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2 Tableau de bord

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MathSVMathSV

5 1 seule fois, svp

Primitives – Primitives – IntégrationIntégration

un dernier un dernier exempleexempleLa probabilité de rencontre La probabilité de rencontre

entre deux individus d’une entre deux individus d’une même espècemême espèce

7

Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer au temps au temps tt

1

12

tf t t e

8

Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer entre entre tt11 et et tt22

t1

t2

2

1

t

t

p f t dt

9

0

?f t dt

10

0

1f t dt

La modélisationLa modélisation

L’exemple des tourterelles en L’exemple des tourterelles en Grande BretagneGrande Bretagne

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Croissance d’une population de Croissance d’une population de tourterellestourterelles

Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne : 1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 !

On s’intéresse à l’accrois-sement de la populationde ces tourterelles en GB.

13

Données de recensementDonnées de recensementTemps Nombre

de lieux

1955 1

1956 2

1957 6

1958 15

1959 29

1960 58

1961 117

1962 204

1963 342

1964 501

0

α tN t =N e

14

Un autre regardUn autre regard

Variation du nombre de lieux :Variation du nombre de lieux :

N = N = N N tt

15

Un autre regardUn autre regard

L’accroissement du nombre de lieux :L’accroissement du nombre de lieux :

N = N = N N tt

16

Un autre regardUn autre regard

L’accroissement du nombre de lieux :L’accroissement du nombre de lieux :

N = N = N N tt

D’autres hypothèses :D’autres hypothèses : Les individus sont isolés les uns des autresLes individus sont isolés les uns des autres Pas de compétition intra-spécifiquePas de compétition intra-spécifique Ils sont bien représentés par leur moyenneIls sont bien représentés par leur moyenne Pas de variabilité individuellePas de variabilité individuelle

17

N N t

NN

t

NN

tdd

Équation différentielle

Solution

0

α tN t =N e

Accroissement

Accroissement relatif

t 0

18

Retour sur un autre Retour sur un autre exempleexemple

Lors de l’administration d’un médicament Lors de l’administration d’un médicament par injection intraveineuse, la quantité de par injection intraveineuse, la quantité de médicament dans le sang (QMS) est médicament dans le sang (QMS) est instantanément maximale, puis décroît… instantanément maximale, puis décroît… pourquoi ?pourquoi ?

0.13 tQMS t e

19

Exemple en Exemple en pharmacocinétiquepharmacocinétique

A chaque instant t, la , la variationvariation de la quantité de de la quantité de médicament dans le sang est médicament dans le sang est proportionnelleproportionnelle à la à la quantité de médicament dans le sang à l’instant quantité de médicament dans le sang à l’instant tt : :

QMSQMS

td

d

Équation différentielle

Solution

0

α t-QMS t =QMS e

0QMS =3

=0,1

Les Les équations équations différentiellesdifférentielles

21

Un peu d’histoireUn peu d’histoire La notion d'équation différentielle apparaît chez La notion d'équation différentielle apparaît chez

les mathématiciens à la fin du les mathématiciens à la fin du XVIIXVIIèmeème siècle siècle.. LeibnizLeibniz sera sera l'inventeurl'inventeur en en 16861686, en même temps , en même temps

que que NewtonNewton, du , du calcul différentiel et intégralcalcul différentiel et intégral.. A cette époque, les équations différentielles A cette époque, les équations différentielles

s'introduisent en mathématique par le biais de s'introduisent en mathématique par le biais de problèmes d'origine problèmes d'origine mécaniquemécanique ou ou géométriquegéométrique..

Ce n’est qu’au Ce n’est qu’au XXXXèmeème siècle siècle que les équations que les équations différentielles trouvent de nombreuses différentielles trouvent de nombreuses applications dans les applications dans les Sciences de la Vie Sciences de la Vie

22

DéfinitionDéfinition

On appelle On appelle équation différentielleéquation différentielle une une relationrelation entre les valeurs de la entre les valeurs de la

variable variable xx et les valeurs et les valeurs yy, , yy’, ’, yy’’, …, ’’, …, yy(n)(n) d’une fonction inconnue d’une fonction inconnue yy((xx) et de ses ) et de ses

dérivées au point dérivées au point xx..

: , , , , , 0 nnE F x y y y y

1 : , , 0 E F x y y y y

y x

23

Lexique généralLexique général

dy

y xdx

Dérivée première

Dérivée n ième

y y

n

n

n

d yy x

dx

24

Lexique généralLexique général

Résoudre (intégrer)Résoudre (intégrer)

Conditions initialesConditions initiales

Solution particulièreSolution particulière

Courbe intégraleCourbe intégrale

y y

xy y y x Ke

00 y x y

0 xy x y e

0.13 xy x e

25

Une infinité de solutionsUne infinité de solutions

y’y’ yy((xx) : notion de primitive) : notion de primitive Si Si yy((xx), alors ), alors yy((xx) + Cste est aussi ) + Cste est aussi

solutionsolution

y y

xy x Ke

1 xy x e K

2 2 xy x e K

26

Un exemple trivialUn exemple trivial

On cherche On cherche yy((xx) telle que ) telle que y’ y’ ((xx) = ) = xx On cherche la primitive de On cherche la primitive de yy((xx) :) :

y x

2

2 x

y x Cste

27

Pour aller plus loinPour aller plus loin

y y

y x y x

Quelques méthodes Quelques méthodes typestypes

28

Équations Différentielles Équations Différentielles d’ordre 1d’ordre 1

1.1. À variables séparablesÀ variables séparables2.2. HomogènesHomogènes3.3. LinéairesLinéaires

Sans second membre (SSM)Sans second membre (SSM) Avec second membre (ASM)Avec second membre (ASM) À coefficients constantsÀ coefficients constants

Condition initiale :Condition initiale : 0 0f x y

Prochain RDVProchain RDVVendredi 01/10 à Vendredi 01/10 à

8h158h15Équations DifférentiellesÉquations Différentielles

Suite et finSuite et fin

ATTENTIONATTENTION, vendredi , vendredi EVALUATION TDEVALUATION TD