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Modélisation de la topologie avec le Graphe Génératif Gaussien

Pierre Gaillard

Sous la direction de :Michaël Aupetit (CEA)Gérard Govaert (UTC)

Commissariat à l’Énergie Atomique

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Introduction

Quelle est la « forme » de ce nuage de points ?

Quelle est la topologie des variétés génératrices de ce nuage de point?

1 point et 1 courbe

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Pourquoi modéliser la topologie?

• Reconnaissance de formes– Ajout de caractéristiques topologiques au caractéristiques statistiques et

géométriques– Détection de classes distinctes via composantes connexes

• Analyse exploratoire– Mesure de caractéristiques topologiques– Plus court chemin le long des variétés

• Robotique, commande de processus– Trajectoire optimale– Cinématique inverse

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Hypothèse

Des variétés génératricesinconnues…

…desquelles sont issues

les observations avec une ddp inconnue…

…corrompues par un bruit de nature inconnue

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Modèle proposé

Des variétés génératricesinconnues…

…desquelles sont issues

les observations avec une ddp inconnue…

…corrompues par un bruit de nature inconnue

Supposons une variété composite…

…à chaque composant de laquelle est

associé une ddp…

…convoluée à un bruit gaussien isovarié.

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Quelle variété composite?

• Simplexes

• Complexes de simplexes

0-simplexe

1-simplexe

2-simplexe

3-simplexe...

Réalisation géométrique d’un k-simplexe = enveloppe convexe de k+1 points dans avec DIR kD

Complexe de simplexes

Le graphe deDelaunay en est un

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Approche proposée

Positionnement de prototypes (QV)Construction graphe de Delaunay(variété composite)

Initialisation

Modèle statistique de densitégénéré par la variété composite(équiprobabilité des composants)

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Approche proposée

Apprentissage

Réglage de la variance et des probabilités des variétés composantes

pour maximiser la vraisemblance du modèle / données

Utilisation de l’algorithme EM

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Approche proposée

Certaines composantes ont une probabilité associée nulle:Elle ne servent pas à expliquer les donnéesOn peut les supprimer : élagage du graphe

Après apprentissage

Graphe représentant la topologie

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Expérience

Modélisation correcte de la topologie des variétés génératrices du nuage de point malgré le bruit

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Points clefs

• On suppose que la topologie de la variété composite estime celle de la variété génératrice d’autant mieux que le modèle est vraisemblable

• La topologie de la variété composite est• Extractible (pour extraire l’information topologique du modèle)

• Flexible (pour permettre une approximation universelle)

• Critère statistique de vraisemblance valable en dimension quelconque

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Conclusion

• Méthode pour extraire l’information topologique avec une approche statistique

• Perspectives– Extension du modèle aux complexes de simplexes– Extension du modèle dans un cadre supervisé

QUESTION ?

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Annexes

• Difficultés techniques– Établir le modèle générateur gaussien sur un complexe de

simplexe et en déduire les équations d’apprentissage et d’exploitation (intégration numérique)

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Une base de simplexes générateurs

b

a

W

W gg dxwxpwvp ),,(),,( 01

wa

wbvp

vFonctions « erf »

Intégration d’une gaussiennesur un domaine simpliciel :

dxwxpwvpabcS

gg ),,(),,( 02

… …

Schéma numérique Algorithmes de cubature

et quasi-Monte Carlo

wa

wb

wc

),(),,(0 wNwvpg Aucunew