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Chapitre 2

Thse : lentretoisement des ponts mixtes multipoutres ferroviaire Yannick SIEFFERT INSA de Lyon 2004

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CHAPITRE 2

SIMULATION NUMRIQUE PERMETTANT DE QUALIFIER LENTRETOISEMENT

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SOMMAIRE DU CHAPITRE 2

1. INTRODUCTION ...........................................................................................................42 2. CHOIX DUNE STRUCTURE REPRESENTATIVE....................................................42 2.1. Situation de louvrage ..................................................................................................43 2.2. Coupe transversale du quadripoutre de Bonpas...........................................................44 3. LA DISCRTISATION DE LA GEOMETRIE..............................................................44 3.1. Choix de la nature des elements...................................................................................44 3.1.1. Elments poutres...............................................................................................45 3.1.2. Elments plaques ..............................................................................................45 3.1.3. Elments volumiques........................................................................................46 3.2. Taille des lments.......................................................................................................46 3.3. Maillage des connexions..............................................................................................47 3.4. Maillage de la structure................................................................................................49 3.4.1. Les poutres........................................................................................................49 3.4.2. Le tablier...........................................................................................................50 3.4.3. Les armatures....................................................................................................52 3.4.4. Les diaphragmes ...............................................................................................53 3.4.5. Vue globale du maillage de la dalle et des poutres ..........................................54 3.5. Les conditions dappuis ...............................................................................................55 3.5.1. Les appareils dappuis ......................................................................................55 3.5.2. Conditions dappuis modlises .......................................................................56 4. MODLISATION DES CHARGEMENTS....................................................................57 4.1. Le poids propre ............................................................................................................58 4.2. Le schma de charge de lUIC 71................................................................................58

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4.3. Le chargement des essieux du TGV ............................................................................61 4.3.1. Bref historique du TGV....................................................................................61 4.3.2. Le TGV atlantique ............................................................................................61 5. MODLISATION DU COMPORTEMENT MCANIQUE DU BTON ....................64 5.1. Aspect phnomnologique du bton............................................................................64 5.2. Cadre thorique de la modlisation du bton...............................................................64 5.2.1. La fissure discrte.............................................................................................65 5.2.2. La fissure diffuse ..............................................................................................65 5.3. Un modle elastoplastique pour le bton .....................................................................65 5.3.1. Hypothse de partition......................................................................................66 5.3.2. Relation contrainte-dformation.......................................................................66 5.3.3. Loi dcrouissage..............................................................................................66 5.3.4. Fonction de charge............................................................................................67 5.3.5. Plasticit non associe loi dcoulement .......................................................69 5.3.6. Visualisation des fissures..................................................................................70 5.3.7. Conclusion sur le modle lastoplastique.........................................................70 5.4. Problme de localisation des dformations..................................................................70 5.4.1. Comportement adoucissant...............................................................................70 5.4.2. Energie de fissuration .......................................................................................71 5.4.3. Loi uniaxiale de comportement du bton: ........................................................73 5.4.3.1. Cas de la traction..........................................................................................74 5.4.3.2. Cas de la compression..................................................................................74 5.4.4. Gnralisation ltat de contraintes multiaxiales...........................................75 5.4.5. Paramtres du modle.......................................................................................76 6. MODELISATION DU COMPORTEMENT MECANIQUE DE L'ACIER...................77 7. CONCLUSION : DFINITION DUN PROGRAMME DANALYSE UTILSANT NOTRE MODLE NUMERIQUE..........................................................................................78

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1. INTRODUCTION Nous avons dj prsent dans le chapitre prcdent les diffrentes simulations numriques employes pour dterminer limpact de lentretoisement dans les multipoutres. Cependant aucune delles ne fut ralise en incorporant totalement la multiplicit des phnomnes physiques. En particulier, lapproche de la gomtrie des entretoises fut traite de faon assez sommaire par lutilisation dlments poutres. Dans un premier temps, nous montrerons pourquoi et comment nous avons choisi la bretelle daccs de Bonpas comme support de notre tude ; puis nous aborderons la modlisation de ce pont dans lespace. Nous mettrons ainsi en lumire la difficult de concilier un maillage performant (avec le moins dlments possible) avec la reprsentation de qualit dun diaphragme. Nous dtaillerons galement la dfinition, toujours dlicate, des conditions dappuis puis du chargement. Enfin nous montrerons comment nous avons abord la reprsentation de la fissuration du bton par le biais dun modle lastoplastique implant dans le logiciel Abaqus version 631 que nous avons utilis. Nous dterminerons les paramtres ncessaires ce modle et la meilleure faon de les identifier. Lobjectif de ce chapitre est de dfinir une technique numrique performante pour apprcier le rle de lentretoisement dun pont poutres. Mais au del de ce seul objectif, ce chapitre a aussi lambition de proposer une rfrence sur la modlisation gnrale des ponts dans lespace puisque le modle que nous dveloppons peut avoir de multiples utilits. 2. CHOIX DUNE STRUCTURE REPRESENTATIVE

Afin dtudier lapport de lentretoisement dans un quadripoutre ferroviaire grande vitesse, nous avons dcid de choisir un pont rel parmi le parc existant. Dans un premier temps, nous avons rpertori les diffrents quadripoutres raliss sur la dernire ligne grande vitesse du TGV mditerrane. Notre attention sest porte sur trois ouvrages distincts :

- le quadripoutre sur lA7 la Garde Adhmar, - le quadripoutre du canal EDF Mallemort, - le quadripoutre de la bretelle daccs du Bow-string de Bonpas (sous le page de

lA7). Lutilisation dun quadripoutre existant nous permet de fonder notre recherche sur une gomtrie relle. Cependant, le choix dune structure relle pose le problme de sa reprsentativit puisque chaque pont toujours une spcificit propre (nombre de traves, prsence dun biais, position de lentretoisement, etc). Notre volont est dtudier un pont quadripoutre dont le comportement soit facilement gnralisable. Les deux premiers ouvrages cits ci-dessus sont trs particuliers, ils ont plusieurs traves et un fort biais. Nous les avons limins rapidement afin de conserver le quadripoutre de la bretelle daccs du Bow-string de Bonpas, car ce dernier est le moins spcifique : il est droit et compos dune seule trave. Son choix assure une bonne reprsentativit du comportement gnral de ce type de pont.

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2.1. SITUATION DE LOUVRAGE Ce pont appartient la nouvelle ligne de train grande vitesse entre Lyon et Marseille (LGV mditerrane). Il se situe sur la commune de Bonpas 10 km au Sud-Est dAvignon. Louvrage principal est un Bow-string qui permet de franchir la gare de pages de lautoroute A7 au niveau de lchangeur dAvignon. Laccs au bow-string seffectue par deux quadripoutres mixtes situs chacune de ses extrmits (fig. 2.1 et 2.2).

Figure 2.1 : Situation du quadripoutre Figure 2.2 : Implantation sur le site Louvrage est compos dune seule trave de 30 m. Il comporte quatre poutres en Profils Reconstitus Souds (PRS) de 1,7 m de hauteur et il est sans biais de franchissement. Il comprend des diaphragmes sur appuis mais il na aucun entretoisement intermdiaire. La dalle en bton arm a une paisseur de 0,43 m et elle est connecte aux semelles suprieures des poutres et des diaphragmes.

Figure 2.3 : quadripoutre de Bonpas

Quadripoutres daccs au Bow-string

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2.2. COUPE TRANSVERSALE DU QUADRIPOUTRE DE BONPAS La bretelle daccs au Bow-string de Bonpas a une section typique dun quadripoutre SNCF. Lespacement des poutres est de 3,2 m et la position des voies de circulation est dsaxe par rapport au centre du pont de 2,4 m (fig. 2.4). Les poutres ont une hauteur de 1,7 m. La largeur des semelles est de 0,8 m et leur paisseur de 4 cm, les mes ont une paisseur de 2 cm.

Figure 2.4 : Coupe transversale de louvrage Cet ouvrage na pas dentretoisement intermdiaire mais il comporte trois raidisseurs dmes par poutre dune largeur de 20 cm et dune paisseur de 1,5 cm. Lespacement de ces raidisseurs est uniforme et correspond au quart de la porte, si bien quun raidisseur est situ au centre de la trave de chaque poutre. Les calculs effectus pour dimensionner louvrage ont t raliss par une modlisation en grillage de poutre par simulation numrique. Ces calculs ont montr que sans entretoisement les critres de dimensionnement (contraintes, flches, acclrations dans le tablier, fatigue des assemblages) taient respects. Notre objectif nest pas de dimensionner cet ouvrage mais dutiliser ses caractristiques afin dtudier limpact de lentretoisement intermdiaire. Afin de comparer le comportement de ce pont avec ou sans diaphragme, nous avons donc d choisir les dimensions du diaphragme intermdiaire. Conformment aux dimensions standards des diaphragmes dans ce type de pont, nous avons utilis la mme section pour le diaphragme que celle des poutres principales qui est, de plus, trs proche de la section des diaphragmes sur appuis. 3. LA DISCRTISATION DE LA GEOMETRIE

3.1. CHOIX DE LA NATURE DES ELEMENTS

Les ouvrages dart comportent diffrents types de pices structurelles : dalle, poutre, diaphragme, armature. Ces pices ont des dimensions et des caractristiques bien diffrentes et correspondent des familles dlments numriques distincts. La modlisation est donc construite avec des lments de nature diffrente. Nous avons retenu trois familles dlments pour modliser un pont poutres : des lments poutres, des lments plaques et des lments

3,2 3,2

2,4 Axe de la voie

3,2

12,8

0,43

1,7

0,8

0,02

0,04

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volumiques. Nous utilisons le logiciel dlments finis Abaqus version 6.3 pour effectuer notre simulation numrique. 3.1.1. Elments poutres Les poutres sont des lments de structure dont les dimensions transversales sont gnralement petites par rapport la longueur. Ce sont des lments linaires, dfinis uniquement par leur fibre neutre. Le profil dune poutre nest pas dcrit gomtriquement, il est caractris par ses axes et ses moments dinertie. Les lments poutres sont bien adapts pour modliser les armatures de la dalle en bton. Nous utilisons les lments poutres linaires B31 dont les sections sont circulaires. Ils sont dfinis par deux nuds, comportant six degrs de libert, trois dplacements et trois rotations. Lintgration de ces lments seffectue laide dun seul point dintgration situ au centre des deux nuds et sur la fibre neutre des lments (fig. 2.5).

Figure 2.5 : Elment poutre circulaire B31 3.1.2. Elments plaques Les plaques sont des solides dont une dimension appele paisseur est petite par rapport aux deux autres et qui admet un plan de symtrie passant par le milieu de lpaisseur, appel feuillet moyen. Par convention, dans le repre de llment, ce plan de symtrie est le plan x0y et laxe z lui est perpendiculaire (fig. 2.6). Les membrures des poutres et des diaphragmes sont peu paisses (4 cm) par rapport leur longueur (30 m) et leur largeur (0,8 m). Lutilisation dlments plaques est donc particulirement adapte. Dans la thorie linaire des plaques isotropes, trois hypothses sont gnralement admises :

- les contraintes normales au plan de la plaque zz sont ngligeables par rapport aux contraintes existantes dans le plan de la plaque : 0=zz ,

- les pentes du feuillet moyen restent petites par rapport lunit, et ceci dans nimporte quelle direction. De plus, le feuillet moyen ne subit aucune dformation du fait de la flexion,

- un plan orthogonal au feuillet moyen avant dformation lest encore aprs dformation.

Nous utilisons les lments plaques linaires S4 : ils sont dfinis par quatre nuds dont chacun contient 6 degrs de libert, trois dplacements et trois rotations. Ces lments comportent quatre points dintgration dfinis sur la surface du feuillet moyen (fig. 2.6).

Point dintgration 2 noeuds

Fibre neutre

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Figure 2.6 : Points dintgration dun lment plaque S4 3.1.3. Elments volumiques Les lments de volume sont des lments tridimensionnels dont toutes les dimensions sont du mme ordre de grandeur. Ils sont employs pour la modlisation de pices massives dans une structure. La gomtrie de ces lments est explicitement dcrite dans lespace. La dalle est paisse (40 cm) donc nous la considrons comme une pice massive. Nous utilisons alors les lments linaires de forme hexadre C3D8. Ils sont dfinis par huit nuds, comportant trois degrs de libert, les trois dplacements. Lintgration de ces lments seffectue laide de huit points dintgration. Ces points ne sont pas situs sur les faces de lhexadre mais dans leur volume (fig. 2.7).

Figure 2.7 : Elment volumique C3D8

3.2. TAILLE DES LMENTS La complexit de la gomtrie physique dun ouvrage ne peut jamais tre parfaitement dcrite par un maillage. De plus, lunicit du maillage nexiste pas pour dcrire une forme donne. Cependant en prenant certaines prcautions, le maillage peut se rapprocher judicieusement de la gomtrie physique. La gnration dun maillage est souvent considre, tort, comme une tape bnigne de la simulation ; elle est pourtant la fondation des rsultats numriques. Le

Feuillet moyen

y

x

z

0 3/a

3/b

a

b

8 noeuds

c

b 3/a

3/b

3/c

8 points dintgration

a

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maillage dun multipoutre comporte huit pices diffrentes, connectes entre elles : la dalle, les armatures, les trois membrures de la poutre et les trois membrures du diaphragme. La difficult principale de la gnration dun maillage tridimensionnel rside dans la connexion des pices qui sont multiples et dans des directions diffrentes. De plus, la densit de notre maillage doit tre optimal afin de rduire autant que possible la taille du problme. Dans cette optique, nous traitons en premier lieu les surfaces de connexions des diffrentes pices. Puis nous extrapolons la taille de ces lments au reste de louvrage afin dobtenir des lments de taille identique dans lensemble du pont. Cette dmarche peut sembler tonnante car habituellement, seule les zones susceptibles de dvelopper des phnomnes significatifs sont mailles finement, le reste de la structure est alors maill plus grossirement (fig. 2.8a). Mais la spcificit de notre simulation concerne ltude dun pont, de surcrot un pont ferroviaire. Les vhicules ne sont pas statiques, ils se dplacent sur louvrage, donc nous ne pouvons connatre, a priori, les zones ncessitant un maillage plus fin. De plus, lutilisation dlments de mme taille, nous affranchit de linfluence de leur taille sur les rsultats numriques (fig. 2.8b).

Figure 2.8 : Diffrents types de maillage

3.3. MAILLAGE DES CONNEXIONS En premier lieu, nous devons franchir lobstacle de la connexion des pices perpendiculaires ou coplanaires. La dmarche la plus logique est de conserver le mme nombre dlments dans les pices coplanaires et le mme nombre dlments dans les pices perpendiculaires. Ainsi, linfluence du maillage est homogne sur ces diffrentes. Tout dabord, posons le problme de la connexion entre les membrures suprieures des poutres et des diaphragmes. Ces lments sont dans le mme plan et chacun conduit une raideur dans deux directions privilgies, celle de la longueur de louvrage pour les poutres et celle transversale louvrage pour les diaphragmes. Le nombre dlments doit nous permettre dtudier la flexion des membrures dans les deux directions ; un nombre trop restreint dlments aboutit une raideur numrique importante. Cependant le nombre dquations est proportionnelle au nombre dlments. Des tudes prliminaires ont t effectues pour optimiser les temps de calculs ainsi que leur prcision. Lutilisation de quatre lments dans la largeur fut alors retenue.

Zone de maillage fin

Zone de maillage plus grossier

Zone de maillage fin

a b

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Figure 2.9 : Connexion des membrures poutre/diaphragme Le choix de la discrtisation des largeurs des pices grce quatre lments linaires a une influence sur lensemble du maillage. En effet, cela conditionne aussi la longueur des lments. La largeur doit tre proche de la longueur afin de ne pas obtenir des lments distendus et mal appropris. Or la taille des pices dans les deux axes privilgis est totalement diffrente. Les poutres ont une longueur de 30 m et une largeur de semelle de 0,8 m. En prenant une largeur de membrure du diaphragme de 0,8 m, discrtise par quatre lments de 0,2 m, nous obtenons alors 600 lments pour la membrure de la poutre. Comme nous modlisons un quadripoutre, le nombre dlments ncessaires pour les huit semelles est de 4800 lments. Afin de rduire ce nombre, nous considrons que le diaphragme a une largeur de un mtre (au lieu de 0,8 m), ce qui permet de rduire le nombre dlments des semelles des poutres 3840, soit un gain de 20%. Cette approximation va dans le bon sens car le diaphragme en est dautant plus raide (fig. 2.10) et la comparaison dun pont avec et sans diaphragme est alors plus significative.

Figure 2.10 : Connexion retenue

4 lments dans la largeur de la membrure

de lentretoise

4 lments dans la largeur de la membrure de la poutre

1

0,8

4 lments dans la largeur de la membrure

de lentretoise

4 lments dans la largeur de la membrure de la poutre

0,8

0,8

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De plus, la taille des lments, dans la direction longitudinale du pont, est conditionne par un autre paramtre : la symtrie transversale. En effet, le maillage doit permettre le positionnement du diaphragme au centre du pont. Pour ce faire, un nombre pair dlment est ncessaire par file. Si la largeur des semelles du diaphragme est de 0,8 m, 150 lments sont ncessaires par file dans les semelles des poutres et le diaphragme ne peut plus tre positionn au centre de louvrage. Par contre, avec lhypothse dune largeur de membrure du diaphragme de 1 m, le nombre dlments par file dans les semelles des poutres passe 120 et le diaphragme peut tre positionn au centre de louvrage. A la lumire de ces explications, nous constatons que le maillage est une tape complexe, qui doit donc tre gnr avec beaucoup dattention et de soin car un grand nombre de paramtres sont coupls.

3.4. MAILLAGE DE LA STRUCTURE

3.4.1. Les poutres Les poutres mtalliques sont composes dlments plaques linaires en trois dimensions quatre nuds (S4). Chaque plaque est dfinie par son feuillet moyen. Elles sont relies entre elles par des liaisons rigides entre leur nud commun, ce qui reprsente convenablement les assemblages par soudure des plaques mtalliques relles. Mais un problme subsiste dans la dfinition des positions des plaques, entre les membrures suprieures des poutres et les lments de volume de la dalle. Sans prcaution particulire, la plaque sinscrit dans llment de volume car les nuds sont communs (fig. 2.11a). La gomtrie nest alors plus respecte, ce qui peut sembler tre un dtail. Cependant la simulation numrique nen sera que plus ardue et hasardeuse. En effet, cette superposition dlments de nature diffrente peut provoquer des pivots nuls [CRA.01] et fausser ainsi les rsultats de calcul. Les degrs de libert existants aux nuds sont diffrents entre les plaques (6 D.D.L) et les lments volumiques (3 D.D.L). Les trois degrs de libert des plaques dfinissants les rotations ne peuvent alors pas tre aliments correctement par les lments de volume, ce qui se traduit pas lapparition dun mouvement de corps rigide dans les plaques et donc des pivot nuls dans le calcul. Une solution attractive, employe par Zhou et al. [ZHO.04], est de respecter la gomtrie relle en positionnant les nuds des plaques et des volumes de faon exacte puis de les relier par des lments rigides (fig. 2.11b). Certes la gomtrie est mieux dfinie, mais les problmes de pivots nuls subsistent car ces lments rigides sont composs de six degrs de libert dont trois ne peuvent tre transmis aux volumes. De plus, les lments rigides alourdissent le modle. Le passage entre des lments 2D des lments 3D ncessiterait de dvelopper des lments de liaisons spcifiques portants des termes de couplage dans leur matrice de rigidit entre les diffrents degrs de libert [BAU.03]. Malheureusement, nous navons pas notre disposition de tels lments. La meilleure solution est dutiliser, dune part, les options dexcentrement de la fibre moyenne des plaques et dautre part, les options de couplage des surfaces des plaques et des surfaces des volumes disponibles dans la version 6.31 dAbaqus. Ainsi les nuds entre les plaques et les volumes sont communs, lutilisation dlments de liaison nest pas ncessaire et la gomtrie est correctement dfinie (fig. 2.11c). De plus, les risques de pivots nuls sont supprims car partir des surfaces communes entre les lments volumiques et les lments plaques, le logiciel Abaqus extrapole les rotations de ces surfaces communes afin de les transmettre sur les degrs de libert des trois rotations des plaques.

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Figure 2.11 : Dfinition dune plaque avec un volume (a) : confondu, (b) : lien rigide, (c) : excentrement du feuillet moyen La solution retenue pour les poutres utilise loption dexcentrement du feuillet moyen de la membrure suprieure des poutres (fig. 2.12 et 2.14). Bien videmment, cette mme option est utilise pour dfinir la position de la semelle suprieure des diaphragmes.

Figure 2.12 : Maillage dune section de poutre 3.4.2. Le tablier La dalle de roulement en bton arm est discrtise en lments linaires volumiques huit nuds (C3D8). La prsence ou non du diaphragme peut influencer le dveloppement de fissures dans cette dalle. Pour juger de cette fissuration, nous devons analyser sa position dans lpaisseur. Cependant les lments volumiques ne comportent que huit points dintgration, ils sont donc par nature relativement raides. Un raffinement du maillage dans lpaisseur assure une solution numrique plus performante [CRA.01]. De plus, la dalle est constitue

Feuillet moyen dune plaque

Liens rigides

Elment volumique

Elment plaque

(a) (b) (c)

+

4 lments de 0,2 m 120 lments de 0,25 m

10 lments de 0,17 m

couplage des surfaces communes

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darmatures que nous devons positionner dans son paisseur. Ces armatures sont rparties en deux nappes distinctes, lune proche de la fibre suprieure et lautre proche de la fibre infrieure de la dalle. Le raffinement du maillage dans lpaisseur augmente les possibilits de positionnement des armatures. Cependant, les lments volumiques sont des lments trs gourmands en temps de calcul, et la dalle est la partie du pont ncessitant le plus dlments. La division du tablier en quatre lments dans lpaisseur est un bon compromis. La hauteur de chaque lment est de 0,1 m. Les diffrents cts du volume sont dans des rapports acceptables (fig. 2.13).

Figure 2.13 : Maillage dune section de dalle La connexion des lments de la dalle avec les semelles suprieures des poutres est dfinie de faon rigide, leurs nuds communs sont confondus.

Figure 2.14 : Connexion de la dalle avec les poutres

4 lments de 0,1 m

120 lments de 0,25 m

64 lments de 0,2 m

0,80

0,02

Nuds communs 0,40

1,70

Axe de la fibre moyenne des

plaques

0,02

0,02

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3.4.3. Les armatures Le ferraillage de la dalle excut lors de la construction dun pont est trs compliqu. Dans le cadre dune simulation numrique, les plans de ferraillages doivent tre purs. Cette simplification est mene afin de conserver la raideur gnrale apporte par les armatures la dalle de bton. La rpartition de cette raideur conserve les trois axes privilgis de la dalle, cest--dire la direction longitudinale, transversale et verticale : deux nappes darmatures sont donc ncessaires pour respecter ces trois axes. La position du ferraillage est tributaire du maillage de la dalle puisque les lments poutres doivent tre connects aux nuds existant dans la dalle. Cest aussi pourquoi un maillage dense de la dalle permet de mieux prendre en compte limpact du ferraillage, qui peut alors tre mieux rparti. Le rle des armatures est de reprendre les contraintes de traction de la dalle lors du dveloppement de fissures dans cette dernire. Les armatures doivent tre en nombre suffisantes pour viter toute localisation de fissures dues un dfaut de raideur locale. Dans notre modle, les armatures sont discrtises par des lments poutres (B31) deux noeuds. Les recommandations du SETRA [SER.95] prconisent un taux de ferraillage minimum de 1% de la section pour matriser la fissuration de la dalle. Nous avons donc dfini la surface darmature en respectant ce critre puis nous avons discrtis cette surface darmature sur le maillage dans la direction longitudinale et transversale. Nous avons, de plus, suivi les directives du livret 2.01 de la SNCF [SNC.95], en positionnant 2/3 des sections des armatures dans la nappe infrieure et 1/3 dans la nappe suprieure. En dfinitive, nous avons utilis par nappe, 17 barres dans la direction longitudinale espaces de 0,80 m et 31 barres dans la direction transversale espaces de 1 m (fig. 2.15).

Figure 2.15 : Section darmature

Armature longitudinale suprieure r = 0,018

Armature transversale suprieure r = 0,02 m

1,0 0,25

0,1

0,1

32

0,8

0,2

0,1

0,1

31

Armature longitudinale infrieure

r = 0,025 m

Armature transversale infrieure

r = 0,029 m

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La position des armatures dans le maillage de la dalle est la suivante :

Figure 2.16 : Maillage des armatures de la dalle 3.4.4. Les diaphragmes La modlisation des diaphragmes est impose par celle des poutres principales. La connexion est considre comme parfaite entre les poutres et les diaphragmes puisque dans la ralit elles sont soudes. Comme nous lavons montr au dbut de ce chapitre, nous utilisons quatre lments de plaques dans la largeur des semelles du diaphragme pour conserver la mme raideur que celle des poutres. Les montants sont modliss par prolongement des mes des diaphragmes jusquaux mes des poutres. Les trous dhomme ne sont pas considrs dans le modle car leur prsence na pas dinfluence dans le comportement global des diaphragmes. Certes les trous dhomme crent une perte de rigidit dans le diaphragme mais cette dernire est compense par la mise en place de raidisseurs sur son me. Nous pouvons donc considrer les diaphragmes sans les trous dhomme. Les diaphragmes sur appuis sont toujours prsents dans le modle. Dans la plupart des reprsentations graphiques, nous ne les faisons pas apparatre afin de mieux visualiser les poutres et la dalle. Le comportement du pont est compar avec la prsence ou non du diaphragme intermdiaire.

17 barres despacement 0,8 m

(armatures transversales)

12,8 m

31 barres despacement 1,0 m

(armatures longitudinales)

30 m

Couche darmatures suprieure

Couche darmatures infrieure

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Figure 2.17 : Maillage dun diaphragme Les diaphragmes sont compltement connects aux poutres principales. Les feuillets moyens des semelles suprieures des diaphragmes sont excentrs de leur demi-paisseur, comme pour les poutres principales. Ainsi tous les nuds des semelles sont connects de faon rigide la dalle. Le soin apport au maillage des diaphragmes est identique celui apport aux poutres. 3.4.5. Vue globale du maillage de la dalle et des poutres

Figure 2.18 : Vue globale du maillage

4 lments de 0,1 m

64 lments de 0, 2 m

1,6 m 3,2 m

30 m

120 lments de 0,25 m

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3.5. LES CONDITIONS DAPPUIS Les conditions limites imposes dans un modle numrique sont toujours dune grande importance. Dans le cas de notre ouvrage dart, nous allons analyser les relles conditions dappuis afin de les transposer par un blocage de degrs de libert adquat. 3.5.1. Les appareils dappuis Les appareils dappuis sur le quadripoutre de Bonpas sont de trois natures diffrentes :

- appui simple, - bute anti-sismique fixe, - bute anti-sismique mobile.

Les poutres principales sont poses sur un appui simple, ce dernier est compos dun socle en bton noy dans la pile de pont sur lequel est scell un appareil dappui confectionn laide dun matriau de type teflon (plaques dertalyte). Ce matriau rsiste des contraintes normales et a de plus un trs faible coefficient de frottement. Ainsi ce type dappareil dappui correspond un appui simple dont seule la direction verticale est bloque. Il permet de reprendre les tats limites de service de louvrage. Ces appareils dappuis sont dmontables pour faciliter leur remplacement.

Figure 2.19 : Dtail dun appareil dappui simple La prise en compte du risque sismique est maintenant obligatoire sur les projets douvrages dart en France [RAM.99] ; la conception de butes sismiques intgre ces phnomnes. La plastification, aux tats limites ultimes, est autorise pour ces butes ; elles sont conues pour tre aussi dformables que possible. Le pont de Bonpas comporte quatre butes antisismiques, deux fixes sur la mme cule et deux mobiles sur lautre cule. Ces butes sont positionnes au niveau des semelles infrieures des diaphragmes dappuis. Les butes antisismiques mobiles sont constitues dune bute mtallique noye dans le bton des piles et dune contre-bute solidaire du tablier par lintermdiaire des diaphragmes sur appuis. Un matriau faible coefficient de frottement, comme lertalyte, est interpos entre les butes et les contre-butes. Ainsi la dilatation du tablier dans la direction longitudinale est libre mais les dplacements et les rotations suivant la direction transversale sont bloqus pour reprendre les efforts des sismes transversaux.

Plaque dErtalyte

Socle en bton

Poutre principale

Diaphragme sur appui

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Figure 2.20 : Dtail dune bute antisismique mobile Les butes fixes sont constitues dune bute mtallique noye dans le bton, en forme dhexadre, et dune contre-bute mtallique solidarise aux diaphragmes qui pntre dans la bute. Le mme matriau dinterposition est positionn entre les deux lments pour rcuprer les efforts de frottement. Ces butes fixes bloquent les dplacements et les rotations suivant les directions longitudinale et transversale de louvrage. Elles reprennent les efforts de sisme dans ces deux directions.

Figure 2.21 Dtail dune bute antisismique fixe 3.5.2. Conditions dappuis modlises Les appuis simples et les butes antisismiques de louvrage se rsument par :

- sur la premire cule, seuls le dplacement et la rotation longitudinale sont libres, - sur la seconde cule, aucun dplacement et aucune rotation nest possible.

Nous avons modliss ces conditions dappuis sur notre maillage en affectant des conditions limites sur les files de nuds des semelles infrieures des deux extrmits de poutres (fig. 2.22). Ces conditions dappuis se rapprochent de celles relles du pont. Il est cependant important de noter quaucune modlisation consistant bloquer des degrs de liberts de

Bute mtallique

Cule

Contre-bute mtallique

Matriau dinterposition

Diaphragme sur appui

Bute anti-sismique mobile Bute mtallique

Vue de face

Vue de dessus

Matriau dinterposition Poutre principale

Contre-bute mtallique

Chapitre 2


57

dplacement et de rotation aux nuds nest en mesure de reproduire fidlement la ralit. Il serait plus judicieux de modliser les conditions dappuis du pont en utilisant des lments de contact avec un frottement. Ceci permettrait dtre plus reprsentatif du contact poutre-teflon-pile. Malheureusement, lutilisation de surfaces de contacts dans une modlisation aux lments finis est beaucoup trop gourmande en temps de calcul pour que nous puissions lutiliser dans notre modle qui est dj consquent.

Figure 2.22 : Conditions dappuis modlises 4. MODLISATION DES CHARGEMENTS

Les ouvrages dart ferroviaire ont la particularit dtre trs raides afin de rduire les vibrations lors du passage dun train grande vitesse. Cette raideur est apporte par un poids propre trs important d une dalle de forte paisseur de 40 cm et la mise en place dun ballast de 60 cm dpaisseur. Le premier chargement naturel du pont est donc son poids propre. Les autres charges proviennent des vhicules. Le schma de charge international nomm UIC 71 regroupe les enveloppes des sollicitations provoques par les trains les plus lourds, rels ou envisags. Ce schma est utilis pour le dimensionnement des ouvrages, pour des calculs statique et de fatigue. Le chargement rel est celui du TGV : ce dernier est utilis pour le dimensionnement sous sollicitation dynamique. Ces deux types de convois sont dcrits dans le livret 2.01 de la SNCF [SNC.95]. Ils sont dfinis de faon linaire car la plupart des calculs raliss au niveau des projets de ponts seffectuent en grillage de poutre. Dans cette partie, nous prsenterons les diffrents cas de charge et nous les adapterons de faon les utiliser sur notre ouvrage.

30 m

3,2 m File de nuds de lappui 1 (20 nuds) U1,U2,U3, 1, 2 et

3 bloques

File de nuds de lappui 2 (20 nuds)

U1,U3, 2 et 3 bloques

U2

1

3

U1

U3

2

Chapitre 2


58

4.1. LE POIDS PROPRE Le poids propre de la structure est compos du poids des poutres principales, des lments transversaux, de la dalle et du ballast. Il est calcul en fonction de la densit des matriaux. La densit de lacier est considre de faon gnrale 7850 Kg/m3. Celle du bton est prise 2500 Kg/m3 ce qui englobe la masse des armatures. Outre ces deux matriaux, le ballast a un rle important dans le calcul du poids propre de louvrage, sa densit vaut 2000 Kg/m3. Ce dernier est considr comme uniformment rparti sur lensemble du tablier avec une paisseur de 0,6 m. Le tableau suivant illustre la rpartition du poids propre du pont de Bonpas. 88% du poids propre du pont provient de la dalle et du ballast. Masse (kg) % sur le

total Poutres principales 90 809 9 % Diaphragmes 25 411 3 % Dalle 384 000 40 % Ballast 460 800 48 % Total 961 020 Tableau 2.1 : rpartition du poids propre Le ballast est considr dans notre tude avec une paisseur fixe rpartie sur lensemble du tablier. Rglementairement, lpaisseur du ballast augmente au cours de la vie de louvrage du fait des oprations de maintenance. Cette augmentation qui est forfaitairement de 30 % est nglige dans notre tude afin de ne pas multiplier les cas de charges. Nous resterons dans la configuration du pont son ouverture au trafic.

4.2. LE SCHMA DE CHARGE DE LUIC 71 LUnion Internationale des Chemins de Fer a dvelopp un schma de charge communment appel UIC 71. Ce schma a t dfini de telle sorte que les sollicitations calcules qui en rsultent, pour les tabliers trave simple, couvrent celles calcules sous les convois-types de rfrence composs des matriels existants les plus agressifs et circulant chacun leur vitesse maximale autorise. Ce schma est dfini par le livret 2.01 mais aussi par lEurocode 1 [AFN.03a]. Il est compos de quatre charges ponctuelles de 250 KN et de charges rparties de 80 KN/m. Figure 2.23 : Schma de charge de lUIC 71

0,8 m 0,8 m1,6 m 1,6 m 1,6 m

4 x 250 KN

80 KN/m 80 KN/m

Chapitre 2


59

Les charges rparties de 80 KN/m nont pas de dimension limite sur louvrage. Elles doivent tre positionnes pour crer les sollicitations les plus importantes. Ce schma de charge est une dimension. Charger un pont avec des charges ponctuelles de 250 KN est trs pnalisant localement vis vis de leffort tranchant. De plus, le ballast qui maintient la voie sur louvrage permet de diffuser les efforts. Nous avons donc rparti ce chargement conformment au livret 2.01 de la SNCF qui considre que le ballast a un rle de rpartition transversale important. Figure 2.24 : Rpartition transversale des charges lie la prsence du ballast La force dessieu ponctuelle de 250 KN se rpartie sur une bande longitudinale continue de largeur : 2,25 + 2

e soit dans notre cas sur 2,8 m.

Cette rpartition transversale doit saccompagner dune rpartition longitudinale des forces afin dobtenir une charge rpartie. Or aucune indication nexiste sur cette rpartition longitudinale. Cependant, le schma du chargement de lUIC ci-dessus nous permet de dterminer cette rpartition en considrant que chaque force ponctuelle de 250 KN sapplique sur une zone de 1,6 m. Comme nous avons quatre forces, la zone concerne sera de 6,4 m linaire. Ainsi sur notre structure, le chargement rparti est appliqu sur une surface de 2,8 m de faon transversale et de 6,4 m de faon longitudinale.

2P

2P

0,23 m

0,6 m

0,4 m

traverse

ballast

dalle

2,25 + 2e

e

Chapitre 2


60

Figure 2.25 : Vue de dessus du chargement sur le maillage Les 4 forces ponctuelles de 250KN de lUIC sont remplaces par une charge rpartie sur une surface de 6,4 x 2,8 m, soit :

8,24,62504 250

=q =55,8 KN/m2.

La charge rpartie de 80 KN/ml de lUIC est rpartie de faon transversale sur une zone de 2,8 m, soit :

8,280 80 =q =28,6 KN/m2.

Cette modlisation permet dobtenir un chargement plus reprsentatif de la ralit. Ainsi une partie du chargement est au droit dune poutre centrale qui reprend alors mieux les efforts que dans le cas dune force ponctuelle. Mais bien que cette poutre reprenne mieux les efforts, le chargement reste dsax par rapport son centre de gravit donc la rpartition transversale de notre chargement reste conforme la sollicitation recherche.

Forces rparties UIC 55,8 KN/m2

2,8 m

3,2 m

Axe de symtrie

12,8m

15 m

poutre poutre poutre poutre

Axe de chargement

(voie)

Forces rparties UIC 28,6 KN/m2

Chapitre 2


61

4.3. LE CHARGEMENT DES ESSIEUX DU TGV 4.3.1. Bref historique du TGV Depuis son lancement en 1981, le TGV a beaucoup volu dans sa forme et sa technique, mais il conserve son principe de rame articule et indformable, c'est dire que les rames sont composes de deux motrices encadrant entre huit et dix voitures. Chaque rame possde une voiture bar, deux ou trois voitures "premire classe", les autres voitures sont consacres la "seconde classe". Toutes ces rames sont au moins bicourants et donc aptes circuler sous les deux types d'alimentation en vigueur la SNCF, c'est--dire le 1500 volts continu et le 25000 volts alternatif monophas, comme c'est le cas de nombreux types de locomotives lectriques. Le TGV est bas sur le principe de la rame articule et indformable, ce qui signifie que toutes les voitures sont solidaires et par consquent, un seul bogie est ncessaire entre chacune d'elles. Cela offre deux avantages principaux : dune part, comme les voitures sont lies entre elles, elles peuvent difficilement se coucher en cas de draillement, dautre part, cela diminue la rsistance l'avancement tout en amliorant le confort du voyageur, puisqu'il ne se trouve pas assis sur les "roues". Grce ce principe et la suspension pneumatique des bogies, le TGV offre 300 km/h un confort quivalent celui d'une rame "Corail" circulant 160 km/h. Certes cette configuration implique que chaque rame a une capacit invariable, entre 370 et 516 places suivant le type de TGV, mais elles sont couplables par deux grce a un attelage automatique situ dans le nez de chaque motrice. Les convois ainsi forms, ont une longueur comprise entre 400 et 475 mtres. Ce systme permet d'adapter plus facilement l'offre la demande. Ces rames parcourent en moyenne 350 000 400 000 kilomtres par an. 4.3.2. Le TGV atlantique La SNCF a lhabitude de dimensionner les ouvrages pour la circulation du TGV Atlantique. Une rame de TGV Atlantique est compose de 10 voitures encadres par deux motrices chaque extrmit. Chaque rame est constitue de 15 bogies et chaque bogie de 2 essieux. Au total, une rame est donc compose de 30 essieux. Le poids total dune rame avec ces voyageurs est de 510 T, chaque essieu reprend donc 17 T. Sauf pour les deux motrices dextrmit, lespacement entre deux bogies est de 18,7 m et celle entre deux essieux de 3 m.

Figure 2.26 : Distance entre deux bogies comportant 4 essieux sur le TGV Sur notre ouvrage de Bonpas, nous ne pouvons avoir plus de 2 bogies simultanment sur le pont. Lorsquun bogie est au centre du pont, les bogies qui lencadrent sont lextrieur de louvrage. Il ny a alors que deux forces dessieux situes au centre de louvrage. Cest ce cas que nous tudierons plus prcisment pour dterminer le comportement global de la structure

33

170 kN

18,7

170 kN 170 kN 170 kN

Chapitre 2


62

en statique. La charge tant au droit du diaphragme, linfluence de ce dernier est alors prpondrant dans la rponse de la structure. Pour les mmes raisons que pour le chargement de type UIC, nous rpartissons les forces ponctuelles de 170 kN des deux essieux spars de 3 m par un chargement surfacique. Ainsi nous limitons limpact de leffort tranchant d aux forces ponctuelles et nous prenons mieux en compte le rle de rpartiteur du ballast. Chacune des forces dessieu sera rpartie de faon transversale sur une distance de 2,80 m comme indiqu sur le schma de la figure 2.25. Pour la rpartition longitudinale, nous prenons en compte de faon plus prcise la rpartition dune roue sur les traverses de la voie (fig. 2.27). Nous nous sommes inspir du livret 2.01 de la SNCF qui propose une rpartition longitudinale dune demi force dessieu situe au droit dune traverse sur les deux traverses voisines dans le cas dune pause de voie sans ballast. Les traverses sont toujours espaces de 0,6 m. Nous avons adapt cette rpartition comme indiqu sur le schma ci-dessous.

Figure 2.27 : Rpartition transversale dune force sur trois traverses Ainsi, nous avons pu discrtiser le chargement dun bogie sur notre ouvrage en passant dabord la rpartition dune force ponctuelle sur trois traverses puis en transformant cette rpartition en charge surfacique (fig. 2.28).

Figure 2.28 : Rpartition longitudinale des forces ponctuelles dun bogie par des forces rparties Cette rpartition des efforts lavantage de sapprocher de celle dune roue dessieu puisque la sollicitation est plus importante au droit de cette roue. De plus, une zone non charge de 1,2 m est conserve afin de bien diffrencier limpact de chaque essieu sur la voie. Cependant, nous devons encore transformer cette rpartition longitudinale par rapport notre maillage pour pouvoir linscrire dans notre modle. La taille de nos lments dans cette direction est de 0,25 m. Certes nous pourrions modifier notre maillage dans le sens longitudinal afin davoir

0,2 P 0,2 P

0,6 m0,6 m

0,2 P 0,2 P

0,6 m0,6 m

3,0 m

0,6 m 0,6 m

0,6 P 0,6 P

1,2 m

0,2 P 0,2 P 0,6 P

P

rail

traverse

0,6 m 0,6 m

Chapitre 2


63

des lments de 0,20 m dans cette direction. Mais alors nous augmenterions le nombre dlments de 25 %, ce qui ne serait pas judicieux. Au lieu dalourdir de faon importante la taille de notre modle, nous avons modifi ce chargement tout en respectant un pic de sollicitation sous la roue et une zone sans charge entre les deux essieux dun bogie.

Figure 2.29 : Rpartition longitudinale des forces ponctuelles dun bogie par des forces rparties compatibles avec le maillage Ainsi, nous pouvons dfinir les zones charges de notre tablier sur notre maillage:

Figure 2.30 : Vue de dessus du chargement sur le maillage

0,5 m0,75 0,75 0,5 m

2,75 m

0,5 m 0,5 m

0,2 P 0,2 P 0,2 P 0,2 P

1,0 m

Forces rparties (48,6 kN/m2)

2

2,8 m

0,5 m Axe de symtrie

12,8m

15 m

poutre poutre poutre poutre

Axe de chargement

(voie)

Forces rparties (24,3 kN/m2)

2

0,5 m0,75 m0,5 m

0,6 P 0,6 P

Chapitre 2


64

5. MODLISATION DU COMPORTEMENT MCANIQUE DU BTON Les ouvrages mixtes sont constitus de deux matriaux : lacier et le bton. La modlisation de lacier ne pose aucun souci spcifique car son comportement mcanique est relativement simple. La thorie de la mcanique des milieux continus permet de dcrire son comportement plastique grce des critres de plasticit de type Von Mises. La modlisation du bton est bien moins vidente et son comportement mcanique est encore aujourdhui trs mal dcrit par les logiciels utilisant la mthode des lments finis. En effet, le dveloppement de micro-fissures trs rapidement obtenues en traction, gnre dnormes difficults de convergences de ces logiciels. Le comportement du bton est trs fortement htrogne et la mcanique des milieux continus est un outils relativement mal adapt dans ce cas de figure. Cest pourquoi un grand nombre dtudes sur les ouvrages dart ngligent totalement le comportement plastique du bton en le considrant comme un matriau parfaitement lastique [STE.64, YOO.86, ZHA.03]. Cependant, lentretoisement intermdiaire a une influence sur la fissuration du bton [ZHO.04]. Notre tude ne pourrait tre complte sans une analyse de la fissuration du bton.

5.1. ASPECT PHNOMNOLOGIQUE DU BTON Le bton est un matriau composite constitu dune matrice de ciment et dinclusions de granulats ou dagrgats (sables, graviers). A lhtrognit de la composition du bton vient sajouter celle dite structurelle et qui consiste lexistence de dfauts initiaux (microfissures) entre linterface des granulats et de la pte de ciment qui constitue le lien le plus faible du matriau. Des microfissures peuvent galement tre gnres dans le ciment par diffrents facteurs, tels que le retrait hydraulique engendr par une vaporation de leau, le retrait thermique engendr par une variation de temprature ou une consolidation incomplte du ciment entranant la formation de microcavits [NEV.00]. Lorsque le bton est soumis une sollicitation, des microfissures supplmentaires peuvent se former suite des concentrations de contraintes isoles dues des dformations incompatibles entre les granulats et le ciment. Ces microfissures peuvent ventuellement se rejoindre pour un chargement plus important et former alors une macrofissure entranant la rupture du matriau. A lchelle macrostructurelle, le dveloppement de macrofissures est accompagn par une diminution des contraintes et dune augmentation de dformations. Ce comportement dit adoucissant ou quasi-fragile est associ un phnomne de localisation des dformations. En effet, le mode de dformation est non homogne, cest--dire que les dformations se concentrent dans des zones localises de faibles dimensions (le long des macrofissures dans le cas du bton) alors que tout le reste du bton tendance se dcharger. De par sa nature htrogne, le bton prsente donc un comportement mcanique trs complexe englobant un comportement fortement non linaire sous un tat de contraintes multiaxiales.

5.2. CADRE THORIQUE DE LA MODLISATION DU BTON Les modles prsents dans cette partie considrent que le bton est un matriau homogne puisque lchelle des applications numriques est en gnral suffisamment leve pour permettre cette hypothse. La principale difficult de la modlisation du bton par lments finis est engendre par la nature mme de la fissure. En effet, une fissure est une discontinuit gomtrique qui divise le matriau alors que la mthode des lments finis est une technique base essentiellement sur la mcanique des milieux continus. Ce paradoxe entre le problme pos et loutil de modlisation ncessite le dveloppement de schmas spcifiques.

Chapitre 2


65

Les premiers travaux en matire de modlisation de fissuration ont t ceux de Ngo et Scordelis en 1967 [NGO.67] qui ont introduit le concept de la fissuration discrte et ceux de Rashid en 1968 [RAS.68] qui introduit le concept de la fissuration diffuse. 5.2.1. La fissure discrte Un nud du maillage est divis en deux nuds distincts lorsque le critre de fissuration est viol. La figure ci-dessous montre lvolution du maillage pendant la cration dune fissure. Cette technique de prise en compte de la fissuration semble vritablement proche de la ralit. Cependant, il est clair que le problme peut devenir numriquement lourd car le maillage est constamment reconstruit et le nombre de degrs de libert croit rapidement. De plus, la direction des fissures est conditionne par la direction des lignes du maillage [GEO.98].

Figure 2.31 : Modle discret de fissure 5.2.2. La fissure diffuse La thorie de la plasticit assimile les microfissures du bton des dformations irrversibles indpendantes du temps. Elle est base sur une approche thermodynamique qui introduit un milieu continu homognis quivalent au milieu rel et qui reprsente les phnomnes physiques microscopiques par des variables internes macroscopiques. Cette thorie est largement dtaille aujourdhui dans de nombreux ouvrages, citons par exemple celui de Lemaitre et Chaboche [LEM.01]. Nous allons dans cette partie prsenter le modle bton du logiciel Abaqus version 631 et le cadre sa formulation.

5.3. UN MODLE ELASTOPLASTIQUE POUR LE BTON Le bton est un matriau qui appartient la famille des matriaux quasi-fragile. Pour des charges relativement faibles, le bton reste dans le domaine lastique, cest--dire que les dformations sont le rsultat de mouvements quasi rversibles datomes. Pour des sollicitations plus importantes, la rupture a lieu rapidement do le caractre fragile de ce matriau. Cest le phnomne de la dcohsion pte-grains qui donne alors lieu des dformations permanentes et de ruptures. Des glissements apparaissent dans les cristaux des grains, contribuant eux aussi la dformation permanente qui se produit volume constant [LEM.01]. Le comportement fragile du bton disparat lorsque la pression de confinement est suffisamment importante pour empcher la propagation des fissures. La rupture dpend alors de la consolidation et de laffaiblissement de la structure microporeuse [SIE.01]. Cependant,

Avant fissuration Aprs fissuration

Chapitre 2


66

le modle prsent ici nintgre pas le comportement du bton confin afin de rester dans un modle de matriau quasi-fragile. Le modle bton damaged plasticity model for concrete and other quasi-brittle materials dAbaqus 631 [HIB.02] permet de grer les problmes de plasticit coupls lendommagement du bton non visqueux. Il est bas sur une approche de fissuration rpartie. Nous nutiliserons pas dans le cadre de cette thse le paramtre dendommagement du modle. 5.3.1. Hypothse de partition La thorie de la plasticit permet de dcrire le caractre irrversible des dformations que lon appellera p. La partition de la dformation totale est effectue en une partie lastique et une partie plastique ou permanente. Les dformations lastiques mettent en uvre une nergie dite lastique rversible qui est donc restitue lors de toute dcharge, tandis que les dformations plastiques conduisent la dissipation en chaleur dune nergie irrversible.

plel &&& += (2.1) Rappelons que dans le cadre dune thorie de petite dformation, le tenseur de dformation est obtenu partir du premier gradient du champs de dplacement ( )zyx uuu ,,=u tel que :

)(21 ,, ijjiij uu += (2.2)

5.3.2. Relation contrainte-dformation La relation contrainte-dformation est dfinie par : )( : plel D = dans laquelle elD est la matrice de raideur lastique. 5.3.3. Loi dcrouissage. La loi dcrouissage est isotrope. Lvolution de la surface de charge est gouverne par une seule variable scalaire : la dformation plastique cumule pl~ (equivalent plastic strain). Lcrouissage isotrope correspond une dilatation simple du critre initial, comme le rappelle la figure ci-dessous dans lespace des contraintes et la courbe contrainte-dformation plastique en traction-compression.

Chapitre 2


67

Figure 2.32 : Ecrouissage istrope (daprs [LEM.01]) Cette figure montre pourquoi la dformation plastique cumule peut tre employe comme variable dcrouissage isotrope : les points M et M ont mme tat et mme dformation plastique cumule : OI+IP=OI+IP. Le taux de dformation plastique quivalent (equivalent plastic) est :

plplpl &&& : 23 ~ = (2.3)

et ainsi la dformation plastique cumule : = t plpl dt0 ~ ~ & (2.4) Comme le comportement du bton est diffrent en traction et en compression, le modle bton dAbaqus prend en compte deux variables dcrouissage indpendantes plt~ et plc~ . Lvolution des variables dcrouissage est donne par :

= pl

c

pltpl

~~

~ ; plplpl h && )~,( ~ = (2.5) Les micro-fissures en traction et les crasements en compression sont reprsents par une augmentation des valeurs des variables dcrouissages. Ces variables contrlent lvolution de la surface de charge. 5.3.4. Fonction de charge A tout modle lasto-plastique est associ un critre de plasticit qui dfinit le domaine dlasticit dans lequel le comportement du matriau reste rversible. Il dfinit galement le domaine plastique et permet ainsi de spcifier quand a lieu lcoulement plastique. Cette fonction est appele fonction de charge ou critre de charge. En crouissage isotrope, cette surface de charge est caractrise par une fonction f qui dpend de ltat de contrainte et dun paramtre scalaire pl~ reprsentant lcrouissage. Le modle Abaqus prend en compte deux variables scalaires dcrouissage qui est alors un vecteur pl~ .

0 )~,( =plf . (2.6)

Chapitre 2


68

Lcoulement plastique a lieu lorsque le point reprsentant ltat de contrainte est sur la surface de charge. Ce point doit rester sur cette surface le long de lcoulement plastique, ce qui conduit la condition de consistance :

0 )~,( =plf & . (2.7) Ltat de dcharge se produit pour 0 )~,( =plf et 0 )~,( plf & (2.8) Le modle dlasto-plastique du bton utilise la fonction de charge dveloppe par Lubliner et al. [LUB.89] et incorpore de plus les modifications proposes par Lee et Fenves [LEE.98] pour tenir compte des volutions diffrentes de rsistance entre la tension et la compression : ( ) 0 )~( )~(3

-11 )~,( maxmax += plccplpl pqf (2.9)

dans laquelle :

I : 31 =p est la pression hydrostatique,

SS : 23 =q est la contrainte quivalente de Von Mises pour laquelle

IS += p est le tenseur du dviateur du tenseur des contraintes , max est la valeur algbrique maximum des valeurs propres de .

Les contraintes principales de sont les solutions de : det [ ]I =0, cest--dire les racines de lquation du troisime degr suivante :

++++++ 231312332211212213223331133222211233223 2()()(11

0)21233

21322

22311 = (2.10)

max est alors la plus grande valeur algbrique de ces racines tel que max moy min

La fonction )~( pl est donne par : )1( )1()~()~(

)~( += pl

tt

plccpl dans laquelle )~( plcc et

)~( pltt sont respectivement les valeurs de la contrainte uniaxiale de compression et de traction dfinie par lutilisateur dans le jeu de donnes. Le coefficient est dtermin par la contrainte lastique en compression uniaxiale 0c et par la contrainte lastique en compression biaxiale 0b :

00

00

2

cb

cb

= (2.11)

Les valeurs exprimentales types donnent : 16,10

0 =c

b

donc 12,0 = [LUB.89].

Le coefficient est obtenu par : 12)1(3

=c

c

KK o Kc est une constante : Kc = 3

2 , ainsi =3.

Chapitre 2


69

Figure 2.33 : Surface de charge dans un tat plan de contrainte principale 5.3.5. Plasticit non associe loi dcoulement Contrairement la plupart des aciers, le bton comme les gomatriaux fait appel la plasticit non associe afin de mieux reprsenter le comportement dilatant de ces matriaux. Lcoulement plastique est normal un potentiel plastique qui est diffrent de la surface de plasticit. Le schma de la plasticit non associe ncessite lemploi de trois potentiels : lnergie libre , la surface limite dlasticit f=0 et une surface potentielle G=cte qui donne la direction de lcoulement dans lespace des variables forces gnralises. Lcoulement plastique dpend du potentiel plastique G conformment la loi dcoulement :

= )(Gpl && dans laquelle & est un multiplicateur plastique positif ou nul. (2.12)

& est nul lorsquil ny a pas dcoulement, cest--dire : f < 0 ou f = 0 et 0 :

&f (2.13)

Le potentiel dcoulement choisit dans le modle Abaqus est la fonction hyperbolique de Drucker-Prager :

tan )tan ( 220 pqG t += (2.14) o est langle de dilatation mesur dans le plan p-q pour des hautes sollicitations de confinement, p est la pression hydrostatique, q la contrainte quivalente au sens de Von Mises,

2

1. .

.

.

. 01 )3 (1

1cpq =+

02 )3 (11

cpq =+0t

),( 00 bb

tension uniaxiale . tension biaxiale

compression uniaxiale

compression biaxiale

0c

0 )3 (11

cpq =

Chapitre 2


70

0t est la contrainte de traction uniaxiale la rupture et est un paramtre qui se rfre une excentricit et qui dfinit le taux pour lequel la fonction approche de lasymptote. 5.3.6. Visualisation des fissures Figure 2.34 : Direction des fissures Linitiation dune fissure en un point a lieu lorsque la variable plastique dcrouissage

= pl

c

pltpl

~~

~ est plus grande que zro et lorsque la plus grande dformation plastique dans le

repre principal des dformations est positive : 0 max pl . La direction des fissures en ce point est alors orthogonale la direction de la contrainte maximale principale. 5.3.7. Conclusion sur le modle lastoplastique Le modle que nous venons de prsenter est laboutissement des travaux de diffrents chercheurs [OLL.90, LUB.89, LEE.98]. Cependant, les modles bton des logiciels aux lments finis comme Abaqus sont souvent peu robustes et ils finissent par diverger rapidement ds que le critre de fissuration est atteint [ZHO.04]. Leur utilisation est donc particulirement dlicate : le problme majeur de ces logiciels est la forte localisation des dformations. Pour viter au maximum les divergences numriques, le paramtre principal est la dfinition de la loi contrainte-dformation puisque cette dernire permet de calculer les valeurs dcrouissage. Cette loi ne doit pas poser des problmes dintgration numrique. Lutilisation des nergies de fissuration permet doffrir a lalgorithme du modle une bonne capacit de convergence. La partie suivante de ce chapitre traite de cette difficult.

5.4. PROBLME DE LOCALISATION DES DFORMATIONS 5.4.1. Comportement adoucissant Lhtrognit du matriau bton conduit son comportement non linaire et fait appel lutilisation de la mcanique de rupture non linaire. Cette dernire ncessite que la zone proche du front de fracture ne soit pas trop importante. Le comportement du bton peut alors tre considr comme similaire celui ductile de lacier la diffrence prs que son comportement post pic des dformations est beaucoup plus adoucissant (strain-softening)

x

y

y x

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71

cause de la grande taille des agrgats. Ainsi la thorie non linaire de fracture dveloppe pour lacier ne peut pas tre transpose directement au bton. Bazant et Oh [BAZ.83] dcrivent le comportement du bton en faisant lhypothse que la fracture dans un matriau htrogne peut tre modlise par un matriau quivalent homogne, en remplaant la fissure par une bande parallle, densment remplie de microfissures uniformment rparties. 5.4.2. Energie de fissuration Le bton appartient la famille des matriaux fragiles. A partir dun certain niveau de chargement, les essais en laboratoire (compression uniaxiale) montrent une concentration des dformations suivie dun accroissement rapide de ces dformations dans des zones dpaisseur faible. Dun point de vue mcanique, lapparition dune bande de localisation est associe celle dune surface de discontinuit des dformations. Les quations aux drives partielles gouvernant lquilibre changent alors de nature et il sensuit que le problme dcrivant lquilibre devient mal pos. En statique, le problme dquilibre est caractris par une perte dellipticit conduisant lexistence dune infinit de solutions, dont certaines prsentent des discontinuits du champ de dplacement [PEE.02]. Diffrentes approches, dites de rgularisation ont t suggres pour prserver la nature des quations. Ceci se traduit le plus souvent par lintroduction dun paramtre longueur caractristique dans le modle jouant le rle de limitateur de localisation et rendant compte du caractre fini de la zone localise. Hillerborg en 1976 [HIL.76] choisit pour le milieu un pseudo-comportement qui dpend de la finesse du maillage. Il fait ainsi dpendre la pente post-pic de la relation contrainte-dformation avec la taille de llment de manire dissiper la rupture une nergie de fissuration constante. Cette approche constitue une avance vers une description non locale du milieu continu. Elle est base sur une loi issue de la mcanique de la rupture selon laquelle lnergie de fissuration en mode I est dfinie par :

= uf duG 0 o u est le dplacement douverture des fissures. Figure 2.35 : Reprsentation dune fissure discrte par une fissuration rpartie [MEF.97] Dans une approche par fissuration rpartie, la fissuration est reprsente par une zone de localisation de taille w dans laquelle la dformation plastique p est uniformment rpartie.

u

w

p

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Lnergie de fissuration peut alors tre exprime:

== uk0 ff gwdkwG (2.15) o gf est lnergie locale de fissuration reprsente par laire sous le diagramme dcrouissage (figure 2.36). Figure 2.36 : Diagramme dadoucissement linaire du bton en traction Cette approche considre lnergie de dformation Gf comme un paramtre caractristique constant du matriau. Ainsi Bazant & Oh [BAZ.83] vitent la sensibilit de la solution la taille du maillage. Le paramtre dcrouissage ku est calcul de manire ce que le paramtre local gf dissipe lnergie de fissuration Gf sur llment. Dans le cas du comportement adoucissant linaire, lexpression de la dformation plastique ultime est tablie en fonction de la taille de llment fini wc :

ct

f

t

fu wf

Gf

gk

2 2 == (2.16)

Prenons en compte une loi uniaxiale contrainte-dfomation plastique provenant de lexprimentation. Celle-ci nest en ralit pas linaire. Les aires sous les courbes sont respectivement gt et gc ; ce sont les nergies locales de fissuration. Figure 2.37 : Courbe uniaxiale contrainte dformation plastique en traction (a) et en compression (b) La loi dcrouissage est alors donne par : [OLL.90]

ku

0=ft

gf

k

gt gc

ft0 fc0

cp tp p p

(a)

(b)

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= pt ptt

p dg

k 0

1 en traction uniaxiale, et (2.17)

= pc pcc

p dg

k 0

1 en compression uniaxiale. (2.18)

La loi dcrouissage )( pkf= doit satisfaire :

0)0( tt ff = et 0)1( =tf en traction et, (2.19) 0)0( cc ff = et 0)1( =fc en compression. (2.20)

Figure 2.38 : Loi dcoulement en compression et en traction

La densit dnergie de fissuration est donne par : pxx dkg = 0 (2.21) Pour maintenir lobjectivit des rsultats au niveau structurel, Oller et al. [OLL.90] sappuient sur les tudes de Bazant et Oh [BAZ.83] et liminent au maximum la sensibilit du modle au maillage en posant :

c

tt l

Gg = et

c

cc l

Gg = avec Gt , Gc, lc respectivement lnergie de fissuration en traction,

lnergie de fissuration en compression et la longueur caractristique dun lment du maillage. 5.4.3. Loi uniaxiale de comportement du bton: Dans le cadre de la thorie de la plasticit le comportement du matriau est gr par la connaissance de la courbe uniaxiale liant chaque pas de temps la contrainte nominale la variable dcrouissage. Cest pourquoi il est important de dfinir correctement cette courbe afin de dcrire le plus fidlement possible le comportement rel du bton.

ft0

fc0

kp

1

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Dans le cas de la traction comme dans le cas de la compression, une relation exponentielle approprie est utilise :

( )[ ])2exp()exp(10 xxxxxxxx kbakbaf += (2.22) avec fx0 la contrainte limite dlasticit et ax et bx deux paramtres du modle dtermins partir des essais uniaxiaux. La constante ax dtermine si on a un crouissage positif aprs avoir atteint la limite dlasticit : at > 1 implique un crouissage durcissant (hardening) et correspond au cas de la compression, ac < 1 implique un crouissage adoucissant (softening) et correspond au cas de la traction. La densit dnergie de fissuration nous donne en intgrant :

)2

1(00

x

x

xxx

abf

dkg +== (2.23)

5.4.3.1. Cas de la traction Les paramtres at et bt sont dtermins de sorte que cette courbe reproduise la rponse du matriau lors de la traction. Le comportement du bton en traction est suppos linaire jusquau pic des contraintes. Or le paramtre at pilote le comportement avant le pic (en crouissage positif), il ne reprsente donc pas une caractristique physique pour le comportement du bton en traction. De ce fait, on peut choisir une valeur fixe pour ce paramtre : at = -0,5 donne une bonne reprsentation de la courbe uniaxiale.

La valeur de bt est alors : )21(0

t

t

ctt

aGl

fb += (2.24)

5.4.3.2. Cas de la compression Le comportement du bton en compression est suppos lastique jusqu sa limite dlasticit fc0. Aprs cette limite, le bton prsente un comportement crouissable durcissant jusqu sa rsistance en compression fc, qui se termine par une branche adoucissante. A partir de la loi dcrouissage et de la valeur de la densit dnergie de fissuration nous obtenons :

[ ])2exp( )exp()1(2 2

1 11 0

ppe p babaa

dg

kp

++== (2.25) donc pour a0 : [ ] )2(1 11 )exp( kaaa

ab p +++= (2.26)

en injectant cette expression dans lquation de la contrainte sans distinguer la compression de

la traction, nous obtenons : ( ) ( ) ( )[ ]kkaafkf )1( 0 +== , (2.27)

dans laquelle kaak )2(1)( ++= . (2.28)

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Dans le cas de la compression a > 1 ; lquation f(k) admet alors une valeur maximale :

aaf

fm 4)1(

2

0 += pour 0

2

00 )( 21 2

ff

ff

ff

a mmm += . (2.29) Dans le cas de la compression, la valeur maximale de cette fonction est obtenue au pic

cm ff = , ce qui nous permet dexprimer 0

200

)( 21 2 c

c

c

c

c

cc f

fff

ffa += . (2.30)

Par exemple, une valeur de cc ff 5,0 0 = nous donne ac = 5,8. Le paramtre bc peut maintenant sobtenir facilement en utilisant le mme procd que pour la traction. Dans ce cas lnergie de rupture en compression est utilise :

)2

1(0c

c

ccc

aGl

fb += . (2.31) 5.4.4. Gnralisation ltat de contraintes multiaxiales Par mesure dhomognisation des notations, nous prendrons les mmes conventions de signe que dans le logiciel ABAQUS soit > 0 pour des contraintes de traction et < 0 pour celles de compression. Nous allons tendre les dfinitions prcdentes (obtenues pour un chargement uniaxial) un tat de contrainte pluriaxial. Dans un premier temps, considrons un tat de contrainte purement de compression ou purement de traction (mais pas obligatoirement uniaxial). Nous notons les contraintes principales 1 , 2 et 3 dans lordre croissant tel que 1 2 3 . Nous avons alors bien 3 0 pour un tat de contrainte en traction pure et 1 0 pour un tat de contrainte en compression pure. Plus spcialement, si nous considrons une compression biaxiale, alors naturellement 1 = 0 (uniquement deux valeurs algbriques ngatives pour les contraintes principales). Lubliner et al. (1989) dmontrent que mme dans le cas o la valeur du paramtre dcrouissage k, correspondant au pic des contraintes, est la mme pour la compression biaxiale et pour la compression uniaxiale, la formule n 2.18 ne peut tre utilise en tat de contrainte biaxial. Il propose une dfinition alternative de k dans un tat de contrainte de compression pure :

pc

ckf

gk 3)(

1 && = tel que 0 1 2 3 . (2.32) De faon analogue pour une traction pure pt

tkf

gk 1)(

1 && = tel que 1 2 3 0. (2.33) Finalement Lubliner et al. [LUB.89] considrent un tat de contrainte quelconque (ni purement en compression, ni purement en traction) et proposent lquation suivante qui vrifie les relations :

pc

c

pt

tkf

grkf

grk 31 )(

)(1 )()( &&& = (2.34) dans laquelle )(r est un facteur poids qui dpend de et qui est compris entre 0 )(r 1 et qui est tel que :

- dans le cas de la compression pure (toutes les valeurs algbriques des contraintes principales sont suprieures zro)

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)(r = 0 - dans le cas de la traction pure (toutes les valeurs algbriques des contraintes

principales sont suprieures zro) )(r = 1.

Cette fonction est loprateur : =

== 31

3

1 )(

ii

ii

r

(2.35)

Dans laquelle les parenthses de Macauley )(21 xxx += . (2.36)

En exemple prenons le cas dun tat de contrainte biaxial tension-compression ( 1 > 0, 2 = 0, 3

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Cette courbe contrainte-dformation dpend de lnergie de fissuration. Or cette nergie est relativement mal connue, comme le souligne Nechnech [NEC.00]. Pour un bton traditionnel, lnergie de fissuration en traction se situe entre 0,05 et 2 Nmm/mm2 , ce qui est une fourchette large. Cependant Nechnech montre que la valeur de tG 0,06 Nmm/mm2 conduit des rsultats numriques en adquation avec des essais de traction pour des btons ordinaires. La longueur caractristique de notre maillage sera prise comme la plus faible longueur des lments volumiques soit cl = 0,02 m. Ainsi nous obtenons tb =500 pour ta =-0,5 En ce qui concerne lnergie de fissuration en compression, Nechnech montre quelle est 50 fois plus importante que celle en traction : cG =50 tG , ce qui nous donne : cG 3 Nmm/mm2. Comme cf = 32 MPa et que 0cf = 19 MPa, alors nous avons daprs lquation 2.30 :

=ca 4,5. Le paramtre cb avec la mme longueur caractristique cl =0,02 est alors : =cb 412. En dfinitive, nous obtenons la courbe contrainte-dformation suivante :

-35-30-25-20-15-10-505

-0,01 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004

dformation

contrainte (MPa)

compression

traction

Figure 2.39 : Courbe contrainte-dformation du bton

6. MODLISATION DU COMPORTEMENT MECANIQUE DE LACIER

Afin dassurer la prennit de louvrage et sa scurit structurelle, lacier qui constitue la charpente porteuse des ponts poutres, doit travailler uniquement dans son domaine lastique Nous avons donc modliser le matriau acier laide dune loi de comportement lasto-plastique parfaite sans crouissage base sur le critre tridimensionnel des contraintes de Von Mises. Lacier utilis dans la conception du pont de Bonpas est un acier S355, la limite dlasticit utilise dans notre modle est de 355 MPa. Nous considrons que lorsque ce matriau quitte le domaine lastique, louvrage nest plus apte son exploitation. La mme loi de comportement de lacier est utilise pour les armatures avec une limite dlasticit de 500 MPa.

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7. CONCLUSION : DFINITION DUN PROGRAMME DANALYSE UTILSANT NOTRE MODLE NUMERIQUE

Dans ce chapitre, nous avons prsent louvrage de rfrence de notre tude et sa modlisation tridimensionnelle laide dlments finis. Nous avons aussi prsent et identifi les paramtres du modle lastoplastique que nous utilisons pour dcrire le comportement mcanique du bton. Le modle numrique que nous venons de dcrire peut servir de rfrence toutes modlisations douvrages dart de ce type. Cependant, comme tout modle numrique, sa validation est ncessaire. Dans cette optique, nous avons effectu des essais exprimentaux sur une maquette lchelle 1/5 du pont de Bonpas. Cette exprimentation fait lobjet du quatrime chapitre de cette thse. Sans rentrer plus avant dans ce chapitre, nous soulignons ce niveau, que les essais ont permis de valider compltement le modle dvelopp. Nous pouvons donc lutiliser afin de juger de faon numrique de linfluence du diaphragme intermdiaire. Le rle du diaphragme pouvant tre multiple, nous analyserons toutes les configurations qui nous ont sembl pertinentes :

1) analyse statique : Lanalyse statique est ncessaire pour dimensionner et comprendre le fonctionnement dun ouvrage. Nous devons considrer le poids propre de louvrage et le chargement des vhicules (UIC 71 et TGV). Cependant, le chargement statique des vhicules est trs faible vis vis du poids propre dun pont ferroviaire. Le comportement transversal ne sera alors que faiblement mis en jeu sous ce type de sollicitation.

2) analyse la rupture :

Afin de mettre en valeur le comportement transversal de louvrage, nous augmenterons les charges des vhicules pour obtenir le comportement ultime de louvrage sous une sollicitation dsaxe (positionne au droit dune voie ferroviaire).

3) Analyse des modales :

La vitesse est un paramtre fondamental dans ltude de ponts ferroviaires. La premire tape consiste toujours extraire les modes propres de la structure. Ils nous permettent de connatre les frquences propres de louvrage et la forme des modes propres.

4) Analyse dynamique : L analyse dynamique nous permet dapprhender les phnomnes dexcitation dun ouvrage sous le passage dun train grande vitesse. Le chargement correspondant au TGV est effectu en dplaant le vhicule sur le pont diffrentes vitesses.

5) Analyse au choc : Outre le fonctionnement normal dun pont, le diaphragme peut avoir une influence sous une sollicitation latrale au niveau dune poutre.

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Ces diffrents analyses sont dcrites dans le chapitre suivant, elles permettent de quantifier lapport dun diaphragme intermdiaire vis--vis du comportement dun multipoutre.

Pont d'embarquementPage de titreListe des professeurs de l'INSA de LyonListe des coles doctorales et des diplmes d'tudes approfondies de l'INSA de LyonDdicaceRemerciementsRsums - AbstractSommaireIntroduction gnraleChapitre 1 : tude bibliographiqueChapitre 2 : Simulation numrique permettant de qualifier l'entretoisementIntroductionChoix dune structure representativeSituation de louvrageCoupe transversale du quadripoutre de Bonpas

la discrtisation de la geometrieChoix de la nature des elementsElments poutresElments plaquesElments volumiques

Taille des lmentsMaillage des connexionsMaillage de la structureLes poutresLe tablierLes armaturesLes diaphragmesVue globale du maillage de la dalle et des poutres

Les conditions dappuisLes appareils dappuisConditions dappuis modlises

Modlisation des chargementsLe poids propreLe schma de charge de lUIC 71Le chargement des essieux du TGVBref historique du TGVLe TGV atlantique

Modlisation du comportement mcanique du btonAspect phnomnologique du btonCadre thorique de la modlisation du btonLa fissure discrteLa fissure diffuse

Un modle elastoplastique pour le btonHypothse de partitionRelation contrainte-dformationLoi dcrouissage.Fonction de chargePlasticit non associe loi dcoulementVisualisation des fissuresConclusion sur le modle lastoplastique

Problme de localisation des dformationsComportement adoucissantEnergie de fissurationLoi uniaxiale de comportement du bton:Cas de la tractionCas de la compression

Gnralisation ltat de contraintes multiaxialesParamtres du modle

Modlisation du comportement mecanique de lacierConclusion : Dfinition dun programme danalyse utilsant notre modle numrique

Chapitre 3 : Analyse numrique de l'entretoisement intermdiaire d'un multipoutre mixte ferroviaireChapitre 4 : Exprimentation d'un entretoisement en bton et validation numriqueConclusion gnraleRfrences bibliographiquesAnnexesFolio administratif

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10_chapitre_2

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