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Serie 7

ANALYSE IV

Printemps 2009-2010

Exercice 1. Soit la fonction f donnee par f(z) =ze1/z

z 1. Trouver les singularites de f et calculer leresidu de f en ses singularites.

Corrige 1. La fonction f(z) =ze1/z

z 1 a deux singularites :a) Le point z = 1 est un pole dordre 1 de f et le residu de f en ce point est e.

b) Le point z = 0 est une singularite essentielle de f . En eet, la fonction ze1/z a pour serie deLaurent autour du point z = 0 :

z(1 +1

1!

1

z+

1

2!

1

z2+

1

3!

1

z3+ ...)

qui converge vers ze1/z dans C {0}. La convergence est uniforme sur tout compact inclusdans C {0}.De plus, la serie de Taylor de

1

z 1 autour de z = 0(1 + z + z2 + z3 + ...)

converge pour | z |< 1 vers 1z 1. La convergence est uniforme dans {| z | a},0 < a < 1.

On voit donc que la partie principale de la serie de Laurent de f autour du point z = 0 a unnombre infini de termes. La singularite z = 0 est donc essentielle. Le residu de f au point 0

est alors (coecient du terme1

zdans la-dite serie) :

( 12!

+1

3!+

1

4!+ ...) = 2 e.

Exercice 2.Trouver les singularites des fonctions complexes suivantes et preciser si ce sont dessingularites isolees ou non, si ce sont des poles et de quel ordre, des singularites essentielles ou dessingularites apparentes :

(1) f(z) =1

1 + sin z,

(2) f(z) = sin1

z,

(3) f(z) =1 + z2

1 iz .

1

2Corrige 2. (1) Singuarites de la fonction f(z) =1

1 + sin z: les points zk = 3/2 + 2k, k Z

sont des poles dordre 2 ; en eet, dans un voisinage de zk on a :

sin z = sin zk + cos zk(z zk) sin zk2!

(z zk)2 + . . .= 1 + 1/2!(z zk)2 1/4!(z zk)4 + . . . .

On peut donc mettre f(z) sous la forme

f(z) =g(z)

(z zk)2 avec g(z) =(z zk)21 + sin z

et g est holomorphe et non nulle dans un voisinage de zk.

(2) Singuarites de la fonction f(z) = sin1

z: la seule singularite est z = 0 ; en eet, pour tout w C

on a

sinw =1

2i(eiw eiw) = 1

2i

k=k=0

(iw)k (1)k(iw)k

k!

posant w = 1/z dans cette expression, on obtient le developpement de Laurent de f autour de 0 :

sin 1/z =1

2i

k=k=0

ik(1 (1)k

zkk!

il converge ponctuellement dans C {0} ; et donc, 0 est une singularite essentielle de f .

(3) Singuarites de la fonction f(z) =1 + z2

1 iz : z = i. Puisque 1 + z2 = (1 + iz)(1 iz) on a

f(z) = 1 + iz et donc le point z = i est une singularite apparente de f .

Exercice 3.Donner explicitement la partie principale de la serie de Laurent de f(z) =ez sin z

z5autour de z = 0. Que vaut Res(f(z), z = 0) ?

Corrige 3.On obtient la serie de Laurent de f(z) =ez sin z

z5autour de z = 0 a` partir de la serie de

Taylor de ez sin z autour de z = 0. Soit g(z) = ez(0 sin z+0 cos z). On a alors g(z) = ez(0 sin z+0 cos z) + ez(0 cos z 0 sin z) = ez((0 0) sin z + (0 + 0) cos z) et donc k+1 = k k et

k+1 = k + k. Dou` le tableau :

k k k

0 1 01 1 12 0 23 -2 24 -4 0

On a donc autour de z = 0 :

ez sin z = 0 + 1z1

1!+ 2

z2

2!+ 2

z3

3!+ 0

z4

4!

3en donc la partie principale de la serie de Laurent de f autour de z = 0 est :

f(z) =1

z4+

1

z3+

1

3z2+

0

z.

Le residu de f au point 0 est donc 0.

Exercice 4. Soit f(z) =5z + 8

(z 1)2(z + 1).

(1) Sur quel domaine ouvert D C la fonction f est-elle holomorphe ?(2) Etablir explicitement la partie principale de la serie de Laurent de f(z) au point z = 1.

Corrige 4.

(1) La fonction f(z) =5z + 8

(z 1)2(z + 1) est holomorphe dans C {1,+1}.

(2) On peut ecrire f(z) =1

(z 1)2 g(z) avec la fonction g(z) =5z + 8

(z + 1)qui est holomorphe dans

{z C :| z 1 |< 2} et tq g(1) = 132 = 0. Calculons la serie de Taylor de g au point z = 1.On a :

g(z) =5z + 8

(z + 1), g(z) =

5(z + 1) (5z + 8)1(z + 1)2

=3

(z + 1)2

et donc

g(1) =13

2, g(1) =

34

puis

g(z) =13

2+34(z 1) + (z 1)2(. . .).

La partie principale de la serie de Laurent de f au point z = 1 est donc :

13

2

1

(z 1)2 3

4

1

(z 1) .

4Exercice 5.Developper en serie de Taylor autour de z0 C, les fonctions suivantes :

(1) f(z) = zz+2 et z0 = 1,

(2) f(z) = Ln1+z1zet z0 = 0, (calculer seulement deux termes)

(3) f(z) = sin z et z0 = /4, (calculer quelques termes)

(4) f(z) = 1cosz et z0 = 1, (calculer quelques termes)

(5) f(z) = ze2z et z0 = 1.Dans chacun des cas, donner le domaine de convergence de la serie obtenue.

Corrige 5.On a :

(1) On peut ecrire f(z) comme

f(z) =z 1z + 2

+1

z + 2.

Il reste a` developper 1z+2 en series de puissances de (z 1) :1

z + 2=

1

(z 1) + 3 =1

3

1

1 + (z 1)/3 =1

3

k=0

(1)k (z 1)k

3k.

La serie converge absolument a` linterieur du disque de rayon 3 centre au point 1.

(2) La serie de Taylor de la fonction Ln (1 + z) autour de z0 est

Ln (1 + z) = z z2

2+

z3

3 z

4

4. . .

et elle converge pour |z| < 1. La serie de Taylor de la fonction Ln (1 z) autour de z0 est

Ln (1 z) = z z2

2 z

3

3 z

4

4. . .

et elle converge pour |z| < 1. La serie de Taylor de la fonction Ln 1+z1z autour de z0 est doncLn

1 + z

1 z

= 2z + 2z3

3+ . . .

La dernie`re serie converge absolument pour |z| < 1. On peut montrer facilement (en posant z =ei, 0 < 1) que, si |z| < 1 alors 1+z1z C R.

Remarque On sait que, pour a, b C tq a, b, a.b C R, on a :eLn (a) = a, eLn (b) = b, eLn (a.b) = ab.

On a donc, de legalite ab = ab :

eLn (a.b) = eLn (a)+Ln (b).

Dou` on tire que Ln (a.b) = Ln (a)+Ln (b)+2ik. Dans notre cas, prenons a = ei avec (, )et < 1.On voit que /2 < arg(1 + a) < /2 et /2 < arg(1 a) < /2 et donc que la formuleLn ((1 + a)/(1 a)) = Ln (1 + a) Ln (1 a) est valable pour |a| < 1.

5(3) On a le tableau :

fonction expression valeur en /4f(z) sin z 1

2

f (z) cos z 12

f (z) sin z 12

f (z) cos z 12

f IV (z) sin z 12

et donc

f(z) =12

1 + (z /4) (z /4)2/2 (z /4)3/6 + . . .

et la serie converge absolument dans C.

(4) On dresse le tableau :

fonction expression valeur en 1

f(z)1

cos z1

f (z) sin z

cos2 z0

f (z) 2(1 + sin2 z)

cos3 z2

f (z) . . . . . .f IV (z) . . . . . .dou` on tire la serie de Taylor qui converge absolument a` linterieur du disque centre en 1 et de rayon1/2.

(5) On a z = (z + 1) 1 et e2z = e2(z+1)e2 et donc :

f(z) = {(z + 1) 1} e2k=0

2k(z + 1)k

k!.

La serie converge absolument dans tout C.Dans chacun des cas, la serie converge uniformement dans tout sous-ensemble compact ( = ferme,

borne) du domaine de convergence absolue.