2 Numérisation des signaux échantillonnésluc.fety.free.fr/ELE102/Cours_FOD/ELE102newCO2.pdf ·...

Traitement numérique du signal Cours ELE102-FOD

Rédacteur Claude BORDEAUX Page 47

2 Numérisation des signaux échantillonnés

2.1 Généralités 2.1.1 Résumé de l’épisode précédent

L’information contenue dans un signal analogique est connue à chaque instant et peut prendre une infinité de valeurs. C'est une fonction continue du temps et de l’amplitude.

Figure 2.1-1

La connaissance d’échantillons, valeurs prises par ce signal à des instants régulièrement espacés, suffit pour connaître l’information contenue et permettre de la reconstituer. Cette opération s’appelle échantillonnage. Pour que l’information soit conservée, l’échantillonnage doit obéir aux conditions de Nyquist-Shannon (paragraphe 1.2.5).

Figure 2.1-2

Le signal est alors à temps discontinu ou discret.

signal continu ( ) suite de valeurs ( )a k a eEchantillonnages t s s k T

Figure 2.1-3

Le spectre du signal échantillonné est périodique de période fe. Le spectre du message est reproduit périodiquement autour des multiples de la fréquence d’échantillonnage, avec une amplitude égale.

2.1.2 Traitement numérique des échantillons Les échantillons peuvent être traités par des dispositifs analogiques à commutation (capacités commutées, registre à transfert de charge) ou par des dispositifs numériques (micro-processeurs, D.S.P.). Les dispositifs numériques, comme leur nom l’indique, traitent l’information sous forme de nombres. A chaque échantillon doit correspondre un nombre. Pour que les calculs soient possibles, le nombre de chiffres de ce nombre doit être fini. Observons quelques exemples : La première machine de traitement numérique, entièrement mécanique, « la Pascaline » (1652).

(Musée du CNAM)

Figure 2.1-4 La Pascaline

Le nombre de chiffres décimaux traités correspond au nombre de roues de la machine.

Sur une calculatrice moderne, l’affichage est différent. Le nombre de chiffres détermine le nombre d’afficheurs décimaux.

Le nombre de chiffres binaires conditionne la structure du processeur notamment le nombre de bits des bus internes. (bit est la contraction de binary digit, chiffre binaire).

Figure 2.1-6 Pentium IV 64 bits

La place des systèmes numériques augmente considérablement, en raison des progrès techniques de l’électronique. Au point d’envahir tous les sytèmes de communication ??

Déjà Pythagore en 500 avant J.C. avait pour devise « Toute chose est un nombre » !!

Figure 2.1-5



2.1.3 Systèmes de traitement numérique 2.1.3.1 Schéma fonctionnel

Le traitement numérique du signal désigne l’ensemble des opérations, calculs arithmétiques et manipulation de nombres, qui sont effectués sur un signal à traiter. Ce signal appliqué à l’entrée du système est représenté par une suite ou un ensemble de nombres tout comme le signal traité, obtenu à sa sortie.

Figure 2.1-7

Dans ce schéma fonctionnel, la source d’information est numérique (clavier, codeur de position, etc..). Le périphérique de sortie aussi (afficheurs décimaux, écran, actionneur numérique, etc... Lorsque l’information est un signal continu (analogique), le système doit être précédé d’un convertisseur analogiquenumérique et éventuellement suivi d’un convertisseur inverse.

2.1.3.2 Convertisseur analogique numérique Le signal analogique doit être numérisé pour être traité. Il doit donc être échantillonné et numérisé, c'est-à-dire quantifié et codé. Mais ces dernières opérations ne sont pas instantanées et les échantillons doivent être mémorisés par un bloqueur. Rappelons que l’échantillonnage doit obéir à la condition de Nyquist-Shannon.

Figure 2.1-8

2.1.3.3 Convertisseur numérique analogique Les nombres sont transformés en échantillons. L’interpolation qui permet de reconstituer le signal à temps continu est un bloqueur (interpolateur d’ordre 0). Le signal de sortie est quantifié ; il doit être filtré pour reconstituer les valeurs intermédiaires (filtre de lissage, voir leçon précédente).

Figure 2.1-9

2.1.3.4 Système numérique Le schéma fonctionnel de l’ensemble du système est alors :

Figure 2.1-10

2.2 Quantification 2.2.1 Définition

Les nombres traités doivent avoir un nombre de chiffres fini. Par conséquent, ils ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeurs. La quantification est la réduction du nombre infini de valeurs d’un signal analogique (échantillonné) à un ensemble fini de valeurs. Ces valeurs sont codées sous forme de nombres ; pour cela, le code binaire naturel est souvent utilisé.

Pour quantifier un signal, l’étendue du signal est subdivisée en q intervalles juxtaposés, de largeur k. Toutes les valeurs appartenant à un même intervalle sont représentées par le même nombre. L’intervalle peut être associé à sa valeur médiane (quantification par arrondi) ou à sa valeur minimale (quantification par troncature).

Figure 2.2-1

2.2.2 Facteur de crête La quantification impose des limites aux signaux de grande amplitude.

Figure 2.2-2

Si le signal est borné en amplitude, la plage de conversion doit être supérieure ou égale à l’étendue du signal pour éviter une distorsion de l’information.

Figure 2.2-3

Si le signal n’est pas borné en amplitude, les fortes amplitudes provoquent des écrêtages.


Rédacteur Claude BORDEAUX 1

La plage de conversion du convertisseur devra être choisie de telle sorte que la probabilité d’écrêtage soit conforme au cahier des charges. Par définition, le facteur de crête est le rapport de l’amplitude A à la valeur efficace Veff.

effc V

AF log20

Par exemple, un signal sinusoïdal a un facteur de crête de 3 dB. Pour un signal aléatoire, l’amplitude est définie à partir de la probabilité de dépassement. Une probabilité de 10-5 est souvent prise comme référence. Pour un signal gaussien, l’amplitude est 42,4A , d’où un facteur de crête de 12,9dB.

2.2.3 Caractéristique d’un quantificateur uniforme Si les intervalles k sont égaux, la quantification est uniforme. est appelé quantum. Le nombre q d’intervalles est une puissance de 2 pour un codage en binaire sur N bits : Nq 2

Considérons un CAN symétrique fournissant un nombre binaire de N bits et de dynamique 2 Vmax.

NqV 22 max .

La caractéristique d’un quantificateur uniforme est une fonction en escalier présentant q intervalles. Ci-contre la caractéristique idéale d’un convertisseur analogique numérique par arrondi.

Dans la pratique, les quantificateurs utilisent la troncature, ce qui

introduit une erreur moyenne de 2

.

Soit x le nombre associé à la tension v.

ventièrepartiex

Il existe des convertisseurs unipolaires et bipolaires

Figure 2.2-4

Figure 2.2-4

2.2.4 Caractéristique d’un quantificateur non uniforme

Certains signaux aléatoires ont une densité de probabilité d’amplitude qui décroit, comme les signaux gaussiens ou les signaux téléphoniques. Une quantification uniforme de ces signaux fournit des niveaux équidistants, mais qui ne sont pas équiprobables. Les niveaux d’amplitude élevée ont une probabilité plus faible que ceux qui sont voisins de l’origine. On espace les niveaux d’amplitude élevée pour améliorer la répartition des probabilités. Voir rapport signal/bruit.

2.2.5 Performances Résolution : plus petite variation convertible, le quantum est déterminé par le nombre de bits :

N

VV2

minmax

Temps d’établissement : temps de réponse ou temps de conversion. C’est le temps de réponse à un échelon pleine échelle défini dans une bande d’erreur de

2

autour de la valeur finale.

Précision : % échelle pleine

maxierreur enp

Erreurs

Figure 2.2-6

Dynamique

Par définition, la dynamique d’un convertisseur est le quotient de la puissance d’un signal sinusoïdal d’amplitude maximale (sans écrêtage) par la puissance du bruit de quantification. Evaluée en dB, dBND 76,102,6 . (voir rapport signal/bruit de quantification)

Figure 2.2-5



2.3 Bruit de quantification L’étude du bruit de quantification est faite dans le cas d’une troncature, qui est le cas le plus fréquent dans les convertisseurs analogiquenumérique.

2.3.1 Observations 2.3.1.1 Description du signal

Considérons le signal analogique suivant, représenté dans le domaine temporel,

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

54321

12345

Signal analogique

temps en s

ampl

itude

Figure 2.3-1

et dans le domaine fréquentiel.

10 0 10 20 30 40 501

1

2

3

4

5Spectre du signal analogique

fréquence en Hz

mod

ule

Figure 2.3-2

2.3.1.2 Observation 1 Echantillonnons ce signal à la fréquence de 100Hz, légèrement supérieure à la fréquence minimale de 2 Fmax. La période d’échantillonnage est de 10ms :

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

54321

12345

Signal échantillonné

temps en s

ampl

itude

Figure 2.3-3

Quantifions ce signal par troncature sur 8 niveaux (3 bits). Le choix de l’amplitude et du nombre de niveaux entraîne un pas de quantification ou quantum =1; les niveaux de quantification sont des nombres entiers.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

54321

12345

Signal numérique

temps en s

ampl

itude

Figure 2.3-4

Les échantillons ne peuvent prendre que l’un des 8 niveaux autorisés. La différence est le bruit de quantification, un signal aléatoire échantillonné dans l’intervalle 0, .

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

1.251

0.750.5

0.25

0.25Bruit de quantification 3 bits

temps en s

ampl

itude

Figure 2.3-5

Après filtrage idéal de la bande

2

,2

ee ff ce bruit de quantification devient :

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

1.251

0.750.5

0.25

0.25Bruit de quantification 3 bits filtré

temps en s

ampl

itude

Figure 2.3-6

Ce bruit filtré représente la déformation de l’information due à la quantification. Remarquons la valeur

moyenne de 2

qui représente l’erreur systématique.

Un quantificateur peut donc être modélisé par un additionneur de bruit :

Figure 2.3-7

L’amplitude du bruit échantillonné est liée au quantum intervalle entre 2 niveaux.

qVV minmax NN VVq 22 minmax



2.3.1.3 Observation 2 La bonne idée, pour réduire le bruit est d’augmenter le nombre de niveaux ; observons le bruit échantillonné pour 8 bits, c'est-à-dire une quantification à 256 niveaux.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

0.040.030.020.01

0.01Bruit de quantification 8 bits

temps en s

ampl

itude

Figure 2.3-8

L’intervalle vaut maintenant 3,125.10-2, l’étendue du bruit crête à crête est divisée par 32.

Si le nombre de niveaux est « suffisant », les valeurs des échantillons sont uniformément distribuées sur l’intervalle 0, . La densité de probabilité est donc une constante sur l’intervalle 0, .

La normalisation impose une valeur constante de 1

sur l’intervalle.

Figure 2.3-9

Calculons la transformée de Fourier du bruit échantillonné et observons le spectre du bruit ici représenté entre 0 et fe/2 :

0 10 20 30 40 500

2 10 34 10 36 10 38 10 3

0.01Spectre du bruit de quantification 8 bits

fréquence en Hz

mod

ule

Figure 2.3-10

Le spectre peut être considéré comme blanc, en première approximation, lorsque le message est aléatoire et que le nombre de niveaux est « suffisant ».

Figure 2.3-11

Après interpolation idéale, le spectre est limité à la bande de fréquence

2

,2

ee ff :

Figure 2.3-12

Dans le domaine temporel, le bruit de quantification filtré par l’interpolateur idéal est le suivant :

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

0.040.030.020.01

0.01Bruit de quantification 8 bits filtré

temps en s

ampl

itude

Figure 2.3-13

En conclusion, l’augmentation du nombre de niveaux a diminué le bruit de quantification.

2.3.2 Puissance du bruit de quantification Le calcul est effectué dans le cas où le nombre de niveaux est « suffisant ».

Le bruit de quantification est un signal aléatoire, à répartition uniforme dans l’intervalle 0, .

Sa densité de probabilité est la suivante :

Figure 2.3-14

L’aire de la surface de la courbe est égale à 1, donc la densité est constante égale à 1

sur l’intervalle.

Calculons les moments statistiques d’ordre 1 et 2:

2211)(

020 xdxxdxxpxXE bq

C’est l’erreur systématique due à la troncature.

222030 222

3311)(

xdxxdxxpxXE bq

D’où la variance : 1243

222222

XE

La puissance du bruit est donc : 12

2bqP .



Cette puissance est la même pour le bruit échantillonné et le bruit filtré par l’interpolateur idéal. Car

elle est évaluée sur l’intervalle

2

,2

ee ff .

Comme le bruit est blanc, on en déduit la densité spectrale de puissance : e

bqq fdf

dPfB

12

)(2

Figure 2.3-15

2.3.3 Rapport signal/bruit Considérons un signal quantifié sur N bits et sa reconstitution par interpolation idéale.

NNbq

N

VVP

qV

2

2max

2max

2

max

231

121

22

12

22

Le rapport signal/bruit de quantification est le quotient de la puissance nominale du quantificateur par la puissance du bruit de quantification.

bq

SdB P

PRSB 10log10

La puissance du signal dépend de sa forme ; reprenons la notion de facteur de crête :

effc V

VF maxlog20

2

max

22max

10

2

10 log10log10VV

PV

PV

RSB eff

bqbq

effdB

Soit en développant : ccbq

dB FNFP

VRSB

3log102log20log10 1010

2max

10

cdB FdBNRSB 77,402,6

Un bit de résolution supplémentaire apporte un gain de 6 dB sur le rapport S/B de quantification. Mais le RSB dépend de la « forme » du signal par son facteur de crête.

Pour le calculer avec précision, nous allons considérer 3 formes de signaux: 2.3.3.1 Signal sinusoïdal

Pour un signal sinusoïdal d’amplitude Vmax, la valeur efficace est :2

maxVVeff .

Le facteur de crête, dBFc 01,32log10

dBNRSBdBdBNRSB

dB

dB

76,102,601,377,402,6

2.3.3.2 Signal à distribution uniforme

C’est le cas d’un signal déterministe triangulaire ou en dent de scie. Pour un signal à distribution uniforme d’amplitude Vmax, la densité de probabilité est constante sur l’intervalle maxmax , VV :

Figure 2.3-16

Le calcul de la puissance du signal est semblable au calcul de la puissance du bruit de quantification.

La puissance nominale est :3

2maxVPS .

D’où la valeur efficace :3

maxVVeff et le facteur de crête : dBFc 77,43log10

NRSBFdBNRSB

dB

cdB

02,677,402,6

2.3.3.3 Signal gaussien Pour un signal gaussien, nous avons déterminé un facteur de crête de 12,9dB pour limiter l’écrêtage à une probabilité de 10-5.

dBNRSBFdBNRSB

dB

cdB

13,802,677,402,6

2.3.4 Influence de l’amplitude Le rapport signal/bruit est défini pour la puissance nominale du quantificateur. Mais les signaux ne sont pas toujours stationnaires, par exemple les signaux sonores (téléphone). Le bruit de quantification étant indépendant de l’amplitude, la distorsion apportée est relativement plus importante pour les faibles valeurs du signal. Pour estimer ce défaut, on définit le rapport signal/bruit instantané qui est fonction de l’amplitude V.

2

max

22max

10

2

10 log10log10VV

PV

PV

RSBibqbq

dB

En reprenant le calcul précédent,

max

log2077,402,6VVFdBNRSBi cdB



Figure 2.3-17

En échelle logarithmique, la représentation du RSBi est une droite. Sa position dépend du nombre de bits du quantificateur. L’écart est de 6dB par bit.

2.3.5 Remarque Les calculs précédents peuvent sembler déprimants, car ils n’offrent comme solution au bruit de quantification que l’augmentation du nombre de bits. Ainsi voit-on fleurir sur les cartes d’acquisition, des convertisseurs 12 bits, 16 bits, lents et onéreux ! Mais une bonne connaissance de la théorie du bruit de quantification et de son traitement, permet au « bon électronicien » de s’affranchir de cette contrainte et de comprendre les méthodes modernes comme la conversion sigma delta. Nous allons donc approfondir en étudiant l’influence de la fréquence d’échantillonnage, puis essayer de définir ce que nous avons appelé « nombre de niveaux suffisant » terme non scientifique qu’il faut expliciter, voire chiffrer!

2.3.6 Quantification non uniforme Le rapport S/B de quantification a été calculé pour la puissance nominale du signal ; comme cette condition n’est pas toujours réalisée, le rapport S/B est inférieur à la valeur calculée précédemment. Il l’est d’autant plus que l’amplitude du signal est faible. Pour améliorer le rapport S/B, il faut amplifier les signaux de faible amplitude et au contraire atténuer les signaux de forte amplitude ; cette amplification non linéaire est une compression. La prise en compte de la compression dans la numérisation amène à une quantification non uniforme.

Figure 2.3-18

Les niveaux de décision ne sont plus équidistants. En téléphonie, la loi de compression utilisée est la loi A à « 13 segments ».

La caractéristique peut être décomposée en réalité en 16 segments, dont 4 sont colinéaires et considérés comme un seul. La partie positive est représentée ci-dessous :

Figure 2.3-19

La compression est réalisée en numérique après quantification uniforme sur 12 bits par transcodage sur 8 bits. Le numéro du segment est codé sur 4 bits (3+1 bit de signe) et la position dans le segment sur 4 bits.

Figure 2.3-20

La compression permet de garder le rapport signal/bruit instantané autour d’une valeur raisonnable pour une large plage d’amplitude du signal.

Figure 2.3-21

Les discontinuités correspondent aux changements de segments. En téléphonie le rapport S/B oscille autour de 40 dB.



2.4 Convertisseurs A/N N/A Nous examinerons uniquement les caractéristiques liées à l’architecture du convertisseur. Il existe e nombreux sites Internet qui étudient le fonctionnement des convertisseurs classiques et leurs qualités. Nous développerons l’étude des convertisseurs Sigma-Delta après l’étude des systèmes numériques, le traitement numérique ayant une part importante.

2.4.1 Convertisseurs N/A : Résistances pondérées;

Sources de courant pondérées ;

Echelle R/2R;

MLI+filtrage; inutilisables pour les signaux à fréquence élevée ;

Sigma delta (voir chapitre associé).

2.4.2 Convertisseurs A/N : Voir la documentation. Intégration à simple ou double rampe. Ces convertisseurs sont précis, mais lents. Leur durée de conversion est souvent un multiple de la période du secteur. Ils sont utilisés pour les appareils de mesure numériques.

Approximations successives. Durée de conversion moyenne, dépendante de la résolution.

Flash. Convertisseur rapide. Mais la complexité et donc le coût augmente exponentiellement avec le nombre de bits. Ils sont utilisés en faible résolution pour la conversion de signaux à fréquence élevée.

Semi –flash. Cette structure permet d’augmenter la résolution mais avec une durée de conversion plus grande.

Pipe line. Cette structure permet d’augmenter la résolution mais introduit un retard.

Sigma delta. Cette structure permet de réaliser des convertisseurs à haute résolution pour des signaux à basse fréquence (audio).

2.5 Application : chaîne d’acquisition de données 2.5.1 Définitions

Une chaîne d’acquisition de données est un système destiné à mesurer une grandeur physique et la traiter sous forme numérique. La grandeur physique à mesurer est appelée mesurande. L’action de mesurer est appelée mesurage et son résultat mesure.

2.5.2 Schéma d‘une chaîne d’acquisition Le capteur est un composant ou un ensemble de composants transformant une grandeur physique en grandeur électrique. Le conditionneur est un dispositif électronique qui adapte le signal de sortie du capteur à la plage de conversion du CAN.

Figure 2.5-1

2.5.3 Exemple : Mesure de température L'échelle de température Celsius (°C) est égale à la température absolue T (K) décalée de la température du point triple de l'eau :

15,273 T . Le capteur de température LM335 fournit une tension Vm (tension mesurée) proportionnelle à la température absolue T.

TVm avec = 10mV/K.

Nous devons concevoir un thermomètre numérique fonctionnant dans la plage de température min max40 , 88C C , avec un convertisseur analogique numérique de plage de conversion : VVVV 5,2,5,2 maxmin . La résolution doit être de 0,5°C. Le schéma fonctionnel du conditionneur est le suivant : L’équation régissant la tension Vs en fonction de est :

0 0273,15S d m dV A V V A V

La plage de conversion doit correspondre à l’étendue du signal, ce qui fournit 2 équations à 2 inconnues.

min min 0

max max 0

273,15

273,15S d

S d

V A V

V A V

Figure 2.5-2

Figure 2.5-3



max min

max min

max0 max

3,906

273,15 2,971

S Sd

S

d

V VA

VV VA

Voici la caractéristique du conditionneur :

Figure 2.5-4

Pour une résolution de 0,5°C sur une étendue de 128°C, le convertisseur doit avoir 256 niveaux. Nous utiliserons dons un convertisseur 8 bits.

Le quantum de tension est alors 5 19,531

256mV

L’équation qui permet de convertir le nombre n fournit par le convertisseur, en température x : max min

min256x n

D’où la caractéristique (agrandie) de la température mesurée en fonction de la température réelle,

Figure 2.5-5

Qui montre bien les effets de la quantification.

2.6 Approfondissons ! Nous avons modélisé le bruit de quantification et calculé son influence dans la numérisation de l’information. Nous allons maintenant approfondir en étudiant l’influence du sur-échantillonnage, technique qui débouche sur l’amélioration du rapport signal/bruit de quantification.

2.6.1 Sur-échantillonnage 2.6.1.1 Calcul de l’expression générale

La puissance d’un signal aléatoire échantillonné, stationnaire et ergodique, est indépendante de la fréquence d’échantillonnage. L’utilisation du sur-échantillonnage permet d’étaler la densité spectrale de puissance du bruit de quantification (à condition qu’il soit blanc) et d’améliorer le rapport signal/ bruit de quantification par filtrage

Considérons un signal à spectre borné à Fmax sur-échantillonné à max2Ff e .

La densité spectrale de puissance est donc : e

bqq fdf

dPfB 1

12)(

2

Figure 2.6-1

Comme le spectre du message est borné à l’intervalle maxmax , FF , le filtre d’interpolation peut être un filtre passe–bas idéal à Fmax.

max2 2NV q

La puissance du bruit filtré est donc 22

max max max2 2 2112 2 12bq N

e e

F V FPf f

En reprenant le calcul précédent :

bq

SdB P

PRSB 10log10

On obtient l’expression générale :

max10 2

log1077,402,6FfFdBNRSB e

cdB

Dans cette expression intervient la fréquence d’échantillonnage sous forme d’un facteur que l’on peut

appeler facteur de sur-échantillonnage : max2F

feFSe

On retrouve l’expression précédente pour la condition de Shannon : 1SeF .

Multiplier la fréquence d’échantillonnage par 2 ajoute 3 dB au rapport signal/bruit, multiplier par 4 ajoute 6dB ce qui équivaut à 1 bit supplémentaire.



2.6.1.2 Exemple : Nous allons observer un signal échantillonné à une fréquence légèrement supérieure à la condition de Shannon (en rouge sur le graphe), et le même signal échantillonné à fréquence double (bleu). Ce serait encore mieux en quadruplant, mais la visibilité des échantillons sur les graphes est moindre. De même la quantification sur 3 bits seulement améliore la visibilité.

Figure 2.6-2

Le bruit de quantification voit sa fréquence doubler. Observez les variations rapides du signal bleu (figure 2.6.3), qui pour une même puissance contient des fréquences plus élevées. Le spectre du bruit de quantification est étalé.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

1.25

1

0.75

0.5

0.25

Bruit de quantification 3 bits

Figure 2.6-3

Le filtrage élimine les variations rapides; l’amplitude (et donc la puissance) est fortement diminuée.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.21.25

1

0.75

0.5

0.25

0Bruit de quantification 3 bits filtré

Figure 2.6-4

Le signal sur-échantillonné (bleu) présente un bruit de quantification plus faible. Attention, l’erreur

moyenne 2

est toujours là !!

Pour bien assimiler ces notions il est recommandé de faire les exercices et simulations associés à la numérisation.

2.6.2 Discrétisation des amplitudes Etudions les effets de la quantification dans l’espace des probabilités. La densité de probabilité continue du signal échantillonné est transformée en densité discrète composée de Dirac.

La probabilité que l’échantillon soit quantifié au niveau n est : dxxpnXn

n S 1

)(Pr

Figure 2.6-5

La quantification est un « échantillonnage en amplitude ».

En introduisant la fonction caractéristique :

dxexpu jux

S )()( qui est, à un changement de

variable prêt, la transformée inverse de la densité de probabilité. Echantillonner la densité de probabilité, modifie la fonction caractéristique et la reproduit périodiquement. Nous retrouvons les problèmes de recouvrement déjà observés lors de la leçon sur l’échantillonnage. Rapprocher les niveaux de quantification, éloigne les périodes de la fonction caractéristique et donc diminue le bruit de quantification. Le développement théorique est long et compliqué [Théorie et traitement des signaux ; chapitre 10.3 ; F. de COULON ; DUNOD] et sort de notre étude. Néanmoins, le résultat est intéressant car il aboutit au théorème de la quantification, analogue au théorème d’échantillonnage. La densité de probabilité d’une variable aléatoire continue pS(x) est entièrement décrite par la densité de probabilité quantifiée uniformément avec un pas , si la fonction caractéristique est à support borné et s’il n’y a pas recouvrement. Dans ce cas, le bruit de quantification est à distribution uniforme et sa

variance est égale à 12

2.



La fonction caractéristique d’un signal à amplitude bornée n’est pas bornée, mais en général tend vers 0. Le choix d’un quantum suffisamment petit, rend le recouvrement négligeable.

De plus, l’addition d’un bruit à répartition uniforme sur le pas , distribue uniformément le bruit de quantification.

En conclusion, un signal quantifié même grossièrement mais dans les conditions énoncées plus haut, contient toute l’information et le bruit de quantification peut être diminué autant que l’on veut à condition d’augmenter la fréquence d’échantillonnage et le nombre de bits du calculateur. Une bonne connaissance de ces propriétés, permet à l’ingénieur de simplifier la technologie du quantificateur (et donc son coût !), plutôt que de recourir à la « course aux bits » . D’ailleurs les constructeurs utilisent le sur-échantillonnage et la conversion dans la conception de leurs CAN à haute résolution.

Ces propriétés peuvent aussi être exploitées dans les convertisseurs numériques analogiques. Une anecdote. Lors de la conception des premiers lecteurs de Compact-Disk la société Philips ne possédait pas de CNA 16bits à 176kHz (sur-échantillonnage x4). La solution fut une conversion Sigma ; nous étudierons cela en exercices .

2.6.3 Exemple de sur-échantillonnage Voici une application expérimentale du sur-échantillonnage. Les graphes sont des écrans d’oscilloscope, ce qui confirme la réalité cette l’application. Un convertisseur N/A permet de visualiser

le signal numérique.

Figure 2.6-6 Le signal (sinusoïdal à 523Hz) est échantillonné à 2,5 kHz et numérisé sur 3 bits.

Observez l’erreur moyenne 2

.

Figure 2.6-7 Le signal est sur-échantillonné à 20 kHz numérisé sur 3 bits. On distingue bien 7 des 8 niveaux, le signal n’occupant pas la totalité de la plage de conversion.

Figure 2.6-8 Le signal est sur-échantillonné à 20 kHz numérisé sur 3 bits. Un filtre numérique RIF filtre le bruit de quantification. L’erreur moyenne initiale

2

est conservée, mais peut être corrigée

facilement par logiciel en ajoutant 2

.

Avec un convertisseur 3 bits, nous obtenons un signal numérique numérisé sur 4,5 bits équivalents.

Etonnant, non ?



2.7 Documentation 2.7.1 CAN 8 bits

Pour en savoir plus sur le composant : www.datasheetcatalog.net/

2.7.2 CAN 6 bits ultra rapide pour télécommunications

Pour en savoir plus sur le composant : www.analog.com



2.7.3 CAN 24 bits à sur-échantillonnage


2.7.4 CNA 24 bits Sigma Delta


2 Numérisation des signaux échantillonnésluc.fety.free.fr/ELE102/Cours_FOD/ELE102newCO2.pdf ·...

Documents

Transcript of 2 Numérisation des signaux échantillonnésluc.fety.free.fr/ELE102/Cours_FOD/ELE102newCO2.pdf ·...