1 Machines de Turing (partie 1) Cours LFI-2 (Master Académique) 2007/2008.

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Machines de Turing(partie 1)

Cours LFI-2 (Master Académique)

2007/2008

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Plan I- Introduction

III- Définition Formelle

VII- Calcul d’une MT

VI- Configuration d’une MT

II- Principe d’un machine de Turing

IV- Exemples de MT

VIII- Graphe des configurations d’une MT

V- Représentation de MT

IX- Utilisation

X- Machines de Turing et ordinateurs

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Introduction

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Qui est Turing ?

A quoi sert sa machine?

Introduction

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Nom: Turing

Prénom:Alan Mathison

Nationalité: Anglais

Date de naissance: 23 juin 1912

à Londres

Date de décès : 1954

Introduction

Qui est Turing ?

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Introduction

Spécialité ?

PhilosopheLogicienMathématicien Spécialiste en cryptologie

Professeur à (Cambridge, Princeton Manchester).

Profession?

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Travaux ? (1)

1. En 1936 (à l’âge de 24 ans) , Turing inventa des machines algorithmiques abstraites, « machines à penser », appelées aujourd'hui machines de Turing et préfigurant la construction des ordinateurs.

Introduction

Les machines de Turing, elles étaient censées interpréter des instructions logiques (affectations, tests, branchements) et capables de dégager les catégories de problèmes résolubles

8

En 1943 Turing mit ses compétences aux services de l'armée britannique lors de la seconde guerre mondiale: Il a conçu, avec Max Newman le Colossus 1, ordinateur capable de déchiffrer les codes de la célèbre machine allemande Enigma, d'origine hollandaise et utilisée pour la transmission des messages secrets.

Travaux ? (2)Introduction

La conception du Colossus resta top secret jusqu'en 1975.

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Dès 1950: la concrétisation d'un calculateur électronique à lampes (le transistor, inventé en 1947, n'a pas assez de puissance).

Turing contribuera aussi à la mise en place du premier puissant ordinateur : le Mark 1, qui vit le jour à Harvard (U.S.A.).

Introduction

Travaux ? (3)

Pour plus d’informations sur Turing, voir les site: www.turing.org.uk/turing

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Qui est Turing ?

A quoi sert sa machine?

Introduction

11

Peut on trouver une machine qui est basée surle plus petit ensemble possible d’opérations élémentaires

que le maximum de calculs puissent se ramener à des combinaisons de ces opérations ?

suffisamment générales pour

Introduction

A quoi sert la machine de Turing ?

12

Dans ce modèle on ne dispose que: - d’une seule instruction (GOTO) en dehors des lectures et écritures

et

- d’une structure de données : les mots

A quoi sert la machine de Turing ?

Introduction

Les machines de Turing constituent un modèle de calcul de très bas niveau.

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Principe de la machine de Turing

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Mais elles ne sont pas équivalentes du point de vue de la complexité.

On donne une définition ici qui sera ensuite modifiée pour présenter d’autres définitions de machines de Turing.

Il existe plusieurs variantes des Machines de Turing .

Elles sont tous équivalentes du point de vue de l’expressivité par la thèse de Church,

Principe d’un machine de Turing

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Une machine de Turing se compose de:

1- Un ruban infini à gauche, divisé en case (cellule). Chaque case peut contenir un symbole de l’alphabet du ruban

2- Une tête de lecture/écriture qui peut se déplacer le long du ruban et qui pointe à chaque instant une case du ruban.

3- Une partie de contrôle qui est constituée • d’un ensemble fini d’états possibles parmi lesquels on distingue un état initial• et d’une fonction de transitions qui régissent les calculs de la machine.

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17

Ruban

Contrôle

Tête de lecture/écriture


Schéma d’une machine de Turing

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RubanRuban

ab$ cb

Chaque case du ruban contient un symbole de l’alphabet du ruban

Le symbole $ marque le début du ruban:

-On ne peut pas se déplacer à gauche de $

- pas d’autre symbole $ sur le ruban

Le caractère désigne le caractère blanc

Donc le vocabulaire du ruban contient au moins les deux caractères $


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Rubanab$ cb

A Chaque instant la tête de L/E pointe une case du ruban

Une tête de L/E peut faire les actions suivantes:

Se déplacer d’une case vers la droite Se déplacer d’une case vers la gauche

Écrire un symbole dans la case

Ne pas se déplacer

A l’état initial la tête de L/E pointe de premier symbole du ruban

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État initialab$ cb


ab$ cb Dépl. droite

ab$ cb Dépl. droite

ab$ bb Écriture

ab$ bb Dépl. gauche

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Une machine de Turing se compose de:

1- Un ruban infini à gauche, divisé en case (cellule). Chaque case peut contenir un symbole de l’alphabet du ruban

2- Une tête de lecture/écriture qui peut se déplacer le long du ruban et qui pointe à chaque instant une case du ruban.

3- Une partie de contrôle qui est constituée • d’un ensemble fini d’états possibles parmi lesquels on distingue un état initial• et d’une fonction de transitions qui régissent les calculs de la machine.

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Système de Contrôle (les états)


Le contrôle de la machine est constitué d’un ensemble fini d’états {q0, . . . , qn}

À chaque instant, la machine se trouve dans un de ces états.

Au départ, la machine se trouve dans l’état q0 qu’on

appelle état initial.

Contrôle {q0, . . . , qn}

qiqi{q0, . . . , qn}

q0

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Système de Contrôle (la fonction de transition)

C’est une fonction partielle qui, pour chaque état de la machine et pour chaque symbole sous la tête de L/E , précise (si elle est définie) :

- L’état suivant de la machine.

- L’action que doit faire la tête de L/E ( déplacement à

gauche, à droite, pas de déplacement, écriture)

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(q0, a)

(q0, b)

(q1, c)

(Dépl.droite, passer à l’état q1)

(Dépl.droite, passer à l’état q2)

(écrire F, passer à l’état q1)


Système de Contrôle (la fonction de transition)

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Les étapes de calcul possibles sont décrites par les transitions de la machine. Les transitions constituent en quelque sorte le programme de la machine.


Le calcul d’une machine de Turing est formé d’une suite d’étapes de calcul qui sont effectuées par la machine.

Chaque étape consiste à changer l’état de contrôle, écrire un symbole sous la tête de lecture et déplacer la tête de lecture.

Système de Contrôle

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Définition Formelle

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fonction de transition : Q × × {, ,,H} × Q telle que: on ne se déplace jamais à gauche du marqueur de début $ et on ne peut pas l’effacer.

DéfinitionUne Machine de Turing est un tuple (, Q, q0, )

Définition formelle

est un alphabet fini (vocabulaire du ruban) tel que {, $} (où : le blanc et $:début du ruban).

Q est un ensemble fini d’états

q0 Q est l’état initial

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La fonction de transition est souvent donnée par un ensemble de quintuples de la forme:

Q × × {, ,,H} × Q

( q, a, b, dépl., q’)

Condition d’application Action

( q, a, b, dépl., q’)

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Exemple: (q0, a, b, , q1)

S’interprète par:

si la machine est dans l’état q0

et la tête de L/E pointe le caractère a

alors remplacer a par b,

se déplacer d’une case à droite

et passer à l’état q1

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(q ,S, S, ,q’) : déplacement à droite et changement d'état.

(q ,S, S’, , q ): déplacement à droite, remplacement de S par S' et pas de changement d'état.

(q ,S, S’, , q' ): déplacement à gauche, remplacement de S par S' et changement d'état.

(q ,S, S’, , q' ) : pas de déplacement, remplacement de S par S' et changement d'état.

(q ,S, S' ,H, q’) : Arrêt, après remplacement de S par S' et changement d'état.

Exemples de transitions:

31

Exemples de MT

32

Exemple-1

= {0, 1, X, Y,$,#}

• Q = {q0, q1, q2, q3, q4,q5}

définie par les quintuplets

(q0,$,$, ,q1)

(q1, 0, X, , q2), (q1, Y, Y, , q4),

(q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, Y, , q3), (q2, Y, Y, , q2),

(q3, 0, 0, , q3), (q3, X, X, , q1), (q3, Y, Y, , q3),

(q4, Y, Y, , q4), (q4, #, #, H , q5)

M= (, Q, q0, )Exemples de MT

33

q0

0 0 0 1 1 1$ ##### ##

(q0,$,$, ,q1)(q1, 0, X, , q2), (q1, Y, Y, , q4), (q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, Y, , q3), (q2, Y, Y, , q2), (q3, 0, 0, , q3), (q3, X, X, , q1), (q3, Y, Y, , q3),(q4, Y, Y, , q4), (q4, #, #, H , q5)

Exemples de MT

34

q1

0 0 0 1 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

35

q2

X 0 0 1 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

36

q2

X 0 0 1 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

37

q2

X 0 0 1 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

38

q3

X 0 0 Y 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

39

q3

X 0 0 Y 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

40

q3

X 0 0 Y 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

41

q1

X 0 0 Y 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

42

q2

X X 0 Y 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

43

q2

X X 0 Y 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

44

q2

X X 0 Y 1 1$ ##### ##


Exemples de MT

45

q3

X X 0 Y Y 1$ ##### ##


Exemples de MT

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q3

X X 0 Y Y 1$ ##### ##

(q0,$,$, ,q1)(q1, 0, X, , q2), (q1, Y, Y, , q4), (q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, Y, , q3), (q2, Y, Y, , q2), (q3, 0, 0, , q3), (q3, X, X, , q1), (q3, Y, Y, , q3),(q4, Y, Y, , q4), (q4, #, #, H , q5) ,

Exemples de MT

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q3

X X 0 Y Y 1$ ##### ##

(q0,$,$, ,q1)(q1, 0, X, , q2), (q1, Y, Y, , q4), (q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, Y, , q3), (q2, Y, Y, , q2), (q3, 0, 0, , q3), (q3, X, X, , q1), (q3, Y, Y, , q3),(q4, Y, Y, , q4), (q4, #, #, , q5) , (q5, #, #,H, q5)

Exemples de MT

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q1

X X 0 Y Y 1$ ##### ##

(q0,$,$, ,q1)(q1, 0, X, , q2), (q1, Y, Y, , q4), (q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, Y, , q3), (q2, Y, Y, , q2), (q3, 0, 0, , q3), (q3, X, X, , q1), (q3, Y, Y, , q3),(q4, Y, Y, , q4), (q4, #, #, , q5) , (q5, #, #,H, q5)

Exemples de MT

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q2

X X X Y Y 1$ ##### ##


Exemples de MT

50

q2

X X X Y Y 1$ ##### ##


Exemples de MT

51

q2

X X X Y Y 1$ ##### ##


Exemples de MT

52

q3

X X X Y Y Y$ ##### ##


Exemples de MT

53

q3

X X X Y Y Y$ ##### ##


Exemples de MT

54

q3

X X X Y Y Y$ ##### ##


Exemples de MT

55

q1

X X X Y Y Y$ ##### ##


Exemples de MT

56

q4

X X X Y Y Y$ ##### ##


Exemples de MT

57

q4

X X X Y Y Y$ ##### ##


Exemples de MT

58

q4

X X X Y Y Y$ ##### ##


Exemples de MT

59

q5

X X X Y Y Y$ ##### ##


Exemples de MT

60

q5

X X X Y Y Y$ ##### ##

q0

0 0 0 1 1 1$ ##### ##

La machine remplace 0n1n par Xn Yn

État initial de la machine

État final de la machine

Exemples de MT

61

Exemple-2

= {0, 1, $,#}

• Q = {q0, q1, q2, q3}


(q0,$,$, ,q1)

(q1, 0, #, , q1), (q1, 1, #, , q1), (q1, #, #, , q2),

(q2, #, #, , q2), (q2, $,$, H , q3),

M= (, Q, q0, )

Exemples de MT

62

(q0,$,$, ,q1)(q1, 0, #, , q1), ( q1, 1, #, , q1), (q1, #, #, , q2), (q2, #, #, , q2), (q2, $,$, H , q3),

1 1 10 0 00$ # # # #

q0

1 1 10 0 00$ # # # #

q1

(q0,$,$, ,q1)

# # ## # ##$ # # # #

q1

(q1, 0, #, , q1), (q1, 1, #, , q1),

# # ## # ##$ # # # #

q2

(q1, #, #, , q2),

# # ## # ##$ # # # #

q3

(q2, #, #, , q2), (q2, $,$, H , q3),

Exemples de MT

63

Exemples de MT

1 1 10 0 00$ # # # #

q0

# # ## # ##$ # # # #

q3

État initial de la machine

État final de la machine

La machine efface (remplace par des caractères blancs) toutes chaîne de caractères formée sur {0,1}

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Exemple-3

= {0, 1, $,#}

• Q = {q0, q1, q2, q3}


(q0,$,$, ,q1)

(q1, 0, 1, , q1), (q1, 1, 0, , q1), (q1, #, #, , q2),

(q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, 1, , q2), (q2, $,$, H , q3),

M= (, Q, q0, )

Exemples de MT

65

1 1 10 0 00$ # # # #

q0

1 1 10 0 00$ # # # #

q1

(q0,$,$, ,q1)

0 0 01 1 11$ # # # #

q1

(q1, 0, 1, , q1), (q1, 1, 0, , q1),

0 0 01 1 11$ # # # #

q2

(q1, #, #, , q2),

0 0 01 1 11$ # # # #

q3

(q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, 1, , q2),

(q2, $,$, H , q3),

Exemples de MT(q0,$,$, ,q1)

(q1, 0, 1, , q1), (q1, 1, 0, , q1), (q1, #, #, , q2), (q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, 1, , q2), (q2, $,$, H , q3),

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Représentation de MT

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Une table de transitions T de dimension nxn (où n est le nombre des états de la MT) :

Chaque élément T(i,j) est un ensemble de triplets de la forme(a,b,A) et désigne le quintuplet (qi,a,b,A,qj)

La fonction de transition d’une MT peut être donnée par:

L’ensemble des quintuplets de la fonction de transition

Un graphe orienté: les sommets représentent les états de la MT , et les ars sont annotés par des triplets.

Un arc de qi vers qj noté par (a,b,A) désigne le quintuplet (qi,a,b,A,qj)

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(q0,$,$, ,q1)(q1, 0, 1, , q1), (q1, 1, 0, , q1), (q1, #, #, , q2), (q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, 1, , q2), (q2, $,$, H , q3),

($,$, )

(0, 1, )

(1, 0, )

(#, #, )

(0, 0, )

(1, 1, )

($,$, H)

q0

q0

q1

q1 q2

q2

q3

q3


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(q0,$,$, ,q1)(q1, 0, 1, , q1), (q1, 1, 0, , q1), (q1, #, #, , q2), (q2, 0, 0, , q2), (q2, 1, 1, , q2), (q2, $,$, H , q3),

q0 q1 q2 q3($,$, )

(0, 1, )(1, 0, )

(#, #, )

(0, 0, )(1, 1, )

($,$, H)

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Configuration d’une MT

71

Configuration

Une configuration d’une machine de Turing est l’état global de la machine à un instant donné.

Elle comprend:1. L’état de contrôle qui est un élément de Q,2. Le contenu de la bande 3. La position de la tête de lecture sur la bande.

72

Configuration

Si la machine se trouve dans un état q, la configuration est écrite uqv où u est le contenu de la bande (strictement) à gauche de la tête de lecture v est le contenu de la bande à droite de la tête de lecture ( la tête de L/E pointe le 1er symbole de v

Configuration abBAbabb q bBAaAB

73

Au départ, la bande contient la donnée initiale et la tête de lecture se trouve sur la première position de la bande. La configuration initiale s’écrit donc q0wOù q0 est l’état initial w est la donnée initiale.

Configuration initiale

Configuration

74

0 0 01 1 11$ # # # #

q1

1 1 10 0 00$ # # # #

q1

1 1 10 0 00$ # # # #

q0

0 0 01 1 11$ # # # #

q2

q0$0110100

$ q10110100

$ 1001011q1

$ 100101q21

Configuration

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Calcul d’une MT

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Calcul

Une étape d’un calcul consiste à passer d’une configuration à une autre configuration en appliquant une des transitions

Une étape de calcul comprend les trois actions suivantes :

1. Changer l’état de contrôle,2. Ecrire un symbole à la place du symbole sous la tête de lecture3. Déplacer la tête de lecture d’une position vers la gauche ou la droite.

Un calcul d’une machine de Turing se décompose en étapes.

77

Calcul

Etape de Calcul

Une étape de calcul est une paire de configuration (C, C') notée C > C' telle que :

C’ est obtenu en appliquant une transition à la configuration C

q0$0110100 $ q10110100C C’

(q0,$,$, ,q1)

C > C'

78

Un calcul est une suite de configurations successives C0 > C1 >... > Ck.

Définition

Calcul

79

Graphe des configurations

80

Le graphe des configurations d’une machine de Turing M est le graphe où:

- l’ensemble des sommets est l’ensemble de toutes les configurations de M

- les arêtes sont les paires (C,C') de configurations telles que C > C'.

Un chemin dans ce graphe est donc un calcul de la machine M.

Graphe des configurations

Définition

81

Utilisation des MT

82

Il y a deux modes d'utilisation des machines de Turing:

• Utiliser une machine comme accepteur

• Utiliser une machine comme un calculateur

Utilisation

83

Quand la machine répond oui, on dit que le machine accepte le mot. La machine définit alors l'ensemble des mots qui sont acceptés.

Par convention, on dit que la machine accepte un mot w s'il existe au moins un calcul acceptant avec w comme entrée, c'est-à-dire qui commence avec la configuration q0w. L'élément important de cette définition est qu'un seul calcul acceptant suffit pour que la machine accepte même si d'autres calculs bloquent ou n'atteignent jamais une configuration acceptante

MT comme accepteur

Utilisation

Dans le mode accepteur:

On fournit un mot d'entrée à la machine et celle-ci répond par oui ou par non.

84

Quand la machine ne donne toujours qu'un seul mot de sortie, elle calcule une fonction qui associe le mot de sortie au mot d'entrée. Les mots de sortie sont par convention les contenus de la bande des dernières configurations des calculs acceptants. On met donc le mot d'entrée sur la bande, la machine effectue un calcul jusqu'à ce qu'elle atteigne un état final et le contenu de la bande constitue alors un des mots de sortie. Comme il peut y avoir plusieurs calculs acceptants, il peut y avoir plusieurs mots de sortie. Dans le cas d'une machine déterministe, il y a au plus un seul calcul acceptant et donc au plus un seul mot de sortie.

Utilisation

MT comme calculateur

Dans le mode calculateur:

On fournit un mot d'entrée à la machine et celle-ci retourne un ou plusieurs mots de sortie.

85

TURING a montré qu’on peut combiner plusieurs machines simples pour obtenir une machine capable d’effectuer tous les calculs que l’on sait décrire explicitement.

Utilisation

86

Machines de Turing et ordinateurs

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La partie de contrôle représente le microprocesseur.

Ceci prend en compte que les microprocesseurs possèdent un nombre déterminé de registres d’une taille fixe et que le nombre de configurations possibles est fini.

La bande représente la mémoire de l’ordinateur.

Ceci comprend la mémoire centrale ainsi que les mémoires externes telles les disques durs.

La tête de lecture représente le bus qui relie le microprocesseur à la mémoire.


Les machines de Turing sont une abstraction des ordinateurs

88

Contrairement à un ordinateur, la mémoire d’une machine de Turing est infinie.Ceci prend en compte qu’on peut ajouter des disques durs à un ordinateur de façon (presque) illimitée.

l’ordinateur peut accéder à la mémoire de manière directe alors que la tête de lecture de la machine de Turing se déplace que d’une position à chaque opération.

Différences entre MT et Ordinateur


89

Fin

90

Machines de Turing(partie 2)

Cours LFI-2 (Master Académique)

2007/2008

91

Plan

Quelques types de MT

MT à ruban Bi-infini

MT à ruban bidimensionnel

MT à rubans multiples

……..

Autres définitions des MT

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