Chapitre3‐Lesparaboles Définition La PARABOLE est le lieu des points à égale distance d'un point donné, appelé le FOYER, et d'une droite donnée, appelée la DIRECTRICE.

Notations P = la parabole; F = le foyer; d = la directrice.

Exercices - construction point par point 1) Voici un foyer F et une directrice d. Construire les points qui sont à la fois à une distance r = 3 de F et à cette même distance r = 3 de d, en prenant 1 cm pour représenter l'unité.

2) Faire la même opération pour plusieurs valeurs de r, de 0,5 en 0,5 unité.

1

Équation cartésienne Choix d'un repère axe des y = perpendiculaire à d passant par F; origine = point de l'axe des y à mi-distance de F et de d; axe des x = parallèle à d passant par l'origine.

Dans ce repère, ∃ p ≠ 0 tel que F(0,

€

p2

) et d ≡ y =

€

−p2

.

Exemple : p = 2; F(0, 1) et d ≡ y =

€

−1.

d(F, d) =

€

p et

€

si p > 0, F est au - dessus de d; si p < 0, F est en dessous de d.

∀ point P(x,y), d(P, F) =

€

x2 + y − p2

2

et d(P, d) =

€

y +p2

Etablissement de l'équation Soit P(x, y) un point de P. d(P, F) = d(P, d) par définition de P.

d2(P, F) = d2(P, d) par élévation au carré.

€

x2 + y − p2

2

=

€

y +p2

2

€

x2 + y − p2

2

=

€

y +p2

2

€

x2 + y2 − py +p4

2

=

€

y2 + py +p4

2

€

x2 − py =

€

py

€

x2 =

€

2py

€

x2

2p = y

Finalement, avec p ≠ 0.

2

P ≡ y =

€

x2

2p

Autre écriture de l'équation

Si l'on pose

€

a =12p

, on a avec a ≠ 0.

Exemple : p = 2; F(0, 1); d ≡ y =

€

−1;

€

a =14

et P ≡ y =

€

x2

4

Axe de symétrie Sommet L'axe perpendiculaire à d passant par F est L'intersection m ∩ P est le sommet de P. un axe de symétrie de P. On le notera m. On le notera S. Dans le repère choisi, S Dans le repère choisi, m est l'axe des y. est l'origine des coordonnées. m ≡ x = 0 S(0, 0) Exercices

3) Déterminer les coordonnées du foyer F et l'équation de la directrice d de la parabole P si a) P ≡ y = x2 b) P ≡ y = 2x2 c) P ≡ y = 3x2

d) P ≡ y =

€

x2

2 e) P ≡ y =

€

x2

3 f) P ≡ y =

€

x2

4

P ≡

€

y = ax2

3

F

S d m

4) Déterminer l'équation de la parabole P de directrice d horizontale, de sommet S(0, 0) et ayant son foyer F au-dessus de d si a) d(F, d) = 2 b) d(F, d) = 1 c) d(F, d) = 4

5) Déterminer l'équation de la parabole P représentée. Déterminer les coordonnées de son foyer F. Déterminer l'équation de sa directrice d. Représenter F et d sur le graphique.

b) c)

d)

4

a)

Corrigé des exercices 1) Les points cherchés sont l'intersection du cercle de centre F et de rayon 3 et de la droite à 3 unités au-dessus de d. Ce sont les points A et B. 2)

5

3) Détermination des coordonnées du foyer F et de l'équation de la directrice d d'une parabole P. Principe général On fait appel aux formules données à la page 2 :

P ≡ y =

€

x2

2p F(0,

€

p2

) et d ≡ y =

€

−p2

.

a) P ≡ y = x2 donc

€

x2

2p = x2; 2p = 1; p =

€

12

;

€

p2

=

€

14

;

F(0,

€

14

) et d ≡ y =

€

−14

.

b) P ≡ y = 2x2 donc

€

x2

2p = 2x2;

€

12p

= 2; 2p =

€

12

; p =

€

14

;

€

p2

=

€

18

;

F(0,

€

18

) et d ≡ y =

€

−18

.

c) P ≡ y = 3x2 donc

€

x2

2p = 3x2;

€

12p

= 3; 2p =

€

13

; p =

€

16

;

€

p2

=

€

112

;

F(0,

€

112

) et d ≡ y =

€

−112

.

d) P ≡ y =

€

x2

2 donc

€

x2

2p =

€

x2

2; 2p = 2; p = 1;

€

p2

=

€

12

;

F(0,

€

12

) et d ≡ y =

€

−12

.

e) P ≡ y =

€

x2

3 donc

€

x2

2p =

€

x2

3; 2p = 3; p =

€

32

;

€

p2

=

€

34

;

F(0,

€

34

) et d ≡ y =

€

−34

.

f) P ≡ y =

€

x2

4 donc

€

x2

2p =

€

x2

4; 2p = 4; p = 2;

€

p2

= 1;

F(0, 1) et d ≡ y =

€

−1.

4) Détermination de l'équation de la parabole P de directrice d horizontale, de sommet S(0, 0) et de foyer F situé au-dessus de d. Principe général On utilise la propriété donnée à la page 2 : d(F, d) =

€

p avec p > 0 si F est au-dessus de d p < 0 si F est en dessous de d. Ici, comme F est au-dessus de d, p > 0 donc d(F, d) = p.

Ayant la valeur de p, on l'introduit dans l'équation P ≡ y =

€

x2

2p.

a) d(F, d) = 2; p = 2; 2p = 4 donc P ≡ y =

€

x2

4.

6

b) d(F, d) = 1; p = 1; 2p = 2 donc P ≡ y =

€

x2

2.

c) d(F, d) = 4; p = 4; 2p = 8 donc P ≡ y =

€

x2

8.

5) Détermination de l'équation d'une parabole P représentée sur un graphique. Détermination des coordonnées de son foyer F et de l'équation de sa directrice d. Représentation de F et de d sur le graphique. Principe général On repère le sommet S. Dans tous les cas présentés dans cet exercice, on a S(0, 0). Il en découle que l'équation de de P est du type P ≡ y =

€

ax2. Pour déterminer le coefficient a, on exprime qu'un point, repéré sur le graphique, est un point de P. Pour déterminer F et d, on utilise les formules

F(0,

€

p2

) et d ≡ y =

€

−p2

, avec p déduit de

€

a =12p

.

a) Equation de la parabole : P ≡ y =

€

ax2 or (4; 2) ∈ P donc 2 = a.42;

2 = 16a; 1 = 8a;

€

a =18

; P ≡ y =

€

x2

8.

Foyer et directrice :

€

a =12p

;

€

18

=12p

; 2p = 8; p = 4;

€

p2

= 2;

F(0, 2) et d ≡ y =

€

−2.

7

P

8 b) Equation de la parabole : P ≡ y =

€

ax2 or (2; 2) ∈ P donc 2 = a.22; 1 = 2a;

€

a =12

; P ≡ y =

€

x2

2.

Foyer et directrice :

€

a =12p

;

€

12

=12p

; p = 1;

€

p2

=

€

12

;

F(0,

€

12

) et d ≡ y =

€

−12

.

c) Equation de la parabole : P ≡ y =

€

ax2 or (1; −2) ∈ P donc −2 = a.12;

€

a = −2 ;

P ≡ y =

€

−2x2 . Foyer et directrice :

€

a =12p

;

€

−2 =12p

;

€

p =1

2(−2);

€

p = −14

=

€

−14

;

€

p2

=

€

−18

;

F(0,

€

−18

) et d ≡ y =

€

18

.

d) Equation de la parabole : P ≡ y =

€

ax2 or (1; 1) ∈ P donc 1 = a.12; a = 1; P ≡ y =

€

x2. Foyer et directrice :

€

a =12p

;

€

1=12p

;

€

p =12

;

€

p2

=

€

14

;

F(0,

€

14

) et d ≡ y =

€

−14

.

P

F d

d

F P

P

F d

Paraboles de sommet quelconque

On veut obtenir l'équation d'une parabole P de directrice horizontale et de sommet S(xS, yS).

Soit P0 ≡ y = ax2 une parabole de directrice horizontale et de sommet S0(0, 0).

P peut être obtenue par une translation de P0 amenant le sommet S0(0, 0) en S(xS, yS).

Cette translation amènera tout point P0(x0, y0) de P0 en un point P(x, y) de P.

Les coordonnées des points P0 et P sont liées par les relations

€

x = x0 + xS

y = y0 + yS

ou

€

x0 = x − xS

y0 = y − yS

Comme P0 est un point de P0, ses coordonnées vérifient l'équation de P0, donc

€

y0 =

€

ax02

€

y − yS =

€

a(x − xS)2

€

y =

€

a(x − xS)2 + yS

Cette relation est vérifiée par les coordonnées (x, y) de tout point P de P. C'est l'équation de P.

Toute parabole de directrice horizontale a une équation de ce type et toute équation de ce type (avec a ≠ 0) est celle d'une parabole de directrice horizontale. Le coefficient a détermine la forme de la parabole tandis que xs et ys déterminent sa position.

P ≡ y = a(x − xS)2 + yS

P0

€

≡ y = ax2 P

€

≡ y = a(x − xS)2 + yS

€

S0(0, 0)

€

S (xS, yS)

€

P (x, y)

€

P0(x0 , y0 )

9

Exercice 6) Déterminer l'équation des paraboles suivantes. En développer le second membre. a) b)

c) d)

e) f)

g)

10

Principe de la résolution de cet exercice On commence par écrire la forme générale de l'équation : P ≡ y = a(x − xS)2 + yS Il y a dans cette équation 3 paramètres : a, xS et yS. Pour passer de la forme générale à la forme particulière qui est celle de la parabole particulière montrée sur le graphique, il faut remplacer ces trois paramètres par leur valeur. Prenons comme exemple la parabole représentée ci-contre. C'est celle du cas a) de l'exercice 6). On détermine grâce au graphique la position du sommet S, ce qui donne la valeur de deux des trois paramètres : xS et yS. On a dans l'exemple

S(−1; −2)

€

xS = −1yS = −2

On peut alors remplacer les deux paramètres xS et yS par leur valeur : P ≡ y = a(x − (−1))2 + (−2)

P ≡ y = a(x + 1)2 − 2 Cette forme de l'équation n'est plus la forme générale mais elle n'est pas encore la forme très particulière qui corresponde au graphique. Il reste en effet un paramètre à déterminer, le paramètre a. Pour cela, on cherche un point de la parabole, si possible avec des coordonnées qui facilitent les calculs. On voit que la parabole passe par le point (0, 1). Baptisons A ce point.

A(0; 1) ∈ P

€

xA = 0yA =1

Comme A est un point de la parabole, ses coordonnées doivent en vérifier l'équation donc yA = a(xA + 1)2 − 2 1 = a(0 + 1)2 − 2 1 = a.1 − 2

1 = a − 2 1 + 2 = a 3 = a

On peut dès lors remplacer le paramètre a par sa valeur, 3, dans l'équation P ≡ y = 3(x + 1)2 − 2 On a là l'équation particulière de la parabole particulière montrée sur le graphique. On ne s'arrête cependant pas là, on va rendre cette équation plus présentable en développant son second membre. P ≡ y = 3(x2 + 2x + 1) − 2

P ≡ y = 3x2 + 6x + 3 − 2

P ≡ y = 3x2 + 6x + 1.

11

•A(0; 1) • S(−1; −2)

Corrigé 6) a) P ≡ y = a(x − xS)2 + yS et

S(−1; −2)

€

xS = −1yS = −2

donc

P ≡ y = a(x + 1)2 − 2.

Or, A(0; 1) ∈ P donc

yA = a(xA + 1)2 − 2;

1 = a(0 + 1)2 − 2;

1 = a − 2;

1 + 2 = a;

a = 3.

P ≡ y = 3(x + 1)2 − 2;

P ≡ y = 3(x2 + 2x + 1) − 2;

P ≡ y = 3x2 + 6x + 3 − 2;

P ≡ y = 3x2 + 6x + 1.

b) P ≡ y = a(x − xS)2 + yS et

S(−2; 1)

€

xS = −2yS =1

donc

P ≡ y = a(x + 2)2 + 1.

Or, A(0; 2) ∈ P donc

yA = a(xA + 2)2 + 1;

2 = a(0 + 2)2 + 1;

2 = 4a + 1;

2 − 1 = 4a;

1 = 4a;

€

a =14

.

P ≡ y =

€

14

(x + 2)2 + 1;

P ≡ y =

€

14

(x2 + 4x + 4) + 1;

P ≡ y =

€

x2

4 + x + 1 + 1;

P ≡ y =

€

x2

4 + x + 2.

c) P ≡ y = a(x − xS)2 + yS et

S(3; 3)

€

xS = 3yS = 3

donc

P ≡ y = a(x − 3)2 + 3.

Or, A(0; 0) ∈ P donc

yA = a(xA − 3)2 + 3;

0 = a(0 − 3)2 + 3;

0 = 9a + 3;

0 = 3a + 1;

−1 = 3a;

€

a = −13

.

P ≡ y =

€

−13

(x − 3)2 + 3;

P ≡ y =

€

−13

(x2 − 6x + 9) + 3;

P ≡ y =

€

−x2

3 + 2x − 3 + 3;

P ≡ y =

€

−x2

3 + 2x.

d) P ≡ y = a(x − xS)2 + yS et

S(2; 3)

€

xS = 2yS = 3

donc

P ≡ y = a(x − 2)2 + 3.

Or, A(1; 1) ∈ P donc

yA = a(xA − 2)2 + 3;

1 = a(1 − 2)2 + 3;

1 = a + 3;

1 − 3 = a;

€

a = −2 .

P ≡ y = −2(x − 2)2 + 3;

P ≡ y = −2(x2 − 4x + 4) + 3;

P ≡ y = −2x2 + 8x − 8 + 3;

P ≡ y = −2x2 + 8x − 5.

12

e) P ≡ y = a(x − xS)2 + yS et

S(7; 4)

€

xS = 7yS = 4

donc

P ≡ y = a(x − 7)2 + 4. Or, A(8; 5) ∈ P donc yA = a(xA − 7)2 + 4; 5 = a(8 − 7)2 + 4; 5 = a + 4; 5 − 4 = a; a = 1. P ≡ y = (x − 7)2 + 4; P ≡ y = x2 − 14x + 49 + 4; P ≡ y = x2 − 14x + 53. f) P ≡ y = a(x − xS)2 + yS et

S(0; 4)

€

xS = 0yS = 4

donc

P ≡ y = a(x − 0)2 + 4; P ≡ y = ax2 + 4. Or, A(2; 2) ∈ P donc yA = a

€

xA2 + 4;

2 = 22a + 4; 2 = 4a + 4; 1 = 2a + 2; 1 − 2 = 2a; −1 = 2a;

a =

€

−12

.

P ≡ y =

€

−x2

2 + 4.

g) P ≡ y = a(x − xS)2 + yS et

S(2; 3)

€

xS = 2yS = 3

donc

P ≡ y = a(x − 2)2 + 3. Or, A(−2; 2) ∈ P donc yA = a(xA − 2)2 + 3; 2 = (−4)2a + 3; 2 = a(−2 − 2)2 + 3; 2 = (−4)2a + 3; 2 = 16a + 3; 2 − 3 = 16a; −1 = 16a;

a =

€

−116

.

P ≡ y =

€

−116

(x − 2)2 + 3;

P ≡ y =

€

−116

(x2 − 4x + 4) + 3;

P ≡ y =

€

−x2

16+4x16

−416

+ 3;

P ≡ y =

€

−x2

16+x4−14

+ 3;

P ≡ y =

€

−x2

16+x4−14

+124

;

P ≡ y =

€

−x2

16+x4

+114

.

13

Forme développée de l'équation Comme nous l'avons vu dans l'exercice précédent, il est toujours possible de développer le second membre de l'équation y =

€

a(x − xS)2 + yS, si bien qu'elle peut toujours être mise sous la

forme suivante.

Sommet Si l'on ne dispose pas du graphique et que l'on ne connaisse la parabole que par son équation développée P ≡ y = ax2 + bx + c, comment peut-on calculer les coordonnées xS et yS du sommet S ?

Détaillons la transformation de P ≡ y =

€

a(x − xS)2 + yS en P ≡ y = ax2 + bx + c :

€

a(x − xS)2 + yS

=

€

a(x2 − 2xSx + xS2) + yS

=

€

ax2 − 2axSx + axS2 + yS

=

€

ax2 + (−2axS)x + (axS2 + yS)

=

€

ax2 + bx + c

On a donc posé

€

−2axS = b

axS2 + yS = c

Ce système va permettre de calculer xS et yS à partir de a, b et c.

De la première équation, on tire que

De la seconde équation, on tire que

yS =

€

c − axs2 =

€

c − a − b2a

2

=

€

c − a b2

4a2 =

€

c − b2

4a =

€

4ac − b2

4a =

€

−b2 − 4ac4a

=

€

−Δ4a

Remarquons que, puisque S est un point de P, on a également

€

yS =

€

axS2 + bxS + c.

Exercices 7) Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole P si a) P ≡ y = x2 − 5x + 6 b) P ≡ y = 4x2 + 20x + 25 c) P ≡ y = 10x2 − 3x + 5 d) P ≡ y = x2 − x − 1 8) Déterminer analytiquement les abscisses des points d'intersection

avec l'axe des x de la parabole de l'exercice 7) d).

P ≡ y = ax2 + bx + c

€

yS = −Δ4a où l'on a posé

€

Δ = b2 − 4ac

€

xS = −b2a

Δ est appelé le discriminant du trinôme ax2 + bx + c.

14

Corrigé des exercices 7) Détermination des coordonnées du sommet d'une parabole P d'équation donnée.

Principe général On utilise les formules établies à la page précédente :

€

xS = −b2a

et

€

yS = −Δ4a

où

€

Δ = b2 − 4ac .

a) P ≡ y = x2 − 5x + 6 b) P ≡ y = 4x2 + 20x + 25

€

a =1b = −5c = 6

Δ = b2 − 4ac

= (−5)2 − 4 •1 •6= 25 − 24 =1

€

a = 4b = 20c = 25

Δ = b2 − 4ac

= 202 − 4 • 4 •25= 400 − 400 = 0

€

xS = −b2a

= −−52 •1

=52

€

xS = −b2a

= −202 • 4

= −52

€

yS = −Δ4a

= −14 •1

= −14

€

yS = −Δ4a

= −04 • 4

= 0

€

S 52

; −14

€

S −52

; 0

c) P ≡ y = 10x2 − 3x + 5 d) P ≡ y = x2 − x − 1

€

a =10b = −3c = 5

Δ = b2 − 4ac

= (−3)2 − 4 •10 •5= 9 − 200 = −191

€

a =1b = −1c = −1

Δ = b2 − 4ac

= (−1)2 − 4 •1 • (−1)=1+ 4 = 5

€

xS = −b2a

= −−32 •10

=320

€

xS = −b2a

= −−12 •1

=12

€

yS = −Δ4a

= −−1914 •10

=19140

€

yS = −Δ4a

= −54 •1

= −54

€

S 320

; 19140

€

S 12

; −54

8) On cherche les abscisses des points d'intersection de la parabole P ≡ y = x2 − x − 1

avec l'axe des x oX ≡ y = 0.

Les coordonnées de ces points vérifient le système

€

y = x2 − x −1y = 0.

Leurs abscisses vérifient donc l'équation

€

x2 − x −1= 0.

Mais nous ne savons pas résoudre une telle équation, où l'inconnue apparaît à la fois au premier et au deuxième degré. Pour éviter cela, réécrivons l'équation de P :

P ≡ y =

€

a(x − xS)2 + yS où a = 1 et

€

xS =1/2yS = −5 /4

d'après les résultats du 7) d).

P ≡ y =

€

x − 12

2

−54

. Les abscisses cherchées sont donc solution de

€

x − 12

2

−54

= 0 .

€

x − 12

2

=54

;

€

x − 12

= ±54

;

€

x − 12

= ±52

;

€

x =12

±52

.

Les abscisses cherchées sont donc

€

x =12−

52

et

€

x =12

+52

.

15

Exercices 9) Une antenne parabolique a un diamètre d d'un mètre et une profondeur h de 20 cm. Quelle serait la profondeur d'une antenne de même focale ayant 1,5 m de diamètre ? 10) a) Déterminer l'équation des paraboles P1 et P2 représentées ci-dessous et en développer les seconds membres.

b) Déterminer l'équation de la droite d passant par les points A et B, points d'intersection des deux paraboles. 11) Un objet lancé du sol suit une trajectoire parabolique de ce type :

En choisissant le système d'axes représenté ci-dessus et en prenant comme instant zéro celui du lancement, on peut décrire le mouvement par le système

€

x = v0t cosα

y = v0t sinα − 12

gt2

Déterminer et exprimer en fonction de v0, g et α les grandeurs suivantes.

a) L’instant tf auquel l’objet retombe sur le sol.

b) La distance xf entre le point de chute de l’objet et son point de départ.

c) La hauteur maximale h atteinte par l’objet.

16

t est le temps, où v0 est la norme de la vitesse initiale, α est l'amplitude de l'angle entre le sol et la direction du tir, g est l'accélération de pesanteur terrestre.

xf

α

h

d

h

P1

P2A

B

Corrigé des exercices 9) Données d = diamètre de la première antenne = 1 m; h = profondeur de la première antenne = 20 cm; d' = diamètre de la seconde antenne = 1,5 m.

Inconnue h' = profondeur de la première antenne Résolution Dans un repère orthonormé avec l'origine en le sommet de la parabole

et l'axe des y en son axe de symétrie, l'équation de la parabole est

P ≡ y = ax2 (1)

Un point du bord de l'antenne aura comme coordonnées

€

d2

; h

. Donc

€

h = a d2

4 (2)

Une antenne de même focale vérifiera également l'éq. (1) et si elle a un autre diamètre d' = 1,5 m et par conséquent une autre profondeur h', ceux-ci seront liés par une relation semblable à l'éq. (2) :

€

h'= a d'2

4 (3)

Divisons membre à membre les éq. (3) et (2)

€

h'h

=d'2

d2 donc

€

h'= d'2

d2 h =d'd

2

h =1,5 m1 m

2

20 cm =32

2

20 cm =94

20 cm = 45 cm.

Une antenne de même focale et de 1,5 m de diamètre aura 45 cm de profondeur.

10) Parabole de directrice horizontale et de sommet S(xS; ys) : P ≡ y = a(x − xS)2 + yS.

a) Parabole P1 : S1(3; 5) donc P1 ≡ y = a(x − 3)2 + 5.

P(1; 3) ∈ P1 donc yP = a(xP − 3)2 + 5; 3 = a(1 − 3)2 + 5;

3 = a(−2)2 + 5; 3 = 4a + 5; 4a = 3 − 5; 4a = −2;

€

a =−24

;

€

a = −12

.

P1 ≡ y =

€

−12

(x − 3)2 + 5; P1 ≡ y =

€

−12

(x2 − 6x + 9) + 5;

P1 ≡ y =

€

−12

x2 + 3x −

€

92

+

€

102

; P1 ≡ y =

€

−12

x2 + 3x +

€

12

.

17

Parabole P2 : S2(4; 1) donc P2 ≡ y = a(x − 4)2 + 1.

Q(3; 2) ∈ P2 donc yQ = a(xQ − 4)2 + 1; 2 = a(3 − 4)2 + 1; 2 = a(−1)2 + 1; 2 = a + 1; a = 2 − 1; a = 1.

P2 ≡ y = (x − 4)2 + 1; P2 ≡ y = x2 − 8x + 16 + 1; P2 ≡ y = x2 − 8x + 17.

b) A et B appartiennent à la fois à P1 et à P2 donc leurs coordonnées vérifient le système constitué des équations de ces paraboles.

€

y = −12

x2 + 3x +12

y = x2 − 8x +17

€

2y = −x2 + 6x +1

y = x2 − 8x +17

Les coordonnées de A et de B vérifiant chacune de ces deux équations, elles vérifient aussi l'équation résultant de l'addition membre à membre de ces deux équations :

€

2y( ) + y( ) = −x2 + 6x +1( ) + x2 − 8x +17( )

€

3y = −2x +18

€

y = −23x + 6

D’une part, cette équation est vérifiée par les coordonnées de A et par celles de B. D'autre part c'est l'équation d'une droite. C'est donc l'équation de la droite qui passe par A et par B.

€

d ≡ y = −23x + 6

11) Trajectoire de l'objet:

€

x = v0t cosα

y = v0t sinα − 12

gt2

a) L’instant tf est la valeur de t qui correspond à y = 0. Il est solution de l'équation

€

v0t sinα −12gt2 = 0 ;

€

t v0 sinα −12gt

= 0; t = 0 ou

€

v0 sinα −12gt = 0.

L'équation a, d'un point de vue mathématique, deux solutions. Mais la solution t = 0 ne répond pas à la question, elle correspond à l'instant où l'objet est lancé. Déterminons l'autre solution.

€

12gt = v0 sinα ;

€

t =2v0 sinα

g. Cette valeur est celle de tf :

€

t f =2v0 sinα

g.

b) La distance xf est la valeur de x qui correspond à t = tf :

€

xf = v0t f cosα = v02v0 sinα

gcosα =

v02

g2sinαcosα

c) Dans le plan (t, y), la courbe de y en fonction de t est une parabole d'équation

€

y = v0t sinα −12gt2 ou

€

y = at2 + bt + c avec

€

a = −12

g; b = v0 sinα; c = 0.

La hauteur maximale h est la valeur de y qui correspond au sommet S de cette parabole car a < 0.

€

h = yS = −Δ4a

où

€

Δ = b2 − 4ac = v0 sinα( )2 − 4 • −12g

•0 = v0

2 sin2α et

€

a = −12g

€

h = yS = −Δ4a

= −v02 sin2α

4 − 12g

=v02 sin2α2g

.

18

Obtention directe de l'équation d'une parabole de sommet quelconque

On veut obtenir l'équation de la parabole P

€

de foyer F(xF, yF ) de directrice horizontale d ≡ y = yd.

Pour tout point P(x, y),

€

d(P, F) = x − xF( )2+ y − yF( )2 et

€

d(P, d) = y − yd

Si P(x, y) est un point de P, on doit avoir, par définition de la parabole, d(P, d) = d(P, F).

€

d(P, d) = d(P, F)

€

y − yd = x − xF( )2+ y − yF( )2

€

y − yd( )2 = x − xF( )2 + y − yF( )2

€

y − yd( )2 − y − yF( )2 = x − xF( )2

€

y − yd( ) − y − yF( )[ ] y − yd( ) + y − yF( )[ ] = x − xF( )2

€

yF − yd[ ] 2y − yF + yd( )[ ] = x − xF( )2

€

2 yF − yd[ ] y − yF + yd2

= x − xF( )2

€

y − yF + yd2

=1

2 yF − yd[ ]x − xF( )2

€

y =1

2 yF − yd[ ]x − xF( )2 +

yF + yd2

or, S étant à mi-distance de F et de d,

€

xS = xF et

€

yS =yF + yd2

donc

€

y =1

2 yF − yd[ ]x − xS( )2 + yS

Si l'on pose

€

a =1

2 yF − yd( ) on a

€

y = a x − xS( )2 + yS. C'est l'équation cherchée.

Elévation au carré.

Produit remarquable :

€

u2 − v2 = u − v( ) u + v( )

P ≡ y = a(x − xS)2 + yS

19

Foyer et directrice

Nous avions écrit au départ

€

F(xF, yF ) d ≡ y = yd.

Nous voudrions réécrire ces coordonnées et cette équation en ne faisant apparaître que les paramètres de l'équation de P. Nous avons

€

a =1

2 yF − yd( )xS = xF

yS =yF + yd

2;

€

yF − yd =12a

xF = xS

yF + yd

2= yS;

€

yF − yd

2=

14a

xF = xS

yF + yd

2= yS;

€

yF + yd

2−

yF − yd

2= yS −

14a

xF = xS

yF + yd

2+

yF − yd

2= yS +

14a

;

€

yd = yS −14a

xF = xS

yF = yS +14a

.

Finalement,

€

F xS, yS +14a

d ≡ y = yS −14a

.

20