Phys I SV 201310-1

10: Systèmes de plusieurs objets

I.Comment décrit-on le mouvement linéaire d’un système d’objets ?Le centre de masse (CM)La dynamique et l’énergie mécanique d’un système de N objets

II.Qu’est-ce qui met un objet indéformable en rotation ?Rappel: Dynamique des rotations du point matérielLe moment d’une force (couple)

Giancoli chapitres 9-8, 9-9; 10-3, 10-4, 11-2

Préparation au cours et aux exosChapitres du Giancoli à lire avant le cours (2.5 p):

9-8 Center of Mass10-4 Torque

Exercices simples (5) à faire avant la séance d’exos:Giancoli 9-62, 63 10-25, 29, 30

Phys I SV 201310-2

10- - Centre de Masse (CM)

Pendant les leçons 1-9 nous avons idéalisé la dynamique et la cinématique des corps par un objet sans dimensionsQuestion: Comment tenir compte que des objets sont en trois dimensions ?En termes physiques, quel élément définit position, vitesse, accélération, quantité de mouvement etc., d’un tel objet ?

Situation: Deux masses m1 et m2 à se trouvent à x1 et x2

Définition: La position xCM du centre de masse est de

M

xmxm

mm

xmxmCMx 2211

21

2211

Masse totale: M=m1 + m2

m1 m2

x2x1 xCM

Pour deux masses identiques:

Règle 1: Le centre de masse d’un objet homogène est sur son axe/plan de symétrie (s’il existe)

221 xx

CMx

Phys I SV 201310-3

… et d un objet de géométrie complexe

Il s’en suit la généralisation en 3D (vectorielle) :

Le CM est un point dans l’espace, pas nécessairement occupé par la matière.

M

N

kkk

CM

xmx 1

Pour N masses, le centre de masse (CM) en x se trouve à

ainsi qu’en y et en z: N

kkmM

1 My

N

kkk

CM

ym1

Mz

N

kkk

CM

zm1

Mr

N

kkk

CM

rm1

objetm

N

kkk

CM dmrMM

rmr

k

10lim

1

Un objet indéformable peut être construit comme une somme de N petites masses m :

objet

dmM]3[kg/m

dV

dm

espaceCM rdrr

Mr 3)(1

espace

rdrM 3)(

NB. Avec la définition de masse volumique :

3r = ??

Phys I SV 201310-4

Comment déterminer le CM en z du cylindre conique ?

CM ?

CMA

CMB

Ex. Centre de masse des objets homogènes composites

h

h

dzz

dzz

0

2

0

3

3

4

0

3

0

4

43

3

4hh

z

z

z h

h

CM

masse volumique constante

r/z= tan

tanzr

2

2

tantan

dm

zdmzCM

hzCM 43

dzrdm 2

=

dzz 22tan

Pour la dérivation du centre de masse, on peut utiliser le centre de masse de chaque objet comme s’il était un objet ponctuel avec une masse égale à la somme de leurs masses.

NB. CM d’un objet avec trou ?

= -

y

1.5 m

0.5 m

-1.5 m

mmyCM 3

5.0mmyCM 4

0m

myCM5.0

Avec masse négative !

Phys I SV 201310-5

Quiz: Quelle hauteur peut-

Situation: En 2009 Usain Bolt a battu le record mondial en courant 100 m en 9.6s et celui du 200m en 19.2s. (Quelle était sa vitesse moyenne ?)Question: Selon la conservation de l’énergie mécanique, avec une vitesse de 10m/s quelle est la hauteur maximale (approximative) que l’on peut sauter ?

A. ~ 4.5m

B. ~ 5m

C. ~ 6.5m

» Le record de Bubka (1994) est à 6.14 m

Conclusion ? mh

msgmsvg

vhmghvm

5;10;10

2221

22

Phys I SV 201310-6

10-2. Dynamique de N objets 2ème loi de Newton et énergie mécanique

Force « interne »: Pour chaque force qui agit sur un membre par un autre membre du système, il existe une force opposée qui s’applique sur l’autre (actio=reactio) :

intextk ii

FFF

Exemple de force interne: collision entre deux membres du système

Exemple de forces externe: gravitation de la Terre

m1g m2g

F1

F2

La somme de toutes les forces qui agissent sur un système est égale au produit de sa masse M avec l’accélération du CM, aCM

N

kkkCM rmrM

1

N

k

kk

CM

dt

rdm

dt

rdM

1 2

2

2

2

La définition du CM:

Dérivée seconde de cette équation nous donne

N

kikk Fam

1

CMext

i aMF

Fint=0

ka

0

CMa

Phys I SV 201310-7

dtPd

Fextm2

x

y

m1m3

v1

v2

v3

N

kkkCM rmrM

1

N

k

kk

CM

dt

rdm

dt

rdM

1

CMext

i aMF

La définition du CM:

La dérivé de cette équation nous donne

N

k

N

kkkk pvm

1 1

N

kkpP

1

dtvd CMM

dtPd

CMCM vdt

rd

N

kk

CMN

kkk m

vvmK

1

2

1

2

221

Energie mécanique d’un objet indéformable

constCMk rr

CMCMk v

dtrconstd

dt

rd

2

2CM

CMvM

KN

kkk hmgU

1

CMCM MghU

N

kkkCM rmrM

1

Exemple: Un petit barrage de hauteur de 10mavec turbine en bas. Le lac stocke de l’eau dans un volume de 500·100·10 m3.Question: Quelle énergie maximale ce lac peut-ilfournir ?

UCM = MghCM = 500 106 10 5 m = 25 109 J = 7 MWh

Quantité de mouvement

PvM CM

CMa

Phys I SV 201310-8

Réponse: Quelle hauteur peut-

Avec une vitesse de 10m/s la hauteur maximale que l’on peut sauter est ~5.1m

le record de Bubka (1994) est à 6.14 m[Pour les femmes est 5.06 m (Isinbayewa, 2009); v~9m/s 4.1m]

Explication:1. CM humain est ~ 0.56h, pour un homme de h=1.9 m à 1.05m 2. On commence à sauter d’un niveau de 1.05m …3. Mais …

En passant la barre en position horizontale (0.2m de plus pour le CM), la vraie hauteur maximale du CM est 6.34m

Question: La déformation de la barre entrera-t-elle en jeu ?

Autres considérations: 1. corps en forme « banane » au sommet.

(Pourquoi ?)2. extension du bras, est-ce important ?

1110011010010100100001111100000000000 888888888888810110111111010100101011111101010101001111111101010011111101001001000011110010111110001110011111011011111111111110011111010111110101111100010100110000111100110100111100011100100001110100001110000100011000100110000011001100110010111001000100--88888888888888

Phys I SV 201310-9

+

+

+

++

= 0

= 0

= 0

= Fext

x

y

m1

m2

m3

F13F31

F12

F21

F23

F32

F1

F2

F3

CM

La dynamique linéaire du CM d’un système avec masse M est égale à celui d’un seul objet à rCMsoumit à la même force extérieure nette.

» A et B sont équivalents:

m1 m2

x2x1 xCM

A)

xCM

M= m1+m2B)

NB. Il est souvent préférable de décrire un système isolé dans le RI de son centre de masse, RICM, pour lequel

0P 0CMKNB. Ki>0 énergie cinétique interne (e.g.thermodynamique, 2ème semestre)

Phys I SV 201310-10

Point d’arrivée pour partie II?

A B

Quiz et exemple

Situation: Une fusée est lancée. Explosion sépare I et II à l’apogée, g cste, pas d’autres forces, si bien que vI=0. (Exemple conceptuel).

Question: Où atterrit la partie II?

A

B

Feu d’artifice Une fusée sphérique de M=1 kg d’un feu d’artifice est lancée avec v0=30 m/s. Après T=2 s, une explosion sépare la fusée en N=100 morceaux de masses égales mi et donne à chacun une augmentation d’énergie cinétique de Ki =0.5 J. (On néglige tout frottement).

b)Sur l’ensemble des 100 morceaux, quelles sont les vitesses maximales (vmax) et minimales (vmin) juste après l’explosion ?

c) Combien de temps T se passe-t-il entre l’arrivée au sol du premier et du dernier morceau ?

d)Une seconde après l’explosion, les morceaux s’illuminent. Quelle forme peut-on observer à cet instant avec quelles dimensions ? Où se trouve son centre de masse et quelle est sa vitesse ?

vCM(T) = v0 –gT = 10 m/s

Conservation de p: pour chaque pi existe –pi

smmKv i

i /102

vmin=0 m/s vmax=20 m/s

z

x

y

v0

Conservation de p: sphère r=10m

Cinématique: à y=45 m avec vCM=0

H(T) + vmin,maxtmin,max

-gtmin,max2/2=0

T = 2.6 s

Phys I SV 201310-11

10-

2mrFrrFDynamique linéaire: Force effectue changement

de vitesse vCM.

Question: Qu’effectue un changement de ?

m=1kg

xCM

Quiz: Barre de quelle masse M=?

33

2ème loi des rotations (voir cours 5 et rappel):

O

Le moment d’une force (couple) représente l’aptitude d’une force F à effectuer une rotation autour du point pivot O.

ObservationPour équilibrer l’effet de la masse m pr au point de suspension de la barre, il faut ajouter des masses dont gmixi=const

Fr Fr

Moment de force (couple) net

Le poids n’est pas capable d’effectuer une rotation de l’objet autour du CM (détermination expérimentale du CM)

Phys I SV 201310-12

CMkext

i aMFFF

Fr

FrFr

k

kkext

i

Quiz et démo aCM et

Situation: Le satellite dans le schéma est en vitesse constante avec vitesse angulaire zéro. Les deux engins s’enflamment produisant les forces T.Question A: La vitesse linéaire du CM du satellite

Question B: La vitesse angulaire

F1

F2

F3

1. Au centre

2. Galet en haut

3. Galet en bas

1.augmente, 2.diminue 3.reste constante

1.augmente, 2.diminue 3.reste constante

Situation: Deux galets attachés par une tige sans masse. On les percute aux endroits indiqués, produisant des forces de normes identiques.

Question: Dans chaque cas, quelles observations pour vCM et ?

II) 2ème loi rotations:

I) 2ème loi linéaire: vCM 0 et identiques

= 02. et 3: 0 mais

opposées

Phys I SV 201310-13

pas de rotation

rotation

accélération angulaire la plus grande

axe de rotation: z

La proportionnalité entre et

Situation: Vous poussez une porte avec un doigt à plusieurs endroits toujours avec la même force.

Question: Quelle force (F1 = F2 etc)effectuera la plus grande accélération angulaire z, i.e. nous permet d’ouvrir la porte le plus vite ?

Z = R F = RF = RF sin(Bras de levier)

Situation: Cas 1: Une force F pousse perpendiculairement à une porte à son centre. Cas 2: La même force est appliquée au bout avec un angle de 300 à une distance L de l’axe.Question I: Dans quel cas le moment de la force F est plus grand ?Question II: Et l’accélération est la plus grande ?

A) Cas 1B) Cas 2C) il sont les mêmes

L F30o

axe

Cas 1 Cas 2

FrOnet

FL/2 90o

axe

F/2

Phys I SV 201310-14

r

R

r

R

r

bobines tirées par un fil

F

Situation 1: Fil enroulé sur le petit cylindre, roulement (sans glisser) sur le gros

Question I: Quand on tire sur le fil, dans quel sens la bobine s’accélère-t-elle?

a) vers la droite b) vers la gauche

F

Ff

Ff

Situation 2: Fil sur le gros cylindre, roulement (sans glisser) sur le petit.

Question II: Dans quel sens la bobine s’accélère-t-elle maintenant ?

a) vers la droite b) vers la gauche

rF

P

P

Phys I SV 201310-15

Rappel: Les coordonnées cylindriques

P = (x0,y0,z0)

x

y

z

cartésiennes

P = ( 0, ,z0)

x

y

z

cylindriques

z0 z0

x0

y0

Equations de liaisons:x= cos

y= sin

z=zO O

20

20

20

2 zyxOP

20

20

2 zOP

2=x2+y2

Phys I SV 201310-16

Rappel: La cinématique circulaire Définitions vitesse et position angulaire (voir aussi leçons 3 et 5,6)

Position angulaire: Vitesse angulaire:

NB. La vitesse angulaire ( =v/r) est la même pour tous les points d’un objet indéformable

Quelle direction et orientation de ?Si les doigts de la main droite suivent le mouvement angulaire, z est dite positive

(« règle de la main droite »)

rV

dttdt )()(

rv

rdtrd

r =const

r circule

décrit une rotation de r autour le vecteur avec la fréquence f= /2 . La norme de r reste constante

valable pour n’importe quelle quantité vectorielle f à la place de r

v= r = r / t

x

y

z

2

2 )()()(dt

tddt

tdt

Accélération angulaire instantanée(définie en toute analogie de la cinématique)

Phys I SV 201310-17

Rappel: Cinématique et dynamique des rotations moment de force, accélération angulaire

change la norme et direction de la vitesse angulaire accélération angulaire

2tan rar

De la cinématique des rotations (leçons 3, 5):Accélération tangentielle atan

Situation: Objet sur trajectoire circulaire,soumis à une force nette quelconque Fnet.

Question: Comment la force Fnet influence-t-elle la vitesse angulaire et ?

rrtmrrttmFR

2

Fnet

Ftan

FR

)( tanaamamF Rnet

2ème loi de Newton:Décomposition en composante radiale et tangentielle

NB. Condition (force) centripète (radiale):

2mrFr k

: Moment de Force F (couple)I: Moment d’inertie de l’objet r : distance pr à l’axe de rotation

I

2ème loi des rotations:

NB. Le Moment de force dépend du choix de référentiel ! (utiliser comme origine l’axe de rotation: c’est différent de m et F)

tanFFFF Rknet

Phys I SV 201310-18

Complément: Centre de Masse de 3 objets

321

332211'mmm

xmxmxmxCM

m1 m2

x2x1 xCM’

Règle 2: Pour la dérivation du centre de masse, on peut utiliser le centre de masse de chaque objet comme s’il était un objet ponctuel avec une masse égale à la somme de leurs masses.

A) et B) sont équivalents :

m3

x3xCM

xCM’

A)

M m3

x3xCM

B)

M’

Pour 3 objets le centre de masse xCM’ est

Masse totale: M’=m1 + m2 + m3Avec la définition de masse totale du CM de m1et m2 (voir précédent)

3

33'mM

xmMxCM

x CM

'332211

Mxmxmxm

3

332121

2211

mM

xmmmmm

xmxmxCM M

Phys I SV 201310-19

par le centre de masse (CM)

Quel est le moment de force (couple) de la force gravitationnelle par le CM d’un objet ?

par =rxF:

Pour une somme de tous les éléments mi:

i=0 l’objet ne fait aucune rotation

(M= mi)xCM= mjxj/M gMxCM

Détermination expérimentale du CM:Pour un objet de géométrie complexe on le suspend à deux (où 3) points pivot, selon son axe de symétrie et on désigne une ligne verticale de chacun

Le CM est à l’intersection des deux (trois) lignes

CMiiCMi xxgm

iCMii

i

CMi xxmg CM

iii gMxxmg

Une force passant par le CM n’est pas capable d’effectuer une rotation de l’objet

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Phys I SV 201310-21

Phys I SV 201310-22

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