Présentation | 1.2 La puissance des nombres

1.2 La puissance des nombres

Considérant les connaissances et les compétences nécessaires à la réalisation de cette activité, celle-ci est suggérée pour la 1re année du premier cycle.

Parfois, pour faciliter l’écriture de très grands et de très petits nombres, on peut utiliser la notation exponentielle. Puisque cette forme d’écriture peut effrayer les élèves, le but de cette activité est de leur permettre de se familiariser avec cette notation. On utilise le terme « notation exponentielle », mais seule la base 10 sera utilisée. L’activité est donc une bonne préparation à la notation scientifique qui sera vue au deuxième cycle.

Intentions pédagogiques

Amener l’élève à mieux comprendre les différentes échelles de grandeurs

L’amener à passer d’une unité de mesure à une autre

L’encourager à développer sa compréhension de la notation expo-nentielle

Lui apprendre à choisir l’unité de mesure adéquate selon les diffé-rents contextes pour communiquer efficacement à l’aide du lan-gage mathématique

Forme de la production attendue

Réponses courtes

Brève recherche (Internet, bibliothèque, etc.)

Création d’une fiche d’information (affiche) sur une puissance de 10

Concepts utilisés

Ordre de grandeur

Passage de la notation fractionnaire à la notation décimale

Notation exponentielle et puissances de 10

Expression des mesures en mètres

Unités de mesure

Ressources matérielles

Ordinateur

Sites qui permettent d’observer les différents ordres de grandeur :

http ://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.htmlhttp ://www.dailymotion.com/video/x25pjv_de-linfiniment-grand-a-linfiniment_tech Pour une version moins sérieuse : http ://www.videosift.com/video/Powers-of-ten-Simpsons-version

Matériel de construction pour les affiches : papier, cartons, crayons de couleur, etc.

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Préparation

On peut aborder le sujet en demandant aux élèves des exemples d’objets qui sont dix fois plus petits ou plus grands que d’autres.

On peut présenter l’un des trois vidéos suggérés afin d’intéresser les élèves au contenu de l’activité.

Avant de commencer l’activité, on suggère de faire un rappel sur les dif-férentes façons d’écrire les nombres : forme décimale et fractionnaire.

Comme l’activité concerne les puissances de 10, il serait intéressant de demander aux élèves d’écrire les premières puissances de 10 afin de voir ce qui se produit lorsque l’exposant augmente de 1. On peut se servir du tableau disponible dans le cahier de l’élève comme sup-port ou comme aide-mémoire par la suite.

Réalisation

Partie 1

Cette partie présente les puissances de 10 ainsi que les façons de les écrire. Après le premier exercice, il peut être intéressant de deman-der aux élèves de formuler des conjectures concernant le lien entre la valeur de l’exposant et la forme du nombre.

L’élève doit transformer des nombres de la forme décimale à la forme exponentielle et vice-versa. Il doit ensuite ordonner des nombres écrits sous différentes formes. Il est important de s’assurer que les élèves comprennent bien cette partie avant de poursuivre l’activité.

Partie 2!

Dans cette partie, les élèves doivent effectuer des recherches pour compléter un tableau portant sur les mesures que l’on peut expri-mer avec des puissances de 10. Le travail peut être fait en petites équipes. Il y a beaucoup de nouveaux termes pour eux dans ce ta-bleau et ils vont avoir besoin d’être guidés. Il est recommandé de consulter le site Internet Wikipédia ou toutes autres références pour effectuer les recherches.!

S’assurer que les élèves ont correctement complété le tableau avant de poursuivre. Il est important de souligner que les réponses concernant les objets ou les distances mesurées peuvent varier sen-siblement d’un élève à l’autre.

Intégration

Partie 3!

Pour terminer, les élèves devront, en équipe, créer une affiche qui indique le nom d’un nombre, les différentes façons de l’écrire, un exemple de ce qu’il peut mesurer ainsi qu’un instrument ou une mé-thode qui peuvent être utilisés pour le mesurer. Pour attribuer les nombres, on suggère de procéder de manière aléatoire. On peut adapter les consignes au besoin.

Lorsque le travail est terminé, les affiches pourraient être placées en ordre sur le mur de la classe.

Commentaires sur l’activité

Pistes de différenciation

En petites équipes, les élèves peuvent trouver des infor-mations plus étendues sur le nombre qui leur est attribué. Ils présentent ensuite au reste de la classe leurs découvertes.

Discuter avec les jeunes de l’ex-posant zéro en leur expliquant à l’aide d’un tableau ou de tout autre support visuel la logique dernière ce résultat.

Cahier de l’élève | 1.2 La puissance des nombres | 1

1.2 La puissance des nombres

As-tu déjà imaginé la quantité de chiffres

qu’il faudrait pour écrire le nombre

d’étoiles dans l’univers ou bien la quantité

de zéros nécessaires pour écrire le dia-

mètre d’un atome ?

Pour simplifier l’écriture de ces nombres,

on utilise la notation exponentielle. Dans

cette activité, tu découvriras dans quel

contexte on utilise ces nombres si grands

et si petits.

Dans Show Math, vous avez pu voir que pour représenter le nombre ! et ses 1000 milliards de décimales connues, en écrivant 500 décimales par page, il faudrait une pile de feuilles haute comme 1 000 fois la tour Eiffel !

Comme son développement décimal n’est pas fini, la simplification de son écriture sans perte de précision n’est pas possible. C’est pour cela que l’on représente ce nombre par un symbole.

Par contre, certains nombres finis peuvent s’écrire en notation ex-ponentielle, ce qui facilite grandement leur écriture. Dans cette acti-vité, vous allez pouvoir découvrir ce monde parfois géant et parfois microscopique !

Nom : _________________________________________________________

Partie 1 :! La puissance de 10 : une méthode

Les puissances de 10 aident à écrire les nombres de façon plus simple. Observons les différentes manières d’écrire les puissances de 10.

Puissance de 10 Forme fractionnaire Forme décimale

105 100 000 100 000

104 10 000 10 000

103 1 000 1 000

102 100 100

101 10 10

100 1 1

10-1 = 0,1

10-2 = 0.01

10-3 = 0,001

10-4 = 0,0001

10-5 = 0,00001

1101

1102

1103

1104

1105

1101

1001

1 0001

10 0001

100 000

2 | Cahier de l’élève | 1.2 La puissance des nombres

1.

Combien de zéros retrouve-t-on dans la forme décimale de :

105 : __________________

104 : __________________

103 : __________________

102 : __________________

101 : __________________

100 : __________________

2.

Combien de chiffres retrouve-t-on après la virgule dans la forme décimale de :

100 : __________________

10-1 : __________________

10-2 : __________________

10-3 : __________________

10-4 : __________________

10-5 : __________________

Voyons voir comment cela fonctionne.

Prenons d’abord les grands nombres qui sont formés d’un 1 suivi d’une suite de zéros. On prend pour base 10 et on lui attribue un exposant qui représente le nombre de zéros qui suivent le 1 lorsqu’on écrit le nombre sous la forme décimale.

106 : Se lit « dix puissance six » et son écriture sous la forme décimale est un 1 suivi de 6 zéros : 1 000 000.

Quel est le nom du nombre « 10 puissance 12 » ?

3.

Nombre sous la forme décimale

Nombre sous la forme

d’une puis-sance de 10

100 102

0,01 = 10-21102

=

=

Pour les petits nombres qui sont formés d’une série de 0 puis d’un 1, on peut les écrire sous deux formes. Soit on écrit une fraction où :

1 est le numérateur ;

10 affecté de l’exposant est le dénominateur ;

ou bien

on prend pour base 10 et on lui attribue un exposant négatif.

Dans ce cas, la valeur de l’exposant est le nombre de chiffres que l’on re-trouve après la virgule lorsqu’on écrit le nombre sous la forme décimale.

1106

: Se lit « un sur dix puissance six » et son écriture sous la forme déci-

male est 1 sur un 1 suivi de six 0 : .11 000 000

Cahier de l’élève | 1.2 La puissance des nombres | 3

4. Écrivez sous la forme décimale les nombres suivants :

a) 103 : __________________

b) 105 : __________________

c) 109 : __________________

d) : __________________

e) : __________________

1103

1108

Écrivez les nombres suivants sous la forme d’une puissance de!10.5.

a) 100 000 : __________________

b) 100!000!000!000 000 : __________________

c) : __________________

d) : __________________

e) 0,01 : __________________

f) 0,00001 : __________________

110 000

1100 000 000 000 000

La notation par puissances de 10 permet de connaître immédiatement l’ordre de grandeur du nombre puisqu’il s’agit de la valeur de l’exposant. Ainsi, on peut rapidement classer les nombres en ordre croissant ou dé-croissant.

Vérifiez si vous avez compris.

Placez les nombres suivants en ordre croissant.6.

104 ; 106 ; 1025 ; ; 10-3 ; 100 ; 1000 ; ; 10!000!0001107

1100 000 000

Pour vous aider, écrivez tous les nombres sous leur forme expo-nentielle.

Partie 2 : Les puissances de 10 et les mesures

Complétez le tableau de la page suivante à l’aide de la banque de mots se trouvant sur cette page. Pour ce faire, vous pouvez effectuer des recherches sur Internet ou dans une encyclopédie.

7.

Mesure en mètres Nom de la mesure Objet ou distance

1109

1108

1105

1103

100

103

106

107

1013

1016

1021

1 femtomètre 1 décamètre 1 picomètre 1 gigamètre

10 nanomètres 1 micromètre 1 millimètre 1 centimètre 1 décimètre

1 hectomètre 100 gigamètres

1 kilomètre 10 mégamètres 10 téramètres

1 année-lumière 10 pétamètres

rayon de la double hélice de l’ADN orbite lunaire

noyau atomique atome

orbite terrestre bactérie cellule insecte

diamètre d’une assiette taille d’un humain

hauteur d’une maison longueur d’un sprint grandeur d’un pays

Voie lactée

Lorsque vous avez terminé, validez votre résultat auprès de votre enseignant.

4 | Cahier de l’élève | 1.2 La puissance des nombres

Dans la première colonne, on re-trouve la valeur de la mesure en mètres exprimée sous la forme d’une puissance de 10.

Dans la deuxième colonne, on re-trouve le nom de la mesure.

Dans la troisième colonne, on re-trouve le nom d’un objet que l’on peut mesurer avec cette unité de mesure.

Cahier de l’élève | 1.2 La puissance des nombres | 5

Mesure en mètres Nom de la mesure Objet ou distance

11015

11012

1 nanomètre

virus

1106

10 micromètres

hauteur d’eau de pluie tombée

1102

110

1 mètre

101

102

distance à pied

1 mégamètre

diamètre de la Terre

109

1011

système solaire

distance entre la Terre et l’étoile la plus proche

100!000 années-lumière ou 1 zetta-mètre

6 | Cahier de l’élève | 1.2 La puissance des nombres

Maintenant que vous avez associé les informations contenues dans les trois colonnes, trouvez quelles mesures peuvent être prises avec chacun des instruments suivants.

8.

a) Microscope électronique :

b) Microscope :

c) Vis micrométrique :

d) Pied à coulisse :

e) Règle :

f) Mètre ruban :

Microscope électronique

Microscope

Vis micrométrique

Pied à coulisse

Règle

Mètre ruban

Cahier de l’élève | 1.2 La puissance des nombres | 7

Partie 3 : Partagez vos connaissances

Lorsque vos réponses ont été vérifiées, demandez à votre en-seignant de vous assigner un nombre que l’on peut représenter par une puissance de 10, puis montez une affiche qui permettra de représenter le nombre. Sur cette affiche on devra retrouver :

le nombre ;

le nom de la mesure correspondante ;

les différentes façons de l’écrire ;

un exemple, différent de que ce qui est proposé dans l’ac-tivité, de ce qu’il peut mesurer ;

un instrument qui peut être utilisé pour le mesurer.

9.

g) Chaîne d’arpenteur :

h) Odomètre :

i) GPS :

j) Télescope :

Chaîne d’arpenteur

Odomètre

GPS

Télescope

1.2 La puissance des nombresCorrigé

Corrigé | 1.2 La puissance des nombres | 1

Partie 1 :! La puissance de 10 : une méthode

1.

Combien de zéros retrouve-t-on dans la forme décimale de :

105 : 5

104 : 4

103 : 3

102 : 2

101 : 1

100 : 0

2.

Combien de chiffres retrouve-t-on après la virgule dans la forme décimale de :

100 : 0

10-1 : 1

10-2 : 2

10-3 : 3

10-4 : 4

10-5 : 5

Quel est le nom du nombre « dix puissance 12 » ? Un billion

3.

4.

Écrivez sous la forme décimale les nombres suivants :

a) 103 : 1 000

b) 105 : 100 000

c) 109 : 1 000 000 000

d) : = 0,001

e) : = 0,000 000 01

1103

1108

11 000

1100 000 000

(p.2)

(p.2)

(p.2)

(p.3)

2 | Corrigé | 1.2 La puissance des nombres

Écrivez les nombres suivants sous la forme d’une puissance de 10.5.

a) 100 000 : 105

b) 100!000!000!000 000 : 1014

c) : 0,000 000!000 000 01 = 1

1014 = 10-14

d) : 0,0001 = = 10-4

e) 0,01 : = 10-2

f) 0,00001 : = 10-5

110 000

1100 000 000 000 000

Placez les nombres suivants en ordre croissant.6.

104 ; 106 ; 1025 ; ; 10-3 ; 100 ; 1000 ; ; 10!000!0001107

1100 000 000

Partie 2 : Les puissances de 10 et les mesures

Complétez le tableau de la page suivante à l’aide de la banque de mots se trouvant sur cette page. Pour ce faire, vous pouvez effectuer des recherches sur Internet ou dans une encyclopédie.

Réponses du tableau à la page suivante.

7.

1104

1102

1105

On écrit d’abord les nombres sous la forme exponentielle.

104 ; 106 ; 1025 ; ; ; 102 ; 103 ; ; 1071107

On les place ensuite en ordre croissant d’après la valeur de l’ex-posant.

1108 ; ; ; 102 ; 103 ; 104 ; 106 ; 107 ; 10251

107

1103

ou

10-8 ; 10-7 ; 10-3 ; 102 ; 103 ; 104 ; 106 ; 107 ; 1025

(p.3)

(p.3)

(p.4 et 5)

1103

1108

Corrigé | 1.2 La puissance des nombres | 3

Mesure en mètres Nom de la mesure Objet ou distance

11015 1 femtomètre noyau atomique

11012 1 picomètre atome

1109 1 nanomètre

rayon de la double hélice de l’ADN

1108 10 nanomètres virus

1106 1 micromètre bactérie

1105 10 micromètres cellule

1103 1 millimètre hauteur d’eau de pluie tombée

1102 1 centimètre insecte

110

1 décimètre diamètre d’une assiette

100 1 mètre taille d’un humain

101 1 décamètre hauteur d’une maison

102 1 hectomètre longueur d’un sprint

103 1 kilomètre distance à pied

106 1 mégamètre grandeur d’un pays

107 10 mégamètres diamètre de la Terre

109 1 gigamètre orbite lunaire

1011 100 gigamètres orbite terrestre

1013 10 téramètres système solaire

1016 1 année-lumière ou 10 pétamètresdistance entre la Terre et l’étoile

la plus proche

1021100!000 années-lumière ou 1 zetta-

mètreVoie lactée

4 | Corrigé | 1.2 La puissance des nombres

Maintenant que vous avez associé les informations contenues dans les trois colonnes, trouvez quelles mesures peuvent être prises avec les instruments suivants.

8.

a) Microscope électronique : femtomètre, picomètre

b) Microscope : nanomètre, micromètre

c) Vis micrométrique : micromètre

d) Pied à coulisse : millimètre

e) Règle : centimètre, décimètre

f) Mètre ruban : mètre

g) Chaine d’arpenteur : décamètre, hectomètre

h) Odomètre : kilomètre

i) GPS : mégamètre

j) Télescope : gigamètre, téramètre, pétamètre, zettamètre, année-lumière

Partie 3 :!Partagez vos connaissances

Lorsque vos réponses ont été vérifiées, demandez à votre en-seignant de vous assigner un nombre que l’on peut représenter par une puissance de 10, puis montez une affiche qui permettra de représenter le nombre. Sur cette affiche on devra retrouver :

le nombre;

le nom de la mesure correspondante;

les différentes façons de l’écrire;

un exemple, différent de ce qui est proposé dans l’acti-vité, de ce qu’il peut mesurer;

un instrument qui peut être utilisé pour le mesurer.

Réponses variables

9.

(p.6 et 7)

(p.7)