1

Imaginons maintenant que le courant électrique ne soit pas limité à un circuit filiforme mais qu’il soit étendu à une région de l’espace comme un fluide dans un tuyau de section variable.

Il est possible de définir en chaque point de cette distribution un vecteur densité de courant de la manière suivante.

Le courant traversant une surface infinitésimale orientée

est égal au produit scalaire

Le courant traversant une surface finie S est la somme

j

S

j

I S

S.jI

S.jI

I

S

dS.jI

S

dS.jI

B-VIII Généralisation aux distributions de courants

B-VIII.1 Densité de courant

Pour les circuits de très petites sections, dits filiformes, et qui correspondent assez bien à la représentation que l’on se fait des fils électriques, le courant total I dans le circuit a suffit à construire différentes grandeurs comme champ et force.

Pour aller plus loin il faut définir une densité locale de courant électrique de la manière suivante.

Sj

S

C

2

Soit un élément de volume « orienté » défini au point M’ d’une distribution de courant par dS orthogonal à et parallèle à .

Le courant qui traverse la section dS est donné par l’élément

de courant « filiforme » peut être défini par

B-VIII.2 Champ magnétique créé par une distribution de courant

j

d

dS

d.dSd )'M(j

j d

j

dS.ji

d.jdSd.jddS.jdi

dj

M’

M

B

Le calcul du champ magnétique à partir de la loi de Biot et Savart donne pour l’élément de courant construit avec et

Pour l’ensemble de la distribution

d

r

r x j

4r

r x i

4)M(dB

3o

3o

dj

dr

r x j

4)M(B

3o

dr

r x j

4)M(B

3o

3

B-VIII.3 Le potentiel magnétique vecteur

Le champ électrique s’étant attaché un potentiel, il serait profondément injuste de ne pas doter le champ magnétique d’un tel compagnon.

Pour le champ électrique le potentiel est scalaire avec la relation locale

Pour le champ magnétique, nous définirons un potentiel magnétique vecteur, représenté donc par un vecteur. Nous le construisons à partir du champ magnétique créé par un circuit filiforme.

)M(Vgrad)M(E M

M’ I

Circuit filiforme

C

I

Mr

MI,CB

C 3

oMI,C r

r x

4

IB

Utilisons la forme suivante

r

1grad

r

rM3

C M

oMI,C x

r

1 grad

4

IB

La formule mathématique suivante entre une fonction de point et le champ de vecteur

Nous conduit à un nouvelle expression

)M(V

f(M)

V x f gradVrotfV frot

C

MMo

MI,C rotr

1-

rrot

4

IB

4

Dans le dernier terme le rotationnel se calcul en M là où n’est pas défini, ce terme disparaît.

Il reste alors

La quantité est appelée le potentiel magnétique vecteur créé au point M

par le circuit C parcouru par le courant I.

Il est relié au champ magnétique par la relation locale

Remarque: La relation entre et n’est pas univoque. Une infinité de potentiels magnétiques vecteurs peuvent donner le même champ magnétique. Nous verrons cela plus tard, à chaque complément suffit sa peine.

C

oM

C

1M

oMI,C r4

Irot

rrot

4

IB

C

oMI,C r4

IA

C

oMI,C r4

IA

)M(Arot)M(B M

)M(Arot)M(B M

B

A

M’ I

Circuit filiforme

C

I M

r

MI,CB

MI,CA

5

Le potentiel magnétique vecteur créé par un courant constant, celui de la magnétostatique, bénéficie d’une propriété locale remarquable.

A partir de l’expression obtenue pour un courant filiforme calculons la divergence

au point M en simplifiant les notations expression dans laquelle l’intégrale

qui porte sur M’ n’est pas concernée par la dérivation qui porte sur M. Nous sommes autorisés à écrire

Utilisons la formule

dans laquelle nous avons utilisé le fait que ne dépendait pas de M.

Il vient puisque la fonction 1/r est continue et reprend sa valeur de

départ après un tour complet (voir la circulation du vecteur champ électrique sur un parcours fermé). Nous obtenons l’important résultat pour le potentiel magnétique vecteur créé par un circuit filiforme

C

oMI,C r4

IA

CMo

M rdiv

4

I)M(Adiv

r

1d

r

1grad.d

r

1grad.dddiv

r

1

r

ddiv MM

d

C Mo

M rdiv

4

I)M(Adiv

0r

1d

4

I)M(Adiv

C

oM

0)M(AdivM

0)M(AdivM

r

1grad.dddiv

r

1

r

ddiv MM

6

Pour le potentiel magnétique vecteur de la distribution

dr

j

4r

di

4)M(A o

C

o

d

r

j

4)M(A o

d

r

j

4)M(A o

dj

M’

M

B

A

Calculons expression dans laquelle l’intégrale qui porte sur M’ n’est pas

concernée par la dérivation qui porte sur M. Nous sommes autorisés à

Utilisons la formule dans laquelle nous avons utilisé le fait que

ne dépendait pas de M.

Nous savons que les lignes de courant se referment sur elles-mêmes formant des boucles. Si on décompose l’intégration sur la distribution en des intégrations successives sur des boucles de courant

nous pouvons écrire

Expression dans laquelle δi est le courant élémentaire de la boucle C.

d

r

jdiv

4)M(Adiv M

oM

d

r

jdiv

4)M(Adiv M

oM

r

1grad.j

r

1grad.jjdiv

r

1

r

jdiv MM

)'M(j

bouclesdes

C

ooM .

r

1grad.i

4d

r

1grad.j

4)M(Adiv

7

d

j

M’

M

B

A

dC

i C

.r

1grad Dans l’expression précédente la quantité

est en tous points identique à celle construite pour un

circuit filiforme et peut s’écrire

Il en résulte que le potentiel magnétique vecteur répond ici encore à la relation locale

0r

1d

C

0)M(AdivM

0)M(AdivM

8

B-VIII.4 Généralisation du Théorème d’Ampère à une distribution de courants

L’application du théorème d’Ampère à la courbe C sur laquelle la

surface S s’appuie donne de même

Le courant traversant S est bien encerclé par C .

Sj

S

C

B

SooC

S.jI.B

B-VIII.5 Forme locale du théorème d’Ampère

Dans la forme globale du théorème d’Ampère

La surface S et la courbes C , bien que reliées l’une à l’autre, sont quelconques. On peut transformer l’intégrale de circulation à l’aide de la formule de Stokes

L’invariance de cette relation sur le choix de C et S associées donne la relation locale en tout point M

Rappelons les autres équations locales que nous connaissons déjà :

SoC

S.j.B

SoSC

S.jS.Brot.B

)M(j)M(Brot oM

)M(j)M(Brot oM

0)M(ErotM

0)M(ErotM

o

M

)M()M(Ediv

o

M

)M()M(Ediv

0)M(BdivM

0)M(BdivM

B

j

M

9

Construisons maintenant une autre relation locale pour le potentiel magnétique vecteur, relation équivalente à l’équation de Poisson pour l’électrostatique.

A partir de la forme locale du théorème d’Ampère et de la relation de définition

du potentiel magnétique vecteur il vient en simplifiant les écritures

Faisons appel à la formule d’analyse vectorielle dans laquelle

nous avons introduit le laplacien d’un vecteur , vecteur obtenu en prenant le

laplacien de chaque composante. Le laplacien d’une fonction scalaire f(x,y,z) est donné en coordonnées

euclidiennes par

Comme nous obtenons

)M(j)M(Brot oM

)M(Arot)M(B M

jArotrot o

jAAdivgradArotrot o

kAjAiAA zyx

2

2

2

2

2

2

z

f

y

f

x

ff

0Adiv jA o

jA o

AAdivgradArotrot

10

B-VIII.6 Énergie en magnétostatique

Dans le cours d’électrostatique nous avons vu que l’énergie électrostatique était distribuée dans tout l’espace où le champ électrique était non nul sous la forme d’une densité volumique d’énergie (Jm -3)

Faisons ici de même en supposant que l’énergie magnétostatique est distribuée dans tout l’espace où le champ magnétique est non nul sous la forme d’une densité volumique d’énergie (Jm -3)

Nous justifierons ce résultat plus tard.

L’énergie magnétostatique totale d’une distribution de courants qui crée le champ est donnée par

L’intégration est prise sur tout le volume T de l’espace où le champ est non nul. Ce volume correspond souvent à tout l’espace géométrique.

Transformons cette expression sous la forme et utilisons la formule d’analyse

vectorielle il est alors possible d’écrire

2oe E

2

1

E

B

2

o

m B2

1

B

dB

2

1dW 2

o

mm

B

dArot.B2

1W

o

m

Arot.BBrot.A)A x B(div

d)A x B(divBrot.A

2

1dArot.B

2

1W

oom

11

Transformons la deuxième intégrale grâce au théorème d’Ostrogradski, Σ étant une surface qui entoure toute la région où le champ est non nul. Il est clair que cette transformation mathématique est physiquement non valable si des courants vont à l’infini (cas idéalisé du fil rectiligne indéfini). Cette éventualité de courant à l’infini n’a pas de raison d’être dans les montages expérimentaux réalistes de la technologie. Donc une surface Σ entourant les sources à suffisamment grande distance sera toujours trouvée.

Que devient cette intégrale lorsque la surface Σ s’éloigne à l’infini?

Le champ se comporte en module comme 1/r2, le potentiel vecteur se comporte en module comme 1/r et la surface, assimilée à une sphère se comporte comme r2. Soit au total l’intégrale qui se comporte comme 1/r et qui tend vers zéro à grande distance faisant disparaître ce terme.

Dans le premier terme de l’énergie utilisons la forme locale du théorème d’Ampère qui est nul là où la densité de courant est nulle ce qui réduit l’intégrale de l’énergie magnétostatique au volume τ de la distribution de courant

Dans la mesure où le potentiel magnétique vecteur n’est pas défini de manière univoque, il convient de se méfier de l’application de cette formule.

d).A x B(d)A x B(div

B

A

jBrot o

dA.j2

1Wm

dA.j

2

1Wm

12

B-VIII.7 Exemple d’illustration des relations théoriques

Les possibilités de calculs analytiques sont très limitées. Voici un exemple type de calcul qui utilise la symétrie cylindrique. C’est le cas d’un fil très long de rayon non nul a, parcouru par un courant I uniformément réparti dans la section.

Nous avons calculé le champ magnétique

Pour calculer le potentiel magnétique vecteur utilisons en coordonnées sphériques dans la base

Rayon a

Courant total I uniformément réparti

Mr

ru

u

zu

B

arpour ur2

I)r(B o

ar0pour ura2

I)r(B

2o

ArotB

)u,u,u( zr

0

B

0

A

r

1)rA(

r

1r

A

z

Az

AA

r

1

Arot

r

zr

z

Par raison de symétrie le potentiel magnétique ne doit pas dépendre de z et de θ, mais uniquement de l’éloignement r du fil. Nous cherchons donc, nous avons le choix, un vecteur de la forme . L’expression du rotationnel donne les deux équations

A

zu)r(AA

ar0pour ra2

I

r

A2

o

arpour

r2

I

r

A o

Après intégration ar0pour urCtea4

IA z

2

2o

arpour u

r

Cteln

2

IA z

o

13

Le potentiel étant continu, ses dérivées étant reliées au champ magnétique, grandeur physique définie, il faut que les deux expression du potentiel coïncident en r = a, soit A(a)=0

Dans le fil l’expression du potentiel ne pose pas problème, le potentiel étant défini. Il n’en va pas de même à l’extérieur du fil, bien que l’expression mathématique soit sympathique. En effet le potentiel diverge à l’infini, comportement paradoxal pour décrire un champ magnétique qui lui tend vers zéro. Cette divergence du potentiel provient de l’existence des courants à l’infini, comme le fil y est supposé aller.

ar0pour uraa4

IA z

22

2o

arpour u

r

aln

2

IA z

o

Compte tenu qu’il est presque toujours problématique de calculer le potentiel magnétique vecteur d’une distribution de courant, la portée de cette grandeur physique peut en apparaître de portée limitée. Il n’en est rien. Le potentiel magnétique vecteur joue un rôle essentiel en électromagnétisme comme moyen d’intégration des équations des champs à partir de l’équation du genre de celle de Poisson

Il en est de même pour le potentiel électrique scalaire V qui répond à l’équation de Poisson

jA o

o

V

14

Câble coaxial

Nous allons utiliser l’exemple précédent pour traiter le cas du câble coaxial bien connu du public. Nous lui allouons ici une utilisation bien particulière en magnétostatique, alors qu’usuellement ce type de composant est plutôt du domaine des faibles signaux, souvent haute fréquence.

La structure du câble est aisément compréhensible:

Une âme métallique centrale de rayon a, transportant un courant total I uniformément réparti dans la section

Une armature extérieure métallique de rayon compris entre b et c, transportant un courant I uniformément réparti dans le sens opposé à celui de l’âme

Un isolant entre les deux, de rayon compris entre a et b

L’application du théorème d’Ampère permet de calculer le champ magnétique dans les quatre domaines

0 < r < a : (voir l’exemple précédent)

a < r < b : (voir l’exemple précédent)

b < r < c : , même principe que

précédemment mais attention au courant encerclé

ubc

rc

r 2

I)r(B

22

22

o

ura2

I)r(B

2o

ur2

I)r(B o

r > c : le courant encerclé étant nul.

0)r(B

a bc

h

I

I

ru

u

zu

15

Calculons le potentiel magnétique vecteur dans les quatre domaines en commençant par l’extérieur

r > c : puisque y est nul, il semble logique de prendre , puisque nous avons le choix

b < r < c : nous devons intégrer ce qui donne

a < r < b : résultat directement déductible de l’exemple précédent

La constante se calcule en faisant soit

0 < r < a : résultat directement déductible de l’exemple précédent

La constante se calcule en faisant soit

z

2

2o)1( uCte

2

r

a2

IA

zo)2( uCte

r

bln

2

IA

)4(B

0A )4(

bc

rc

r 2

I

r

A22

22

o

)3(

u

r

clnc

2

cr

bc

1

2

IA z

222

22o)3(

0 ar

B

b2

I)r(B o

a2

I)a(B o

b c

)b(A)b(A )3()2(

z22

2

o)2( u2

1

b

cln

bc

c

r

bln

2

IA

)a(A)a(A )2()1(

z22

2

2

2

o)1( ub

cln

bc

c

a

bln

a2

r

2

IA

16

1 2 3 4 5 6

0.5

1

1.5

2

Tracé du potentiel magnétique vecteur du câble coaxial

âme

isolant

armatu

re

a b c

A

17

Calcul de l’énergie magnétostatique

Nous avons à notre disposition deux approches

Intégrer sur le domaine où le champ magnétique n’est pas nul avec la formule

Intégrer sur le domaine où la densité de courant n’est pas nulle avec la formule

Dans les deux cas il faut définir des éléments de volume à symétrie cylindrique (voir figure) :

dB2

1W 2

o

m

dA.j2

1Wm

r

dr

h

dr.h.r2d

Commençons par l’intégrale de la densité d’énergie

0 < r < a :

a < r < b :

b < r < c :

16

hIdr.r

a4

hIdr.h.r2r

a2

I

2

1W

2oa

0

3

4

2oa

0

2

2o

o

)1(m

a

bln

4

hIdr.

r

1

4

hIdr.h.r2

r2

I

2

1W

2ob

a

2ob

a

2

o

o

)2(m

c

b

222

222

2oc

b

2

22

22

o

o

)3(m dr.

r

rc

bc

1

4

hIdr.h.r2

bc

rc

r 2

I

2

1W

18

22

224

222

2o)3(

m b3c4

bc

b

clnc

bc

1

4

hIW

L’énergie totale s’écrit

Remarque importante pour la suite, l’énergie est proportionnelle à I2.

22

224

222

2o

m b3c4

bc

b

clnc

bc

1

a

bln

4

1

4

hIW

L’énergie ci-dessus peut se mettre sous la forme

Un calcul sur la région où la densité de courant est non nulle donne

Résultat différent : le calcul avec le champ est probablement juste. La différence entre les deux résultats est certainement liée au caractère infini du câble, idéalisation dont on sait les problèmes qu’elle peut poser.

22

22

222

42o

m bc4

b3c

b

cln

bc

c

a

bln

4

1

4

hIW

b

cln

bc

c

a

bln

4

1

4

hIW 222

42o

m

19

B-VIII.8 Pression magnétique

Soit une distribution plane de courants dans la direction –x avec une densité j par unité de longueur. Appliquons le théorème d’Ampère à un circuit rectangulaire de longueur d de part et d’autre de la distribution. La symétrie nous permet d’écrire soit vectoriellement

Si nous ajoutons d’un seul coté de la distribution un champ extérieur qui annule le champ

Sur la partie rectangulaire de côtes da, db le

champ extérieur exerce une force

Ramenée par unité de surface cette force donne la pression

jddB2 o

zo u2

jB

B

eB

eB

y2

ozox u.db.da.j2

1uj

2

1- x da.db.ujdF

L

dadb

d

B

eB

B

xu yu

zu

eB

dF

j

j

j

o

2e

2o

2

B

2

jP

Cette situation se rencontre dans les solénoïdes longs où les spires sont assimilables à une nappe continue. Ils sont alors soumis à un ensemble de forces de pression dirigées vers l’extérieur.

j est en A/m

20

B-VIII.9 Coefficient d’inductance propre

Le circuit C ne peut pas être filiforme dans la réalité, le champ magnétique ne pouvant pas être infini. Il a donc une section finie, seule possibilité d’existence du champ magnétique réel en tout point.

L’intégrale étant prise sur le volume du fil.

La densité de courant permet de calculer le courant total du fil.

Multiplier par un facteur k induit une multiplication de I par k. Donc la relation entre et I est linéaire, de même qu’entre et .

d

r

r x j

4)M(B

3o

S

dSjI

j

j

j

B

C

B

I

Il y a donc proportionnalité entre l’énergie magnétique Wm et I2 puisque la densité volumique d’énergie dépend de B2. On définit le coefficient d’inductance propre de la manière suivante

soit

Par extension il est possible de définir une quantité homogène à un flux propre

bien que le calcul direct du flux du champ propre ne soit pas défini.

2m LI

2

1W

2m LI

2

1W

2m

I

W2L

I

W2LI m