Premire S1F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr Classe de 1S Exercices Algbre 1.Divers 1-1 :Logique 2.Premier et Second degr 2-1 :Premier degr 2-2 :Rsolutions standard 2-3 :Inquations 2-4 :Second degr VRAI ou FAUX (c) 2-5 :Mises en quation 2-6 :QCM 2-7 :Cours 3.Polynmes 3-1 :Factorisation 3-2 :3me degr 3-3 :3me degr mise en quation 3-4 :3me degr 3-5 :Bhaskara 3-6 :4me degr 3-7 :4me degr 3-8 :6me degr (c) 3-9 :Equation homogne 3-10 :Scooters 3-11 :Aires 3-12 :Courbes 4.Trigonomtrie 4-1 :Cercle trigo, angles, formules 4-2 :Angles de vecteurs 4-3 :Cosinus divers 4-4 :Coordonnes polaires - 1 4-5 :QCM trigo 4-6 :Rsolutions dquations trigo 4-7 :Rsolution gnrale du 3me degr 1. Divers 1-1 : Logique Deuxclubsdetennisfontunecomptition.Ilsontdcidderaliserlaconfrontationdestroismeilleurs joueurs de chaque club. Chaque joueur joue trois parties raison dune partie par jour les jeudi, vendredi et samedi dune mme semaine. Les joueurs du premier club se nomment David, Didier et Damien et ceux du second club Camille, Cyril et Charles. Nous savons que les parties David Cyril et Didier Camille se sont tenues le mme jour, que David a jou contre Camille le samedi et que Didier na pas rencontr Camille le jeudi. Dire, en argumentant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. A David a rencontr Cyril le jeudi. B Didier a rencontr Camille le vendredi. C Damien a rencontr Charles le samedi. D Didier a rencontr Charles le vendredi. 2. Premier et Second degr 2-1 :Premier degr RobinetsUnepompeAmet15minutesdeplusqu'unepompeBpourviderunbassin.Lesdeuxpompesenmme temps mettent 56 mns pour vider le bassin. Quel temps faut il chacune des deux pompes ? CyclisteUn cycliste va de A vers B en franchissant un col C puis revient. Sa vitesse moyenne en monte est de 10 km/h et en descente de 30 km/h. Pour se rendre de A B , il met 1 heure exactement. Pouraller de B vers A,ilmet1h40mn.OndsigneparxladistanceACetparyladistanceCB.(deACiln'yaquedela monte, de C B que de la descente...) a. Etablir un systeme de deux quations satisfaites par x et y. b. Rsoudre le systme et en dduire la distance AB. Cycliste 2 Un cycliste met deux heures pour aller dune ville A une ville B, puis 2h 14mn pour effectuer le retour. Premire S2F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr Enmontesavitessemoyenneestde8km/h,surterrainplatde12km/hetendescentede15km/h. Sachant que les deux villes sont distantes de 23 km, dterminer les longueurs des montes, des plats et des descentes. 2-2 : Rsolutions standard 1. Rsoudre les quations suivantes : a.( 1)( 2) ( 3)( 4) ( 5)( 6) x x x x x x + + = + + + + +b. 1 1 62 2 5 x x+ =+ c. 221 531x x xxx+ + +=++ 2. Rsoudre les inquations suivantes : a. 2 2( 2 3)( 2 2) 0 x x x x + + < b. 1 532 2x+x s c. 21 02 5 0x xx + + > +< d. 3527 20 704x xx x >+e. 434 202 18xx xs f. 345 404x xx +s g. 4 212 0 x x + = h. 2621 x x> + i. 22213 1266xxx >. 3. Rsoudre dans :3 21 2x xx x+= +

4 24 13 3 0 x x + =23 7 0 x x =22 8 0 x + =22 7 9 0 x x + =21 255 02 2x x + =22 3 0 x x + ( ) ( )2402 1 27 3x xx x>+ ( ) 6 1 1 1 x x =3 21 2x xx x+s + 23 7 0 x x >2 24 13 3 0 x x + > Correction (2. i) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 42 2 2 2 2 2 2 26 1 6(6 ) (6 ) 36 6 6 36 131 0 0 06 (6 ) (6 ) (6 )x x x x x x x x x xx x x x x x x x + +> + > > > Ilfautfactoriser 2 436 13x x + enposant 2X x =: 213 36 X X + apourracines9et4,cequidonnela factorisation 2 4 2 236 13 ( 4)( 9) x x x x + = . Il reste faire le tableau de signes avec plein de lignes et trouver que[ 3; 6[ [ 2; 0[ ]0; 2] ] 6 ; 3] xe . 2-3 : InquationsExercice 1Pour chacun des cas suivants dire si l'inquation ou quation1 est quivalente l'inquation ou quation 2. Si oui en rsoudre une si non, rsoudre les deux. Dans les deux cas expliquez votre rponse. a.1: (x+5)(x2+1) < (3x2)(x2+1)2 : x+5 < 3x2 b.1: (2x3)2 = (3x1)2 2 : 2x3 = 3x1 c.1: 2 24 4 9 6 1 x x x x + + > + 2 : 1 12 3 1 x xs+ Premire S3F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr Exercice 21. Vrifier que pour tout relx ,( )( )3 2 24 13 9 3 3 4 x x x x x + = + . 2. En dduire alors la rsolution de l'inquation 3 24 13 9 0 x x + > . Exercice 3Rsoudre dans (E) : 2 1 741 3x xx x+ + = +(S) : ( ) ( )22 5 1 08 10 3 0x xx x + >+ > 2-4 : Second degr VRAI ou FAUX (c) On justifiera les rponses. 1. Un trinme, qui a pour discriminant 4, est strictement ngatif sur. 2. Un trinme, qui a pour discriminant 3 et vaut 1 en 0, est strictement positif sur. 3. Le trinme 3x2 6x est strictementngatif sur ]0 ; 2[. 4. Le trinme (x 3)2 + 2 atteint son maximum en 3 ; ce maximum vaut 2. 5. La parabole de sommet S(2 ; 2) passant par A(0 ; 3) a pour quation : y = x2 + 4x 3. 6. Une forme factorise de 3x2 7x + 6est(x + 2)(3 5x). Correction 1. Faux : Un trinme qui a pour discriminant 4, est de signe constant, positif ou ngatif sur. 2. Vrai : Comme il a un signe constant, il a le mme signe quen 0 par exemple, soit +. 3. Vrai : 23 6 3 ( 2) x x x x = estdusignede3lextrieurdesracines,dusignecontraire()entreles racines qui sont 0 et 2. 4. Faux : (x 3)2 + 2a un minimum en 3 qui vaut 2. 5. Faux : si on met sous forme canonique 2 2 24 3 ( 2) 4 3 ( 2) 1 x x x x + = + = + , donc le sommet est S(2 ; 1). 6. Faux : jai honte davoir pos cette question 2-5 : Mises en quation Dangereux... Un touriste se dplace dans un mtro en utilisant un tapis roulant de 300 m de longueur dont la vitesse de translation est de 4 km/h. Il envisage de raliser la performance suivante : notant A et B les extrmits du tapis, il parcourt ce tapis de A vers B dans le sens du dplacement du tapis puis de B vers A sans s'arrter, sa vitesse restant constante. Le retour en A a lieu 10 min 48 sec aprs le dpart de A. Quelle est la vitesse du touriste ? Gomtrique... Inscrire dans un demi-cercle de diametre [AB] un trapze isocle AMNB de manire que la somme des bases (AB + MN) soit gale aux 3/2 de la somme des cts non parallles. Pour banquier matheux... Unepersonne place 30 000 F en deux parties, deux taux d'intrt diffrents.La premire somme, place au taux le plus lev, produit un intrt annuel de 880 F et la seconde un intrt annuel de 280 F . Sachant que la diffrence des taux est 0,5 %, calculer les deux sommes et les deux taux. CamionVoiture Deux villes sont distantes de 450 km. Une automobilemet 4 heures de moins qu'un camion pouraller de l'une l'autre. Sachant que la vitesse horaire de l'automobile est suprieure de 30 km/h celle du camion, trouver les vitesses de chaque vhicule. Bateau Un bateau descend une rivire sur une distance de 26,5 km puis la remonte sur 22,5 km. Le voyage dure 8 heures. Quelle est la vitesse propre du bateau sachant que la vitesse du courant est de 2,5 km par heure ? Premire S4F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr Correction On note v la vitesse propre du bateau ; la descente il va la vitesse v + 2,5 et met le temps 26,52,5 v+ ; la remonte il met le temps 22,52,5 v ; lquation est alors2 226,5 22,5 53 438 8 192 50 32 200 32 192 150 02,5 2,5 2 5 2 5v v v vv v v v+ = + = = =+ + . On rsout, ce qui donne les solutions 0,73 et 6,85 qui est la vitesse propre du bateau. Avion Un avion vole avec une vitesse propre V, suppose constante par rapport lair. Il effectue la liaison aller et retour entre une ville A et une ville B distantes de 1000 km. A laller il bnficie dun vent favorable de vitesse constante gale 50 km.h1. Au retour il a donc un vent contraire (soufflant toujours de A vers B) de mme vitesse 50 km.h1. La dure totale du vol aller et retour (en dcomptant larrt !) est de 4 heures et demie. 1. Montrer que la vitesse propre V de lavion vrifie :4,5 V2 2000 V 11 250 = 0. 2. DtermineralorsVetcomparerVaveclavitessemoyenneVmdelavionsurletrajetalleretretour.Le vent fait-il gagner ou perdre du temps ? Cercle et tangente SoitI un cercle de centre O(3, 1) et de rayon5et A le point de coordonnes (4, 3).Vrifiez que A est un point du cercle et dterminer l'quation de la tangente I passant par A. Ordonn Les points A et B ont pour abcisses 1 et 3sur un axe gradu. a. Quelle est l'abcisse du point M tel que MA = MB sur cet axe ? b. Rsoudre dans l'quation1 3 x x + = . Approximatif...a. Reprsenterdeuxcarrstelsquelesctsdiffrentde1cmauplusetlesairesdiffrentde1cm2au moins (justifier la construction). b. On sait que 12,37 est une valeur approche de x par dfaut 102 prset12,39 est une valeur approche de y par excs 102 prs galement. A-t-on x < y ? Drapeau Soit un rectangle de 6 mtres sur 3, spar en quatre parties par deux bandes de largeur inconnue mais identique. a. Dterminez cette largeur pour que l'aire de la surface hachure soit gale l'aire de la surface non hachure. b. Dterminezcettelargeurpourquel'airedelasurfacehachuresoit infrieure ou gale la moiti de la surface non hachure. Premire S5F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr yx ccABAHB=2,4 m= 7m Echelle Unechelledelongueur7msappuiecontreun mur et sur larte dun bloc cubique de ct 2,4 m. On cherche la distance du pied du mur au pied de lchelle.Ondsigneparxcettedistanceetpary celle du pied du mur au haut de lchelle. a. Montrer quil faut rsoudre le systme (1) : 2 2492, 4 2, 4x yyy x+ = =. b. Montrerquecesystme(1)estquivalentau systme (2) : 22 492,4 0S PP S = = o S=x+y et P=xy. c. Rsoudre (2) puis rsoudre (1). Ville Lesvilleschinoisestaientconstruitessurunplancarr. Lesportesorientesauxquatrepointscardinauxtaient au milieu des cts. Dans la ville de Ki-Ai-Tou-Mou, on ne connaissaitpaslectdelaville.Maisleclbre mathmaticienConton-Juska-Dicesaperutquense plaant en A, on voyait jusqu B, et quen se plaant en C on voyait jusquen A en frlant le coin de la ville. LangleABCestrectangle,leslongueursconnuessont indiques sur la figure. Saurez vous trouver le ct de la ville ? BAC200 pas50 pasporte Nordporte Sud Correction On utilise Thals ou la tangente de langle Caprs avoir appel x le demi-ct de la ville : 50 50 2tan200xCx+= = , soit 22 50 10000 0 x x + = , soit les solutions 59,3 pas et 84,3 (pas valable).La ville mesure donc 118,6 pas de ct. Un libraire expert en comptabilit (Olympiades acadmiques 2005, Besanon)Un ami libraire avait achet un stock de stylos par lots de 5 et avait pu obtenir un bon rabais en achetant le mme nombre de stylos plumes. Il avait achet 5 le lot de 5 stylos et 20 le lot de 5 stylos plumes. Illesrevenditl'unitenfaisantunbnficede20%surchaquestylovenduetde25%surchaquestylo plume. Un soir en faisant le bilan de son stock et sa comptabilit, il se rendit compte qu'il tait exactement rentr dans ses frais alors qu'il lui restait 504 pices en stock dont peu de stylos, en tout cas moins de cinquante. Combien de stylos avait-il achet son fournisseur ? Premire S6F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr Correction Appelons s et p les nombres de stylos et stylos plumes achets. On a s = p et le cot dachat total est de 1 par stylo, 4 par stylo plume, soit au total1 4 5 s p s + = . Au bout dun moment il se retrouve donc avec s et p, de sorte quil est rentr dans ses frais en vendant un stylo 1,20 et un stylo plume 5 , ce qui lui a rapport :1,20 ( ') 5 ( ') 6,20 1,20 ' 5 ' s s s p s s p + = .Onadonclquation5 6,20 1,2 ' 5 ' 1,2 ' 5 ' 1,2 s s s p s p s = + = .Parailleursilluireste504pices,soit 2 ' ' 504 s s p = + +avec' 50 s < . On a donc 1,20 ' 5 ' 1,2' ' 504 2' 50s p ss p ss+ = + + =0 1 Cas 2 x P(x) Cas 3 La parabole traverse laxe des abscisses, son sommet a pour ordonne 4 Cas 4 Cas 5 A=0 a . 3-8 :6me degr (c) On veut dterminer les rels a et b de sorte que le polynme 6 5( ) 1 P x ax bx = + +soit divisible par( )21 x +(dire quun polynme Q(x) divise un polynme P(x) revient dire que Q(x) peut se mettre en facteur dans P(x)). 1. Montrer que si (x+1) divise P(x), alors 6 5 5( ) ( ) 1 P x a x x x = + + + . 2. Dterminer la factorisation de x5+1 par x+1. En dduire la factorisation de P(x) par (x+1). 3. Dterminer alors la valeur de a puis celle de b. Effectuer enfin la factorisation de P(x) par( )21 x + . Correction 1. Si (x+1) divise P(x), alors 1 est racine de P, soit( ) ( )6 5( 1) 0 1 1 1 0 1 0 1 P a b a b b a = + + = + = =+ . On remplace b dans P :( )( )6 5 6 5 5 6 5 5( ) 1 1 1 1 P x ax a x ax ax x a x x x = + + + = + + + = + + + . 2. On crit 51 x +avec (x+1) facteur dun polynme de degr 4 :( )( )( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 2 5 4 3 21 1 1 x x x x x x x x x x x o | o o o | | o o + = + + + + + = + + + + + + + + + , ce qui donne1 0, 0, 0, 0, 1 o o | | o o + = + = + = + = =do on tire1, 1, 1, 1 o | o | o = = = = = = =que lon remplace : ( )( )5 4 3 21 1 1 x x x x x x + = + + + . Premire S9F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr On a donc( )( ) ( )5 4 3 2 5 4 3 2( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 P x ax x x x x x x x ax x x x x = + + + + + = + + + + . 3. Pour que( )21 x +vienne en facteur dans P, il faut pouvoir factoriser1 x+encore une fois, il faut donc que 1 soit racine du deuxime facteur :( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 21 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 5 a a a + + + = + + + + + = = , et on a1 6 b a = + = . Finalement ( ) ( )6 5 5 4 3 2 2 4 3 2( ) 5 6 1 ( 1) 5 1 ( 1) 5 4 3 2 1 P x x x x x x x x x x x x x x = + + = + + + + = + + + . La dernire factorisation est vrifier. 3-9 : Equation homogne Soit linquation 4 3 23 7 8 7 3 0. x x x x + + > En faisant le changement de variable 1X xx= + , montrer que cette inquation est quivalente linquation 2 2( 2 1)(3 3) 0 x x x x + + > . Rsoudre. 3-10 : Scooters Uneentreprisefabrique2000scootersparanen1999.Alasuitedunmarchconcluavecunechanede supermarchselledoitfournir7000scootersautotalsur3ans.Quelledoit-trel augmentationannuelle de la production (en %) pour tenir ses objectifs ? Dansunautrecontrat,lentrepriseauraitdulivreraumoins10000scootersen4ans.Quelleinquation doit on rsoudre pour trouver le taux de croissance minimal annuel de la production ? (ne pas la rsoudre) 3-11 :Aires ABCD est un rectangle tel que5 AB cm =et3 BC cm = . I,J,KetLsontquatrepointsrespectivementsurlessegments| | AB ,| | BC ,| | CD et| | DA telsque AI BJ CK DL x = = = = . On appelle( ) f xlaire du quadrilatre IJKL. 1. Justifier que x appartient lintervalle| | 0 ; 3 . 2. Dmontrer que pour toutxde| | 0 ; 3 , on a( )22 8 15 f x x x = + . 3. En dduire l'aire minimale et la valeur en laquelle elle est atteinte. A BC DIJKLPremire S10F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr 3-12 : Courbes Ci-contre, fC et gC sontlescourbesdesfonctionsf etg dfiniespar( )22 f x x x = et ( )242xg x x = + + . 1. Colorier en vert fC . Justifier ! 2. Dterminer le signe de( ) ( ) f x g x . 3. En dduire la position relative des courbes fCet gCen prcisant les abscisses des points dintersection. 4. Dterminerlafonctionduseconddegrdontlareprsentationgraphiquecoupel'axedesabscissesaux points d'abscisses2 et3et l'axe des ordonnes au point d'ordonne9 . 4. Trigonomtrie 4-1 : Cercle trigo, angles, formules 1. Les rels 1175 tet 5335 t reprent-ils un mme point sur le cercle trigonomtrique ? Si oui, placer ce rel sur le cercle. 2. Dterminer les lignes trigonomtriques des rels 656t et 443t . 3. Sachant que 4tan3x =et 3;2 2xt t ( e( , dterminer les valeurs exactes decos xetsinx . 4. Soitxun rel diffrent de 2ktt +,ke, montrer que1 11 tan 1 tan 2 tancos cosx x xx x| | | |+ + + = ||\ . \ .. 5. Onconsidredeuxvecteursnonnulsuetvtelsque ( )3,4u vt= | | 2t .Dterminerlamesure principale des angles : ( ), u v , ( ), v u et ( ), u v o o ooest un rel non nul. 6. A-t-on293 3t t= | | 2t? Interprter. Mme question avec les rels : 6tet 856t. 7. Placer sur le cercle trigonomtrique les pointsM etN associs aux rels310tet 85t. 0 11xyPremire S11F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr 8. C est le cercle trigonomtrique de centreO et muni du pointIde coordonnes (1 ; 0)a. Dterminer la mesure principale des angles orients de vecteurs de mesures respectives 6739t ; 745t; 2006t et2007t . b. Placer ces points sur C. 9. Complter les pointills : ( ) sin ........ x = ( ) cos ........ x t + = ( ) sin ........ x t = sin ........2xt | |+ = |\ . ( ) cos a b + ..................................... =( ) sin a b ..................................... =sin2a ..................................... =2cos a ..................................... =en fonction decos2a 10. Complter les cases blanches : en radians06t 4t 2t cos xsinx11. Dterminer les lignes trigonomtriques du rel 53t 4-2 : Angles de vecteurs Question de cours : 1. a. Enoncer la relation de Chasles avec les angles orients de vecteurs. b. Dmontrer cette relation. 2.ACD est un trianglequilatral direct.ABC etADE sont des triangles rectangles isocles directs enB etE. a. Complter la figure. Le but de cet exercice est de dmontrer que les droites( ) CDet( ) BEsont parallles. b. EnutilisantlarelationdeChasles,dterminerunemesuredes angles, CD CB | | | |\ . et, AB AE | | | |\ .. c. JustifierqueletriangleABE estisoclepuisendduirela mesure de EBA. d. En dduire la mesure principale de l'angle, BA BE | | | |\ .. e. Dterminer alors une mesure de l'angle, CD BE | | | |\ . puis conclure. 4-3 :Cosinus divers La valeur exacte decos5t est 1 54+. A CDBPremire S12F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr 1. a. Calculer la valeur exacte desin5t. b. En dduire :cos10t et 2cos5t. 2. a. Soitaetbdeux rels. Vrifier que ( )( )224 4 2 22 a b a b ab + = + . b. En dduire que 4 4 21 3 1cos sin 1 sin 2 cos42 4 4x x x x + = = + . c. En dduire la valeur exacte de 4 4cos sin12 12t t | | | |+ ||\ . \ .. 4-4 :Coordonnes polaires - 1 OnposeI(1, 0)etAestlepointdecoordonnespolaires danslerepreorthonormal ( ); , O i jUnit graphique : 2 cm. 1. Placer les points I et A ainsi que le point S dfini parOS OI OA = + . 2. Dterminer les coordonnes cartsiennes de A puis de S. 3. Quelles sont les coordonnes polaires de S ? 4. En dduire que 2 2cos8 2t +=et 2 2sin8 2t =et vrifier quetan 2 18t = . 5. En dduire les valeur exactes de 5cos8t et de 3sin8t. 4-5 : QCM trigo Les quatre questions de cet exercice sont indpendantes. Pour chaque question, il y a au moins une bonne rponse. Le candidat doit cocher sur cette feuille les bonnes rponses. Aucune justification n'est demande. Chaque rponse exacte rapporte 0,5 point, chaque rponse fausse enlve 0,25 point.Si par application de ce barme, le total des points est ngatif, la note cet exercice est ramen zro. Question 1 On noteoune mesure de l'angle etusa mesure principale. 334to = et 4tu = 323to =et 23tu = 867to =et 57tu = 14111to = et 911tu = Question 2 ABCDE est un pentagone rgulier. 3;5AE DEt | | | = |\ .| | 2t 3;10AB OAt | | | = |\ .| | 2t 6;5OA ODt | | | = |\ .| | 2t 2;5AO AEt | | | = |\ .| | 2tOAED CB+Premire S13F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr Question 3 On sait que;2ytt( e( et 2sin3y = . ( )2sin3y t = 25cos9y =( )5cos 23y t = 2cos2 3yt | | = |\ . Question 4 Soit( ; , ) O i j un repre orthonormal. Dans le repre polaire( ; ) O i, les pointsA etB ont respectivement pour coordonnes polaires2 ;6t | | |\ . et 2 1;2 3t | | |\ .. ;2OB OAt | | | = |\ .| | 2t ;2OB OAt | | | = |\ .| | 2t 172AB =2 AB = 4-6 : Rsolutions dquations trigo Exercice 1 a. Montrer que pour tout rel x,( ) ( ) 2cos 3 cos 3 3sin 33x x xt | |+ = |\ . b. Rsoudre l'quation( ) ( ) cos 3 3sin 3 1 x x = . Reprsenter les solutions sur le cercle trigonomtrique. Exercice 2 On considre l'quation ( )1E :( ) 2 cos 4 1 0 x = . 1. a. Rsoudre cette quation dans, puis dans l'intervalle| | ; tt . b. Facultatif : reprsenter les solutions sur un cercle trigonomtrique. Unit graphique : 4 cm. 2. a. Vrifier que pour tout relx , 4 2cos4 8 cos 8 cos 1 x x x = + . b. En dduire que l'quation ( )1Eest quivalente ( )2E: 4 216 cos 16 cos 1 0 x x + =et donner les solutions de ( )2Edans l'intervalle| | ; tt . 3. a. Montrer que l'quation ( )2Eest quivalente au systme 4 2cos16 16 1 0X xX X= + =. b. Rsoudre l'quation ( )3E: 4 216 16 1 0 X X + = . c. En dduire les valeurs exactes decos12t, 5cos12t, 7cos12t et 11cos12t. 4-7 : Rsolution gnrale du 3me degr Pourrsoudrelesquationsdu3degr,uneideatdeposerx = u+vouetvsontdeuxnombres inconnus 1. Soit lquation 3 20 x ax bx c + + + = . Montrer que cette quation se ramne lquationPremire S14F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr (E) 30 X pX q + +=en posantx X o = +; on exprimeraoen fonction de a. 2. OnposeX u v = + avec 3puv = .Montrerque 3U u = et 3V v = sontlesracinesdunequationdu second degr dont on prcisera les coefficients en fonction de p et q. 3. Aquelleconditionsurpetqa-t-ondesracinesrelles ?Danscecascommenttrouve-t-onunedes racines de (E) ? 4. Appliquer cette mthode lquation 33 2 0 X X + + =Correction 1.x X o = +donne donc( ) ( ) ( )3 23 2 2 3 20 3 3 2 ... 0 X a X b X c X X X aX a X o o o o o o o + + + + + + = + + + + + + =; lorsquon regroupe les termes de mme degr, on a( )( )3 2 2 3 23 3 2 0 X a X a b X a b c o o o o o o + + + + + + + + + = . Pouravoirquelquechosedelaforme 30 X pX q + += ilfautqueletermeen 2X soitnul,soitque 13 03a a o o + = = . 2. On poseX u v = + , soit( ) ( ) ( )33 3 3 2 23 3 X pX q u v p u v q u v uv u v p u v q + + = + + + + = + + + + + + . On remarque alors que( )2 23 3 3 u v uv uv u v + = +do ( ) ( )( )3 3 2 2 3 33 3 0 3 0 u v uv u v p u v q u v u v uv p q + + + + + += + + + + += . Comme on a pris 3puv = , on a alors 3 30 u v q + + = . Le problme revient donc rsoudre le systme 3 3 3 33 3 31 127 3u v q u v qu v p uv p + = + = = = . Posons maintenant 3U u = , 3V v = , alors le systme devient2 3 2 3 2333 31 1027 27111 1272727 27U V q U p qU U qU p U VU qUUV pUV pUV p UV p + = + = + = + = = = = = . La premire quation est obtenue en multipliant la premire ligne par U, mais on pourrait multiplier par V sans rien changer donc U et V sont solutions de lquation 2 31027U qU p + = . 3. On rsout donc 2 31027U qU p + =: 2 3427q p A= +qui doit tre positif pour que lon ait des solutions. Lorsque cest le cas on a 1 2,2 2q qU U A + A= =do 3 31 2,2 2q qu u A + A= =et finalement on a une racine relle : 1 2X u u = +et 1 2x u u o = + . 4. 33 2 0 X X + + =: 2 3 2 34 42 3 827 27q p A= + = + =do 3 331 22 81 2, 1 22u u = = + = +et3 31 21 2 1 2 X u u = + = + + + , soit environ 0,596. Premire S15F. Laroche Exercices Algbrehttp://laroche.lycee.free.fr Une autre mthode fait intervenir la trigo 1. Prouverquelquationcos(3 ) a o = avec1