1_BasesElec

7/27/2019 1_BasesElec

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Bases Scientifiques de lElectricite

Licence Professionnelle Qualite et Matrise

de lEnergie Electrique

UFR Physique et Ingenierie

Universite de Strasbourg

Lycee Louis Couffignal

Edouard [email protected]

http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student

20102011


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Table des matieres

1 Generalites 71.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Les grandeurs electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Les dipoles electriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.4 Capacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.5 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Le regime sinusodal monophase 132.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Dipoles en regime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Resistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Relevement du facteur de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Notations de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5.2 Impedance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.3 Puissance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Lois des reseaux electriques 193.1 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Loi des nuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.3 Theoreme de Millmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Sources equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Modele de Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.2 Modele de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Theoreme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Resolution matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1 Vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.2 Resolution dun systeme dequations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Le regime sinusodal triphase 274.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Couplage en etoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 Couplage en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.4 Equivalence triangle/etoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Methode detude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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4 TABLE DES MATIERES

4.6 Regime desequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6.1 Les trois types de regime equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6.2 Decomposition dun systeme triphase desequilibre . . . . . . . . . . . . . 334.6.3 Etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Regime harmonique 375.1 Decomposition en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.1 Proprietes de la decomposition en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . 385.1.2 Symetries et serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Puissance en non-sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.1 Harmoniques de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.2 Harmoniques de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.3 Harmoniques de tension et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2.4 Regime triphase equilibre avec harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.5 Regime triphase desequilibre avec harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Regimes transitoires 496.1 Equation differentielle du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.1 Equation sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.2 Equation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.1.3 Methode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Equation differentielle du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.1 Equation differentielle sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.2 Equation differentielle avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.3 Determination par la transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.1 Transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3.2 Application a la determination du regime transitoire . . . . . . . . . . . . 55

7 Mesure 577.1 Mesures de tension et de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.1 Les differentes technologies de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.1.2 Lecture sur un appareil analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.1.3 Reduction du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.1.4 Sondes pour la visualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2 Mesures de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.3 Incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4 Techniques numeriques de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.4.1 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8 Asservissement 638.1 Notion de systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.1.1 Proprietes relatives aux systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638.1.2 Systeme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.1.3 Systeme du deuxieme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.2 Asservissement dun systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2.2 Performance des systemes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2.3 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.2.4 Depassement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.2.5 Boucle ouverte ou boucle fermee ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688.2.6 Exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


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TABLE DES MATIERES 5

8.3 Analyse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.3.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.3.2 Representations frequentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3.3 Criteres de stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.3.4 Synthese de correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


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6 TABLE DES MATIERES

Je ne connais rien de plus pratique quune bonne theorie.(Citations de Pierre Thuillier)


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Chapitre 1

Generalites

1.1 Introduction

Cet ouvrage aborde les connaissances scientifiques de base utiles pour trater les problemes de

qualite et de matrise de lenergie electrique. Plutot que de presenter un formulaire des differentsresultats a utiliser, le parti pris est de developper pas a pas les connaissances. En effet, le butdune formation nest pas seulement dingurgiter un certain nombre de contenus dun domaine,mais dabord de developper les capacites intellectuelles et lesprit danalyse. Pour cela, il a etechoisi de presenter les resultats de maniere rigoureuse.

Pour profiter au mieux de cet ouvrage et reellement developper ses capacites danalyse et dereflexion, il est necessaire de faire les exercices associes et de sentraner a refaire les calculs. Len-tranement au calcul mathematique est aussi un objectif de cet enseignement. Il nest neanmoinspas necessaire de sattaquer dun bloc a ce travail ; il peut saverer preferable de commencer parsimpregner dun chapitre en le lisant rapidement sans rentrer dans les calculs puis dans une

seconde etape, de le reprendre pas a pas en refaisant les calculs et en faisant les exercices.

1.2 Raisonnement

Les mathematiques sont un modele de rigueur en terme de raisonnement. La matrise destechniques de raisonnement savere utile dans des contexte dargumentation. Ainsi, lapprentis-sage des mathematiques et notamment la pratique des methodes de raisonnement, permet dedevelopper les capacites dargumentation.

Introduisons dabord la notion de proposition. Une proposition est un enonce dont on peut

dire quil est soit vrai soit faux. Par exemple : le ciel est bleu o u 1 = 2. On peut ensuitedeterminer la proposition inverse. Les propositions inverses des deux propositions precedentessont : le ciel nest pas bleu et 1 = 2. Pour une proposition P, on note P la proposition inverse.

Dire quune premiere proposition P1 en implique une seconde P2 signifie que si P1 est vrai,alors P2 est egalement vrai. Le raisonnement par implication est le type de raisonnement leplus classique. En partant de faits reconnus par tous, on deduit au fur et a mesure de nouvellespropositions pour arriver a la proposition qui vous interesse.

Le raisonnement par labsurde consiste a prouver quune proposition est vraie en montrantquelle ne peut etre fausse. Considerant un certain nombre dhypothese reconnues et de donnees

qui peuvent etre consideree comme une proposition P0 consideree comme vraie. Pour montrerquune proposition P1 est vraie, on suppose dabord quelle est fausse. Si a partie de la, onparvient a prouver que P0 ne peut etre vraie (en partie), on aboutit a une incoherence. Celaprouve que lhypothese P1 fausse est fausse, dou P1 vraie.

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8 CHAPITRE 1. GENERALITES

Si une implication P1 P2 est reputee vraie, alors la contraposee est egalement vraie,cest-a-dire P2 P1. Par exemple, considerons la proposition P1 : x > 1 et P2 : x > 0.Les proposition inverses sont P1 : x 1 et P2 : x 0. Il est evident que P1 P2. On endeduit que x 0 x 1. Ce resultat se demontre facilement par labsurde. Considerons deuxpropositions P1 et P2 telles que P1 P2. Considerons le cas ou P2 fausse et montrons que P1est necessairement fausse. Raisonnons par labsurde et supposons que P1 est vraie. Puisque P1 P2 alors P2 est vraie, ce qui contredit lhypothese de depart. Ainsi, P1 est necessairementvraie.

Deux propositions P1 et P2 sont equivalentes si P1 P2 et P2 P1. On peut dire aussiP1 P2 et P1 P2. Le raisonnement par equivalence permet de determiner des conditionsnecessaires et suffisantes. Par exemple, on peut determiner des conditions necessaires et suff-isantes permettant de remplir un cahier des charges. Cela signifie que la cahier des charges estrempli, mais quen plus, on ne peut trouver de solution moins couteuse permettant de remplirle cahier des charges.

Exercice 1 (Logique et mathematiques)Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses ?

1. Une condition suffisante pour que x soit negatif est que x soit inferieur a1.2. a 0 a 1 < 03. Les propositions suivantes sont equivalentes :

i. Sil fait chaud, alors je sors le transat.ii. Sil fait froid, alors je ne sors pas le transat.

Exercice 2 (Logique)

1. Donnez la contraposee de la proposition suivante : Si la marge est superieure a 5 % alorsles benefices seront superieurs a 1000 Euros.

1.3 Les grandeurs electriques

Lorsquon parle de signal, on fait reference aux variations dune grandeur en fonction dutemps t (unite la seconde, notee s). Les signaux electriques sont la tension, notee u(t) ou v(t)(unite le Volt, note V) et le courant note i(t) ou j(t) (unite lAmpere, note A). On travailleegalement sur la puissance p(t) = u(t) i(t) (unite le Watt, note W=VA). Afin de presenter desdefinitions pour tout type de signal, on utilisera le signal x(t) qui prendra la place de nimportequel signal electrique.

La puissance p(t) est la derivee de lenergie electrique We(t) (en Joule, note J=Ws) recuepar le dipole :

p(t) =dWe(t)

dt(1.1)

Propriete 1 (Conservation de lenergie)Lenergie absorbee par un sys-teme est egale a la somme de lenergie quil a dissipe et de lenergiequil a emmagasine.

La pluspart du temps, on travaillera sur des signaux periodiques de periode T.

Definition 1 (Signal periodique)Un signal x(t) est periodique de periode T si x(t + T) = x(t) pour tout t. Sa frequence est alorsf = 1T (en Hertz, note Hz).

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1.3. LES GRANDEURS ELECTRIQUES 9

Propriete 2 (Calcul de lintegrale)Lintegrale dun signal periodique de periode T sur un interval le de largeur egale aT est identiquequelque soit lintervalle choisi. On note

T x(t)dt cette integrale.

Pour un signal x(t) periodique de periode T, on definit la valeur moyenneet la valeur efficace.

Definition 2 (Valeur moyenne)La valeur moyenne de x(t) est le signal constant qui a la meme integrale sur une periode. Onnotera < x > cette quantite.

Propriete 3 (Calcul de la valeur moyenne)

< x >=1

T

T

x(t)dt (1.2)

Definition 3 (Valeur efficace)La valeur efficace de x(t) est le signal constant dont le carre a la meme valeur moyenne que

x2

(t). On notera Xeff cette quantite.

Propriete 4 (Calcul de la valeur efficace)

Xeff =

< x2(t) > (1.3)

Remarque 1 (Valeur RMS = valeur efficace)La valeur efficace est la racine carree de la moyenne du carre du signal, ce qui se dit en anglaisroot mean square et donne les initiales RMS couramment utilisees.

Propriete 5 (Valeur efficace nulle)Un signal qui a une valeur efficace nulle est nul a tout instant.

Definition 4 (Regime continu)Le regime continu est caracterise par des valeurs moyennes non-nulles. Dans ce cas, cest auxvaleurs moyennes des signaux que lon sinteresse.

Definition 5 (Regime alternatif )Le regime alternatif est caracterise par des valeurs moyennes nulles. Dans ce cas, cest auxvaleurs efficaces que lon sinteresse.

Definition 6 (Puissance moyenne)On appelle puissance moyenne ou puissance active la valeur moyenne de la puissance :

P =< p(t) > . (1.4)

Definition 7 (Puissance apparente)La puissance apparente S (unite VA) est definie comme le produit des valeurs efficaces de latension et du courant :

S = UeffIeff (1.5)

La puissance apparente est superieure ou egale a la puissance moyenne. Le facteur de puis-sance Fp caracterise le rapport entre ces deux grandeurs :

FP = P/S (1.6)

Avec les conventions adequates, Fp est positif et on a 0 Fp 1. Un facteur de puissance prochede 1 (0,9 par exemple) correspond a une bonne utilisation de lelectricite alors quun facteur depuissance nul ou tres faible correspond a de la tension et du courant avec pas ou peu dechangedenergie.

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Remarque 2On ne sinteresse jamais a la valeur efficace de la puissance. En effet, seule la puissance moyennea un sens physique. Dail leurs, pour connatre lenergie transferee sur un intervale de temps parune ligne, il suffit de multiplier la puissance moyenne par la duree de lintervalle.

Propriete 6 (La valeur moyennne est un operateur lineaire)Cela signifie que la valeur moyenne de la somme de deux signaux est la somme de leurs valeursmoyennes et que la valeur moyenne dun signal multiplite par une constante sobtient en multi-pliant la valeur moyenne du signal par cette meme valeur.

< x(t) + y(t) > = < x(t) > + < y(t) > (1.7)

< x(t) > = < x(t) > (1.8)

Propriete 7 (La valeur efficace nest pas un operateur lineaire)Pour la valeur efficace, seule la seconde propriete est valable. Si y(t) = x(t), alors Yeff =

Xeff.

Exercice 3 (Valeur moyenne et linearite)Demontrez la Propriete 6.

Exercice 4 (Valeur efficace et linearite)Demontrez la Propriete 7. Trouvez un contre-exemple simple prouvant que la valeur efficace dela somme de deux signaux nest pas, generalement, la somme des valeurs efficaces des signaux.

Exercice 5 (Valeur moyenne et efficace dun creneau)

On considere le signal x(t) periodique de periode T egal a E sur [0; T[ et aE sur [T ; T[avec 0 < < 1. Determinez la valeur moyenne et la valeur efficace de ce signal.

Exercice 6 (Valeur moyenne dune sinusode redressee)On considere le signal x(t) periodique de periodeT /2 egal aXcos(t) sur [T /4 ; T /4]. Determi-nez sa valeur moyenne.

Exercice 7 (Valeur efficace dune sinusode)Determinez la valeur efficace de x(t) = Xcos(t).

Exercice 8 (Puissance en sinusodal)Un dipole a a ses bornes la tension u(t) = Ucos(t) et est parcouru par le courant i(t) =Icos(t ). Determinez sa puissance moyenne.

1.4 Les dipoles electriques

1.4.1 Conventions

En convention recepteur, la puissance calculee est la puissance fournie par le circuit et ab-sorbee par le dipole. Elle est globalement positive pour une charge et negative pour un generateur.

En convention generateur, la puissance calculee est la puissance fournie par le dipole au circuit.Elle est globalement positive pour un generateur et negative pour une charge. Les conventionspeuvent etre choisies arbitrairement. Les lois de comportement des dipoles changent de signesuivant la convention choisie ; il est donc preferable de choisir la convention appropriee (recepteurpour une charge et generateur pour une source).

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1.4. LES DIPOLES ELECTRIQUES 11

1.4.2 Resistance

Certains dipoles electriques ont la propriete davoir un signal de courant proportionnel ausignal de tension a tout instant. On appelle resistance (note R, dunite lOhm =V/A) lecoefficient de proportionnalite tel que u(t) = Ri(t) pour tout t. Notons quil sagit dune proprietemathematique qui, pour un systeme physique, ne correspondra qua une approximation de larealite, valable dans un certain domaine. Les dipoles couramment modelises par une resistancesont les rheostats (chauffage) et les lampes (du moins les ampoules a filament). En conventionrecepteur, la resistance est positive.

De maniere evidente, on montre que la loi de proportionnalite reste valable pour les valeursmoyennes et efficaces (= R et Ueff = RIeff, cf. exercice 9).

La puissance secrit p(t) = u(t)i(t) = Ri2(t) = 1Ru2(t). La puissance moyenne secrit P =

R < i2(t) >= RI2eff ou P =1R = 1RU2eff. On comprend maintenant la notion de

valeur efficace : il sagit de la valeur du courant (ou de la tension) qui, sil traversait uneresistance, produirait le meme echauffement.

Un cable cylindrique de section uniforme S (en m2) et de longueur l (en m), compose dunmateriau de conductivite (en 1m1) a comme resistance :

R =l

S. (1.9)

On utilise egalement la resistivite = 1/ (en m). Les materiaux les plus conducteurs sont lecuivre et laluminium ; leur conductivite est de lordre de 108 1m1.

Exercice 9 Montrez que = R et que Ueff = RIeff pour des signaux periodiquesquelconques.

1.4.3 Inductance

Certains dpoles electriques ont la propriete davoir une tension proportionnelle a la deriveedu courant. On appelle inductance (notee L, dunite le Henry, H=Vs/A) ce coefficient de pro-

portionnalite tel que u(t) = Ldi(t)dt . Les bobinages electriques sont modelises en premiere approx-imation par une telle inductance 1. En convention recepteur, linductance est positive.

La puissance instantanee secrit p(t) = u(t)i(t) = Ldi(t)dt i(t). La quantite denergie transfereeentre les instants t0 et t est : t

t0

p()d =

tt0

Ldi()

dti()d (1.10)

=

1

2Li2()

=t

=t0

(1.11)

=12

Li2(t) 12

Li2(t0) (1.12)

En considerant qua t0 le courant est nul (i(t0) = 0) et que cela correspond a un niveau denergienul, on observe que lenergie transmise est WL(t) =

12Li

2(t). Cette energie nest pas dissipeecomme cetait le cas pour la resistance ; elle est stockee et peut etre liberee par une diminution dei(t). Remarquons que le courant dans une inductance ne peut etre discontinu (cela correspondraita une tension infinie) ; place dans un circuit, une inductance a donc tendance a lisser le courantla traversant. En regime continu constant, linductance se comporte comme un court-circuit.

1.4.4 Capacite

La capacite est lelement dual de linductance : il suffit dechanger les roles de la tension etdu courant. Ainsi, la capacite C correspond a une proportionnalite entre le courant et la derivee

1. Ce modele nest pas valable en basse frequence et en regime continu ou leffet de la resistance du circuit estprep onderant.


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de la tension : i(t) = Cdu(t)dt (unite : le Farad note F=As/V). Les condensateurs sont des dipolesdont le modele classique est un condensateur. Tout comme linductance, la capacite stocke delenergie : WC(t) =

12Cu

2(t). La tension ne peut etre discontinue aux bornes dune capacite amoins dun courant infini ; placee aux bornes dun circuit, la capacite a donc tendance a diminuerles variations de tension a ses bornes. En convention recepteur, la capacite est positive. En regime

continu constant, la capacite se comporte comme un circuit ouvert.

1.4.5 Sources

On distingue des sources de tension et de courant. Une source de tension a la proprietedimposer la valeur de la tension a ses bornes quelque soit le courant qui la parcourt ; une tellesource ne peut etre mise en court-circuit sous risque de destruction. Une source de courant ala propriete dimposer la valeur du courant la traversant, du moins tant que son circuit nestpas ouvert. Les sources peuvent etre continues (constante ou non), alternatives (sinusodales ounon).

Exercice 10Un condensateur de capacite C est traverse par un courant periodique de periode T et de rapportcyclique = 0, 75 egal a I sur [0; T] et egal aI sur [T ; T]. Le condensateur a une tensionnulle at = 0. Determinez lallure de la tension aux bornes du condensateur. Valeurs numeriques :I = 10 A, C = 1 mF et T = 10 s.


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Chapitre 2

Le regime sinusodal monophase

2.1 Definition

Le regime sinusodal est un regime alternatif particulier ou lensemble des tensions et courants

ont une allure sinusodale a une pulsation unique (en rad/s) :

u(t) = Um cos(t + ) (2.1)

i(t) = Im cos(t + ) (2.2)

Une fois choisie une reference des temps, chaque tension ou courant est determine par deuxgrandeurs : son amplitude et son dephasage a t = 0 (ou dephasage a lorigine).

Les valeurs efficaces des signaux sont U = Um2

et I = Im2

. Lindication eff nest plus

necessaire ; seule la valeur efficace etant importante en regime alternatif. On notera par la suiteles grandeurs :

u(t) = U2cos(t + ) (2.3)i(t) = I

2cos(t + ) (2.4)

La pulsation est liee a la frequence f par la relation = 2f. Les deux frequences desreseaux electriques sont le 50 Hz present notamment en Europe et le 60 Hz utilise en Ameriquedu nord.

Un signal est en avance sur un autre si son dephasage a lorigine est plus important ; londecorrespondante est alors decalee vers la gauche (vers les t negatifs).

2.2 Puissance

La puissance instantanee p(t) = u(t)i(t) peut secrire p(t) = U Icos()+ U Icos(2t ++). La puissance instantanee est donc la somme de deux termes : un terme constant U Icos()ou = est le dephasage de la tension par rapport au courant et un terme sinusodal a lapulsation 2.

La puissance moyenne est :

P = U Icos() (2.5)

La puissance apparente est :

S = U I (2.6)

Le facteur de puissance est :

Fp = cos() (2.7)

On definit une nouvelle forme de puissance : la puissance reactive Q (unite var pour Vol-Ampere reactif ) :

Q = U Isin() (2.8)

13


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14 CHAPITRE 2. LE REGIME SINUSOIDAL MONOPHASE

On montre simplement que :

S2 = P2 + Q2. (2.9)

En travaillant dans un repere ou laxe des abscisses est gradue en P et laxe des ordonnees estgradue en Q, on met en evidence le triangle des puissance dont les sommets sont les points decoordonnees (0,0), (P,0) et (P,Q) ou S est lhypothenuse. Dans ce triangle, est langle entre lecote confondu avec laxe des abscisses et lhypothenuse.

Propriete 8 (Conservation de lenergie active)Lenergie active totale absorbee par un circuit est egale a la somme des energies actives absorbeespar ses differents constituants.

En effet, du fait de la periodicite, il ny a pas de variation denergie stockee au bout duneperiode.

Propriete 9 (Conservation de lenergie reactive)Lenergie reactive totale absorbee par un circuit est egale a la somme des energies reactivesabsorbees par ses differents constituants. Ce resultat est connu sous le nom de Theoreme deBoucherot.

Remarque 3 (Pas de conservation de la puissance apparente)De maniere generale, la puissance apparente absorbee par un circuit nest pas egale a la sommedes puissances apparentes absorbees par ses differents composants.

2.3 Dipoles en regime sinusodal

2.3.1 Resistance

Pour une resistance R, la relation tension-courant implique :

U

2 cos(t + ) = RI

2cos(t + ) (2.10)

Or deux fonctions sinusodales de meme pulsation sont identiques si et seulement si leur ampli-tude et leur dephasage a lorigine sont identiques. Ce ne peut etre le cas que si :

U = RI (2.11)

= (2.12)

Le dephasage tension-courant est nul et on a : P = S = RI2 = U2/R, Q = 0 et Fp = 1. La

resistance consomme uniquement de lenergie active.

2.3.2 Inductance

Pour une inductance L, la relation tension-courant secrit :

U

2cos(t + ) = LI

2cos(t + +

2) (2.13)

Ce qui donne comme relation :

U = LI (2.14)

= + 2

(2.15)

Le dephasage est = 2 (la tension est en avance de /2 par rapport au courant) et on a : P = 0,Q = S = LI2 = U2/(L) et Fp = 0. Linductance consomme uniquement de lenergie reactive.

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2.4. RELEVEMENT DU FACTEUR DE PUISSANCE 15

2.3.3 Condensateur

Pour une capacite C, la relation tension-courant secrit :

I

2cos(t + ) = CU

2cos(t + +

2) (2.16)

Ce qui donne comme relation :I = CU (2.17)

= +

2(2.18)

Le dephasage est = 2 (le courant est en avance de /2 par rapport a la tension) et on a :P = 0, Q = S = CU2 = I2/(C) et Fp = 0. Linductance fournit uniquement de lenergiereactive.

2.4 Relevement du facteur de puissance

La pluspart des equipements industriels sont de nature inductive et consomment de la puis-sance reactive, aboutissant parfois a de mauvais facteurs de puissance. Ce facteur de puissancepeut-etre ameliore en ajoutant des condensateurs qui fournissent lenergie reactive. Cela per-met dabaisser le courant absorbe par linstallation, diminuant ainsi les pertes et evitant unsurdimensionnement de linstallation electrique.

Soit une installation sous une tension U necessitant pour son fonctionnement une puissanceactive P. Linstallation initiale a un facteur de puissance Fp1 et consomme une puissance reactiveQ1. Quelle puissance de condensateur faut-il fournir pour amener le facteur de puissance aFp2 < Fp1 ?

Soit Qc lenergie reactive que va fournir le condensateur et Q2 lenergie reactive consommeepar linstallation apres ajout du condensateur. Le theoreme de Boucherot donne Q2 = Q1 Qc. En notant que Q1 = P tan(1) et que Q2 = P tan(2) (la puissance active necessaire estinchangee), on obtient :

Qc = P(tan 1 tan 2) (2.19)Exercice 11 (Relevement du facteur de puissance)Une installation monophasee sous une tension de 400 V consomme une puissance de 5 kW avecun facteur de puissance de 0,5.

1. Determinez la valeur efficace du courant, la puissance apparente et la puissance reactive.

2. On envisage de mettre un condensateur en parallele sur lentree de linstallation pouramener le facteur de puissance a 0,9. Determinez la puissance reactive et la capacite ducondensateur.

Exercice 12 (Compensation du reactif dune installation)On cherche a compenser la puissance reactive dune installation de nature inductive dont laconsommation varie au cours de la journee. On a releve 4 regimes differents :

a. P = 1 kW, Fp = 0, 7b. P = 2 kW, Fp = 0, 95c. P = 3 kW, Fp = 0, 85d. P = 2 kW, Fp = 0, 7

On recherche la compensation fixe minimale permettant de garantir un facteur de puissance egala 0,9.

1. Determinez laquel le des quatre situations a besoin de plus de compensation pour atteindrele facteur de puissance objectif.

2. Determinez la puissance reactive a fournir.3. Pour les trois autres situations, determinez le facteur de puissance en precisant si linstal-

lation compensee est de nature inductive ou capacitive.

4. Placez sur un diagramme (P, Q) les situations avant et apres compensation.


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2.5 Notations de Fresnel

2.5.1 Introduction

En principe, la resolution dun probleme delectricite en regime sinusoidal, cest-a-dire ladetermination des tensions et des courants, peut se faire en ecrivant les solutions sous une forme

sinusodale, damplitude et de phase inconnue, en remplacant ensuites les tensions et courantsdans les equations par leurs expressions et en cherchant ensuite a resoudre les equations (non-differentielles) obtenues afin de determiner les amplitudes et dephasages (cf. Exercice 46).

Neanmoins, cette methode est lourde en temps de calculs et nest pas employee en pratique,sauf eventuellement pour des circuits elementaires. En effet, les notations de Fresnels que nousallons introduire permettent de se transformer les equations differentielles en equations simplesgrace aux variables imaginaires, permettant de simplifier grandement la resolution du probleme.

Definition 8 (Vecteur de Fresnel)Pour une grandeur sinusodales x(t) = X

2cos(t + ), le vecteur de Fresnel est le nombre

imaginaire X = Xexp(j).

Linteret de cette notation reside dans le fait que la derivee dx(t)dt = X2 cos(t + + 2 )

a comme nombre complexe associe jX1. Il suffit donc de retenir que deriver (en temporel)revient a multiplier par j (en complexe).

2.5.2 Impedance complexe

Pour une resistance, la loi dOhm secrit : U = RI; pour linductance, la loi de comporte-ment est U = jLI et pour le condensateur, cest I = jCU. Les relations differentielles delinductance et du courant sont transformees en lois dOhm generalisees de la forme U = ZI ouI = Y U ou Z et Y sont respectivement limpedance complexe et ladmittance complexe.

Les lois dassociation serie et parallele sappliquent aux impedances complexes. Ainsi, limpedancecomplexe equivalente correspondant a deux dipoles mis en serie est la somme des impedancescomplexes des dipoles. Ladmittance complexe equivalente correspondant a deux dipoles mis enparalleles est la somme des complexes complexes des dipoles.

2.5.3 Puissance complexe

Definition

On definit la puissance complexe S par :

S = U I (2.20)

ou I represente le conjugue de I, cest-a-dire le nombre imaginaire de meme module et dar-gument oppose. Dans le cas ou U = Uexp(j) et I = Iexp(j), on a S = U Iexpj avec = . Ainsi, on obtient les relations suivantes :

S = |S| (2.21)P = e(S) (2.22)

Q = Im(S) (2.23)

= arg(S) (2.24)

S = P +jQ (2.25)

S = Sexp(j) (2.26)

Propriete 10 (Conservation de la puissance complexe)La puissance complexe absorbee par un systeme est la somme des puissances absorbees par sesdifferents constituants.

1. En effet, exp(j(+ 2 )) = exp(j2 ) exp() = j exp().


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2.5. NOTATIONS DE FRESNEL 17

Cette proporiete decoule de la conservation des puissances actives et reactives.

Puissance et impedance

Pour une impedance Z (U = ZI), la puissance complexe secrit 2 :

S = ZI I = ZI2 (2.27)

ce qui donne :

S = |Z|I2 = ZI2 (2.28)P = Re(Z)I2 (2.29)

Q = Im(Z)I2 (2.30)

= arg(Z) (2.31)

(2.32)

Pour une admittance Y (I = Y U), la puissance complexe secrit :

S = YU U = YU2 (2.33)

ce qui donne :

S = |Y|U2 = Y U2 (2.34)P = Re(Y)U2 (2.35)

Q = Im(Y)U2 (2.36) = arg(Y) (2.37)

(2.38)

Exercice 13 (Modele dune charge)Une charge monophasee sous tension sinusodale de 400 V a 50 Hz consomme 4 kW pour uncourant sinusodal de 13 A de valeur efficace.

1. On suppose que la charge est inductive ; determinez les valeurs de la resistance et delinductance du modele RL serie.

2. On suppose que la charge est capacitive ; determinez les valeurs de la resistance et de lacapacite du modele RC parallele.

Exercice 14 (Charge RL)

Soit le schema de la figure 2.1 ou une source de tension u(t) alimente un circuit RL serie.

Figure 2.1 Circuit RL alimente en tension

1. Dans le cas du regime permanent sinusodal (50 ou 60 Hz), ecrivez la relation liant lesvecteurs de Fresnel U et I representant respectivement la tension u(t) et le courant i(t).

2. En se rappelant que zz = |z|2.


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2. Determinez le dephasage tension/courant, le facteur de puissance et la puissance active enfonction de U (valeur efficace de la tension), R et L.

3. Determinez la capacite C du condensateur a placer en parallele sur la source de tensionu(t) permettant damener le facteur de puissance de la source a 1.

Exercice 15 (Installation electrique)Une installation electrique monophasee alimentee en 230 V 50 Hz comprend deux charges :

La charge n 1 consomme 1 kW et a un facteur de puissance de 0,9. La charge n 2 consomme 2 kW et a une puissance apparente de 3 kVA.

Determinez au niveau de lalimentation : les puissances consommees (active, reactive, apparente)et le facteur de puissance.


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Chapitre 3

Lois des reseaux electriques

Un reseau electrique se compose dun certain nombre de sources et de charges. Les loispresentee dans cette partie permettent den deduire le courant et la tension a differents points.

3.1 Lois de Kirchhoff

3.1.1 Loi des nuds

La premiere loi de Kirchhoff senonce ainsi : la somme des courants se dirigeant vers unnuds du circuit est nulle a tout instant.

Cette loi permet directement detudier la mise en parallele de dipoles de meme nature. Soitun dipole compose de n dipoles de meme nature (resistance, inductance ou condensateur) placesen parallele. Soit i(t) et u(t) les grandeurs relatives au dipole complet, en convention recepteur.Soit ik, k = 1...n le courant traversant chacun des n dipoles, egalement en convention recepteur

par rapport a la tension u(t). La loi de nuds donne la relation :

i(t) =n

k=1

ik(t), t (3.1)

Considerons le cas ou les dipoles sont des resistances de valeur Rk, k = 1...n. Alors, on au(t) = Rkik(t). La loi des nuds donne :

i(t) =n

k=1ik(t) (3.2)

=n

k=1

u(t)

Rk(3.3)

=

n

k=1

1

Rk

u(t) (3.4)

=1

Requ(t) (3.5)

Ainsi, le dipole resultant est une resistance Req telle que :

1Req

=n

k=1

1Rk

(3.6)

Considerons le cas ou les dipoles sont des inductances de valeur Lk. Alors, on a u(t) = Lkdik(t)dt

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20 CHAPITRE 3. LOIS DES RESEAUX ELECTRIQUES

pour chaque dipole. La loi des nuds donne :

i(t) =n

k=1

ik(t) (3.7)

di(t)

dt =

nk=1

dik

(t)

dt (3.8)

di(t)

dt=

nk=1

1

Lku(t) (3.9)

Leqdi(t)

dt= u(t) (3.10)

avec1

Leq=

nk=1

1

Lk(3.11)

Ainsi, le dipole resultant est une inductance de valeur Leq.Considerons le cas ou les dipoles sont des capacites de valeur Ck. Alors, on a ik(t) = Ck

du(t)dt

pour chaque dipole. La loi des nuds donne :

i(t) =n

k=1

ik(t) (3.12)

=n

k=1

Ckdu(t)

dt(3.13)

= Ceqdu(t)

dt(3.14)

avec

Ceq =n

k=1

Ck (3.15)

Ainsi, le dipole resultant est une capacite de valeur Ceq.

En parallele les capacites dajoutent alors que ce sont les inverses des resistances et lesinductances qui sajoutent. En regime sinusodal, la loi des nuds sapplique aux vecteurs deFresnel et secrit alors :

I =n

k=1Ik. (3.16)

Exercice 16 (Loi de comportement dun generateur de Norton)On modelise un reseau comme etant un dip ole compose dune source de courant sinusodale J etdune admittance Y places en parallele. On note U et I respectivement la tension et le courantdu dipole, en convention generateur, I etant choisi dans le meme sens que J.

1. A partir de la loi des mailles, determinez la loi de comportement du dipole (cest-a-dire larelation entre son courant et sa tension). On donne J = J et Y = Y exp(j 2 ).

2. Determinez lexpression generale de la valeur efficace de la tension U aux bornes de lacharge en fonction de la valeur efficace du courant I lorsque le circuit est charge par uneresistance Rch.

3. On a releve un courant de court-circuit de 1000 A et une tension a vide de 230 V.Determinez les valeurs numeriques de J et Y.

4. Representez graphiquement U en fonction de I. Vous pourrez vous appuyer sur les valeursobtenues pour Rch = 0, Rch = et Rch = 1/Y.


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3.1. LOIS DE KIRCHHOFF 21

3.1.2 Loi des mailles

La seconde loi de Kirchhoff senonce ainsi : la somme des differences de potentiels obtenus lelong dune maille fermee du circuit est nulle.

La loi des mailles permet detudier la mise en serie de dipoles de meme nature. Soit undipole compose de n dipoles de meme nature places en serie, tous parcourus par le courant i(t)et chacun dentre eux ayant la tension uk(t) a ses bornes avec la convention recepteur. Soit u(t)la tension aux bornes du dipole resultant, toujours avec les memes conventions. La loi des maillesdonne la relation :

u(t) =n

k=1

uk(t), t (3.17)

Pour des resistances, cette relation secrit u(t) =n

k=1 Rki, soit u(t) = Reqi avec Req =nk=1 Rk. Pour une inductance, la relation devient u(t) =

nk=1 Lk

di(t)dt , soit u(t) = Leq

di(t)dt avec

Leq =n

k=1 Lk. Pour un condensateur, en derivant la relation, on obtientdu(t)dt =

nk=1

1Ck

i(t),

soit Ceqdu(t)dt = i(t) avec

1Ceq

= nk=1

1Ck

. Ainsi, en serie, ce sont les resistances et les inductances

qui sajoutent alors que ce sont les inverses des capacites qui sajoutent. En regime sinusodal,la loi des mailles sapplique aux vecteurs de Fresnel et secrit alors :

U =n

k=1

Uk. (3.18)

Exercice 17 (Loi de comportement dun generateur de Thevenin)On modelise un reseau par un dipole compose dune source de tension sinusodale E et duneimpedance Z places en serie. On note U et I respectivement la tension et le courant du dipole,en convention generateur, U etant choisi dans le meme sens que E.

1. A partir de la loi des mailles, determinez la loi de comportement du dipole. On donne

E = E et Z = Zexp(j 2 ).2. Determinez lexpression de la valeur efficace de la tension U en fonction de la valeur

efficace du courant I lorsque le circuit est charge par une resistance Rch.

3. On a releve un courant de court-circuit de 1000 A et une tension a vide de 230 V.Determinez les valeurs numeriques de E et Z.

4. Representez graphiquement U en fonction de I. Vous pourrez vous appuyer sur les valeursobtenues pour Rch = 0, Rch = et Rch = Z.

3.1.3 Theoreme de Millmann

Considerons un circuit en etoile en regime sinusodal compose de n admittances Yk

, k = 1...n,chacune etant reliee par une borne au nuds de difference de potentiel V0 par rapport a unereference et lautre borne etant au potentiel Vk, reliee a un autre circuit. On note Ik les courantsdans chaque branche, notes positivement dans le sens entrant. La loi des nuds permet decrire :

nk=1

Ik = 0. (3.19)

La loi dOhm generalisee et la loi des mailles donnent :

Vk V0 =IkYk

. (3.20)

En remplacant dans (3.19), on obtient :

nk=1

Yk(Vk V0) = 0. (3.21)


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Ce qui donne le theoreme de Millmann :

V0 =

nk=1 YkVkn

k=1 Yk(3.22)

Exercice 18 (Application du theoreme de Millmann)

On considere un circuit en etoile constitue comme suit : le nud est numerote 0 et a commetension V0 par rapport a reference ; la branche n 1 est composee dune inductance de valeur Lqui est connectee a une extremite a la tensionV1 ; la branche n 2 est composee dune capacite Cet est connectee a la tension V2 ; la branche n 3 est composee dune resistance dont une borneest au potentiel de reference.

1. Determinez V0, la tension du nud, en fonction de V1, V2, R, L et C.

3.2 Sources equivalentes

Soit un dipole constitue dun certain nombre de sources de tension et de courant sinusodales,

de resistances, dinductance et de condensateurs. Il sagit dun reseau lineaire puisque la relationentre le courant entrant et la tension a ses bornes est lineaire 1. Ce dipole peut alors se modeliserpar un dipole plus simple de deux manieres differentes.

3.2.1 Modele de Thevenin

Il sagit dun modele compose dune force-electromotrice (une source de tension) E et duneimpedance ZT. La fem E est determinee par le calcul de la tension a vide du circuit. LinpedanceZT est limpedance equivalente du circuit ou toutes les sources de tension sont cour-circuiteeset toutes les sources de courant sont ouvertes.

3.2.2 Modele de NortonIl sagit dun modele compose dune source de courant J et dune admittance YT. Le courant

J de la source est le courant de court-circuit. Ladmittance YT est ladmittance equivalente ducourcuit ou chaque source de courant est remplacee par un circuit ouvert et chaque source detension est remplacee par un court-circuit.

3.3 Theoreme de superposition

Lorsque tout les elements dun circuit sont lineaires (cest le cas de lensemble des elementsqui ont ete abordes jusquici), le theoreme de superposition indique que la valeur dun courantou dune tension en un point quelconque du circuit est la somme des valeurs obtenues si uneseule source etait alumee.

On en deduit la methode detude suivante : on ecrit autant de shemas que de source ; chacunde ces shemas correspondant a une seule source, les autres sources etant eteintes (les sources detension sont mises a zero, cest-a-dire remplacees par un court-circuit ; les cources de courantsont mises a zero, cest-a-dire remplacees par un circuit ouvert). On resoud ensuite chacun desshemas. Le resultat final est la somme des resultats obtenus a partir des differents shemas.

Bien que le nombre de shemas a etudier augmente, chacun dentre eux est generalementbeaucoup plus simple que le shema de depart. Ainsi, cette methode permet une reelle diminutiondu temps detude dun schema.

Exercice 19 (Etude dun reseau)

Representez un reseau electrique sinusodal (pulsation ), compose dune source de tension E =E, dune source de courant J = Jexp(j 2 ), dune resistance R, dune inductance L et dunecapacite C. Vous pourrez vous inspirer du circuit donne sur la figure 3.1.

1. De maniere plus rigoureuse, cette relation est affine.


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3.4. RESOLUTION MATRICIELLE 23

R

CJE

L

Figure 3.1 Exemple de circuit electrique

1. En utilisant le theoreme de superposition, determinez les tensions et les courants relatifsa chaque dipole.

2. Choisissez 2 points (notes A et B) du circuit qui ne sont pas au meme potentiel electrique.Determinez le generateur de Thevenin equivalent.

3. Determinez le generateur de Norton equivalent du meme dip ole.

4. Deduisez-en la tension et le courant relatifs a une charge Rch qui est ajoutee au circuitentre les bornes A et B.

3.4 Resolution matricielle

La resolution dun circuit, cest-a-dire la determination des courants et de tension inconnus,passe souvent par la resolution dun systeme dequations lineaires. Les outils numeriques (feuillesde calcul ou logiciels de calcul numeriques) sont dune aide precieuse pour la resolution de

tels systemes. Nous introduisons dans les paragraphes qui suivent la resolution dun systemedequations lineaires par la methode matricielle, puis un exemple illustratif dans le domaineelectrique.

3.4.1 Vecteurs et matrices

Generalites

Lorsque lon souhaite manipuler plusieurs inconnues en meme temps, il est pratique derecourir a la notation vectorielle. Par exemple, considerons n inconnues xk, k = 1...n. On notealors :

X =

x1...

xn

Lensemble des vecteurs reels a n composantes est note Rn.

Une fonction lineaire qui transforme un vecteur x de Rn en un vecteur Y de Rp secrit :

y1 = a11x1 + ... + a1nxn...

...... (3.23)

yp = ap1x1 + ... + apnxn

Cette application est definie par la matrice

A =

a11 ... a1n... ...

...ap1 ... apn


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Cette matrice est de dimention pn. On dit quelle appartient a Rpn. Lequation (3.23) secritde maniere compactee

Y = A X

On a :

yi =

pj=1

aij bj

La matrice identite est la matrice qui transforme un vecteur en un vecteur identique. Onnote In la matrice identite dordre n. Cest une matrice avec des 1 sur la diagonale et des 0ailleurs.

Produit dune matrice par un scalaire

Soit un scalaire (reel) et une matrice A. Alors A est une matrice dont les coefficients sontobtenus en multipliant ceux de A par .

Produit matricielSoit une matrice C de dimention p m et de coefficients cij. Par cette application, on

transforme Y en Z = C Y. Avec Y = A X, on a Z = C A X. En notant D = C A, on ecrit Z =D X ou les elements dij de D se calculent de la maniere suivante :

dij =

pk=1

aik bkj

Inversion dune matrice

La fonction qui a X associe Y = A X est inversible si, pour tout Y de Rp, il existe un X de

Rn verifiant Y = A X. Alors, la matrice associee a lapplication inverse est notee A1. Seules lesmatrices carrees sont inversibles. On a alors :

A A1 = A1 A = In

Une matrice est inversible si et seulement si son determinant est non nul.Pour une matrice de taille 2 2

A =

a bc d

on retiendra que son determinant est det(A) = ad bc. Sil est non nul, on a :

A1

=

1

det(A) d

b

c a 3.4.2 Resolution dun systeme dequations lineaires

Soit un systeme de n equations a n inconnues qui secrit sous la forme :

a11x1 + ... + a1nxn = b1 (3.24)

......

... (3.25)

an1x1 + ... + annxn = bn (3.26)

ou les xk, k = 1...n sont les inconnues ; les ak et bk sont des donnees du probleme. Ce systeme

se reecrit sous forme matricielle :

a11 ... a1n... ...

...an1 ... ann

x1...

xn

=

b1...

bn

(3.27)


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3.4. RESOLUTION MATRICIELLE 25

que nous pouvons reecrire sous forme simplifiee :

AX = B (3.28)

ou

A =

a11 ... a1n... ... ...

an1 ... ann

, X = x1...

xn

et B = b1...

bn

(3.29)Le systeme a une solution unique si et seulement si la matrice A est inversible. Soit A1

linverse de A, cest-a-dire une matrice telle que A1AX = X et supposons que cette matricesoit calculee par un logiciel. Alors, en multipliant a gauche lequation matricielle par A1, onobtient la solution du probleme :

X = A1 B (3.30)

On en deduit une methode generale detude des circuits electriques suivante :

1. Ecrire les equations du circuit

2. Mettre ces equations sous la forme matricielle (3.28), cest-a-dire determiner la matrice Aet le vecteur B

3. Calculer A1 linverse de A

4. Determiner le vecteur des inconnues X = A1B

Exercice 20 (Etude dune installation avec double alimentation)Une installation monophasee est alimentee par 2 sources distinctes :

Le reseau principal fournit une tension sinusodale a vide de 225 V. La phase de ce reseausera prise comme reference dans la suite. Son courant de court-circuit est de 230 A ; sonimpedance est supposee purement inductive.

Une source denergie electrique de tension a vide 230 V en dephasage arriere de /6 parrapport au reseau principal. Son courant de court-circuit est de 460 A ; son impedance estsupposee purement inductive.

La charge est lineaire et sera modelisee par une impedance constante. On a releve les car-acteristiques nominales suivantes : 230 V, 2 kW, cosphi = 0,8.

1. Determinez limpedance Z de la charge.

2. Determinez les impedances Z1 et Z2 des deux reseaux.

3. Determinez les grandeurs vectoriel les E1 etE2 representatives des deux sources de tension.

4. Faites un schema du circuit faisant apparaitre les differentes grandeurs. On notera I1 lecourant fournit par le reseau principal, I2 le courant fournit par le reseau secondaire et I

le courant absorbe par la charge.5. A partir des equations de Kirschhoff, ecrivez les trois equations liant les courants.

6. Mettez ces equations sous forme matricielle AX = B avec :

X =

I1I

I2

Determinez la matrice A et le vecteur B.

7. Determinez les trois courants par la resolution du systeme

8. Calculez les puissances actives fournies a la charge par chacunes des alimentations et lapuissance active absorbee par la charge. Determinez les trois facteurs de puissance corre-spondants.


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Chapitre 4

Le regime sinusodal triphase

4.1 Introduction

Lelectricite est produite et transportee sous forme triphasee ; cest-a-dire que trois cables se

partagent la puissance. Parfois, un quatrieme cable est utilise pour transmettre le potentiel duneutre; on parle alors de triphase 4 fils. Dans ce chapitre, on se limite a letude du cas triphasesinusodal equilibre. Dans le regime sinusodal, les grandeurs triphasees sont de la forme :

xa(t) = Xa

2 cos(t + a)

xb(t) = Xb

2cos(t + b)

xc(t) = Xc

2cos(t + c) (4.1)

Pour le regime sinusodal equilibre, les amplitudes des trois phases sont identiques et les phasesregulierement espacees de 23 . Ainsi, les tensions sont de la forme :

va(t) = V2cos(t + a) (4.2)vb(t) = V

2cos(t + a 2

3) (4.3)

vc(t) = V

2cos(t + a 43

) (4.4)

et les courants :

ia(t) = I

2cos(t + a ) (4.5)ib(t) = I

2cos(t + a 2

3) (4.6)

ic(t) = I

2cos(t + a

4

3) (4.7)

ou k est le dephasage arriere du courant par rapport a la tension.Les grandeurs de Fresnel correspondantes sont alors :

Va = V exp(ja) (4.8)

Vb = V exp(j(a 2

3)) (4.9)

Vc = V exp(j(a 4

3)) (4.10)

et :

Ia(t) = Iexp(j(a )) (4.11)Ib(t) = Iexp(j(a

2

3)) (4.12)

Ic(t) = Iexp(j(a 4

3)) (4.13)

27


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28 CHAPITRE 4. LE REGIME SINUSOIDAL TRIPHASE

Les vecteurs representatifs de la tension (respectivement du courant) forment un triangle equilateral.On parle de triangle des tensions (respectivement des courants).

En regime equilibre, les sources et les charges sont equilibrees (pour les charges, cela sig-nifie quelles ont les memes impedances). Un desequilibre peut etre du a la source (on parledalimentation desequilibre) ou a la charge (on parle de charge desequilibree).

4.2 Couplage en etoile

Soient trois sources monophasees de tensions :

va(t) = V

2cos(t) (4.14)

vb(t) = V

2cos(t 23

) (4.15)

vc(t) = V

2cos(t 43

) (4.16)

et de courants :

ia(t) = I

2cos(t ) (4.17)ib(t) = I

2cos(t 2

3) (4.18)

ic(t) = I

2cos(t 43

) (4.19)

avec des conventions generateur.

Considerons que ces trois sources sont couplees en etoile ; cest-a-dire que les trois bornes dereference (bases de la fleche de tension) sont reliees entre elles et forment le neutre. Les trois

autres bornes sont utilisees pour realiser une alimentation triphasee. Les tensions du reseau semesurent entre deux des trois cables :

uab(t) = va(t) vb(t) (4.20)ubc(t) = vb(t) vc(t) (4.21)uca(t) = vc(t) va(t) (4.22)

on parle de tensions composees. En sappuyant sur la representation vectorielle (4.10), on peutcalculer :

Uab = Uexp(j

6 ) (4.23)

Ubc = Uexp(j

2) (4.24)

Uca = Uexp(j5

6) (4.25)

avec :

U =

3V (4.26)

Cette relation indique que les tensions simples sont dans un rapport

3 par rapport aux tensionssimples.

Exercice 21 (Triangle des tensions)Representez le triangle des tensions simples Va, Vb et Vc. En vous appuyant sur ce trace, tracezle triangle des tensions composees Uab, Ubc et Uca. Retrouvez geometriquement les nombrescompexes leur correspondant.


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4.3. COUPLAGE EN TRIANGLE 29

Les courants de ligne sont egaux aux courants des generateurs. La puissance transmise parla ligne est la somme des puissances transmises par chacune des trois generaleurs, soit :

p(t) = pa(t) +pb(t) +pc(t) (4.27)

= 2V I(cos(t)cos(t ) (4.28)+cos(t 2

3)cos(t 2

3) (4.29)

+cos(t 43

)cos(t 43

)

(4.30)

= V I

3cos() + cos(2t ) + cos(2t 4

3) (4.31)

+ cos(2t 83

)

(4.32)

= V I

3cos() + cos(2t ) + cos(2t + 2

3) (4.33)

+ cos(2t 23 )

(4.34)

= 3V Icos() (4.35)

=

3U Icos() (4.36)

Remarquons que la puissance instantanee est constante et non pulsee contrairement au casmonophase ; elle est donc egale a sa puissance moyenne P =

3U Icos().

La puissance reactive est Q =

3U Isin() ; la puissance apparente est S =

3U I. Le facteurde puissance est, lui, inchange : Fp = cos(). Notez bien que le dephasage intervenant dansles formules correspond au dephasage entre la tension simple et le courant relatifs a une memephase.

4.3 Couplage en triangle

Soient trois sources monophasees de tensions :

ea(t) = E

2cos(t) (4.37)

eb(t) = E

2cos(t 23

) (4.38)

ec(t) = E

2cos(t 43

) (4.39)

et de courants :

ja(t) = J2cos(t ) (4.40)jb(t) = J

2cos(t 2

3) (4.41)

jc(t) = J

2cos(t 43

) (4.42)

avec des conventions generateur. Les trois dipoles ont comme bornes respectivement (a, a),(b, b) et (c, c) et sont orientes de sorte que ea(t) = Va(t) Va(t), eb(t) = Vb(t) Vb(t) etec(t) = Vc(t) Vc(t). On associe ces dipoles en triangle de sorte que les poles soient connectespar paires : a avec b, b avec c et c avec a. Des bornes a, b et c sont tires trois cables formantune ligne triphasee.

Dans ce cas, les tension composees sont identiques aux tensions des generateurs :uab(t) = ea(t) (4.43)

ubc(t) = eb(t) (4.44)

uca(t) = ec(t) (4.45)


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Pour determiner les courants de ligne, il faut ecrire une loi de nud :

ia(t) = ja(t) jc(t) (4.46)ib(t) = jb(t) ja(t) (4.47)ic(t) = jc(t) jb(t) (4.48)

(4.49)

En ecrivant le triangle des courants associes correspondant aux vecteurs de courant :

Ja = Jexp(j) (4.50)Jb = Jexp(j(

2

3)) (4.51)

Jc = Jexp(j( 4

3)) (4.52)

on peut calculer les courants de ligne :

Ia = Iexp(j(

+

6)) (4.53)

Ib = Iexp(j( 2 )) (4.54)

Ic = Iexp(j( +5

6)) (4.55)

avec :I =

3J (4.56)

Les courants de ligne forment un systeme triphase equilibre damplitude I =

3J.La puissance transmise est la somme des puissances transmises par chacun des trois dipoles

et secrit :

p(t) = pa(t) +pb(t) +pc(t) (4.57)

= 2EJ (cos(t)cos(t ) (4.58)+cos(t 2

3)cos(t 2

3) (4.59)

+cos(t 43

)cos(t 43

) (4.60)

= 3EJ cos() (4.61)

=

3U Icos() (4.62)

Ce qui donne les memes formules de puissances que dans le cas du couplage etoile. Le dephasage peut etre interprete comme le dephasage relatif au dipole composant la source (ou la charge)ou comme le dephasage entre un courant et une tension simple de la ligne triphasee.

4.4 Equivalence triangle/etoile

Soit une charge triphasee dimpedance ZY couplee en etoile. Chaque dipole consomme lapuissance complexe ZYI

2 ou I est la valeur efficace du courant de ligne ; la charge consommedonc SY = 3ZYI

2.Imaginons maintenant une seconde charge triphasee, cette fois couplee en triangle dimpedance

Z. Chaque dipole consomme la puissance complexe ZJ2 ou J est le courant dans un dipole.

La charge consomme donc la puissance complexe S = 3ZJ2 = ZI

2.Les charges sont identiques du point de vue de la ligne si elles absorbent la meme puissance

complexe, ce qui est le cas si :

Z = 3ZY (4.63)

Par ce moyen, on peut toujours se ramener a un schema detude ou toutes les charges sont dememe nature, triangle ou etoile, du moins en regime sinusodal. Cest egalement le cas pour lessources comme vous propose de le decouvrir lexercice suivent.


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4.5. METHODE DETUDE 31

Exercice 22 (Source equivalente)Soit une source triphasee couplee en etoile comme presentee dans le paragraphe 4.2. Determinezla source triphasee connectee en triangle qui a les memes caracteristiques au niveau de la ligne(on donnera la valeur efficace et les dephasages).

4.5 Methode detude

Pour etudier le fonctionnement dun circuit triphase en regime sinusodal equilibre, on peutse ramener a letude dun circuit monophase. Considerons dabord le cas dune source connecteea une charge ou les deux elements sont couplees en etoile. Meme si les neutres des deux chargesne sont pas relies (triphase 3 fils), ils sont neanmoins au meme potentiel. On peut ainsi fairecomme sils etaient connectes et ne sinteresser qua une maille du circuit, par exemple celle nefaisant intervenir que la premiere phase et le fil fictif du neutre. Une fois resolu ce circuit, lesautres phases sont deduites en ajoutant ou retranchant simplement un dephasage de 23 .

Pour une source et une charge couplee en triangle, il est possible disoler directement unemaille comportant un generateur et une charge. Une fois determine le courant, lensemble desautres courants pourront se deduire facilement.

Pour des circuits mixtes, comporant par exemple une source couplee en etoile et une chargecouplee en triangle, on peut transformer les elements couples en triangle en elements fictifscouples en etoile.

Cette methode detude nest plus valable des lors que le fonctionnement est desequilibre. Desoutils specifiques permettent detudier le regime desequilibre.

Exercice 23 (Circuit etoile/etoile)Une source triphasee sinusodale equilibree, couplee en etoile, de tension simple V = 230 V estconnectee a une charge triphasee equilibree dimpedance Z = 10 exp(j 6 ) couplee en etoile.

1. Determinez le circuit monophase permettant de faire letude du circuit.

2. Determinez la valeur efficace du courant de ligne et son dephasage par rapport a la tension.

3. Determinez les puissances active et reactive transmises par la source a la charge.

Exercice 24 (Circuit etoile/triangle)La source est inchangee par rapport a lexercice precedent, mais cette fois, la charge est coupleeen triangle.

1. En utilisant une charge etoile equivalente, determinez le circuit monophase permettant defaire letude du circuit.

2. Determinez la valeur efficace du courant de ligne et son dephasage par rapport a la tension.

3. Determinez les courants dans la charge couplee en triangle (amplitude et dephasages).

Exercice 25 (Circuit triangle/triangle)Cette fois, la source et la charge sont toutes deux couplees en triangle.

1. En suivant une maille du circuit, determinez le circuit detude.

2. Determinez les courants (valeur efficace et dephasages) circulant dans la charge.

3. Determinez les courants de ligne.

4. Determinez les courants dans la source.


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4.6 Regime desequilibre

4.6.1 Les trois types de regime equilibre

Nous avons deja defini le regime sinusodal triphase equilibre direct :

xda(t) = Xd2cos(t + d) (4.64)xdb(t) = Xd

2cos(t + d 2

3) (4.65)

xdc(t) = Xd

2cos(t + d 43

) (4.66)

dans lequel la phase a est en avance sur la phase b, elle-meme en avance sur la phase c. Ondefinit egalement le regime sinusodal triphase equilibre inverse :

xia(t) = Xi

2cos(t + i) (4.67)

xib(t) = Xi2cos(t + i +2

3 ) (4.68)

xic(t) = Xi

2cos(t + i +4

3) (4.69)

dans lequel la phase a est en retard sur la phase b, elle-meme en retard sur la phase c.On definitegalement le regime sinusodal triphase equilibre homopolaire :

xha(t) = Xh

2cos(t + h) (4.70)

xhb(t) = Xh

2cos(t + h) (4.71)

xhc(t) = Xh

2cos(t + h) (4.72)

dans lequel les trois grandeurs sont en phase.

En notation complexe, cela donne pour le systeme direct :

Xda = Xd exp(jd) (4.73)

Xdb = Xd exp(j(d 2

3)) (4.74)

Xdc = Xd exp(j(d +2

3)) (4.75)

soit, en notant a = exp(j 2

3) et en notation vectorielle :

XdaXdb

Xdc

= Xda

1a2

a

(4.76)

Pour le systeme inverse : XiaXib

Xic

= Xia

1a

a2

(4.77)

et pour le systeme homopolaire :

XhaXhb

Xhc

= Xha

11

1

(4.78)


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4.6. REGIME DESEQUILIBRE 33

4.6.2 Decomposition dun systeme triphase desequilibre

Considerons maintenant un systemes triphase desequilibre quelconque (4.1). En notationcomplexe, il secrit :

Xa = Xa exp(ja) (4.79)Xb = Xb exp(jb) (4.80)

Xc = Xc exp(jc) (4.81)

Si ce systeme secrit bien comme la somme dun systeme direct, dun systeme indirect et dunsysteme homopolaire, alors il existe trois nombres complexes Xda, Xia et Xh tels que :

XaXb

Xc

= Xda

1a2

a

+ Xia

1a

a2

+ Xh

11

1

(4.82)

ce qui secrit encore : XaXb

Xc

=

1 1 1a2 a 1

a a2 1

XdaXia

Xh

(4.83)

Les composantes directe, indirect et homopolaire sobtiennent par inversion de la matrice :

XdaXia

Xh

= 1

3

1 a a21 a2 a

1 1 1

XaXb

Xc

(4.84)

Theoreme 1 (Decomposition dun systemes triphase desequilibre)Tout systeme desequilibre peut secrire comme la somme :

dun systeme equilibre direct, dun systeme equilibre inverse, dun systeme homopolaire.

4.6.3 Etude

Impedances dune charge equilibres

Une charge triphasee equilibree peut secrire sous la forme :

Va = ZpIa + ZmIb + ZmIc (4.85)

Vb = ZmIa + ZpIb + ZmIc (4.86)

Vc = ZmIa + ZmIb + ZpIc (4.87)

ou Zp est limpedance propre et Zm est limpedance mutuelle. En remplacant les tensions et lescourants par leur decomposition en couposantes directes, indirectes et homopolaire, on obtient :

Vd = ZdId

Vi = ZiIi

Vh = ZhIh (4.88)

avec Zd = Zi = Zp Zm et Zh = Zp + 2Zm. Connaissant les composantes Vda, Via et Vh dureseau, on determine les composantes Ida, Iia et Ih en resolvant les trois equations 4.88.


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Methode detude des defauts

On modelise dabord le reseau, du point de vue de lendroit ou a lieu le defaut. Pour chaquecomposante symetrique d, i et h, on utilise un modele de Thevenin compose dune source detension egale a la tension avant defaut (Ed, Ei et Eh) en serie avec limpedance equivalente dureseau (Z

d

, Zi

et Zh

). Remarquons que pour un reseau equilibre, on a Ei

= 0 et Eh

= 0. Enpresence de defaut, les composantes symetriques des tensions du reseau secrivent alors :

Vd = Ed ZdIdVi = Ei ZiIiVh = Eh ZhIh (4.89)

On caracterise ensuite le defaut. Par exemple, un court-circuit sur la phase a entrane Va = 0,ce qui entrane :

Va = Vd + Vi + Vh = 0 (4.90)

Si les autres phases sont ouvertes, on a :

Ib = a2Id + aIi + Ih = 0 (4.91)

Ic = aId + a2Ii + Ih = 0 (4.92)

Pour un court-circuit entre les phases a et b, on aurait Va = Vb, soit :

(1 a2)Vd + (1 a)Vi = 0 (4.93)Sur les courants, on aurait Ia + Ib = 0 et Ic = 0, soit :

(1 + a2)Id + (1 + a)Ii = 0 (4.94)

Ic = aId + a2Ii + Ih = 0 (4.95)

On resout ensuite les six equations afin de determiner les grandeurs symetriques. Il suffitensuite de revenir aux grandeurs triphasees a laide de la transformation inverse.

Exercice 26 (Court-circuit entre deux phases)Une ligne triphasee est alimentee par un transformateur fournissant est un reseau symetriquedirect de tensions sinusodales a la frequence de 50 Hz. La tension simple entre phase et neutre

est de 230 V a vide. Les impedances directe, inverse et homopolaire de lensemble ligne ettransformateur ont pour valeur Zd = Zi = 4j et Zh = 10j. Ce dispositif alimente un recepteurtriphase equilibre ayant les caracteristiques suivantes : impedance propre Zp = 10 + 6j (en )et impedance mutuelle Zm = 2j (en ).

1. Donnez les composantes symetriques des tensions du reseau dalimentation.

2. Determinez les impedances symetriques de la charge.

3. Determinez les composantes symetriques des courants et des tensions du reseau en presencede la charge.

4. Determinez les tensions et courants de ligne du reseau.

La charge nest plus connectee. Un court-circuit apparat entre les phases a et b du reseau.5. Determinez les equations liant les composantes symetriques.

6. Determinez les composantes symetriques des courants et tensions de ligne.

7. Determinez les tensions et courants de ligne.


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4.6. REGIME DESEQUILIBRE 35

Elements de correction

1. A vide, le reseau fournit Ed = 230 V (pris comme reference des phases par la suite),Ei = 0 V et Eh = 0 V.

2. On a pour la charge Zcd = Zci = Zp Zm = 10 + 4j et Zch = Zp + 2Zm = 10 + 10j.

3. Pour la composante directe, on a Ed = (Zc + Zcd)Id, soit Id = 14, 0 11, 2j (en A). Lesautres composantes sont nulles. Pour les tensions, on a : Vd = ZcdId = 185 56j V,Vi = Vh = 0 V.

4. On obtient en Ampere : Ia = 14, 0 11, 2 i, Ib = 16, 7 6, 5 i et Ic = 2, 7 + 17, 8 i.5. Les equations dun court-circuit entre les phases a et b secrivent :

Va Vb = (1 a2)Vd + (1 a)Vi = 0 (4.96)Ia + Ib = (1 + a

2)Id + (1 + a)Ii + 2Ih = 0 (4.97)

Ic = aId + a2Ii + Ih = 0 (4.98)

6. En remplacant les tensions dans lequation 4.96, on obtient :

(1 a2)ZdId + (1 a)ZiIi = (1 a2)Ed (4.99)

Avec les equations 4.97 et 4.98, on obtient un systeme de trois equations a trois inconnues : 1 + a2 1 + a 2a a2 1

(1 a2)Zd (1 a)Zi 0

IdIi

Ih

=

00

(1 a2)Ed

(4.100)

qui se resond en multipliant a gauche par linverse de la matrice, ce qui donne Id = 28, 8j,Ii = 24, 9 14, 4j et Ih = 0 en Ampere. On en deduit les composantes symetriques destensions de ligne : Vd = 115 V, Vi = 57, 5 99, 6j et Vh = 0.

7. Les courants sont : Ia = 24, 9 43, 1j, Ib = 24, 9 + 43, 1j et Ic = 0. Les tensions sont :Va = Vb = 57, 5 99, 6j et Vc = 115 + 199j en Volt.


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Chapitre 5

Regime harmonique

5.1 Decomposition en serie de Fourier

Considerons lensemble ET des signaux periodiques de periode T. Cet ensemble a les pro-

prietes suivantes : (x, y) ET ET x + y ET, x ET, R x ET.

Il sagit donc dun espace vectoriel.On lui associe le produit scalaire x, y suivant (un scalaire est dans notre cas un reel) :

x, y = 1T

T

x(t)y(t)dt (5.1)

et la normex =

x, x. (5.2)

Theoreme 2 (Base de ET)Lensemble des fonctions{1, cos(kt), sin(kt)}k=1,2... forme une base orthogonale de ET.

Cela signifie que les elements forment une base et quils sont orthogonaux entre eux (produitscalaire nul).

Pour verifier lorthogonalite, il suffit de verifier que 1, cos(kt) = 0 k 1, 1, sin(kt) =0 k 1 et cos(jt), sin(kt) = 0 j = k.

Dire quun ensemble est une base signifie que ses elements sont libres et generateurs.

Definition 9 (ensemble libre)Un ensemble

{xk

}de signaux est libre si k kxk

0

k = 0

k. Cest-a-dire que la

seule combinaison lineaires des signaux egale au signal nul est la combinaison triviale ou lescoefficients sont tous nuls.

Definition 10 (ensemble generateur)Un ensemble{xk} de signaux est generateur de lespace E six E, {k} R \ x =

k kxk.

Cest-a-dire que tout element x de E peut secrire comme combinaison lineaire des xk.

Propriete 11 (base)Dire quun ensemble{xk} est une base de lespace E signifie que tout element x de E secrit demaniere unique comme combinaison lineaire des xk.

Verifions maintenant que lensemble {1, cos(kt), sin(kt)}k=1,2... est bien une base des fonc-tions periodiques de periode T et verifions dabord que ses elements sont libres.Soit x(t) = 0 +

k k cos(kt) + k sin(kt) une combinaison lineaire qui serait egale au

signal nul. En effectuant le produit scalaire avec le signal 1, on obtient x, 1 = 0, 1 = 0 puisquex(t) = 0 par hypothese. Or le calcul donne x, 1 = 0, ce qui implique 0 = 0. En effectuant

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38 CHAPITRE 5. REGIME HARMONIQUE

le produit scalaire avec le signal cos(kt), on obtient x, cos(kt) = 0, cos(kt) = 0. Orx, cos(kt) = k ce qui implique k = 0. En effectuant le produit scalaire avec le signalsin(kt), on obtient x, sin(kt) = 0, sin(kt) = 0. Or x, sin(kt) = k ce qui impliquek = 0. On obtient bien que k = k = 0 ce qui signifie que lon a affaire a la combinaisonlineaire nulle. CQFD.

Nous admettrons que, moyennant quelques hypotheses de regularite sur les signaux, lensem-ble est generateur. Ainsi, pour tout signal x ET, on peut trouver des reels ak, bk uniques telsque

x(t) = a0 +

k=1

ak cos(kt) + bk sin(kt) (5.3)

En effectuant le produit scalaire avec les differents elements de la base, on obtient x, 1 = a0,x, cos(kt) = ak2 et x, sin(kt) = bk2 . Ce qui donne

a0 =1

T

T

x(t)dt (5.4)

ak =2

T

T

x(t)cos(kt)dt, k 1 (5.5)

bk =2

T

T

x(t) sin(kt)dt, k 1 (5.6)

Par la suite, on se considerera uniquement la partie alternative du signal, i.e. x(t) a0.

5.1.1 Proprietes de la decomposition en serie de Fourier

Linearite.

Les coefficients de la serie de Fourier de la somme de deux signaux periodiques de memeperiode est la somme des coefficients de Fourier de chacun des signaux. Multiplier un signal parun reel constant correspond a multiplier chacun des coefficients de la serie par ce meme nombre.

Signal retarde.

Si la decomposition en serie de Fourier de x(t) est connue, alors celle de x(t ), signalretarde de secrit

x(t ) =k

ck exp(j(t )) (5.7)

=k

ck exp(j(t )) (5.8)

=k

(ck exp(j)) exp(jt) (5.9)

Les coefficients de la serie de Fourier du signal retarde de sont multiplies par exp(j).

Signal dilate temporellement.

La dilatation temporelle na aucun effet sur les coefficients ck. Ainsi, il est possible, poursimplifier leur calcul, dutiliser une autre graduation, par exemple de choisir une largeur de 2pour la periode.


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5.1. DECOMPOSITION EN SERIE DE FOURIER 39

Identite de Parseval.

Calculons

x, x =k ck exp(jkt),l ck exp(jkt)

(5.10)

=k

l

ckcl exp(jkt), exp(jkt) (5.11)

=k

l

ckcl k,l (5.12)

=k

ckck (5.13)

Ainsi, pour un signal a valeurs reelles, on a legalite suivante dite egalite de Parseval :

1

T T

x2(t)dt =

k=

ck2 = a20 +1

2

k=1

a2k + b2k (5.14)

5.1.2 Symetries et serie de Fourier

Les symetries du signal sont necessairement des symetries de sa transformee de Fourier.Ainsi, on peut enoncer un certain nombre de proprietes qui simplifient les calculs.

Propriete 12 (Signal pair)La transformee de Fourier dun signal pair (x(t) = x(t)) ne contient que des termes en cosinus.

Exercice 27Demontrez la propriete ci-dessus.

Alors, les integrales peuvent etre calculees sur une demi-periode :

ak =4

T

T2

0x(t) cos(kt)dt, k 1 (5.15)


Si, en plus, le signal est symetrique par rapport au point de coordonnees (T4 ,0) (x(T4 ) =

x( T4 + )), alors les termes pairs de la serie sont nuls et on peut calculer les termes non-nulssur un quart de la periode :

ak =8

T

T4

0x(t) cos(kt)dt, k 1 (5.16)


Propriete 13 (Signal impair)La transformee de Fourier dun signal impair ne contient que des termes en sinus.


Alors, les integrales peuvent etre calculees sur une demi-periode :

bk =4

T

T2

0x(t)sin(kt)dt, k 1 (5.17)


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0 0.5 T T 1.5 T 2 T-A-0.5 A

00.5 A

A

Figure 5.1 Signal n 1

000.2 A0.4 A0.6 A0.8 A

A

0.5 T T 1.5 T 2 TFigure 5.2 Signal n 2

Exercice 31

Demontrez la propriete ci-dessus.

Si, en plus, le signal est symetrique par rapport a la droite dequation t = T4 , alors les termespairs de la serie sont nuls et on peut calculer les termes non-nuls sur un quart de la periode :

bk =8

T

T4

0x(t)sin(kt)dt, k 1 (5.18)

Exercice 32 Demontrez la propriete ci-dessus.

Exercice 33

Calculez la transformee de Fourier des signaux presentes dans les exercices 5 a 7.

Exercice 34 (Developpement en serie de Fourier)Pour chacun des signaux n 1, 2 et 3 representes sur les figures 5.1 a 5.3,

1. Calculez lexpression analytique des coefficients de la serie de Fourier complexe.

2. Representez graphiquement la valeur efficace de chacun des harmoniques sur une echellede frequence.

5.2 Puissance en non-sinusodal

5.2.1 Harmoniques de courant

Considerons ici le cas ou la tension est sinusodale et ou des harmoniques sont presentessur le courant (il est donc deforme par rapport a une sinusode). En prenant la tension comme


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5.2. PUISSANCE EN NON-SINUSOIDAL 41

000.2 A0.4 A0.6 A0.8 A

A

T 2 TFigure 5.3 Signal n 3

reference des phases, on a :

u(t) = U

2cos(t) (5.19)

i(t) =

k=1

Ik

2cos(kt k) (5.20)

et les valeurs efficaces des harmoniques du courant verifient la relation de Parceval :

I2 =

k=1

Ik2. (5.21)

On appelle taux dharmoniquesdu courant la quantite :

THI =k=2 Ik2

I(5.22)

Il sagit du rapport entre la valeur efficace des harmoniques et la valeur efficace totale. Le tauxdharmoniques est compris entre zero et un ; il augmente avec les harmoniques. On rencontreparfois une definition concurrente pour le taux dharmoniques :

THI1 =

k=2 Ik

2

I1(5.23)

Dans ce cas, on rapporte la valeur efficace des harmoniques a la valeur efficace du fondamentale.

Avec cette definition, le taux dharmoniques varie entre zero et linfini. Ces deux definitionsdonnent des valeurs numeriques tres proches dans le cas ou le fondamental reste preponderant.

La puissance instantanee secrit alors :

p(t) = u(t)i(t) (5.24)

= 2U

k=1

Ik cos(t) cos(kt k) (5.25)

= U

k=1

Ik (cos((k + 1)t k) + cos((k 1)t k)) (5.26)

Il sagit dune somme de sinusodes aux frequences 0, , 2... La valeur moyenne est la sommedes valeurs moyennes des differents termes ; chaque sinusode ayant une valeur moyenne nulle amoins que sa pulsation soit nulle, il ressort quun seul terme est non nul et non a :

P = U I1 cos(1). (5.27)


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Cest-a-dire que seul le fondamental du courant transporte de la puissance active ; le dephasageintervenant dans le terme cos(1) est le dephasage du fondamental.

On definit alors la puissance reactive :

Q = U I1 sin(1). (5.28)

En presence dharmonques, la relation S2 = P2 + Q2 nest plus valable et secrit desormais

S2 = P2 + Q2 + D2 (5.29)

avec

D2 = S2 P2 Q2 (5.30)= U2(I2 I12) (5.31)

= U2

k=2

Ik2 (5.32)

On observe bien dans cette derniere expression que D est lie a la presence dharmoniques. Onlappelle puissance deformante.Le facteur de puissance est

Fp =P

S(5.33)

=U I1 cos 1

U I(5.34)

=I1I

cos 1 (5.35)

Le facteur de puissance nest plus egal a cos 1. Il est desormais le produit de deux facteurs : unfacteur lie au dephasage (cos(

1)) et un facteur lie aux harmoniques ( I1

I).

Exercice 35Demontrez la relation suivante :

THI =D

S(5.36)

5.2.2 Harmoniques de tension

Considerons ici le cas ou le courant est sinusodal et ou des harmoniques sont presentes surla tension. En prenant le courant comme reference, on a :

u(t) =

k=1 Uk

2cos(kt + k) (5.37)

i(t) = I

2cos(kt) (5.38)

Lequation de Parceval secrit :

U2 =

k=1

Uk2. (5.39)

Le taux dharmoniques en tension est :

THV =

k=2 Uk

2

U(5.40)

On rencontre parfois une definition concurrente pour le taux dharmoniques :

THV1 =

k=2 Uk

2

U1(5.41)


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La puissance instantanee secrit :

p(t) = u(t)i(t) (5.42)

= 2I

k=1Uk cos(t)cos(kt + k) (5.43)

= I

k=1

Uk (cos((k + 1)t + k) + cos((k 1)t + k)) (5.44)

Il sagit dune somme de sinusodes aux frequences 0, , 2... La puissance moyenne est :

P = U1Icos(1). (5.45)

Cest-a-dire que seul le fondamental du courant transporte de la puissance active ; le dephasageintervenant dans le terme cos(1) est le dephasage du fondamental.

On definit alors la puissance reactive :

Q = U1Isin(1). (5.46)

La puissance deformante secrit :

D2 = I2

k=2

Uk2 (5.47)

et la relation des puissances est :S2 = P2 + Q2 + D2 (5.48)

Le facteur de puissance est

Fp = U1U

cos 1 (5.49)

Le facteur de puissance nest plus egal a cos 1.

5.2.3 Harmoniques de tension et de courant

Considerons le cas ou des harmoniques sont presentes a la fois sur la tension et le courant :

u(t) =

k=1

Uk

2cos(kt + k) (5.50)

i(t) =

k=1

Ik2cos(kt + k k) (5.51)

avec 1 = 0 (cest-a-dire quon prend comme reference des temps le fondamental de la tension).La puissance instantanee secrit :

p(t) = u(t)i(t) (5.52)

= 2

k=1

Uk cos(kt + k)

l=1

Il cos(lt + l l)

(5.53)

= 2

k=1

l=1

UkIl cos(kt + k)cos(lt + l l) (5.54)

=

k=1

l=1

UkIl (cos((k + l)t + 2k k) (5.55)

+ cos((k l)t + l)) (5.56)


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La puissance instantanee comporte des termes a la pulsation 0, , 2... Les seuls termes depulsation non nuls apparaissent pour k = l ; on peut alors ecrire :

P =

k=1

UkIk cos(k) (5.57)

Ainsi, les harmoniques presentes a la fois dans la tension et le courant portent de la puissance.

On peut definir une puissance active transportee par le fondamental :

P1 = U1I1 cos(1) (5.58)

Suivant les applications, la puissance utile Pu sera soit P, soit P1. Pour un chauffage electrique,la puissance convertie en puissance thermique est Pu = P. Pour un entranement electrique acourant alternatif, les harmoniques ne contribuent pas correctement a la production de couple 1 ;on peut donc considerer que Pu = P1.

On peut definir les puissances active, reactive et apparente pour chaque harmonique :

Pk = UkIk cos(k) (5.59)

Qk = UkIk sin(k) (5.60)

Sk = UkIk (5.61)

(5.62)

Ainsi quun facteur de puissance associe :

Fpk =PkSk

= cos(k) (5.63)

On peut egalement definir une puissance reactive totale :

Q = k=1

UkIk sin(k) (5.64)

Dans le cas general presente ici, les harmoniques sont presentes sur les puissances active etreactive et il nest plus possible de les distinguer.

Exercice 36 (Calcul de taux dharmoniques)Calculez les taux dharmoniques TH et TH1 des signaux presentes dans les exercices 5 a 7.

Exercice 37 (Redressement monophase)Un pont de diodes monophase alimente par une tension sinusodale u(t) = U

2cos(t) absorbe

un courant en creneaux damplitude Ic en phase avec la tension (Ic lorsque u(t) est positif, Iclorsquil est negatif ). Determinez la decomposition en serie de Fourier du courant.

1. Determinez la puissance apparente, la puissance active, la puissance reactive, la puissancedeformante et le facteur de puissance.

Exercice 38 (Redressement triphase)Un pont de diodes triphase est alimente par trois tensions sinusodales ua(t) = U

2sin(t),

ub(t) = U

2sin(t 23 ) et uc(t) = U

2 sin(t + 23 ). Le courant ia(t) se presente comme suitlorsque t parcourt [0 ; 2] : il est egal a Ic sur [

6 ;

56 ], egal aIc sur [76 ; 116 ] et nul le reste

du temps.

1. Determinez la decomposition en serie de Fourier du courant, les taux de distorsion THIet THI1 du courant, la puissance apparente, la puissance active, la puissance reactive, la

puissance deformante et le facteur de puissance.1. Pour un moteur synchrone tournant a la vitesse =

pou p est le nombre de paires de poles, les harmoniques

autres que le fondamental produisent un couple pulse de valeur moyenne nulle. Pour une machine asynchronefonctionnant a une vitesse proche de la vitesse nominale, les harmoniques produiront principalement des pertesJoule au rotor.


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5.2.4 Regime triphase equilibre avec harmoniques

Nous nous limitons ici au cas des harmoniques de courant. En regime triphase equilibre, sansharmoniques de tension, les tensions simples secrivent :

va(t) = V

2cos(t) (5.65)

vb(t) = V2cos(t 2

3) (5.66)

vc(t) = V

2cos(t 43

) (5.67)

Ecrivons le courant dans la premiere ligne sous la forme :

ia(t) =k

Ik

2cos(kt k) (5.68)

Les courants dans les phases b et c secrivent :

ib(t) = ia(t T3

) (5.69)

ic(t) = ia(t 2T3

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