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    4. Le cot marginal diminue jusqu la quantit a, puis ilaugmente.

    18 A 1. ) La droite reprsentative de g est la tangente la courbe reprsentative defau point dabscisse a.) On obtient des tangentes qui coupent la courbe pourcertaines valeurs de a, doncfnest pas concave sur .b 1.h donne la position relative de

    fet de

    g.

    2. Pour a [2 ; 2] la courbe de h est toujours en dessous

    de laxe des abscisses sur lintervalle [2 ; 2] donc h(x)< 0sur [2 ; 2].3. La courbe defest toujours en dessous de ses tangentessur lintervalle [2 ; 2], donc h concave sur [2 ; 2].

    17 A 1. Ici AB est gal la dirence entre lordonnede B et celle de A cest--dire C(x0 + 1) C(x0).

    2. CT(x

    0) est gal au coecient directeur de la tangente d.

    Ce coecient directeur est ici gal AT

    AM0

    = AT.

    b 1. CT(0) = 0 ; CT(450) = 400 ; CT(800) = 1 800.

    2. La onction CT est concave, puis convexe, il existe unpoint dabscisse a o la tangente est aussi scante. On peut

    lire a 450.3. a) CT concave sur ]0 ; 450[ et convexe sur ]450 ; 800[.

    ) CT

    est dcroissante sur ]0 ; 450[ puis croissante sur]450 ; 800[.

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    ES-L

    d)f(x) fa(x) = x2 2ax+ a2 = (x a)2, par consquent

    f(x) fa

    (x) > 0 pour tout rel a. On a donc pour tout relxet tout rel a,f(x) >f

    a(x), donc la courbe

    fest au-dessus

    de chacune des tangentes au point dabscisse a.

    2 a) quationy =f(a)(x a) +f(a) donc

    iciy =1

    21a(x a) +1a soity =

    121a

    xa

    21a+1a

    ou encorey =1

    21ax+ 1

    a

    2.

    )f(x) fa(x) =1x

    x

    21a 1a

    2

    =1x11x22

    21a 1a

    2=

    21x1a 11x22 11a 22

    21a

    = 11x22 21x1a + 11a 22

    21a= 11x1a 2

    2

    21a.

    Donc pour tout rel xet tout rel a, f(x) fa(x) < 0 do

    f(x)

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    2 Chapitre 5 Fonctions convexes

    2.

    fnon dnie pour a 0,3.fnest ni convexe, ni concave sur [2 ; 2].

    26

    La onction semble ntre ni concave, ni convexe sur [0 ; 2].

    27

    gure 1 gure 2La gure 1 semble indiquer quefest concave mais un zoomsur lintervalle [0 ; 0,1] (g. 2) montre quen ait la onctionnest pas concave sur tout lintervalle.

    28

    La onction semble ntre ni concave, ni convexe sur [0 ; 2].

    29

    La onction semble ntre ni concave, ni convexe sur [0 ; 2].

    30 Fonction convexe.

    31 Fonction concave.

    c 1.

    fnest ni convexe, ni concave sur [2 ; 2].

    De tte

    19 fest la somme de deux onctions convexes.

    20 fest la somme de deux onctions concaves.21 f(x) = 3x2 1 ;f(x) = 6x.

    f sannule en changeant de signe en 0, uniquement. Lepoint O(0 ; 0) est donc le seul point dinfexion.

    22 f

    au-dessus de la droite dquationy =x+ 1, doncf(1)> 1 + 1 soitf(1)> 2.

    23 On sait que sur ]0 ; +[ la courbe reprsentativede lexponentielle est au-dessus de celle du logarithmenprien. Par consquent e1,5 > ln (1,5).

    convexit, concAvit

    et grAphique

    24

    La onction semble convexe sur [0 ; 2].

    25

    La onction semble convexe sur [0 ; 2].

    EXERCICES Entranement(page 138)

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    3Chapitre 5 Fonctions convexes

    2.fest la somme de deux onctions concaves, donc elle estconcave.fest concave sur [1 ; 2] donc f est dcroissantesur [1 ; 2].

    f(x) =6x

    18

    exetf(2) = 3 18

    e2 > 0.

    Pourx [1 ; 2],f(x) >f(2) doncf(x) > 0 etfest strictementcroissante sur [1 ; 2].3. Seule la courbe 1 correspond une onction concave.

    43 1. (xx2) est convexe sur ]0 ; +[ donc 1x 12 x22

    aussi.(x ln x) est concave sur ]0 ; [ donc (x ln x) estconvexe sur ]0 ; +[.fest la somme de deux onctions convexes ; elle est convexe.

    2.f(x) =x9x

    = x2 9x

    .

    Sur [1 ; 3]f est ngative doncfest dcroissante.3. Seule la courbe 3 correspond une onction convexe.

    44 Sur ]0 ; +[,fest convexe et (x lnx) est concave

    donc (x

    lnx) est convexe.g est la somme de deux onctions convexes ; elle estconvexe.

    45 Sur ,fest convexe donc 4fest convexe.x ex est convexe.g est la somme de deux onctions convexes ; elle estconvexe.

    46 Sur ]0 ; +[, 1x1x2 est concave donc 1x 21x2est convexe. (xf(x)) est convexe donc (x 4f(x)) estconvexe.g est la somme de deux onctions convexes, elle est

    convexe.

    47 Sur ,fest concave donc 5fest convexe.(xx2) est convexe donc (x 3x2) est convexe.(xx) est convexe.g, somme de trois onctions convexes, est convexe.

    48 Sur ,fest concave donc 3fest concave.(x ex) est convexe donc (x 5ex) est concave.g est la somme de deux onctions concaves ; elle estconcave.

    49 Sur ]0 ; +[,fest concave donc 3fest concave.

    1x1x2 est concave donc 1x 41x2 est concave.g est la somme de deux onctions concaves : elle estconcave.

    50 1. La tangente la courbe au point dabscisse 4 apour quation :y = e4(x 4) + e4, soity = e4(x 3).2. On sait que (x ex) est convexe sur ; sa courbe estau-dessus de toutes ses tangentes donc ex> e4(x 3).

    51 1. La tangente la courbe reprsentative de f au

    point dabscisse e a pour quation :y =1e

    (x e) + 1

    soity =x

    e .2. La onction ln est concave sur ]0 ; +[ donc sa courbe

    est au-dessous de toutes ses tangentes et lnx 0 est fausse.3.f(3)< (3) + 2 doncf(3)< 5 est vraie.

    39 f

    est au-dessus de toutes ses tangentes, donc pourtout relx,f(x)>x 3.1.f(3)> 3 3 doncf(3)> 0 est vraie.2.f(5)> 5 3 doncf(5)> 8 est vraie.

    40 f

    est au-dessus de toutes ses tangentes, donc pour

    tout relx

    ,f

    (x

    )>

    2x

    + 1.1.f(0)> 2 0 + 1 doncf(0) > 0 est vraie.2.f(3)> 2 3 + 1 doncf(3) < 5 est fausse.3.f(2)> 2 (2) + 1 doncf(2) > 5 est vraie.

    Fonctions De rFrence

    41 1. a) (x ex) est convexe sur [1 ; 3] donc

    1x 14 ex2 est convexe sur [1 ; 3].

    x1xest concave sur [1 ; 3] doncx 1xest convexe

    sur [1 ; 3].)fest la somme de deux onctions convexes sur [1 ; 3].Elle est convexe sur [1 ; 3].

    2. a)f(x) =14

    ex1

    21x.

    )fest convexe sur [1 ; 3] doncf est croissante sur [1 ; 3] ;

    f(1) =14

    e 12

    > 0 doncf(x) > 0 sur [1 ; 3] etfest stricte-

    ment croissante sur [1 ; 3].3. Seule la deuxime courbe correspond une onctionconvexe.

    42 (x lnx) est concave sur ]0 ; +[ donc (x 6 lnx)aussi.(x ex) est convexe sur ]0 ; +[ donc 1x 18 e

    x2 estconcave sur ]0 ; +[.

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    4 Chapitre 5 Fonctions convexes

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    )g(x) < 0 lnx e n.

    pa b

    1. a) en+1 = en e donc la suite est gomtrique de raison e.) e > 1 donc lim

    n+en = +.

    2. a)103

    e 368 ; si on prend par exemple n = 400.

    400e > 103 donc pour n > 400 on a en > e400 > 400e > 103.) en > 103n > ln(103) ; ln 103 6,907 755 279Le plus petit entier n tel que en > 103 est 7.

    59 1. Lquation rduite de la tangente la courbe repr-sentative de la onction exponentielle au point dabscisse 0esty =x+ 1.2. Lquation de la tangente la courbe reprsentative de la

    onction racine au point dabscisse14

    esty =x+14

    .

    3. La onction exponentielle est convexe, donc sa courbereprsentative est au-dessus de toutes ses tangentes doncex>x+ 1 sur .La onction racine est concave sur ]0 ; +[ donc sa courbereprsentative est au-dessous de toutes ses tangentes donc

    1x 0, doncfnest pas convexe.

    52 1. La tangente la courbe reprsentative de f aupoint dabscisse 2 a pour quation y = (x 2) + 1, soity =x 1.2. La onction exponentielle est convexe sur , donc sacourbe reprsentative est au-dessus de toutes ses tangentes,donc ex2>x 1.

    53 1. La tangente la courbe reprsentative de f aupoint dabscisse 4 a pour quation y =

    14

    (x 4) + 2, soit

    y =14

    x+ 1.

    2. La onction 1x1x2 est concave sur ]0 ; +[, donc sacourbe reprsentative est au-dessous de toutes ses tangentes.

    On a :1x a. Do le tableau de variation :

    x a +

    g0

    3. a)g admet un minimum absolu en a qui est 0. Donc pourtoutxrel g(x)> 0.)g(x)> 0 ex> eax aea + ea.

    On en dduit que la courbe reprsentative defest au-dessusde toutes ses tangentes ; cest la dnition dune onctionconvexe.

    57 1. quation de la tangente f

    au point dabscisse a :

    y =1a

    (x a) + ln a soity =1a

    x 1 + ln a.

    2. a)g(x) =1x

    1a

    = axax

    . g(x) du signe de a xdo le

    tableau de variation :)

    x 0 a +

    g + 0

    g0

    3. a)g admet 0 pour maximum absolu en a donc g(x)< 0.

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    5Chapitre 5 Fonctions convexes

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    pa b

    1. Si les richesses taient rparties de aon galitaire,les courbes

    fet

    gseraient conondues avec la droite

    dquation y = x. Ici les courbes f

    et g

    ont apparatreque ces richesses ne sont pas rparties de aon galitaire.2. Pour le pays F : si x= 0,5 alors f(x) = 0,312 5. Donc50 % des personnes les plus pauvres possdent 31,25 % des

    richesses.Pour le pays G : six= 0,5 alorsf(a) 0,422 6. Donc 50 %des personnes les plus pauvres possdent environ 42,26 %des richesses.3. Cest dans le pays G que la rpartition est la plusgalitaire.

    70 1. C(x) = 0,5 8

    x2; C(x) =

    16x3

    .

    C est une onction positive sur ]0 ; 15] donc C est convexesur ]0 ; 15].2. Les courbes reprsentatives de C et p se coupent auxpoints dabscissextels que C(x) =p(x) soit1,3x2 13x+ 8 = 0 (x 0).On obtient 2 points A(a ;f(a)) et B(b ;f(b)) avec a 0,66et b 9,34.Lentreprise est bnciaire si la courbe de C est au-dessousde celle de p. C est convexe donc ceci est vri entre Aet B, soit pourx [a ; b].

    convexit et sens De vAriAtion

    De lA Drive

    71 f(x) = 8x 16 ;f(x) = 8 > 0 :fest convexe sur .

    72 f(x) = 6x+ 6 ;f(x) = 6 < 0 :fest concave sur .

    73 f(x) = 3x2 + 6x+ 7 ; f(x) = 6x+ 6 : fest concavesur ] ; 1[ et convexe sur ]1 ; +[. Il y a un pointdinfexion, le point A(1 ; 4).

    74 f(x) = 3x2 + 4 ; f(x) = 6x : f est convexe sur] ; 0[ et concave sur ]0 ; +[. Il y a un point dinfexion,le point A(0 ; 5).

    75 f(x) = 3x2 12x+ 3 ;f(x) = 6x 12 :fest convexe sur]2 ; +[ et concave sur ] ; 2[. Il y a un point dinfexion,le point A(2 ; 9).

    76 f(x) = 4x3 36x2 + 12x;f(x) = 12x2 72x+ 12.f(x) = 0 pourx= 3 +18 etx= 3 18.fest convexe sur ] ; 3 18 [ et sur ]3 +18 ; +[.

    fest concave sur ]3 18 ; 3 +18 [.Il y a deux points dinfexion dabscisses respectives13 18 2 et 13 +18 2.

    77 f(x) = ex 2 ;f(x) = ex > 0 ;fest convexe sur .

    78 f(x) = ex +xex+ 1 ;f(x) = ex+ ex +xex= ex(x+ 2).fest convexe sur ]2 ; +[ ; concave sur ] ; 2[.Il y a un point dinfexion dabscisse (2).

    63 Les points A(0 ;f(0)), B(2 ;f(2)) et C(4 ; 0) sont surla courbe et le point B est au-dessus de la corde [AC] carf(0) < 0 etf(2) > 0, doncfnest pas convexe.

    64 Les points A(0 ; 1), B(1 ; 2), C(2 ; 0) et D(3 ; 2) sontsur la courbe. Le point B est au-dessus de la corde [AC] etle point C est au-dessous de la corde [BD], donc fne peut

    tre ni convexe, ni concave.65 Les points A(0 ; 3), B(1 ; 3), C(3 ; 3) et D(4 ; 3)

    sont sur la courbe. Le point B est au-dessus de la corde[AC] et le point C est au-dessous de la corde [BD], doncfne peut tre ni convexe, ni concave.

    66 Les points A(0 ; 0), B(1 ; 2), C(2 ; 0) et D(3 ; 1) sontsur la courbe.Le point B est au-dessus de la corde [AC] et C est au-dessousde la corde [BD], doncfne peut tre ni convexe, ni concave.

    67 1. a) A(0 ; 1) ; B(1 ; e). Une quation de la droite

    (AB) esty = (e 1)x+ 1.) Une quation de la tangente au point dabscisse

    12

    esty = e121x+ 12 2 + e

    12, soity = e

    12x+

    12

    e12.

    2. a) La onction exponentielle est convexe, sa courbe estdonc en dessous de la corde [AB] sur [0 ; 1] do :

    ex< (e 1)x+ 1.) La onction exponentielle est convexe, sa courbe estdonc en dessous de toutes ses tangentes do sur [0 ; 1]

    ex> e121x+ 12 2.

    68 1. a)

    A(1 ; 0) ; B(2 ; ln 2).Une quation de la droite (AB) esty = ln 2(x 1).) Une quation de la tangente au point dabscisse

    32

    esty =23

    1x 32 2 + ln32

    .

    2. a) La onction ln est concave donc sur [1 ; 2] sa courbeest situe au-dessus de la corde [AB] do sur [1 ; 2],lnx> ln 2(x 1).) La onction ln est concave, sa courbe est donc en dessousde toutes ses tangentes, do sur [1 ; 2],

    lnx12 donc sur [1 ; 2] lnx> ln 2(x 1) >

    12 (x 1)

    et ln32

    1 < 0 do sur [1 ; 2] lnx 0 sur [0 ; 1] doncfcroissante sur [0 ; 1].

    2.f(x) = 3xet g(x) =ex

    edonc f et g sont positives

    sur [0 ; 1] et par consquentfet g sont convexes sur [0 ; 1].

    3. a)f(0) = 0, f(1) = 1 et fconvexe sur [0 ; 1] donc f endessous du segment [AB] avec A(0 ; 0) et (1 ; 1) qui sontdes points de la droite dquationy =x.)g(0) = 0 et g(1) = 1. Mme raisonnement que pour

    f.

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    6 Chapitre 5 Fonctions convexes

    86 f(x) =x+ 2

    x3.

    fest croissante sur ]0 ; 2[ et dcroissante sur] ; 0[ ]2 ; +[.

    f(x) = x2(2x 6)

    x6; f est convexe sur ]3 ; +[ et f est

    concave sur ] ; 0[ et ]0 ; 3[.

    87 f(x) =xex.fest croissante sur ]0 ; +[ et dcroissante sur ] ; 0[.f(x) = (x+ 1) ex.fest concave sur ] ; 1[ etfest convexe sur ]1 ; +[.Il y a un point dinfexion dabscisse (1).

    88 f(x) = (6 2x) ex.fest croissante sur ] ; 3[ et dcroissante sur ]3 ; +[.f(x) = (8 + 2x) ex.fest concave sur ] ; 4[ et convexe sur ]4 ; +[.Il y a un point dinfexion dabscisse 4.

    89 f(x) = 1x

    121x

    = 2 1x2x

    .

    fest dcroissante sur ]4 ; +[ et croissante sur ]0 ; 4[.

    f(x) = 1x 44x2

    .

    fest convexe sur ]16 ; +[ et concave sur [0 ; 16[.Il y a un point dinfexion dabscisse 4.

    90 f(x) = lnx 1.fest croissante sur ]e ; +[ et dcroissante sur ]0 ; e[.

    f(x) =1x

    .fest concave sur ]0 ; +[.

    91 1. a)fet g sont convexes sur I, par consquent leursonctions drivesf et g sont croissantes sur I.) La somme f + g de deux onctions croissantes estcroissante.)f+ g est drivable sur I et sa onction drive f + g estcroissante sur I, par consquentf+ g est convexe sur I.2.f est croissante, donc f est dcroissante sur I. Laonction (f) a une drive f dcroissante, par consquentelle est concave sur I.3.lest positi etf est croissante sur I, par consquent lfest croissante sur I.

    La onction lfa une drive lf croissante, par consquentelle est convexe sur I.

    92 1. a)fet g sont concaves sur I, par consquent leursonctions drivesf et g sont dcroissantes sur I.) La somme f + g de deux onctions dcroissantes estdcroissante.)f+ g est drivable sur I et sa onction drivef + g estdcroissante sur I, par consquentf+ g est concave sur I.2.f est dcroissante, donc f est croissante sur I. Laonction (f) a une drive f croissante, par consquentelle est convexe sur I.

    3.lest positi etf est dcroissante sur I, par consquentlf est dcroissante sur I.La onction lfa une drive lf dcroissante, par cons-quent elle est concave sur I.

    79 f(x) = lnx 2x;f(x) =1x

    2 =1 2x

    x.

    fest convexe sur 40 ; 12 3 ; concave sur 412

    ; +3.

    Il y a un point dinfexion daxe 1 12 2.

    80 f(x) = 3x2

    + 1.fest strictement croissante sur .f(x) = 6x.fest concave sur ] ; 0[ et convexe sur ]0 ; +[.Il y a un point dinfexion dabscisse 0.

    81 f(x) = 3x2 +12

    .

    Mmes rsultats que pour lexercice 80 .

    82 f(x) = 3x2 1.

    f est croissante sur

    4 ; 1

    3

    3 3et sur

    413

    3; +

    3et

    dcroissante sur 4 132 ;133 3.

    f(x) = 6x.fest concave sur ] ; 0[ et convexe sur ]0 ; +[.

    Il y a un point dinfexion dabscisse 16

    .

    83 f(x) = 4x3 6x2 = 2x2(2x 3).

    fest dcroissante sur 4 ; 32 4 et croissante sur 332

    ; +3.f(x) = 12x2 12x= 12x(x 1).f est convexe sur ] ; 0[ et sur ]1 ; +[ et concave sur]0 ; 1[.Il y a deux points dinfexion dabscisses respectives (0)et (1).

    84 f(x) = 4x3 12x= 4x(x2 3).

    f est dcroissante sur ] ; 13 [ et sur ]0 ; 13 [ et f estcroissante sur ]13 ; 0[ et sur ]13 ; +[.f(x) = 12x2 12.fest convexe sur ] ; 1[ et sur ]1 ; +[ et fest concavesur ]1 ; 1[.

    Deux points dinfexion dabscisses respectives (1) et (1).

    85 f(x) =2x

    (x2 + 1)2.

    fest croissante sur ] ; 0[ et dcroissante sur ]0 ; +[.

    f(x) =2(x2 + 1)(3x2 1)

    (x2 + 1)4.

    fest convexe sur 4 ; 133 3 et sur 4133

    ; +3.

    fest concave sur 4 133

    ; 13

    3

    3.Il y a deux points dinfexion dabscisses respectives 1

    33

    et 133

    .

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    7Chapitre 5 Fonctions convexes

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    2. a)h(x) =f(x) g(x) = ex + 1.)h(x) > 0 pourx> 0 et h(x) = 0 pourx= 0.)h est croissante sur ]0 ; +[ et dcroissante sur ] ; 0[,do le tableau :

    x 0

    f

    03. On tudie le signe de h ; daprs le tableau de variationon a h(x) > 0 donc ex> 1 xpour tout relx.b 1.f(x) = ex;f(x) = ex.2.f(x) > 0 sur .3.f(x) > 0 sur doncfest convexe sur .

    fest au-dessus de toutes ses tangentes, donc ex>x 1.

    98 1.f(0) = 2 ;f(10) 9,74 ;f(100) 10.

    2. Pour toutxrel ex> 0, donc10

    1 + 4e0,5x> 0

    et 1 + 4e0,5x> 1, donc10

    1 + 4e0,5x< 10.

    Soit pour tout relx, 0 0 ; f est strictement croissante

    sur .4. a) La courbe defest la courbe rouge (la seule correspon-dant une onction croissante).La courbe def est la courbe verte (elle correspond uneonction positive).La courbe def est donc celle restante.) Daprs la courbe de f, f sannule en changeant designe pour une valeur a avec a 3.Le point dinfexion a pour coordonnes (a ; b) avec a 3et b 6.

    pour lA logique

    99 1. (non P) : Il existe au moins une tangente f

    quinest pas situe entirement au-dessus de

    f.

    2. (non Q) : Il existe au moins une tangente f

    qui nestpas situe entirement au-dessous de

    f.

    100 1. Implication vraie car les onctions exponentielleet carre sont convexes.2. La rciproque est ausse car les deux onctions exponen-tielle et carre ne sont pas les seules onctions convexes.

    101 Proprit vraie car la onction g est convexe et laonction ln est concave.

    93 1.fest drivable sur etfest concave sur donc f

    est au-dessous de toutes ses tangentes, par suite pour toutxrel on af(x)< 1 dof(x) < 0.2.fest concave sur donc sa drivef est dcroissantesur .

    fadmet pour tangente au point dabscisse 1 la droite

    dquationy = 2 doncf(1) = 0.

    Conclusion : si x < 1 on a f(x) > 0 et si x > 1 on af(x)< 0.3.

    x 1

    f + 0

    f2

    94 1.fest drivable sur etfest convexe sur doncf

    est au-dessus de toutes ses tangentes, donc pour toutxde on af(x)> 3 et par suitef(x) > 0.2.fest convexe sur , doncf est croissante sur .

    fadmet la droite dquationy = 3 pour tangente au point

    dabscisse 1, doncf(1) = 0.On en dduit que si x> 1 alorsf(x) > 0 et si x< 1 alorsf(x)< 0.3.

    x 1

    f 0 +

    f3

    95 f(x) = 3ax2 + 2bx+ c.

    f(x) = 6ax+ 2b.f sannule en changeant de signe pourx= b

    3a.

    f

    a un point dinfexion dabscisse b3a

    .

    96 1.f(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx+ d.f(x) = 12ax2 + 6bx+ 2c.2. Si f(x) = 0 na pas de solution ou une solution, alorsf(x) est du signe de 12a donc positi etfest convexe.Sif(x) = 0 possde deux solutions alorsf(x) est du signede 12a lextrieur des racines, doncf(x) ne peut pas tretoujours ngati etfnest pas concave sur .

    3. = 36b2

    96ac 0 donc f(x)sannule deux ois en changeant de signe, donc la courbe adeux points dinfexion.

    97 A 1. quation de la tangente fau point dabscisse 0.

    y = e0x+ 1 cest lquation rduite de .

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    8 Chapitre 5 Fonctions convexes

    On constate que la partie gauche est concave et la partiedroite convexe, do le rsultat.

    3.g(x) =3

    (x 2)2

    ; g(x) =6

    (x 2)3

    ; g(x) est du signe

    contraire de (x 2) (avecx 2), do le tableau :

    x 2

    g +

    g g concave g convexe

    b 1. a) k > 0 k < 0

    x

    y

    x

    y

    ) Si k> 0 alors kconcave sur ] ; 0[ et convexe sur]0 ; +[. Si k < 0 alors k convexe sur ] ; 0[ et concave sur]0 ; +[.

    2. a) a pour quationy =k

    xdans 1O ; Ti, Tj 2.

    ) On obtient Y =a b

    Xdo k= a b.

    ) On a O de coordonnes ( b ; 1).

    3. Si a > b alors fconcave sur ] ; b[ et convexe sur] b ; +[.Si a < b, alors f convexe sur ] ; b[ et concave sur] b ; +[.

    xO 1

    1

    f

    y

    2

    y=x

    +1

    2

    3

    2. a)f(x) = ex 1x

    1 ;f(x) = ex +1

    x2> 0.

    Faux, f est convexe sur ]0 ; +[ mais pas sur car pas

    dnie sur .) Faux, la drive seconde ne change pas de signe.) Vrai, f est convexe sur ]0 ;+[ donc au-dessus de sestangentes.

    102 1. ) La onction fsemble convexe sur ]a ; +[ etconcave sur ] ; a[ avec a 2.2. ), ) La drive seconde est du signe dex+ 2 do le

    tableau :x 2 +

    f 0 +

    f

    f concave convexe

    103 A 1. Siy =x+ 1x 2

    alorsy + 1 =x+ 2 + 1x+ 2 2

    = x+ 3x

    ,

    do y =x+ 3

    x 1 =

    3x

    . Cette relation ait intervenir les

    coordonnes dans 1O ; Ti, Tj 2.2. Dans 1O ; Ti, Tj 2, on a la courbe suivante :

    XO 1

    1

    Y

    3

    13

    1

    3

    3

    104 Corrig dans le manuel.

    105 1. Vrai,f est croissante, donc pourx> 0,f(x)>f(0).2. Faux, icif nest pas croissante sur .

    3. Vrai, la courbe est entirement au-dessus de chacune deses tangentes, donc en particulier au-dessus de laxe desabscisses.4. Faux, voir par exemple la onctionf:xx2 xqui est

    convexe et qui vrief1 12 2 = 14

    .

    106 1. a)fest au-dessus de ses tangentes doncf(x)>x+ 1,

    dof(3)> 4 > 3. Vrai.)

    fest au-dessous de ses tangentes, donc f(x)

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    9Chapitre 5 Fonctions convexes

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    108 1.f (x) = 2x104

    ex2

    104 et g(x) = 2x104

    .

    Les deux drives ont le signe de (x) ;f(0) = g(0) = 1, doncles deux onctions ont le mme tableau de variation.

    2.f(x) = 3 2104 + 12x1042

    2

    4 e x2

    104.

    g(x) = 2

    104, donc g(x) < 0.

    Donc g est concave sur . est la courbe rouge.

    3. Le trinme 2

    104+ 1 2x1042

    2

    possde deux racines 5012et 5012.

    fa deux points dinfexion dabscisses respectives 5012

    et 5012.

    107 1. a)f(0) = 3.)f(0) = 1.) La onction nest ni convexe, ni concave sur [0 ; 6].

    fest au-dessous de pour 0 < x< 3 et au-dessus pour

    x ]3 ; 6[.2. a)f(x) = ( ax+ a b) ex.)f(0) = 3, donc b = 3.

    f(0) = 1, donc a = 2.)f(x) = (2x 1) ex.d)f est du signe de 2x 1.

    fest convexe sur 4 12 ; +3 etfest concave sur 4 ;12 3.

    )f sannule et change de signe pourx=12

    , donc il y a un

    point dinfexion dabscisse12

    et dordonnef1 12 2 = 4e0,5.

    La tangente a pour quationy = 3e0,5(x 0,5) + 4e0,5.

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