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Didactique Mathmatiques

Les nombres entiers.............................................................................................................................. 3Le premier apprentissage des nombres en maternelle et en dbut de CP ............................................. 3

Les comptences vises ............................................................................................................................ 3

Plusieurs types de problmes.................................................................................................................... 3Quelles procdures pour rsoudre ces problmes ? .................................................................................. 3

Quelques variables didactiques................................................................................................................. 4

Exemples dactivits pour lapprentissage de la suite des nombres ......................................................... 4

Apprentissage de la numration au cycle 2............................................................................................... 5

Les objectifs dapprentissage.................................................................................................................... 5

Les matriels de numration ..................................................................................................................... 5

Les difficults de lenseignement de la numration.................................................................................. 5

Exemples dactivits privilgiant le sens cardinal des nombres ............................................................... 6

Apprentissage de la numration au cycle 3............................................................................................... 7Les comptences vises ............................................................................................................................ 7

Difficults rencontres .............................................................................................................................. 7L'enseignement des nombres entier l'cole primaire ............................................................................ 7

Les nombres rationnels, dcimaux et rels ............................................................................ 8Les fractions au cycle 3 ............................................................................................................................... 8

Les comptences vises ............................................................................................................................ 8

Introduction la notion de fraction au cycle 3 ......................................................................................... 8

Fractions : modles implicites ou conceptions des lves ........................................................................ 8

Les nombres dcimaux au cycle 3.............................................................................................................. 9Introduction des nombres dcimaux......................................................................................................... 9

Nombres dcimaux : modles implicites ou conceptions des lves........................................................ 9

Calculs avec les fractions et les nombres dcimaux ............................................................................... 10

Calculs avec des nombres crits sous forme fractionnaire ..................................................................... 10Calculs avec des nombres dcimaux crits avec une virgule.................................................................. 10

Calcul pos des nombres dcimaux ........................................................................................................ 10

Des erreurs courantes dans les calculs de sommes, de diffrences ou de produits................................. 11

La comparaison des fractions et des nombres dcimaux ....................................................................... 11Comparaison des nombres dcimaux...................................................................................................... 11

Synthse.................................................................................................................................................. 12

L'enseignement des nombres rationnels, dcimaux et rels l'cole ................................................... 12

Oprations ................................................................................................................................................ 13Divers types de calcul ................................................................................................................................ 13

Calcul pos, calcul instrument .............................................................................................................. 13

Calcul mental .......................................................................................................................................... 13Calcul rflchi......................................................................................................................................... 14

Apprendre calculer ................................................................................................................................ 14Apprentissage de laddition .................................................................................................................... 14

Apprentissage du calcul multiplicatif ..................................................................................................... 15

Apprentissage du calcul soustractif ........................................................................................................ 16

Apprentissage de la division ................................................................................................................... 17

Les erreurs de calcul ................................................................................................................................. 18Des erreurs dans la prsentation des calculs........................................................................................... 18

Des erreurs dans la chronologie des calculs ........................................................................................... 18

Des erreurs dans les rsultats mmoriss ................................................................................................ 18

Des erreurs dans la gestion des retenues................................................................................................. 18

Autres erreurs.......................................................................................................................................... 19

Des pistes pour travailler sur les erreurs................................................................................................. 19

Le sens des oprations............................................................................................................................... 19Classification des problmes additifs...................................................................................................... 19

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Fonctions et Proportionnalit........................................................................................................ 20Les fonctions numriques lcole .......................................................................................................... 20Quels aspects de la proportionnalit prendre en compte ? ................................................................... 20

La proportionnalit peut tre examine dans 3 cadres diffrents............................................................ 20

Situations servant de support ces procdures....................................................................................... 20

Typologie des problmes poss .............................................................................................................. 21

Traitement de la proportionnalit ........................................................................................................... 21

Progression ............................................................................................................................................. 21Les procdures de rsolution lcole.................................................................................................... 22

Les principales variables didactiques...................................................................................................... 22

Les lieux de difficults rencontres par les lves.................................................................................. 22

Gomtrie.................................................................................................................................................. 23Les principales comptences demandes aux lves .............................................................................. 23

Reconnatre ............................................................................................................................................. 23

Construire ............................................................................................................................................... 23

Reproduire .............................................................................................................................................. 23

Dcrire .................................................................................................................................................... 23

Les principales difficults des lves et leur analyse .............................................................................. 23

Difficults lies aux connaissances spatiales .......................................................................................... 23

Difficults lies aux reprsentations des objets gomtriques................................................................ 24

Difficults lies aux tches de construction............................................................................................ 24

Difficults lies aux taches de reproduction ........................................................................................... 24

Difficults lies aux descriptions de figures ........................................................................................... 25

Le savoir gomtrique l'cole................................................................................................................ 25

Transformation ...................................................................................................................................... 26La symtrie axiale ..................................................................................................................................... 26

Recherche d'un axe de symtrie. ............................................................................................................. 26

Tracer le symtrique dune figure par rapport un axe.......................................................................... 27

L'agrandissement et la rduction............................................................................................................. 27L'enseignement des transformations l'cole primaire. ....................................................................... 27

Gomtrie dans l'espace .................................................................................................................. 28Les solides .................................................................................................................................................. 28

Identifier des proprits d'un solide........................................................................................................ 28

Reconnaissance de patrons ..................................................................................................................... 28

Construction de patrons .......................................................................................................................... 28

Les programmes ........................................................................................................................................ 28

Grandeurs et Mesures ........................................................................................................................ 29Enseignement des grandeurs et mesures................................................................................................. 29

Comptences vises ................................................................................................................................ 30Longueur et primtre ................................................................................................................................. 31

Principales comptences et difficults ................................................................................................. 31Conservation des longueurs .................................................................................................................... 31

Variables didactiques .............................................................................................................................. 31

Aires de figures planes .............................................................................................................................. 32Principales comptences et difficults.................................................................................................... 32

Variables didactiques .............................................................................................................................. 32

Autres grandeurs....................................................................................................................................... 32

Les volumes ............................................................................................................................................ 32

Les dures ............................................................................................................................................... 32

Les angles ............................................................................................................................................... 32

Les masses .............................................................................................................................................. 32

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Les nombres entiers

Le premier apprentissage des nombres en maternelle et en dbut deCP

Les comptences vises- reconnatre globalement et exprimer de trs petites quantits (de un trois ou quatre)

- reconnatre globalement et exprimer des petites quantits organises en configurations connues (doigts

de la main, constellations du d)

- connatre la comptine numrique orale au moins jusqu trente

- associer le nom des nombres connus avec leur criture chiffre en se rfrant une bande numrique

- dnombrer une quantit en utilisant la suite orale des nombres connus

- comparer des quantits en utilisant des procdures non numriques ou numriques

- raliser une collection qui comporte la mme quantit dobjets quune autre collection (visible ou non,

proche ou loigne) en utilisant des procdures non numriques ou numriques, oralement ou avec laide

de lcrit

Plusieurs types de problmespeuvent tre proposs aux enfants de cycle 1 et 2 : Problmes dquipotence (ou de comparaison de 2 collections) : cardinalit (le nombre exprime laquantit) : ex : construire B quipotent A collection de rfrence ; construire C partir de A de faon qu

chaque lment de A correspondent 2,3, n lments de C ; comparer la quantit A et B, Complter une

collection B pour quelle soit quipotente une collection A.

Problmes de reprage ordinal : les nombres sont utiliss comme mmoire de la position, pour sereprer dans une suite de case, dans des listes, etc.

Problmes danticipation dun rsultat : runion de 2 ou plusieurs collections, trouver le point darrivedun pion, tudier les effets des changes, les partages.

Quelles procdures pour rsoudre ces problmes ?

1.La correspondance terme terme : de celle ci dcoule la correspondance de paquet paquet.Variable didactique : taille des collections, Nature des objets

Difficults dutilisation : Les deux collections doivent tre proches lune de lautre.

Les lments peuvent ou non tre dplaables : si aucun lment nest dplaable, il faut trouver une

parade.

Certains objets posent problme cause de leur trop grande mobilit (perles, billes).

2.Lestimation : il en existe deux sortes : Evaluation approximative : les enfants rpugnent celle-ci car elle ne leur donne pas de certitude et risque

de produire une erreur.

Subitizing : reconnaissance immdiate de la quantit sans dnombrement explicite.

3.Le dnombrement : Suite de mots en correspondance terme terme avec les lments de la collectionconsidre, de telle sorte que le dernier mot permette de garder la mmoire de la quantit.

Il existe plusieurs procdures :

- par vision globale, les lves sont capables de reconnatre directement de trs petites quantits

- par perception visuelle, cest un terme plus gnral employ dans le cas o llve peut reconnatre laquantit sans la compter, le plus souvent parce que la collection est organise (disposition spatiale)

- par comptage un un qui consiste pointer successivement tous les lments dune collection et rciter paralllement la comptine des nombres

Plusieurs types de difficults peuvent tre rencontres dans le domaine du comptage :

- des difficults de mmorisation

-

des difficults synchroniser le pointage des objets et lnonc des mots de la comptine- des difficults distinguer les objets compts de ceux qui ne le sont pas encore

- limpossibilit dextraire le dernier mot cit

- ne pas comprendre que le dernier mot cit reprsente une quantit

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4.Autres procdures : Le recomptage : 5+3 on lve les doigts et on recompte, Le dcomptage (ou comptage en arrire), Le surcomptage (ou comptage en avant) : travaill par les matres au 2

mesemestre de GS : pour faire

voluer, on peut faire en sorte que la premire collection ne reste pas visible (au lieu de 2 ds on en lance un

et on recommence) : capacit compter non pas partir de 1 mais de 5 par exemple,

Le double comptage (faire avancer deux suites numriques dcales en mme temps) : on part dune

pice sur le numro 15 et on avance de 8 : 1 16, 2 17, 3 18 Cest lquivalent du surcomptage sans lesdoigts. Erreur habituelle : mauvais dpart, dcalage de l'une des suites, difficult grer simultanment les 2

comptages sans s'y perdre.

5.Les procdures de calcul : elles sont plus labores et plus conomiques. Cependant, elle ncessite lacomprhension de notre systme de dsignation.

Ex : 67+28 : diffrentes procdures :

Algorithme : appris et mmoris (technique opratoire de laddition),

Outil de calcul (calculatrice),

Calcul rflchi.

Quelques variables didactiquesLes collections: loignement ou proximit,

Taille.

Elments des collections : mobilit, Disposition,

Dimensions absolues et relatives.

Les nombres : domaine numrique (petit nombre, vie courante, grand nombre), Taille relative : cart entre nombre.

Mise en uvre : se servir soi-mme, Passer commande orale ou crite

Contexte : nombre de variables, oral ou crit, 1 2 3 lves.

Exemples dactivits pour lapprentissage de la suite des nombresLe travail sur la suite orale des nombres (la comptine) et sur la suite crite des nombres (bande numrique)

commenc en maternelle se poursuit au cycle 2 pour des nombres allant jusqu 1 000.

Au CP, lapprentissage des suites orales et crites sappuie sur les rgularits que lon peut observer loral

comme lcrit. Les lves doivent savoir passer de lcriture dun nombre celle de son suivant.

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Apprentissage de la numration au cycle 2

Les objectifs dapprentissage : Les comptences vises sont :

Dsignations orales et crites des nombres entiers naturels (infrieurs 1 000) :

- produire des suites orales et crites de 1 en 1, de 10 en 1O, de 100 en 1000 (en avant ou en arrire),

partir de nimporte quel nombre, en particulier citer le nombre qui suit ou qui prcde un nombre donn

- associer les dsignations orales et crites (en chiffres) des nombres

- dnombrer ou raliser une quantit en utilisant le comptage de un en un ou en utilisant des procds de

groupements et dchanges par dizaines et centaines

- comprendre et dterminer la valeur des chiffres en fonction de leur position dans lcriture dcimale

dun nombre

Ordre des nombres entiers naturels :

- comparer deux entiers naturels

- ranger des nombres en ordre croissant ou dcroissant

- situer un nombre dans une srie ordonne de nombres

- crire des encadrements dentiers entre deux dizaines ou entre deux centaines conscutives

- situer des nombres (ou reprer une position par un nombre) sur une ligne gradue de 1 en 1, de 10 en 10

ou de 100 en 100

Les matriels de numrationLenseignement de la numration sappuie toujours sur lutilisation de matriels permettant de reprsenter les

quantits et mettant en vidence les groupements de dix, de cent quelles contiennent. Les matriels

dessins sur les fiches de travail doivent correspondre des matriels rels que les lves peuvent manipuler.

Lenseignant a pour but dapprendre progressivement aux lves se passer du matriels (par les

reprsentations, puis la verbalisation) pour pouvoir la fin penser directement avec les nombres. Il existe

diffrentes sortes de matriels :

- des bchettes et des lastiques

- des cubes embotables

- le boulier

- les botes de Picbille (Japprends les maths, Retz-Nathan, 2001)

- les cubes, barres, plaques- des jetons de couleur (jaunes pour les units, rouges pour les dizaines, verts pour les centaines)

- des compteurs en carton (perc de trois fentres derrires lesquels se trouvent trois disques numrots)

- un abaque (planchettes avec trois tiges o on enfile des perles)

- la monnaie, les botes de craies, doeufs, les carnets de timbres

Les difficults de lenseignement de la numration- La discordance entre la numration chiffre et la numration verbale (orale ou crite) : la numration

chiffre obit un principe positionnel alors que la numration verbale suit dabord une logique additive

jusqu 69 puis devient plutt hybride

- Les difficults spcifiques de la numration verbale : mmoriser que vingt reprsente deux dix (cf.

chinois), assimiler les irrgularits

- Les difficults bien comprendre les critures chiffres : on peut utiliser les tableaux de numration

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Exemples dactivits privilgiant le sens cardinal des nombresLes tches habituellement proposes sont essentiellement de quatre types :

Variables Procdures

dnombrementdune

collection

- le cardinal de cette collection- la collection est manipulable ou non- la collection est prgroupe en paquets ou

non- dans le cas o la collection est prgroupe,ces paquets ont tous le mme cardinal ou non

- perception visuelle- comptage de 1 en 1, de 2 en 2- comptage de 5 en 5

- comptage de 10 en 10- criture directe du nombre aprsdnombrement des dizaines (et ventuellementdes centaines)- utilisation de laddition aprs dnombrementde sous-collections utilisation de lamultiplication

Constitutiondune

collection decardinal donn

- le nombre donn- le type de collection que llve doit constituer: matrielle ou dessine- le type de matriel mis la disposition deslves : quelconque ou prsentant unestructure particulire- utilisation de configurations standard (points,

doigts)

- comptage de 1 en 1- constitution de groupement par dix etcomptage de 10 en 10- utilisation de la dcomposition du nombre endizaines et units, ventuellement en centaines,dizaines et units

comparaisonde deux

collections

- le cardinal de chaque collection- les deux collections sont manipulables, uneseule, aucune- les collections sont proches ou loignes- les collections sont prgroupes en paquetsou non- dans le cas o elles sont toutes les deuxprgroupes, les groupements apparents sontles mmes dans les deux collections ou non

- vue- mise en correspondance terme terme deslments de chaque collection- mise en correspondance paquet par paquetdes lments de chaque collection- dnombrement de chaque collection

Constitutiondune

collectionquipotente une collection

donne

- le cardinal de la collection donne- la collection donne est manipulable ou non- la collection constituer est proche ou non dela collection donne- la collection donne est prsente laidedun matriel de numration structur parrapport 5, 10 ou 100

- copie visuelle- mise en correspondance terme terme deslments de la collection donne avec ceux dela collection construire- mise en correspondance paquet paquet deslments de la collection donne avec ceux dela collection construire- dnombrement de la collection donne puisconstitution dune collection ayant le mmenombre dlments

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Apprentissage de la numration au cycle 3

Les comptences visesDsignations orales et crites des nombres entiers naturels

- associer la dsignation orale et la dsignation crite (en chiffres), pour des nombres jusqu la classe

des millions

- dterminer la valeur de chacun des chiffres composant lcriture dun nombre entier en fonction de la

position

- donner diverses dcompositions dun nombre en utilisant 10, 100, 1000, etc.

- Retrouver rapidement lcriture chiffre dun nombre partir dune dcomposition utilisant 10, 100,

1000

- produire des suites orales et crites en 1 en 1, 10 en 10, 100 en 100, partir de nimporte quel nombre

Ordre sur les nombres entiers naturels

- comparer deux entiers naturels, utiliser les signes < et >

- ranger des nombres en ordre croissant ou dcroissant

- situer un nombre dans une srie ordonne de nombres

- crire des encadrements dentiers entre deux dizaines conscutives, deux centaines conscutives, deux

milliers conscutifs

-

situer prcisment ou approximativement des nombres sur une droite gradue de- 10 en 10, de 100 en 100

Difficults rencontres- Numration chiffre : Les rgles de fonctionnement au rang des millions sont les mmes, mais il est

impossible de reprsenter physiquement les quantits, et il est de plus en plus difficile dutiliser un matriel

de numration.

Les difficults sont donc davoir une perception raliste des ordres de grandeur, de connatre la

signification de chaque chiffre utilis dans lcriture dun nombre et de faire la distinction entre chiffre et

nombre.

Le tableau de numration est abandonn quand les lves sont capables de se reprer en dcoupant

lcriture dun nombre en tranches de trois chiffres.

- Numration verbale : Dans la numration avec des mots, de nouvelles difficults apparaissent puisque,au cycle 3, le passage de lcriture en lettres lcriture en chiffres (ou linverse) met en jeu, pour les

nombres suprieurs dix mille, une base de numration gale mille.

L'enseignement des nombres entier l'cole primaire

Dans lesprogrammes

Problmes et procdures Langage

Maternelle

Travail sur les quantits et lesnombres (suite orale jusqu'trente)

- Nombre, mmoire des quantits,- Collections quipotentes,- Comparaison de quantits : Procdures

personnelles et expertes (dnombrement)Problmes sur les quantits ou sur la file desnombres : Procdures personnelles

L'expression oraledes nombres(mots-nombres)

est dominante

Cycle 2

Nombres intrieurs 1000.Numration dcimale (criteet orale).Comparaison

- Dnombrer des quantits importantes- Utiliser la valeur des chiffres en fonction deleur position Groupements (et changes) itrs par 10- Suites de nombres de 1 en 1, 10 en 10- Graduations Algorithme de fabrication de ces suites- Comparaison des nombres procdure experte

L'expression criteen chiffres desnombres estdominante. Lepassage oral-chiffr doit trematris

Cycle 3

Nombres au-del de 1000Numration dcimale (crite

et orale)ComparaisonStructuration arithmtique.

Idem cycle 2, sur des nombres plus grands Idem cycle 2, surdes nombres plus

grands

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Les nombres rationnels, dcimaux et rels

Les fractions au cycle 3

Les comptences visesLintroduction de lenseignement des fractions a lieu au cycle 3, en gnral en classe de CM1. Les

comptences acqurir au cours du cycle 3 sont :

- utiliser, dans les cas simples, des fractions ou des sommes dentiers et de fractions pour coder des

mesures de longueurs ou daires, une unit tant choisie, ou peur construire un segment (ou une surface)

de longueur (ou daire) donne

- nommer les fractions en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixime, centime

- encadrer une fraction simple par deux entiers conscutifs

- crire une fraction sous forme de somme dun entier et dune fraction infrieure 1

Introduction la notion de fraction au cycle 3On peut donner plusieurs significations une criture fractionnaire : le partage dune unit ou un quotient.

La fraction peut tre prsente de plusieurs faons : codage dun partage dunit, introduction de nouveaux

nombres pour effectuer une mesure ou nouvelle criture pour coder une division.

Fractions : modles implicites ou conceptions des lves- Une fraction reprsente toujours une part dunit. Il devient alors difficile dans ce contexte-l de

comprendre ce quest une fraction suprieure lunit. La rsolution exclusive dexercice sans dpasser

lunit va instaurer des modles de fractions limits au codage du partage dune unit.

- Une fraction, cest deux nombres entiers spars par un trait. Cette conception vide de sens se traduit

par la prsence dcriture dans les productions dlves telles que 1/3 = 1,3 ou 5/2 = 5,2

- La signification des chiffres d'une criture virgule en fonction du rang qu'ils occupent n'est pas

assure, avec notamment : une confusion entre des mots comme dixime et dizaine, le fait que les motsdizaine, dixime dsignent des rangs, des positions plus que des valeurs : le dixime, c'est le premier

chiffre droite de la virgule et non ce que l'on obtient en partageant l'unit en dix !

Ces conceptions sont mises en vidence lorsquil sagit pour les lves de placer des fractions sur des droites

gradues.

Pour remdier de telles erreur, il faut dpasser lunit et donc travailler sur des fractions suprieures 1.

Lintroduction par les mesures de longueur est un moyen. Il est indispensable de faire placer les fractions sur

une droite numrique pour tayer le statut de nombre de la fraction, cela permet de les comparer aux

nombres entiers.

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Les nombres dcimaux au cycle 3

Au cycle 3, une toute premire approche des fractions est entreprise, dans le but daider la comprhension

des nombres dcimaux. Ltude des fractions et des nombres dcimaux sera poursuivie au collge.

Lapprentissage des fractions doit videmment avoir lieu avant celui des nombres dcimaux car les contenus

des programmes officiels 2002 sont trs clair : le nombre dcimal doit tre construit partir des fractions

dcimales.

En dehors de la connaissance des fractions dusage courant, le travail sur les fractions est essentiellement

destin donner du sens aux nombres dcimaux envisags comme fractions dcimales ou sommes de

fractions dcimales (fractions de dnominateurs 10, 100, 1000, etc.)

Introduction des nombres dcimauxAu cycle 3, les fractions dcimales sont rapidement introduites car elles sont indispensables dans la

construction des nombres dcimaux. En effet les programmes insistent sur les liens quil faut tablir entre

lcriture dun nombre sous la forme dune fraction dcimale et lcriture virgule du nombre dcimal.

La dmarche la plus rpandue est proche de la dfinition mathmatique des nombres dcimaux :

1re tape : Introduction des diximes, des centimes, parfois des millimes. Les lves sont amens

produire, lire, utiliser des criture du type 5/10, 54/100 Les supports utiliss sont les mesures de longueur,

daires avec une unit partage en dix, en cent, les graduations, le papier millimtr. Les fractions avec undnominateur gal 10, 100 ou 1000 sont appeles fractions dcimales.

2e tape : Etude des relations 54/100 = 5/10 + 4/100. Les lves apprennent mettre une fraction

dcimale sous la forme dune somme de fractions dcimales. Ils doivent aussi avoir bien compris que 10/100

= 1/10

3e tape : Introduction des critures virgules. La mthode la plus courante consiste dire aux lves

que les critures dcomposes vont partir de cette tape scrire avec une virgule, leur montrer la

nouvelle manire dcrire en sappuyant sur des exemples, ce passage des critures fractionnaires

dcomposes aux critures virgule tant prsent comme une convention. Pour cela, on se sert souvent du

tableau de numration. A partir de l, on parle de nombre virgule ou de nombres dcimaux.

Nombres dcimaux : modles implicites ou conceptions des lves

Avant lapprentissage des nombres dcimaux, les lves ont des connaissances numriques relevant dudomaine des nombres entiers mais aussi en provenance des usages sociaux des nombres dcimaux.

Au niveau des nombres entiers, ils savent beaucoup de choses qui ne vont pas se gnraliser au niveau des

nombres dcimaux :

- Tout nombre entier a un prdcesseur et un successeur

- Entre deux nombres entiers successifs, il ny a pas de nombre entier

- Entre deux nombres entiers, il y a un nombre fini de nombres entiers

- Plus un nombre entier a de chiffres, plus il est grand

On peut faire aussi lhypothse que les notations de mesure avec deux units (350 ; 4m 25 cm ; 3h30min)

renforcent lide selon laquelle ces nombres ont deux parties, chacune se comportant comme un entier.

Lintroduction des nombres dcimaux et de leurs critures virgule en CM1 va perturber certaines

connaissances antrieures sur les nombres entiers bien tablies chez les lves.

Pour viter les erreurs, il faut :

- Sassurer que les critures fractionnaires ont bien du sens pour les lves

- Chercher savoir comment les lves sy prennent pour comparer deux nombres dcimaux

- Graduer des demi-droites avec des nombres crits avec une virgule

- Revenir aux critures fractionnaires en cas derreur dans la comparaison de deux nombres crits

avec une virgule

- Utiliser des carrs quadrills non seulement pour reprsenter des fractions dcimales, mais aussi des

nombres crits avec une virgule.

- Si lerreur est produite dans un contexte de mesures, faire effectuer des changements dunits

- Sentraner lire les nombres dcimaux en faisant entendre les mots diximes, centimes, etc.

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Calculs avec les fractions et les nombres dcimaux

Calculs avec des nombres crits sous forme fractionnaireLes comptences acqurir sont :

- Utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des sommes dentiers et de fractions pour coder le

rsultat de mesurages de longueurs ou daires, une unit de mesure tant choisie explicitement

- Encadrer une fraction simple par deux entiers conscutifs

- Ecrire une fraction sous forme de somme dun entier et dune fraction infrieure 1

Calculs avec des nombres dcimaux crits avec une virguleLes comptences acqurir ( partir du troisime trimestre de CM1) sont :

A lcrit :

- Calculer des sommes ou des diffrences de nombres dcimaux par un calcul crit en ligne ou en

colonnes

- Calculer le produit dun dcimal par un entier par un calcul pos en colonne

- Multiplier ou diviser un dcimal par 10, 100 ou 1000

Avec la calculatrice :

- Utiliser une calculatrice pour dterminer la somme ou la diffrence de deux nombres dcimaux, le

produit dun entier par un dcimal- Utiliser une calculatrice pour dterminer le quotient entier ou dcimal (exact ou approch) de deux

entiers ou dun dcimal par un entier

Calcul mental ou rflchi :

- Connatre le complment lentier immdiatemt suprieur pr tt dcimal ayant un chiffre aprs la

virgule

- Organiser et effectuer des calculs du type 1,5+0,5 ou 2,8+0,2 ou 1,5x2 ou 0,5x3 en sappuyant sur les

rsultats mmoriss et en utilisant de faon implicite les proprits des nombres et des oprations

- Calculer certaines sommes de deux nombres dcimaux (avec un chiffre aprs la virgule), en

particulier ajouter un entier et un dcimal

- Dcomposer un nombre dcimal en utilisant lentier immdiatement infrieur

- Connatre quelques relations entre certains nombres entiers et dcimaux (par exemple le double de

2,5 ; 3,5 ; 7,5, etc.)- Evaluer lordre de grandeur dune somme ou dune diffrence de nombres dcimaux

- Utiliser la connaissance des tables pour calculer des produits simples dun nombre dcimal par un

nombre entier

Calcul pos des nombres dcimauxCest essentiellement dans la prsentation des calculs et dans la gestion de la virgule que les lves vont

acqurir de nouvelles comptences.

Calculs additifs et soustractifs poss

Pour ces deux types de calculs, les lves vont apprendre que lorsquon pose le calcul en colonne, on doit

aligner les virgules les unes sous les autres. Une fois le calcul pos, on enseigne aux lves calculer comme

sil ny avait pas de virgule, puis placer une virgule au rsultat en dessous des virgules des diffrents

termes de la somme ou de la diffrence.Calculs multiplicatifs poss

Pour le calcul en colonne du produit dun dcimal par un entier, la question de la prsentation ne se pose pas.

On prconise cependant parfois aux lves de toujours prendre le nombre entier comme multiplicateur. En ce

qui concerne la gestion de la virgule, les lves apprennent quon calcule comme sil sagissait du produit de

deux entiers. Une fois le rsultat obtenu, on place la virgule de manire avoir une partie dcimale de mme

longueur au rsultat que dans le nombre dcimal intervenant dans le calcul.

Remarques

On peut observer que lentre dans les calculs de sommes et de diffrences se fait souvent en utilisant des

calculs sur la monnaie. Cette approche permet aux lves de donner une plus grande signification aux calculs

quils effectuent. En revanche, les difficults lies la prsentation des calculs sont ludes puisque les prix

sont en gnral exprims avec des parties dcimales deux chiffres.

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Des erreurs courantes dans les calculs de sommes, de diffrences ou de produitsLe premier type derreur concerne la prsentation des calculs lorsque les parties dcimales sont de longueurs

distinctes. Le placement de la virgule au rsultat peut ensuite donner lieu diverses variantes : pas de

virgule, ou bien virgule place comme dans le nombre den haut ou comme dans le nombre den bas.

Pour viter ce type derreurs, on peut demander aux lves de placer les nombres dans un tableau de

numration. Une autre dmarche consiste faire complter par des zros la partie dcimale la plus courte

afin que les deux parties dcimales aient mme longueur. Cette mthode appele calibrage des parties

dcimales prsente lavantage dviter toute erreur de prsentation.Un autre type derreur se rencontre dans le calcul pos de diffrences lorsque la partie dcimale du nombre

que lon soustrait est plus longue. Le calibrage des parties dcimales peut encore constituer une solution

efficace pour viter cela.

Dans les calculs additifs et soustractifs, une autre erreur classique porte sur lajout spar de la partie entire

et de la partie dcimale considre comme un entier, notamment dans les calculs en ligne. Ce type derreur

rejoint la conception errone dans laquelle le dcimal est peru comme la juxtaposition de deux entiers

spars par une virgule.

La comparaison des fractions et des nombres dcimaux

La comparaison des nombres dcimaux occupe en effet une place importante au cycle 3 et les lves

apprennent un algorithme de comparaison de ces nombres exprims l'aide d'une criture virgule.

Deux procdures de comparaison peuvent tre enseignes. Toutes deux proposent d'abord de comparer les

parties entires. Dans le cas o elles sont diffrentes, la conclusion est immdiate. Dans le cas o elles sont

gales, deux dmarches sont possibles :

- Mettre les parties dcimales "au mme format"

- Examiner successivement chaque chiffre situ droite de la virgule.

Le second algorithme est prfrable au premier, car il ne ramne pas la comparaison de dcimaux la

comparaison d'entiers, assimilation qui est source d'erreur.

La comparaison des fractions n'est envisage au cycle 3 que dans des cas simples : fractions de

mme dnominateur (ou pouvant s'y ramener facilement), fractions pouvant tre situes sur une droite

gradue.

Comparaison des nombres dcimauxBeaucoup dlves comparent les parties dcimales comme sil sagissait dentiers : de 19 > 9, ils dduisent

19,19 > 19,9. Cela se traduit par certaines rgles tablies par les lves :

- Le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres aprs la virgule (4,3 < 4,06< 4,249). Cette

rgle est utilise par les lves qui assimilent un nombre dcimal un nombre entier muni d'une virgule

et par ceux qui interprtent l'criture virgule comme celle de deux nombres entiers spars par une

virgule.

- Le nombre le plus grand est celui qui a le moins de chiffres aprs la virgule. Cette rgle est

l'oppos de la prcdente (4,249 < 4,06 < 4,3). Elle est utilise par les lves qui ont compris que "plus

on se dplace vers la droite, plus les chiffres ont une faible valeur" Ils en dduisent que plus il y a de

chiffres " droite de la virgule", plus le nombre est petit !- Quand un nombre a une partie dcimale qui commence par zro, ce nombre est le plus petit

(4,06 < 4,3 < 4,249; application des rgles 1 et 3).

Ces rgles sappliquent en particulier pour deux nombres ayant la mme partie entire, l'lve considrant

alors seulement les chiffres de la partie dcimale. Pour llve,un nombre dcimal est constitu de deuxnombres entiers spars par une virgule. Beaucoup d'lves appliquent aux nombres dcimaux des rglesde comparaison valables seulement pour les nombres entiers.

Dans certains cas, lorsqu'on demande un nombre dcimal compris entre 3,4 et 3,5, certains lves

considrent qu'il n'est pas possible de rpondre car "3,4 et 3,5 se suivent"

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SynthseCes difficults sont rvlatrices des conceptions que les lves se sont forges propos des dcimaux, dans

le prolongement de leurs connaissances sur les naturels. Pour de nombreux lves, un nombre dcimal est

pens, partir des critures virgule, comme deux naturels autonomes spars par une virgule, voire comme

un seul naturel muni d'une virgule.

Ces conceptions peuvent avoir une origine de type pistmologique dans la mesure o les lves vont

prolonger naturellement sur les nombres dcimaux certaines proprits des entiers.

Mais les difficults rencontres peuvent avoir une origine de type didactique et provenir de choixd'enseignement. En s'appuyant par exemple, pour introduire les nombres dcimaux, sur le recodage des

mesures complexes s'exprimant au moyen de plusieurs units, certaines progressions induisent chez les

lves le prolongement sur les dcimaux des proprits des nombres entiers.

L'enseignement des nombres rationnels, dcimaux et rels l'cole

Dans lesprogrammes

Problmes et procdures Langage

Cycle 2Seuls les nombres entiers sont enseigns. Mais les lves sont dj confronts lancessit d'utiliser plusieurs units pour exprimer une mesure : expressions du type 2m25cm, 415c

Cycle 3

Fractions et nombres

dcimaux

- Comparaison,encadrement, intercalationsur les nombres dcimaux,- Valeur approche d'unnombre dcimal

- Pour exprimer une mesure l'aided'une seule unit,- Pour reprer des points sur unedemi-droite gradue,- Pour approcher certains quotientsd'entiers.

- Ecrituresfractionnaires etcritures dcimales,- Lecture couranteet lecture"signifiante".

L'tude des nombres dcimaux (et des fractions) l'cole primaire a pour objectif d'aider les lves donner

du sens aux critures virgule, matriser l'ordre et quelques calculs sur ces nombres. Mais l'apprentissagedes fractions et des nombres dcimaux n'est pas achev au cycle des approfondissements et se poursuit au

collge.

Au cycle 3, et plus particulirement au CM1 et au CM2, l'lve doit tre capable de dsigner un nombre

dcimal par diffrentes critures (criture virgule, criture fractionnaire). Il acquiert progressivement une

matrise de l'ordre sur les dcimaux (comparaison, encadrement), dveloppe une pratique du calcul exact ou

approch et aborde des problmes relevant de l'addition et de la soustraction de deux dcimaux, de la

multiplication d'un dcimal par un entier.

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Oprations

Divers types de calcul

Les documents dapplication dcrivent trois moyens de calcul : le calcul mental, le calcul

instrument (c'est--dire laide de machines), le calcul pos (techniques usuelles) lapprentissage du calcul

recouvre donc au moins ces trois aspects. Dautre part, il y est plusieurs fois question de calcul rflchi paropposition au calcul automatis (mental ou crit).

Au cycle 2, les comptences vises sont :- connatre ou reconstruire trs rapidement les rsultats des tables daddition de 1 9

- trouver rapidement le complment dun nombre la dizaine immdiatement suprieure

- connatre et utiliser les tables de multiplication par 2 et par 5

- savoir multiplier par 10

- calculer des sommes en ligne ou par addition pose en colonne

- organiser et traiter mentalement ou laide de lcrit des calculs additifs, soustractifs et

multiplicatifs, en sappuyant sur des rsultats mmoriss et en utilisant de faon implicite les proprits

des nombres et des oprations

- savoir trouver mentalement le rsultat numrique dun problme donnes simples- savoir utiliser bon escient la calculatrice

Au cycle 3, les comptences vises sont :- connatre les rsultats des tables daddition de 1 9 et de multiplication de 2 9

- additionner ou soustraire mentalement des dizaines entires pour des nombres infrieurs 100 ou

des centaines entires pour des nombres infrieurs 1 000

- multiplier ou diviser un nombre entier par 10, 100 ou 1000

- calculer la somme, la diffrence ou le produit de deux entiers par un calcul pos

- calculer le quotient et le reste de la division euclidienne dun entier dau plus quatre chiffres par un

entier dau plus deux chiffres par un calcul pos

- organiser et effectuer mentalement ou avec laide de lcrit, sur des nombres entiers, un calcul

additif, soustractif, multiplicatif ou de division, en sappuyant sur des rsultats mmoriss et en utilisant

de faon implicite les proprits des oprations et des nombres

- savoir utiliser non escient une calculatrice dans le cadre de la rsolution dun problme

numrique

- utiliser une calculatrice pour calculer des sommes, des diffrences, des produits de nombres entiers

ainsi que pour calculer un quotient entier ou dcimal

Par ailleurs, les textes relatifs au cycle 3 font une large place la rsolution de problmes.

Calcul pos, calcul instrument- Le calcul pos : Il sagit du calcul crit selon des techniques proches de celles que nous pouvons

continuer dutiliser en dehors de lcole.

- Le calcul instrument : Il sagit du calcul laide de calculatrices. La calculatrice peut tre un outilde calcul dans la rsolution de certains problmes : Ainsi, les lves doivent parfois mettre en uvre des

dmarches ncessitant plusieurs essais ; pour viter les erreurs qui parasiteraient la recherche, ils peuvent tre

autoriss utiliser une calculatrice. Les calculs peuvent aussi prendre un tour un peu technique, risquant de

dcourager ou garer des lves cause des occasions nombreuses derreurs ; la encore la calculatrice peut

tre conseill. Elle peut servir aussi pour la vrification des calculs en fin de rsolution dun problme.

Mais elle ne doit pas tre utilise de manire systmatique.

Calcul mentalLe calcul mental est ce quon appelle communment calcul de tte , cest--dire ralis sans recourir des

traces crites ni une calculatrice. Il va de la restitution de rsultats connus par coeur au calcul proprement

dit de sommes, produits, diffrences et quotients.

Il ny a pas opposition complte entre le calcul mental et le calcul crit. Le calcul crit intgre des momentsde calcul mental. Toutefois, lentranement au calcul mental devra se faire le plus souvent sans le secours de

lcrit pour que les lves ne cherchent pas simuler, reproduire mentalement les techniques crites.

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Calcul rflchiLe calcul rflchi soppose au calcul automatis. On parle de calcul rflchi quand on cherche mettre au

point des procds de calcul en se servant des proprits des nombres, des proprits des oprations, de

rsultats connus, et de techniques dj matrises.

Le calcul rflchi met en oeuvre la capacit utiliser les proprits des oprations. Il mobilise des

comptences relatives aux nombres entiers et font appel de nombreux rsultats mmoriss.

Apprendre calculer

Apprentissage de laddition1) Du comptage vers le calcul

Les premires situations additives sont rencontres par les lves lcole maternelle. Ds la moyenne

section et jusquen dbut de CP, les lves apprennent rsoudre des problmes additifs simples. Ils

rsolvent dabord ce type de problme par comptage. Peu peu, les lves vont voluer vers une techniqueplus efficace : ils surcomptent, cest--dire quils mmorisent lune des quantits et font dfiler les nombresde la file partir delle au fur et mesure quils dplient les doigts. Cette dmarche suppose des

comptences nouvelles, notamment la capacit dmarrer la rcitation de la file numrique partir de

nimporte quel nombre. Llve qui surcompte doit donc tre capable de donner le successeur immdiat dun

nombre quelconque dans la file sans avoir rciter toute la file depuis 1.

Pour des problmes soustractifs, lenfant peut dcompter ou compter rebours. Dans ce cas, llve doitconnatre la file numrique rebours, au moins dans un domaine numrique prcis et il doit aussi tre

capable dindiquer le prdcesseur immdiat dun nombre.

Une erreur courante lorsque les lves surcomptent ou dcomptent consiste dmarrer la rcitation de la file

depuis le nombre quils ont mmoris.

2) Premires critures additives : Au niveau des critures mathmatiques, laction ajouter des cubes dans

une bote qui en contient dj un nombre connu est dcrite par une galit additive partir des premiers

mois du CP. Ainsi, les symboles + et = sont associs des actions ou au rsultat de ces actions et prennent

ainsi leurs premires significations.

3) Dcompositions additives des nombres infrieurs 10 et apprentissage du rpertoire additifToujours en dbut de CP, les nombres compris entre 0 et 10 sont tudis sous langle de leurs diffrentes

dcompositions additives. Cette tude prpare dune part la construction de la table daddition, ou

rpertoire additif et dautre part la recherche de complments la dizaine.

La mmorisation du rpertoire additif passe par trois phases : 1) lutilisation des tables dans les calculs,

2) lentranement la reconstruction des rsultats non encore connus (phase importante et stalant sur une

grande dure), 3) lentranement la restitution rapide des rsultats contenus dans les tables

La mmorisation des tables dadditions nest pas termine chez tous les lves en fin de cycle 2.

4) Calcul rflchi : Ds le domaine du calcul rflchi, les lves peuvent tre entrans calculer des sommes

de plusieurs termes en saidant des multiples de 10. Un autre axe de travail peut porter sur lentranement

des lves dcomposer additivement certains termes dune somme pour en faciliter le calcul.

5) Calcul en ligne avec dcomposition en dizaines et units

Dans une dernire tape, avant de prsenter laddition en colonne, les lves apprennent ajouter desnombres en ligne, en dcomposant ceux-ci en dizaines et units, puis en ajoutant sparment les dizaines etles units avant de reconstituer le rsultat. [23 + 45 = (20 + 3) + (40 + 5) = (20 + 40) + (3 + 5) = 60 + 8 = 68]

Pour matrialiser cette faon de calculer, on a souvent recours des arbres de calcul.

6) Calcul pos en colonne

A partir de ltape prcdente, on peut introduire la prsentation des calculs en colonne comme une

rorganisation des calculs en ligne. Cette nouvelle prsentation des calculs est plus conomique sur le plandes critures mathmatiques, elle est plus compacte mais elle est plus dlicate faire fonctionner lorsque

le calcul comporte des retenues. Les lves apprennent drouler lalgorithme, cest--dire la suite des

calculs selon un rcitatif. Au niveau de la chronologie des apprentissages, ltude de la technique opratoireen colonne peut tre limite aux situations sans retenue enCP et tendue aux situations retenue en CE1.Lapprentissage de la technique opratoire sera poursuivie au cycle 3, en ltendant des nombres de plus en

plus grands et, galement, en proposant aux lves des sommes de plus de deux termes.

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Apprentissage du calcul multiplicatifLapprentissage du calcul multiplicatif dbute au CE1, mais la technique pose en colonne nest rellementenseigne qu partir du CE2, puis renforce au CM1.

1) Premires critures multiplicatives

Les premires situations multiplicatives proposes aux enfants consistent gnralement donner des petits

problmes rsoudre ou des activits de dnombrement de collections ranges par paquets quipotents oude manire rectangulaire. Ainsi les lves dcouvrent lcriture multiplicative comme reprsentant le nombre

dobjets dune collection range en lignes et colonnes, cest--dire de forme rectangulaire. Cela permetnotamment dinstaller la commutativit de lopration puisque la collection conserve le mme nombredlments. Par ailleurs, le fait dassocier les critures multiplicatives aux deux sommes itres fournit un

moyen de produire des rsultats multiplicatifs avant mme de commencer mmoriser des rsultats de table.

2) Apprentissage du rpertoire multiplicatif

Lapprentissage du rpertoire multiplicatifdbute au CE1 avec les tables de 2 et de 5. Les rsultats de cestables sont gnralement connus des lves, ces deux files numriques ayant souvent t rcites lors des

rituels mathmatiques en CP et CE1. Les lves tudient ensuite, souvent ds le CE1, la table de 4, puis celle

de 3, parfois considre comme plus difficile (mais les programmes de 2002 limitent lapprentissage des

tables de multiplication la table de 2, de 5 et de 10 pour le CE1).

Le reste du rpertoire multiplicatif (6 et au-del) est tudi au CE2. Il faut remarquer que grce la

commutativit, le nombre de rsultats mmoriser diminue rapidement quand on avance dans

lapprentissage des tables.

3) A propos de la lecture du signe x : Il faut faire comprendre trs vite aux lves que 5 x 6 = 6 x 5

4) Du calcul en ligne une premire prsentation en colonne

En mme temps que les enfants mmorisent leurs premiers rsultats de table, ils commencent effectuer des

multiplications en ligne avec un multiplicande deux chiffres (5 x 24). Ces calculs sont raliss en utilisantla dcomposition du multiplicande en dizaines et units (24 = 20 + 4) et la distributivit de la multiplication

sur laddition (5 x 24 = 5 x 20 + 5 x 4)

Aprs a, les lves sont prts, en fin de CE1, dcouvrir une premire prsentation en

colonne des calculs multiplicatifs. Cette premire approche du calcul pos en colonnevite de grer les retenues multiplicatives, il sagit essentiellement dune rorganisation

des calculs raliss jusque l en ligne. Lcriture des produits ( gauche) permet de

garder la trace de la signification des calculs effectus chaque tape.

5) Rgle des zros et passage un multiplicateur deux chiffres

Les situations de fin de CE1 se limitent au cas dun multiplicateur un seul chiffre. Le CE2 sera donc

lanne o les lves tudieront compltement la technique pose en colonne en voluant dune part vers des

multiplicateurs deux chiffres et en apprenant dautre part compacter la prsentation des calculs, ce qui

suppose de grer mentalement les retenues.En pralable ces volutions, les lves apprennent la rgle des zros . Celle-ci indique que lorsquonmultiplie un nombre par 10, il suffit de mettre un zro droite de ce nombre, pour 100 on met deux

zros, etc.La rgle des zros et son extension aux multiples de 10, 100 ou 1000 vont trouver leur intrt

lorsque le multiplicateur devient un nombre deux chiffres ou plus. En effet, quand on voudra

par exemple calculer 37x25, on dcomposera 25 en 20+5 et le produit 37x20 sera trait comme

37x2x10. Des calculs de ce type pourront tre mens en ligne avant dtre rorganiss en

colonne.

Enfin, dans une dernire tape, les lves devront compacter les lignes du calcul et apprendre traiter les

retenues issues des multiplications. Cette transition est facilite par lcriture des retenues en marge du calcul

multiplicatif.

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Apprentissage du calcul soustractif1) Considrations pralables : Il y a deux dmarches principales pour calculer da diffrence entre deuxnombres. La premire consiste retirer le plus petit nombre au plus grand. La deuxime consiste chercher

ce quil faut ajouter au plus petit pour atteindre le plus grand. La premire consiste reculer sur la droite

numrique de la valeur du petit nombre. La seconde mthode consiste avancer du petit nombre jusquau

plus grand.

2) Premires critures soustractives : Les critures a + b et a - b doivent tre ds le dpart, travailles

simultanment pour viter que lcriture a + b ne soit utilise de faon automatique car tant la seuledisponible.

3) Calcul rflchi de diffrences

Ce travail va occuper tout le cycle 2 et le dbut du CE2. Le but du travail est de faire le lien avec les

rsultats mmoriss de la table daddition. Cela suppose que les tables daddition soient bien travailles.Mais avant dy parvenir, les lves utilisent des procds soit bass sur des reprsentations dessines des

nombres, soit sur le comptage en avanant ou en reculant.

Ensuite, comme parfois les nombres ou les carts calculer peuvent tre grands, les mthodes bases sur les

dessins peuvent devenir laborieuses ou hasardeuses, cela peut pousser les lves leur abandon. Les divers

autres procds peuvent tre :

- Le comptage rebours assist des doigts

- Les rfrences la table daddition

- La mthode par retraits successifs

- Le comptage rebours de 10 en 10

- Un travail spar sur le chiffre des dizaines et celui des units

- Une recherche du complment n0 en prenant appui sur les multiples de 10

- Le comptage en avanant

Le choix de tel ou tel procd dpend de plusieurs paramtres : la taille relative des nombres, du contexte

dans lequel cette diffrence est produite, des connaissances des lves, etc. Lenseignement de ces divers

procds se fait par le biais de problmes et grce au matriel de numration qui permet de les expliquer.

4) Les techniques poses en colonne

Laddition trou : Cest une premire manire de calculer une diffrence en colonne qui prolongeassez naturellement les mthodes de calcul rflchi bases sur la recherche du complment. Dans cettetechnique, les lves remplacent la soustraction qui leur est propose par une addition dont on connat lun

des termes et le rsultat. Ensuite les lves sentranent dvelopper ce raisonnement sans crire laddition

trou, mais en visualisant et en crivant directement sous la barre le rsultat des chiffres obtenus.

Dans cette technique de calcul, on voit seulement apparatre une retenue sur le nombre que lon retire : cette

technique est donc parfois appele technique de la retenue en bas .

Cette technique qui a longtemps t trs rpandue fait lobjet de critiques sur le plan didactique. On lui

reproche de trop relier addition et soustraction et de ne pas donner cette opration son vritable statut.

La technique classique pose en colonne : La technique classique repose sur lide de retirer lenombre le plus petit au plus grand. Dans ce but, les lves vont apprendre retirer, rang aprs rang, lechiffre den bas au chiffre den haut. Lorsqu un rang donn le chiffre den haut est infrieur celui den

bas, on ajoute dix units du rang considr au chiffre den haut et une unit au chiffre du rang suivant en bas.Cette technique repose sur la proprit des diffrences gales puisquon ajoute le mme nombre 10 auxdeux termes de la diffrence, ce qui ne modifie pas le rsultat.

On doit observer que la comprhension de la technique classique est souvent problmatique car la proprit

des diffrences gales reste souvent abstraite. Si cette technique classique fait lobjet dun apprentissage

approfondi en CE2, elle est largement reprise au premier trimestre de CM1 car il est indispensable de la

matriser correctement avant daborder la technique opratoire de la division.

La technique anglo-saxonne : Dans ces pays on enseigne une technique qui sappuie fortement sur

des notions relatives la numration pour traiter les situations retenue. Le calcul est pos en colonne de la

mme manire. En revanche, lorsquil sagit de retirer 8 units 5 units, les lves constatent que cela est

impossible. On va alors prlever une dizaine au rang des dizaines du grand nombre et transformer cette

dizaine en 10 units, qui viennent sajouter au 5 units disponibles, on peut alors retirer les 8 units.

Cette technique utilise donc le principe dchange dune dizaine contre dix units pour traiter les retenues.Cette technique est souvent considre comme plus simple comprendre et assimiler pour les lves.

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Apprentissage de la division : Pour rsoudre les problmes de division, type de procdures possibles

Procdures images :- Dessins figuratifs

- Dessins schmatiss

Procdures progressives fondes sur laddition ou la soustraction :- Addition pas pas

12+12=24+12=36+12=48Ou

12+12+12+12+12=60

12+12+12+12+12=60

60+60=120

- Soustraction pas pas 273-12=261

261-12=249

249-12=237

- Addition ou soustraction de multiples du diviseur

Toutes ces procdures peuvent conduire la russite, condition que les nombres ne soient pas trop grands.

Trs souvent, la solution dun lve utilise simultanment plusieurs de ces procdures.

Procdures multiplicatives (rsolution dquations de type ax+b) :- Pose effective de la multiplication trou

- Essais de multiples successifs du diviseur1210=120 1211=132

1212=144 1213=156

- Essais par approches successives

Procdures mixtes (utilisation de la multiplication et de la soustraction) :- Quotients partiels au hasard

- Utilisation de multiples de 10,100,

Llve fait un essai de multiple (infrieur au dividende), calcule lcart entre ce produit et le dividende, puis

recommence avec lcart. Il obtient une suite de quotients partiels quil doit ensuite additionner.

Utilisation de la division :Calcul de la division de 273/12 ou utilisation dune calculatrice : Llve reconnat le modle expert dont

relve le problme propos. La technique classique de la division va alors apparatre comme une version plus

compacte des calculs prcdents. Les enfants apprennent gnralement rechercher le nombre de chiffres du

quotient avant de dmarrer leur division. Cette tape supplmentaire nest pas indispensable au calcul duquotient et du reste mais elle a pour but dviter certaines erreurs frquemment commises par les lves.

A la sortie de lcole primaire, il est frquent que les lves laissent les soustractions apparentes dans le

calcul de la division alors que dans la technique classique elles sont en principe effectues mentalement.

La procdure devient peu conomique et difficile si les

nombres deviennent grands. Il peut sagir de procdure

dentre dans le problme : COMPREHENSION.

Suite dgalits incorrectes du point de vue mathmatiques.

Simulation des remplissages des botes une une.

Bilans partiels du nombre dufs utiliss.

Cette procdure est vite coteuse avec des nombres assez

grands. Risque de SURCHARGE COGNITIVE

48

+48

96

+48144

273

- 48

225

- 48177

Amlioration des procdures prcdentes. Cette procdure

devient plus efficace lorsque llve lide dutiliser des

multiples de 10 (et plus tard de 100) ce qui allge la charge

de calcul.

12

273

Procdure dlicate lorsque le reste nest pas nul mais elle peut

tre une procdure dentre vers les suivantes.

Procdure fastidieuse si llve commence son exploration tropbas : elle est souvent abandonne au profit de la suivante.

12

30

360

12

25

300

12

45

180

Lefficacit dpend de lapproximation de dpart et des ajustements

successifs en fonction de lcart de rsultat obtenu avec le nombre

cible (dividende). Cette procdure conduit souvent larussite.

12

15

180

273

- 180

12

7

93

- 84

12

20

240

273

- 240

33

12

2

24

93

- 24

9

Ces types de procdures peuvent

dboucher sur une prsentation

traditionnelle en potence :

273 12-240 20

33

- 24 2

9

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Les erreurs de calcul

Des erreurs dans la prsentation des calculsCe type derreurs concerne essentiellement laddition et la soustraction. Il sagit dun alignement erron deschiffres lorsque le calcul est pos en colonne et que les nombres utiliss nont pas la mme longueur. Dans

cette prsentation, llve ne donne pas leur signification exacte aux chiffres qui composent les nombres.

Cela prouve que pour ces lves, le nombre est constitu dune succession de chiffres que lon peut ajouter

aux chiffres dun autre nombre sans que ces chiffres prennent une valeur diffrente selon leur position dans

lcriture des nombres. Les alignements incorrects des chiffres dans les calculs additifs et soustractifsproviennent aussi souvent dune certaine maladresse des lves dans lcriture des nombres. Les lves

crivent parfois des chiffres de tailles diffrentes et donc des dcalages apparaissent.

Des erreurs dans la chronologie des calculsCe deuxime type derreur (calculer de gauche droite) peut concerner les quatre oprations mais il est plus

particulirement frquent pour laddition et la soustraction, lorsque les deux termes de lopration ont le

mme nombre de chiffres. Ainsi certains lves mettent en uvre une chronologie errone qui consiste calculer de gauche droite, comme on lit. Cela pose des problmes dans la gestion des retenues.

On peut noter que la division est la seule opration dans laquelle on calcule de gauche droite.

Des erreurs dans les rsultats mmorissLa production de rsultats exacts laide des techniques opratoires repose pour partie sur la mmorisationde rpertoires (table) en particulier additif et multiplicatif. De nombreuses erreurs observes chez les lves

sont lies une matrise insuffisante de ces rpertoires. Les rsultats peuvent tre mal mmoriss ou non

mmoriss, ce qui ncessite un travail de reconstruction. Ces erreurs sont trs personnelles.

Des erreurs dans la gestion des retenuesLa gestion des retenues dans les additions, les soustractions et les multiplications est une des sources

essentielles derreur chez les lves.

1) Les retenues daddition

- Les retenues sont tout simplement oublies ; llve reporte chaque fois le chiffre de droite de son

rsultat partiel- La retenue est crite mais llve nen tient pas compte

- A linverse, llve note systmatiquement des retenues (relles ou pas) et les intgre ds ses calculs

- Certains lves font une confusion relative au chiffre quils doivent retenir, ils notent le chiffredes dizaines au rsultat et gardent en retenue celui des units

- Dans les sommes de plus de deux termes, quand les retenues dpassent 1 (continuent noter une

retenue gale 1)

2) Les retenues de soustraction

- Loubli de la retenue au rang qui suit celui sur lequel llve travaille- Reporter la retenue au rang des dizaines comme on le fait pour une addition

- Retirer chaque rang le chiffre le plus grand, ce qui vite la gestion des retenues, les erreurs sont

plus frquentes quand le nombre du haut scrit avec un zro

3) Les retenues de multiplication

La gestion des retenues dans la multiplication est plus complexe car les retenues peuvent prendre toutes les

valeurs entre 1 et 8 et car la retenue sajoute un produit, on alterne donc multiplication et addition en cours

de calcul.

- La retenue est ajoute avant de calculer le produit- La retenue est traite comme dans une addition, cette situation est renforce par la prsence dune

retenue gale 1

- Loubli des retenues- La juxtaposition des rsultats partiels (ce qui permet de ne pas grer les retenues)

Il est gnralement demand aux lves de noter les retenues lextrieur du calcul et de les barrer

lorsquelles ont t prises en compte (afin dviter des confusions quand le calcul gnre plusieurs retenues).

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Autres erreurs1) Pour la multiplication

Lorsque le multiplicateur est un nombre suprieur 10, cest--dire quil comporte deux chiffres ou plus, les

lves doivent grer des dcalages lorsque lon passe du rang des dizaines du multiplicateur, puis au rangdes centaines, etc. Loubli des dcalages successifs est une erreur classique. On observe une variante de ce

type derreur lorsque le multiplicateur comporte un zro dans son criture un rang autre que celui des

units. Certains lves oublient alors le dcalage supplmentaire li la prsence de ce zro.

2) Pour la divisionOn peut reprer des erreurs spcifiques lies la recherche des chiffres du quotient.Llve peut faire des essais successifs pour la recherche des chiffres du quotient mais oublier de supprimerles essais infructueux. La recherche pralable du nombre de chiffres du quotient vise viter ce type

derreurs. On pourrait aussi demander llve de contrler son rsultat en multipliant le quotient par lediviseur, puis en ajoutant le reste et en comparant le rsultat au dividende.

Il arrive que des lves se trompent soit du fait derreurs de calcul ou de rsultats mal mmoriss, soit du fait

dune mauvaise comprhension de la technique de la division.

La prsence dun zro au quotient peut aussi conduire des erreurs.

Des pistes pour travailler sur les erreursIl est primordial de sassurer auprs de llve qui a produit une erreur que celle-ci est systmatique et quil

ne sagit pas dune tourderie due la fatigue ou la distraction. Il suffit de lui proposer des calculs du

mme type, dobserver cet lve et de lui demander de verbaliser ce quil fait.

Il est important aussi que llve prenne conscience de son erreur en calculant dune autre manire si cestpossible ou en lui faisant chercher un ordre de grandeur du rsultat (au cycle 3).

Si lerreur de calcul est produite loccasion dun problme, le contexte peut parfois servir montrer que le

rsultat erron nest pas vraisemblable. Cette remarque doit pousser ne pas donner que des calculs

dcontextualiss aux lves mme quand on a en vue uniquement la matrise technique.

Pour la soustraction et la division, il existe des preuves (laddition et la multiplication), elles peuvent tredemandes systmatiquement pendant un certain temps.

Les tableaux de numration (pour laddition et la soustraction) peuvent aider les lves mieux prsenterleur calcul et leur rappellent la signification de chacun des chiffres quils cherchent.

En cas de difficult prvisible en matire de rsultats mmoriss, on pourra mettre disposition des lvesdes tables sur support papier afin de ne pas entraver compltement lapprentissage des techniques elles-mmes. Cependant, cette solution doit rester provisoire. La mmorisation des rpertoires relve dun travail

au quotidien et des activits rituelles sont indispensables aussi bien au cycle 2 quau cycle 3.

Le sens des oprations

Classification des problmes additifs 1re catgorie de problmes : les problmes dits de composition dtats dans lesquels on associe deux

quantits ou deux mesures pour en obtenir une troisime. Ils se caractrisent entre autres par le fait quils

dcrivent une situation statique. Il ny a pas de chronologie dans la situation propose.

2e catgorie de problmes : les problmes dits de transformation dtats dans lesquels une quantit, uneposition ou une mesure subissent un changement et deviennent ainsi une autre quantit, une autre mesure ou

une autre position. Ces problmes dcrivent des situations dynamiques o interviennent une chronologie.

3e catgorie de problmes : les problmes dits de comparaison dtats dans lesquels on compare deux

quantits, deux positions ou deux mesures. Dans ce type de problmes, on peut connatre les deux tats et

chercher la comparaison ou bien connatre la comparaison et un tat et chercher lautre tat.

4e catgorie de problmes : les problmes dits de composition de transformations . Dans ce cas, les

transformations sappliquent successivement une quantit, une mesure ou une position pour donner une

transformation globale. Ces problmes sont de nature dynamique avec prsence dune chronologie.

5e et 6e catgories de problmes : les problmes dits de composition de comparaisons dune part et les

problmes dits de composition dune comparaison et dune transformation dautre part.

A lintrieur dune mme classe de problmes, certains sont plus difficiles que dautres en fonction de la

nature de linconnue. Il faut prendre galement en compte la nature positive ou ngative dunetransformation ou dune comparaison ou bien la cohrence entre certains mots ou expressions langagires

avec lopration mettre en oeuvre.

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Fonctions et Proportionnalit

Les fonctions numriques lcole

Le mot fonction napparat pas dans les programmes, cependant, une notion sous-jacente diffrentscontenus y figure :

Cycle 2

- Connatre les doubles et moitis de nombres dusage courant : doubles des nombres infrieurs 10

[au CP], des dizaines entires infrieures 100 et moiti de 2, 4, 6, 8, 10, 20, 40, 60, 80 [au CE1]

- Connatre et utiliser les tables de multiplication par deux et cinq, savoir multiplier par 10 [au CE1]

- Connatre les units usuelles et les relations qui les lient : cm et m, kg et g [au CE1]

Cycle 3

- Connatre et utiliser le triple, tiers, quadruple, quart

- Dterminer les trois quarts, deux tiers, trois demis dun nombre entier [au CM2]

- Les lves sont confronts la lecture, linterprtation critique et la construction de divers modes

de reprsentation (listes, tableaux, diagrammes, graphiques)

- Les situations de construction de diagrammes ou graphiques se limitent des cas simples ou ayantrecours loutil informatique

Les reprsentations graphiques que lon trouve dans les manuels sont varies. La distinction diagramme /

graphique ny est pas vraiment pose. Dans les sances dintroduction, elles font souvent rfrence des

contextes proches des lves.

Il arrive que diffrents types de fonctions soient prsents, mais les lves ne se rendront pas compte de leur

prsence et aucun travail particulier nest attendu sur le thme des fonctions

Quels aspects de la proportionnalit prendre en compte ?

La proportionnalit peut tre examine dans 3 cadres diffrents- Le cadre des grandeurs : utilisation des nombres concrets , correspondant des quantits ou

mesures. Dans le cadre des grandeurs, il est possible de donner du sens certaines manipulations sur les

nombres qui interviennent,

- Le cadre numrique : le nombre est manipul de manire abstraite,- Le cadre graphique : utilisation de reprsentations graphiques.

A l'cole primaire, seul un travail dans le premier cadre est envisag

Situations servant de support ces procdures- Situations o la proportionnalit intervient par convention sociale : souvent dans des problmesde nature conomique (ex : relation entre prix et quantit) : le prix de la viande est souvent proportionnel

la masse achete, mais en revanche le prix payer pour affranchir une lettre n'est pas proportionnel lamasse.

Il s'agit le plus souvent de situations de la vie courante. Les lves peuvent ou non connatre la

convention retenue qui n'est, de plus, souvent vrifie que dans certaines limites. Pour ce type de

situation, ou bien les lves sont pralablement informs, ou bien le fait que la proportionnalit a t

retenue doit tre annonc explicitement dans lnonc.

- Situations o la proportionnalit permet une modlisation dun phnomne : En physique : masse suspendue et allongement ressort, engrenage

En gomtrie : longueur et diamtre du cercle, ct et diagonale du carr.

Recours lexprimentation ou des thormes.

- Situation o la proportionnalit intervient comme outil pour dfinir de nombreux concepts : Laproportionnalit est alors utilise pour produire de nouvelles notions : chelle, pourcentage, vitesse

moyenne Ces notions sont construites en supposant la proportionnalit.

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Typologie des problmes poss- Problmes de 4me proportionnelle, avec recherche de l'un des nombres manquant, dans unerelation qui met en jeu deux couples de nombres.

- Problmes de comparaison de deux mlanges.- Problmes de double proportionnalit : cas dune variable proportionnelle 2 autres variables quipeuvent tre modifies de manire indpendante.

- Problmes de reconnaissance de la proportionnalit.

- Problmes de passage dun cadre un autre.

Traitement de la proportionnalit

ProgressionLes premiers problmes de proportionnalit rencontrs dans la scolarit sont des problmes de

multiplication et des problmes de division. Proposs avant tout travail sur ces oprations ds le CE1, ils sont

rsolus, comme lindiquent les programmes, laide de procdures personnelles. Bien quil sagisse de

problmes de proportionnalit, ce mot nest pas utilis ce niveau.

La mise en place de la multiplication au CE1 offre la possibilit de recourir une procdure experte pour

lexpression du rsultat ( laide dune multiplication) et seulement dans une moindre mesure pour son calculpuisque la technique opratoire de la multiplication est longue acqurir.

Le travail dans le champ multiplicatif avec la constitution des rpertoires multiplicatifs et de tables de

multiplications donne loccasion de rencontrer des listes de nombres proportionnels et un travail est conduit

sur la notion de multiple.

Lintroduction dun langage spcifique de la proportionnalit na sa place quaprs rsolution de

nombreux problmes de proportionnalit qui ont pour but de conduire les lves la rflexion sur les

mthodes pertinentes. Cette introduction ne peut se faire qu la condition davoir reconnu lidentit de la

structure sous-jacente de ces problmes. Le mot proportionnalit peut alors tre introduit par lenseignant, il

sert alors tiqueter cette catgorie de problmes. Ceci na de sens qu la condition davoir rencontr des

problmes de non proportionnalit et dtre capable de les diffrencier.

Au CM1, on attend toujours des lves quils sachent rsoudre des problmes relevant de la

proportionnalit en utilisant des raisonnements personnels appropris . A ce niveau, la division nest engnral pas suffisamment matrise pour que les lves lutilisent. Il en est de mme des dcimaux.

Les langages utiliss jusqu prsent taient limits la schmatisation figurative et au langage arithmtique.

Pendant quelques annes, le tableau de nombre a t le langage privilgi et quasi exclusif de la

proportionnalit. Cest un excellent langage pour au moins deux raisons : il permet de consigner de faon

simple, raisonn et lexploitation facile des sries de nombres fonctions lune de lautre et il est possible dy

faire des oprations simples. Toutefois, les programmes prcisent : lutilisation de tableaux de nombres

permet dorganiser des informations dans de nombreuses situations. Ces outils ne doivent pas tre associs

systmatiquement la proportionnalit.

Le deuxime point au programme du CM1 est dapprendre situer prcisment ou approximativement des

nombres sur une droite gradue de 10 en 10, de 100 en 100 . Ces catgories de problmes sont rsolues

laide de procdures personnelles.

Au CM2, cest la classe o le travail sur les problmes relatifs aux pourcentages, aux chelles, auxvitesses moyennes ou aux conversions dunit se structure tout en laissant une grande place aux procdures

personnelles. La deuxime nouveaut est le travail sur les agrandissement et les rductions de figure :

ralisation dans des cas simples et contrle. La construction de diagrammes et graphiques reste au stade de

lapproche lcole.

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Les procdures de rsolution lcole

Il existe de nombreuses procdures de rsolution de problme de proportionnalit :- Utilisation des proprits de linarit : Ex : 6 m cotent 21 F donc 3 m cotent 10,50F (la moitidu prix) et 9 m cotent 31,50 F (le prix de 6m + le prix de 3m).

- Passage par lunit.- Utilisation dun rapport scalaire : passer directement de 6 9 par un rapport scalaire (ici en

multipliant 6 par 3/2).

- Utilisation des rapports gaux.- Procdure dite par les produits en croix.- Utilisation du coefficient de proportionnalit.- Utilisation dun graphique.

Deux types de procdures peuvent tre mises en uvre par les lves de lcole primaire :- Celles qui sappuient sur les proprits additives et multiplicatives de la linarit (avec casparticulier du passage lunit),

- Celles qui sappuient sur la mise en vidence et lutilisation du coefficient de proportionnalit,Le recours ces diverses procdures dpend des valeurs choisies pour les variables de la situation voque,

notamment les variables numriques.

Les principales variables didactiques- Relations entre les nombres donns :

Le coefficient de proportionnalit entre les grandeurs en jeu peut ou non tre choisi pour

favoriser le recours aux procdures qui sappuient sur son identification : entier dcimal (simple

ou non), fractionnaire.

Les rapports de linarit, entre nombres relevant dune mme grandeur.

- Types de nombres : favoriser ou non le calcul mental,- Nombre de couples donns, faciliter la mise en vidence du coefficient de proportionnalit- Le type de situation qui, en particulier, permet ou non une validation par le milieu.- La familiarit des lves avec la situation voque : une situation familire aux lves favorise lamise en uvre de raisonnements adapts et le control des rsultats obtenus

Les lieux de difficults rencontres par les lves- Il peut y avoir des difficults identifier les grandeurs en relation dans les situationsproposes. Il est ncessaire que cette tche soit le plus souvent assume par les lves, et donc que la

situation ne soit pas dj schmatise sous forme de tableau. La ralisation du tableau ou dune autre

organisation des donnes est, en effet, une occasion de prendre conscience des grandeurs en relation.

- Il peut avoir des difficults reconnatre si la situation relve du modle proportionnel ou non.Certains pensent par exemple tord que toute situation o les donnes numriques sont organises en

tableau relve toujours de la proportionnalit. Cette dernire est rarement signale explicitement dans

lnonc et llve doit donc faire appel des connaissances extrieures (exprience sociale par exemple)

ou deviner lintention du matre qui lui a propos le problme (contrat didactique).

Pour de nombreux lves, les ides d'augmentation et de diminution sont lies aux notions d'addition et

de soustraction, ce qui constitue un obstacle la reconnaissance du modle proportionnel.

- La difficult peut galement provenir du fait quil faut choisir une procdure de rsolution parmi toutes celles qui sont possibles. Les domaines numriques dans lesquels sont choisis les nombres

de lnonc et les relations entre ces nombres jouent un rle dterminant dans le choix dune procdure :

ce sont des variables didactiques dcisives.

- Mise en uvre de la procdure choisie. L'excution des calculs peut aussi tre source de difficult.

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Gomtrie

Les principales comptences demandes aux lves

Reconnatre

Cette reconnaissance peut se faire vue d'il ou avec des instruments. Il peut s'agir de reconnatre une figureisole ou une figure lmentaire dans une figure complexe.

On peut distinguer 2 types de reconnaissance :

- La reconnaissance perceptive, qui est la reconnaissance vue d'il,

- La reconnaissance instrumente, qui passe par la reconnaissance des proprits caractristiques de la

figure.

ConstruireLobjet construire nest pas prsent, on dispose seulement dune description de lobjet. Tracer une figure

non prsente suppose des comptences manipulatoires, mais aussi des aptitudes mobiliser des imagesmentales anticipatrices.Principales variables dans les tches de construction :

- Taille de lespace.

- Support : papier blanc ou quadrill.

- Instruments disponibles.

- Spcificit des objets construire ou reprsenter : taille, complexit de la figure, orientation

(standard ou non), chronologie des tracs, prsence ou non de sur-figure.

- Proximit de la figure reproduire.

ReproduireDans le cas de la reproduction dune figure complexe (association de figures lmentaires) sur du papierblanc avec des instruments classiques, llve doit :

- Reprer dans la figure des figures lmentaires,

- Reprer les relations entre ces diffrentes figures.- Dfinir une chronologie pour lexcution des diffrents tracs.

- Excuter ces diffrent

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