10 février 2006GDR ISIS Journée Localisation et Navigation Projet EGNOS-BUS (Eurêka) André...

10 février 2006 GDR ISIS Journée Localisation et Navigation

Projet EGNOS-BUS (Eurêka)

André Monin, Wael SuleimanLAAS-CNRS


Techniques de filtrage (1/2)• Filtrage optimal en dimension finie :

– Filtre de Kalman (1960)– Estimation paramétriques de variances de bruit

(1965)– Filtres de Kalman en parallèle (1970)– Estimation de paramètres bornés (1996)– Quelques autres curiosités!

• Filtrage sous-optimal en dimension finie:– Filtre de Volterra (polynomial) (1996)

• Approximations locales analytiques :– Filtre de Kalman étendu (1967)– Filtre sans parfum (1977)


Techniques de filtrage (2/2)• Approximations numériques (globales) :

– Discrétisation de l’espace d’état (1971)• Grille fixe• Grille adaptative

– Approximation par somme de gaussiennes (1972)• Pour la distribution initiale de l’état• Pour la distribution des bruits

=> Filtres de Kalman (étendu) en parallèle– Discrétisation de l’espace de probabilités :

• Echantillonnage aléatoire de l’état initial et des bruits (méthodes séquentielles de Monte-Carlo) (1970-1990)

• Echantillonnage déterministe de l’état initial et des bruits (2000)


Comparaison des techniques

ALGORITHMES CANDIDATS

MODELE DOMAINE D’APPLICATION

NATURE COUT ALGORITHMIQUE

Filtre de Kalman (1960)

Linéaires Bruits gaussiens

Acquisition + Poursuite

Optimal *

Filtre de Kalman Etendu (1967)

Localement linéaires Bruits gaussiens Bruits dynamiques faibles Incertitude initiale faible

Poursuite Approximation analytique

*

Filtrage polynomial de Volterra (1996)

Analytiques Linéaires non gaussiens Bilinéaires Bruits quelconques


Sous optimal * en ligne *** hors-ligne

Filtres de Kalman Etendu en Parallèle (1972)

Localement linéaires Bruits gaussiens Bruits dynamiques faibles Incertitude initiale forte


Approximation analytique

**

Discrétisation de l’espace d’état (1971)

Quelconque Acquisition + Poursuite

Approximation numérique

*****

Filtre particulaire (1989)

Quelconque Acquisition + Poursuite

Approximation numérique (Monte-Carlo)

****

Mélange de gaussiennes (1972)

Localement linéaire Bruits quelconques Incertitude initiale forte


Approximation numérique

***


A propos du filtrage particulaire…

• Astuce de base :– Echantillonner l’espace des bruits et pas l’espace d’état

• Dimension des bruits plus faible que celle de l’état• Evite d’explorer des zones impossibles d’accès

– Ne résout pas le problème de la condition initiale• Finalement presque limité au problème de poursuite si nombre de

particule raisonnable

– Facile à comprendre et facile à programmer

• Incongruités :– Fonctionne mal si bruits dynamique et/ou observation faibles– Présence de tirages aléatoires difficile à justifier :

• Convergence lente en fonction du nombre de particules ( )• Contexte différent du calcul d’intégrale sur des domaines complexes• Il n’y a rien de « magique » à introduire de l’aléa

€

1/ N


Explications…

• Bruits dynamiques faibles– Faible capacité d’exploration => difficulté

d’accrocher la trajectoire du système parce que la condition initiale a beaucoup de mémoire

• Bruits d’observation faibles– Nécessite une grande densité de particules si on ne

veut pas « rater » la bonne trajectoire


Algorithme déterministe (1/2)

• Algorithme déterministe– Initialisation particules sur une grille

• Si domaine complexe => Monte-Carlo• Poids 1/N

– A l’instant t-1

– Exploration déterministe => explosion combinatoire

€

p x0( ) ≈1N

δx0

i

i=1

N

∑ x0( )

€

xt = f xt−1,wt( )

€

p wt( ) ≈ μ jδwi wt( )j=1

p

∑€

xti, j = f xt−1

i, j ,w j( )

€

p xt y0:t−1( ) ≈ μ jρ t−1i δ

xti, j xt( )

i=1

N

∑j=1

p

∑€

p xt−1 y0:t−1( ) ≈ ρ t−1i δ

xt−1i

i=1

N

∑ xt−1( )


Algorithme déterministe (2/2)

– Correction

– Sélection (poids les plus forts)€

yt = h xt( ) + vt

€

p xt y0:t( )∝ μ jρ t−1i p yt xt

i, j( )δ xt

i, j xt( )i=1

N

∑j=1

p

∑

€

p xt y0:t( ) ≈ ρ tiδ

xti xt( )

i=1

N

∑


Avantages ./. particulaire

• Pas de tirages aléatoire• Pour chaque particule, on explore plusieurs

possibilités de bruit (et non une seule aléatoire)

• Pas de dégénérescence des poids• Convergence en 1/N• Cas particulier du particulaire de base où le

hasard ferait que les tirages correspondent aux bruits les plus probables

• Extension au filtrage à maximum de vraisemblance aisée

• Facile à comprendre et facile à programmer


Somme de gaussiennes Alpach & Sorenson (1971)

• Distribution initiale : somme de gaussiennes• Distribution des bruits : somme de gaussiennes

Distribution a posteriori : somme de gaussiennes

Problème : explosion exponentielle du nombre de gaussiennes

Réduction/Sélection

» Regroupement» Elimination» …Extension aisée aux systèmes hybrides


Le projet EGNOS-BUS

• Partenaires : Navocap (Toulouse), LAAS (Toulouse), ETRA (Espagne).

• Objectifs : Développer un système de localisation performant pour une flotte de bus en milieu urbain.– Utilisation des corrections EGNOS centralisées puis

distribuées par VHF aux récepteurs embarqués– Couplage avec capteurs locaux (odomètre,

gyromètres?, accéléromètres?, …)– Prise en compte des masquages et multi-trajets*


Démarche envisagée

• Modélisation de l’effet des multi-trajets– Identification du processus source à partir

d’enregistrements in situ• Effet sur la mesure de pseudo-distance• Effet sur la mesure d’amplitude

=> Modèle à base de somme pondérée de gaussiennes

• Estimation conjointe de la position est des multi-trajets

=> Filtre par somme de gaussiennes


Modélisation

• Effet d’un multi-trajet

€

st = xt − Xti

( )2

+ yt −Yti

( )2

+ zt − Zti

( )2

+ π t + vt

€

π t = 1− ΔNt1

( )π t−1 + ut−1ΔNt2

ut = ut−1 + wt

où est un accroissement poissonien de fréquence

€

ΔNti

€

λi

€

P ΔNti =1[ ] = λ i

€

P ΔNti = 0[ ] =1− λ i

et distribué comme une somme de gaussiennes

€

ut

€

p(ut ) = 12 Γ(ut −u ,Q)+ Γ(ut + u ,Q)( )


Distribution d’amplitude

u−

u


Exemple de trajectoire simulée


Résultat d’estimation en 2D


Merci de votre attention

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