Université de Strasbourg Agrégation interne

2021-2022 Y. Le Floch

Feuille de révisions sur le calcul différentielVersion du 03/09/2021 (merci de me signaler toute

coquille/erreur)

Attention : ces révisions porteront uniquement sur la partie “fonctionsdifférentiables” du programme (qui constitue à elle seule un très gros mor-ceau), et pas sur les équations différentielles, traitées l’an dernier par M.Bittmann.

1 Programme et conseils

1.1 Le programme

Remarque préliminaire : le programme précise qu’on ne s’intéresse qu’auxfonctions définies sur un ouvert de Rn et à valeurs dans Rp, pour certainsn, p ≥ 1. Il y a deux manières d’interpréter cela :

— littéralement,— simplement pour signifier qu’on se restreint à la dimension finie.

Même si la première hypothèse s’avère exacte, il n’est pas inutile d’avoir unepetite idée de ce qu’il se passe dans des cas très simples pour f : E → F avecE,F des espaces vectoriels de dimension finie qui ne sont pas nécessairementRn et Rp : différentielle d’une application linéaire de E dans F , différentielledu déterminant (E = Mn(R), F = R), etc. Mais bien entendu il ne faudrapas y consacrer l’essentiel de votre temps.

12.1 Fonctions différentiables.Dérivée selon un vecteur. Développement limité à l’ordre 1. Différentia-

bilité en un point. Interprétation géométrique (plan tangent à une surface).Matrice jacobienne, déterminant jacobien. Différentielle d’une fonction com-posée. Inégalité des accroissements finis sur un ouvert convexe (admise). Unefonction f définie sur un ouvert Ω est dite de classe C1 si l’application qui àtout point a de Ω fait correspondre la différentielle de f en a est continue.Théorème : pour qu’une fonction soit de classe C1 sur un ouvert Ω, il fautet il suffit qu’elle admette des dérivées partielles continues sur Ω. Composi-tion des fonctions de classe C1. Inégalité des accroissements finis pour unefonction de classe C1. Caractérisation des constantes parmi les fonctions de

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classe C1 sur un ouvert connexe. Applications de classe Ck. Théorème deSchwarz pour les fonctions de classe C2. Gradient d’une fonction numériquede classe C1. Formule de Taylor-Young pour une fonction de classe C2. Ex-trémums locaux d’une fonction de classe C2 de deux variables en un pointoù rt − s2 6= 0. Exemples de problèmes d’extrémums issus de la géométrie.Difféomorphismes. Théorèmes (admis) d’inversion locale et des fonctionsimplicites. Application à la caractérisation des Ck-difféomorphismes parmiles fonctions injectives de classe Ck.

1.2 Quelques remarques avant de vous lancer dans les révi-sions

Avant toute chose, je vous conseille de réviser le programme sur la dé-rivabilité des fonctions d’une variable réelle, et la continuité desfonctions de plusieurs variables (voir révisions de topologie). En effet,le calcul différentiel demande de solides bases dans ces deux thèmes.

La différentiabilité est une notion difficile car elle demande de bien com-prendre les objets mis en jeu. De nombreuses confusions sont possibles,et un premier gros problème est de choisir des notations cohérentes etde pouvoir les comparer avec celles des différents auteurs des ouvrages quevous utiliserez (comparaison à faire pendant la préparation, et surtout pasdans le stress du jour J !). Mes conventions personnelles sont les suivantes,libre à vous d’en choisir d’autres ;— pour f : Ω ⊂ Rn → Rp différentiable, on notera df(a) ∈ L(Rn,Rp) la

différentielle de f au point a ∈ Ω, et df(a)·h l’image de h ∈ Rn par cetteapplication linéaire. J’insiste lourdement : df(a) est une applicationlinéaire de Rn dans Rp...qu’il ne faut pas confondre avec df qui, elle,n’a aucune raison d’être linéaire ;

— si elles existent, les dérivées partielles de f : Ω ⊂ Rn → R en a ∈Ω seront notées ∂f

∂x1(a), . . . , ∂f∂xn

(a) ou ∂f∂x (a), ∂f∂y (a) et éventuellement

∂f∂z (a) si n = 2 ou 3 ;

— si elle existe, la dérivée de f : Ω ⊂ Rn → Rp au point a ∈ Ω selon levecteur u ∈ Rn sera notée duf(a) ;

— si elle existe, la matrice jacobienne de f : Ω ⊂ Rn → Rp en a seranotée Jf (a) ;

— si elles existent, les dérivées partielles secondes de f : Ω ⊂ Rn → R aupoint a ∈ Ω seront notées ∂2f

∂xi∂xj(a), i, j ∈ 1, . . . , n ;

— si elle est bien définie, on notera Hf (a) la matrice hessienne de f : Ω ⊂Rn → R au point a ∈ Ω.

Je vous conseille de ne surtout pas faire comme le programme en utilisantla notation rt− s2 sans l’avoir définie au préalable...même si cette notationétait à la mode il y a quelques années, on ne peut pas supposer que tout le

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monde sait ce qu’elle signifie. En outre, elle fait un peu “formule magique”alors qu’il s’agit simplement du déterminant de la matrice hessienne, et quela discussion porte sur les signes de ses valeurs propres, voir plus bas.

Le deuxième problème avec la différentiabilité est la comparaison avecla dérivabilité des fonctions d’une variable réelle. D’une part, il faut bienprendre le temps de comprendre en quoi la notion de différentiabilité géné-ralise celle de dérivabilité (posez vous la question suivante : si f : R→ R estdérivable en a ∈ R, qui est df(a) ? Voir aussi l’exercice 6). D’autre part, ilfaut faire attention à ne pas généraliser hâtivement les propriétés quisont vraies pour les fonctions d’une variable réelle (voir par exemplela discussion sur les accroissements finis ci-dessous).

Enfin, attention à l’ordre du programme : il ne constitue pas forcémentun guide rigide à suivre à la lettre. Par exemple, à titre personnel, je préfèreparler de différentiabilité avant de parler de dérivée selon un vecteur. Enoutre, le programme semble passer assez vite sur la différentiabilité pour seconcentrer sur les dérivées partielles ; en pratique vous travaillerez surtoutavec ces dernières, mais il est très important de bien comprendre leur rapportavec la différentiabilité (non seulement pour ne pas dire de bêtise, mais aussicar cela aide à retenir/comprendre certaines formules).

1.3 Quelques références utiles

Voici une liste (pas du tout exhaustive) de références dans lesquelles vouspourrez retrouver les résultats de cours et/ou des exercices supplémentairespour vous entraîner.

— F. ROUVIÈRE, Petit guide de calcul différentiel à l’usage de la licenceet de l’agrégation : l’ouvrage indispensable ! Il s’agit d’un livre d’exer-cices mais avec des éléments de cours au début de chaque chapitre,avec un beau point de vue sur le calcul différentiel. Le seul bémol estque les exercices peuvent vite devenir assez difficiles ;

— B. HAUCHECORNE, Les contre-exemples en mathématiques : notam-ment le chapitre 14 sur les fonctions de plusieurs variables, pour biencomprendre les définitions du cours et les hypothèses des théorèmesen se confrontant à des exemples et contre-exemples ;

— X. GOURDON, Les maths en tête : analyse : chapitre V sur les fonc-tions de plusieurs variables (cours et exercices). Ici aussi, les exercicesdeviennent rapidement assez difficiles ;

— J.-P. RAMIS, A. WARUSFEL, Mathématiques Tout-en-un pour la Li-cence 1 (section IV.7) et Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2(section II.5) : des ouvrages généralement bien appréciés pour préparerles concours car ils couvrent un large spectre du programme (surtoutdu cours, quelques exercices) ;

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— J.-P. MARCO, Mathématiques Analyse L3 : dans le même genre, maispour aller plus loin et sortir un peu du programme ;

— A. AVEZ, Calcul différentiel : un cours très bien écrit mais un peudaté et surtout qui parle du cas général (dimension pas nécessairementfinie).

N’hésitez pas à chercher vos livres préférés en dehors de cette liste. Parexemple, il y a un certain nombre de manuels classiques de classes prépa oude préparation à l’agrégation qui devraient contenir tout ou partie du cours,notamment— J.-M. MONIER, Analyse 4 : cours et exercices, adopte un autre point

de vue (définition de la différentielle d’abord à partir des dérivées par-tielles pour les fonctions de classe C1) ;

— A. POMMELLET, Agrégation de Mathématiques, Cours d’analyse :point de vue plus général (dimension possiblement infinie)

et sans doute bien d’autres...

1.4 Conseils de révision

Voici un gros résumé du programme, assorti de conseils et de remarquessur certaines erreurs classiques. Attention, ces quelques paragraphes ne rem-placent pas un cours complet ! Vous devez absolument consulter des ouvragessur le sujet pour bien comprendre et consolider ce qui est raconté ci-dessous.

Première remarque : il faut absolument connaître et avoir compris la dé-finition de la différentiabilité. Une grande partie des problèmes proviennentd’une mauvaise interprétation de celle-ci.

Définition 1. Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω → Rp. On dit que f estdifférentiable en a ∈ Ω s’il existe une application linéaire L : Rn → Rp etune fonction ε : Rn → Rp telles que ε(h) −→

h→00 et

f(a+ h) = f(a) + L · h+ ‖h‖ε(h)

pour tout h ∈ Rn tel que a+ h ∈ Ω.

Quelques commentaires sur cette définition :— essayez de la comparer à celle de la dérivabilité pour f : R → R (qui

est L dans ce cas ? Pourquoi n’écrit-on pas un taux d’accroissementpour la différentiabilité ? Etc.) ;

— ‖·‖ est n’importe quelle norme sur Rn (elles sont toutes équivalentes) ;— on écrit souvent un peu n’importe quoi avec le dernier terme...je pré-

conise de bannir les notations du type o(h), etc. ;— il ne faut pas oublier l’hypothèse “L linéaire” !

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On montre que si un tel couple (L, ε) existe, alors L est unique, et on notedf(a) = L, qu’on appelle la différentielle de f en a.

Ainsi, en pratique, si pour une fonction f donnée, on veut montrer quef est différentiable en a et calculer df(a) en partant simplement de cettedéfinition :

1. on calcule f(a+ h)− f(a) et on essaye d’identifier les termes linéairesen h ;

2. on appelle L · h l’ensemble de ces termes linéaires, et on essaye deprouver que L est bien une application linéaire ;

3. on note ε(h) = f(a+h)−f(a)−L·h‖h‖ , et on tente de montrer que cette fonc-

tion tend vers 0 en 0. En pratique on essaye de majorer ‖ε(h)‖ avec‖ · ‖ votre norme préférée sur Rp.

C’est un peu lourd, mais c’est un très bon exercice et c’est indispensablequand on travaille dans des espaces de dimension finie plus abstraits queRn. Heureusement, dans Rn, on va identifier des classes de fonctions dif-férentiables (fonctions polynomiales, fonctions de la forme (x1, . . . , xn) 7→f1(x1) . . . fn(xn) avec les fi différentiables, etc.) et on peut utiliser les déri-vées partielles pour f : Ω ⊂ Rn → R. Mais attention, il faut bien comprendrece que disent et ne disent pas ces dérivées partielles :— il ne suffit pas d’admettre des dérivées partielles selon toutes

les variables au point a pour être différentiable en a (voirexercice 14) ;

— par contre, si f est différentiable en a, elle admet des dérivées partiellesselon toutes les variables en a et pour tout i ∈ 1, . . . , n, ∂f

∂xi(a) =

df(a) · ei, ou dans l’autre sens : df(a) · h =∑ni=1

∂f∂xi

(a)hi si h =(h1, . . . , hn) ;

— le vrai résultat que vous pouvez utiliser est le suivant : si f admetdes dérivées partielles selon toutes les variables en a et si celles-ci sonttoutes continues en a, alors f est différentiable en a ;

— j’insiste : les dérivées partielles sont définies pour f : Ω ⊂ Rn → R !Si on s’intéresse à f : Ω ⊂ Rn → Rp, on regarde les dérivées partiellesdes composantes f1, . . . , fp de f .

En général le plus difficile est de justifier proprement l’existence de dérivéespartielles ; l’étape de calcul de celles-ci est assez intuitive.

Si f : Ω ⊂ Rn → Rp admet des dérivées partielles en a ∈ Ω par rapportà toutes les variables, on appelle

Jf (a) =(∂fi∂xj

(a))

1≤i≤p1≤j≤n

=

∂f1∂x1

(a) . . . ∂f1∂xn

(a)... . . . ...

∂fp

∂x1(a) . . .

∂fp

∂xn(a)

.

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la matrice jacobienne de f au point a. Si f est différentiable en a, c’esttout simplement la matrice de df(a) dans les bases canoniques de Rn et Rp.Bien comprendre ce fait vous aide pour plusieurs choses, notamment pourarrêter de confondre Jf (a) avec sa transposée : vous savez que df(a)est une application linéaire de Rn → Rp, donc Jf (a) doit renvoyer un vecteurcolonne de taille p quand on la multiplie à droite par un vecteur colonne detaille n.

Si f : Ω ⊂ Rn → Rp est différentiable en a ∈ Ω et f(a) ∈ Ω′, si g : Ω′ ⊂Rp → Rq est différentiable en f(a), alors la composée g f est différentiableen a et

d(g f)(a) = dg(f(a)) df(a).

Il faut bien comprendre cette formule pour ne pas faire d’erreur : df(a)est une application linéaire de Rn dans Rp, et dg(f(a)) est une applica-tion linéaire de Rp dans Rq. Les deux membres de l’égalité ci-dessus sontdes applications linéaires de Rn dans Rq. Si vous avez compris cela, vousn’oublierez pas la formule

Jgf (a) = Jg(f(a))Jf (a)

pour les jacobiennes, qui est simplement la traduction matricielle de celleci-dessus. Et dans cette dernière, penser aux tailles des différentes matricesjacobiennes peut vous aider. Enfin, en observant les coefficients matricielsdans cette égalité, on obtient la règle de dérivation en chaîne : pour i ∈ 1, qet j ∈ 1, n,

∂(g f)i∂xj

(a) =p∑

k=1

∂gi∂yk

(f(a))∂fk∂xj

(a).

En pratique, il vaut mieux ne pas avoir à passer par les jacobiennes à chaquefois, peut-être trouver un moyen mnémotechnique (par exemple en compa-rant avec la version pour n = p = q = 1) mais surtout s’entraîner à l’utiliser(voir par exemples les exercices 17 et 28) !

Si f : Rn → R est différentiable en a, df(a) est une forme linéaire, doncd’après le théorème de représentation de Riesz, il existe un unique vecteur∇f(a) ∈ Rn tel que

∀h ∈ Rn df(a) · h = 〈∇f(a), h〉.

On appelle ∇f(a) le gradient de f en a. Explicitement, ∇f(a) est le vecteurcolonne dont les coefficients sont les dérivées partielles de f en a. Le gradientest utile pour avoir un vision plus géométrique : gradient et lignes de niveau,le noyau de la différentielle en a est l’orthogonal du gradient en a, extremaliés (hors programme), etc.

Le théorème des accroissements finis pour des fonctions de R dans R nese généralise pas aux fonctions de Rn dans Rp (voir exercice 23). Ce qu’il enreste s’appelle l’inégalité des accroissements finis : si f : Ω ⊂ Rn → Rp est

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différentiable et si a, b ∈ Ω sont tels que [a, b] := (1 − t)a + tb, 0 ≤ t ≤ 1est contenu dans Ω, alors

‖f(a)− f(b)‖ ≤(

supc∈[a,b]

‖df(c)‖)‖b− a‖.

Ici ‖df(c)‖ est la norme de l’application linéaire df(c) : Rn → Rp, et lesupremum peut très bien être infini. En particulier, si Ω est convexe on a

∀a, b ∈ Ω ‖f(a)− f(b)‖ ≤(

supc∈Ω‖df(c)‖

)‖b− a‖.

On déduit de cette inégalité que si Ω est un ouvert connexe (attention, nepas confondre connexe et convexe) et si f : Ω → Rp est différentiablesur Ω de différentielle identiquement nulle, alors f est constante. Si Ω n’estpas connexe, la conclusion est que f est constante sur chaque composanteconnexe de Ω (voir exercice 24).

On dit que f : Ω ⊂ Rn → Rp est de classe C1 sur Ω si df est continue surΩ. Dans ce cas, pour tous a, b ∈ Ω tels que [a, b] ⊂ Ω, df est bornée sur lecompact [a, b]. Ainsi, le supremum dans l’inégalité des accroissements finisest un maximum :

‖f(a)− f(b)‖ ≤(

maxc∈[a,b]

‖df(c)‖)‖b− a‖.

On montre que f est de classe C1 sur Ω si et seulement si chaque fi admetdes dérivées partielles par rapport à chaque variable en tout point de Ω etles fonctions dérivées partielles ∂fi

∂xjsont toutes continues sur Ω. Grâce à

ce résultat, on va maintenant “oublier” la différentiabilité pour définir lesfonctions de classe Ck par récurrence (on pourrait parler de fonctions deuxfois différentiables et pas forcément C2, mais le programme l’évite). Atten-tion, dans la définition des dérivées partielles d’ordre supérieur, l’ordre desvariables par rapport auxquelles on dérive est important ! Mais lethéorème de Schwarz nous dit que ce n’est plus le cas si f est de classe C2

(et en fait, deux fois différentiable suffirait). C’est ce qui fait que la matricehessienne

Hf (a) =(

∂2f

∂xi∂xj(a))

1≤i,j≤n

d’une fonction f : Ω ⊂ Rn → R de classe C2 en un point a ∈ Ω est unematrice symétrique (et c’est donc la matrice d’une forme quadratique). Enécrivant le développement de Taylor-Young

f(a+ h) = f(a) + df(a) · h︸ ︷︷ ︸=〈∇f(a),h〉

+12〈Hf (a)h, h〉+ ‖h‖2ε(h), ε(h) −→

h→00

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on voit que si a est un point critique de f (df(a) = 0) et si Hf (a) estdéfinie positive (respectivement définie négative), alors a est un minimumlocal (respectivement maximum local) de f ; attention, “positive” ne suffitpas, voir exercice 36. Quand n = 2, on retrouve le fameux “rt − s2” duprogramme (r = ∂2f

∂x2 (a), s = ∂2f∂x∂y (a), t = ∂2f

∂y2 (a)), qui fait un peu formulemagique, alors qu’il suffit de constater que :— Hf (a) est une matrice symétrique réelle de taille 2 × 2, elle est donc

diagonalisable et admet deux valeurs propres réelles λ1, λ2 ;— Hf (a) est définie positive (respectivement définie négative) si λ1 et

λ2 sont toutes deux strictement positives (respectivement strictementnégatives) ;

— on peut connaître les signes de ces valeurs propres en calculant la traceet le déterminant de Hf (a) de deux manières : d’abord de la manièreclassique (notamment detHf (a) = rt−s2), ensuite en remarquant queTr(Hf (a)) = λ1 + λ2 et detHf (a) = λ1λ2. Ainsi :1. si detHf (a) = 0, alors l’une de ces valeurs propres est nulle, donca n’est pas un extremum local de f ,

2. si detHf (a) < 0, alors λ1 et λ2 sont de signes opposés, doncHf (a) n’est ni définie positive, ni définie négative, et a n’est pasun extremum local (point selle/col),

3. si detHf (a) > 0, alors λ1 et λ2 sont de même signe :(a) si Tr(Hf (a)) > 0, alors λ1, λ2 > 0 donc Hf (a) est définie

positive et a est un minimum local de f ,(b) si Tr(Hf (a)) < 0, alors λ1, λ2 < 0 donc Hf (a) est définie

négative et a est un maximum local de f .Attention, il y a souvent deux aspects à concilier dans la recherche d’ex-trema : pour les questions d’existence on aime bien se placer sur un compact,mais pour la différentiabilité et la recherche des points critiques on travaillesur un ouvert. En pratique on essaye de jongler avec ces deux aspects, voirpar exemple l’exercice 41.

Un Ck-difféomorphisme est une application de classe Ck, bijective, etdont la réciproque est de classe Ck. Le théorème d’inversion locale donne unecondition suffisante pour obtenir un Ck-difféomorphisme local. Le théorèmedes fonctions implicites indique quand il est possible d’écrire localement lessolutions d’une équation de la forme f(x, y) = 0 comme les couples (x, φ(x))avec φ de classe Ck. Il faut bien sûr bien connaître les hypothèses de cesthéorèmes (et se rappeler qu’ils ne donnent qu’une information locale),mais également savoir en donner une intuition géométrique (par exemple,problème pour écrire une courbe dans R2 comme un graphe en un point où latangente est verticale). Et il faut travailler la méthode de calcul des dérivéesde la fonction implicite φ (voir par exemple l’exercice 47).

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2 ExercicesLes exercices suivants sont classés par thème, puis plus ou moins par

ordre de difficulté dans chaque thème. Il n’est bien sûr pas question de traitertous ces exercices, mais au moins les premiers de chaque thème. Et cette listepeut éventuellement vous donner des idées pour les leçons d’exercices (parexemple 415, 418, 431, 452, etc.).

2.1 Pour s’échauffer : rappels sur la continuité

Voici quelques exercices pour se remettre en mémoire les révisions detopologie ; si vous avez ces dernières bien en tête, vous pouvez passer direc-tement à la suite.

Exercice 1. Montrer que f : R2 → R définie par

f(x, y) =

x2y2

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

.

est continue en (0, 0).

Exercice 2. Montrer que la fonction f : R2 → R définie par

f(x, y) =

sin(xy)√|xy|

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0).

est continue en (0, 0).

Exercice 3. Soit f : R2 → R définie par

f(x, y) =

xyx2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

.

Montrer que x 7→ f(x, 0) et y 7→ f(0, y) sont continues en 0, mais f n’estpas continue en (0, 0).

Exercice 4. Décider si les fonctions f : R2 → R définies par les formulesci-dessous sont continues en (0,0) :

1. f(x, y) = x3+y3

x2+y4 si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0,

2. f(x, y) = x3y2

x6+y4 si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0,

3. f(x, y) = |xy|√x2+3y2

si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0.

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2.2 Différentiabilité

Exercice 5. Soit f : R3 → R définie par f(x, y, z) = 24y+63z−5. Montrerque f est différentiable sur R3 et calculer sa différentielle.

Exercice 6. Montrer que f : R → R, x 7→ x3 est différentiable en toutpoint a ∈ R et calculer df(a).

Exercice 7. Soit f : Rn → R. On suppose qu’il existe C > 0 telle que|f(x)| ≤ C‖x‖2 pour tout x ∈ Rn. Montrer que f est différentiable en zéroet calculer df(0).

Exercice 8. Soit k > 1 entier. Soit f : Rn → R une fonction différentiablevérifiant

∀x ∈ Rn ∀t ∈ R f(tx) = tkf(x)

(on dit que f est homogène de degré k). Montrer que pour tout x ∈ Rn, ona df(x) · x = kf(x). Indication : dériver la fonction t 7→ f(tx).

Exercice 9. Donner l’équation du plan tangent à la surface Σ = (x, y, z) ∈R3 | z = x2 − 2y3 en un point quelconque (x0, y0, z0) ∈ Σ.

Exercice 10 (Différentielle et plan tangent à une surface définie implicite-ment). Soit f : R3 → R différentiable. On note Σ = a ∈ R3 | f(a) = 0 eton suppose que pour tout a ∈ Σ, df(a) est surjective. Soit a ∈ Σ.

1. Quelle est la dimension du noyau de df(a) ?2. On définit le plan tangent à Σ en a comme

TaΣ = γ′(0) | γ : I ⊂ R→ Σ dérivable, I intervalle ouvert contenant 0, γ(0) = a.

Exprimer TaΣ à l’aide de df(a).3. Proposer un dessin illustrant la situation.4. Application : regarder le cas de f(x, y, z) = x2+y2+z2−1 et comparer

à l’intuition géométrique.

Exercice 11 (Applications bilinéaires (difficile)). Soit B une applicationbilinéaire de E×F dans G, où E,F,G sont des espaces vectoriels de dimen-sion finie, munis des normes ‖ · ‖E , ‖ · ‖F et ‖ · ‖G. On rappelle que B estalors continue, ce qui signifie qu’il existe C > 0 telle que pour tout x ∈ E ettout y ∈ F ,

‖B(x, y)‖G ≤ C‖x‖E‖y‖F .

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1. Montrer que B est différentiable sur E ×F et calculer sa différentielledB(a, b) en un point (a, b) de E × F .

2. Soient f et g deux applications différentiables de I intervalle ouvertde R dans R3. Montrer que

φ : I → R, t 7→ 〈f(t), g(t)〉

est différentiable sur I, et calculer sa différentielle.

Exercice 12 (difficile). Le but de cet exercice est de calculer la différentiellede φ : GLn(R)→ GLn(R), A 7→ A−1 .

1. Expliquer pourquoi GLn(R) est un ouvert deMn(R). On admettra queφ est différentiable sur celui-ci (cela découle par exemple de la formuleA com(A)> = det(A)In).

2. Montrer que l’application g : Mn(R) ×Mn(R) → Mn(R) qui envoie(A,B) sur le produit AB est différentiable et calculer sa différentielle.

3. Soit f : Mn(R) → Mn(R) une application différentiable, et soit F :Mn(R) ×Mn(R) → Mn(R), (A,B) 7→ Af(B). Montrer que F estdifférentiable et calculer sa différentielle.

4. En déduire, à l’aide de la formule AA−1 = In, la différentielle de φ aupoint A ∈ GLn(R).

Exercice 13 (difficile, adapté de l’exercice 26 du Rouvière). Soient E =Mn(R) et f : E → R,M 7→ detM .

1. Montrer que f est de classe C1 et que df(In) = Tr.2. Soit A ∈ GLn(R). Montrer que pour tout H ∈ E

df(A) ·H = detA Tr(A−1H).

3. En déduire que pour tous A,H ∈ E,

df(A) ·H = Tr(com(A)>H)

avec com(A) la comatrice de A (la matrice des cofacteurs de A).4. Soit A : R → E une fonction continue. Soient Y1, . . . , Yn : R → Rn

des solutions du système différentiel linéaire Y ′ = AY . Donner uneéquation différentielle vérifiée par le wronskien

w : R→ R, t 7→ det(Y1| . . . |Yn

)de la famille (Y1, . . . , Yn).

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2.3 Dérivées directionnelles, dérivées partielles

Exercice 14. Soit f : R2 → R définie par

f(x, y) =

xy2

x2+y4 si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

.

Montrer que f admet des dérivées dans toutes les directions en (0, 0), maisn’est pas différentiable en ce point.

Exercice 15. Soit f : R2 → R définie par

f(x, y) =

x|y|√x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que f admet des dérivées dans toutes les directions en (0, 0), et estcontinue mais pas différentiable en ce point.

Exercice 16. Montrer que la fonction f : R → R définie par f(0) = 0 etf(x) = x2 sin(1/x) si x 6= 0 est dérivable sur R, mais f ′ n’est pas continueen 0.

Exercice 17. Soit f : R2 → R différentiable. On considère la fonctionu : R → R définie par u(t) = f(t,−t). Montrer que u est dérivable etcalculer sa dérivée.

Exercice 18. Soit f : R2 → R définie par f(x, y) = exp(x2y) + x3 sin y.Montrer que f admet des dérivées partielles en tout point et calculer celles-ci.

Exercice 19. Soit f : R2 → R3 définie par f(x, y) = (cosx cos y, xy, x2+y3).Montrer que f est différentiable en tout point et calculer Jf (x, y) pour tout(x, y) ∈ R2.

Exercice 20. On considère les fonctions

f : R3 → R3, (x, y, z) 7→(ln(1 + x2 + y2), x2 + y2 − z2, cos(xz)

)et

g : R3 → R, (x, y, z) 7→ 3x2y + exz2 + 4z3.

Déterminer la matrice jacobienne de g au point (0,−1, 1) et celles de f etφ = g f au point (0, 0, 1).

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Exercice 21. Soit f : R3 → R définie par f(x, y, z) = xy+z3 arctan y. Mon-trer que f admet des dérivées partielles en tout point et calculer ∇f(x, y, z)pour tout (x, y, z) ∈ R3.

Exercice 22 (difficile). Soit f : R2 → R différentiable et telle que

2∂f∂x

(x, y) = ∂f

∂y(x, y)

pour tout (x, y) ∈ R2.1. Montrer que φ : R2 → R2 définie par φ(x, y) = (x + y, x + 2y) est declasse C1, bijective, et que sa réciproque est aussi de classe C1.2. On pose g(u, v) = f(φ−1(u, v)) pour tout (u, v) ∈ R2. Montrer que gadmet une dérivée partielle par rapport à u et calculer ∂g

∂u .3. Que peut-on en déduire pour g ? Et pour f ?

2.4 Inégalité des accroissements finis

Exercice 23. Proposer un exemple illustrant le fait que l’égalité des ac-croissements finis ne se généralise pas pour des fonctions à valeurs dans Rp,p ≥ 2.

Exercice 24. Soit Ω = R2 \ (x, 1x) | x 6= 0 ⊂ R2. Pour x, y ∈ Ω, on pose

f(x, y) = arctan x+ arctan y − arctan(x+ y

1− xy

).

1. Représenter Ω sur un dessin.2. Montrer que f est de classe C1 sur Ω.3. Calculer df .4. Simplifier f .

Exercice 25. Soit F : R2 → R2 définie par

∀(x, y) ∈ R2 F (x, y) = (cosx− cos y, sin x− sin y).

1. Justifier que F est de classe C1.2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2, ‖dF (x, y)‖ ≤

√2 (pour la norme

subordonnée à la norme euclidienne).3. Soit (x0, y0) ∈ R2. On définit la suite (xn, yn)n≥0 par la donnée de

(x0, y0) et la relation de récurrence :

xn+1 = 12(cosxn − cos yn), yn+1 = 1

2(sin xn − sin yn).

Montrer que cette suite converge. Quelle est sa limite ?

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2.5 Dérivées d’ordre supérieur

Exercice 26. Soit f : R2 → R définie par

f(x, y) =

xy(x2−y2)x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que f admet des dérivées partielles secondes en (0, 0) et que

∂2f

∂x∂y(0, 0) 6= ∂2f

∂y∂x(0, 0).

Que peut-on en déduire ?

Exercice 27. Soit f : Rn → R de classe C2. Écrire le développement deTaylor-Young de f à l’ordre 2 au point a ∈ Rn à l’aide des dérivées partiellespremières et secondes de f en a.

Exercice 28. Soit f : R2 → R une fonction deux fois différentiable. Onnote

α = ∂f

∂x(1, 0), β = ∂f

∂y(1, 0), γ = ∂2f

∂x2 (1, 0), δ = ∂2f

∂x∂y(1, 0), ε = ∂2f

∂y2 (1, 0).

On considère la fonction g : R→ R définie par g(θ) = f(cos θ, sin θ). Calculerg′′(0) en fonction de α, β, γ, δ et ε.

Exercice 29. On considère l’application

f : R3 → R, (x, y, z) 7→ 3x2y + exz2 + 4z3.

Calculer la hessienne de f en (x, y, z). Écrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 de f au point (1, 1, 0).

Exercice 30. Écrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au point(1, 1) de la fonction

f :]0,+∞[×]0,+∞[→ R, (x, y) 7→ x− yx+ y

.

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Exercice 31. Écrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au point(0, 0) de la fonction f définie sur un voisinage de (0, 0) par f(x, y) = expx

cos y .En déduire que la quantité

exp(x)− (1 + x) cos y(x2 + y2) cos y

admet une limite quand (x, y) tend vers (0, 0), et calculer celle-ci.

Exercice 32. Soit U un ouvert de R2. On définit le laplacien ∆f d’unefonction f : U → R admettant des dérivées secondes par rapport à toutesles variables par la formule

∆f = ∂2f

∂x2 + ∂2f

∂y2

et on dit que f est harmonique si son laplacien est nul. Montrer que lesfonctions suivantes sont harmoniques.1. f : R2 → R définie par f(x, y) = (cosx− sin x) exp(y).2. f : R2 \ (0, 0) → R définie par

f(x, y) = exp(x) sin y + exp(y) sin x+ ln(x2 + y2).

Exercice 33. Écrire le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 au point(1, 1) de f : (x, y) 7→ xy.

Exercice 34 (difficile). 1. Trouver toutes les applications f : R2 → R deuxfois différentiables vérifiant ∂2f

∂x∂y = 0.2. Trouver toutes les applications g : R2 → R deux fois différentiables véri-fiant

∂2g

∂x2 = ∂2g

∂y2 .

On pourra poser φ(u, v) = 12(u+ v, u− v) et f = g φ.

2.6 Points critiques et extrema

Exercice 35. Donner un exemple de point critique d’une fonction de Rdans R qui n’est pas un extremum local.

Exercice 36. Soit f : R2 → R définie par f(x, y) = x2 − 3y3. Montrer quele point (0, 0) est un point critique de f , que la matrice symétrique Hf (0, 0)est positive, mais que f n’atteint pas un minimum local en (0, 0).

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Exercice 37. Déterminer les points critiques des fonctions de R2 dans Rci-dessous et préciser leur nature (extremum local, point selle ou ni l’unni l’autre). Préciser si les extrema locaux obtenus sont globaux. (Bonus :donner également l’allure des courbes de niveaux.)

1. f(x, y) = x2 − y2 + 14y

4,2. g(x, y) = x3 + y3 − 3xy.

Exercice 38. Déterminer les points critiques de la fonction f : R2 → Rdéfinie par

f(x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2

et préciser leur nature.

Exercice 39. On a représenté ci-dessous quelques courbes de niveaux d’unefonction f : R2 → R. Le dégradé de rouge indique les valeurs prises par f ;plus la couleur est foncée, plus la valeur correspondante de f est élevée.

1. Conjecturer les points critiques de f sur [−2, 2] × [−2, 2], ainsi que leurnature.2. Sachant que pour tout (x, y) ∈ R2, f(x, y) = 3x−x3−2y2+y4, déterminertous les points critiques de f et leur nature. Vérifier que la conjecture de laquestion précédente était bonne.

Exercice 40. Soient α, β ∈ R avec α 6= 0. Déterminer les points critiquesde

f : R2 → R, (x, y) 7→ αx2

2 + βxy + y3

3ainsi que leur nature, selon les valeurs de α et β. La fonction f admet-elleun minimum/maximum global ?

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Exercice 41. Trouver les extrema de la fonction f donnée par f(x, y) =x2 + xy + y2 sur le triangle ABC, avec A = (0, 0), B = (1, 0) et C = (0, 1).

Exercice 42. Soit ABC un triangle du plan. Déterminer le minimum deMA2 +MB2 +MC2 quand M varie dans le plan.

Exercice 43 (Difficile, adapté de l’exercice 122 du Rouvière). On considèreun triangle ABC du plan dont les angles sont tous strictement inférieurs à120. Pour un point M du plan, on note

f(M) = MA+MB +MC

la somme des distances de M aux sommets du triangle.1. On note O une origine du plan. Montrer que f tend vers +∞ quand‖OM‖ tend vers +∞. En déduire que f admet un minimum global.

2. Prouver que ce minimum ne peut pas être atteint en un des sommetsdu triangle. Montrer de plus qu’il ne peut pas être atteint en un pointextérieur au triangle.

3. Justifier que f est de classe C∞ sur Ω = R2 \ A,B,C. Calculer ladifférentielle de f en tout point de Ω.

4. Soit P un point réalisant le minimum global de f . Montrer que lesangles APB, BPC et CPA valent tous 120. En déduire que P estunique.

5. On construit trois triangles équilatéraux ABC ′, BCA′ et ACB′ à l’ex-térieur de ABC. Montrer que les droites (AA′), (BB′) et (CC ′) sontconcourantes en P et que f(P ) = AA′ = BB′ = CC ′.

2.7 Difféomorphismes, inversion locale, fonctions implicites

Exercice 44. Donner un exemple de fonction de classe C1, continue, bijec-tive, dont la réciproque est continue, mais qui n’est pas un C1-difféomorphisme.

Exercice 45 (Coordonnées polaires). On considère la fonction

φ : R2 → R2, (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ).

1. La fonction φ est-elle injective ? Surjective ? Trouver un ouvert maxi-mal Ω ⊂ R2 telle que φ soit injective sur Ω.

2. φ est-elle un C1-difféomorphisme de Ω sur φ(Ω) ?

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Exercice 46. Soit f : R→ R définie par

f(x) =x+ x2 sin(πx ) si x 6= 0,0 si x = 0.

Montrer que f est dérivable sur R, que f ′(0) 6= 0 mais que f n’est bijectivesur aucun voisinage de 0. Qu’en déduire pour f ?

Exercice 47. Soit f : R2 → R définie par f(x, y) = x3 + y3 − 3xy ; onconsidère la courbe implicite

C = (x, y) ∈ R2 | f(x, y) = 0.

1. En quels points (a, b) de C peut-on appliquer le théorème des fonctionsimplicites ?

2. Calculer la dérivée de la fonction implicite qui décrit la courbe prèsd’un tel point (a, b), et donner l’équation de la tangente à C en (a, b).

3. Essayer de représenter C.

Exercice 48 (Inverse local de l’exponentielle (difficile, adapté des exercices16 et 65 du Rouvière)). On note E = Mn(R). On admet que l’exponentiellematricielle exp : E → E est de classe C1.

1. Calculer la différentielle de exp en 0.2. Montrer que exp est un C1-difféomorphisme d’un voisinage de 0 sur un

voisinage de In.3. Est-ce un difféomorphisme global de E sur exp(E) ?

2.8 Extrema avec contraintes (hors-programme)

Le théorème des extrema liés ne fait techniquement pas partie du pro-gramme. Cependant, cette conséquence du théorème des fonctions implicitesfournit de jolis exercices d’applications qui peuvent cocher la case “Exemplesde problèmes d’extrémums issus de la géométrie” du programme.

Exercice 49. Déterminer les points du plan d’équation 2x − y + 2z = 18dans R3 les plus proches de l’origine, et en déduire la distance entre ce planet l’origine.

Exercice 50. On considère la fonction f : S2 → R définie par f(x, y, z) = xyoù S2 est la sphère unité dans R3, d’équation x2 + y2 + z2 = 1.1. f possède-t-elle des extrema globaux sur S2 ?

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2. Déterminer les extrema locaux de f sur S2.3. Préciser la nature de ceux-ci.

Exercice 51. On veut réaliser une boîte parallélépipédique contenant uncertain volume V fixé de liquide, de la manière la plus économique possible,c’est-à-dire en faisant en sorte que la surface S de la boîte soit minimale.1. Exprimer V et S en fonction des longueurs x, y et z de la boîte.2. Traduire le problème sous la forme d’une recherche d’extrema sous contrainte.3. Résoudre celui-ci. Quelle est la forme de la boîte la plus économique ?Calculer sa surface quand V = 125 cm3.

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