Asservissement des systemesObjectifs du cours : Apres avoir etudie ce cours, vous devez etre capable de :– modeliser un systeme continu,– caracteriser un systeme modelise ou mesure,– determiner les performances du systeme continu.

1 Introduction a la commande des systemes

1.1 Bref historique

Pour compenser son manque de capacite physique, l’homme s’est rapidement attache acontroler les sources d’energie disponibles dans son environnement, comme le vent, l’eau,puis a partir du 18eme siecle, l’energie mecanique produite par la machine a vapeur.

L’energie disponible etant generalement variable, des l’antiquite ont ete concus des syste-mes mecaniques permettant de reguler la vitesse des machines. Au 17eme siecle, beaucoupde moulins utilisaient deja des regulateurs centrifuges.

Au 18eme siecle, la revolution industrielle necessite des moteurs fournissant une vitessede rotation constante, pour entraıner les machines de production. Watt transforme la ma-chine a vapeur de Newcomen pour ameliorer son rendement, pour transformer le mouve-ment alternatif en rotation continue et enfin met au point une regulation mecanique a l’aided’un regulateur centrifuge. Les premiers modeles sont commercialises en 1776.

Les premieres etudes theoriques sur la regulation sont menees par Maxwell en 1868.Routh et Hurwitz generaliseront ses resultats sur la stabilite des systemes. Mais c’est seule-ment en 1927 que Black introduit la notion de boucle de retroaction. Black travaillait alorsdans un tout autre domaine : l’amplification des signaux telephoniques pour la constructiond’une ligne telephonique transatlantique. Nyquist elabora ensuite des methodes d’etude dela stabilite adaptees aux systemes avec retroaction.

Au 20eme siecle, la regulation et l’asservissement des systemes s’est beaucoup develop-pee, aussi bien d’un point de vu theorique que d’un point de vue des applications. On trouveaujourd’hui des asservissements dans des jouets pour enfants comme dans les avions dechasse ou les lanceurs spatiaux.

Les technologies ont beaucoup evolue. Les premieres regulations etaient purement me-caniques, avec des temps de reponse relativement lents. Bell travailla sur des retroactionselectriques, rapides mais de faible puissance. Progressivement, les commandes pneuma-tiques et hydrauliques ont remplace les composants mecaniques et sont toujours utiliseesaujourd’hui. Les progres actuels en electro-technique permettent de commander de hautespuissances, avec des temps de reponse faibles et des algorithmes de regulation elabores.

D’un point de vue theorique, l’etude des commandes de systemes peut se scinder endeux parties : la commande classique et la commande moderne. Seule la commande clas-sique est enseignee en CPGE, la commande moderne etant abordee en ecole d’ingenieurs.

La commande classique se limite aux systemes mono-variables (une entree et une sor-tie scalaires), decrits a l’aide d’equations differentielles temporelles d’ordre quelconque.L’etude met en oeuvre la transformee de Laplace pour la manipulation des modeles et l’ana-lyse frequentielle du comportement. La commande classique est largement utilisee pour lecontrole des processus industriels car sa mise en oeuvre et simple et robuste, sa maintenanceaisee. Le correcteur le plus frequement employe est le PID, qui sera vu en seconde annee.

Asservissements

La commande moderne permet d’etudier des systemes multi-variables (vecteurs de va-riables d’entrees, de sortie et de variables d’etat), decrit par des systemes d’equations dupremier ordre et mettant en oeuvre un formalisme matricielle. Ce type de commande n’estemploye que sur des applications pointues.

Les progres de l’informatique (l’augmentation de la vitesse de traitement de l’informa-tion et la baisse des couts) ont conduit a basculer des commandes analogiques (realiseesen hydraulique, en electrique ou en electronique) en commande numerique, implantee surmicroprocesseur. Les composants numeriques travaillent avec des signaux echantillonnes etnecessitent en toute rigueur une etude theorique differente (la transformees en Z a la placede la transformee de Laplace). La difficulte a travailler en meme temps sur des composantsanalogiques (la machine asservie) et des composants numeriques (le controleur) conduitgeneralement a mener l’etude dans le domaine analogique, approximation raisonnable tantque la frequence d’echantillonnage est bien superieure a la frequence de coupure de la ma-chine. Le programme de CPGE se limite a l’etude analogique.

1.2 Illustration : Regulateur de vitesse des vehicules automobiles

L’illustration s’interesse a une option recente incorporee dans les vehicules automobiles :le regulateur automatique de vitesse.

FIGURE 1 – Schema de principe sans regulateur automatique.

Grace a cette option, le conducteur peut regler une vitesse de consigne et ainsi retirerson pied de l’accelerateur : l’ordinateur de bord commande directement le moteur pourrespecter la vitesse de consigne. Le systeme se deconnecte en cas d’action sur la pedale defrein ou d’accelerateur.

Le regulateur de vitesse libere donc le conducteur de la surveillance constante du comp-teur de vitesse pour adapter la vitesse du vehicule.

L’objectif de cette illustration est de modeliser ce systeme afin de s’assurer qu’il respectela consigne de vitesse et qu’il ne puisse pas devenir instable (exemple : une augmentationde la vitesse incontrolee).

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Asservissements

1.2.1 Fonctionnement sans regulation automatique

Jusqu’a present, la regulation dans un vehicule etait effectuee par le conducteur (figure1). En fonction de l’information de vitesse fournie par le compteur de vitesse, ainsi que del’etat de la circulation, le conducteur maintient la vitesse de son vehicule par une action surla pedale d’acceleration.

L’action sur la pedale d’acceleration induit un angle variant entre 0 et 30˚ (0˚ pas d’acce-leration, 30˚ acceleration maximale).

L’information d’angle issue de la pedale d’acceleration est transmise a un calculateurqui est charge de definir la quantite de melange carburant-air a fournir au moteur. Plusprecisement, cet ordre se traduit par un temps d’ouverture T compris entre 0 et 5 ms (milli-secondes) de chaque injecteur au cours d’un cycle de combustion.

L’injecteur a pour fonction de liberer le melange carburant-air dans la chambre de com-bustion. Chaque injecteur s’ouvre durant la periode T , ce qui induit un debit moyen Q (uniteL/s ou litre/seconde) de carburant admis dans chaque cylindre.

Durant le temps T , le carburant sous pression (de l’ordre de 100 bars pour les moteursessence) est pulverise dans la chambre de combustion a un debit de 4 800 mm3/s.

Remarque, un moteur 4 temps de voiture ≪ classique ≫ comporte 4 cylindres (4 chambresde combustion) et une combustion est realisee tous les deux tours de moteur. Il y a un injec-teur par cylindre.

FIGURE 2 – Courbe de comportement du moteur.

Au niveau du moteur, l’effort disponible en sortie est une fonction croissante du debit decarburant. Une courbe indiquant le couple du moteur (effort disponible en sortie pour unensemble en rotation, unite : N.m) en fonction de la consommation est presentee figure 2.Cette courbe a ete tracee pour une regulation voisine de 100 km/h soit un regime moteur de2 500 tour/min.

La boite de vitesse diminue la vitesse de rotation du moteur avant de transmettre lemouvement aux roues. Ceci a pour consequence d’augmenter le couple dans la meme pro-portion. Les roues adherent au sol et exercent un effort moteur F tel que pour un couplemoteur C de 1 N.m (Newton metre), F vaut 10 N (Newton).

Le vehicule subit la force de poussee F du moteur et peut subir une force exterieureperturbatrice Fpert comme une montee par exemple ; De plus, le vehicule subit l’action deresistance de l’air. Cette action aerodynamique peut etre representee par une force propor-

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Asservissements

tionnelle a la vitesse V du vehicule : Fair = −fv.V . On donne fv = 20 N.s/m et la masse duvehicule m = 800 kg.

Afin de pouvoir simuler le comportement du vehicule, il est necessaire de modeliser(caracteriser) le comportement de chacun des blocs. Les lois proposees seront lineaires. Onmodelise plusieurs blocs par des gains purs (coefficient de proportionnalite entre l’entree etla sortie).

1.2.2 Fonctionnement avec regulation automatique

FIGURE 3 – Schema de principe avec regulateur automatique.

Le systeme de regulation s’adapte sur la chaıne directe precedente (figure 3). Le conduc-teur entre une consigne de vitesse a l’aide d’un pupitre situe au niveau du volant.

Le calculateur recupere cette consigne ainsi que la vitesse reelle du vehicule issue d’uncapteur de vitesse. Les deux informations sont comparees puis ensuite traitees par le calcula-teur afin d’etablir un temps d’ouverture de chaque injecteur. Le gain du calculateur s’etablitde la maniere suivante : un ecart de 10 km/h entraıne un temps d’ouverture de 0, 0025 s parinjecteur

Une fois que l’ensemble des blocs est identifie, il est possible de simuler le comportementdu systeme, d’imposer une vitesse de consigne, des perturbations, et de tester differentsdispositifs de commande.

1.3 Caracteristiques d’un systeme de commande

Principe de CausaliteLe principe de causalite affirme que ”tout effet a une cause et les memes causesdans les memes conditions produisent les memes effets”.

Les systemes de commande sont etroitement lies au principe de causalite. On considerepour chaque composant que l’evolution de la sortie ne peut dependre que de l’etat dusysteme et de la consigne aux temps precedents, en l’absence de toute autre cause.

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Asservissements

Dans le cadre de l’illustration, on comprend que chaque composant repond au principede causalite et qu’il est possible d’etablir une loi liant l’evolution de la sortie en fonction del’evolution de l’entree.

Commande en Chaıne directeUn systeme fonctionne en ”chaıne directe” si il n’y a pas de controle sur lamaniere dont la commande a ete executee (figure 4).

Correcteur Amplificateur ProcessusCommande Sortie

FIGURE 4 – Commande en chaıne directe.

Le fonctionnement classique d’un vehicule (sans regulateur) consitue un systeme enboucle ouverte. L’action du conducteur sur l’accelerateur permet de modifier la vitesse maisle vehicule n’effectue aucun controle de la vitesse atteinte.

En cas de perturbations (vent de face, montee ou descente, etc), la vitesse va varier memesi la pedale d’acceleration reste fixe.

Les perturbationsUne perturbation est une autre cause agissant sur le systeme (c’est une grandeurd’entree), qui n’est pas controlee par l’utilisateur.

Description par schema bloc :

Correcteur Amplificateur ProcessusCommande Sortie

Perturbations

Le vent ou la pente de la route constituent des perturbations pour le vehicule. Pour as-surer une vitesse constante, il faut adapter la puissance du moteur en fonction de l’ecarteventuel avec la vitesse de consigne. Cette operation est un asservissement.

Asservissement du systeme de commande : commande en Boucle Fermee (BF)

Un systeme fonctionne en ”boucle fermee” si une mesure de la sortie est realiseeafin de la comparer a la consigne et d’agir sur le systeme en consequence (figure5).

L’asservissement du systeme de commande consiste a mesurer la sortie et utiliser cetteinformation pour corriger la grandeur d’entree du processus. Dans beaucoup d’exemplesde la vie courante, le systeme fonctionne en chaıne directe et l’homme realise lui-memel’asservissement.

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Asservissements

Correcteur Amplificateur ProcessusCommande Sortie

Capteur

+

-

FIGURE 5 – Commande en boucle fermee.

Systemes asservis regulateurs et suiveursOn distingue generalement les systemes regulateurs ou la consigne est constante(l’asservissement corrige les effets des perturbations) et les systemes suiveurs ou laconsigne evolue continuement (l’asservissement suit la consigne).

Le regulateur de vitesse est suppose maintenir une vitesse constante malgre le vent etla pente de la route : il s’agit d’un systeme regulateur. Le lanceur Ariane doit suivre unetrajectoire theorique qui n’est pas une valeur constante : il s’agit d’un systeme suiveur.

Description par schemas blocsLes systemes de commande sont generalement modelises sous forme de schemas blocs

(figure 6).

+

-

+

+

SommateurLienBloc

FIGURE 6 – Description par schema blocs.

Un bloc caracterise un sous-ensemble du systeme. Il sous-entend une relation entre lagrandeur de sortie et la grandeur d’entree.

Un lien represente une grandeur physique identifiee comme grandeur de sortie d’unsous-ensemble et grandeur d’entree d’un autre sous-ensemble.

Les sommateurs additionnent ou retranchent les grandeurs qui doivent bien entendu etredu meme type !

1.4 Performances d’un systeme de commande

L’asservissement d’un systeme de commande est evalue suivant differents criteres deperformances :

– Precision : Le systeme asservi atteint-il la valeur de consigne ?– Rapidite : Combien de temps faut-il pour se stabiliser ?– Stabilite : La reponse du systeme converge-t-elle ? Certains systemes peuvent etre in-

stables ; leur reponse diverge ou oscille sans se stabiliser.

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Asservissements

– Depassements : La grandeur de sortie a-t-elle tendance a depasser la valeur a conver-gence puis revenir en arriere avant de converger ?

– Sensibilites aux perturbations : les perturbations exterieures modifient-elle la valeur aconvergence de la grandeur asservie ?

PrecisionLa precision est definie par l’ecart entre la reponse permanente (limite quandt → +∞) a un echelon et la valeur de consigne (figure 7)

FIGURE 7 – Performance de precision.

Un systeme est plus ou moins precis si l’ecart a la consigne est plus ou moins grand. Lesysteme est dit ”precis” si l’ecart a convergence est nul.

RapiditeLa rapidite est definie par le temps necessaire pour que l’ecart entre la reponse aun echelon et la valeur a convergence soit inferieur a 5% (figure 8).

FIGURE 8 – Performance de rapidite.

StabiliteLa stabilite est la capacite du systeme a converger vers une valeur constantelorsque t → +∞ (figure 9).

DepassementsLa reponse d’un systeme presente des depassements si elle depasse la valeur aconvergence avant de converger (figure 10).

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Asservissements

FIGURE 9 – Performance de stabilite.

FIGURE 10 – Depassements.

Dans certaines applications comme l’usinage, les depassements sont a proscrire car sila consigne est depassee, l’outil taille la piece trop profondement et la dimension n’est passatisfaite meme si l’asservissement est precis.

2 Systemes lineaires continus et invariants

2.1 Definition

Le schema bloc general d’un systeme asservi est donne sur la figure 11. On designe parsysteme boucle, systeme retroactif ou encore systeme en boucle fermee ce type de systeme.

Nous nous interesserons dans le cadre du programme aux systemes lineaires, continusinvariants et monovariables

+

-

Chaîned'action

Chaînede mesure

Consigne Sortie

Mesure

Ecart

FIGURE 11 – Systeme en boucle fermee.

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Asservissements

Systeme monovariable

Un systeme monovariable est un systeme ne possedant qu’une seule entree etune seule sortie.

Bien que les systemes automatises puissent gerer plusieurs sorties en fonction de plu-sieurs entrees principales, nous nous limiterons, pour des raisons de simplicite, aux systemesmonovariables.

Si votre systeme doit obligatoirement fonctionner avec plusieurs entrees (ou une entreeet des perturbations), il sera possible, dans certains cas de linearite, d’etudier separementla relation entre la sortie et chacunes des entrees, puis de superposer les effets de chaqueentree.

Systeme invariant

Les caracteristiques de comportement d’un systeme invariant sontindependantes du temps.

Si une meme entree se produit a deux instants distincts (t1 et t2), alors les deux sortiestemporelles (s1(t) et s2(t)) seront identiques.

Systeme continu

Un systeme est continu si les fonction d’entree et de sortie sont definies pour toutinstant t. Les signaux sont dits analogiques

Dans les systemes de commande modernes, l’information est traitee informatiquement,ce qui necessite un echantillonnage des signaux. Ce sont des systemes et des signaux discrets.

Systemes lineaires

Un modele est dit lineaire s’il satisfait au theoreme de superposition, c’est a diresi l’effet de la somme e des grandeurs d’entrees ei est egale a la somme y de leurs effets yi.

Si yi est la reponse a l’entree ei et y la reponse a l’entree e telle que : e =n∑

i=1

αi.ei

Le principe de superposition est verifie ssi :

y =

n∑

i=1

αi.yi

La relation de comportement d’un systeme lineaire peut se mettre sous la forme d’uneequation differentielle lineaire a cœfficients constants. Cette propriete sera a la base des develop-pements ulterieurs.

Remarque sur la linearisation d’un systeme non lineaire :

La plupart des systemes physiques ne sont pas lineaires sur la totalite de leur domained’application. Cependant, lorsque le systeme est utilise dans une zone reduite du domained’application, il est possible de lineariser la reponse du systeme dans cette zone (figure 12).

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Asservissements

FIGURE 12 – Linearisation d’un systeme non lineaire au voisinage d’un point.

2.2 Modele mathematique

Le modele mathematique (ou modele dynamique) de comportement d’un systeme mo-novariable, lineaire, continu et invariant peut etre decrit par l’equation differentielle sui-vante :

a0.s(t) + a1.ds

dt(t) + ...+ ad.

dds

dtd(t) = b0.e(t) + b1.

de

dt(t) + ...+ bn.

dne

dtn(t)

Remarquons que n < d, condition necessaire pour que le systeme soit physiquementrealisable. Les transformations de Laplace permettent de travailler aisement avec ce typed’equation.

Apres transformation de Laplace, l’equation devient :

(a0 + a1.p+ ...+ ad.pd).S(p) = (b0 + b1.p+ ... + bn.p

n).E(p)

Fonction de transfertOn appelle fonction de transfert ou transmittance la fonction H(p) :

H(p) =S(p)

E(p)ou encore S(p) = H(p).E(p)

H(p) represente le comportement du systeme independamment du signal d’entree. Leschema bloc figure 13, dans le domaine de Laplace, definit le modele mathematique du systeme.

H(p)S(p)E(p)

FIGURE 13 – Schema bloc dans le domaine de Laplace.

H(p) s’ecrit sous la forme d’un quotient de deux polynomes :

H(p) =

∑ni=0 ai.p

i

∑dj=0 bj .p

j

On appelle alors “poles” les racines du denominateur et “zeros” les racines du numerateur.Nous aurons l’occation d’utiliser les poles pour l’etude de la stabilite.

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Asservissements

2.3 Manipulation des schemas blocs

2.3.1 Elements de base (fig. 14)

+-

+

+

SommateurLienBlocPoint dejonction

H1(p) H2(p) H3(p) H4(p)

H5(p)

E(p)

M(p)

S(p)

E'(p) e(p)

C(p)

FIGURE 14 – Elements d’un schema bloc dans le domaine de Laplace.

Les blocs : Ils contiennent une fonction de transfert (H(p)) caracterisant la relation entrel’entree et la sortie.

Les liens : Ils representent une grandeur (U(p)) dans le domaine de Laplace.Les points de jonction : Une jonction permet de transmettre une grandeur en entree de

plusieurs blocs ou sommateurs.Les sommateurs : Ils additionnent (ou soustraient selon le signe) les differentes entrees.

Ils n’ont qu’une sortie.

2.3.2 Association de blocs en serie (fig. 15)

H1(p)X1(p) X2(p)

H2(p) H3(p)X3(p) Y(p)

H(p)X1(p) Y(p)

FIGURE 15 – Association de blocs en serie.

X2(p) = H1(p).X1(p)X3(p) = H2(p).X2(p)Y (p) = H3(p).X3(p)

=⇒ Y (p) = H1(p).H2(p).H3(p).X1(p)

La fonction de transfert globale s’ecrit donc :

H(p) = H1(p).H2(p).H3(p)

2.3.3 Association de blocs en parallele (fig. 16)

Y1(p) = H1(p).X(p)Y2(p) = H2(p).X(p)Y3(p) = H3(p).X(p)

=⇒ Y (p) = [H1(p) +H2(p) +H3(p)].X(p)

La fonction de transfert globale s’ecrit donc :

H(p) = H1(p) +H2(p) +H3(p)

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Asservissements

H(p)X1(p) Y(p)

++

+

H3(p)

Y(p)

H1(p)

H2(p)X(p)

Y3(p)

Y1(p)

Y2(p)

FIGURE 16 – Association de blocs en parallele.

2.3.4 Fonction de transfert en boucle fermee (FTBF) d’un systeme boucle (fig. 17)

+-

H(p)

K(p)M(p)

S(p)E(p) e(p)G(p)

E(p) S(p)

FIGURE 17 – Systeme boucle.

ε(p) = E(p)−K(p).S(p)S(p) = H(p).ε(p)

}

=⇒ G(p) =S(p)

E(p)=

H(p)

1 +H(p).K(p)(formule de Black)

2.3.5 Fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) d’un systeme boucle (fig. 18)

La fonction de transfert en boucle ouverte est definie comme la fonction de transfert dusysteme lorsque le retour sur le sommateur est coupe. Elle comprend la chaıne d’action et lachaıne de mesure.

+-

H(p)

K(p)M(p)

S(p)E(p) e(p)FTBO

E(p) M(p)

FIGURE 18 – Calcul de la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) pour un systemeboucle.

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Asservissements

FTBO =M(p)

E(p)= H(p).K(p)

2.3.6 Deplacement des points de jonction et des sommateurs

Les schemas blocs peuvent subir des modifications en vu de les simplifier. La figure 19montre quelques schemas equivalents. L’inconvenient a modifier la structure du schema estde perdre le lien entre les entrees/sorties du schema et les grandeurs physiques du systemeetudie.

FIGURE 19 – Exemple d’operation sur les schemas blocs.

Remarque : Le systeme boucle de la figure 17 peut etre transforme en systeme a retourunitaire (figure 20).

+-

K(p).H(p)S(p)E(p) e(p)

1/K(p)

FIGURE 20 – Systeme boucle a retour unitaire.

2.4 Validation des performances du systemes a l’aide du modele (A sa-

voir)

L’objectif d’un travail de modelisation d’un systeme est generalement d’obtenir les per-formances calculees pour verifier la conformite a un cahier des charges. La premiere etapede modelisation est de tracer le schema bloc fonctionnel qui definit l’architecture du systemeet les grandeurs physiques pertinantes echangees par les composants.

Ensuite vient l’etape de modelisation de chaque composant sous la forme d’une fonctionde transfert, reportee dans le schema bloc. A ce stade, il est possible de calculer la fonction de

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Asservissements

transfert globale puis l’expression de la sortie dans le domaine de Laplace et eventuellementen temporel.

Les principales performances d’un systeme asservi sont la stabilite, la rapidite, la precision,la presence ou pas de depassements et la sensibilite aux perturbations. L’elaboration d’unmodele mathematique permet de chiffrer les performances susceptibles d’etre atteintes parle systeme.

StabiliteUn systeme est stable si sa fonction de transfert en boucle fermee ne presente aucun

pole a partie reelle positive. Il est donc facile de verifier la stabilite en calculant les racines dudenominateur (a la main ou a l’aide de la calculatrice). Cette propriete sera justifiee plustard.

RapiditePour un systeme quelconque, la rapidite ne peut etre mesuree que sur la courbe de

reponse temporelle a un echelon, en tracant une bande de 5% autour de la valeur a conver-gence. Nous verrons neanmoins que pour un systeme du premier ordre, le temps de reponsea 5% se calcule tres facilement (tr5% = 3τ ) et pour un systeme du second ordre, un abaquepermet de le deduire des coefficients.

PrecisionLe theoreme de la valeur finale est une propriete des transformees de Laplace qui permet

(pour un systeme stable) de calculer facilement la limite a convergence d’une sortie s(t) apartir de l’expression de la sortie dans le domaine de Laplace S(p) :

limt→+∞

f(t) = limp→0

pF (p)

On choisit donc systematiquement une entree en echelon (consigne constante), puis on cal-cule S(p) = H(p)× E(p) et on applique le theoreme de la valeur finale. Si la sortie convergevers la meme valeur que celle imposee par l’echelon, le systeme est precis. Dans le cascontraire, il n’est pas precis.

DepassementsLa presence ou non de depassement ne peut se verifier qu’a l’aide de la courbe de

reponse temporelle a un echelon de consigne. On peut neanmoins dire qu’un premier ordrene presente jamais de depassement et un second ordre presente des depassements si l’amor-tissement est inferieur a 1 : ε ≤ 1.

Sensibilite aux perturbationsUne perturbation est introduite dans un modele sous la forme d’une seconde entree

(F (p)). Le systeme (d’entree E(p) et de sortie S(p) presente alors deux fonctions de trans-

fert : H(p) =S(p)

E(p)et Hpert(p)

S(p)

F (p). La sortie du systeme est la somme des participations des

deux entrees : S(p) = H(p).E(p) +Hpert(p).F (p).La valeur a convergence de la reponse n’est alors pas affectee par la perturbation si la

limite a convergence de la participation de la perturbation est nulle, c’est a dire (theoremede la valeur finale) si limp→0 p.Hpert(p).F (p) = 0 pour une entree F (p) en echelon.

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Asservissements

3 Systeme du premier ordre

3.1 Definition

3.1.1 Equation temporelle

Le comportement d’un systeme du premier ordre est caracterise par une equation differentielledu premier ordre a coefficients constants :

s(t) + τ.ds(t)

dt= K.e(t) (A Savoir)

On appelle :– K : Gain statique,– τ : constante de temps.L’appellation ”gain statique” est justifiee par le comportement statique du systeme : si les

entree et sortie sont constantes, l’equation differentielle devient s + 0 = e d’ou en statique :K = s/e.

3.1.2 Fonction de transfert

La transformee de Laplace conduit lorsque les conditions initiales sont toutes nulles a :S(p) + τ.p.S(p) = K.E(p). La fonction de transfert s’ecrit donc :

H(p) =S(p)

E(p)=

K

1 + τ.p(A Savoir)

Cette forme de la fonction de transfert est appelee forme canonique (Polynome du denominateurdont la constante vaut 1).

3.2 Analyse temporelle d’un systeme du premier ordre

L’analyse temporelle d’une systeme du premier ordre vise a etudier son comportementpour des sollicitations types en entree. Ces entrees types sont classiquement : le Dirac,l’echelon et la rampe.

3.2.1 Reponse a un echelon

Soit en entree du systeme du premier ordre la fonction e(t) = e0.U(t). La transformee deLaplace s’ecrit E(p) = e0/p et la sortie dans le domaine de Laplace devient :

S(p) =K.e0

p.(1 + τ.p)

La transformee de Laplace inverse de la sortie (pour revenir en temporel) se fait a l’aide dutableau des transformees usuelles. Il faut prealablement la decomposer en elements simplespour faire apparaıtre les elements du tableau.

S(p) =K.e0

p.(1 + τ.p)=

α

p+

β

(1 + τ.p)

En reduisant au meme denominateur, les constantes α et β sont identifiees :

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Asservissements

S(p) =K

p.(1 + τ.p)=

α.(1 + τ.p) + β.p

p.(1 + τ.p)=⇒

{α = K.e0β = −K.e0.τ

d’ou :

S(p) = K.e0.

[1

p− τ

(1 + τ.p)

]

La transformee de Laplace inverse est alors evidente :

s(t) = K.e0.U(t).[1− e−t/τ

]

Proprietes de la reponse (figure 21) :– fonction croissante de t,– asymptote pour t −→ +∞ : s(t) −−−−→

t−→+∞K.e0 (reponse statique ou permanente),

– valeur a l’origine : s(0) = 0,– tangente a l’origine : ds

dt(0) = K.e0/τ ,

– la tangente a l’origine (y = K.e0.t/τ ) coupe l’asymptote (y = K.e0) en t = τ (A Savoir).Quelques points particuliers :

– en t = τ , s(τ) = 0.63×K.e0 soit 63% de la reponse permanente (A Savoir),– en t = 2.τ , s(τ) = 0.86×K.e0 soit 86% de la reponse permanente,– en t = 3.τ , s(τ) = 0.95×K.e0 soit 95% de la reponse permanente (A Savoir).

Le temps de reponse a 5% caracterisant la rapidite du systeme est directement lie a τ , et vautdonc 3.τ .

0

50%

0 τ 2τ 3τ 4τ 5τTemps

s(t)

K.e0

63%

86%

95%

τ τ

K.e /τ0

FIGURE 21 – Caracteristiques de la reponse du premier ordre a un echelon.

Lorsque la courbe experimentale de la reponse d’un systeme a un echelon en entree estsimilaire a la reponse d’un premier ordre, il est possible d’identifier les coefficients K et τ al’aide de la valeur a convergence (pour K) et de la tangente a l’origine ou des temps a 63%,86% et 95% de la reponse a convergence (pour τ ).

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Asservissements

3.2.2 Reponse a une rampe

La methode poursuivie est la meme que pour la reponse a un echelon : ecriture de e(t)en temporel, passage en Laplace, calcul de la sortie en Laplace puis, apres decomposition enelements simples, retour en temporel.

L’entree sous forme de rampe s’ecrit :

e(t) = e0.t.U(t) =⇒ E(p) =e0p2

D’ou la sortie :

S(p) =K.e0

p2.(1 + τ.p)=

α

p+

β

p2+

γ

(1 + τ.p)=

α.p.(1 + τ.p) + β.(1 + τ.p) + γ.p2

p2.(1 + τ.p)=⇒

α = −K.e0.τβ = K.e0γ = K.e0.τ

2

S(p) = K.e0.

[1

p2− τ

p+

τ 2

1 + τ.p

]

=⇒ s(t) = K.e0.U(t).[t− τ + τ.e−t/τ

]

Proprietes de la reponse (figure 22) :

– fonction croissante de t,– assymptote pour t −→ +∞ : s(t) −−−−→

t−→+∞K.e0.(t− τ),

– valeur a l’origine : s(0) = 0,– tangente horizontale a l’origine : ds

dt(0) = 0,

– l’asymptote (y = K.e0.t/τ ) coupe l’axe des temps en t = τ .

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10Temps

e(t), s(t)

e(t)K=2

K=1

K=0.5

τ=1τ=2 τ

τ.e0

FIGURE 22 – Caracteristiques de la reponse du premier ordre a une rampe.

Dans le cas particulier ou K = 1, l’asymptote est parallele a la consigne est il est alorspossible de definir une erreur en vitesse (ou encore erreur de trainee, erreur dynamique ouerreur de poursuite) entre la consigne et la reponse valant e0.τ .

page 17

Asservissements

3.2.3 Reponse a un Dirac

Les developpements pour le cas du Dirac sont particulierement simples. Remarquonsque h(t) = L

−1(H(p)) est appelee reponse impulsionnelle car elle correspond effectivementa la reponse a un Dirac dont la transformee de Laplace vaut 1.

e(t) = e0.δ(t), E(p) = e0, S(p) =K.e01 + τ.p

, s(t) =k.e0τ

.e−t/τ

Proprietes de la reponse (figure 23) :

– fonction decroissante de t,– asymptote pour t −→ +∞ : s(t) −−−−→

t−→+∞0 (reponse statique ou permanente nulle),

– valeur a l’origine : s(0) = k.e0τ

,– tangente a l’origine : ds

dt(0) = −K.e0/τ

2,– la tangente a l’origine (y = −K.e0.(t− τ)/τ 2) coupe l’axe des temps en t = τ .

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10

Κ=2, τ=2

Κ=1, τ=1

Κ=1, τ=2

Κ=0.5, τ=1

Temps

s(t)

FIGURE 23 – Caracteristiques de la reponse du premier ordre a un Dirac.

4 Systeme du second ordre

4.0.4 Equation temporelle

Le comportement d’un systeme du second ordre est caracterise par une equation differentielledu second ordre a coefficients constants :

s(t) +2.ε

ω0.ds(t)

dt+

1

ω20

.d2s(t)

dt2= K.e(t) (A Savoir)

On appelle :

– K : Gain statique,– ε : Coefficient d’amortissement (ε > 0),– ω0 : Pulsation naturelle ou pulsation propre non amortie (ω0 > 0).

page 18

Asservissements

4.0.5 Fonction de transfert

La transformee de Laplace conduit lorsque les conditions initiales sont toutes nulles a :S(p) + 2.ε

ω0

.p.S(p) + 1ω2

0

.p2.S(p) = K.E(p). La fonction de transfert s’ecrit donc :

H(p) =S(p)

E(p)=

K

1 + 2.εω0

.p+ 1ω2

0

.p2(A Savoir)

Cette forme de la fonction de transfert est appelee forme canonique (Polynome du denominateurdont la constante vaut 1).

4.1 Analyse temporelle d’un systeme du second ordre

Les trois entrees types (echelon, dirac et rampe) seront envisagees mais seule l’entree enechelon sera approfondie (les autres seront etudiees sur courbes).

Reponse a un echelon

Soit en entree du systeme du second ordre la fonction e(t) = e0.U(t). La transformee deLaplace s’ecrit E(p) = e0/p et la sortie dans le domaine de Laplace devient :

S(p) =K.e0

p.(1 + 2.εω0

.p+ 1ω2

0

.p2)

La transformee de Laplace inverse de la sortie (pour revenir en temporel) se fait a l’aide dutableau des transformees usuelles. Il faut prealablement la decomposer en elements simplespour faire apparaıtre les elements du tableau.

La decomposition en elements simples passe en premier lieu par la recherche des poles.On trouve le pole p = 0 ainsi que les racines du polynome du second degres qui dependentdu signe du discreminant ∆ = (ε2 − 1)/ω2

0. On distingue les trois cas :

1. Si l’amortissement est faible (ε < 1), alors ∆ < 0 et il y a deux racines complexesp = −ε.ω0 ± i.ω0.

√1− ε2,

2. Si l’amortissement est critique (ε = 1), alors ∆ = 0 et il y a une racine reelle doublep = −ε.ω0,

3. Si l’amortissement est important (ε > 1), alors ∆ > 0 et il y a deux racines reellesp = −ε.ω0 ± ω0.

√ε2 − 1.

4.1.1 Amortissement faible : reponse oscillante amortie

Dans le cas ou ε < 1, on trouve deux racines complexes : p = −ε.ω0 ± i.ω0.√1− ε2.

Sachant que ε et ω0 sont positifs, on verifie que les parties reelles sont negatives ce qui assureun comportement stable.

La decomposition en elements simples dans l’espace des reels conduit a :

S(p) =K.e0.ω

20

p.(p2 + 2.ε.ω0.p+ ω20)

=α

p+

β.p+ γ

p2 + 2.ε.ω0.p+ ω20

Apres reduction au meme denominateur et identification, on trouve la decomposition :

S(p) = K.e0.

[1

p− p+ 2.ε.ω0

p2 + 2.ε.ω0.p+ ω20

]

page 19

Asservissements

que l’on met sous la forme de somme d’elements du tableau de transformees :

S(p) = K.e0.

[1

p− p+ ε.ω0

(p+ ε.ω0)2 + ω20.(1− ε2)

− ε√1− ε2

.ω0.

√1− ε2

(p+ ε.ω0)2 + ω20.(1− ε2)

]

On en deduit alors la reponse temporelle :

s(t) = K.e0.

[

1− e−ε.ω0.t.

(

cos(ω0.√1− ε2.t) +

ε√1− ε2

. sin(ω0.√1− ε2.t)

)]

.U(t)

Proprietes de la reponse (figure 24) :– fonction oscillante (partie sinusoıdale) amortie (exponentielle decroissante),– asymptote pour t −→ +∞ : s(t) −−−−→

t−→+∞K.e0 (reponse statique ou permanente),

– valeur a l’origine : s(0) = 0,– tangente a l’origine horizontale : ds

dt(0) = 0,

On note ω = ω0.√1− ε2 la pseudo-pulsation qui conduit a la pseudo-periode : T = 2.π

ω.

0 Tr Temps

s(t)

K.e0

D1

D2

D3

T= 2.πω 1−ε0

2

±5%

t2t1 t3 t4 t5

FIGURE 24 – Caracteristiques de la reponse oscillante amortie d’un second ordre a unechelon.

Proprietes des depassements :Les depassements sont des extremums de la reponse s(t) aux temps tk tels que : ds

dt(tk) =

0. Or,

ds

dt(t) = K.e0.e

−ε.ω0.t.

(

ε.ω0 −ε√

1− ε2.ω

)

︸ ︷︷ ︸

=0

. cos(ω.t) +

(ε2.ω0√1− ε2

+ ω

)

sin(ω.t)

La derivee est donc nulle lorsque le sinus est nul soit :

ω0.√1− ε2.tk = k.π , k ∈ N

+ ⇐⇒ tk =k.π

ω0.√1− ε2

, k ∈ N+

page 20

Asservissements

La valeur de s(t) en tk se deduit alors :

s(tk) = K.e0.

[

1− e−ε. k.π√

1−ε2 × (−1)k]

d’ou le temps et la hauteur (en pourcentage de la valeur a convergence) du depassementk :

tk =k.π

ω0.√1− ε2

Dk = e−ε. k.π√

1−ε2

On remarque que l’expression de Dk ne depend que de l’amortissement ε. On peut doncinverser ce systeme pour obtenir les caracteristiques de la fonction de transfert ε et ω0 enfonction de la mesure de tk et Dk sur la courbe :

ε =

(

1 +k2.π2

ln2Dk

)−1

2

ω0 =k.π

tk.√1− ε2

4.1.2 Amortissement critique : reponse amortie

Dans le cas ou ε = 1, on trouve une racine double : p = −ω0. Cette valeur etant negative,le systeme est stable et la reponse se calcul par la decomposition en elements simples :

S(p) =K.e0.ω

20

p.(p2 + 2.ω0.p+ ω20)

=K.e0.ω

20

p.(p+ ω0)2=

α

p+

β

(p+ ω0)+

γ

(p+ ω0)2

Apres reduction au meme denominateur puis identification des coefficients du polynome,on trouve :

S(p) = K.e0.

[1

p− 1

(p+ ω0)− ω0

(p+ ω0)2

]

D’ou la reponse temporelle :

s(t) = K.e0.U(t).[1− (1 + t.ω0).e

−t.ω0

]

Proprietes de la reponse (figure 25) :

– fonction croissante de t sur R+,– asymptote pour t −→ +∞ : s(t) −−−−→

t−→+∞K.e0 (reponse statique ou permanente),

– valeur a l’origine : s(0) = 0,– tangente a l’origine horizontale : ds

dt(0) = 0,

La reponse du systeme du second ordre pour differentes valeurs de ε est donnee sur lafigure 25 (Courbe surlignee basse). On remarque que le regime critique presente le temps demontee et la rapidite maximale sans depassement. Dans le cas ou l’on s’autorise un depas-sement, un systeme plus rapide est obtenu avec ε ≃ 0.7 (Courbe surlignee haute) ou le tempsde montee est plus rapide tandis que le premier depassement ne sort pas de la plage des 5%autour de la valeur a convergence.

page 21

Asservissements

0

1

0 2 4 6 8 10Temps

s(t)

ε

FIGURE 25 – Reponse d’un systeme du second ordre a une reponse indicielle pour differentevaleur de l’amortissement critique ε. On retrouve les trois types de reponse : amortie, cri-tique et oscillante amortie.

4.1.3 Amortissement fort : reponse amortie

Dans le cas ou ε > 1, on trouve deux racines reelles : p = −ε.ω0±ω0.√ε2 − 1. Sachant que ε

et ω0 sont positifs, on verifie que les deux poles sont negatifs ce qui assure un comportementstable.

La decomposition en elements simples conduit a :

S(p) =K.e0.ω

20

p.(p− p1).(p− p2)=

α

p+

β

(p− p1)+

γ

(p− p2)

Apres calcul des constantes, on obtient :

S(p) = K.e0.U(t).

[

1 +ω20

p1 − p2

(1

p1ep1.t − 1

p2ep2.t

)]

La constante 1 represente la reponse permanente tandis que les deux exponentiellesrepresentent les reponses transitoires.

On propose de modifier la forme du resultat pour faire apparaıtre des termes similaires acelui d’un premier ordre. En effet, en posant p1 = −1/T1 et p2 = −1/T2, H(p) peut s’exprimercomme le produit de deux premiers ordres (en remarquant que le produit p1.p2 = ω2

0) :

S(p) =K.e0

p.(p− p1).(p− p2)=

K.e0.ω20

p.(1 + T1.p).(1 + T2.p)

De la meme maniere, la reponse temporelle s’ecrit en fonction de T1 et T2 :

S(t) = K.e0.U(t).

[

1 +1

T1 − T2

(T1.e

−t/T1 − T2.e−t/T2

)]

page 22

Asservissements

Proprietes de la reponse (figure 25) :

– fonction croissante de tsur R+,– asymptote pour t −→ +∞ : s(t) −−−−→

t−→+∞K.e0 (reponse statique ou permanente),

– valeur a l’origine : s(0) = 0,– tangente a l’origine horizontale : ds

dt(0) = 0,

La reponse est la somme d’une fonction echelon et de deux exponentielles de constantesde temps T1 et T2. Remarquons que dans le cas ou une des constantes de temps est tresinferieure a l’autre (T2 ≪ T1), le systeme peut etre considere comme un premier ordre (deconstante de temps T1) eventuellement retarde de T2 (voir courbes fournies).

5 Etude frequentielle des systemes asservis

5.1 Introduction a l’analyse frequentielle

5.1.1 Decomposition d’un signal periodique en serie de Fourier

On montre que tout signal periodique f(t) de periode T0 (et pulsation ω0) sur R peuts’ecrire sous la forme d’une serie :

f(t) =a02

++∞∑

k=1

(ak. cos k.ω0.t + bk. sin k.ω0.t) ou les ak et bk sont des reels.

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

FIGURE 26 – Fonction periodique.

En utilisant les formules d’Euler, cette expression devient :

f(t) =+∞∑

−∞Fk.e

j.k.ω0.t ou Fk ∈ C

Lorsque T devient tres grand, ω0 tend vers 0.

page 23

Asservissements

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

0

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

h60

FIGURE 27 – Signal initial compare aux sommes des 1ere, 2eme, 3eme et 60eme premieresharmoniques.

5.1.2 Transformee de Fourier d’un signal

Le signal non periodique est la limite d’un signal periodique quand T −→ 0. La sommediscrete devient une somme continue sur R :

f(t) =1

2.π.

∫ +∞

−∞F (ω).ej.ω.t.dω ou F : R −→ C

ou F (ω) est une fonction definie sur R appelee transformee de Fourier. Elle represente lecontenu frequentiel de f(t).

t

f(t)T2

T1

0 ω1 ω2 Pulsation (rad/s)

|F|

FIGURE 28 – Signal comportant principalement deux frequences et sa transformee de Fou-rier.

La transformee de Fourier contient toute l’information contenue dans f(t). Elle se calculepar la relation :

F (t) =

∫ +∞

−∞f(t).e−j.ω.t.dt

page 24

Asservissements

5.1.3 Reponse d’un systeme a une entree sinusoıdale

Soit un systeme stable de fonction de transfert H(p) auquel on applique une entree si-nusoıdale sous la forme :

e(t) = e0.U(t). cosω.t = Re

e0.U(t).ej.ω.t︸ ︷︷ ︸

e(t)∈C

H(p)S(p)E(p)

FIGURE 29 – Systeme de comportement H(p).

Par transformation de Laplace, on trouve E(p) =e0.p

p2 + ω2. La sortie S(p) s’ecrit alors

S(p) =e0.p.H(p)

p2 + ω2.

Le systeme etant stable, ses poles sont tous a parties reelles strictement negatives doncH(p) peut s’ecrire :

H(p) = K.

∏(p− zi)

∏(p− pi)

La decomposition en elements simples de S(p) conduit a :

S(p) =K.e0.p.

∏(p− zi)

(p2 − ω2).∏(p− pi)

=∑ ai

(p− pi)k︸ ︷︷ ︸

Partie transitoire de la reponse (expo-nentielle decroissante)

+α.p+ β.ω

p2 + ω2

︸ ︷︷ ︸

Partie permanente de la reponse (si-nusoıde)

Apres un temps suffisant, la partie transitoire devient negligeable. Seule la reponse per-manente nous interesse :

S(p) =α.p+ β.ω

p2 + ω2

Le calcul de α et β se fait en multipliant par p2 + ω2 et en choisissant p = j.ω ⇒e0.j.ω.H(p) = j.ω.α + ω.β. D’ou :

{α = Im [e0.j.H(j.ω)] = Re [e0.H(j.ω)]β = Re [e0.j.H(j.ω)]

On en deduit la reponse temporelle permanente qui s’ecrit, apres simplifications :

s(t) = Re[e0.H(j.ω).ej.ω.t

]= Re [H(j.ω).e(t)]

La sortie est donc aussi une sinusoıde, qui peut s’ecrire sous la forme :

s(t) = e0.|H(j.ω)|. cos [ω.t+ arg(H(j.ω))]

ou |H(j.ω)| represente l’amplification de l’entree, c’est a dire le gain du systeme, et arg(H(j.ω))represente le dephasage de s(t) par rapport a e(t).

H(j.ω) traduit le comportement frequentiel du systeme H(p). Remarquons que p par-cours alors l’axe des imaginaires positifs.

page 25

Asservissements

t

e(t) s(t)

Déphasage

FIGURE 30 – Entree sinusoıdale et sortie sinusoıdale dont l’amplitude est modifiee ainsi quela phase.

5.1.4 Interet de l’analyse frequentielle

H(j.ω) permettant de calculer la reponse s(t) a toute entree sinusoıdale e(t) a la pus-lation ω, le theoreme de superposition permet de calculer s(t) pour toute entree e(t) partransformee de Fourier :

e(t) =1

2.π.

∫ +∞

−∞E(j.ω).ej.ω.t.dω ✲? ? s(t) =

1

2.π.

∫ +∞

−∞H(j.ω).E(j.ω).ej.ω.t.dω

❄

F✻

F−1

E(j.ω) S(j.ω) = H(j.ω).E(j.ω)✲

D’autre part, l’analyse frequentielle permettra d’etudier plus precisement la stabilite dessystemes reels.

5.2 Les representations graphiques du comportement frequentiel des sys-

temes

5.2.1 Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode est constitue de deux courbes representant le module |H(j.ω)|exprime en dB et le dephasage arg(H(j.ω)) en fonction de ω sur une echelle logarithmique.

Le gain |H(j.ω)| exprime en decibel (dB) s’ecrit G : G = 20. log |H(j.ω)|.Le dephasage est un angle modulo 2.π. Il est cependant considere comme un ”retard de

phase” pour le bon respect du principe de causalite, ce qui conduit a le tracer sur [−2.π, 0].

– Systeme du premier ordre

page 26

Asservissements

F F-1

E(jω)

H(jω) S(jω)=H(jω).E(jω)

ω

ω

ω

e(t) s(t)

ω1 ω2 ω1 ω2

t t

FIGURE 31 – Utilisation de la transformee de Fourier pour calculer la reponse d’un systemelineaire.

H(p) =K

1 + τ.pd’ou : H(j.ω) =

K

1 + τ.j.ω

|H(j.ω)| = K√1 + τ 2.ω2

ϕ = arg(H(j.ω)) = − arctan(τ.ω) et ϕ ∈ [−π2, 0], car τ.ω > 0

Proprietes de la courbe :– Gain :|H(j.ω)| −−→

ω→0K d’ou : G −−→

ω→020. logK

|H(j.ω)| −−−−→ω→+∞

Kτ.ω

d’ou : G −−−−→ω→+∞

20. log Kτ− 20. logω

Pour ω = 1/τ , |H(j.ω)| = K√2, d’ou G(1/τ) = 20. logK−20. log

√2

︸ ︷︷ ︸

≃3dB

= G(ω → 0)−3dB

– Phase :ϕ −−→

ω→00

ϕ −−−−→ω→+∞

−π2

ϕ(ω = 1/τ) = −π4

– Systeme du second ordre

H(p) =K.ω2

0

p2 + 2.ε.ω0.p+ ω20

d’ou : H(j.ω) =K.ω2

0

(ω20 − ω2) + 2.j.ε.ω0.ω

page 27

Asservissements

20.log K

0.01 0.1 1/τ 10 100

G (dB)

ω

1er ordre

/τ/τ /τ /τ

−π/4

−π/2

−3π/4

−π

0

20dB/déc10dB

φ (rad)

3dB

FIGURE 32 – Diagramme de Bode d’un systeme du premier ordre.

|H(j.ω)| = K.ω20

√

(ω20 − ω2)2 + 4.ε2.ω2

0.ω2

ϕ(ω) = − arg [(ω20 − ω2) + 2.j.ε.ω0.ω] = − arctan 2.ε.ω0.ω

(ω2

0−ω2)

avec : ϕ ∈ [−π, 0] car 2.ε.ω0.ω > 0

Proprietes de la courbe :– Gain :G(ω) −−→

ω→020. logK

G(ω) −−−−→ω→+∞

20. logK + 40. logω0 − 40. logω

Si ε <√2/2 (faiblement amorti), alors la derivee du denominateur de G s’annule

pour ωm = ω0.√1− 2.ε2. Il y a donc un maximum en ωm et :

G(ωm) = 20. logK

2.ε.√1− ε2

On appelle coefficient de surtension Q = |H(j.ω)||H(0)| ou encore QdB = 20. log(|H(j.ω)|)−

20. log(|H(0)|).Si ε >

√2/2 (fortement amorti), il n’y a pas de sommet. Lorsque les deux poles sont

reels (ε > 1), la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

H(j.ω) =K

(1 + j.T1.ω).(1 + j.T2.ω)avec par exemple T2 < T1 (ω2 > ω1)

page 28

Asservissements

La fonction de transfert est la multiplication de deux premiers ordres d’ou :

G(dB) = 20. logK − 20. log(|1 + j.T1.ω|)︸ ︷︷ ︸

Premiere pente a -20dB/dec

− 20. log(|1 + j.T2.ω|)︸ ︷︷ ︸

Seconde pente a -20dB/dec

– Phase :ϕ(ω) = arg(H(j.ω)) = − arg [(ω2

0 − ω2) + 2.j.ε.ω0.ω]ϕ(ω) −−→

ω→00

ϕ(ω) −−−→ω→∞

−π

20.log K

0.01 0.1 ω 10 100

G (dB)

ω

2ème ordre (ε< 2/2)2ème ordre (ε> 2/2)

0ω 0ω0 ω 0ω0

−π/4

−π/2

−3π/4

−π

0

2ème ordre (ε< 2/2)

2ème ordre (ε> 2/2)φ (rad)

10dB

1/τ1 1/τ2

ω0ωn

Q dB

FIGURE 33 – Diagramme de Bode d’un systeme du second ordre.

5.2.2 Diagramme de Bode asymptotique

Le trace du diagramme de Bode necessite de calculer un certain nombre de points. Ilest souvent suffisant pour analyser la reponse du systeme de tracer le diagramme de Bodeasymptotique. Il est facile de tracer la reponse asymptotique d’un systeme d’ordre n apresdecomposition en produits de systemes du premier et second ordre, appeles fonctions elementaires.

H(p) = K.

∏(1 + τi.p).

∏(1 + 2.εj.p/ω0j + p2/ω2

0j)∏(1 + τk.p).

∏(1 + 2.εl.p/ω0l + p2/ω2

0l)

Les reponses pour chaques fonctions elementaires sont donnees sur la figure 37. Lareponse harmonique de la fonction de transfert H(p) est la multiplication des reponses

page 29

Asservissements

G (dB)

φ (rad)

ω

ω

20.log(K)

0

−π/2

−π

0

H(p)=KG (dB)

φ (rad)

ω

ω

20dB/déc

0

H(p)=p

H(p)=1/p-20dB/déc

π

π/2

0

−π/2

−π

π

π/2

G (dB)

φ (rad)

ω

ω

20dB/déc

0

H(p)=1+τ.p

H(p)=1/(1+τ.p)

-20dB/déc

0

−π/2

−π

π

π/2

1/τ

1/τ

G (dB)

φ (rad)

ω

ω

40dB/déc

0

-40dB/déc

0

−π/2

−π

π

π/2

ω0

ω0

H(p)=1+2.ε.p/ω +p /ω0 022

1+2.ε.p/ω +p /ω0 022

H(p)=1

tel que ε< 2/2

1

FIGURE 34 – Diagrammes de Bode asympotiques des fonctions elementaires.

page 30

Asservissements

elementaires ce qui se traduit par une somme dans le diagramme de Bode (la fonction loga-rithme transforme de produit en somme).

Exemple : H(p) =5.(1 + 5.p)

p.(1 + p+ p2)= 5× 1

p× (1 + 5.p)× 1

(1 + p+ p2)

-60

-40

-20

0

20

40

60

0.01 0.1 1 10 100

ω

G (dB)

0.2 1 5

20.log(5)

20dB/déc

-40dB/déc

-20dB/déc

51/p(1+5.p)1/(1+p+p )2

-π

-π/2

0

0.01 0.1 1 10 100

φ (rad)

FIGURE 35 – Diagramme de Bode asymptotique de la fonction exemple.

5.2.3 Diagramme de Black

Le diagramme de Black presente le module |H(j.ω)| = G(ω) en decibels en fonction dudephasage ϕ(ω) = arg(H(j.ω)). Il se construit facilement a partir du diagramme de Bode.

– Premier ordre

ω → 0 =⇒∣∣∣∣

G → 20. logKϕ → 0

ω → +∞ =⇒∣∣∣∣

G → −∞ϕ → −π/2

– Second ordre

ω → 0 =⇒∣∣∣∣

G → 20. logKϕ → 0

page 31

Asservissements

ω → +∞ =⇒∣∣∣∣

G → −∞ϕ → −π

Dans le cas ou ε <√2/2, on obtient une surtension.

20.log K

G (dB)

φ−π/2−π

0

1er ordre

2ème ordre (ε< 2/2)

2ème ordre(ε> 2/2)

FIGURE 36 – Diagramme de Black du pre-mier et second ordre pour differentes va-leurs de ε.

Im(H(j.ω))

Re(H(j.ω))K

1er ordre

2ème ordre(ε> 2/2)

2ème ordre(ε< 2/2)

0

FIGURE 37 – Diagramme de Nyquist despremier et second ordre.

5.2.4 Diagramme de Nyquist

Le diagramme de Nyquist presente la courbe complexe H(j.ω) dans le plan complexe(partie imaginaire en fonction de la partie reelle). L’interpretation peut se faire en coor-donnees cartesienne (Re(H(j.ω)), Im(H(j.ω))) ou en coordonnees polaires (|H(j.ω)|, arg(H(j.ω))).

page 32

Asservissements

A Transformees de Laplace

Les transformees de Laplace representent pour les Sciences de l’Ingenieur un outil mathe-matique largement utilise pour l’etude des systemes lineaires continus et invariants. Leurutilisation permet :

– de manipuler aisement les equations differentielles de comportement des systemes,– de resoudre facilement les equations differentielles dans les cas simples,– dans les cas complexes, d’obtenir les elements principaux d’etude des systemes sans

calculer la reponse temporelle.

A.1 Definition et proprietes

DefinitionSoit f un fonction de la variable reelle t (temps), definie pour tout t > 0 et nullepour t < 0.Sous reserve d’existence, on note F (p) la transformee de Laplace L(f(t)) de lafonction f :

F (p) = L[f(t)] =

∫ +∞

0

f(t)e−ptdt

ou p est une variable complexe.

L’existence depend de la convergence de l’integrale impropre. Dans les cas rencontres enSI, les conditions d’existences seront toujours reunies.

La transformee inverse sera notee f(t) = L−1[f(p)].

Dans les pays anglo-saxons, la variable complexe de Laplace est notee s. Cette notationpourra etre rencontree dans certains ouvrages.

Nous allons maintenant donner quelques proprietes des transformees de Laplace.

UniciteLa transformee F (p) d’une fonction quelconque f(t) est unique. De meme, latransformee inverse f(t) de F (p) est unique. L’application L est dite bi-univoque.

Demonstration : Soient F1(p) et F2(p) deux transformees de Laplace d’une meme fonctionf(t), alors :

F2(p)− F1(p) =

∫ ∞

0

f(t)e−ptdt−∫ ∞

0

f(t)e−ptdt =

∫ ∞

0

0.dt = 0 =⇒ F2(p) = F1(p)

LineariteLa transformee de Laplace est lineaire :

L[αf(t) + βg(t)] = αL[f(t)] + βL[g(t)] , ∀α, β ∈ R

De meme, L−1 est aussi lineaire.

Demonstration :

L[αf(t)+βg(t)] =

∫ ∞

0

[αf(t)+βg(t)]e−ptdt = α

∫ ∞

0

f(t)dt+β

∫ ∞

0

g(t)dt = αL[f(t)]+βL[g(t)]

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Asservissements

DerivationLa transformee de Laplace de la derivee d’une fonction f(t) conduit a :

L

[df

dt(t)

]

= p.L[f(t)]− f(0) = pF (p)− f(0)

Demonstration :

L

[df

dt(t)

]

=

∫ +∞

0

df

dt(t)e−ptdt =

[f(t)e−pt

]+∞0

+

∫ +∞

0

f(t)pe−ptdt

= limt→+∞

f(t)e−pt − f(0) + pL[f(t)] = pL[f(t)]− f(0)

La limite etant nulle d’apres les conditions de convergence de l’integrale impropre.

Integration

Soit∫ t

0f(τ)dτ la primitive de f(t), alors :

L

[∫ t

0

f(τ)dτ

]

=1

pL[f(t)] =

F (p)

p

L’integration se transforme, au passage dans le domaine de Laplace en division par p.Cette propriete n’est valable que pour une integration de 0 a t.

Demonstration :Soit g(t) =

∫ t

0f(τ)dτ , appliquons la relation obtenue pour la derivation a g(t) :

L[dg

dt(t)] = pL[g(t)]− g(0) et g(0) = 0

⇐⇒ L

[∫ t

0

f(τ)dτ

]

=1

pL[f(t)]

Theoreme de la valeur initialeLa valeur initiale en temps f(0) peut se calculer a l’aide de la transformee deLaplace :

f(0) = limp→+∞

pF (p)

Remarque : Ce theoreme n’est valable dans le cas d’un rapport N(p)D(p)

de deux polynomes

N(p) et D(p) de degres n et d, que si d > n, ce qui est toujours le cas pour un systeme causale.

Theoreme de la valeur finaleLa limite a convergence en temps lim

t→+∞f(t) peut se calculer a l’aide de la trans-

formee de Laplace :lim

t→+∞f(t) = lim

p→0pF (p)

Remarque : ce theoreme n’est valable que si les poles de pF (p) sont a partie reelle negative.Sinon, f(t) ne presente pas de limite finie.

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Asservissements

Theoreme du retardSoit g(t) la fonction retardee d’une fonction f(t), d’un temps τ : g(t) = f(t − τ).Alors :

L[g(t)] = G(p) = e−τpF (p)

Le retard est ici une translation temporelle, vers les temps positifs.Demonstration :

G(p) =

∫ ∞

0

g(t)e−ptdt =

∫ ∞

0

f(t− τ)e−ptdt

En posant le changement de variable : u = t− τ

G(p) =

∫ ∞

−τ

f(u)e−p(u+τ)dt =

∫ ∞

0

f(u)e−pudt× e−pτ = F (p)e−pτ

Translation dans le plan complexeSoit F (p) la transformee de Laplace de f(t), alors la transformee inverse de F (p)translatee de p0 s’ecrit :

L−1[F (p− p0)] = ep0tf(t)

A.2 Distribution de Dirac

L’espace des distributions est une extention de l’espace des fonctions permettant de tenircompte des discontinuites des fonctions continues par morceaux.

Distribution de DiracLa distribution de Dirac δ(t) est une distribution nulle sur R−{0} et dont la valeuren 0 est infinie de telle sorte que :

∀f(t),∫ +∞

−∞δ(t)f(t)dt = f(0)

La distribution de Dirac est un modele mathematique representant les phenomenes phy-siques de temps tres courts devant l’echelle de temps de l’etude et a energie finie tels quedes impacts, chocs, impulsions electrique, etc...

t

I(t)

1/ε

ε

t

I(t)

2/ε

ε

t

I(t)

ε1 e-t/ε

FIGURE 38 – Quelques forme classique de fonctions impulsion.

La distribution de Dirac peut etre vue comme la limite de fonctions parametrees par εquand ε → 0. Ces fonctions sont appelees ”impulsions” (figure 38). On verifie que pour lesfonctions impulsions I(t),

∫ +∞

−∞I(t)dt = 1 et lim

ε→0I(t 6= 0) = 0

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Asservissements

Transformee de Laplace d’une distribution de DiracPar definition, la transformee de Laplace de δ(t) vaut 1.

L[δ(t)] = 1

Pour un Dirac translate de τ , la transformee de Laplace s’ecrit :

L[δ(t− τ)] = e−pτ

Primitive d’une distribution de DiracLa primitive de δ(t) est la fonction echelon U(t) (figure 39) :

∀t ∈ R− {0},∫ t

0

δ(τ)dτ = U(t) avec

U(t) = 0 si t < 0U(t) = 1 si t > 0U(0) non defini

t

U(t)

FIGURE 39 – Fonction echelon.

Cette fonction permet de tenir compte des discontinuites des fonctions continues parmorceaux.

A.3 Transformees de Laplace usuelles

Le tableau 1 donne les transformees usuelles utilisees pour l’etude des systemes lineairescontinus invariants. Ce tableau permettra de realiser les transformees et transformees in-verses sans les calculer.

Les calculs pour les systemes lineaires continus invariants conduisent generalement ades transformees de Laplace sous la forme de quotient de polynomes N(p) et D(p) :

F (p) =N(p)

D(p)

On appelle zeros de F (p) les valeurs de p pour lesquelles le numerateur N(p) s’annule.On appelle poles de F (p) les valeurs de p pour lesquelles le denominateur D(p) s’annule.Les poles de F(p) caracterisent la forme de la fonction temporelle. La figure 40 illustre le

plan complexe et la forme attendue de la fonction temporelle selon le point considere.

A.4 Application aux systemes lineaires, continus et invariants

Les systemes monovariables lineaires continus et invariants sont caracterises par uneequation differentielle entre les fonctions d’entree et de sortie :

a0.s(t) + a1.ds

dt(t) + ...+ ad.

dds

dtd(t) = b0.e(t) + b1.

de

dt(t) + ...+ bn.

dne

dtn(t)

page 36

Asservissements

FIGURE 40 – Lieu des poles de F(p).

Dans le cas ou les conditions initiales sont nulles pour e et s, la transformee de Laplacede l’equation differentielle conduit a une equation beaucoup plus simple a manipuler :

a0.S(p) + a1.p.S(p) + ... + ad.pd.S(p) = b0.E(p) + b1.p.E(p) + ... + bn.p

n.E(p)

On definit alors la fonction de transfert (ou transmittance) :

H(p) =S(p)

E(p)=

∑ni=0 an.p

n

∑dj=0 bd.p

d

Les poles de la fonction de transfert permettent d’analyser le comportement du systemesans calculer la reponse temporelle.

La resolution de l’equation differentielle se fait en determinant la transformee inverse deS(p) :

s(t) = L−1[S(p)] = L

−1[H(p).E(p)]

La transformee inverse est determinee a l’aide du tableau de transformees usuelles. Ilfaut generalement decomposer le quotient obtenu en elements simples.

A.5 Decomposition d’une fraction rationnelle en elements simples

Une fraction rationnelle F (x) est un quotient de deux polynomes :

F (x) =N(x)

D(x)

La fraction rationnelle est sous sa forme reduite si N(x) et D(x) n’ont aucune racine com-mune. On notera n et d les degres des numerateur et denominateur de la fraction rationnellereduite.

Un element simple est soit un monome (1, x, x2, ...), soit une fraction rationnelle de la

formea

x− rou a est un nombre complexe non nul, r un nombre complexe quelconque et m

un entier superieur ou egal a 1.

page 37

Asservissements

Toute fraction rationnelle peut s’ecrire de facon unique comme une somme d’elementssimples, appelee decomposition en elements simples. Elle est composee d’une partie entiere etd’une partie polaire. La partie entiere n’existe que si n ≥ d et c’est alors un polynome dedegre n − d. Les fractions rationnelles rencontrees en SI n’ont generalement pas de partieentiere du fait du principe de causalite.

La partie polaire est constituee, pour chaque pole r de multiplicite m (un pole est uneracine du denominateur), d’une somme du type :

am(x− r)m

+am−1

(x− r)m−1+ ...+

a1(x− r)

ou les coefficients ai, i = 1...m sont non nuls.Pour determiner de maniere simple les coefficients ai, on commence par poser la forme

de la decomposition en placant des inconnues aux numerateurs. Le calcul des coefficientsam pour chaque pole est relativement simple. Il suffit de multiplier l’expression par (x− r)m

et de calculer l’expression pour x = r :

am =

[

(x− r)m.N(x)

D(x)

]

x=r

Pour les autres coefficients (peu nombreux car les multiplicites sont generalement peu elevees),il faut choisir des valeurs particulieres de x pour constituer un systeme permettant d’identi-fier les coefficients.

Exemple : Decomposition de la fraction rationnelle :

F (x) =3.x2 + 2.x− 1

x3 + x2 − 5.x+ 3=

3.x2 + 2.x− 1

(x− 1)2.(x+ 3)=

α

(x− 1)+

β

(x− 1)2+

γ

(x+ 3)

Les coefficients d’ordres eleves sont immediats :

γ =

[3.x2 + 2.x− 1

(x− 1)2

]

x=−3

= 5 β =

[3.x2 + 2.x− 1

(x+ 3)

]

x=1

= 1

Pour le coefficient α, on prend la valeur particuliere x = −1 :

N(−1) = 0 = α.(−1− 1).(−1 + 3) + β.(−1 + 3) + γ.(−1 − 1)2 =⇒ α = 11/2

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Asservissements

Nom Allure f(t) F (p) Poles de F (p)

Dirac δ(t) 1 aucun

Echelon U(t) 1/p 0

Rampe t.U(t) 1/p2 0 (double)

Fonction puissance tnU(t)n!

pn+10 (d’ordre n+ 1)

Exponentielle e−atU(t)1

p+ a−a

t.e−atU(t)1

(p+ a)2−a (double)

Cosinus cos(ωt)U(t)p

p2 + ω2±j.ω

Sinus sin(ωt)U(t)ω

p2 + ω2±j.ω

Cosinus amorti e−at cos(ωt)U(t)p+ a

(p+ a)2 + ω2−a± j.ω

Sinus amorti e−at sin(ωt)U(t)ω

(p+ a)2 + ω2−a± j.ω

TABLE 1 – Tableau des transformees de Laplace usuelles

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