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1M002 - Deuxi eme partie : Calcul Matriciel Chapitre 6 : Determinant et inversion. Antonin Guilloux 23 f evrier 2017 Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 f evrier 2017 1/8

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1M002 - Deuxieme partie : Calcul MatricielChapitre 6 : Determinant et inversion.

Antonin Guilloux

23 fevrier 2017

Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 1 / 8

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Cofacteurs

Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n.

On note :

A− Li − Cj

la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme

colonne de A.

On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.

Exemple

Si A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, alors

A− L2 − C3 =

(1 2

7 8

)

∆23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 2

7 8

∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6

Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 2 / 8

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Cofacteurs

Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :

A− Li − Cj

la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme

colonne de A.

On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.

Exemple

Si A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, alors

A− L2 − C3 =

(1 2

7 8

)

∆23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 2

7 8

∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6

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Cofacteurs

Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :

A− Li − Cj

la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme

colonne de A.

On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.

Exemple

Si A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, alors

A− L2 − C3 =

(1 2

7 8

)

∆23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 2

7 8

∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6

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Cofacteurs

Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :

A− Li − Cj

la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme

colonne de A.

On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.

Exemple

Si A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

,

alors

A− L2 − C3 =

(1 2

7 8

)

∆23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 2

7 8

∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6

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Cofacteurs

Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :

A− Li − Cj

la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme

colonne de A.

On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.

Exemple

Si A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, alors

A− L2 − C3 =

(1 2

7 8

)

∆23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 2

7 8

∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6

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Cofacteurs

Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :

A− Li − Cj

la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme

colonne de A.

On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.

Exemple

Si A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, alors

A− L2 − C3 =

(1 2

7 8

)

∆23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 2

7 8

∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6

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Cofacteurs

Soit A = (aij) est une matrice carree de taille n. On note :

A− Li − Cj

la matrice de taille n − 1 construite en effacant la i-eme ligne et la j-eme

colonne de A.

On note ∆ij = (−1)i+jdet(A− Li − Cj) le cofacteur d’indice i , j de A.

Exemple

Si A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, alors

A− L2 − C3 =

(1 2

7 8

)

∆23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 2

7 8

∣∣∣∣∣ = −(8 − 14) = 6

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Formule de developpement

Question de cours : developpement

Le determinant verifie :

Developpement du determinant selon la ligne i :

det(A) =n∑

j=1

aij∆ij .

Developpement du determinant selon la colonne j :

det(A) =n∑

i=1

aij∆ij .

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Formule de developpement

Question de cours : developpement

Le determinant verifie :

Developpement du determinant selon la ligne i :

det(A) =n∑

j=1

aij∆ij .

Developpement du determinant selon la colonne j :

det(A) =n∑

i=1

aij∆ij .

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Proprietes du determinant

Echange de deux colonnes

Soient A ∈Mn(K) et A ′ obtenue a partir de A en echangeant deux

colonnes de A. Alors on a det(A) = −det(A ′).

Determinant des matrices triangulaires

Si une matrice A =

a1

? a2...

. . .. . .

? . . . ? an

est triangulaire inferieure, alors

det(A) = a1 . . . an.

Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 4 / 8

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Proprietes du determinant

Echange de deux colonnes

Soient A ∈Mn(K) et A ′ obtenue a partir de A en echangeant deux

colonnes de A. Alors on a det(A) = −det(A ′).

Determinant des matrices triangulaires

Si une matrice A =

a1

? a2...

. . .. . .

? . . . ? an

est triangulaire inferieure, alors

det(A) = a1 . . . an.

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Multiplicativite et transposee

Question de cours

Pour toutes matrices A et B dans Mn(K), on a

det(AB) = det(A)det(B)

det(tA) = det(A).

Corollaire

Le determinant d’une matrice triangulaire superieure est le produit des

coefficients diagonaux.

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Multiplicativite et transposee

Question de cours

Pour toutes matrices A et B dans Mn(K), on a

det(AB) = det(A)det(B)

det(tA) = det(A).

Corollaire

Le determinant d’une matrice triangulaire superieure est le produit des

coefficients diagonaux.

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Multiplicativite et transposee

Question de cours

Pour toutes matrices A et B dans Mn(K), on a

det(AB) = det(A)det(B)

det(tA) = det(A).

Corollaire

Le determinant d’une matrice triangulaire superieure est le produit des

coefficients diagonaux.

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Determinant et inversion

La matrice des cofacteurs

On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).

Une formule de produit

Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.

Theoreme

Soit A ∈Mn(K). Alors on a :

A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.

Dans ce cas, A−1 = 1det(A)

tcom(A).

Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .

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Determinant et inversion

La matrice des cofacteurs

On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).

Une formule de produit

Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.

Theoreme

Soit A ∈Mn(K).

Alors on a :

A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.

Dans ce cas, A−1 = 1det(A)

tcom(A).

Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .

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Determinant et inversion

La matrice des cofacteurs

On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).

Une formule de produit

Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.

Theoreme

Soit A ∈Mn(K). Alors on a :

A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.

Dans ce cas, A−1 = 1det(A)

tcom(A).

Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .

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Determinant et inversion

La matrice des cofacteurs

On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).

Une formule de produit

Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.

Theoreme

Soit A ∈Mn(K). Alors on a :

A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.

Dans ce cas, A−1 = 1det(A)

tcom(A).

Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .

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Determinant et inversion

La matrice des cofacteurs

On definit com(A) la matrice dont le coefficient i , j est ∆ij(A).

Une formule de produit

Atcom(A) = det(A)In =t com(A)A.

Theoreme

Soit A ∈Mn(K). Alors on a :

A est inversible si et seulement si det(A) 6= 0.

Dans ce cas, A−1 = 1det(A)

tcom(A).

Dans ce cas, det(A−1) = 1det(A) .

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Calcul de determinants

Determinants et operations sur les matrices

Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).

1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A

, alors

det(A) = det(A ′)

2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors

det(A ′) = αdet(A)

3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors

det(A ′) = −det(A)

Annulation du determinant

Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.

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Calcul de determinants

Determinants et operations sur les matrices

Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).

1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors

det(A) = det(A ′)

2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors

det(A ′) = αdet(A)

3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors

det(A ′) = −det(A)

Annulation du determinant

Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.

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Calcul de determinants

Determinants et operations sur les matrices

Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).

1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors

det(A) = det(A ′)

2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0)

, alors

det(A ′) = αdet(A)

3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors

det(A ′) = −det(A)

Annulation du determinant

Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.

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Calcul de determinants

Determinants et operations sur les matrices

Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).

1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors

det(A) = det(A ′)

2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors

det(A ′) = αdet(A)

3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors

det(A ′) = −det(A)

Annulation du determinant

Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.

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Calcul de determinants

Determinants et operations sur les matrices

Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).

1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors

det(A) = det(A ′)

2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors

det(A ′) = αdet(A)

3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A

, alors

det(A ′) = −det(A)

Annulation du determinant

Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.

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Calcul de determinants

Determinants et operations sur les matrices

Soient A et A ′ deux matrices de Mn(K).

1 Si A ′ Li←Li+αLj←−−−−−−− A ou A ′ Ci←Ci+αCj←−−−−−−− A, alors

det(A) = det(A ′)

2 Si A ′ Li←αLi←−−−− A ou A ′ Ci←αCi←−−−−− A (avec α 6= 0), alors

det(A ′) = αdet(A)

3 Si A ′ Li↔Lj←−−−− A ou A ′ Ci↔Cj←−−−− A, alors

det(A ′) = −det(A)

Annulation du determinant

Notamment, dans tous les cas, det(A) = 0⇔ det(A ′) = 0.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ =

0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ .

On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

Antonin Guilloux Calcul Matriciel 23 fevrier 2017 8 / 8

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1

, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1

:

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ =

2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣=

2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16))

= 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25)

= 4n − 50.

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Calcul de determinants

Exemples de calculs

∣∣∣∣∣∣∣1 3 2

1 4 3

1 5 4

∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∣∣1 1 2

1 1 3

1 1 4

∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣1 2 2

1 3 3

1 4 4

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 2 4

8 7 n

4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣ . On fait C2 ← C2 − C1, et C3 ← C3 − 2C1 :

D =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 0

8 −1 n − 16

4 −2 −7

∣∣∣∣∣∣∣ = 2 ·∣∣∣∣∣−1 n − 16

−2 −7

∣∣∣∣∣= 2 · ((−1)× (−7) − (−2)× (n − 16)) = 2 · (2n − 25) = 4n − 50.

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