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Université Montpellier 2 - UFR Sciences

Master Matériaux 1ère

année

Module UMPCM125

« Physique des matériaux ordonnés, partiellement ordonnés et désordonnés »

Travaux Dirigés 1) Calculer la longueur d’onde de De Broglie pour un éléphant qui court a 50 km/h (masse m de l’éléphant : 6 tonnes). 2) Calculer le module du vecteur d’onde q et l’échelle spatiale sondée par des expériences de diffusion de rayonnement à un angle θ = 10 degrés, pour les cas suivants : a) diffusion de lumière (λ dans le vide = 0.5 µm, diffuseurs dans l’eau, n = 1.33) ; b) diffusion de neutrons ou de rayons X (λ = 1 Angstrom). 3) Soit un réseau cubique faces centrées (voir schéma ci-contre). a) Combien d’éléments contient la maille élémentaire ? b) Exprimer la position des ces éléments en coordonnés réduites. 4) La photo ci-dessous a été prise au bord du Space Shuttle. Elle montre des cristaux colloïdaux éclairés par une source étendue de lumière blanche (les cristaux sont les objets colorés suspendu dans le solvant). a) Pourquoi les cristaux apparaissent-ils colorés ? b) Faire un schéma qualitatif en indiquant les directions de la lumière incidente et de la lumière réfléchie par les cristaux colloïdaux. c) Estimer l’ordre de grandeur de la distance entre les plans réticulaires des cristaux colloïdaux. d) En s’inspirant des réponses aux points a) - c), expliquer comment on pourrait construire un dispositif pour obtenir, à partir d’une source non monochromatique de neutrons, un faisceau monochromatique.

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Image tirée du site http://www.deas.harvard.edu/projects/weitzlab

5) Potentiel de Lennard Jones

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6) Dispersion des phonons longitudinaux le long d’une rangée atomique du type C=C-C=C-C=...

7) Chaleur Spécifique des Solides : modèle de Debye

a) Dans le modèle de Debye, l’énergie moyenne d’un mode de vibration est postulée être celle introduite par Plank dans le cadre du problème du corps noir pour un oscillateur harmonique

quantique à l’équilibre thermodynamique: ( ) 1/exp −

=Tkh

hE

Bν

ν. L’énergie interne U

pour une mole s’écrit alors ( )∫ −

=max

0

3

3max 1/exp

9 ν

νν

ν

νd

Tkh

hNU

B

AV .

a) Montrer que dans la limite ∞→T , TkE B→ , le résultat de la physique classique.

b) Calculer l’expression de la chaleur spécifique molaire cv. c) En utilisant un développement limité similaire à celui utilisé pour a), montrer que dans la limite ∞→T , on retrouve la loi de Dulong-Petit, cv = 3R.

d) Montrer que pour 0→T 33

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12T

Rc

D

vθ

π= , où l’on a introduit la température de Debye

B

Dk

h maxνθ = . (Suggestion : utiliser le résultat

( )∫∞

=−0

42

4

4512

1πdx

e

ex

x

x

)

4

8) Chaleur spécifique d'un réseau linéaire

Soit un réseau linéaire constitué de N atomes identiques équidistants de a. a) Quelle est, dans un tel réseau, la densité des vibrations dans l'espace des k - soit g(k) - pour le seul mode longitudinal possible. b) En supposant que la relation de dispersion des phonons puisse être convenablement décrite (approximation de Debye) par la relation ω = vs|k| (vs = vitesse du son), en déduire la densité des vibrations dans l'espace des ν, soit g(ν). Préciser la valeur maximale de la fréquence de vibration νD des atomes d'un tel réseau - νD fréquence de Debye-. c) Donner sous forme d'intégrale définie l'expression de l'énergie interne due à ces vibrations du réseau et en déduire le comportement de la chaleur spécifique du réseau linéaire à haute (kB T » hνD) et basse température (kBT « hνD)

Application: Avec a = 3Å et vs = 3000 m/sec, évaluer numériquement la température de Debye θD (telle que hνD = kBθD) et la chaleur spécifique de vibration atomique à l0 K.

9) Distribution de Poisson (D’après Ashcroft) D'après le modèle de Drude, la probabilité pour qu'un électron entre en collision dans un intervalle de temps infinitésimal dt est dt/τ.

(a) Montrer qu'un électron pris au hasard à un certain instant n'a subi aucune collision durant le temps t précédant cet instant avec une probabilité e-t/τ

. Montrer qu'il ne subira aucune collision pendant le temps t à venir avec la même probabilité. Suggestion : diviser l’intervalle de durée t en sou -intervalles ∆t. Calculer la probabilité

qu’il n’y ait pas de collisions pendent chaque sous intervalle independant et puis pendant

l’ensemble des sous intervalles. Passer à la limite 0→∆t et utiliser la limite

( ) )1exp(1lim /1

0=+

→

ε

εε .

(b) Montrer que la probabilité pour que l'intervalle de temps entre deux collisions successives d'un électron ait pour bornes t et t+dt, est (dt/τ)e-t/τ

.

(c) Montrer que, comme conséquence de (a), à chaque instant le temps moyen depuis la dernière collision (ou jusqu'à la collision suivante) moyenné sur tous les électrons est τ.

(d) Montrer que, comme conséquence de (b), le temps moyen entre deux collisions successives d'un électron est τ.

(e) La question (c) implique qu'à chaque instant le temps τ entre la dernière et la prochaine collision moyenné sur tous les électrons est 2τ. Expliquer pourquoi ceci n'est pas compatible avec le résultat de la question (d). Une explication complète devrait faire intervenir le calcul de la distribution de probabilité pour τ. L'échec dans l'appréciation de cette subtilité conduisit Drude à une conductivité électrique égale seulement à la moitié du résultat correcte.

10) Effet Joule (D’après Ashcroft) Considérons un métal à une température uniforme dans un champ électrique E uniforme.

Un électron subit une première collision, et après un temps t, une deuxième. D'après le modèle de Drude, l'énergie n'est pas conservée lors des collisions, puisque la vitesse moyenne d'un électron émergeant d'une collision ne dépend pas de l'énergie acquise par l'électron dans le champ électrique depuis la dernière collision. (a) Montrer que l'énergie moyenne perdue au profit des ions durant la deuxième des deux collisions séparées par un temps t est (eEτ)2/2m. (La moyenne porte sur toutes les directions prises par l'électron après sa première collision.)

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(b) Montrer, en utilisant le résultat du problème 9 (b), que l'énergie moyenne perdue au profit des ions par électron et par collision est (eEτ)2

/m. En déduire que la perte moyenne par centimètre cube et par seconde est (ne

2τ /m)E2 = σE

2. Déduire que la puissance perdue dans

un fil de longueur L et de section A est I 2R, ou I est le courant et R est la résistance du fil.

11) Paramètre d’ordre nématique

On introduit le paramètre d’ordre ( )1cos321 2 −= θS où θ est l’angle entre l’axe z (choisi

de sort à avoir ne ≡z dans la phase nématique) et le grand axe a des molécules.

a) Expliciter la signification de la valeur moyenne ⋅⋅⋅ . (Suggestion : utiliser un intégral

faisant intervenir la distribution de probabilité d’orientation )(θf ). b) Donner l’expression de )(θf dans la phase isotrope. c) À partir de b), vérifier que S= 0 dans la phase isotrope. 12) Modèle d’Onsager pour la transition isotrope-nématique

Dans son modèle, Onsager fait l’hypothèse ))cos(cosh()( θαθ Cf = , où α est un paramètre ajustable et C est un facteur de normalisation. a) Montrer que )(θf satisfait la condition )()( θπθ −= ff . b) Calculer C en fonction de α. c) Calculer S en fonction de α. (Utiliser xxxxxdxxx sinh2cosh2sinhcosh 22 +−=∫ )

d) On prépare dans un tube une suspension de virus de la mosaïque du tabac (TMV) à une fraction volumique ϕ. Après quelques temps, on observe 2 phases aux propriétés optiques différentes, qui occupent respectivement la moitié inférieure et la moitié supérieure du tube. Quelle est la phase au fond du tube ? Et celle à la surface ? e) Quelle était la fraction volumique initiale ϕ ? Et la concentration (nombre de TMV par cm3) ? On donne : L=300 nm, D = 18 nm, LD

c

i /3.3=φ , LDc

néma /5.4=φ . 13) Propagation de la lumière dans une Twisted Nematic Cell. La figure ci-dessous montre un afficheur Twisted Nematic Cell (TNC) en absence de champ électrique appliqué.

Axe z

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Le directeur n tourne régulièrement en formant un angle droit avec l’axe z. Soit p le pas de cette structure en hélice et q = dφ/dz = 2π/p sa torsion (φ = angle entre n et ex). On étudie la propagation de la lumière à travers ce dispositif, le long de l’axe z, dans le cas λ << p∆n, où λ est la longueur d’onde de la lumière et ∆n=ne-no est la biréfringence du nématique. Montrer que le champ électrique E suit la torsion du directeur, c'est-à-dire que l’angle entre E et n reste constant. Suggestion : diviser la TNC en tranches d’épaisseur dz. Traiter chaque tranche comme un milieux optique biréfringent uniaxe. Ecrire les expressions du champ E à l’entrée et à la sortie de chaque tranche, en déduire un système d’équations différentielles pour l’amplitude des composantes de E selon x et y en fonction de z. Chercher des solutions du type

)exp()( 0 zEzE xx α= (et analogue pour Ey). Trouver l’équation aux valeurs propres pour α.

Passer à la limite λ/ p∆n << 1. 14) Energie élastique d’un nématique La figure ci-dessous (tiré du livre de De Gennes et Prost) montre les trois types de déformation de base du champ du directeur d’un nématique, correspondantes aux trois termes dans l’expression de l’énergie élastique par unité de volume vue en cours.

a) Ecrire l’expression du directeur n en fonction de z dans le cas d’une déformation « twist ». A partir de cette expression et en utilisant les définitions des opérateurs div et rot, montrer explicitement que le seul terme de l’énergie élastique non nul est celui contenant la constant K2. Donner son expression. b) Ecrire l’expression du directeur n en fonction de la position dans le cas d’une déformation « splay ». Utiliser un système de coordonnées cylindriques avec l’axe du cylindre selon l’axe x. A partir de cette expression et en utilisant les définitions des opérateurs div et rot en coordonnées cylindriques, montrer explicitement que le seul terme de l’énergie élastique non nul est celui contenant la constant K1. Donner son expression. c) Ecrire l’expression du directeur n en fonction de la position dans le cas d’une déformation « bend ». Utiliser un système de coordonnées cylindriques avec l’axe du cylindre selon l’axe x. A partir de cette expression et en utilisant les définitions des opérateurs div et rot en

y

z

x

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coordonnées cylindriques, montrer explicitement que le seul terme de l’énergie élastique non nul est celui contenant la constant K3. Donner son expression. 15) Longueur de cohérence du champ électrique dans un afficheur TNC. On considère la géométrie de la figure de l’exercice 13, mais en présence d’un fort champ électrique E selon z obtenu en appliquant une ddp entre la plaque supérieur et celle inférieure du dispositif. a) Calculer l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche de cristal liquide dont le directeur ne s’écarte pas sensiblement du plan x,y. On donne : ddp appliquée = 5 V, épaisseur de l’afficheur 5 µm, constantes élastiques K1 ~K2 ~K3 ~10-11 N, εa ~ 10, ε0 = 8.85 10-12 F/m. b) L’épaisseur de cette couche est-elle négligeable devant l’épaisseur du dispositif ? c) Quelle en est la conséquence sur la transmission de la lumière ? 16) Fractals déterministes. En vous inspirant de la méthode que vous trouverez dans les diapos sur les objets fractals (http://www.gdpc.univ-montp2.fr:7082/~lucacip/teaching/UMPCM125slides3.pdf ), calculez la dimension fractale de la courbe de Koch et du tamis de Sierpinski montrés ci-dessous.

Tamis de Sierpinski Courbe de Koch

17) Fonction de corrélation de paires pour un fractal. Quelle est l’allure de la fonction de corrélation de paires g(r) pour un objet fractal de masse, avec dimension fractal df ? 18) Aggrégats fractals Des amas de nanoparticules ont une morphologie de fractale de masse, avec dimension fractale df = 1.8. On indique par R le rayon de la plus petite sphère (imaginaire) qui contient entièrement un amas. a) Donner une expression (loi d’échelle) pour le nombre moyen N de nanoparticules d’un amas en fonction de R. b) Si un amas avec R = 10 µm contient en moyenne 10000 nanoparticules, combien vaut R pour un amas qui contient 10 fois plus de nanoparticules?

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19) I(q) et dimension fractale. T. Witten a proposé l’argument suivant pour évaluer l’allure de l’intensité diffusé par un objet quelconque en fonction du vecteur de diffusion (loi d’échelle I(q) ~q

α) : 1) On divise l’espace en cubes de taille L = 1/q. Seuls les cubes contenant à la fois une partie de l’objet et une partie de l’espace qui l’entoure (vide, solvant…) contribuent à I(q) (pourquoi ?). On appellera ces cubes « actifs ». 2) Witten propose I(q) ~ M(q)2

N(q) = M(1/L)2N(1/L), où M(q) est la masse contenue, en

moyenne, dans chacun des cubes « actifs » de taille L = 1/q et N(q) est le nombre de cubes actifs. (Comment peut-on justifier cette formule ?). a) Soit un agrégat fractal de taille R et de dimension fractale df. En utilisant des arguments « à la Witten », donner une expression en loi de puissance pour I(q) dans les régimes q < 1/R et q>1/R. b) Soit un objet « ordinaire » avec une surface fractale de dimension fractale de surface ds. En utilisant des arguments « à la Witten », donner une expression en loi de puissance pour I(q). 20) Gel fractal On considère une suspension de particules colloïdales de rayon a stabilisées grâce à des charges superficielles. La fraction volumique des particules en suspension est notée φ0 (typiquement, φ0 < quelques %). On écrante les charges an ajoutant du sel à la suspension, de sort à initier une agrégation dans des conditions DLCA (Diffusion Limited Cluster Aggregation). a) On note φag la fraction volumique des particules à l’intérieur d’un agrégat de taille R. Calculer φag en fonction de R. Comment varie φag au cours du temps ? b) Quelle est la relation entre φ0 et φag au moment où une structure fractale qui occupe tout le volume de la cellule expérimentale se forme (gel fractal) ? En déduire la taille typique des agrégats fractals qui composent le gel en fonction de a et φ0. 21) Elasticité d’une liaison rigide formant un angle αααα. Le panneau de gauche de la figure ci-dessous montre, de façon schématisée, une portion d’une chaîne de particules dans un agrégat. On fixe le point A dans l’origine et l’on tire sur le point B, comme indiqué dans la figure. L’énergie élastique associée à une variation ∆α de l’angle α s’écrit E = ½G ∆α2, où G est une constante élastique. a) Quelle est la dimension de G ? b) Montrer que le système est équivalent à un ressort, comme montré dans le panneau de droite de la figure. Exprimer la constante élastique k du ressort en fonction de G, α et de l = AM = MB. c) Exprimer k en fonction de G et de la coordonné y du point M. Remarquer l’analogie avec le résultat donné en cours pour une chaîne composée de plusieurs segments.

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22) Configuration d’une chaîne de polymère : marche aléatoire. On considère une marche aléatoire à une dimension. On veut calculer la probabilité que le déplacement bout à bout soit x après N pas de longueur λ. Soit A le nombre de pas en avant (déplacement +λ) et B = N-A le nombre de pas en arrière (déplacement -λ). a) Exprimer A et B en fonction de N, x et λ. b) Exprimer le nombre W de façons possibles de réaliser un déplacement total x avec A pas en avant et B pas en arrière. (Résultat : W = N!/(A!B!) ) c) Trouver une expression approchée pour lnW dans la limite N>>1 et x << Nλ. En déduire une expression pour W. (Suggestion : utiliser la formule de Stirling NNN ln!ln ≈ et le résultat

εε ≈+ )1ln( pour 1<<ε . On obtient : [ ])2(exp 22 λNxConstW −×= ). d) En utilisant le résultat obtenu au point c), exprimer la densité de probabilité P(x) que la distance bout à bout soit x. On généralise les arguments ci-dessus en trois dimensions et l’on trouve :

[ ]22exp.)( rConstrP β−×= , avec 2

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λβ

N= et P(r) la densité de probabilité que la distance

bout à bout d’une marche aléatoire de N pas soit r. e) Quelle est la condition à imposer pour calculer la constante qui apparaît dans l’expression de P(r) ? f) On fixe une extrémité de la marche aléatoire dans l’origine. La probabilité que la deuxième extrémité soit dans une croûte sphérique de rayon r et épaisseur dr est alors )(4 2

rdrPrπ . Pour quelle valeur de r cette expression est maximale ? (Résultat : β/1max =r ). g) On décrit la configuration d’une chaîne de polymère par une marche aléatoire en trois dimensions. A partir du résultat obtenu au point f), exprimer le nombre de monomères contenus dans une bulle de rayon r. En déduire la dimension fractale de la chaîne. 23) Module de Young et extensibilité du caoutchouc. Le nombre de monomères entre deux crosslinks dans le caoutchouc est typiquement N = 250 et le volume d’un monomère est de l’ordre de 10-28 m3. a) Quel est l’ordre de grandeur du module de Young du caoutchouc à température ambiante ? Et à 80 °C ? b) Quelle est la distance bout à bout typique des segments entre deux crosslinks ? (Exprimer

le résultat en fonction de la longueur l d’un monomère. Voir l’exercice 22). Et la distance

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maximale ? En déduire une limite supérieure pour l’extensibilité de ce matériau. (Remarque :

dans la réalité l’extension reste réversible seulement pour des déformations de l’ordre, au

plus, du 500%, à cause des interactions entre les chaînes).