1 3.7 La chute libre verticale Un mouvement qui se produit sous le seul effet de la force...

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3.7 La chute libre verticale

Un mouvement qui se produit sous le seul effet de la force gravitationnelle est appelé chute libre.

Nous traiterons pour le moment que du mouvement vertical. Le mouvement parabolique sera traité au chapitre 4

Comme nous le verrons plus loin, en tenant compte de la résistance de l’air, l’accélération des objets n’est pas vraiment constante puisqu’elle dépend de leur forme et de leur dimension. Autrement dit, ils ne sont pas exactement en chute libre.

vy

ag

y

Chute libre

http://www.youtube.com/watch?v=fABbnYObuxY&feature=related

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Pour le moment, nous pouvons dire, suite aux ingénieuses expériences de Galilée sur un plan incliné, qu’en absence de résistance de l’air, tous les corps tombent avec la même accélération due à la force gravitationnelle (pesanteur), quelle que soit leur taille ou leur forme.

vyag

y

Donc, négatif vers le bas

Positif vers le haut

Le vecteur accélération s’écrira2m/s -9,81 jag

2m/s 81,9gya

L’accélération étant vers le bas nous écrirons

Par contre la mesure du module (grandeur) de l’accélération d’un objet en chute libre ag est de 9,81 m/s2 près de la surface de la Terre.

ag = 9,81 m/s2

agy = - 9,81 m/s2

Donc la composante en « y » sera donnée par :

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La mesure du module( norme) de l’accélération d’un objet en chute libre ag est de 9,81 m/s2

près de la surface de la Terre.

vy

ag

On présente à la page 60, un bref aperçu historique sur l’explication de la chute libre depuis Aristote, Galilée, Boyle et jusqu’en 1971.

y

Négatif vers le bas

Il a fallu toute une série de débats pour contrer cette affirmation

Δy α ΔvAutrement dit

Si y double, v double également ce qui par expérience est faux évidemment

À certaine une époque, on pensait même que

« a = v/y »

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Comme nous le verrons plus loin, théoriquement la valeur de ag dépend de la latitude, de l’altitude et de la rotation de la Terre.

Puisque que cette accélération est PRESQUE CONSTANTE PRÈS DE LA SURFACE DE LA TERRE, nous utiliserons comme approximation, les équations du m.r.u.a pour décrire le mouvement d’un objet en chute libre selon la verticale.

TERRE

ag

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Pour l’étude du mouvement, on oriente, presque toujours l’axe des y positifs vers le haut. Les équations du mouvement s’écrivent alors de la façon suivante:

On peut choisir de remplacer au départ ay par - ag puisque la l’accélération d’un objet en chute libre est vers le bas selon l’axe des y. Les autres grandeurs vers le bas sont également négatives et seront remplacées au moment opportun dans les équations.

2

2

1tatvyy goyof m

tavv goyfy m/s

yavv gfy oy 222

(m/s) 2

m 2

1 2tatvyy yoyof

x

y

ay = - ag

vy

ay = -9,81 m/s2

ag = 9,81 m/s2

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Remarque : Benson utilise « g » pour désigner l’accélération

Comme nous le verrons plus loin, dans les chapitres 5 et 6, il utilise ensuite le symbole « g » pour désigner le « champ gravitationnel » qui est en fait le responsable de la force gravitationnelle (pesanteur).

Voir les exemples 3.14, 3.15 et 3.16 du manuel.

On écrira donc « ag » pour l’accélération et « g » pour le champ gravitationnel (pesanteur).

La mesure de ces deux grandeurs physiques de natures différentes sont équivalentes dans un repère inertiel mais légèrement différentes pour notre position sur la Terre.

Richard

Par exemple, dans un ascenseur qui accélère, la valeur de l'accélération d'un objet en chute libre par rapport à l'ascenseur n'est pas la même que l'accélération gravitationnelle.En descendant, a'g = g - agVoir section 6.5 et exe 6.12 et section 5.6

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Lancement vers le haut

V (m/s)

t (s)

Vitesse rappel

y= 0

ymax

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Lancement vers le haut

y (m)

t (s)

Position

rappel

ymax

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3.7 La Chute libre verticale

Exemple : Vous lancez une balle vers le haut à partir du toit d’un immeuble de 100 m de hauteur avec une vitesse initiale de 15 m/s.

a) Déterminez la hauteur maximale atteinte par votre balle par rapport au sol.

J’illustre la situation

yvoy

ag

Problème : Je cherche la hauteur maximale ymax

Vitesse initiale Voy = 15 m/s

Je connais Données connues :

Position initiale yo = 100 m

Accélération ay = - ag = -9,81 m/s2

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3.7 La Chute libre verticale

yvyo

ag

Vot = 15 m/s Données connues :

yo = 100 m ay = - ag = -9,81 m/s2

Solution possible : Étant donné la nature du mouvement, j’ utilise les équations d’un m.r.u.a.

tavv goyfy m/s

2

2

1tatvyy goyof m

On détermine le temps pour atteindre la hauteur maximale avec l’équation de la vitesse, j’obtiens

tav goy 0 m/s

s 53,181,9

15

g

oy

a

vt

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En remplaçant ce temps dans l’équation de la position, on obtient

2

2

1tatvyy gofof m

m 5,111

)53,1(905,453,115100

max

2

max

y

y m

Résultat probable : J’obtiens 112 m par rapport au sol pour La hauteur maximale atteinte par la balle

b) Combien de temps la balle met-elle pour toucher le sol ?

Autre solution possible : yavv gof 222

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yvyo

ag

Problème : Je cherche le temps lorsque y = 0 m

Solution possible : J’ utilise les mêmes équations pour la même raison.

2

2

1tatvyy gyoof m

2905,4151000 tt m

81,9

100905,44)15(15 2

t1 = -3,24 s à rejeter pas physique

t2 = 6,29 s

b ) J’illustre la situation

Je connais yo = 100 m , vyo = 15 m/s

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3.7 Chute libre verticale

Résultat probable : J’obtiens t = 6,29 s pour que la balle touche le sol.

c) Déterminez la vitesse de la balle lorsqu’elle touche le sol.

J’illustre la situation :

y

vy

ag

Problème : Je cherche vy

Solution possible : Il s’agit d’un m.r.u.a donc j’ utilise

tavv goyfy m/s

En insérant le temps de chute, j’ obtiens

On a vyo = 15 m/s et t= 6,29 s

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y

vy

ag

tavv goyfy m/s

7,4629,681,915 fyv

Résultat probable :

J’obtiens une vitesse d’arrivée au sol de -46,7 m/s

d ) À partir du sol, à quelle vitesse votre ami doit-il lancer sa balle afin qu’elle atteigne la même hauteur que la vôtre? Est-ce réaliste?

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yvyo1

vyo2

d) Je dessine la situation Problème : Je cherche vyo2

Je connais y02 =0 m , yf2 = 111,5 m

vf2 = 0 m/s ay = - 9,81 m/s2

Solution possible : On un m.r.u.a donc j’utilise l’équation suivante

yavv goyfy 222 (m/s) 2

5,11181,920 2 oyv

5,11181,92 oyv m/s 8,46oyv

Résultat probable : J’obtiens une vitesse initiale de + 46,8 m/s Ce n’est pas vraiment réaliste. Un lanceur professionnel a de la difficulté à atteindre cette vitesse.

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e) Vous lancez de nouveau votre balle vers le haut à 15 m/s et deux secondes plus tard vous laissez tomber cette fois une autre balle de la

même hauteur. Est-ce que les balles vont se rencontrer avant de toucher le sol? Si oui, à quelle hauteur le font-elles ? Si non, quel temps sépare leurs arrivées au sol?

Mise en situation

yvyoA

Problème : Je cherche le temps de rencontre pour que yA = yB

Je connais yoA = yoB = 100 m

vyoA = 15 m/s vyoB = 0 m/s

Solution possible:

On a un m.r.u.a. donc j’utilise l’équation suivante

2

2

1tatvyy gyoof m

B

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yvyoA

Je cherche quand ( t = ??) les positions seront les mêmes

yA = y B

2

2

1AgAyoAoAA tatvyy m

2

2

1BgByoBoBB tatvyy m

Or ici, tA > tB par conséquent tB = tA - 2 pour que tB soit positif

Alors l’équation pour y B

devient

2)2(2

1)2( AgAyoBoBB tatvyy

Quel temps prendre ?

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J’obtiens en remplaçantyA = yB

2

2

1AgAyoAoA tatvy 2)2(

2

1)2( AgAyoBoB tatvy

2905,415100 AA tt 2)2(905,4100 At

2905,415100 AA tt )44(905,4100 2 AA tt

At15 6,196,19 At

6,196,4 At

Les balles se rencontrent à tA = 4,26 s

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La position de la rencontre sera donnée par :

2)2(905,4100 AB ty

2)26,2(905,4100 By

m 9,74By

Résultat probable:J’obtiens les résultats suivants :les deux balles se rencontrent à une hauteur de 74,9 m du sol à 4,26 s du lancement de la première balle.

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Illustration du résultat probable:

Les deux balles se rencontrent à une hauteur de 74,9 m du sol à 4,26 s du lancement de la première balle.y

Position de la rencontre

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En résumé Après des années de questionnement, nous sommes arrivés à la conclusion qu’en absence de résistance de l’air, tous les corps tombent avec la même accélération, quelle que soit leur taille ou leur forme

x

y

ay = - ag

vy

ay = -9,81 m/s2

ag = 9,81 m/s2

m 2

1 2tatvyy gyoof

m/s tavv goyfy

222 (m/s) 2 yavv goyfy

Le mouvement d’un objet en chute libre verticale est décrit par les équations suivantes:

Comme approximation, on prend ag = 9,81 m/s2 près de la surface de la Terre. On verra plus tard que ag dépend de la latitude, de l’altitude et de la rotation de la Terre autour de son axe.

Hyperphysics velocity acceleration,free fall

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

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