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1reSTI Ch04 : Barycentre et produit scalaire 2006/2007

BARYCENTRE, PRODUIT SCALAIRE

Table des matires

I Barycentre 1

I.1 Barycentre de deux points pondrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2 Caratrisations du barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.3 Proprits du barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.4 Barycentre de 3 points et plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Produit scalaire 4

II.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4II.2 Expression analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II.3 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5II.4 Cosinus et projection orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.5 Applications du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.5.1 Equation dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.5.2 Equation dun cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.5.3 Formules dAl Kaschi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.5.4 Formules daddition et de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I Barycentre

Exercice de motivation :

sachant que la balance suivante est en quilibre, quel est le poids de M?

M 150 kg

6 m 2 m

I.1 Barycentre de deux points pondrs

Dfinition 1

On appelle barycentre de deux points pondrs (A,) et (B,) avec + 6= 0 le point G tel que :

GA+

GB =

0

http://nathalie.daval.free.fr -1-

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Exemple 1

Soit [AB] un segment, constuire le barycentre G de (A, 3) et (B, 2)

Le point G vrifie : 3GA+ 2

GB =

0

Grce la relation de Chasles, on obtient :

3GA+ 2(

GA+

AB) =

0

5GA = 2AB

AG = 2

5

AB

A G B

Remarque 1

Physiquement, G est le point dquilibre de la balace [AB] munie des masses et Mathmatiquement, la notion est tendure des coefficients qui peuvent tre ngatifs En mcanique, le barycentre peut aussi sappeler le centre dinertie, le centre de gravit ou le centre de masse

Pour toute la suite, on se place dans le cas o + 6= 0

cas particuliers :

Si = , G sappelle lisobarycentre du systme : cest le mileu du segment [AB] Si = 0 et 6= 0,on a GB = 0 do G = B Si = 0 et 6= 0,on a GA = 0 do G = A

Exemple 2

Solution de lexercice de motivation :

MGA+ 150

GB =

0

or,GA = 3GB donc :

3MGB + 150GB = 0(3M + 150)GB = 03M + 150 = 0

M = 50 kg

6 2

A(M) G B(150)

I.2 Caratrisations du barycentre

Thorme 1

G est le barycentre des points (A,) et (B,) si, et seulement si pour tout M du plan on a :

MA+

MB = (+ )

MG

Dmonstration :

G est le barycentre des points (A,) et (B,) donc, on a :

GA +

GB =

0

on utilise la relation de Chasles :(

GM +

MA) + (

GM +

MB) =

0

do :MA+

MB + (+ )

GM =

0

MA+

MB = (+ )

MG




Thorme 2

G est le barycentre des points (A,) et (B,) si, et seulement si :

AG =

+

AB

Exemple 3

On reprend lexemple 1 :

AG =

2

2 + 3

AB =

2

5

AB

I.3 Proprits du barycentre

Proprit 1

Le barycentre de deux points reste inchang lorsquon multiplie tous les coefficients par un mmenombre non nul.

Exemple 4

Soit G le barycentre des points (A, 34) et (B, 1

2), alors :

G est le barycentre des points (A, 3) et (B,2) G est le barycentre des points (A,300) et (B, 200)

On se place dans le plan muni dun repre (O; ; )

Proprit 2

Le barycentre de deux points (A,) et (B,) appartient la droite (AB)

Le barycentre de deux points (A,) et (B,) a pour coordonnes

(xA + xB

+ ;yA + yB

+

)

Exemple 5

Soient A(1; 3) et B(4; 1). Calculer les coordonnes de G, barycentre de (A,1) et (B, 2)

G

(1 1 + 2 41 + 2 ;

1 3 + 2 11 + 2

)

G(7 ;1)

I.4 Barycentre de 3 points et plus

Dfinition 2

On appelle barycentre de trois points pondrs (A,) , (B,) et (C, ) avec + + 6= 0 le pointG tel que :

GA+

GB +

GC =

0




Exemple 6

Soient A, B et C, trois points du plan. Constuire barycentre G de (A, 2), (B,1) et C(2)

Le point G vrifie : 2GAGB 2GC = 0

Grce la relation de Chasles, on obtient :

2GA (GA+AB) 2(GA+AC) = 0

GA = AB + 2AC

AG =

AB + 2

AC A(2) B(1)

C(2)G

Thorme 3

G est le barycentre de trois points pondrs (A,) , (B,) et (C, ) avec ++ 6= 0 si et seulementsi

MA+

MB +

MC = (+ + )

MG

Exemple 7

Rsoudre lexercice 6 en utilisant le thorme 3

On choisit par exemple M = A et on obtient :

2AAAB 2AC = (2 1 2)AG

AG =

AB + 2

AC

II Produit scalaire

II.1 Dfinition

Dfinition 3

Soient u et v deux vecteurs du plan, le produit scalaire de u et de v est le nombre dfini par :

u .v = 12

(||u +v ||2 ||u ||2 ||v ||2

)

Rappel : La norme dun vecteur u (x; y) vaut : ||u || =

x2 + y2

Exemple 8

Soient u (1; 1) et v (3; 2) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire ||u ||2 = 12 + 12 = 2 ||v ||2 = 32 + 22 = 13

u +v(1 + 31 + 2

)=

(43

)

||u +v ||2 = 42 + 32 = 25 u .v = 1

2(25 2 13) = 5




II.2 Expression analytique

On se place dans un repre orthonorm du plan (O; ; )

Dfinition 4

Soient u(x

y

)et v

(x

y

)deux vecteurs du plan, le produit scalaire de u et de v le rel dfini par :

u .v = xx + yy

Exemple 9

Soient u (1; 1) et v (3; 2) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire u .v = 1 3 + 1 2 = 5

Remarque 2

u .u = x2 + y2 = ||u ||2, on notera parfois ||u ||2 = u 2 Si lun des deux vecteurs u ou v est nul, alors le produit scalaire est nul La rciproque est fausse : u .v = 0 nimplique pas ncessairement u = 0 ou v = 0

Exemple 10

Soient (1; 0) et (0; 1), on a :

i .j = 1 0 + 0 1 = 0 et pourtant, ni i ni j ne sont gaux 0

II.3 Proprits

Proprit 3u , v et w sont trois vecteurs et est un rel

Commutativit : u .v = v .u Linarit : (u ).v = u .v Distibutivit :u .(v +w ) = u .v +u .w

Exemple 11

Soient A, B et C trois points du plan, simplifierAB.

BD ACBD

AB.

BD AC.BD = AB.BD +CA.BD

= (AB +

CA).

BD

=CB.

BD

Proprit 4

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux et on note uv si et seulement si u .v = 0

Exemple 12

On considre les trois vecteurs u (3; 2), v (1; 32) et w (0,1). Ces vecteurs sont-ils orthogonaux?

u .v = 3 (1) + 2 32= 0

donc, u et v sont orthogonaux u .w = 3 0 + 2 (1) = 2

donc, u et w ne sont pas orthogonaux




II.4 Cosinus et projection orthonormale

Thorme 4

u .v = ||u || ||v || cos(u ,v )

Exemple 13

Soient u (4; 0) et v (3; 3) deux vecteurs du plan, calculer leur produit scalaire

||u || = 4 ||v || =

32 + 32 = 3

2

(u ,v ) = 45 = 4

u .v = ||u || ||v || cos(u ,v )= 4 3

2 cos(

4)

= 122

2

2

u .v = 121 2 3 4

1

2

3

v

u

4

Thorme 5

Soient trois points A, B et C et H le projet orthogonal de B sur (OA), alors :

OA.

OB = OAOH

Exemple 14

On reprend lexemple 13 prcdent

On pose u = OA et v = OB u .v = OA OH u .v = 4 3 = 12

1 2 3 4

1

2

3

0

B

AH

II.5 Applications du produit scalaire

II.5.1 Equation dune droite

Dans un repre orthonorm (O; ; ) on cherche determiner une quation de la droite dont ladirection est orthogonale au vecteur n (a; b) passant par le point A(xA; yA)RM(x; y) appartient la droite si et seulement si AM.n = 0on a donc une quation de la droite de la forme :

Equation dune droite : (x xA) a+ (y yA) b = 0

Exemple 15

Dans un repre orthonorm (O; ; ), on considre les points A(2; 1), B(0; 1) et C(1; 3)Dterminer une quation de la droite d passant par le point A et perpendiculaire la droite (BC)




BC(1; 2)

M(x; y) appartient la droite d si et seulement siAM.

BC = 0

(x 2) + 2(y 1) = 0 d : x+ 2y 4 = 0

II.5.2 Equation dun cercle

Dans un repre orthonorm (O; ; ), on cherche dterminer une quation dun cercle C de centre(x0; y0) et de rayon r > 0.RM(x; y) appartient au cercle C si et seulement si M2 = r2.on a donc une quation du cercle C du genre :

Equation dun cercle : (x x0)2 + (y y0)2 = r2

Exemple 16

Dterminer une quation du cercle C de centre (3; 1) de rayon 2 M(x; y) appartient au cercle C si et seulement si M2 = 22

(x 3)2 + (y 1)2 = 4

II.5.3 Formules dAl Kaschi

On considre un triangle ABC quelconque de cts AB = c, BC = a et CA = bConnaissant b et c, peut-on calculer a ?Ra2 = BC2 = ||BC||2Par la relation du Chasles, on obtient :

a2 = ||BA+AC||2= (

BA+

AC).(

BA+

AC)

=BA.

BA+

BA.

AC +

AC.

BA+

AC.

AC

= ||BA||2 + 2BA.AC + ||AC||2= ||BA||2 + 2||BA||||AC || cos(BA;AC) + ||AC||2

a2 = c2 2cb cos(AB;AC) + b2

A B

C

c

b

a

A

Formule dAl Kaschi : a2 = b2 + c2 2bc cos A

Exemple 17

On considre le triangle ABC de mesures AB = 4 cm, AC = 3 cm et A = 70 . Calculer BC

BC2 = AC2 +AB2 2AC AB cos A= 32 + 42 2 3 4 cos(70 )= 25 24 cos(70 )= 16, 79

BC = 4, 1 cm

A B

C

4 cm

3 cm

70




II.5.4 Formules daddition et de duplication

Soit C, le cercle trigonomtrique de centre O muni dun repre (O; ; )A

(cos asin a

)et B

(cos bsin b

)sont deux points de ce cercle

Peut-on tablir une formule calculant cos(a b) en fonctions du cosinus et du sinus de a et de b ?A

a

cos a

sin aB

b

cos b

sin b

0

a-b

ROn a dune part :OB.

OA = OB OA cos(OB;OA)

OB.OA = cos(a b)

REt dautre part :OB.

OA = x

OB x

OA+ y

OB y

OAOB.

OA = cos b cos a+ sin b sin a

Formules daddition :

cos(a b) = cos a cos b+ sin a sin bcos(a+ b) = cos a cos b sin a sin bsin(a b) = sin a cos b cos a sin bsin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b

Exemple 18

Simplifier lexpression suivante : f(x) = cos(5x) cos(3x) + sin(5x) sin(3x)

f(x) = cos(5x 3x) = f(x) = cos(2x)

Exemple 19

En remarquant que 712

= 3+

4, calculer sin

(7

12

)

sin(712) = sin(

3+

4)

= sin(3) cos(

4) + cos(

3) sin(

4)

=

3

2

2

2+ 1

2

2

2

sin(712) =

2

4(3 + 1)

Formules de duplication :

sin(2a) = 2 sin a cos acos(2a) = cos2 a sin2 acos(2a) = 2 cos2 a 1cos(2a) = 1 2 sin2 a

Exemple 20

En remarquant que 2 8=

4, calculer cos(

8)

cos(2 8) = 2 cos2(

8) 1

cos(4) = 2 cos2(

8) 1

2

2= 2 cos2(

8) 1

cos2(8) =

2

2+1

2

cos2(8) =

2+2

4

cos(8) =

2+2

4



BarycentreBarycentre de deux points pondrsCaratrisations du barycentreProprits du barycentreBarycentre de 3 points et plus

Produit scalaireDfinitionExpression analytiquePropritsCosinus et projection orthonormaleApplications du produit scalaireEquation d'une droiteEquation d'un cercleFormules d'Al KaschiFormules d'addition et de duplication

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