Préparation des échantillons

Les films de PET étudiés ont été fournis par Goodfellow sous forme de films étirés

biaxialement et de différentes épaisseurs (100 et 500 µm).

Le polyéthylène téréphtalate est un isolant organique solide obtenu par la

polycondensation de l'acide téréphtalique et de l'éthylène-glycol. La formule

chimique de son unité de répétition est montrée dans la Figure IV. 1.

Figure IV. 1 – Formule chimique du PET


100

Le motif de répétition du PET est donc constitué des séquences chimiques du

groupement téréphtalate, un noyau benzénique auquel sont attachés deux

groupements carbonyles, et de l’éthylène glycol. La rigidité mécanique du polymère

est due en grande partie à la présence du noyau benzénique, tandis que la partie

éthylène glycol lui offre la flexibilité. Le PET est un matériau dont la polarisation est

due aux groupements carbonyles présents dans la chaîne moléculaire.

Les travaux présentés ont été réalisés sur des films de PET par deux méthodes

thermiques non destructives : la méthode FLIMM et la méthode de l'onde thermique

(MOT).

Les différents paramètres relatifs aux mesures effectuées sont récapitulés dans le

Tableau IV. 1 ci après :

Technique de test FLIMM MOT

Épaisseur PET 100µm 500µm

Conditions de mesure Court circuit Court circuit

Electrodes or aluminium

Contrainte électrique appliquée 10kV/mm 10kV/mm

Températures de conditionnement électrique

25, 50 et 90°C 25, 50 et 90°C

Tableau IV. 1 - Paramètres relatifs aux mesures réalisées sur PET

La Figure IV. 2 donne un exemple de courants pyroélectriques enregistrés par la

méthode FLIMM, pour un échantillon de PET chargé sous un champ de 10kV/mm,

à 50°C. On remarque un comportement différent des modules, ce qui suggère une

hétérogénéité du matériau. Cette hétérogénéité est également mise en évidence par

les courants MOT qui révèlent une dispersion assez forte (Figure IV. 2).


101

100 1000 10000

0.0

250.0f

500.0f

750.0f

1.0p

1.3p

1.5p

Face 1

Face 2

Fréquence (Hz)

Mo

du

le d

u c

ou

ran

t p

yro

elé

ctr

iqu

e (

A)

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Temps (secondes)

Sig

na

l MO

T (

pA

)

Signal Face A PET 5

Signal Face A PET 3

Signal Face A PET 1

Signal Face B PET 1

Signal Face B PET 3

Signal Face B PET 5

Figure IV. 2 – a) Courants pyroélectriques FLIMM ; b) Signaux MOT avant conditionnement

Ces tests ont été réalisés hors tension, par les deux techniques. A la fin du

conditionnement électrique, l'échantillon a été refroidi sous champ, et les mesures

ont été faites en conditions de court-circuit à température ambiante.

Les figures IV.3 et IV.4 montrent les champs internes résiduels et respectivement

les densités de charges, obtenus par les deux méthodes.

0 20 40 60 80 100

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

CathodeAnode

Epaisseur (µm)

Ch

am

p e

léctr

iqu

e (

KV

/mm

)

PET 10kV/mm 25°C PET 10kV/mm 50°C PET 10kV/mm 90°C

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Epaisseur (mm)

Ch

am

p é

lec

triq

ue

(k

V/m

m)

Anode Cathode90°C, 10kV/mm, 5h

50°C, 10kV/mm, 5h

25°C, 10kV/mm, 5h

avant conditionement

Figure IV. 3 - Champs électriques résiduels


102

0 20 40 60 80 100

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

CathodeAnode PET 10kV/mm 25°C PET 10kV/mm 50°C PET 10kV/mm 90°C

De

nsité

de

ch

arg

es d

'esp

ace

(C

/m3)

Epaisseur (µm)

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Epaisseur (mm)

De

ns

ité

s d

e c

ha

rge

s d

'es

pa

ce

(C

/m3)

Anode Cathode

90°C, 10kV/mm, 5h

50°C, 10kV/mm, 5h

25°C, 10kV/mm, 5h

avant conditionement

Figure IV. 4 - Densité de charges résiduelles (après 10kV/mm, 5h)

Les résultats obtenus par la FLIMM et MOT sont assez semblables, en effet :

• A température ambiante (25°C), l’application d’un champ de 10kV/mm ne

semble pas engendrer de phénomène de polarisation ou d'injection de charges

significative. Les valeurs de champ et de densité de charges obtenus sont très

faibles, du même ordre de grandeur que celle obtenues avant conditionnement.

Les densités de charges (~0.5 C/m3) sont associées à la polarisation intrinsèque

du matériau. Par contre, lorsque la température de conditionnement augmente,

ces phénomènes apparaissent de plus en plus nettement.

• Pour des températures inférieures à la température de transition vitreuse

(Tg=80°C) et sous contrainte électrique, la quantité des dipôles impliqués dans le

processus d’orientation augmente. Ce phénomène est illustré dans la Figure IV.

4 pour une température de conditionnement de 50°C. De plus, on remarque une

apparition d’homocharges dans le matériau, leurs amplitudes augmentant avec

l’augmentation de la température (Figure IV. 4).

• Pour une température de 90°C, proche de la Tg, et sous contrainte électrique,

deux phénomènes peuvent se produire [Thie 94] :

- Une diminution du temps de relaxation des dipôles, ce qui entraîne un

processus de polarisation,

- Une augmentation du courant de conduction qui est associé à l’injection des

charges. Ces phénomènes peuvent expliquer la valeur importante de la

densité de charge (15 C/m3) qu’on retrouve pour une température de 90°C.


103

Pour les résultats obtenus par la méthode FLIMM, on note que champ résiduel

représente 50% du champ appliqué et présente une parfaite symétrie (Figure IV. 4).

Cette symétrie est retrouvée également dans la distribution de charges d’espace qui

est associée à une polarisation volumique.

Les résultats obtenus pour des températures de conditionnement de 25 et 50°C,

sont quasi identiques.

Néanmoins, quelques différences peuvent être remarquées pour le conditionnement

à une température proche de la Tg. Les échantillons utilisés par les deux

techniques n’ont pas la même épaisseur, ce qui peut expliquer la provenance des

ces différences. De plus, la nature et l’épaisseur des électrodes sont également

différentes, ce qui peut avoir des conséquences sur le phénomène d’injection de

charges.

Une comparaison plus approfondie de ces deux méthodes thermiques nécessite

l’utilisation des échantillons identiques, préparés et conditionnés électriquement

dans les mêmes conditions. Ceci est difficilement envisageable, puisque la méthode

FLIMM nécessite des échantillons d’une épaisseur maximale de 100 µm, tandis que

pour la méthode MOT cette épaisseur constitue la limite inférieure.

IV.1.2 Etude 1D du PEN soumis à hauts champs

IV.1.2.1. Matériau étudié

Le poly (éthylène naphtalène-2,6-dicarboxylate) (PEN) appartient à la même famille

chimique que le PET, les polyesters aromatiques saturés. Bien que la demande sur

le PET soit considérable, des propriétés thermiques et mécaniques plus importantes

sont souhaitées pour certaines applications, où le PEN est utilisé. Celui-ci est

caractérisé par une partie aromatique plus importante que le PET qui représente

une proportion de l’unité monomère plus grande, et lui confère les vertus

d’aromaticité avec un impact accru (propriétés thermiques entre autres) [Krau 96].

Ce type de groupement nathtalénique est de nature à rigidifier les chaînes et

justifier une température de transition vitreuse voisine de 125°C, ainsi qu’une

température de fusion de l’ordre de 267°C.


104

Figure IV. 5 – Formule chimique du PEN

IV.1.2.2. Contexte de l’étude

Ce polymère a été synthétisé pour la première fois vers 1948, mais son utilisation

industrielle est en revanche plus récente. Grâce à ses propriétés supérieures aux

autres polymères, il est de plus en plus utilisé en Génie Electrique, notamment

pour la fabrication des circuits imprimés flexibles, comme isolants électriques ou

encore comme support pour les films photographiques.

Dans ce contexte, il est important d’étudier le comportement du PEN en présence

des forts champs électriques, susceptibles de provoquer des phénomènes d’injection

de charges qui mènent à une dégradation prématurée du matériau.

Pour cela, des mesures de charges d’espace ont été entreprises, en parallèle avec

des mesures d’électroluminescence et de courants de dépolarisation effectuées dans

le cadre d’une autre thèse.

Rappel sur l’électroluminescence

Le principe de la mesure d’électroluminescence (EL) est la détection de la lumière

émise par un matériau sous champ électrique. L’application d’un champ peut

générer des états électroniques excités dans l’isolant. Leur retour à l’état

fondamental se fait par relaxation radiative (émission de lumière), ou non radiative.

C’est ce phénomène de relaxation radiative que mesure l’EL. Cependant, la

structure des polymères isolants étant complexe, les processus d’excitation sont

nombreux et ils dépendent directement de l’énergie cinétique des porteurs ou de

leur énergie potentielle. Ces mécanismes d’excitation ont été détaillés dans la

littérature par Piper et al.[Pipe 55].

L’EL est produite quand le matériau se dégrade sous l’action d’un champ électrique.

Dans ce sens, l’EL constitue un signal d’alarme avant la rupture diélectrique, mais

elle ne donne aucune information concernant la nature du mécanisme d’excitation.


105

De plus, il a été montré [Teys 99] que des changements dans l’allure des spectres

d’EL peuvent être expliqués par des modifications du champ local, dû aux charges

d’espace. Par conséquent, l’EL est liée à la distribution des charges, et une

information sur le mécanisme d’excitation peut être délivrée par l’étude des profils

de charges sous l’application d’un champ électrique. Pour cela, la mesure de

charges d’espace et l’El sont deux techniques complémentaire pour l’étude des

phénomènes d’injection et de transport des charges dans les matériaux.

IV.1.2.2.1 Préparation des échantillons

Les films utilisés dans nos mesures ont été fournis par DuPont de Nemours

(Luxembourg), sous forme de films stabilisés thermiquement et à orientation bi-

axiale. Pour ces films de 25 µm d’épaisseur, le taux de cristallinité est d’environ

44%.

Les échantillons ont été métallisés avec une couche d’or de 30nm sur laquelle on a

ensuite déposé une fine couche d’encre pour augmenter l’absorption optique du

faisceau.

Les films ont été polarisés à température ambiante pendant 30 minutes, le champ

appliqué a été choisi dans une gamme comprise entre 12 kV/mm et 300kV/mm.

Les films ont ensuite été mis en court-circuit pendant une durée de 30 minutes.

Dans cette partie, l’intérêt se portera sur les mesures de charges d’espaces ; les

résultats obtenus par électroluminescence et la caractéristique I(V) sont montrés à

titre de comparaison.

Les figures IV.6 et IV.7 représentent les profils de champ résiduel et de charge

d'espace obtenus après 30 min de dépolarisation, pour chacun des paliers de

champ appliqué.

Les profils de charges montrés dans la Figure IV. 7 sont reconstitués à partir des

mesures effectuées des deux cotés de l’échantillon. En effet, l’information en

profondeur fournie par les méthodes thermiques n’est pas suffisante à partir d’une

seule face, une deuxième mesure étant souvent nécessaire. Ceci implique une perte

de résolution vers le milieu de l’échantillon, pour cela nos interprétations se

limiteront aux zones proches des interfaces.


106

Dans ces zones, on remarque une accumulation d’homocharges (charges positives à

l’anode et négatives à la cathode) qui augmente avec le champ.

A faible champ, la densité de charges est très faible (~0.5 3mC / ) et elle peut être

associée à une orientation dipolaire. Par contre, une injection massive de charges

apparaît pour des champs supérieurs à 225 kV/mm.

A l’anode, le développement d’une homocharge positive est mis en évidence par

l’augmentation des pics de charges. On peut également noter que le niveau de

charges accumulées à l’anode est supérieur à celui de la cathode.

0 5 10 15 20 25-20

-15

-10

-5

0

5

10

12 156

19 172

32 212

76 224

92 260

104 280

144 300

Ch

am

p é

lectr

iqu

e r

ésid

ue

l (

kV

/mm

)

Epaisseur (µm)

Figure IV. 6 – Champs résiduels internes en fonction de la tension appliquée

0 5 10 15 20 25-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

De

nsité

de

ch

arg

e (

C/m

3)

Epaisseur (µm)

12 156

19 172

32 212

76 224

92 260

104 280

144 300

Figure IV. 7 – Distribution de la charge d’espace


107

A partir des distributions de la Figure IV. 7, nous avons calculé la valeur moyenne

de charges situées dans les zones proches des interfaces, sur une épaisseur de 5µm

à partir de chaque électrode. Les valeurs obtenues pour chaque courbe sont

présentées dans les Figure IV. 8 a) et b).

10 100 1000

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

a)

Ch

arg

e d

'esp

ace (

C/m

3)

Champ (kV/mm)

charges positives

10 100 1000

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

b)

Ch

arg

e d

'esp

ace (

C/m

3)

Champ (kV/mm)

charges négatives

Figure IV. 8 – Valeurs moyennes des charges d’espace en fonction du champ appliqué

a) charges positives proches de l’anode, b) charges négatives proches de la cathode


108

Intermediate High field regimeOhmic regime

10 100 1000

regime

Field (kV/mm)

Electroluminescence (counts/s)

10-13

10-12

10-11

1x10-10

1x10-9

1x10-8

PM noise level

10 4

10 3

10

10 2

Curren

t (A)

Figure IV. 9 – EL et courant en fonction du champ appliqué d’après [Augé 00]

D’après ces courbes, nous pouvons distinguer trois zones, qui correspondent aux

zones mises déjà en évidence par Augé et al. [Augé 00] par des mesures de I(V) et

par électroluminescence.

Dans la première zone, nous pouvons remarquer que la densité de charge est très

faible, ce qui implique qu’il n’y a pas d’injection dans la gamme de champs

comprise entre 12kV/mm et 75kV/mm. D’après la Figure IV. 9, il a été mis en

évidence que dans cette même zone, la conductivité a un comportement linéaire

avec le champ. De plus, aucune émission d’EL n’a pas été détectée dans cette

gamme.

Dans la gamme 75 – 160kV/mm, nous assistons à une injection de charges à partir

des électrodes. Augé et al. ont montré que dans cette gamme de champs, le courant

augmente d’une façon non linéaire, mais qu’il y a toujours pas d’émission

permanente d’EL. De plus, par de mesures de charges d’espace avec la technique

LIPP, ils ont également mis en évidence qu’il y a injection d’homocharges à partir de

électrodes.

Dans la zone de hauts champs (160 – 300 kV/mm), une injection massive de

charges a lieu. Cette injection est également corrélée par une augmentation

significative du courant et de l’EL avec le champ.

Les résultats obtenus par la méthode FLIMM sont en accord avec ceux obtenus par

d’autres auteurs par des mesures de courant et d’EL sur des échantillons

similaires.


109

IV.2 Cartographies 2D et 3D

IV.2.1 PEN irradié par UV

La méthode FLIMM a été également utilisée pour l’étude de charges d’espaces

induites par irradiation par rayons ultraviolets (UV), en complément de mesures

d’électroluminescence (EL).

Au sein de notre équipe, des mesures d’électroluminescence ont été réalisées sur

des films minces de PEN. Il a été constaté que l’émission de l’EL était plus faible sur

les zones irradiées par UV. Ce phénomène a été associé à l’apparition de charges

d’espace dans la zone irradiée. Pour confirmer (ou infirmer) cette hypothèse, des

mesures de charges d’espace par la méthode FLIMM ont été entreprises.

Les résultats obtenus par l’EL, ainsi que le protocole expérimental sont également

présentés dans cette partie.

Pour cette étude, des films minces de Poly (ethylene 2.6-naphthalène) (PEN),

provenant de Dupont de Nemours, ont été utilisés. Les mesures de charges d’espace

ont été réalisées sur des films de 25µm d’épaisseur et celles d’EL sur des films de

50µm d’épaisseur.

Le vieillissement des échantillons a été induit par des rayons UV provenant d’une

insoleuse de 30W utilisée pour la conception des circuits imprimés, dont les

caractéristiques sont présentées dans la Figure IV. 10. Dans le spectre d’émission

des lampes, on remarque la présence de quelques pics étroits dans la bande du

visible (400-800nm). Par contre, une large bande est observée dans la zone des UV

(10-400nm), présentant un pic à 350nm et dont la largeur à mi-hauteur est de

40nm.

Le spectre de transmission d’un film vierge de PEN est également présenté dans la

Figure IV. 10. Comme le PEN absorbe que dans la zone des UV, la lampe va

essentiellement induire une photo-dégradation du matériau.


110

Intensity (a.u.)

Tran

smissio

n (a.u

.)

300 400 500 6000

1

2

0

50

100

Wavelength (nm)

Zone irradiee par UV

Zone non-irradiee

Region observee

Limite de l'irradiation

Figure IV. 10 – Spectre de la lampe utilisée pour

l’irradiation (a) et le spectre de transmission (b)

pour un film de PEN de 25 µm

Figure IV. 11 – Configuration des

échantillons pour les mesures d’EL

Pour les mesures d’EL, deux échantillons (A et B) ont été irradiés sur une moitié

seulement de leur surface durant 48 heures. Leur configuration est montrée dans

la Figure IV. 11. Un autre échantillon (C) a été totalement irradié, à l’exception

d’une zone protégée de 5mm de diamètre.

Après l’irradiation, une couche mince d’or (30 nm) a été déposé sur les deux faces

de l’échantillon par pulvérisation cathodique.

La localisation des zones d’émission de l’EL a été effectuée dans une enceinte

équipée d’une caméra CCD (charge-coupled device), avec une résolution d’environ

5 nm dans la bande de 300-850 nm. Les images ont été réalisées selon un axe

optique perpendiculaire au plan du film diélectrique. Le dispositif de mesure a été

détaillé dans [Mary 94], [Petr 04].

Les échantillons ont été soumis à des contraintes électriques, alternative pour

l’échantillon A et continue pour B. La tension a été augmentée progressivement, par

pas de 500V. La durée de chaque palier a été d’environ 15 minutes, afin de

permettre l’acquisition de données. Etant donné le nombre important des rampes

de tension, nous avons choisi de présenter ici seulement les images les plus

représentatives.

Les images d’EL obtenues sur les échantillons A et B sont présentées dans la Figure

IV. 12. Une différence importante des niveaux d’émission entre les zones irradiées et

non irradiées peut être constatée.


111

Ce phénomène a été observé tant dans le cas d’une contrainte alternative

(échantillon A) que continue (échantillon B).

On peut noter également que le niveau d’émission sous contrainte alternative est

plus faible que celui sous contrainte continue. Ce phénomène a été également mis

en évidence sur des échantillons vierges [Mary 98]. De plus, sous contrainte DC,

l’émission de l’électroluminescence est beaucoup plus homogène que sous

contrainte AC.

Dans le cas de l’échantillon C, pour des raisons de niveau de signal et de facilité

(faible dimension de la zone non-irradiée), les mesures d’électroluminescence n’ont

été effectuées que sous contrainte continue. Les images d’émission d‘EL sont

présentées dans la Figure IV. 13.

On remarque que la zone non irradiée se détache de façon très significative avec

l’augmentation de la tension appliquée. De plus, le niveau de l’électroluminescence

de cette zone est beaucoup plus important que celui du reste de l’échantillon, et ce,

pour tous les champs appliqués.

Mary et al. [Mary 01] ont montré que la diminution de l’émission de l’EL observée

pour les zones irradiées peut être expliquée par une diminution du courant de

conduction. Des charges sont probablement injectées plus efficacement et piégées

aux interfaces, ce qui entraînerait une diminution du champ à l’interface.

Afin d’apporter une réponse à cette question, des mesures de charges d’espace ont

été entreprises.


112

Limite de traitement Zone observee

Figure IV. 12 – Images d’EL pour l’échantillon A sous contrainte AC (gauche) et pour

l’échantillon B sous contrainte DC (droite)

Figure IV. 13 –Images d’EL pour l’échantillon C sous contrainte continue


113

Pour les mesures de charges d’espace, l’échantillon soumis aux UV présentait une

configuration spéciale, montrée dans la Figure IV. 14. Durant l’irradiation,

l’échantillon a été protégé par un masque, et seulement trois zones ont été irradiées

pour des durées différentes, respectivement de 12, 24 et 48 heures. Les zones

irradiées sont repérées par des cercles de 1mm de diamètre.

Zones irradiees

Zone protegee

12h 24h 48h

1mm 1mm

(0,0)

(0,-4500) (0,-2500) (0,-1500) (0,-500)

X

Y

Z

500

-500

12 h 48 h 24 h

Section 2 Section 1 Section 3 Section 4

Figure IV. 14 – Configuration de l’échantillon pour les mesures de charges d’espace

Après l’irradiation, une couche semi transparente d’or (50nm) a été déposée sur les

deux faces de l’échantillon par sputtering. Enfin, une couche fine de carbone a été

évaporée sur les zones irradiées afin de faciliter le positionnement de l’échantillon et

l’analyse de ces zones.

Les mesures de charges d’espace ont été réalisées suivant les axes X et Y, avec un

pas de 50µm (Figure IV. 14). Les résultats obtenus dans les deux directions sont

similaires, et par conséquent, seuls les résultats obtenus suivant Y seront

présentés. La direction Z est la direction de l’épaisseur de l’échantillon.


114

La Section 1 présente la cartographie d’une zone non-irradiée, les Sections 2, 3, 4

celles des zones irradiées durant 12, 24 et 48h. Pour chaque section, 22 points de

mesure ont été nécessaires. L’acquisition d’un point de mesure a été effectuée dans

une gamme de fréquence comprise entre 100 Hz et 10kHz, nécessitant ainsi 6

minutes d’enregistrement.

La figure III.9. a) donne la distribution de charges relative à la Section 1 (zone non-

irradiée) et elle sera considérée comme référence. Par une analyse visuelle, on

remarque qu’il n’y a pas beaucoup de différence entre les Sections 1 et 2. Ceci

traduit le fait que le matériau n’est pas affecté par l’irradiation pour des durées

d’exposition faibles (<12h).

Par contre, on remarque que le niveau de charges augmente avec le temps

d’exposition. Pour une durée d’irradiation de 24 heures, des charges négatives

apparaissent dans une zone proche de la surface, d’une façon non homogène. Pour

un temps de 48 heures, le niveau des charges devient important devant le niveau

du profil de référence et la zone d’accumulation s’élargit.

Une autre observation importante est celle concernant la profondeur de la zone

d’accumulation des charges. Cette zone, proche de la surface de l’échantillon, est

présente dans toutes les sections étudiées et son étalement dépend du temps

d’exposition. Ce résultat était attendu, étant donné que la photo-oxidation induite

par l’irradiation UV est un phénomène de surface [Sche 97].

Les effets des UV sur le PEN ont été également étudiés par microprofilométrie IR

[Sche 97]. Les auteurs ont montré que la photo-oxidation du matériau n’excède pas

10µm. Ce résultat est en accord avec celui obtenu par la méthode FLIMM. En effet,

les cartographies montrent que les charges d’espace sont confinées dans une zone

proche de la surface, sur environ 7µm de profondeur.

De plus, la zone dégradée à la surface de l’échantillon devient très absorbante,

provoquant le jaunissement du matériau constituant ainsi un écran de protection

pour le reste du matériau. Ce phénomène de surface a été également mis en

évidence par de mesures de photoluminescence [Mary 01] effectuées dans notre

laboratoire.


115

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

5

10

15

20

25

24 h

Ep

ais

seu

r (µ

m)

Ep

ais

seu

r (µ

m)

Ep

ais

seu

r (µ

m)

Ep

ais

seu

r (µ

m)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

5

10

15

20

25

48 h

-1,3E-3 -1,06E-3 -8,25E-4 -5,87E-4 -3,5E-4 -1,12E-4 1,25E-4 3,63E-4 6E-4

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

5

10

15

20

25

Non irradiée

Déplacement en Y (µm)Déplacement en Y (µm)

Déplacement en Y (µm)

Déplacement en Y (µm)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

5

10

15

20

25

12 h

Figure IV. 15– Cartographies de charges d’espace pour différentes durées d’irradiation

Les mesures de charges d’espace ont montré que lors de l’irradiation du matériau

par de UV, une accumulation des charges a lieu à la surface du matériau. Ce

phénomène est probablement à l’origine de la diminution du niveau

d’électroluminescence du matériau.

Ainsi, l’EL et la méthode FLIMM apparaissent comme deux techniques

complémentaires pour l’étude des phénomènes de vieillissement induits par les UV.

Des nouvelles mesures ont été envisagées par les deux techniques afin de

déterminer, d’une manière quantitative, les limites de détection, notamment en ce

qui concerne la surface minimale d’irradiation, l’intensité de l’irradiation ou les

temps d’exposition.


116

IV.2.2 Etude du PTFE irradié par MEB

L’objectif principal de ces travaux consistait en la réalisation des cartographies

tridimensionnelles de charges d’espace. La réalisation des cartographies nécessitait

la fabrication d’échantillons spéciaux. Le choix du téflon est justifié par sa capacité

à piéger les charges sur une longue période. L’utilisation du MEB permet alors

l’implantation d’électrons de manière sélective et localisée.

IV.2.2.1. Préparation des échantillons

Pour la réalisation des cartographies tridimensionnelles, les échantillons doivent

remplir les conditions suivantes:

- le matériau à étudier doit piéger les charges pendant une longue période,

- les zones de l’échantillon où les charges sont accumulées doivent être

indentifiables.

La première condition est importante dans la mesure où la réalisation d’une

cartographie nécessite l’enregistrement de plusieurs points de mesures suivant un

balayage en X et Y. Ainsi, l’acquisition totale des données peut durer plusieurs

jours, d’où l’importance d’un matériau qui a la capacité de stocker les charges

pendant une longue durée.

La connaissance exacte des zones susceptibles de contenir des charges d’espace

facilite les mesures et la calibration de notre méthode. Pour cela, les échantillons

ont été irradiés par un microscope électronique de balayage (MEB) de type JEOL

JSM- 6060LV. Le collage préalable d’une grille de microscope par-dessus

l’échantillon permet l’implantation des électrons suivant la géométrie de la grille.

Connaissant ses caractéristiques physiques (largeur, longueur des caissons), on

peut déterminer avec précision les zones où les charges ont été implantées.

Les échantillons utilisés pour cette étude sont des films minces de PTFE (Téflon) de

50µm d’épaisseur, métallisés sur les deux faces avec une couche d’or de 30nm. Des

grilles de microscope avec des géométries différentes ont été collées sur les

échantillons, soit avec de la laque d’argent, soit avec de la colle cyanolite. Une très

fine couche de carbone (~20nm) a été alors déposée par évaporation sur la totalité

de l’échantillon. Celle-ci permet de conserver l’empreinte de la grille, une fois celle-ci

enlevée, comme montre la Figure IV. 16.


117

IV.2.2.2. Cartographie barreaux avec une résolution de 50 µm - Laque d’argent

Le premier essai de cartographie a été réalisé sur un film de PTFE, préparé suivant

la procédure décrite précédement.

Par-dessus l’électrode, une grille de microscope en cuivre a été collée avec de la

laque d’argent. Elle possède les caractéristiques suivantes :

- Diamètre : 3mm

- Epaisseur : 25 µm

- 5 barreaux de 125 µm d’épaisseur, espacés de 125µm

- 8 barreaux de 55 µm d’épaisseur, espacés de 55µm

Une image de cette grille est montrée dans la Figure IV. 16.

L’échantillon a été ensuite irradié par un faisceau d’électrons à l’aide du MEB. Les

caractéristiques d’implantation sont données dans le tableau suivant :

Energie Temps d’irradiation Taille de spot Distance de travail

30 keV 20 min ~1µm 50 mm

Tableau IV. 2 – Caractéristiques d’implantation

Avant d’effectuer les mesures FLIMM, la grille a été enlevée et l’empreinte qu’elle

laisse sur l’échantillon est matérialisée sur Figure IV. 16.

Figure IV. 16 - L’empreinte de la grille


118

A partir de cette empreinte et par l’intermédiaire d’une webcam, nous avons choisi

la zone à étudier. Un balayage suivant l’axe X, avec un pas de 50 µm (Figure IV. 17)

a été ensuite réalisé, nous permettant d’investiguer à la fois les zones irradiées que

celles non-irradiées.

50 µm

X0 475475

Figure IV. 17 – Choix des zones d’analyse

Durant l’irradiation, l’interaction électron-matière conduit à des effets

d’accumulation de charges à la surface dans les zones non protégées par la grille.

Les particules injectées dans le matériau interagissent avec des atomes en leur

cédant une partie de l’énergie. Elles sont ainsi ralenties jusqu’à l’arrêt complet à

condition que l’échantillon soit suffisamment épais. Ce phénomène est caractérisé

par la déperdition d'énergie par unité de longueur

dx

dE. La puissance totale d'arrêt

est la somme des contributions des interactions électronique, nucléaire et de

composantes émissives. La distance moyenne parcourue par une particule chargée

dépend de sa nature, de son énergie initiale, et de la nature du matériau utilisé. Le

calcul de la profondeur de pénétration des électrons a été effectué en employant

l'approximation de ralentissement continu divisée par la densité du matériau donné

par un programme de simulation appelé ESTAR. Ce logiciel est disponible sur le site

internet du NIST (National Institute of Standards and Technology). Ce modèle doit

être renseigné avec des paramètres importants comme la composition chimique,

l’énergie d'excitation et la densité du matériau.

La profondeur de pénétration des électrons a été calculée pour plusieurs matériaux

et les résultats obtenus sont montrés dans la Figure IV. 18.


119

0 10 20 30 40 50

0

10

20

30

40

50

Pro

fon

de

ur

d'im

pla

nta

tio

n (

µm

)

Energie (keV)

xlpe

Téflon

Kapton

Aluminium

PS

PVC

Figure IV. 18 – Profondeur de pénétration des électrons en fonction du type de matériau

utilisé

Dans le cas du PTFE, la profondeur maximale de pénétration des électrons calculée

est de 7µm. Dans nos expérimentations, avant l’irradiation, l’échantillon est

métallisé avec de l’or et une couche de carbone est déposée par-dessus, ce qui peut

entraîner un ralentissement des électrons. Cela signifie que la profondeur réelle de

pénétration sera moindre que la profondeur théorique.

Les profils de charge obtenus par la méthode FLIMM sont présentés dans la Figure

IV. 19.

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

De

nsité

de

ch

arg

e (

10

-3C

m-3)

Epaisseur (µm)

x0

x50

x100

x150

x200

x250

x300

x350

x400

x475

Figure IV. 19 - Distribution de la charge implantée


120

Une analyse visuelle de ce graphique permet de distinguer trois types différents de

courbes :

• Celles obtenues pour les zones irradiées sont notées X50, X300 et X475. La

première remarque qui peut être faite, c’est que les charges détectées à la

surface de l’échantillon par FLIMM sont des charges négatives. Ce résultat était

tout à fait prévisible, étant donnée l’implantation des électrons par le MEB. On

constate également que la distribution de la charge a une allure classique,

courbe qu’on retrouve dans la littérature [Gris 02] et correspondant à une

implantation classique par MEB. De plus, le pic est très proche de la surface et

il ne dépasse pas les 10µm calculés théoriquement.

• Les courbes représentées par X250 et X350 sont celles où le spot laser a

chevauché la limite entre une zone irradiée et une zone non-irradiée. L’allure des

courbes est la même que pour X50, mais la densité de charge est réduite

d’environ 50%.

• Le reste des courbes correspondent aux mesures effectuées sur les zones non

irradiées. Il est intéressant de noter la présence des charges positives dans une

zone proche de la surface de l’échantillon. Ce phénomène peut être associé à la

présence de la laque d’argent qui est susceptible de diffuser à l’intérieur du

matériau. Les électrons implantés sont ainsi déplacés vers le substrat de

l’échantillon.

A partir de ces résultats, une cartographie de charges d’espace est réalisable. Dans

la Figure IV. 20, nous constatons une périodicité de la charge implantée, qui

correspond à la périodicité de la grille.


121

Figure IV. 20 - Cartographie de la charge implantée

Dans un premier temps, ces résultats montrent que des charges sont efficacement

implantées dans le matériau par le MEB, à une profondeur n’excédant pas quelques

microns. De plus, la Figure IV. 20 montre qu’une périodicité dans la distribution

des charges à été trouvée, ce qui prouve que la méthode utilisée est adaptée à la

réalisation des cartographies multidimensionnelles de charges.

IV.2.2.3. Cartographie d’un angle en 3D

Compte tenu des résultats encourageants obtenus, des mesures ont été envisagées

afin de réaliser des cartographies tridimensionnelles de charges.

L’échantillon utilisé est toujours du PTFE de 50 µm, métallisé avec une couche d’or

de 30nm. Par rapport à l’échantillon précédent, deux modifications ont été

apportées :

- La grille choisie possède une géométrie différente, comme montre la Figure

IV. 21. Elle est uniquement composée d’un caisson de 2mm de longueur et

500 µm d’épaisseur présent au milieu de la grille.

- La laque d’argent qui servait de collage a été remplacée par de la cyanolite,

afin d’éviter la diffusion de l’argent à l’intérieur du matériau.


122

L’échantillon ainsi préparé a été irradié par le MEB. Dans le Tableau IV. 3, nous

rappelons les caractéristiques d’implantation :

Energie Temps d’irradiation Taille de spot Distance de travail

30 keV 20 min ~1µm 50 mm

Tableau IV. 3 – Caractéristiques d’implantation par MEB

Le but de ces mesures consiste à mettre en évidence l’implantation des électrons.

Nous avons choisi d’étudier pour cela un coin du caisson. Les points de mesures

sont repérés sur la Figure IV. 21. Six points ont été disposés suivant l’axe X et 6

suivant Y, espacés toujours de 50 µm. La direction Z représente l’épaisseur du

matériau.

50 µm

50

µm

Figure IV. 21 – Visualisation de la zone d’analyse

Le nombre des courbes obtenues étant nombreuses, nous avons choisi de ne faire

qu’une représentation tridimensionnelle de charges. Le résultat obtenu pour cet

échantillon est montré dans la Figure IV. 22.


123

Figure IV. 22 – Visualisation 3D de la répartition de la charge

La zone où les électrons ont été implantés est facilement repérée dans cette figure.

Néanmoins, l’aire de cette zone est légèrement inférieure à la zone irradiée. Ceci

peut être expliqué par des effets de bord, les électrons n’étant pas implantés de

façon homogène à proximité des bords de la grille. Une autre explication à ce

phénomène peut être mise sur le compte de la fiabilité de la webcam. En effet, sa

résolution étant faible, il est possible que les mesures soient décalées par rapport

aux points choisis initialement.

Dans cette cartographie, on remarque également que les électrons restent confinés

dans une zone proche de la surface de l’échantillon, d’environ 5 µm.

La cartographie 3D obtenue pour cet échantillon est toute à fait cohérente avec la

configuration de l’échantillon, néanmoins, la résolution spatiale peut être améliorée.

IV.2.2.4. Cartographie 3D des barreaux 10µm

Nous avons trouvé intéressant de tester les limites de la technique FLIMM, autant

du point de vue de la résolution spatiale, que de sa sensibilité par rapport à

l’évolution de la charge dans le temps.

Pour cela, nous avons utilisé le même type d’échantillon, élaboré de la même

manière que les précédents.

0

50

100

150

200

250

0

50

100

150

200

250

−50

−40

−30

−20

−10

0


124

Une grille avec des barreaux verticaux a été utilisée pour effectuer l’implantation

des électrons par le MEB. L’irradiation par le faisceau d’électrons a été effectuée

dans les mêmes conditions que précédemment.

La zone choisie pour notre étude est présentée dans la Figure IV. 23. Cette zone est

particulièrement intéressante, puisqu’elle possède des barreaux de largeurs

différentes, nous permettant ainsi de réaliser des cartographies originales. Les

points de mesures distribués suivant l’axe X sont espacés de 10µm, et de 50µm

suivant Y.

Leur distribution est montrée dans le détail de la Figure IV. 23.

50

µm

10 µm

X

Y

50

100

150

Figure IV. 23 – Choix de la zone d’analyse

La cartographie 3D de charges a été obtenue en superposant les distributions de

charges suivant les directions Y0, Y50 et Y100. Pour chaque composante Y, 44

acquisitions ont été effectuées, chaque acquisition durant 6 minutes. Etant donné

le nombre important d’acquisitions, la durée totale des mesures a été de 2 jours.

Une représentation en volume des charges implantées est présentée F igure IV. 24.

On remarque que des charges négatives ont été efficacement implantées dans les

zones non protégées par la grille. Ce phénomène est davantage mis en évidence

dans la Figure IV. 26, où les barreaux de la grille sont représentés.

Il est important de noter que les distributions de charges détectées par la méthode

FLIMM correspondent exactement aux conditions d’implantation et au pas de la

grille. La première zone dans laquelle l’on retrouve des charges implantées est plus


125

large que la deuxième. Ceci est tout à fait cohérent étant donné que la largeur des

barreaux de la grille est différente.

La profondeur totale de pénétration de charges est d’environ de 5µm, avec un pic

vers 2µm. Ce résultat est en accord avec les calculs théoriques et la Figure IV. 18.

YX

F igure IV. 24 – Représentation de la charge implantée


126

Figure IV. 25 – Représentation avec la visualisation des barreaux

IV.2.2.5. Evolution temporelle de la charge d’espace

Sur le même échantillon, une étude concernant la dynamique des charges dans le

temps a été effectuée.

Les mesures ont été réalisées à un intervalle de 2 jours, suivant l’axe Y0. Par

rapport aux premières mesures, on constate une relaxation des porteurs dans le

matériau. Dans la Figure IV. 26, une évolution des charges peut être remarquée.

Une nette séparation des paquets de charges dans la direction latérale X est visible

(Figure IV. 26 a)). Celle-ci correspond à la périodicité de la grille, et aucune charge

ne semble avoir diffusé latéralement dans les minutes ayant suivi l’irradiation.

Les Figure IV. 26 b) et c) montrent les résultats obtenus respectivement 2 et 4 jours

après irradiation. Ici l’étalement de charges est net et s’accompagne d’une

diminution du niveau moyen de charges. Ces phénomènes sont accentués plus

particulièrement sur la Figure IV. 26 c), ce qui peut nous donner des informations

sur l’évolution temporelle des charges implantées.


127

Figure IV. 26 – Evolution temporelle du niveau de charge

Une étude complémentaire de dynamique de charges a été réalisée sur un film de

Téflon irradié dans les mêmes conditions qu’auparavant. L’évolution de charges a

été étudiée sur une semaine, et les mesures ont été toujours effectuées sur la même

zone de l’échantillon. Dans les heures qui ont suivi l’irradiation, des mesures ont

été faites consécutivement, puis elles ont été espacées de plusieurs heures.

Le résultat obtenu est présenté Figure IV. 27. Nous pouvons remarquer qu’une

décroissance importante du niveau de charges a lieu immédiatement après

l’irradiation, qui peut être jusqu’à 6 fois moindre. Néanmoins, un régime stable est

atteint 21 heures après l’irradiation.

a) b)

c)


128

0 50 100 150 200 250

0

2

4

6

8

10

12

14

D

en

sité

de

ch

arg

es (

mC

/m3)

Temps (h)

Figure IV. 27 - Evolution du niveau de charges avec le temps

Ces résultats particulièrement originaux montrent que des cartographies

multidimensionnelles peuvent être réalisées par la méthode FLIMM, avec une

résolution latérale de 10 µm et une résolution en profondeur d’environ 1µm.

L’évolution temporelle des répartitions est aussi possible. On peut ainsi parler

d’analyse 4D (x, y, z, t).

IV.3 Conclusion

Les principaux résultats expérimentaux obtenus avec la méthode FLIMM ont été

présentés dans ce chapitre.

Dans un premier temps, une analyse unidimensionnelle des charges d’espace a été

réalisée sur deux types de matériaux polymères (PET et PEN).

Les mesures effectuées sur le PET nous ont permis de déterminer le comportement

de ce matériau à champ constant et à température variable. Nous avons constaté

que l’augmentation de la température favorise l’injection des charges à partir des

électrodes. Ces résultats ont été confirmés par des mesures similaires effectuées

par la méthode MOT.

L’objectif des études sur le PEN visait à interpréter son comportement à haut

champ. Les mesures ont été réalisées à température ambiante et pour une large

gamme de champs appliqués. Nous avons mis en évidence une injection massive

d’homocharges à partir d’un champ seuil de 150kV/mm. Ces résultats sont en


129

accord avec ceux obtenus par d’autres auteurs avec des mesures de courants et

d’électroluminescence.

Cette première approche unidimensionnelle montre les capacités de la méthode

FLIMM pour la détermination et la quantification de la distribution de charges

d’espace dans les isolants polymères minces avec une bonne sensibilité.

Dans un second temps, nous avons procédé à la réalisation des cartographies

multidimensionnelles de charges pour utiliser au mieux l’intérêt d’une sonde

focalisée.

Des résultats intéressants et originaux ont été obtenus sur des films de Téflon

irradiés par faisceau d’électrons qui permettent de préciser les limites actuelles

atteintes en terme de résolution spatiale latérale, de l’ordre de 10 µm. En fonction

de la fréquence de modulation de la source laser (100kHz), la résolution en

profondeur peut atteindre le micron.

Cette résolution spatiale peut être améliorée à la fois en diminuant la taille de spot

et en augmentant la fréquence de modulation, ce qui nécessite la mise au point de

techniques de détection plus complexes et plus sensibles.


130

Conclusions générales


131

La détermination des répartitions de charges d’espace dans les isolants polymères

utilisés en Génie Electrique permet d’obtenir une meilleure connaissance du

comportement du matériau soumis à des différentes contraintes (électriques,

thermiques, mécaniques). Ces études permettent de mieux comprendre les

phénomènes physiques qui sont à l’origine du vieillissement prématuré du

matériau. C’est dans ce contexte que s’inscrivent les travaux présentés dans ce

mémoire.

La méthode de détection de charges que nous avons développée et optimisée lors de

ces travaux est la méthode FLIMM. L’intérêt majeur de cette technique réside dans

la focalisation du faisceau laser qui permet une localisation plus précise des

charges « ponctuelles» dans le matériau, ainsi que la réalisation de cartographies

multidimensionnelles de charges d’espace. Afin de rendre cette technique plus

robuste et plus performante dans le domaine tridimensionnel, des nombreuses

améliorations ont été apportées, tant au niveau expérimental que théorique.

L’extraction de la distribution des charges se fait par des méthodes mathématiques

de déconvolution, à partir du signal FLIMM mesuré et de la distribution de la

température à l’intérieur du matériau.

En particulier, nous avons travaillé sur différents algorithmes d’inversion pour en

dégager leurs principales qualités, en vue d’un choix définitif correspondant au

mieux à la problématique de notre étude. Ceci a représenté un travail important,

consommateur de temps et d’énergie, mais absolument nécessaire pour l’obtention

de résultats fiables et reproductibles. La technique FLIMM est désormais robuste de

ce point de vue là, c’est-à-dire parfaitement opérationnelle.

Un effort important a été porté à l’augmentation du rapport Signal/Bruit du signal

détecté. Expérimentalement, une mise au point minutieuse a été menée pour

éliminer toute source parasite, et la chaîne de conditionnement du signal a été tout

particulièrement soignée. Le résultat montre que nous pouvons extraire des

amplitudes efficaces de courant légèrement inférieures à 0.1 effpA , correspondant à

des équivalents en charge de l’ordre du 3mmC / , ce qui correspond aux meilleurs

résultats obtenus par d’autres auteurs avec des méthodes similaires.

En parallèle, nous avons modélisé avec précision les variations alternatives de la

température locale dans l’échantillon car elles représentent un paramètre important

pour la détermination de profils de charges. Etant donné la particularité de notre

technique, il a été nécessaire de développer un nouveau modèle de température


132

avec apport d’énergie volumique, qui se rapproche davantage du phénomène

physique. Ce modèle prend également en compte et de manière nouvelle la

géométrie multicouche de nos échantillons pour une meilleure adéquation avec les

phénomènes réellement engendrés par la modulation du laser.

Toutes ces améliorations nous ont permis de procéder à la mesure des charges

d’espace dans des matériaux soumis à des différentes contraintes (thermiques ou

électriques). Dans un premier temps, une analyse unidimensionnelle a été effectuée

sur plusieurs types de matériaux (PET et PEN).

L’étude du PET s’inscrit dans le cadre du GDR ME²MS qui a pour but une meilleure

connaissance de ce matériau en corrélant les résultats obtenus par des différentes

techniques. Notre contribution a porté sur l’étude de l’influence de la température

et du champ électrique sur la formation de charges d’espace.

Le PEN est un matériau moins connu que le PET, mais avec des capacités très

intéressantes. Actuellement, des nombreuses études sont effectuées parmi

lesquelles sont comportement à haut champ. Avec la méthode FLIMM nous avons

étudié l’accumulation de charges d’espace en fonction du champ appliqué.

Les résultats obtenus sur ces deux matériaux ont été très satisfaisants et en accord

avec des résultats obtenus par d’autres auteurs.

Cette évolution de la FLIMM nous a également permis d’atteindre l’objectif

important que nous nous étions fixé : la réalisation des cartographies

tridimensionnelles de charges. Nous avons ainsi démontré à partir des charges

électriques implantées par faisceau d’électrons que des cartographies 3D pouvaient

être effectuées avec une excellente résolution latérale d’environ 10µm et une

résolution en profondeur d’environ 1 micron. L’évolution temporelle de ces spectres

de charges a aussi été étudiée.

A court terme, les travaux portent sur l’amélioration de la résolution latérale afin de

réaliser des cartographies tridimensionnelles plus précises. Egalement, une

attention particulière sera accordée à l’évolution temporelle des distributions de

charges reliées aux défauts présents dans la structure.

A pus long terme, nous envisageons de déterminer la répartition des charges

d’espace dans les matériaux polymères sous contrainte électrique continue.

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Bibliographie

142

Annexe 1

Annexe

143

Constantes d’intégration de l’équation de la chaleur quatre couches

=

−

−−+=

−

−

−

L

L

L

e

ee

3

3

3

232

2

223

23321

1

11

λ

λ

λ

β

ββ

ρα

ρ

ρρρρα

))((

−=

−+++=

=

−=

=

=

+−+=

++

+

++++

+

−−+

+

+=

+++=

=

−−+

−−

−+−

−

)(

)(

)(

(

,

)()()(

))()(

)(

2242

423334

3

33

22222

1

4

4433231333

42

4

32

232312

2

122

2

32

212221

434

344343

22

122121

0

0

1

1

1

11

1

1

ii

ii

LLLL

LL

LLLL

SC

eCeeCeBeAB

den

numB

CyAxB

B

A

CyCyyBxA

Cx

y

Cx

yyC

x

eeyB

x

xA

eeCeBeAA

L

δβ

α

αα

α

λ

δδδδδδδ

ββ

δβδδδδ

δδ

λ

et

Annexe

144

( )( )

−−−−=

−−−=

−=

−++

+−=

+

−−+

+

+

−++−−−+−+

+

−+−

+

−−+=

−

−

−

−

−

−−

L

L

L

L

L

LL

ee

eNS

e

eNS

NS

xx

xxden

Cyx

x

Cx

xyyyy

eyx

xyeCnum

2

3

3

3

2

22

2234

23244

2233

2233

2

222

3332

32223

442

22233

32

22323122233323133

12

22

2

2212223

111

11

11

11

1

1

1

111

11

11

λ

λ

λ

λ

λ

λλ

ββ

β

λ

β

β

λ

λ

λ

βλβ

ρχρρβ

ρχρβ

χβ

δχδχ

δχδχ

αδχαβχδχ

αδ

βαδχ

)())((

)()(

)())((

)()()(

)(

+

−=

+

−=

−

−

L

L

ex

ex

3

2

2

4433

44333

2

1122

11222

δ

δ

δχδχ

δχδχ

δχδχ

δχδχ

( )

( )

+

−=

+

+=

+

−=

+=

−

−−

+−

−

L

L

L

L

ey

ey

ey

ey

3

33

33

2

4433

4444

4433

443332

4433

443331

2

1122

112 2

δλ

δβ

δβ

δ

δχδχ

βδχ

δχδχ

δχβχ

δχδχ

δχβχ

δχδχ

δχ

λ

λ

Le terme 2N est donné par l’équation (1.32)

Annexe 2

Annexe

145

Simplification de l’équation du courant par intégration par parties

L’équation de départ est :

dzTdzL

zTduz

L

SjfI

L Lz

⋅

−= ∫ ∫∫

0 00

)()( ρα

ω

En posant : ∫∫ −=LL

TdzL

zTdufzg

00

),( , on obtient :

∫ ⋅=L

dzfzgzL

SjfI

0

),()()( ρα

ω

Cette expression peut être simplifiée en intégrant par parties :

∂

∂⋅−

⋅= ∫ ∫∫

L zL

L

dzz

fzgduudzzfzg

L

SjfI

0 000

),()()(),()( ρρ

αω

Or en remarquant que 00 == ),(),( fLgfg , cette expression se simplifie :

∫ ∫

∂

∂⋅−=

L z

dzz

fzgduu

L

SjfI

0 0

),()()( ρ

αω

De plus, ( )z

zEz

∂

∂=

)(ερ ce qui implique :

∫

∂

∂⋅−=

L

dzz

fzgzE

L

SjfI

0

),()()(

εαω

avec :

∂

∂+−=

=

∂

∂−=

−∂

∂=

∂

∂

==

∫∫

∫∫ ∫

44344213210

00

00 0

1

1

L

cte

L

Lz L

Tdzz

zTdzL

T

TdzzzL

TTdzL

zTdu

zz

fzg ),(

Le détecteur synchrone ne tenant compte que des termes alternatifs, on en déduit :

Annexe

146

),(),( fzTfzgz

=∂

∂

De sorte que :

dzfzTzEL

SjfI

L

),()()( ⋅−= ∫0

εα

ω

Finalement, en considérant L

SC

ε= , la capacité de l’échantillon, l’expression du

courant s’écrit :

dzfzTzECjfI

L

),()()( ⋅−= ∫0

ωα

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