1 Modélisation statistique de la topologie dun nuage de points CEA-DAM – Bruyères-le-Châtel...

1 Modlisation statistique de la topologie dun nuage de points CEA-DAM Bruyres-le-Chtel Dpartement Analyse Surveillance Environnement Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation aux Journes de Gomtrie Algorithmique 12-16 mars 2007 Michal Aupetit Ingnieur Chercheur Pierre Gaillard Doctorant

2 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Un point de vue statistique Etant donn un nuage de points de R D, chantillon dune population (sous-varits de R D ) inconnue, si lon connat la densit de probabilit de la population (estime partir de lchantillon), on peut apporter une solution de nombreux problmes usuels: classification, discrimination, rgression Il reste pourtant une information peu exploite car difficile extraire

3 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Une question en attente de rponse Les modles statistiques de densit existant ne permettent pas de rpondre la question suivante : Quelle est la forme de ce nuage de points ?

4 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Une rponse subjective 1 point et 1 courbe La rponse attendue serait : Topologie : 1 varit de type point, 1 varit de type segment Non connectes lune lautre Gomtrie : Leur position absolue, leur position relative, la courbure du segment, sa longueur, limportance du bruit

5 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Pourquoi modliser la topologie in situ? Reconnaissance de formes Ajout de caractristiques topologiques au caractristiques statistiques et gomtriques Classification via composantes connexes; dimension intrinsque Apprentissage semi-supervis

6 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Pourquoi modliser la topologie in situ? Reconnaissance de formes Ajout de caractristiques topologiques au caractristiques statistiques et gomtriques Classification via composantes connexes; dimension intrinsque Apprentissage semi-supervis Analyse exploratoire Mesure des caractristiques topologiques dun nuage de point en dimensions >3 Plus court chemin le long des varits (projection non linaire)

7 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Pourquoi modliser la topologie in situ? Reconnaissance de formes Ajout de caractristiques topologiques au caractristiques statistiques et gomtriques Classification via composantes connexes; dimension intrinsque Apprentissage semi-supervis Analyse exploratoire Mesure des caractristiques topologiques dun nuage de point en dimensions >3 Plus court chemin le long des varits (projection non linaire) Robotique, commande de processus Trajectoire optimale Cinmatique inverse [Zeller, Schulten - IEEE ISIC1996]

8 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille QV [Gray] Approches descriptives (critre MSE) Approches gnratives (critre ML) Gauss. Mixt. Etat de lart (Machine Learning): topologie fixe a priori Codage,prdiction, compression Prdiction, correction derreurs OD

9 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille QV [Gray] Approches descriptives (critre MSE) Approches gnratives (critre ML) Gauss. Mixt. Etat de lart (Machine Learning): topologie fixe a priori Codage,prdiction, compression Prdiction, correction derreurs OD SOM [Kohonen] GTM [Bishop] Projection, clustering, compression Projection 1D-2D Modle de topologie

10 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille QV [Gray] Approches descriptives (critre MSE) Approches gnratives (critre ML) Gauss. Mixt. Etat de lart (Machine Learning): topologie fixe a priori Codage,prdiction, compression Prdiction, correction derreurs OD SOM [Kohonen] GTM [Bishop] Projection, clustering, compression Projection 1D-2D Modle de topologie Prin. Curv. [Kegl] PSOM [Walter] Prin. Curv. [Hastie,Stuetzle] LPCA [Bishop] Prdiction, correction derreurs Projection 1D-2D Modle de varits

11 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille QV [Gray] Approches descriptives (critre MSE) Approches gnratives (critre ML) Gauss. Mixt. Etat de lart (Machine Learning): topologie fixe a priori Problmes : topologie impose ou incomplte Codage,prdiction, compression Prdiction, correction derreurs OD SOM [Kohonen] GTM [Bishop] Projection, clustering, compression Projection 1D-2D Modle de topologie Prin. Curv. [Kegl] PSOM [Walter] Prin. Curv. [Hastie,Stuetzle] LPCA [Bishop] Prdiction, correction derreurs Projection 1D-2D Modle de varits

12 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Etat de lart : topologie apprise des donnes Information parcellaire sur la topologie Calcul de la dimension intrinsque locale

13 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Etat de lart : topologie apprise des donnes Information parcellaire sur la topologie Calcul de la dimension intrinsque locale Modlisation sous forme de graphes partir des donnes seules Gabriel Graph, Sphere of Influence Graph, Relative Neighborhood Graph, KNN Graph, beta-squelette

14 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Etat de lart : topologie apprise des donnes Information parcellaire sur la topologie Calcul de la dimension intrinsque locale Modlisation sous forme de graphes partir des donnes seules Gabriel Graph, Sphere of Influence Graph, Relative Neighborhood Graph, KNN Graph, beta-squelette Modlisation sous forme de complexes simpliciaux partir des donnes seules Crust [Amenta98] (k2) Sommets candidats pour les triangles

41 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les qualits Intrt On construit un sous-complexe de Delaunay avec peu de calculs O(DNG) Si les sommets sont bien placs et en nombre suffisant mais pas trop , Alors le complexe simplicial obtenu est satisfaisant

42 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les qualits Intrt On construit un sous-complexe de Delaunay avec peu de calculs O(DNG) Si les sommets sont bien placs et en nombre suffisant mais pas trop , Alors le graphe obtenu est satisfaisant Passons aux dfauts de mon point de vue (ML) : Le choix de ces ROI est-il pertinent pour rsoudre le problme pos?

43 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 1) Existence de zones mortes (K>2) donc sous-utilisation des G chantillons (G>>N)

44 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 2) Pas de prservation des 0-simplexes gnrateurs car tout point toujours deux prototypes 1er et 2nd plus proches voisins qui seront donc connects Avec bruit Sans bruit

45 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 3) Sensibilit au bruit car modle bas sur des ROI binaires : il suffit dun seul point dans la rgion pour crer le lien.

46 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 4) Modle de varits abstrait : les k-simplexes (k>0) sont plongeables, mais ne sont pas plongs gomtriquement dans lespace du nuage de point. Ce nest pas un modle des varits gnratrices au sens o on lentend en ML modle proche des donnes au sens des moindres carrs (e.g. K-means), mais seulement un modle de leur connexit.

47 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 4) Modle de varits abstrait : les k-simplexes (k>0) sont plongeables, mais ne sont pas plongs gomtriquement dans lespace du nuage de point. Ce nest pas un modle des varits gnratrices au sens o on lentend en ML modle proche des donnes au sens des moindres carrs (e.g. K-means), mais seulement un modle de leur connexit.

48 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts Toutes les mesures de proximit sont effectues par rapport aux seuls sommets Le complexe simplicial est abstrait 4) Modle de varits abstrait : les k-simplexes (k>0) sont plongeables, mais ne sont pas plongs gomtriquement dans lespace du nuage de point. Ce nest pas un modle des varits gnratrices au sens o on lentend en ML modle proche des donnes au sens des moindres carrs (e.g. K-means), mais seulement un modle de leur connexit.

49 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 4.1) Consquence 1 : ROI de formes pas toujours adaptes Les witness sont loin de larc quils gnrent (contre-intuitif en ML: moyenne, centre de gravit)

50 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 4.2) Consquence 2 : Pas de self-consistance (dfinie par Hastie et Stuetzle avec les Varits Principales), on peut avoir une intersection vide entre un segment et sa ROI (les points chantillons dun segment peuvent ne pas gnrer ce segment) Pas dintersection entre la ROI et le segment quelle gnre

51 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 4.3) Consquence 3 : Volume des ROI non pertinent car li la lgitimit que le simplexe associ appartienne ou non au complexe de Delaunay Volume minuscule = arte de Delaunay peu robuste un lger dplacement des sommets - Risque quaucune donne nactive cette rgion - Volume de cette rgion sans rapport avec la lgitimit dexistence de larte : la densit uniforme de donnes gnres dans le carr, devrait impliquer une lgitimit similaire des artes retenues (4 cts + 1 diagonale quimporte laquelle).

52 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille TRN et Witness Complexes : les dfauts 5) Pas de mesure objective de la qualit du modle Comment mesurer la qualit du modle sur des donnes de grande dimension (>3) dont on ne connat rien a priori? (visualisation impossible) Comment comparer les modles en labsence de vrit terrain?

53 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Approximation : TRN et Witness Complexes Bilan : Une approche peu satisfaisante (point de vue ML) pour rsoudre notre problme Vers une autre solution : formuler le problme avec une approche statistique

54 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Tabula rasa

55 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Hypothses gnrales sur le processus statistique de gnration des donnes Des varits gnratrices inconnues

56 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Des varits gnratrices inconnues desquelles sont tirs des individus avec une densit de probabilit inconnue Hypothses gnrales sur le processus statistique de gnration des donnes

57 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Des varits gnratrices inconnues desquelles sont tirs des individus avec une densit de probabilit inconnue corrompus par un bruit de nature inconnue menant aux observations Hypothses gnrales sur le processus statistique de gnration des donnes

58 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Des varits gnratrices inconnues desquelles sont tirs des individus avec une densit de probabilit inconnue corrompus par un bruit de nature inconnue menant aux observations Hypothses gnrales sur le processus statistique de gnration des donnes Ce que lon veut

59 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Extraire la topologie partir dun modle de densit Un moyen dextraire la topologie / la structure des donnes est de modliser la distribution p(x) cest--dire le processus statistique de gnration des donnes Modle gnratif La clef du problme :

60 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Extraire la topologie partir dun modle de densit Un moyen dextraire la topologie / la structure des donnes est de modliser la distribution p(x) cest--dire le processus statistique de gnration des donnes laide dune collection de varits gnratrices dont on puisse extraire la topologie La clef du problme : Modle gnratif Topologie

61 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions)

62 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?

63 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?.... k-boules k=0k=1k=2k=3

64 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?.... k-boules k=0k=1k=2k=3 Pas de connexit structurelle entre lments

65 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?.... k-pavs.... k-boules k=0k=1k=2k=3 Pas de connexit structurelle entre lments

66 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?.... k-pavs.... k-boules k=0k=1k=2k=3 Pas de connexit structurelle entre lments Ncessite 2 k paramtres pour un k-pav

67 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?.... k-pavs.... k-simplexes.... k-boules k=0k=1k=2k=3 Pas de connexit structurelle entre lments Ncessite 2 k paramtres pour un k-pav

68 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?.... k-pavs.... k-simplexes.... k-boules k=0k=1k=2k=3 Enveloppe convexe de k+1 points dans IR D (D >=k ) Pas de connexit structurelle entre lments Ncessite 2 k paramtres pour un k-pav

69 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?.... k-pavs.... k-simplexes.... k-boules k=0k=1k=2k=3 Complexe simplicial Enveloppe convexe de k+1 points dans IR D (D >=k ) Pas de connexit structurelle entre lments Ncessite 2 k paramtres pour un k-pav

70 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ?.... k-pavs.... k-simplexes.... k-boules k=0k=1k=2k=3 Complexe simplicial Pourquoi? CS = ensemble de varits : - parcimonieux (k+1 points / lments) - flexible (vers approx. universelle) - topologie extractible (calculable, exacte car structure discrte + algo Betti) - interpolation (linaire,B-splines) Enveloppe convexe de k+1 points dans IR D (D >=k ) Pas de connexit structurelle entre lments Ncessite 2 k paramtres pour un k-pav

71 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ? Quel complexe simplicial?.... k-simplexes

72 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modliser des varits gnratrices par des varits Approximation de varits par une varit composite assemblage de varits lmentaires intressantes (comme en approx. de fonctions) Quelle famille de varits lmentaires ? Quel complexe simplicial? Un que lon sache construire : le complexe de Delaunay.... k-simplexes

73 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modle propos Des varits gnratrices inconnues desquelles sont tirs des individus avec une densit de probabilit inconnue corrompus par un bruit de nature inconnue menant aux observations.

74 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modle propos Des varits gnratrices inconnues desquelles sont tirs des individus avec une densit de probabilit inconnue corrompus par un bruit de nature inconnue menant aux observations. Supposons une varit composite linaire par morceaux sous-complexe du CS Delaunay

75 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modle propos Des varits gnratrices inconnues desquelles sont tirs des individus avec une densit de probabilit inconnue corrompus par un bruit de nature inconnue menant aux observations. chaque composant de laquelle est associ une fdp uniforme Supposons une varit composite linaire par morceaux sous-complexe du CS Delaunay

76 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modle propos Des varits gnratrices inconnues desquelles sont tirs des individus avec une densit de probabilit inconnue corrompus par un bruit de nature inconnue menant aux observations. Supposons une varit composite linaire par morceaux sous-complexe du CS Delaunay chaque composant de laquelle est associ une fdp uniforme convolue un bruit Gaussien centr isovari.

77 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Modle propos Des varits gnratrices inconnues desquelles sont tirs des individus avec une densit de probabilit inconnue corrompus par un bruit de nature inconnue menant aux observations. Supposons une varit composite linaire par morceaux sous-complexe du CS Delaunay chaque composant de laquelle est associ une fdp uniforme convolue un bruit Gaussien centr isovari. Un complexe simplicial gnratif gaussien

78 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Gnrer les k-simplexes gaussiens Comment dfinir un modle gnratif bas sur un complexe simplicial? Expression analytique Approximation (quasi Monte Carlo) Point-gaussien A Segment-gaussien A B Triangle-gaussien A B C k-simplexe gaussien

79 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Le Complexe Simplicial Gnratif Gaussien Un modle de mlange gaussien tendu aux k-simplexes dun complexe simplicial initial Rglage des paramtres Positionnement des sommets du complexe simplicial Probabilit a priori des k-simplexes Variance du bruit gaussien Critres Maximisation de la vraisemblance du modle sachant les donnes Pnalisation par le critre BIC gestion automatique de la complexit du modle lie au nombre de prototypes Mthode doptimisation GEM

80 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Principe du Graphe Gnratif Gaussien (GGG) Positionnement de prototypes par Modle de mlange gaussien puis construction du graphe de Delaunay (varit composite) Initialisation

81 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Principe du Graphe Gnratif Gaussien (GGG) Positionnement de prototypes par Modle de mlange gaussien puis construction du graphe de Delaunay (varit composite) Initialisation Modle statistique de densit gnr par la varit composite (quiprobabilit des composants)

82 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Principe du Graphe Gnratif Gaussien (GGG) Certaines composantes ont une probabilit associe (quasi-)nulle: elle ne servent pas expliquer les donnes. Aprs apprentissage

83 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Principe du Graphe Gnratif Gaussien (GGG) Certaines composantes ont une probabilit associe (quasi-)nulle: elle ne servent pas expliquer les donnes. On peut les supprimer : lagage du graphe Aprs apprentissage

84 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Principe du Graphe Gnratif Gaussien (GGG) Certaines composantes ont une probabilit associe (quasi-)nulle: elle ne servent pas expliquer les donnes. On peut les supprimer : lagage du graphe Aprs apprentissage Complexe simplicial dont la topologie est suppose proche de celle des varits gnratrices des donnes

85 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Exprience : CHL vs GGG donnes bruites Seuillage sur le nombre de witness

88 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Algorithme propos : algorithme incrmental 1.Dimension 0 Placer les simplexes de dimension 0 a laide dun modle de mlange gaussien isovari 2.Ajouter la dimension 1 i.Construire le Graphe de Delaunay, ii.Initialiser le poids des segments, iii.Modifier le poids des diffrents simplexes (dim 0 et 1) et la variance du bruit, iv.Modifier les sommets en plus des autres paramtres v.lagage 3. Ajouter la dimension k i.Ajouter les simplexes de dimensions o cest possible, ii.Initialiser le poids des simplexes, iii.Modifier le poids des diffrents simplexes (dim 0 k) et la variance du bruit, iv.Modifier les sommets en plus des autres paramtres v.lagage

89 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Exemple

90 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Application sur donnes hydro-acoustiques Chant des baleines (F. Samaran, C. Guinet, Centre dtude biologique de Chiz CNRS)

91 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Application sur donnes hydro-acoustiques Chant des baleines (F. Samaran, C. Guinet, Centre dtude biologique de Chiz CNRS)

92 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Application sur donnes hydro-acoustiques Chant des baleines (F. Samaran, C. Guinet, Centre dtude biologique de Chiz CNRS) chantillonnage

93 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Application sur donnes hydro-acoustiques Chant des baleines (F. Samaran, C. Guinet, Centre dtude biologique de Chiz CNRS) chantillonnage Filtrage statistique du bruit de fond par ajout dune composante ddie dans le GGG

94 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Application sur donnes hydro-acoustiques Chant des baleines (F. Samaran, C. Guinet, Centre dtude biologique de Chiz CNRS) chantillonnage Filtrage statistique du bruit de fond par ajout dune composante ddie dans le GGG Puis filtrage topologique des 0-simplexes avant extraction de caractristiques gomtriques de la composante connexe 1D candidate pour comparaison une base de rfrence (discrimination)

95 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Points positifs 1) Pas de zones mortes : toutes les donnes sont exploites 2) 0-varits gnratrices isoles prserves 3) Moindre sensibilit au bruit : on introduit un modle de bruit (gaussien) et les ROI sont floues (gaussiennes) 4) Modle de varits complet : plongement gomtrique de tous les k-simplexes 4.1) ROI englobant les k-simplexes (convolution) 4.2) Self-consistance : modle gnratif lest par dfinition 4.3) Pertinence des k-simplexes mesure par une probabilit 5) Mesure objective de la qualit : la vraisemblance pnalise

96 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Points durs No free lunch Complexit de calcul en O(DN 3 ) (graphe de Delaunay initial) Convergence lente (EM) Approximation numrique pour le calcul des k-simplexes gaussiens Multiples optima locaux de la fonction de vraisemblance

97 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Points clefs Estimateur statistique de la topologie Ide principale : Mme gomtrie implique mme topologie Donc en imposant une proximit gomtrique modle/donnes (modulo le bruit gaussien) avec une gestion de la complexit du modle, on suppose que la topologie du modle sera proche de celle des varits gnratrices (do limportance du plongement complet du modle) Do la conjecture suivante : La topologie des varits modles estime celle des varits gnratrices du nuage de points dautant mieux que le modle de densit associ est vraisemblable complexit donne Modle de mlange particulier Topologie des varits extractible et flexible Gnralisant les modles de mlange classiques (0-simplexes) Estimation de densits particulires localement uniformes (voire linaire ou non-linaire par interpolation)

98 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Questions ouvertes Validit de la conjecture bonne vraisemblance pnalise = bonne topologie - liens avec la persistence topologique? - lien entre prservation de la topologie et densit de lchantillonnage (au sens probabiliste)? Thorme dapproximation universelle de varit? Complexit (nb. doptima) de la fonction de vraisemblance? Algorithmes efficaces pour Optimiser la vraisemblance? Construire le graphe de Delaunay en dimension D ? Estimer les k-simplexes gaussiens?

99 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Travaux et collaborations Collaboration avec F. Chazal (INRIA Futurs) et D. Cohen-Steiner (INRIA Sophia) Collaboration avec S. Canu, G.Gasso et K. Zapien (INSA-Rouen) Thse Pierre Gaillard (CEA-UTC, G. Govaert) : adaptation du modle dans le cas de donnes tiquetes pour lanalyse de donnes et lapprentissage semi-supervis Thse venir (CEA-UTC, G. Govaert) : utilisation du modle pour la visualisation de systmes dinfrence floue Publications NIPS 2005 et ESANN 2007 Proposition dun Workshop sur ce thme NIPS en dcembre 2007 (Communaut Machine Learning)

100 Merci de votre attention

101 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Perspectives pour les Witness Complex Comment positionner les prototypes pour que les ROI soient mieux places

102 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Vorono et Delaunay Du diagramme de Vorono au complexe simplicial de Delaunay Ensemble v de points de IR D Cellules de Vorono d-cellule

103 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Vorono et Delaunay Du diagramme de Vorono au complexe simplicial de Delaunay Ensemble v de points de IR D Cellules de Vorono (d-1)-cellule

104 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Vorono et Delaunay Du diagramme de Vorono au complexe simplicial de Delaunay Ensemble v de points de IR D Cellules de Vorono (d-2)-cellule

105 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Vorono et Delaunay Du diagramme de Vorono au complexe simplicial de Delaunay Ensemble v de points de IR D Rgions de Vorono Graphe de Delaunay chaque d-cellule un 0-simplexe

106 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Vorono et Delaunay Du diagramme de Vorono au complexe simplicial de Delaunay Ensemble v de points de IR D Rgions de Vorono Graphe de Delaunay

107 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Vorono et Delaunay Du diagramme de Vorono au complexe simplicial de Delaunay Ensemble v de points de IR D Rgions de Vorono Graphe de Delaunay chaque (d-1)-cellule un 1-simplexe

113 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Vorono et Delaunay Du diagramme de Vorono au complexe simplicial de Delaunay Ensemble v de points de IR D Rgions de Vorono Complexe simplicial de Delaunay chaque (d-2)-cellule un 2-simplexe

114 15/03/2007 CEA-DAM Laboratoire Dtection et Sismologie Oprationnelle Prsentation JGA 2007 - Marseille Vorono et Delaunay Du diagramme de Vorono au complexe simplicial de Delaunay Ensemble v de points de IR D Rgions de Vorono Complexe simplicial de Delaunay chaque (d-k)-cellule un k-simplexe

1 Modélisation statistique de la topologie dun nuage de points CEA-DAM – Bruyères-le-Châtel...

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