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Exercice 2-3- P 4 (facultatif)

Au moyen de la mthode de la scante, rsolvez numriquement le problme 1-4 avec les donnes suivantes:

t = 0.3, r = 1.

Calculez a la prcision 10-5puis calculez h.

a) Rsolution semi-automatique

Remplissez, la main, un tableau analogue celui que vous feriez pour la mthode de la bissection. Pour effectuer les

calculs numriques, utilisezMathematica. Aprs avoir dfini la fonctionfdont vous cherchez les zros, dfinissez lafonction qui vous donne la valeur de x1pour un intervalle [a, b] donn :

secante@a_, b_D :=af@bD bf@aD

f@bD f@aD

Vous pouvez ensuite utiliser cette fonction, par exemple,

x1 = secante@2, 3D

1.66842

b) Rsolution automatique

UtilisonsMathematica. pour raliser tous les calculs. Dfinissons une fonction d'itration succ qui, un intervalle

@ak, bkD, fait correspondre l'intervalle embot suivant @ak+1, bk+1DClear@succD;succ@8a_, b_

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2.4 Mthodes itratives de type point fixe,

en particulier mthode pseudo Newton

Introduction

Il n'existe pas de mthode efficace base sur la bissection pour rsoudre un systme de plusieurs quations plusieurs

inconnues. C'est pourquoi nous continuons notre recherche de mthodes.

L'intrt des mthodes de type point fixe est qu'elles peuvent aussi s'appliquer des systmes de plusieurs quations

plusieurs inconnues. De plus, certaines d'entre elles - les mthodes quasi Newton - convergent rapidement, ce qui

permet d'atteindre une grande prcision moindre cot.

Activit d'introduction

Dans la fentre "Accessoires", prenez le programme "Calculatrice". Dans le menu "Affichage", slectionnez

"Scientifique". Choisissez "Rad" comme unit d'angles.

A partir de la valeur initiale 1, calculez le cosinus, puis le cosinus du rsultat, puis encore le cosinus du rsultat et ainsi

de suite. Vous obtenez une suite de nombres

1, 0.5403023058681, 0.8575532158464,

0.6542897904978, 0.7934803587426,

0.7013687736228, 0.7639596829007, ...

qui tend vers r = 0.7390851332152

Rptez l'exprience en partant d'une autre valeur initiale, par exemple 0.2 Vous obtiendrez ainsi une autre suite de

nombres qui tend vers la mme limite.

Vrifiez que la valeur de la limite est la solution de l'quation x = cosHxL.Nous allons montrer qu'on peut appliquer cette mthode d'autres quations.

Dfinitions

Soitx # gHxLune fonction continue.Tout nombre rel rtel que r =gHrLest appel point fixe de g. Dans l'activit prcdente,r = 0.7390851332152 est un point fixe de la fonction gHxL = cosHxL.Pour une valeur de dmarrage x0 donne, la mthode qui consiste construire la suite de nombres

x1 =gHx0L,x2 =gHx1L,x3 =gHx2L,x4 =gHx3L, ...est appele mthode itrative de type point fixe. La fonction gest appele fonction d'itration.

Si la suitex1, x2,x3, x4, ... tend vers un nombre r, cela a pour consquence que gHrL = r, autrement dit que rest unesolution de l'quation x = gHxL.

Interprtation graphique

L'quationx = cosHxLpossde une et une seule solution comme le montre la figure suivante. La solution est situe dansl'intervalle [0;

p

2].

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PlotB8x, Cos@xD

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x0x1 x2x3 x4

x0

x1

x2

x3

x4

y=x

y=gHxL

La mthode converge vers le point fixe Hr, rLqui est situ l'intersection de la courbe et de la droite.Si la mthode dmarre d'une autre valeur initiale prise dans la mme rgion, la suite tend vers le mme point fixe. Par

exemple, pourx0 = 0.72,

x0 x1x2 x3x4

x0

x1

x2

x3

x4

y=x

y=gHxL

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Exemple 1

Rsolvons l'quation par une mthode itrative de type point fixe.

lnHxL = 4 x

Dans une premire tape, mettons l'quation sous la formex = gHxL, c'est--direx = 4 lnHxL avecgHxL = 4 lnHxL

Par une mthode graphique, dterminons une valeur de dmarrage :

Clear@gD; g@x_D := 4 Log@xD;Plot@8x, g@xD

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x0x1 x2x3 x4

x0

x1

x2

x3

x4

y=x

y=gHxL

Calcul avec Mathematica

Pour appliquer itrativement une fonction une valeur initiale, on utilise la commande NestList

? NestList

NestList

@f, expr, n

D renvoie la liste

des rsultats de lapplication de f expr de 0 n fois.

Pour l'exemple 1, cela donne

NestList@g, x0, 12D

83., 2.90139, 2.93481, 2.92336, 2.92727, 2.92593,2.92639, 2.92623, 2.92628, 2.92627, 2.92627, 2.92627, 2.92627