05 Calcul Structure

7/24/2019 05 Calcul Structure

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Implmentation

Prin. Corres.

lments finis

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MEC6418 - NOTES DE COURS

Calcul de structure avec des matriaux viscolastiques

Par: Martin Lvesqueprofesseur du dpartement de gnie mcanique

Hiver 2011


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Implmentation numrique

ImplmentationIntroduction

Diff. finies

Algorithme

Prin. Corres.

lments finis

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Introduction

Implmentation IntroductionDiff. finies

Algorithme

Prin. Corres.

lments finis

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Les lois de comportement

(t) = C(0) :(t) + t

0

C(i) exp[i(t )] :

dd

d (1)

(t) = S(0) :(t) + t0S(i) (1 exp[i(t )]) : d

dd (2)

font intervenir lhistoire de contraintes et de dformations. Calculer ou une valeur de t ncessite dintgrer lhistoire

de et de = 0 =t. Pour des histoires arbitraires de et , ce calcul doit se faire

de manire numrique. Plusieurs stratgies existent dans la littrature pour accomplir

cette tche.

La majeure partie des mthodes se concentrent sur ladiscrtisation de lintgrale et utilisent les proprits desexponentielles pour obtenir une expression rcursive.


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Introduction

Implmentation IntroductionDiff. finies

Algorithme

Prin. Corres.

lments finis

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Dans la suite de ce document, nous allons prsenter une

approche rcemment propose par Crochon et al.

dans la revueMech. Time-Depend. Mater. (2010) 14:359 387. La mthode utilise le fait que la forme intgrale des lois

viscolastiques provient dune quation diffrentielle.

Cette forme est propice lutilisation des schmas de diffrencefinie (Euler, Crank-Nicholson, Runge-Kutta) et est plus prciseque toutes les autres mthodes existantes.


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Les schmas diffrences finies


Diff. finiesAlgorithme

Prin. Corres.

lments finis

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Supposons que lon ait une quation diffrentielle du type:

y =f(t, y) avec y(0) =y0 (3)

o y=y(t) et t est une variable. Tout dpendant de la formede f, on pourra trouver une solution analytique cette

quation diffrentielle. Quand on ne peut solutionner analytiquement, on peut trouver

une solution approximative en utilisant un schma dediffrences finies.

Lapproche consiste discrtiser le domaine de t pour lequel onveut la solution en un nombre fini dincrments. Par exemple, sichaque incrment a la mme longueur h, on aura que le tempstn=nh, o n est un entier.

On notera par yn=y(tn).


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Prin. Corres.

lments finis

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De lquation (3), on peut voir que f(t, y)est la pente de y.

Alors, une premire approximation pourrait tre que:

yn+1 yn+hf(tn, yn) (4)

Cette approche est appele schma dEuler avant et est

explicite car la solution tn+1 ne dpend que de yn. Ce schmaest reconnu tre instable et peu prcis.

Une autre approximation est de calculer

yn+1 yn+hf(tn+1, yn+1) (5)

o cette fois le schma est implicite (la majeure partie dutemps) et est appel schma dEuler arrire. Ce schma est

stable mais ncessite plusieurs pas de temps pour une bonneprcision (sa prcision est de lordre de h).


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Prin. Corres.

lments finis

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Une autre approche serait dutiliser la pente moyenne sur

lincrment de temps de sorte que

yn+1 yn+h

2

f(tn, yn) +f(tn+1, yn+1)

(6)

Cette approche est appele schma de Crank-Nicholson et estimplicite. De plus, sa prcision est de lordre de h2, ce qui luipermet de converger plus rapidement que le schma dEuler.

On peut dfinir dautres schmas en utilisante des

dveloppement de Taylor de manire faire disparatre certainstermes. Par exemple, la mthode de Runge-Kutta explicitepermet de calculer

yn+1 yn+h

6k1+ 2k2+ 2k3+k4

(7)

o k1=f(yn, tn), k2=f(yn+ h2k1, tn+

h2

),

k3 =f(yn+ h2k3, tn+

h2

) et k4=f(yn+hk3, tn+1)


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Algorithme


Diff. finies

AlgorithmePrin. Corres.

lments finis

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Dans le chapitre sur le dveloppement de la loi de

comportement viscolastique, on avait obtenu que:(t) = L1 :(t) + L2 :(t)

B : + L3 :+ L2T := 0

(8)

Si on reprend la notation gnrale de lquation (3), on a ici que

= B1 :

L3 :+ L2

T :

(9)

Si on utilise un schma dEuler implicite, on aura que:

n+1 =n +hn+1

=n hB1

:L3 :n

+1

+ L2T :n+1 (10)

do on tire que:

n+1

=I+hB

1

: L31

:n hB

1

: L2T :n+1

(11)


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Algorithme suite


Diff. finies


lments finis

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Lquation (11) peut se mettre sous la forme:

n+1 = W1 :n +W2 :n+1 (12)

Avec la loi de comportement, on a que:

n+1

= L1 :n+1

+ L2 :n+1

= L1 :n+1 + L2 :

W1 :

n +W2 :n+1

= (L1+ L2 : W2) :

n+1 + L2 : W1 :n

(13)

On voit donc quen+1 dpend de n+1 et de n. Lalgorithme va consister dans un premier temps discrtiser

lhistoire de chargement (i.e. (t)) en N incrments de temps.Par la suite, pour chaque pas de temps, on calcule n+1 aveclquation (49) et n+1 avec lquation (11). On pourra ainsicalculer la rponse pour les Npas de temps choisis.


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Algorithme suite


Diff. finies


lments finis

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Le problme avec lalgorithme prcdent est quil fait intervenirles matrices internes Bet L

ialors que la loi de comportement

fera intervenir les C(i) et i. Il y a un lien entre ces quantitset lobjectif des prochains transparents est de lexpliciter.

Dans les transparents sur la viscolasticit, on avait obtenu que

i(t) =

L1ij L2irL2jr

L3rr

j(t)

+ t

0

L2irL2jr

L3rrexp L3rrBrr

(t )dj(t)d

d (14)

o toutes les matrices sont dans la base qui rendent Bet L3diagonales.

Lorsque deux matrices sont symtriques et dfinies positiveselles sont simultanment diagonalisables. De plus, une des deuxmatrice diagonalise sera la matrice identit. Dans notre cas,supposons que la matrice B = I lorsque diagonalise. Avec

lquation (1), on peut voir que les lments de la matriceL3

diagonalise doivent tre gaux au i.


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Algorithme suite


Diff. finies


lments finis

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Avec cette observation, on peut voir que:

1iL(i)2 :

L(i)2

T

= C(i) (15)

o L(i)2 est une matrice qui fait partie de L2. On peut r-crire

cette quation sous la forme:

L(i)2 :

L(i)2

T

=iC(i) (16)

Comme C(i) 0 et symtrique, et que i >0, iC(i) permetune dcomposition de Cholesky.

Par dfinition, une dcomposition de Choleski permetdexprimer une matrice symtrique sous la forme:

A = L : LT (17)

o la matrice Lest une matrice triangulaire infrieure.


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Algorithme suite


Diff. finies


lments finis

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Intressons nous aux dimensions des diverses matrices. Lamatrice L

2servira reprsenter les diffrents C(i). Si on a N

i, et que chaque matrice C(i) comprend 36 termes (parce que

cest une matrice 6 6), la matrice L2 doit avoir 36N termes. La matrice L2 est une matrice L2ir o i [1, 6] car L2 : doit

avoir les mmes dimensions que les contraintes, cest dire 6composantes. Lindice r correspond donc au nombre de termesdans .

Comme i r= 6r= 36N, il faut que r= 6N.

Donc, si on a 2 i, L2 est une matrice 6 12.

Alors, la matrice L2 pourra tre exprime comme:

L2 = L(1)2 L(2)2 . . . LN2 (18)o chaque L

(i)2 est une matrice 6 6 triangulaire infrieure

qui est la dcomposition de Cholesky de iC(i).


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Algorithme suite


Diff. finies


lments finis

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Comme r= 6N, B sera la matrice identit 6N 6N et L3sera une matrice diagonale6N 6No les termes diagonauxseront les i. On aura par exemple, L3rr =1 pour r [1, 6],L3rr =2 pour r [7, 12], etc.

On a que C(0) =L1ij L2irL2jr

L3rr= L1

i=Ni=1 C

(i). On aura

donc que:

L1 =i=Ni=0

C(i) (19)

On a donc tout ce quil faut pour programmer uneimplmentation numrique.

(Voir exemple Mathematica sur le site web)


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Principe de correspondance

Implmentation Prin. Corres.Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-Carson

Inversion

lments finis

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d i


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Introduction

ImplmentationPrin. Corres.

IntroductionPrinc.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-Carson

Inversion

lments finis

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Le calcul de structure avec des matriaux viscolastiqueslinaires est plus compliqu quavec des matriaux lastiqueslinaires car ils introduisent une dpendance au temps.

On la vu dans le dveloppement de la loi de comportement, unoutil qui permet de faire disparatre le dpendance au temps estla transforme de Laplace.

Par dfinition, la transforme de Laplace de la fonction f est:

L(f) = f(s) =

0

exp[st]f(t)dt (20)

On peut donc remarquer quelle ne sapplique que sur laspecttemporel du problme. Laspect spatial nest aucunementaffect.

La transforme de Laplace permet donc de dcoupler ladpendance temps-espace associe aux problmesviscolastiques.

La dmarche sera dappliquer la transforme de Laplace sur le

problme, le solutionner dans lespace de Laplace et appliquer latransforme inverse pour le retrouver dans lespace rel.

L i i d d i l i


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Le principe de correspondance viscolastique


Introduction

Princ.Corres.Conv. Prop.

Laplace-Carson

Inversion

lments finis

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Loutil qui nous permet de solutionner ces problmes se nommeprincipe de correspondance viscolastique linaire.

Pour quil puisse sappliquer, le problme doit avoir lesparticularits suivantes:

1. Tous les matriaux doivent tre linaires.

2. Tous les paramtres dfinissant les matriaux ne doiventpas dpendre du temps.

3. En chaque point du problme, le type de conditions auxrives doit rester le mme. Par exemple, on ne pourrait pas

avoir une force impose durant un certain temps et par lasuite un dplacement impos au mme point.

4. Il ne faut pas que la gomtrie change avec le temps.

E l l i d it i


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Exemple la conversion des proprits mcaniques


Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.Laplace-Carson

Inversion

lments finis

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Considrons la loi de comportement:

(t) = t

0

S(t ) : d

dd (21)

Si lon applique la transforme de Laplace cette quation, on

obtiendra:=sS : (22)

Considrons la loi de comportement:

(t) = t

0

C(t ) : d

dd (23)

Si lon applique la transforme de Laplace cette quation, on

obtiendra:=sC : (24)

E l l i d it i /


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Exemple la conversion des proprits mcaniques


Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.Laplace-Carson

Inversion

lments finis

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Des quations (22) et (24) on tire que:

=1sS1

:=sC : (25)

On aura donc que:

S = 1

s2 C1

(26)

Do lon tirera que:

S(t) = L1 1s2 C

1 (27)

Cette relation est trs utile car elle permet de calculer lasouplesse de fluage si le module de relaxation est connu, ou vice

versa.

La transforme de Laplace Carson 19 / 33


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La transforme de Laplace Carson


Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-CarsonInversion

lments finis

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Un outil qui est plus physique que la transforme de Laplaceest la transforme de Laplace Carson. La transforme deLaplace-Carson f dune fonction f(t) est dfinie par:

f(s) =sL(f) (28)

Alors, si lon reprend les deux lois de comportement auxquelleson a appliqu la transforme de Laplace et que lon multipliepars de chaque ct de lquation, on a:

= S

:

(29a)

= C : (29b)

Ce qui permet dobtenir:

S = (C)1 (30)

La transforme de Laplace Carson 20 / 33


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La transforme de Laplace Carson


Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-CarsonInversion

lments finis

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S = (C)1

Ce rsultat est trs similaire celui que lon obtiendrait enlasticit linaire.

Alors, en pratique, on utilisera la transforme de Laplace Carson pour solutionner les problmes.

Si pour un problme lastique on connat la solution en fonctiondes proprits mcaniques du matriau, la dmarche est trssimple:

On applique la transforme de Laplace Carson toutes les

proprits mcaniques. Dans la solution du problme lastique, on remplace les

proprits lastiques par les proprits transformes.

On obtient la solution relle en appliquant la transforme

inverse.

(Voir exemples dapplication faits au tableau)

Inversion numrique des transformes de Laplace Carson 21 / 33


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Inversion numrique des transformes de Laplace Carson


Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-Carson

Inversionlments finis

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On vient de voir que lobtention de la solution temporelle peutrapidement devenir complique.

De plus, dans la majorit des cas, il nexiste pas de solutionanalytique pour la rponse temporelle.

On doit donc avoir recours des mthodes numriques, commela mthode de Collocation introduite par Schapery en 1962.

Nommons par(t) la solution temporelle un problmeviscolastique solutionn par le principe de correspondance.Alors, on peut supposer que (t) peut se dcomposer comme:

(t) = +t+ (t) (31)

o et sont scalaires. En gnral, (t)va tre borne. En effet, pour une dformation

ou contrainte applique finie, la rponse est aussi finie, saufpour des cas singuliers. Pour ce cours, on supposera que

(t) = + (t) (32)



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Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-Carson


22 / 33

Pour arriver une approximation de(t), Schapery a proposd(t) sous la forme dune srie de Dirichlet pour approximer(t)de sorte que:

(t) d(t) =N

i=1

iexp [ti] (33)

o les i >0 et choisis priori. On peut voir que s() = 0.

Une des proprits des transformes de Laplace Carson est lethorme de la valeur finale. Supposons que lon veuille calculerla limite suivante en utilisant les proprits de drivation destransformes de Laplace:

lims0

0

f(t)exp[st] dt= lims0

[sL(f) f(0)] (34)



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Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-Carson


23 / 33

Comme lintgrale se fait par rapport t, on peut entrer lalimite dans lintgrale, ce qui nous conduira :

0

f(t)dt= lims0

[f(s) f(0)] (35)

et aprs intgration on aura:

f() f(0) =f(0) f(0) (36)

ce qui conduit au thorme de la valeur limite:

f() =f(0) (37)

En appliquant ce rsultat (t) en utilisant la dfinition de

(t), on aura que: =(0) (38)

ce qui nous permettra de dfinir:

(t) =(t) (0) (39)



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Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-Carson


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La mthode de collocation de Schapery consiste trouverd(t) telle que la quantit suivante soit minimise:

E=

0

[(t)d(t)]2 dt (40)

Dans cette quation, les seules variables sont lesi. Alors, Esera minimale lorsque:

E

i

= 2

0

[(t)d(t)]exp[ti] dt= 0 (41)

Si on multiplie chaque ct de lquation par i, on a que:

i

0

[(t)d(t)]exp[ti] dt= 0 (42)

ce qui est en fait la dfinition de la transforme de Laplace Carson (ici, s=i), ce qui permettra dcrire:

(i) =

d(i) pour i [0, N] (43)



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Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-Carson


25 / 33

(i) =

d(i) pour i [0, N]

Cette dernire quation est en fait un systme N quationso les inconnues sont les i.

On aura que:

d(i) =sL

Nj=1

jexp[ts]

s=i

=

Nj=1

j ss+j

s=i

=N

j=1

ji

i+j

=ijj

(44)

ce qui conduira au systme linaire dquations:

(i) =ijj (45)



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q p C


Introduction

Princ.Corres.

Conv. Prop.

Laplace-Carson


/

(i) =ijj

La solution de ce systme sera:

i = (ij)1 (j) (46)

La solution approche

d(t) = + d(t) (47)

dpendra donc des i choisis ainsi que de leur nombre. En principe, plus on prendra de termes dans la srie de Dirichlet,

plus lapproximation sera prcise. Toutefois, comme pour lessries de Taylor, lorsque le nombre de termes est grand on peut

obtenir des oscillations importantes. Il est donc ncessaire dechoisir astucieusement le nombre de termes dans la srie.

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Utilisation code de calculs par lments

finis


lments finisPrincipe

Imp. gnrale

Utilisation

/

Principe de base 28 / 33


28/33

p


lments finis

PrincipeImp. gnrale

Utilisation

/

Lorsquun problme dlments finis prsente une nonlinarit(par exemple gomtrique ou matrielle), la solution est faite demanire incrmentale.

La Figure1illustre schmatiquement le processus (o lescontraintes devraient tre remplaces par des forces et lesdformations par des dplacements)

Par exemple, si on se trouve au temps tn, on aura n et n. Si augmente de , alors, n+1 =n + , o=f()eto fest non linaire.

Figure 1: Schmatisation dun schma incrmental de solution

Principe de base 29 / 33


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lments finis

PrincipeImp. gnrale

Utilisation

Supposons que lon connaisse et que lon veuille calculer. Une manire de solutionner lquation =f() estdutiliser la mthode itrative de Newton.

R-crivons lquation=f()sous la forme f() =() = 0, o on travaille en 3D.

Supposons s la valeur de litration s. La mthode deNewton permet de calculer s+1 avec:

s+1 = s ()

s :(s)

= s

s

:(s)

(48)

Dans leurs algorithmes internes, les codes de calculs par

lments finis doivent solutionner ce type dquation chaquepoint dintgration des lments. Alors, une solution par lments finis en viscolasticit sera

dcompose en plusieurs incrments et chaque incrment

ncessitera quelques itrations.

Implmentation gnrale 30 / 33


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Implmentation

Prin. Corres.

lments finis

Principe

Imp. gnraleUtilisation

Les codes de calcul comme ANSYS et ABAQUS permettent dedfinir des lois de comportement dfinies par lusager.

Pour ABAQUS, lusager doit utiliser la sous-routine UMAT etfournir au code de calcul les informations suivantes:

1.

2. La valeur de la contrainte la fin de lincrmentn+1

3. Les nouvelles valeurs des variables internes n+1, sil y alieu, la fin de lincrment

Reprenons lquation (49)

n+1 = (L1+ L2 : W2) :n+1 + L2: W1 :

n

= M1 :n+1 +M2 :

n (49)

En remarquant que =n+1 n et que =n+1 n,on aura que:

+n = M1 : (+n) + M2 :

n (50)

o ici n, n et n sont indpendants de car ilsappartiennent au pass.

Implmentation gnrale 31 / 33


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Implmentation

Prin. Corres.

lments finis

Principe

Imp. gnraleUtilisation

Alors, avec lquation (50), on aura que:

= M1 (51)

ce qui illustre que notre technique dintgration de la loi de

comportement est directement compatible avec une formulationpar lments finis. La contrainte la fin de lincrment sera donne par

n+1 = M1 :n+1 +M2 :

n

On peut voir que la contrainte la fin de lincrment dpenddes variables internes . Ces variables doivent donc trestockes en mmoire et mises jour chaque pas de calcul. Onavait obtenu prcdemment, lquation (12) que

n+1

=W

1 :n

+W

2 :n+1

. Alors, la fin de lincrment,n+1 sera calcule avec la valeur de n+1. Nous avons donc l tous les lments pour implmenter

nimporte quelle loi de comportement viscolastique linaire,

peu importe son degr de symtrie, dans un code de calculs parlments finis.

Utilisation code de calculs 32 / 33


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Implmentation

Prin. Corres.

lments finis

Principe

Imp. gnrale

Utilisation

Pour des matriaux isotropes, les codes de calculs ont djimplment des lois de comportement viscolastiques linaires.

Il est donc possible pour lusager dentrer des donnes isotropessans avoir lui-mme programmer sa loi de comportement.

Pour dfinir un matriau viscolastique, ANSYS et ABAQUSncessitent de dfinir en premier temps un matriau lastiquelinaire isotrope. En gnral, lutilisateur va entrer un moduledYoung E0 et un coefficient de Poisson 0.

ANSYS va reprsenter le module de cisaillement et decompressibilit sous la forme:

k(t) =k0

k

+Ni=1

ki exp

t

ki

(52a)

(t) =0

+Ni=1

i exp

t

i

(52b)

k0 et 0 seront dduits de E0 et 0. Lutilisateur devra fournir ANSYS les couples (ki , ki) et (

i,

i ).

Utilisation code de calculs 33 / 33


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Implmentation

Prin. Corres.

lments finis

Principe

Imp. gnrale

Utilisation

k(t) =k0 k+N

i=1

ki exp tki

(t) =0

+N

i=1i exp

t

i

Les paramtres sont dfis de manire ce que lorsquet= , k=k0

k

et =0. Les paramtres

permettent donc de calculer la diminution de k0 ou 0 lorsque

lon attend trs longtemps. Les codes calculent = 1

i. Alors, quand t= 0,

k=k0 et =0. Les modules k0 et 0 reprsentent donc larponse instantane du matriau.

La dfinition dun matriau viscolastique linaire dans ABAQUSest trs similaire.

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