1 INFORMATION CHIFFREE (une nouveauté dans ce programme )
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INFORMATION CHIFFREE
(une nouveauté dans ce programme )
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Pourcentages– Pourcentages instantanés – Pourcentage d’évolution– Approximation en pourcentage
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Pourcentage instantané• Il s’agit de part, proportion, fréquence, rapport d’une
partie au tout qui mesure la part relative à une quantité
• pas d’opérations sur les pourcentages seuls
• Que signifie alors : pourcentage de pourcentages ou encore somme de
pourcentages ?
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Pourcentage de pourcentage (Exemple)• La pension civile des fonctionnaires peut bénéficier d’une surcote de
0,75% par trimestre travaillé, au delà du nombre de trimestres permettant d’obtenir la pension maximale S’ (75% de son dernier traitement S) et de 60 ans
• 4 trimestres supplémentaires apportent 3% de plus ! Mais la pension ne sera pas de 78% de S
• La surcote ne représente pas 3% du dernier salaire mais 3% du montant maximal de la pension soit :
0,03 S’ = 0,03 (0,75 S ) = (0,03x0,75)S = 0,0225 S soit 2,25% de S
Dans une telle situation on parle abusivement de pourcentage de pourcentage, il ne s’agit en fait que de l’associativité de la multiplication.
Savoir que, si p est la proportion de A dans E, et p’ celle de E dans F, alors la proportion de A dans F est pp’.
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Somme de pourcentages
• Dans l’exemple précédent on ne peut ajouter 75% à 3%, ces deux pourcentages s’appliquent à des grandeurs différentes !
• Si p est la proportion d’individus de A dans E et si p’ est la proportion d’individus de B dans E et si A et B sont disjoints alors la proportion d’individus de AUB dans E est p+p’
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Secteur
EmploiAgriculture Industrie Services Total
Salariés 273 4650 13904 18827Non-salariés 806 608 1291 2705
Total 1079 5258 15195 21532
Structure de l’emploi en France, en milliers de personnes
(source : Géographie de 1ère Bordas année 1998, INSEE, Enquête emploi)
Tableau d’effectifs à deux caractères
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Tableau des fréquences par rapport à l’effectif total ( tableau 1.xls)
Secteur
EmploiAgriculture Industrie Services Total
Salariés 1,3% 21,6% 64,6% 87,5%
non-salariés 3,7% 2,8% 6,0% 12,5%
Total 5,0% 24,4% 70,6% 100%
• Les fréquences marginales sont alors les sommes des fréquences conjointes par ligne ou par colonne (ces pourcentages s’appliquent a la même quantité : l’effectif total)
• Ce tableau est un tableau de contingence, les deux modalités étudiées permettent de réaliser une partition de la population
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• Un tableau à deux caractères qui ne réalise pas de partition de la population n’est pas un tableau de contingence
• Exemple : On s’intéresse aux communes des départements d’une région
B
A Département
1Département
2Département
3Département
4
École de musique
15 57 53 55
Musée 14 39 18 20
Bibliothèque 73 111 88 101
• Les différentes modalités de la variable A ne permettent pas de réaliser une partition des communes même si les modalités de la variable B permettent de le faire
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Site : euler.ac-versailles.fr• 245 : tableau d’effectifs et calcul de pourcentage (apprentissage )
• De 874 à 876 : part de sous population en pourcentage (apprentissage )
• De 1157à 1164 : effectifs et part en pourcentage de réunion et intersection de sous population (apprentissage )
• De 889 à 891 : ( générateur d’exercice)
• De 1218 à 12315 : (Générateur d’exercices)
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Pourcentage d’évolution • Mesure l’évolution d’une grandeur, en général dans le
temps ! • Peut s’exprimer sous forme décimale, fractionnaire ou
sous forme de pourcentage
• on pourra le noter n % et ou tn 100100
nt
• Une grandeur varie au cours du temps et passe de x1 à x2 réels strictement positifs.
• Le pourcentage d’évolution t ou taux d’évolution est égal à
1
12
x
xxt
11
• Une variation exprimée en pourcentage est toujours une variation relative et elle est donc exprimée sans unité .
• La variation absolue est égale à x2 – . x1
Celle-ci est mesurée au contraire avec unités
• Dire que t est le taux d’évolution entre x1 et x2 équivaut aussi à dire que:
x2 = x1 (1 + t )
t est un nombre qui s’écrira le plus souvent sous forme décimale
• 1 + t est le coefficient multiplicateur ou multiplicatif
1
2
x
x• En pratique on calculera le quotient
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Évolutions successives • Deux augmentations successives de x % ne sont pas
équivalentes à une hausse de 2x % • De même une augmentation de x % n’est pas
compensée par une réduction de x %• Il faut revenir aux coefficients multiplicateurs• Une augmentation suivie d’une réduction ou une
réduction suivie d’une augmentation est toujours une réduction
²111
²111
ttt
ttt
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Approximations dans le cas de faibles pourcentages
• Pour des valeurs de t proche de 0 on pourra approximer deux augmentations successives d’un même taux t par un taux global de 2t .
• Cette étude pourra être exploitée dans le cadre de l’utilisation du nombre dérivé .
• Voir à ce sujet fiche 48 d’euler .ac-versailles • approximation_2.xls• deriv1.g2w
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Recherche du taux moyen équivalent
• Soient deux augmentations successives annuelles respectivement d’un taux t1 et d’un taux t2
• Quel est le taux moyen annuel équivalent t ? • TP_Taux_Moyen.xls (Irem de Nancy-Metz)
• On peut chercher un taux annuel équivalent après 1,2..n évolutions. Par exemple dans la recherche d’un taux équivalent concernant des variations successives de prix !
Exemple de taux moyen.xls
221 tt
t
)1)(1(1 21 ttt
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Site : euler.ac-versailles.fr
• De 877 à 888 pourcentages d’évolution , évolutions successives (Apprentissage)
• De 892 à 903 ( Générateur d’exercices)
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Interprétation des proportions et comparaison
Attention aux conclusions hâtives
• pourcentage de reçus aux concours des grandes écoles en 1950 et 1993 :Polytechnique , HEC, ENS, et ENA .
• Pour les deux années observées la population concernée ( les reçus!) représente 0,12% d’une classe d’âge de la population française.
• Parmi les reçus on distingue ceux originaires d’un milieu populaire et ceux originaires d’un milieu intellectuel (ceux dont le père a un niveau d’étude supérieur ou égal au baccalauréat )
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Reçus 1950 1993
Milieu populaire
25% 9%
Milieu intellectuel
60% 80%
Autres 15% 11%
Population
Française 1950 1993
Milieu populaire
80% 60%
Milieu intellectuel
5% 20%
Autres 15% 20%
Etude de deux tableaux
Tableau des pourcentages de reçus suivant les catégories sociales et tableau de la structure de la société française
Lecture des données En 1950, 25% des reçus sont issus du milieu populaire et 60% du
milieu intellectuelEn 1950, le milieu populaire représente 80% de la population française
et le milieu intellectuel en représente 5%.
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Le premier tableau montre une diminution très importante des reçus en pourcentage entre les deux
années dans les catégories populaires
• Un calcul est nécessaire • Intéressons nous à la proportion de reçus dans un
milieu donné à une date donnée • Quelle est la population de référence ?
c’est la population d’une classe d’âge française
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• Soit P le nombre d’individus de la classe d’âge française concernée en 1950
• Les reçus de cette classe d’âge constituent 0,12% de P soit 0,0012P
• Parmi les reçus à cette date 25% sont issus du milieu populaire donc représentent 0,25(0,0012)P individus ou encore une proportion égale à 0,250,0012 de P donc 0,03% de la classe d’âge concernée
• Le milieu populaire en 1950 représente 80% de P soit 0,8P, la proportion de reçus dans le milieu populaire en 1950 est donc de 0,0003P 0,8P soit 0,000375 donc 0,0375%
• Cet exemple sera étudié à l’aide de fréquence conditionnelle soit fA(R) où R représente les reçus et A la classe d’âge de milieu populaire
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1950 1993
Milieu populaire
0,0375% 0,018%
Milieu intellectuel
1,44% 0,48%
Quelles sont les proportions de reçus à l’intérieur de chaque catégorie sociale ?
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Remarques
• La situation des jeunes de milieu favorisé s’est plus dégradée que celle des milieux populaires
• Il est deux fois plus difficile de faire partie des reçus dans le milieu populaire et trois fois plus difficile dans le milieu intellectuel
• La variable cachée est l’évolution considérable de la société française dans ces trois catégories
• Le raisonnement pourrait être affiné en s’intéressant à des sous-catégories dans la population concernée
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• Table de mobilité par PCS.doc
• Constructions des tables dest_recru.xls
Exemple d’utilisation de tableur
construction de tables de destinée et de recrutement
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Destinée des fils d'employés1
0,15%
27,35%
322,19%
432,23%
511,09%
626,99% 1
2
3
4
5
6
Comparaison en pourcentage dans une même population
1 : Agriculteur ; 2 : Artisan, commerçant, chef d’entreprise ; 3 : Cadre et profession intellectuelle supérieure ; 4 : Profession intermédiaire 5 : Employés ; 6 : Ouvriers
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Dans ce domaine il existe sur Educnet des TPconçus pour les professeurs de SES en liaison avec l’INSEE très utiles pour la lecture de tableaux
www.educnet.education.fr/insee/emploi/pcs/pcsaccueil.htm (La progression des CSP qualifiées.doc)