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Jacques TANO (01 28 21 80) / [email protected] Page 1 1) Construction du graphe MPM On représente le graphe ordonné par niveaux On calcule les dates de début au plus tôt et les dates de début au plus tard de toutes les tâches. Remplacer chaque sommet du graphe par un rectangle du type : T 2) Tâches critiques et chemin critique Définition : On appelle tâche critique, toute tâche dont la date de début au plus tôt coïncide avec sa date de début au plus tard. est critique si et seulement si On appelle chemin critique, tout chemin qui ne comporte que des tâches critiques. Remarque importante : toute tâche critique est à surveiller de très près, car tout retard sur son démarrage entraîne absolument un retard sur la fin du projet. 3) Marges totales et marges libres des tâches Définition : La marge totale d’une tâche est le retard maximum que l’on peut observer sur le démarrage de cette tâche, sans retarder la fin du projet. Elle est définie par : Définition : La marge libre d’une tâche est le retard maximum que l’on peut observer sur le démarrage de cette tâche, sans retarder le démarrage des tâches qui la suivent. Elle est définie par : Remarque : Application : Problème de construction de l’entrepôt. Tâches A B C D E F G H I J Durées en jours 4 2 1 1 2 2 2 10 4 1 Tâches antérieures - - A A ;B A A ;C D ;F A ;E G H ;I niveaux 0 0 1 1 1 2 3 2 4 5
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Exos corrigés MPM
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Jacques TANO (01 28 21 80) / [email protected] Page 1
1) Construction du graphe MPM
� On représente le graphe ordonné par niveaux
� On calcule les dates de début au plus tôt et les dates de début au plus tard de
toutes les tâches.
� Remplacer chaque sommet du graphe par un rectangle du type :
����� T����
��
2) Tâches critiques et chemin critique
Définition : On appelle tâche critique, toute tâche dont la date de début au plus tôt coïncide
avec sa date de début au plus tard.
�� est critique si et seulement si ���� �����
On appelle chemin critique, tout chemin qui ne comporte que des tâches critiques.
Remarque importante : toute tâche critique est à surveiller de très près, car tout retard sur
son démarrage entraîne absolument un retard sur la fin du projet.
3) Marges totales et marges libres des tâches
Définition : La marge totale d’une tâche �� est le retard maximum que l’on peut observer sur
le démarrage de cette tâche, sans retarder la fin du projet. Elle est définie par :
������ ����� ����
Définition : La marge libre d’une tâche �� est le retard maximum que l’on peut observer sur
le démarrage de cette tâche, sans retarder le démarrage des tâches qui la suivent. Elle est
définie par :
������ �����������
����� ���� ����
Remarque : ������ � ������
Application : Problème de construction de l’entrepôt.
Tâches A B C D E F G H I J
Durées
en jours
4 2 1 1 2 2 2 10 4 1
Tâches
antérieures
- - A A ;B A A ;C D ;F A ;E G H ;I
niveaux 0 0 1 1 1 2 3 2 4 5
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Calcul des dates de début au plus tôt :
���� ���� 0 ; ���� ���� � ! 4 ; ��#� ���� � ! 4 ; ��$� %&� '���� � !���� � ( 4) ��*� ���� � + 6 ; ��-� ��#� � . 5
��0� %&� '��-� � 1��$� � 2 7) ; ��4� ��0� � 5 9
��7� %&� ' ��4� � 8��*� � 9 16) ; ��-4;� ��7� � < 17
Calcul des dates de début au plus tard :
=�-4;� ��-4;� 17 ; =�7� =�-4;� < 16 ; =�4� =�7� 8 12
=�0� =�4� 5 10 ; =�*� =�7� 9 6 ;=�-� =�0� 1 8
=��� =�*� 9 4 ; =�#� =�-� . 7 ; =�$� =�0� 2 9
=��� %@A B=��� !=�#� !=�$� ! 0) ; =��� =�$� ( 7
Graphe M.P.M
4 2
4
4
1
2
Les tâches critiques sont : A, E, H, et J
La durée minimale de réalisation du projet est de 17 jours.
4 4
E
16 16
J
6 6
H
0 0
A
4 7
C 9 12
I
17 17
FIN
5 8
F
4 9
D
7 10
G 0 7
B
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Tableau récapitulatif
tâches Durées
en jours
Tâches
antérieures
niveaux t(x) T(x) ����� �����
A 4 - 0 0 0 0 0
B 2 - 0 0 7 7 2
C 1 A 1 4 7 3 0
D 1 A ;B 1 4 9 5 2
E 2 A 1 4 4 0 0
F 2 C 2 5 8 3 0
G 2 D ;F 3 7 10 3 0
H 10 E 2 6 6 0 0
I 4 G 4 9 12 3 3
J 1 H ;I 5 16 16 0 0
Calcul des marges :
� Marges totales : CD��� = colonne (6)-colonne (5)
� Marges libres :
CE��� %@A B ��#� ���� !��$� ���� ! ���� ���� !) =0 ; CE��� ��$� ���� ( 2
CE�#� ��-� ��#� . 0 ; CE�$� ��0� ��$� 2 2
CE��� ��*� ���� + 0 ; CE�-� ��0� ��-� 1 0
CE�*� ��7� ��*� 9 0 ; CE�0� ��4� ��0� 5 0
CE�4� ��7� ��4� 8 3 ; CE�7� ��-4;� ��7� < 0
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III) Résolution d’un problème d’ordonnancement
par la méthode PERT 1) Définition du graphe PERT
La méthode PERT (Program Evaluation Research Task) est une méthode Américaine élaborée
pour résoudre les problèmes d’ordonnancement. Elle consiste à associer à un problème
d’ordonnancement, le graphe valué suivant :
• Les arcs représentent les tâches.
• Un sommet E représente un événement qui a la signification suivante :
- Les tâches représentées par les arcs qui aboutissent à E sont terminées
- Les tâches représentées par les arcs qui partent E peuvent commencer.
• La valeur d’un arc est la durée de la tâche qu’il représente.
Exemple :
�G �H
E �I
�J
E est un événement qui signifie que les tâches �G et �J sont terminées et les tâches �H et �I
peuvent commencer.
2) Tâches fictives en représentation PERT
Dans un graphe PERT, la représentation de certaines contraintes peut en créer d’autres qui
n’existent pas. Considérons les contraintes suivantes :
�G et �H précèdent �J, �H précède �I et �G ne précède pas �I
La représentation suivante n’est pas correcte.
�G �J
E
�H �I
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En effet, elle fait de �G une tâche qui précède �I.
La bonne représentation s’obtient en créant une tâche fictive de durée nulle.
�G E1 �J
0
�H E2 �I
3) Dates remarquables
� Date attendue pour un événement
Définition : La date attendue pour un événement �� est la date de début au plus tôt de
toutes tâches représentées par les arcs qui partent de ��. Elle est définie par :
�KL� L
�K�� �MNK�OP�K����K�� � ���� où Q� est la durée de la tâche représentée par l’arc
��Q , ���.
� Date limite pour un événement
La date limite de réalisation d’un événement �� est définie par :
��STU� �STU�
��K�� ���K�O��K��
���K�� ����
Remarque : Si une tâche x est représentée par un arc qui aboutit à un événement E, alors la
date de début au plus tard de cette tâche est égale à ��K� ��
4) Construction du graphe PERT
� On représente le graphe valué avec l’introduction d’éventuelles tâches fictives.
� On détermine les dates remarquables
� Remplacer chaque sommet du graphe par un cercle du type
��
t(��� =����
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Application : Problème de construction de l’entrepôt.
Tâches A B C D E F G H I J
Durées
en jours
4 2 1 1 2 2 2 10 4 1
Tâches
antérieures
- - A A ;B A A ;C D ;F A ;E G H ;I
5) Evénements critiques et tâches critiques
Définitions :
� Un évènement K�est dit critique si �K�� ��K��
� Un chemin est dit critique s’il ne relie que des événements critiques
� Une tâche est dite critique si l’arc qui la représente relie deux évènements critiques.
Dans notre exemple, le chemin critique est (E0, E1, E3, E7, FIN) et les tâches critiques sont :
A, E, H et J et la durée minimale de réalisation du projet est de 17 jours.
6) Marges totales et marges libres
La marge totale d’une tâche se calcule comme en MPM.
Mais la marge libre d’une tâche x représentée par l’arc ���, �Q� est �K�� �K�� ��
Exemples :
La marge totale de la tâche F est : CD�-� =��V� 1 ���I� 10 2 5 3
La marge libre de la tâche F est : CE�-� ���V� ���I� 1 7 5 2 0
0 0
E0
�
4 4
E1
4 9
E2
6 6
E3
5 8
E4
7 10
E5
9 12
E6
16 16
E7
17 17
FIN
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