1

Modélisation de la formation de bancs de

poissons

C. Accolla, J.C. Poggiale, O. Maury

2

Schooling

• Phénomène macroscopique: distribution non homogène

des organismes pélagiques (poissons)

• Au niveau de l’individu : processus complexes d’auto-

organisation et interactions avec l’environnement (forçages

intrinsèques et extrinsèques) ; seuil de densité

• Conséquences importantes sur la prédation

• Impact au niveau de l’écosystème

3

But : partir d’un phénomène gouverné par

des processus à petite échelle (individu)

pour inférer des conclusions à grande

échelle (écosystème)

Problématique

4

Petite échelle

• Dynamique au niveau de l’individu :

IBM (Individual Based Model)

+ grande quantité d’information

+ facile à simuler; résultats visuels réalistes

+ émergence de propriétés au niveau de la population

- manque de protocole rigoureux pour extraire et justifier

des conclusions au niveau de la population

5

Grande échelle

• Dynamique au niveau de la population :

équations d’advection - diffusion

PDE (Partial Differential Equation)

+ description de la densité de population : intégration de la

variabilité individuelle

+ méthode d’analyse standardisée

+ on peut extraire des conclusions et les justifier (mécaniste)

6

Méthode utilisée

1) Écrire le modèle individu-centré (IBM)

2) Écrire des équations différentielles stochastiques (SDE)

associées à l’IBM : temps continu

3) Obtenir les équations aux dérivés partielles (PDE) de la

densité de population : nombre d’individus (N) tend vers

l’infini

Comment exploiter les avantages des modèles

individus-centrés d’une façon rigoureuse?

7

1) Modèle Individu-Centré

• Simulation du mouvement de N poissons• Forçages : présence d’un gradient de nourriture

mouvements browniens

( 1)

( 1) 2( ) ( 0 ( ))

( 0 )

x c

x c

eh x c sign x

c e

Gradient de nourriture :

Fonction qui représente la nourriture :

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

h(x

)

h(x)

x

( 1)

0

0( )

x c

c

c eh x

kW

8

1) Modèle Individu-Centré

( ) ( ) ( ) ( ( ) )k k kx t t x t a h x t h x W

( )a h x

( ( ) ) kh x W

1,2,...,k N

Vitesse proportionnelle au gradient

Mouvements browniens multipliés par

une fonction décroissante du gradient

( )max( ( ) ) hh x e

9-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

x

Moy

enne

IB

M

Distribution finale (t = tmax)

x

Moyenne IBM

Moyenne de 200 simulations IBM à t = 0 et à t = tmax

Moyenne IBM

x

Conditions initiales (t = 0)

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

x

Moy

enne

IB

M

10

2) Équations différentielles stochastiques

• IBM : discrétisation d’un ensemble d’équations

différentielles stochastiques

( ) ( ( ) )k kdx a h x dt h x dW

On passe en temps continu :

11

3) Équation au niveau populationnel (PDE)

22

2

( , ) 1( ( , )) ( ( , ))

2

x tB x t A x t

t x x

( ( ) )

( )

B h x

A a h x

N On prend la limite pour

et on effectue des calculs d’intégration pour obtenir:

où représente la densité des individus, avec: ( , )x t

• équation qui représente la population

• on peut étudier rigoureusement l’évolution au cours du temps

• elle est liée a l’IBM précédent

12

Distribution finale (t = tmax)

( , )x T

x

Conditions initiales (t = 0)

( ,0)x

x

Distributions à t = 0 et à T = tmax

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

00

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

finale

13

Comparaison pour différents temps

( ,0)x

Moyenne IBM

t = 0

x-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

00

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

01

( , )8

Tx

Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps

t = T/8

x

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

02

( , )4

Tx

Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps

t = T/4

x

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

04

16

( , )2

Tx

Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps

t = T/2

x

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

12

3( , )

4

Tx

Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps

t = 3/4 T

x

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

13

18

7( , )

8

Tx

Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps

t = 7/8 T

x

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

finale

19

( , )x T

Moyenne IBM

Comparaison pour différents temps

t = T

x

20

Conclusions

• Comparaison graphiques montre une bonne superposition :

bonne méthode pour passer d’une description individu centré

à une au niveau populationnel

• Autres méthodes

• Perspectives : facteurs intrinsèques

interactions proie/prédateur

gestion pêche

MERCI