2 Options Exotiques

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Options Exotiques

Marc Debers

PLAN Black & Scholes Option exotique : Premire approche Stratgies doptions Option exotique : Seconde approche Option chooser Option Forward start Option sur option Options barrire Options binaires Options lookback2

PLAN

Options asiatiques Options dchange Options facteurs Les autres options Conclusion

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Black & ScholesHypothses : Le march est sans friction : Il nexiste pas de cot de transaction, ni de cot daccs linformation, ni dimpt. Les titres sont par ailleurs indivisibles. Les transactions se font de faon continue et il est possible de procder des achats ou des ventes dcouvert. Il est possible demprunter ou de prter sans limiter un taux sans risque gal au taux dintrt court terme. Ce taux dintrt est suppos connu et constant. Les options sont de type europen, donc exerable leur date dchance. Pendant la dure de vie de loption, il nest dtach aucun dividende ou autre droit pouvant affecter le cours du titre sous-jacent. Le cours du sous-jacent obit un processus de marche au hasard, et plus prcisment un processus dvolution stochastique continu de Gauss-Wiener, dfini par lquation diffrentielle dIt. Le dividende est nul. La volatilit est constante 4

Black & ScholesLa valeur finale dun call est :

Ct ! S 0 N d 1 e r T t K N d 2 d2 ! lnS 0 K r W 2 2 t T W T t

d1 ! d 2 W

T tZ 2

Ct ! S 0

Y d 2 W T t

y2

2

e

2

2T

dy e

r T t

e Kz d2

dz 2T

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Option exotique : Premire approche

Le payoff dun call tant :

CT ! S T K

Une option exotique, et donc non vanille, est une option dont le payoff diffre dun payoff classique. Donc un call exotique est une option dont la date dexercice, le sous-jacent, le prix dexercice prennent une forme diffrente. Une option exotique ne peut correspondre une stratgie doptions qui serait une combinaison linaire doption, type straddle, strangle .

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Stratgie doptions

Achat dun Straddle (stellage) Il sagit de lachat dun call et de lachat dun put de mme strike. La stratgie consiste anticiper une hausse de la volatilit quelque soit la variation ( la hausse ou la baisse) du sous-jacent.

La vente dun stellage est une stratgie qui consiste anticiper une baisse de la volatilit en vendant un call et en achetant un put de mme strike. 7 Le sous-jacent et la maturit sont les mmes.

Stratgie doptions

Achat dun Strangle Il sagit de lachat dun call et de la vente dun put ou le strike du put est infrieur celui du call. La stratgie consiste anticiper une hausse brutale de la volatilit quelque soit la variation ( la hausse ou la baisse) du sous-jacent. Le cot dun strangle est infrieur cot dun straddle.

Si le sous-jacent reste dans lintervalle des prix dexercice, le cot se limite celui des 2 primes. Le sous-jacent et la maturit sont les mmes. 8

Stratgie doptions

Achat dun tunnel Il sagit de lachat dun call en dehors de la monnaie et de la vente dun put en dehors de la monnaie. La stratgie consiste anticiper variation du sous-jacent.

Le sous-jacent et la maturit sont les mmes. 9

Stratgie doptions

Achat dun bull spread (avec des calls) Il sagit de lachat dun call dans la monnaie et de la vente dun call en dehors de la monnaie. La stratgie consiste anticiper une hausse relative du sous-jacent.

Le sous-jacent et la maturit sont les mmes. 10

Stratgie doptions

Achat dun butterfly (papillon) Il sagit de lachat dune option ayant un prix dexercice donn faible, de lachat dune option ayant un prix dexercice donn lev, de la vente de 2 options ayant un prix dexercice intermdiaire.

Le sous-jacent et la maturit sont les mmes. 11

Stratgie doptions

Achat dun condor Il sagit de lachat dune option ayant un prix dexercice donn faible, de lachat dune option ayant un prix dexercice donn lev, de la vente de 2 options ayant 2 prix dexercices intermdiaire.

Le sous-jacent et la maturit sont les mmes. 12

Options Exotiques : 2nde approche

Il existe donc les options pour lesquels le payoff : Dpend du chemin parcouru par le sous-jacent (path-dependent) Dpend de plusieurs faceurs

Dpend du temps Est unique Mais aussi dautres critres

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Options Exotiques : 2nde approcheOn distingue ainsi : Les chooser Les forward start Les options par paquet Les chooser Les barrires Les binaires Les lookbacks Les asiatiques Les options dchange Les options plusieurs facteurs 14

Option Chooser (As you like it)Une option chooser est une option dont son dtenteur peut convertir loption en une option de vente ou une option dachat.

Dans cette option, 3 dates sont considrer : La date t de valorisation La date tc, date de choix de loption La date de maturit T

Le payoff dune telle option est : Max [ 0;C(K,T,t);P(K,T,t) ]

A une date t = tc, chooser = Max (Put;Call) A t = T, Chooser = P + C soit un straddle !

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Option Chooser (As you like it)Chooser tc = Max ( C(Stc, K, T tc, W, r, H) ; P(Stc, K, T tc, W, r, H) )

En appliquant la parit call-put : Chooser tc = Max ( C(Stc, K, T tc, W, r, H) ; C(Stc, K, T tc, W, r, H) + K e r(T-tc) Stc e-H (T-tc) ) Chooser tc = C(Stc, K, T tc, W, r, H) + Max ( 0 ; K e r(T-tc) Stc e-H (T-tc) ) Chooser tc = C(Stc, K, T tc, W, r, H) + P (Stc e-H (T-tc), K e r(T-tc) , tc - t, W, r, H)

Il suffit donc de reprendre la formule de Merton (B&S avec dividendes) pour obtenir lexpression exacte !

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Option forward startUne option forward start est une option dont sa vie dmarre dans le futur.

Dans cette option, 3 dates sont considrer : La date t de valorisation La date tg, date de dmarrage (grant date) La date de maturit T

Le payoff dune telle option est : Forward Call = e H(tg-t)Ctg Forward Put = e H(tg-t)Ptg

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Option sur option (compound)Une option sur option est une option qui donne le droit dexercer une option. Le sous-jacent est donc une option. Le prix du sous-jacent, la volatilit, le taux dintrt, le dividende, le prix dexercice, la maturit de loption sous-jacente sont ncessaires mais galement le prix dexercice, la maturit de loption sur option. La maturit de loption sur option, te, tant infrieure la maturit, T, de loption sous-jacente.

On distingue les calls sur call, les calls sur put, les puts sur call, les puts sur put.

Lvaluation est extrmement complexe.

Le payoff dune telle option est pour un call sur call : Max ( 0 ; C(S, T, K, r, W, H, te) k)

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Option sur option (compound)

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Options barrireLes options sur barrire sont de deux types :

Les options barrire activante (knock in) o loption ne vaut rien tant que le sous-jacent natteint pas cette barrire. Ds lors loption devient une option classique. Les options barrire dsactivante (knock out) o loption vaut le prix d une option classique tant que le sous-jacent natteint pas cette barrire. Ds lors loption devient nulle. Loption est alors active ou dsactive la hausse (up) ou la baisse (down). On distingue les calls down and in up and in down an out up and out puts down and in up and in down an out up and out 20

Quand loption natteint pas la barrire, son dtenteur reoit un rabais (rebate)

Options barrireAvant de nous intresser aux prix de telles options et leurs payoffs, il est essentiel de nous pencher sur lvolution du sous-jacent en fonction du prix et de la barrire dans le cas par exemple dune option down & in. 3 2 H 1 K Cas 3: ST > H > K. La barrire na pas t touche. Payoff = Rebate. Cas 1 : H > ST > K. Payoff = ST K Cas 2 : ST > H > K. La barrire a t touche. Payoff = ST - K

4 5 K

Cas 4 : ST > K > H. La barrire a t touche. Payoff = ST K Cas 5 : ST > K > H. La barrire na pas t touche. Payoff = Rebate

H

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Options barrireDown & In call : S = 100, K = 100; T-t = 365, r = 10%, H = 5%, W = 20%, H = 97, Rebate R = 2 Si K > HCt ! S t eH T t

H S t

2P

N w3 Ke

r T t

H S t

2P 2

N w3 W T t Re

r T t

2P 2 H N w4 W T t N w2 W T t S t

Si H > K lexpression est encore plus complexe !

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Options barrire

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Options binairesUne option binaire est une option dont le payoff est discontinu, payant soit rien ou un montant important.

On distingue les options cash or nothing, asset or nothing, gap ou encore supershares. Cash or nothing :

Une option cash or nothing paye un montant cash fix Z si le sous-jacent expire dans la monnaie ou 0 sinon.

Ct ! Ze r T t N d 2

Pt ! Ze r T t N d 2

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Options binairesAsset or nothing :

Une option asset or nothing paye le sous-jacent si le sous-jacent expire dans la monnaie ou 0 sinon.

Ct ! S t e H T t N d1

Pt ! S t e H T t N d1

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Options binairesOption gap :

Une option gap est une option dont le prix dexercice est une fonction linaire du type K dsigne le gap.

g o g

=>

gap = 0 => call classique

gap = 5

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Options binairesOption supershare :

Une option supershare est une option dont le payoff est ST/KLsi KL < S < KH ou 0 sinon.

Ct !

S t H T t ?N wL N wH A e KL r H 0,5W 2 (T t ) W T t r H 0,5W 2 (T t ) W T t

S ln t X L avec wL ! St ln X H wH !

et

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Options lookbackBUY AT THE LOW AND SELL AT THE HIGH !

Une option lookback est une option dont le prix dexercice est le min ou le max du sous-jacent durant sa vie.

Ainsi un call lookback est un call dont le prix dexercice est le minimum de la valeur des sousjacent durant sa vie. Ct =Max ( 0 ; ST - Min( St, St+1, , ST ) ). Ainsi un put lookback est un put dont le prix dexercice est le maximum de la valeur des sousjacent durant sa vie. Pt =Max ( 0 ; Max( St, St+1, , ST ) ST ).

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Options asiatiques ou options sur moyenneUne option asiatique est une option dont le payoff dpend de la moyenne des prix du sous jacent ou dont le payoff dpend de la moyenne du prix dexercice.

Bankers Trust tait le premier crer ce produit dans leur bureau de Tokyo do leur nom. Nous ne prsentons ici que les options asiatiques dont le payoff dpend de la moyenne gomtrique des prix du sous-jacent, le cas dune moyenne arithmtrique nayant pas de solution ferme. Il est donc ncessaire dintroduire une nouvelle date, date partir de laquelle on calculera cette moyenne.

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Options dchangeUne option dchange dun actif 1 par un actif 2 est une option qui permet de recevoir 0 ou S2 S1 maturit. Il sagit donc dun call sur S2 dont le strike est S1.

Option t ! S 2 e H 2 T t N w1 S1e H1 T t N w2 S ln 2 (H 1 H 2 0,57 2 )T t S 1 avec w1 ! 7 T t S ln 2 (H1 H 2 0,57 2 )T t S et w2 ! 1 7 T t2 et 7 ! W 12 W 2 2 VW 1 W 2

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Options multi facteurs (rainbow)Ces options sont complexes valuer. Nous ne faisons que dcrire partiellement leur comprhension. Ces options portent le nom de rainbow car elles portent sur plusieurs sous-jacents. On distingue Best of 2 assets and Cash Max of 2 assets and cash Better of 2 assets and Cash (= best avec strike =0) Min of 2 assets and cash Worse of 2 assets and cash

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Les autres options

Toutes les options qui ont t dcrites sont des options exotiques qui possdent une solution unique et ferme. Certes, leurs valuations est complexes mais possibles alors quil existe beaucoup dautres options exotiques dont leur prix est simul (MC). De plus, il ny a pas de limitation limagination et la cration de nouvelles options tant que celles-ci rpondent un besoin financier.

Exemple : Option cliquet : Option dont le strike est fix ultrieurement des dates donnes. La valeur intrinsque est dfinitivement acquise chaque changement du strike. Option shout = Option cliquet + lookback. Lacheteur de loption doit se manifester (shout) pour percevoir la valeur intrinsque Option Bermuda : Option dont les dates dexercice sont limites et connues Option hockey-cokey = Option double barrire activante droite et dsactivante gauche. 32

Conclusion

Le livre na pas t termin. On a jamais retrouv la fin Lewis Carrol Il est impossible de prsenter toutes les options exotiques

Quelques ouvrages : Hull, R. W. Kolb Futures, Options, & Swaps, Blackwell M. Bellalh, Gestion des Risques et Produits Drivs Classiques et Exotiques, Dunod

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