16/09/20041 Enumération des permutations à motif exclu Stage effectué au DSI de l’université...

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Enumération des permutations à motif exclu

Stage effectué au DSI de l’université de Florence, Italie,

sous la direction de Renzo Pinzani.

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Plan de l’exposé

• Les grands principes de la méthode ECO• L’exemple des chemins de Dyck • Définition et résultats à connaître sur les

permutations à motif(s) exclu(s)• Le problème spécifique des permutations à

motif exclu de longueur fixée• Une nouvelle statistique sur les permutations

évitant un motif généralisé de type (1,2) ou (2,1)

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Méthode ECO : l’idée essentielle

ECO = Enumeration of Combinatorial Objects

• Une classe d’objets combinatoires munie d’un paramètre

• Étudier comment le nombre d’objets évolue en fonction de la valeur du paramètre

• Envisager une construction récursive des objets combinatoires considérés

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Méthode ECO : aspects théoriques

• Classe C munie d’un paramètre p (=taille)• Cn = {x Є C | p(x) = n }

• Trouver un opérateur θ : C -> 2C tel que θ(Cn)

= Cn+1 et qui ne génère pas de doublons

• θ fonctionne en insérant un petit bloc d’objet dans des sites actifs.

• Ensemble des sites actifs = frontière.

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Petit exemple :

1 4 3 6 5 7 2

8 8 8 8 8 8 8 8

8 permutations distinctes de longueur 8.

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Θ vérifie deux conditions :

• Pour tout Y Є Cn+1, il existe X Є Cn tel que Y Є θ(X)

• Pour tous X1 et X2 Є Cn , si X1 ≠ X2, alors

θ(X1) θ(X2) = Ø

U

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• Θ ~ description récursive de la classe C.

• Mène parfois à une équation fonctionnelle vérifiée par la fonction génératrice de C.

• Fonction génératrice : T(x) = Σn Є N an xn

où an est le cardinal de Cn .

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• Opérateur θ Arbre de génération :

1

21

12

321

231

213

312

132

123

4321, 3421, 3241, 3214

4312, 3412, 3142, 31244132, 1432, 1342, 1324

4231, 2431, 2341, 23144213, 2413, 2143, 2134

4123, 1423, 1243, 1234

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Règles de réécriture :

• Chaque objet a une étiquette.• Une étiquette permet seule de trouver les

étiquettes des fils.

Souvent étiquette de X = nombre de fils de X = cardinal de θ(X)

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Exemple d’une règle de réécriture :

(2)

(k)

> (2) (3) ... (k) (k+1)

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Exemple : les chemins de Dyck

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pas

longueur

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pic

vallée

dernièredescente

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• # pas NE = # pas SE = demi-longueur

• Dn = {chemins de Dyck de longueur 2n}

• d Є Dn , θ(d) = {chemins obtenus à partir de d en insérant un pic dans

chaque point de la dernière descente de d}

• Frontière = {points de la dernière descente de d}

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Arbre de génération des chemins de Dyck : …

……

…

……

………………

……

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• Étiquette = nombre de sites actifs = nombre de points de la dernière descente

• Étiquette du chemin de Dyck racine : (2)

• d Є D avec k sites actifs -> k chemins de Dyck avec des dernières descentes contenant 2, 3, …, k, k+1 points

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(2)

(k)

> (2) (3) ... (k) (k+1)

Sites actifs

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d Є D • n(d) = demi-longueur et f(d) = # frontière• Fonction génératrice : T(x,y) = Σd Є D xn(d)yf(d)

• On cherche T(x,1).

• T(x,y) = xy²+ Σd Є D ΣiЄ{2, …, f(d)+1}xn(d)+1yi

• Après calcul : T(x,y) = xy²[1 + (y-1)-1(T(x,y) – T(x,1)) ]

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• T(x,1) = (1- (1-4x)1/2 )(2x)-1 -1

Fonction génératrice des nombres de Catalan !

T(x,1) = Σd Є D xn(d) = Σn Є N an xn avec an = #Dn

Conclusion : #Dn = Cn = (n+1)-1( 2nn )

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Permutations à motif(s) exclu(s)

• Sn = ensemble des permutations de {1,2, …, n}

• S est l’union des Sn , n Є N. • Une représentation des permutations :

π : 1 -> 4 4 -> 2 2 -> 6 5 -> 3

3 -> 1 6 -> 5

π = 4 6 1 2 3 5

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• Soient π et σ deux permutations, telles que π est plus longue que σ. σ est appelée un motif.

• Notons n la longueur de π et m celle de σ.

• π contient σ s’il existe 1 ≤ i1 < i2 < i3 < i4 <… < im ≤ n tels que π(i1)π(i2)π(i3)π(i4)…π(im) soit isomorphe en ordre à σ.

• π évite σ dans le cas contraire.

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• Exemple de permutation contenant un motif : 15682437 contient le motif 312.

• Exemple de permutation évitant un motif : 85143267 évite le motif 231.

• On s’intéresse à l’énumération des permutations à motif(s) exclu(s). On note Sn(P) les permutations de longueur n évitant l’ensemble de motifs P.

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• Les motifs généralisés : 1-23, 12-3, 1-32, 13-2, 2-13, 21-3, 2-31, 23-1, 3-12, 31-2, 3-21, 32-1.

• Ils sont de type (1,2) ou (2,1) selon le nombre d’éléments avant et après le tiret.

• Notion de permutation contenant ou évitant un motif généralisé : comme pour les motifs classiques, mais les deux chiffres adjacents dans le motif doivent correspondre à deux éléments adjacents dans la permutation.

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• Exemple de permutation contenant le motif généralisé 21-3 : 1452376.

• Une permutation peut contenir 123 sans contenir 12-3 : 7162534 par exemple.

• Il en va de même pour tous les motifs généralisés.

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• Opérations de miroir et de complément :• πr (i) = π(n+1-i) • πc (i) = n+1-π(i)

• Les trois classes de symétrie :

{1-23, 3-21, 32-1, 12-3}

{3-12, 21-3, 1-32, 23-1}

{2-13, 31-2, 2-31, 13-2}

Catalan Cn

Catalan Cn

Bell Bn

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Représentation en portée : exemple de 632514.

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Sites actifs dans la représentation en portée :

sitesactifs

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Génération des permutations filles :

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Sujet particulier du stage

Enumération des permutations à motif exclu de longueur fixée …

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Les motifs 1-k2 et 2-k1

• π Є Sn évite 1-k2(resp. 2-k1) si pour tout i, π(i) > π(i+k+1) (resp. π(i) < π(i+k+1) )

• 1-k2 et 2-k1 sont miroirs l’un de l’autre, donc l’énumération des permutations évitant 1-k2 suffit.

• Pour 1-02, il existe une unique permutation dans chaque Sn qui évite ce motif : celle qui est décroissante.

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• Étude pour 1-12 avec la méthode ECO et la représentation en portée.

• Étiquette de π Є Sn(1-12) : (π(n-1), π(n)).

• Si π Є Sn(1-12), alors π(n-1)=1 ou π(n)=1.

• Étiquettes de la forme (1,x) ou (x,1).

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Construction de la règle de réécriture :

• La permutation 1 ne rentre pas dans le cas général de l’étiquetage.

• Les permutations 12 et 21 évitent le motif 1-k2 et ont pour étiquettes respectives (1,2) et (2,1).

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Filles d’une permutation étiquetée (1,x) :

1

x

n...

.

.

.

(1,x) > (x+1,1)

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Filles d’une permutation étiquetée (x,1) :

1

x

n...

(x,1) > (1,x)…(1,3)(1,2)(2,1) .

.

.

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• Remarque (2,1) produit (1,2) et (2,1) donc la permutation 1 est logiquement étiquetée (2,1).

• Règle de réécriture : (2,1)

(x,1) > (1,x)…(1,3)(1,2)(2,1)(1,x) > (x+1,1)

• Résultat : # Sn(1-1 2) = n! / ([n/2]! [(n+1)/2]!)

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• Étude pour 1-22 : règle de réécriture à étiquettes triples…

• Calcul des premières valeurs permet de formuler une conjecture :

#Sn(1-22) = n! / ([n/3]! [(n+1)/3]! [(n+2)/3]!) • Similaire à #Sn(1-12) = n! / ([n/2]! [(n+1)/2]!)

• Idée : #Sn(1-k2)

= n! / ([n/(k+1)]! [(n+1)/(k+1)]! … [(n+k)/(k+1)]!)

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Exemple des permutations évitant 1-32 : #&@$#&@$#&@$#&@$#&@$#&@$#&@$#&@

Comme pour 1-02, la séquence des #, celle des &,celle des @ et celle des $ sont des décroissantes.

Il suffit de constituer 4 paquets de la bonne taille, de classer leur éléments par ordre décroissant et d’écrire les paquets en quinconce.

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Perm. à motif exclu de longueur fixée

Définitions : • Les motifs de longueur fixée sont les suivants :

{1-k23, 12-k3, 1-k32, 13-k2, 2-k13, 21-k3, 2-k31, 23-k1, 3-k12, 31-k2 3-k21 32-k1 : k Є N*}

• Comme précédemment, le symbole –k exprime un saut de k éléments.

• Par exemple, π évite 1-k32 s’il n’existe aucun indice i tel que π(i) < π(i+k+2) < π(i+k+1).

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Quelques valeurs :

n

#Sn

(12-13)

#Sn

(23-11)

#Sn

(31-12)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 6 20 83 4112

29014

588104448

824728

1 2 6 20 83 4022

24514

192100650

792508

1 2 6 20 81 3902

16113

67896

983764368

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• Nombreuses voies de recherche explorées.• Aucune fructueuse…• Règles de réécriture complexes… mais on peut

tenter une étude.• On cherche à dégager une méthode à partir

des règles de réécriture des motifs généralisés sans la contrainte de longueur.

• Cette étude réserve de belles surprises !

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Le résultat principal du stage

• Il s’agit d’une nouvelle statistique sur les permutations évitant un motif généralisé de type (1,2) ou (2,1) : la distribution de ces permutations selon la longueur et la valeur du premier (ou du dernier) élément.

• Résultat pour un motif dans chaque classe de symétrie, puis opérateur miroir et complément pour étendre le résultat aux autres motifs.

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Distribution des perm. évitant 1-23

• Étude grâce à la méthode ECO, avec une représentation en portée des permutations.

• Règle de réécriture.• Arbre de génération.• Obtention d’une matrice dont les coefficients

satisfont une récurrence, et calcul d’une forme close de ces coefficients.

• Interprétation des coefficients de cette matrice.• Distribution selon la longueur et la valeur du

dernier élément des permutations évitant 1-23.

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• Étiquette d’une permutation de Sn(1-23) possédant k sites actifs : (k,n).

• Soit π Є Sn(1-23) étiquetée par (k,n).

• Distinguons deux cas selon que π(n) = 1 ou non.

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1

k

n...

.

.

.

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1

n

.

.

.

.

.

.

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En résumé : • π Є Sn(1-23) telle que π(n)=k≠1 génère k permu-

-tations de Sn+1(1-23) finissant par 1, 2, …, k.

• π Є Sn(1-23) telle que π(n)=1 génère n+1 permu- -tations de Sn+1(1-23) finissant par 1, 2, …, n+1.

• π Є Sn(1-23) telle que π(n)=k≠1 a pour étiquette (k,n).

• π Є Sn(1-23) telle que π(n)=1 a pour étiquette (n+1,n).

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Règle de réécriture :

(2,1)

(k,n) > (2,n+1)(3,n+1)…(k,n+1) (n+2,n+1)

(n+2,n+1)

(k) > (2) (3) … (k) (n+2)

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Arbre de génération simplifié à partir de la règle de réécriture simplifiée :

Au niveau n dans l’arbre de génération, une étiquette (k) a pour filles (2) (3) … (k) et (n+2) au niveau n+1.

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22222

22

2

2

33

3

3

3 44

44

5555 5

Niveaux

1

2

3

4

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• On construit une matrice M telle que M(i,j) représente le nombre d’étiquettes j+1 au niveau i.

1 0 0 0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 0 . . . 2 1 2 0 0 0 . . . 5 3 2 5 0 0 . . .

15 10 7 5 15 0 . . . 52 37 27 20 15 52 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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• Récurrence dans M : M(n,k) = Σk ≤i≤ n-1 M(n-1,i).

• Deux points importants pour l’interprétation des coefficients de M :

• π Є Sn(1-23) a k sites actifs ssi π(n)=k, 2≤k≤n.

• π Є Sn(1-23) a n+1 sites actifs ssi π(n)=1.

• Transfert de la diagonale en première colonne pour obtenir la matrice de distribution cherchée.

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Distribution des perm. évitant 1-23…

… selon la longueur (indices des lignes) et la valeur du

dernier élément (indices des colonnes) : matrice A =1 2 3 4 5 6

1 1 0 0 0 0 0 . . . 2 1 1 0 0 0 0 . . . 3 2 2 1 0 0 0 . . . 4 5 5 3 2 0 0 . . . 5 15 15 10 7 5 0 . . . 6 52 52 37 27 20 15 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Distribution des perm. évitant 1-23…

• Calcul des coefficients de A : la récurrence sur M se transforme en une récurrence sur A qui se simplifie en A(n,k) = A(n,k-1) – A(n,k-2).

• Forme close des coefficients de A : A(n,k) = ∆k-2(Bn-1).

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Conclusion

• Distribution des permutations évitant 1-23 selon leur longueur et la valeur de leur dernier élément :

• #{π Є Sn(1-23) : π(n) = 1} = Bn-1 , n ≥ 1

• #{π Є Sn(1-23) : π(n) = k} = ∆k-2(Bn-1) , 2 ≤ k ≤ n

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Conclusion

• Ce résultat s’étend aux autres éléments de la classe de symétrie de 1-23 par miroir et complément.

• Pour les autres classes de symétrie, les études menées pour 3-12 et 2-13 mènent à des résultats similaires.

• Pour chaque motif généralisé : une nouvelle statistique.

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Conclusion

• Après l’étude pour un motif exclu, on se demande souvent ce qui se passe quand on étudie les permutations évitant simultanément plusieurs motifs.

• Première étude pour la paire de motifs 1-23 et 1-32 a donné une statistique plus faible… mais tout reste à explorer !

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